integrales impropias
-
Upload
luis-nina-ponce -
Category
Documents
-
view
52 -
download
0
Transcript of integrales impropias
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA MATEMATICA II
UNIDAD II INTEGRALES IMPROPIAS
Hasta ahora hemos estudiado integrales definidas sobre un intervalo cerrado [a, b] En este tema estudiaremos integrales de funciones continuas sobre intervalos semiabiertos ]a, b], [a, b[, sobre un intervalo abierto ]a, b[, sobre los intervalos [a , +∞[ , ]−∞
, b], ]−∞,+∞[ y sobre un intervalo [a, b] en el que tiene puntos de discontinuidad . Dichas integrales se conocen con el nombre de INTEGRALES IMPROPÌASEjemplos de integrales impropias
1. ∫1
∞dx
x2(x+1)
Es una integral impropia por que el límite superior es tiende al +∞ y la función
integrando f(x) = 1
x2(x+1) es continua en [1, +∞[
2. ∫−∞
∞dx
(x2+1)2
Es una integral impropia por que los limites inferior y superior tienden al −∞ y+∞,
respectivamente y la función integrando f(x) = 1
(x2+1)2 es continua en el intervalo ]
−∞ ,+∞ ¿.
3. ∫a
bxdx
√(x−a)(b−x ) , (a¿b¿
No está definida en x=a y en x=b pero es continua en en el intervalo ]a,b[, a<b.
Definición.- Decimosque la integral ∫a
b
f ( x )dx es IMPROPIA si:
1) “a” o “b” es infinito.2) La función integrando f(x) tiene puntos de discontinudad en “a” o en “b” o en alguna
parte “c” tal que a<c<b.
Si la integral impropia ∫a
b
f (x )dx resulta un numero real, diremos que es
CONVERGENTE
Si la integral impropia ∫a
b
f (x )dx resulta +∞ó−∞, diremos es DIVERGENTE
Solo estudiaremos las integrales impropias de primera clase (tipo I). A continuación se da un resumen de las integrales impropias de las dos clases.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO I
Definición.-
1. Si f(x) es continúa en 0≤x¿+∞, se define: ∫a
∞
f ( x )dx= limb→+∞
∫a
b
f ( x )dx
Ejemplo:
∫0
+∞
e−ax dx = limb→+∞
∫0
b
e−axdx , a > 0
= limb→+∞
¿]b0
= −1a
limb→+∞
¿[e−ab−e0]
= -1a
limb→+∞
¿[1
eab -1]
= −1a [0-1] =
1a
2. Si f(x) es continúa en −∞≤x¿b, se define: ∫−∞
b
f ( x )dx= lima→−∞
∫a
b
f ( x )dx
Ejemplo:
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE
Calcule la convergencia o divergencia de las siguientes integrales del tipo I
1. ∫−∞
1x
(x2+9)2dx Rpta.- 120
2. ∫−∞
+∞dx
x2+2 x+2 Rpta. π
3. ∫1
+∞ √x(1+x)2dx Rpta. π4 + 1
2
4. ∫5
∞dxx ln2 x
Rpta. 0
5. ∫−∞
+∞
e−|x|dx Rpta. 2
6. ∫1
+∞dx
x (x+1) Rpta. ln2
7. ∫1
∞
x e−xdx Rpta. 2e
8. ∫0
∞dxx2+4
Rpta. π4
Tacna, 17 de octubre del 2013 Docente: Ingº Luis Nina Ponce
7. ∫1
∞
x e−xdx