1 INTEGRALES EULERIANAS FUNCIONES GAMMA Y BETA Introduccin PresentamosunaportemsdelClculoIntegral,estavezenelcampodela Estadstica. Se trata de las funciones Gamma y Beta, de suma importancia en eltemadelasprobabilidades:LaDistribucindeProbabilidadBetayLa Distribucin de Probabilidad Gamma. Historia Adrian Mara Legendre (1752-1833) propuso, en 1814, llamar Funcin Gamma yrepresentarconlaletracorrespondiente,G,aunafuncinquehabasido introducidaporprimeravezenunacartaqueescribiLeonardEuler(1707-1783)aChristianGoldbach(1690-1764)enelao1729.Deestafuncin, aunquefueescritainicialmenteenformainfinitesimal,comoellmitedeuna expresin discreta, ms tarde se obtuvieron expresiones integrales. La primera deestasintegralesfueyadeducidaporelmismoEuler.(Tomadode http://personales.ya.com/casanchi/mat/funciongamma01.htm) Objetivo ResolverintegralesimpropiasatravsdelasfuncionesEulerianasGamma,Betaydesuspropiedades,locualpermitirinterpretarelresultadocomola probabilidaddeeventosconvariablesaleatoriasquetienendistribucinde Probabilidad Gamma y Beta. Sugerencia Para el logro del objetivo es importante tener la habilidad en resolver integrales impropias, as como tambin el clculo de lmites que requieren de la regla de Lhopital. Palabras claves: Integrales impropias, Lmites y Regla de Lhopital. Definicin La funcin Gamma, denotada por( ) n se define como: ( ) + = 01dx e x nx n y converge para0 > n2 TEOREMA 1.Frmula de recurrencia para Gamma o Ecuacin Funcional de Gamma. 0 Si > n , entonces( ) ( ) n n n = + 1 Demostracin ( )( ) dx e x ndx e x nxbnbx n += + = + 00lim 1manera igual de o1 que tiene se gamma funcinde definicin Por Sean dx e dv e vdx nx du x ux xn n = == =

y1 As( ) dx e x nxbnb = + 0lim 1 =)`+((

+ bx nbnbdx e x neb01limComo cada uno de los lmites en cuestin existen entonces: ( ) dx e x nxbnb = + 0lim 1 = + + +((

bx nbbnbdx e x neb01lim lim = + bx nbdx e x n01limPor lo tanto( ) + = + 011 dx e x n nx n= ( ) n n Si en la expresin anterior se sustituye anpor1 n , se obtiene que: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 3 3 2 1 2 2 1 1 1 = = = n n n n n n n n n n Si la idea anterior se repite de manera sucesiva, se encuentra que ( ) n ( )( )( )( ) ( ) 1 .......... 4 3 2 1 = n n n n De lo anterior se desprende que: ( ) ( )( )( ) ( ) 1 ...... 3 2 1 1 = + n n n n n Si1 = n se obtieneque( ) 1 1= , esto a partir de la definicin de) (n 3( )( )[ ] 1 1 lim lim lim 10 con lim 10b0b0000= + =((

= = = = + + + + bbbxbxbxbxee dx ex dx e x dx e x Por lo tanto( ) 1 1= As ( ) ( )( )( ) 1 .... .......... 3 2 1 1 = + n n n n n Definicin de Factorial SeaN n . El Factorial den , denotado por! nse define como( )( )( ) 1 .... .......... 3 2 1 ! = n n n n n De la Definicin anterior se tiene que ( ) ! 1 n n = + TEOREMA 2. LafuncinGammasuelellamarseFUNCINFACTORIALpuestoque,si 0 > nentonces( ) ! 1 n n = + o se puede escribir tambin como: ! ) 1 (0n dx e x nx n= = + + A continuacin se muestran dos formas para lograr el siguiente resultado ( ) = 21 Primera forma UsandolafrmuladecomplementariedadparalafuncinGamma,la cual est dada por Basta hacer 21= x ( ) ( ) ( ) [ ] = = = 22121212sen 4Es decir: ( ) = 21 Segunda forma De la definicin de la funcin Gamma se tiene que + = ||

\|02 / 121dx e xx. Haciendo 2u x = , se tiene = = =||

\| + + 0 012 22 221du e du u e uu u Lo anterior se debe a que 202= +du eu (Ver ejercicio 7 parte a.) EJERCICIOS 1.! 606= +dx e xx 2. +02 3dx e xx Solucin: Supongamos que: 22 donde en2dydx dx dy x y = = =Luego se cambian los lmites de la integral as: y xy x, Si0 , 0 Si, y la integral queda de la forma: + += =||

\|0430432! 32122dy e ydyey y y 53. +03dx e xx Solucin: Supongamos que: 313 donde eny x x y = =y 6121y x = . Entonces323ydydx =Teniendo en cuenta que x cuandox cuandoy0 0 y entonces 3 213131302103261= ||

\| = == + +dy e yydye yy y 4.0 con022> +a dx e xax 5.0 con 023> +a dx e xax 6.dxx10ln1 Solucin: Reescribiendo la ecuacin se tiene que: ( )102 / 1ln xdx Supongamos que:dx xdy dxxdy x y = = =luego; 1lnLuego se cambian los lmites de la integral as: 0 , 1 Si, 0 Si + y xy x Recordar:w e w zz= =entonces lnEntonces + + += ||

\| ===012102 / 102 / 121 dy e ydy e y dyyee xyyyy 7.Probar que: 6 a. 202 = +dx ex Sea dxydyxdx dy x y x y = = = =2 / 12 / 1 22entonces2 luego;entonces Luego se cambian los lmites de la integral as:

y xy x, Si0 , 0 Si As 212102 / 1= + dy e yy Luego 202 = +dx ex b. ( )0 con 01>= + aaxdt e txat x Supongamos que:dtadydt a dyayat y = = = = mejoro luego; t , Luego se cambian los lmites de la integral as: y ty t, Si0 , 0 Si Ahora: + +||

\|01101adyeayadyeayyxxyx ( ) + + = =0 01111xy xxyxxaxdy e ya adyeay 8. +0423 dzz Como0 ,ln> = a e aa u u, entonces

( ) + +=03 ln 403 ln 42 2dz e dz ez z Haciendo: 7 ( )23 ln 4 z y = , se tiene que ( )23 ln 4zy=y as ( ) 3 ln 4yz = . Entonces ( )zdydz3 ln 8= Ahora: yy, z Si0 , 0 z Si Luego la integral original se convierte en ( ) + + =0 02 / 12 / 12 / 12 / 1) 3 (ln 413 ln 23 ln 8dy e yydyey y( )21) 3 (ln 412 / 1 =2 / 1) 3 (ln 4= FUNCIN BETA La llamada Funcin Beta de Euler, es una expresin integral de la forma =101 1) 1 ( ) , ( dx x x n mn m ytiene,entreotrasparticularidades,ladeestarrelacionadaconlafuncin gammadeunaformaqueresulta extremadamentetilalahoradedemostrar algunas de sus propiedades bsicas. Veamos la demostracin de la relacin ) () ( ) () , (n mn mn m+ = En efecto: Haciendo los cambiost y x = +ys x = , se tiene: Si hacemos el cambio u t s = , entonces:y sstsu+= =Si0 , 0 = = u entonces s8Cuando 1 , u entonces s As se tiene que: = 101 1 10) 1 ( ) ( ) ( ) ( dt du t u t tu e n mn n m t + =101 1 10) 1 ( ) ( dt du u u t en m n m t + =101 1 10) 1 ( ) ( du u u dt t en m n m t) , ( ) ( n m n m + = y, en definitiva:) () ( ) () , (n mn mn m+ = EJERCICIOS 1.Probar que) , ( ) , ( m n n m = .Sugerencia: Hagax u =1en la definicin de la funcin Beta 2. Probar que( ) =201 2 1 2cos 2 , d sen n mn m Solucin:Sabemos que( ) ( ) =101 11 , dx x x n m Bn m Sea d sen dx sen x cos 2 entonces2= =Si0 ; 0 = = xy 2; 1 = = x ( ) ( ) ( ) d sen sen sen n m Bn mcos 2 1 ,201212 = =202 2 2 2cos cos 2 d sen senn m A partir de la expresin anterior, se puede decir finalmente que: ( ) =201 2 1 2cos 2 , d sen n m Bn m ( ) ( )( ) n mn md senn m+ = 2cos201 2 1 2 93. Utilice la expresin del ejercicio anterior, para calcular:

( ) 6 22725cos cos20127* 2 125* 2206 4||

\| ||

\|= = d sen d sen . Como

43)21(212325 = = ||

\|

815)21(21232527 = = ||

\| ( ) 120 ! 5 6 = = Entonces

) 240 )( 32 (45cos206 4 =d sen Evaluar: 4.204 5cos d sen5.207 5cos d sen6.205 4cos d sen7.2022 xdx x Solucin de 7. ( ) ||

\| = 202122021221222 dxxx dx x x Si 2xy =entoncesdy dx 2 =

Luego se cambian los lmites de la integral as:

1 , 2 Si0 , 0 Si y xy x Por lo tanto la integral queda 10 ( ) ( )( ) = 20102 / 1 22122 1 2222 dy y y dx x x ( ) =102121 2 4 dy y y ( ) =101211 31 2 4 dy y y ( )( ) ( )( )272132 421, 3 2 4 = = B

152 64815! 22 4 = =

8. 203 3 28 dx x x 9. ( )ady y a y02 / 12 2 4 Solucin de 9. ( )ady y a y02 / 12 2 4((

|||

\| =aaya y02 / 1222 41 |||

\| =adyayy a02 / 12241 Hagamos22ayx = . Entonces:

( )dy y dx ay x a y x a2luego22 / 12 2 2== =

1 , y Si0 , 0 y Si x ax Luego: ( ) ( ) dxxax x a a dyayy aa2 / 12 / 1102202 / 122421 1 =|||

\| ( ) ( ) dx x xa2 / 1102 / 3612 = Como: ( ) ( ) ( ) ( ) dx x xadx x xa1231012562 / 1102 / 361212 = .Entonces: ( ) ( )( ) 423252 23,2521216 612310125602 / 1224||

\| ||

\|= ||

\|= =|||

\| aBadx x xadyayy aa 1110.10ln dx x Probar que: 1. +> =00212xxdt ext 2. +> =00212xxdt text 3. ( ) ++||

\| + =0/ 11 1nmnadx e xn max mn 4. + = 22 /2dx ex 5. + = = 1 ) 1 ( dx exe x 6. ( ) =||

\|1011ln n dttn 7.Utilizando el ejercicio 2, de la pgina 8, calcular: d sen42 /05cos 2 /07 4cos d sen d sen52 /07cos d sen62 /08cos d2 /0tan d|||

\|+2 /0cot1tan1 d sen cos2 /03 d sen2 /08 8.1 , ,1ln10 > ||

\|m p dxxxpm 9. ay ady0 4 4 1210.A partir de la expresin: ( ) ( ) =101 11 , dx x x n m Bn m, con0 n , 0 > > m , y haciendo: yyx+=1 probar que: ( )( )dyyyn m Bn mm +++=011, Miscelnea de ejercicios Emplee la definicin y las propiedades de las Funciones Beta y Gamma (segn el caso) para evaluar las siguientes integrales: 1. +04 4dx e xx 2. +03 5dx e xx

3. +022dx e xax 4. +02 35dy e yy 5. +02dx ex 6. +03dx ex 7. +0dx enx 8. 104 2) (ln dx x x 9. ||

\|101ln dxx 10. +0dttekt 11.dx x104ln12.( )103 21 dx x x 13.( )402 / 5 2 / 34 du u u 14. 101dxxx 15.( )202 / 324 dx x 16. 30 23 x xdx Bibliografa 13 http://personales.ya.com/casanchi/mat/funciongamma01.htm http://personal.telefonica.terra.es/web/imm/Imagenes/2ADE/MatIII/ejercicios/int_eulerianas.pdf http://www.blojer.com/labiblio/archivo/ingenieria/telecomunicaciones/calculo/algunos%20apuntes%20del%20primer%20cuatrimestre/INTEGRALES_EULERIANAS.pdf http://www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/05-06/primerciclo/analisis/Problemas/1eulerianas.pdf http://www.satd.uma.es/a_valverde/Calculo/apuntes/TemaC6.pdf