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8/3/2019 integrales-definidas-1228757145590326-9

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INTEGRALES DEFINIDAS

Ing. Jess Castillo Machaca


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Concepto Histrico

Desde su origen, la nocin de integral harespondido a la necesidad de mejorar losmtodos de medicin de reas subtendidasbajo lneas y superficies curvas. La tcnica

de integracin se desarroll sobre todo apartir del siglo XVII, paralelamente a losavances que tuvieron lugar en las teorassobre derivadas y en el clculo diferencial.


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Definicin de Integral Definida

La integral definida es un concepto utilizado paradeterminar el valor de las reas limitadas porcurvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que,

para cada uno de sus puntos x, se define unafuncin f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b],se llama integral definida de la funcin entre lospuntos a y b al rea de la porcin del plano que

est limitada por la funcin, el eje horizontal OX ylas rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.


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Teorema fundamental

xxdxxn

i

i

n

b

a

11)()( lim

La integral definida de (x)

(donde > 0) de a en b esdenotada por:

)()( aFbF


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PROPIEDADESFUNDAMENTALES

Para facilitar el calculo de una integral definida seusan las siguientes propiedades:

entoncesb,aSi-1.Propiedad

a

b

b

adxxdxx )()(

entoncesexiste,(a)Si-2.Propiedad

0)(

a

a dxxentonces,cualquieraconstanteunaeskSi-3.Propiedad

abkkdxb

a


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entonces,arbitrariaconstanteunaesk

yb][a,enintegrableesfuncin unaSi-4.Propiedad

b

a

b

adxxkdxxk )()(

b][a,enintegrableestambisgentonces

b][a,ensintegrablesongyfuncioneslasSi-5.Propiedad

b

a

b

a

b

adxxgdxxxgx )()()]()[(

entoncesb,cay

b],[c,yc][a,b],[a,enintegrableesSi-6.Propiedad

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(


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entoncesI,c}b,{a,y,IcerradointervalounenintegrableesSi-7.Propiedad

b

c

c

a

b

adxxdxxdxxk )()()(

entoncesb],[a,x

0y (x)b][a,enintegrableesSi-8.Propiedad

0)( b

adxx

entoncesb],[a,g(x)(x)

yb],[a,ensintegrablesongyfuncioneslasSi-9.Propiedad

x

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(


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Ejemplo:

2

22

3

1

2

3

1

8)1)1(8()3)3(8(

8

)28(

u

xx

dxx


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CALCULO DE AREASPOR EL METODO DE RECTANGULOS

Se divide el rea en segmentos verticales, o rectngulos, con unaaltura igual al valor de la funcin en el punto medio para cadaRectngulo. Esta altura es una aproximacin valida de la alturapromedio de cada rectngulo. El rea total bajo la curva puedecalcularse al sumarse el rea de todos los rectngulos. Esto es,

para cada rectngulo, la altura de la funcin se multiplica por elancho de este, finalmente se suman las reas de cada rectnguloexistente. Como en el mtodo de cuadricula se pueden hacermejores aproximaciones refinando los rectngulos. Para poderutilizar la regla del rectngulo, es necesario contar con datos

tabulados, en el caso de que no se tengan estos, se puedegenerar esta tabla de valores usando la funcin continua que sequiere integrar y evaluar en un intervalo.


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Por rectngulos inscritos

Primero se grafica la funcin

Delimitada por el intervalo [0,2]

x y

0 0

0,5 0,25

1 1

1,5 2,25

2 4

EJEMPLOS: Hallar el rea de la siguiente funcin f(x) = x2

1-

0.5-

0.25-

2-

2.25-

3-

4-

1 20.5 1.5


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Segundo: Se realizan lneas paralelas a la funcin, como semuestra en la figura

1-

0.5-

0.25-

2-

2.25-

3-

4-

1 20.5 1.5

A4

A1A2

A3


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Tercero: Se calcula las reas de los rectngulos A1, A2, A3, A4

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