1

Instituto Tecnológico de Saltillo

UNIDAD 5 “Integración múltiple”

Cálculo Vectorial

Maestra: MC. Araceli Elizabeth Rodríguez Contreras

Equipo #5

Fernanda Nava Charles 14050210 Alexis Yaber García 14051210 Osvaldo Orta Salomón 14051234 Horacio Torres Navarro 14050210 Eduardo Marines de la Cruz 12050811 Adolfo López Rivera 15030504

20 de noviembre de 2015

2

Índice1.- Integrales Iteradas ………………………………………………………………………………………………………

.3

2.- Área de un región plana ...........................................................................................................

.8

3.- Comparación de órdenes de integración distintos

……………………………………………………………………………………………………….

25

4.- Integración doble y su cálculo ……………………………………………………………………………………………………... 295.- Volumen de una región acotada por 2 superficies

……………………………………………………………………………………………………….

32

3

1.- Integrales iteradas

Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.

Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.

4

Ejemplo #1 Siendo R la región limitada por las curvas y= x, y= y las rectas x

= =

A

A - -

A

5

𝑦=12 𝑥

2

x

x

6

Ejemplo #2.

7

𝑥=1

𝑥=0

𝑦=1+𝑥

𝑦=√𝑥

8

2.- ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA.

-CUANDO SUS LIMITES SON CONSTANTES.- CASO 1 (VERTICALMENTE SIMPLE)- CASO 2 (HORIZONTALMENTE SIMPLE)

9

Cuando sus limites son constantes:

Cuando nos encontramos con una función donde los cuatro limites son constantes, se trabajara de la siguiente manera:

Ya estos son constantes, la región de integración es rectangular. Como se muestra en la grafica.

x

d - c

b - a

y

b a

c

dÁrea=

La región puede ser simple verticalmente u horizontalmente ya que podemos usar cualquier orden de integración.

10

Solución: 1 Ejemplo

= y = d – c

d – c

d

c

b

a

11

Solución: 2 ejemplo

=

= =

[ ]-[ ]

d

c a

b

12

Área de una región. Una región plana como la que se muestra en la siguiente figura, puede ser representada como:

Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:

13

Cuya área, denotada como dA, esta dada por:

Entonces tal como se había mencionado, una integral doble sobre la región plana R tiene la forma:

d

Esta integral doble puede ser integrada de dos maneras:

14

Primero: Haciendo un barrido vertical.

∫𝑥=𝑎

𝑥=𝑏 [ ∫𝑦=𝑔(𝑥)

𝑦= 𝑓 (𝑥)

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑦 ]𝑑𝑥

15

Segundo: Haciendo un barrido horizontal.

∫𝑦=𝑐

𝑦=𝑑 [ ∫𝑥=𝑔( 𝑦)

𝑥= 𝑓 ( 𝑦)

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑥 ]𝑑𝑦

16

Ejemplo 1. VERTICALMENTE SIMPLE.Calcular donde R es la región limitada por y=2x, y=

17

Solución:

= x) = 2

dx = =

[) ] - [ 0 ] =

2x

𝑥2

2

0

18

Ejemplo 2. VERTICALMENTE SIMPLE.

19

Solución:

= x – 0 = x = =

= = =

ln 2 – ln1 = ln 2 =

x

0 0

1

1𝑥

0

2

1

20

Ejemplo 1: HORIZONTALMENTE SIMPLEMétodo de barrido horizontal.

∫0

4

∫𝑦2

√𝑦

𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦

21

Solución: = [] = =

=

= - =

√𝑦

𝑦2

4

0

22

Ejercicio 2 HORIZONTALMENTE SIMPLE.

23

Solución:

=

[4 (]-[4 ()] = 4 y - 4dy

Nota: realizaremos cambio de variable para poder solucionar la ecuación.

y

3√𝑦

24

Sustituir

- -2 = Realizar integral por partes, donde ) u=t, du=dt, dv = dt, v=

dt -2[t- ]

2 -2(t-)

22 -2(t-) = 2-2(1

1

o

1

o

25

3.- Comparación de ordenes de integración distintos

A la vista de los límites de integración propuestos, vemos que:

y² ≤ x ≤ 4 (Límites interiores)

De modo que la región o área a integrar está acotada a la izquierda por la parábola x = y² y a la derecha por la recta x = 4 Además, como:

0 ≤ y ≤ 2 (Límites exteriores)

26

La región anterior esta acotada por abajo por el eje x, como se mostró en la figura anterior. Y el valor de esa integral es el siguiente:

= = =

Para cambiar el orden de integración a colocamos un rectángulo vertical en la región, como se puede observar en la siguiente figura. Así vemos que las cotas constantes 0 ≤ x ≤ 4 sirven como límites de integración. Despejando y en la ecuación x = y podemos concluir que los límites interiores son 0 ≤ y ≤ √x. Por lo tanto el área de la misma región se puede representar por

27

=

=

= =

Con el cálculo de esta integral, comprobamos que da el mismo valor que la integral dada originalmente.

Cambio de orden de integración

X = y X = y

Cambio de orden

A =

29

4.- Integral doble y su cálculo La integral doble es integrar funciones de dos variables f(x,y) para lo cual se emplearan las mismas técnicas que se utilizaron en la evaluación de las integrales simples. Sin embargo como se incluyen dos variables, se debe integrar f(x,y) manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra.

(a) Área bajo una curva y (b) Volumen debajo de una superficie.

30

31

Ejemplo

32

5.- Volumen de una región acotada por dos superficies Ejemplo 1

Paso 1 dx dxPaso 2

dx =

33

Paso 32+2x

+2(4)ResultadoV=24

34

Ejemplo 2 Paso 1

dxdxPaso 2dx =

35

Paso 312.5 12.5 ResultadoV = 56.25