HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo integral

Obtener el área delimitada por la función f(x) = m ⋅ x + b, el eje X , y las rectas x = a y x = b, con0 < a < b.

Solución:Las integrales de Riemann son aquellas que satisfacen la siguiente definición:

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[ 1

n⋅

n

∑k=1

f (a + k ⋅ b − a

n)]

Recordatorio (Deducción de la fórmula):Antes de aplicar la fórmula, se recordará de donde provienen sus elementos. Las sumas de Riemannse basan en aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos de base ∆x y altura f(x). Estasexpresiones se pueden representar en términos de los datos del problema, de la siguiente manera:

∆x =b − a

n, porque se calcula el tamaño del intervalo b − a y se divide en n partes.

xk= a + k ⋅∆x = a + k ⋅ b − a

n, es la k-ésima abscisa entre la partición del intervalo.

f(xk) = f (a + k ⋅ b − a

n) , es la altura h del k-ésimo rectángulo de la partición de [a, b].

Ak= b ⋅ h = b − a

n⋅ f (a + k ⋅ b − a

n) , es el área del k-ésimo rectángulo para la función.

Ahora, con los elementos anteriores se puede construir la fórmula para la integral mediante sumas deRiemann, la cual equivale al límite de la suma de todas las áreas de los rectángulos de la partición.

∫b

af(x)dx = lım

n→∞[

n

∑k=1

b − a

n⋅ f (a + k ⋅ b − a

n)]

La sumatoria depende de la variable k, por esta razón se puede extraer el factorb − a

n:

∫b

af(x)dx = lım

n→∞[b − a

n⋅

n

∑k=1

f (a + k ⋅ b − a

n)]

Finalmente, como b − a no depende de la variable n, se puede extraer como constante fuera del límite:

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[ 1

n⋅

n

∑k=1

f (a + k ⋅ b − a

n)]

De esta forma, se justifican los pasos para obtener la fórmula de la definición.

HKV TEXVictor Solano Mora

2Para obtener el área, se debe evaluar f(x

k) para expresarlo en términos de la variable n por medio de la

sumatoria, y así, calcular el límite. Entonces, se procede a evaluar xk

en la función f(x) = m ⋅ x + b:

f(xk) = m ⋅ x + b = m ⋅ (a + k ⋅ b − a

n) + b = am +mk ⋅ b − a

n+ b

Del resultado anterior, se puede escribir la fórmula de esta manera:

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[ 1

n⋅

n

∑k=1

am +mk ⋅ b − a

n+ b]

Recordando la propiedad de las sumatorias ∑m(x) + n(x) = ∑m(x) +∑n(x), se puede simplificar en:

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[ 1

n⋅

n

∑k=1

(am) + 1n⋅

n

∑k=1

(mk ⋅ b − a

n) + 1

n⋅

n

∑k=1

(b)]

Todas las sumatorias que no dependen de k, se resuelven por la propiedad ∑a = a ⋅ n, mientras que a lasque dependen de k, se les pueden extraer los demás términos como constantes fuera de la sumatoria:

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[ 1

n⋅ (am ⋅ n) + 1

n⋅ (m ⋅ b − a

n) ⋅

n

∑k=1

(k) + 1n⋅ (b ⋅ n)]

Se resuelven los productos y organizan los términos de la expresión anterior para obtener:

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[am�n

�n+ m(b − a)

n2 ⋅n

∑k=1

(k) + b�n

�n]

Se aplica la sumatoria de los n primeros números naturalesn

∑k=1

k = n(n + 1)2 :

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[am + m(b − a)

n2 ⋅ n(n + 1)2 + b]

Se simplifican los productos y se separa el límite de la suma como la suma de límites:

∫b

af(x)dx = (b − a) lım

n→∞[am] + (b − a) lım

n→∞[m(b − a)(n + 1)

2n] + (b − a) lım

n→∞[b]

Se extraen los factores que no dependen de la variable n y se aplica la propiedad lımn→∞

a = a:

∫b

af(x)dx = (b − a) ⋅ am + (b − a) ⋅ m(b − a)

2 lımn→∞

[n + 1n

] + (b − a) ⋅ b

Se organizan los términos y se aplican los límites lımn→∞

n

n= 1 y lım

n→∞

1n= 0:

∫b

af(x)dx = (b − a) ⋅ am + m(b − a)2

2 ⋅ 1 + (b − a) ⋅ b

HKV TEXVictor Solano Mora

3La expresión anterior corresponde al resultado buscado. No obstante, se simplificará la expresión alrealizar la factorización del término (b − a):

∫b

af(x)dx = (b − a) (am + m(b − a)

2 + b)

Se homogenizan los términos del segundo paréntesis:

∫b

af(x)dx = (b − a) (am ⋅ 22 +

m(b − a)2 + b ⋅ 22)

Se resuelve la suma de fracciones homogéneas y se factoriza12 :

∫b

af(x)dx = (b − a)

2 (2am +m(b − a) + b)

Se distribuye el paréntesis interno:

∫b

af(x)dx = (b − a)

2 (2am + bm − am + b)

Se simplifican los términos semejantes:

∫b

af(x)dx = (b − a)

2 (am + bm + b)

Finalmente, se escriben todos los términos en el numerador de la fracción:

∫b

af(x)dx = (b − a)(am + bm + b)

2

Si se desea expresar el resultado sin los paréntesis, se realiza la distribución:

∫b

af(x)dx = b(am + bm + b) − a(am + bm + b)

2

Se distribuye nuevamente:

∫b

af(x)dx = abm + b2m + b2 − a2m − abm − ab

2

Se suman los términos semejantes:

∫b

af(x)dx = b2m + b2 − a2m − ab

2

Victor Solano Mora.