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Instituto de Formación Docente N.º 9

Profesorado de Educación Secundaria en Matemática

Cartilla del Taller Propedéutico

del Campo de la Formación Específica

Año lectivo 2017

Profesores a cargo:

• Lorena Herrera

• Domingo Becker

• Daniel Lopez

• Juán Gallego

I.F.D. N.º 9 - Profesorado de Educación Secundaria en Matemática Cartilla de Ingreso de Formación Específica

Símbolos matemáticos de uso frecuente

Algunas letras del alfabeto griego

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CONJUNTOS NUMERICOS

IntroducciónUn número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral.Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc…A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, C , D , MEl sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal.Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.

Objetivos Definir a los conjuntos numéricos Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo Recordar la aritmética de los números reales y complejos Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática

Conceptos previos Conceptos básicos de lógica proposicional. Teoría de Conjuntos

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están representadas en el siguiente mapa conceptual

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Definición

Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacioSimbólicamente: N = {1, 2, 3, 4, 5,....n, n+1,.....}

Operaciones

La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente:

Si a €N y b € N, entonces a + b € N (a y b se llaman términos o sumandos) Si a€N y b € N, entonces a . b € N (a y b se llaman factores)

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NUMEROS ENTEROS

Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al conjunto de números naturales.Se agregan el número cero y los números opuestos a los naturales De ese modo 3 – 3 = 0 y 3 – 7 = -4

DefiniciónEl conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los naturalesSimbólicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....}

Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…).

En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que

Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros positivos(naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los naturales).

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Operaciones en ZLa suma y el producto de enteros es siempre otro entero.

La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo a – b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo

La división entre los enteros a y b, con b≠ 0, arroja como resultados dos números enteros llamados cociente (q) y resto)A ase le dice dividendo y a b se le dice divisor.

Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q

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Se dice que la división es exacta, que “a es múltiplo de b”, que “a es divisible por b”, que“b es factor de a” o que “b es divide a a”

La división por 0 no está definida.Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!!

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En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y letras) puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar una expresión algebraica equivalente

Productos notablesLas siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables

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NUMEROS RACIONALES

Dividir es repartir en partes iguales!!!Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52cartas.El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?¡Tu puedes deducir la respuesta!¿Y si se quiere repartir pero el dividendo es menor que eldivisor? Por ejemploEjemplo:Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos. Entonces Juana da un tercio de chocolate a cada uno.

Definición

Los Números Racionales son los números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se pueden expresar como fracción. En símbolos

Los números racionales representan partes de un todoLas partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números Racionales

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Q es un conjunto denso

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso

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NUMEROS IRRACIONALES

Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica pero, ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO!!! Existen otros números que junto a los racionales completan a la recta numérica. Ellos son los números irracionales

Definición

Los Números Irracionales son los números que no se pueden expresar como fracción. En símbolos

Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas

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Operando con números irracionalesLas operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de númerosIrracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces losresultados son racionales!!

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¿Y si necesitáramos expresar a los números irracionales en forma decimal?Usamos las primeras cifras decimales. De ese modo se obtienen valores aproximados de los números irracionales. Entonces siempre se comete un error al tomar la notación decimal de un número irracional y el error cometido es menor que 1 unidad del orden de la última cifra conservada.

RacionalizaciónSi las raíces aparecen en el denominador, en muchos casos es necesario eliminarla. A esteproceso se lo conoce con el nombre de Racionalización de denominadores

Primer Caso: Un único término con raíz cuadrada en el denominadorSe multiplica y divide por la raíz presente en el denominador

Segundo Caso: Un único término con raíz mayor que 2 en el denominadorSe multiplica y divide por la raíz presente en el denominador elevada a un exponente conveniente

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Tercer Caso: En el denominador suma o resta de términos que contienen raíces cuadradas. Se multiplica y divide por el conjugado del denominador

NUMEROS REALES

Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un número irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, Racionales más Irracionales se forma un nuevo conjunto DefiniciónEl conjunto de los Números Reales es la unión del conjunto de los Racionales al conjunto de los Irracionales. Simbólicamente

A la recta numérica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los números reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representación de un real.El conjunto R también tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definición se tiene el siguiente cuadro:

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En un diagrama de Venn, se observa la relación entre los conjuntos

Notación científicaCuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos, representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en notación científica cuando se escribe como el producto de un número mayor que 1 y menorque 10, multiplicado por una potencia entera de diez.

El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo

El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y producto de números reales cumplen los siguientes axiomas:Si x, y, z € R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas

X + y € R (x.y) € R

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La suma y el producto son operaciones conmutativas

x + y =y + x x.y = y.x

La suma y el producto son operaciones asociativas

(x+y) + z = x + (y+z) (x.y). z = x. (y.z)

El producto es distributivo respecto a la suma x. (x+z) = x.y + x.z

Existen números reales que son neutros respecto de la suma y el producto 0 esel neutro respecto de la suma pues x+0 = x1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = xTodos los números reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco– x se dice inverso aditivo u opuesto de x1/x se dice inverso multiplicativo o recíproco de x

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Orden en el conjunto R

R es un conjunto ordenado. Esto es, dados dos números reales ha y b vale una y solo una de las siguientes afirmacionesa <b, a > b o a = b

Propiedades de la Igualdad en R

1) Si sumamos o multiplicamos a ambos miembros de una igualdad una misma constante se obtiene otra igualdad

Si a = b, entonces a + c = b + c

Si a = b, entonces a.c = b.c

2) Si sumamos o multiplicamos miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad

Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d

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Si a = b y c = d, entonces a. c = b. d

Propiedades de la desigualdad

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma una misma constante , ladesigualdad se mantiene

Si a < b, entonces a+c < b+c

2) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante positiva la desigualdad se mantiene

Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c

3) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante negativa la desigualdad cambia de sentido

Si a < b y c < 0, entonces a.c>b.c

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NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son combinaciones algebraicas de números reales con números imaginarios.¿Por qué surgen los números imaginarios?Las raíces de índice par de radicando negativo no tienen respuesta en R. Para dar solución a este problema se crea elnúmero j.

Definición:

Potencia enésima de la unidad imaginaria

Si n Є N, al dividir n en 4 puede expresarse como n = 4. q + r, donde q es el cociente y r es el resto. Entonces 0 ≤ r < 4 y la potencia enésima de j se calculan como:

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Definición

Se define al conjunto de los Números Complejos comoC = { z / z = a + bj , a Є R y b Є R }a se dice componente real y b se dice componente imaginariaEl conjunto C también tiene estructura de Campo, respecto de la suma y el producto

Las relaciones entre los conjuntos numéricos estudiados se muestran en las siguientes Figuras:

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Todo número complejo está asociado a otros llamados opuesto y conjugado

Igualdad en C

Dos números complejos son iguales si y solo si sus componentes respectivas son iguales. Esto es: a + bj = c + dj ; a = c ˄ b = d

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Operaciones en c:

Propiedades del conjugado:

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Representación gráfica de los números complejos

Todo número complejo z = a+bj se representa en el plano mediante el punto (a,b).Sobre el eje horizontal se representa a la componente real del complejo, por lo que a este eje se lo llama eje real. Sobre el eje vertical se representa a la componente imaginaria y por ello se lo llama eje imaginario 0.

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C tiene estructura algebraica de Campo o CuerpoEl conjunto C tiene estructura algebraica de Campo respecto de las operaciones de Suma y Producto pues en él se cumplen las propiedades de:∀z1 ,z2 ,z3 € 1 CLa suma y el producto son operaciones cerradas

La suma y el producto son operaciones conmutativas

La suma y el producto son operaciones asociativas

El producto es distributivo respecto a la suma

Existen números complejos que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es el neutro respecto de la suma pues z + 0 = z1 es el neutro respecto del producto pues z.1= zTodos los números complejos tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco–z se dice inverso aditivo u opuesto de z1/z se dice inverso multiplicativo o recíproco de z

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ECUACIONES

IntroducciónEn casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación problemática o el fenómeno del que se esté hablando.En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los métodos de resolución vistos en la escuela secundaria, preparándolos para poder enfrentar los temas de mayor complejidad en los que aparecerán otros tipos de ecuaciones definidos en nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se podrían resolver sino se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simples de cálculo.

Objetivos

Conceptos previos

Una ecuación es una igualdad donde figuran una o más incógnitas.Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de las incógnitas que verifican la igualdad. A dichos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación. Ejemplos:

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Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones

De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en:

Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones

El siguiente cuadro representa la clasificación de las ecuaciones, correspondiéndose exactamente con la clasificación de las expresionesA su vez se dan ejemplos de las que se verá en este curso.

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Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen una o varias incógnitas.Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signoigual. Así, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de laderecha.Ejemplo:

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Verificación de las soluciones

Un valor es solución si se verifica ala ecuación. Esto es, si se sustituyen las soluciones en lugar de la/s incógnitas, convierten ala ecuación en identidad.Ejemplo:

Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación.Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una ecuación equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata.La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original.

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Propiedades que se aplican en la resolución de una ecuación

1) Propiedad simétrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre si Esto es: Si a = b entonces b = a

Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1er miembro de la ecuación.

Ejemplo: si -3 =2 - 5y →2 - 5y = - 3

2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa, a ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene.Esto es: Si a = b, entonces a + c = b + c

Se usa cuando se quiere eliminar un término de un miembro de la ecuación, posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos

Ejemplo: Si 2x + 3 = - 1 →2x + 3 - 3 = - 1 - 3 →2x = - 4

3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, estasumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarseEsto es: Si a + c = b + c, entonces a = b

4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula, positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuación, se mantiene la igualdad.Esto es: Si a = b y c ≠ 0, entonces a.c = b.c

Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuación, posteriormente se aplica el axioma de los elementos recíprocos

5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o negativa, está multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarseEsto es: Si a.c = b.c con c≠0, entonces a = b

1) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les extrae una misma raíz, siempre que este definida, la igualdad subsiste.

Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algún miembro de una ecuación:

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RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

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ANGULOS

Ángulo plano es la porción de plano determinada por la rotación de una semirrecta desde una posición inicial hasta una posición final. El origen de la semirrecta es llamado vértice del ángulo.

Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la semirrecta en posición inicial y final respectivamente.

Denotaremos con Q O ˆ P al ángulo, o con cualquier letra griega, por ejemplo θ,O al vértice y OP y OQ a las semirrectas inicial y final respectivamente.La medida del ángulo Q O ˆ P es la “cantidad de rotación”, respecto al vértice requerida para mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario a las agujas del reloj. Es en definitiva cuanto se “abre” el ángulo.

Ángulos especiales

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Sistemas de mediciónSistema Sexagesimal Unidad: Grado sexagesimal Ej.: 30º 20' 35'' Sistema Circular Unidad: Radian Ej.: 2 rad.Sistema Centesimal Unidad: Grado centesimal Ej.: 100ºcLos sistemas de medición de ángulos mas usados son Sexagesimal y Circular.

Sistema SexagesimalLa unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ángulo llano giro. Los submúltiplos son:minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su anterior.

De la definición se deduce que:

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Conversión de un ángulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa

Sistema Circular y Longitud de ArcoEn el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian.Para precisarlo recordemos que todo ángulo con vértice en el centro de cualquier circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemos α al ángulo, r al radio de la circunferencia y s al arco determinado por el ángulo.

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Se define al ángulo de 1 radian como el ángulo que determina un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Para medir cualquier otro ángulo, usando como unidad de medida el radian, se debe contar la cantidad de veces que el arco determinado en la circunferencia lo contiene al radio de la circunferencia.

En este caso el arco determinado por α contiene 3 radios entonces diremos que Α = 3 radianes = 3 rad.

Responde: .Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la medida del ángulo cambia?El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la práctica ya que permite operar con los números Reales abstractos.Podemos dar el valor de los ángulos medidos en radianes usando la abreviatura rad o no

Relación entre arco, radio y ánguloEn una circunferencia de radio “r”, la longitud “s” de un arco que subtiende un ángulo central de α radianes es:

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Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas

De la definición de radian y de grado se desprende que:

Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa:

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De este modo se deducen los siguientes valores, también muy frecuentes:

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Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos quedeterminan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dadopertenece a dos segmentos.1 Los puntos comunes a cada par desegmentos se denominan vértices del triángulo 2 y los segmentos derecta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguosforman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo esuna figura estrictamente convexa.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes deángulos exteriores,3 tres lados y tres vértices entre otros elementos.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura sobre el lado distinto.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

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https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

https://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADa

https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_esf%C3%A9rico

https://es.wikipedia.org/wiki/Esfera

https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo#cite_note-3


https://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)


https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangle_illustration.svg


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Las rectas notables de un triángulo son:

Mediatriz

Mediana

Altura

Bisectriz

Mediatrices:

La MEDIATRIZ de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.

Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue: La

mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma

La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb La

mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc

Construcción geométrica:

Mediatriz del lado "a"

Mediatriz del lado "b"

Mediatriz del lado "c"

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Propiedad 5:

"Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicho lado"

Ejercicio 4:

Con ayuda de una regla y un compás:

a. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.

b. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tresmediatrices de tu triángulo.

c. Elige un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con ayuda de la regla o elcompás, toma la distancia de dicho punto al vértice A y compárala con la distancia de dichopunto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias?

d. Repite el apartado anterior con otros puntos de esa misma mediatriz.

e. Repite los dos apartados anteriores con las otras dos mediatrices.

Ejercicio 5:

Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 5.

Alturas:

La ALTURA de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue: La

altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha

La altura respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb

La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc

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Altura respecto del lado "a"=BC

Altura respecto de "b"=AC

Altura respecto de " c "=A B

Propiedad 6:

Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo):

Si el triángulo es RECTÁNGULO:

"La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo"

Si el triángulo es ACUTÁNGULO:

"Las tres alturas son interiores al triángulo"

Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:

"La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo"

Propiedad 7:

"En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en dos triángulos iguales"

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Ejercicio 6:

1. Con ayuda de una regla y un compás:

a. Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.

b. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tresalturas de tu triángulo.

c. Observa si son interiores o exteriores al triángulo, y mira si concuerdan tusresultados con la propiedad 6.

2. Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.

3. Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.

Ejercicio 7:

Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 7.

Medianas:

La MEDIANA de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos como sigue:

Mediana correspondiente al vértice A, se denota por mA

Mediana correspondiente al vértice B, se denota por mB

Mediana correspondiente al vértice C, se denota por mC

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Mediana correspondiente al vértice A

Mediana correspondiente al vértice B

Mediana correspondiente al vértice C

Propiedad 8:

"Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo, independientemente del tipo de triángulo que sea"

Propiedad 9:

"Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área"

Ejercicio 8:


Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.

Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tresmedianas de tu triángulo.

Observa si coincide tu resultado con la propiedad 8.

Calcula el área de los dos triángulos en que la mediana mA divide al triángulo

ABC y comprueba que se cumple la propiedad 9.

Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.

Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.

Ejercicio 9:

Demuestra la propiedad 9.

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Bisectrices:

La BISECTRIZ de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.

Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos como sigue:

Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA

Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB

Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC


Bisectriz correspondiente al vértice A

Bisectriz correspondiente al vértice B

Bisectriz correspondiente al vértice C

Propiedad 10:

"Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo"

Es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se forman son de la misma longitud.

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Ejercicio 10:


2) Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.

3) Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tresbisectrices de tu triángulo.

4) Comprueba sobre tu dibujo que se cumple la propiedad 10.

Construcción de las alturas:

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA ALTURA "ha"

Para trazar la altura respecto del lado "a"=BC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el vértice A.

2. Con origen en el vértice A, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal quecorte al lado BC (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos N y M.

3. Trazas la mediatriz del segmento NM, y la prolongas hasta que corte o incida en el vértice A

4. La recta así obtenida es la altura que buscábamos.

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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA ALTURA "hb"

Para trazar la altura respecto del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el vértice B.

2. Con origen en el vértice B, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal quecorte al lado AC (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos N y M.

3. Trazas la mediatriz del segmento NM, y la prolongas hasta que corte o incida en el vérticeB.


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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA ALTURA "hc"

Para trazar la altura respecto del lado "c"=AB de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el vértice C.

2. Con origen en el vértice C, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal quecorte al lado AB (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos N y M.

3. Trazas la mediatriz del segmento NM, y la prolongas hasta que corte o incida en el vértice C


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Construcción de las bisectrices:

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA BISECTRIZ "bA"

Para trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el vértice A.

2. Con origen en el vértice A, trazas un arco de circunferencia de radio cualquierapero tal que corte los lados AB y AC en dos puntos que llamaremos N y M

3. Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia..

4. Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia queinterseque con el anterior, en un punto.

5. Une este punto con el vértice A mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz delángulo A.

6. Etiqueta con "bA"

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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA BISECTRIZ "bB"


1. Localizas el vértice B.

2. Con origen en el vértice B, trazas un arco de circunferencia de radio cualquierapero tal que corte los lados BA y BC en dos puntos que llamaremos N y M



5. Une este punto con el vértice B mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz delánguloB..

6. Etiqueta con "bB"

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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA BISECTRIZ "bC"


1. Localizas el vértice C.

2. Con origen en el vértice C, trazas un arco de circunferencia de radio cualquierapero tal que corte los lados CA y CB en dos puntos que llamaremos N y M



5. Une este punto con el vértice C mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz delángulo C.

6. Etiqueta con "bC"

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Construcción de las medianas:

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIANA "mA"

Para trazar la mediana con respecto al vértice B, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el vértice A

2. Calculas el punto medio del lado BC (lado opuesto al vértice A)

3. Trazas la recta que pasa por el vértice A y el punto medio del lado BC.

4. Le pones la etiqueta mA, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vérticeA.

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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIANA "mB"

Para trazar la mediana con respecto al vértice B, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el vértice B

2. Calculas el punto medio del lado AC (lado opuesto al vértice B)

3. Trazas la recta que pasa por el vértice B y el punto medio del lado AC.

4. Le pones la etiqueta, mB, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vérticeB.

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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIANA "mC"

Para trazar la mediana con respecto al vértice C, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el vértice C

2. Calculas el punto medio del lado AB (lado opuesto al vértice C)

3. Trazas la recta que pasa por el vértice C y el punto medio del lado AB

4. Le pones la etiqueta, mC, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vérticeC.

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Construcción de las mediatrices:

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIATRIZ "Ma"

Para trazar la mediatriz del lado "a"=BC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el lado "a" (segmento que une los vértices B y C del triángulo)

2. Con origen en el vértice B, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (unoa cada lado del lado BC)>

3. Con origen en el vértice C, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hastaque se corten con los anteriores.

4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste conorigen en los vértices B y C.

5. Pones a la recta la etiqueta Ma para indicar que se trata de la mediatriz del lado "a" deltriángulo.

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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIATRIZ "Mb"

Para trazar la mediatriz del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el lado "b" (segmento que une los vértices A y C del triángulo)

2. Con origen en el vértice A, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno acada lado del lado AC)

3. Con origen en el vértice C, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta que secorten con los anteriores.

4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con origenen los vértices A y C.

5. Pones a la recta la etiqueta Mb para indicar que se trata de la mediatriz del lado "b" deltriángulo.

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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIATRIZ "Mc"

Para trazar la mediatriz del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el lado "c" (segmento que une los vértices A y B del triángulo)

2. Con origen en el vértice A, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno acada lado del lado AC)

3. Con origen en el vértice B, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta que secorten con los anteriores.

4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con origenen los vértices A y B.

5. Pones a la recta la etiqueta Mc para indicar que se trata de la mediatriz del lado "c" deltriángulo.

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