Integrales sol

SOLUCIONES

EJERCICIOS INTEGRALES Ejercicio nº 1.-

Sabiendo que la gráfica de f(x) es la siguiente:

4

6

8

2

6 82 4 4 2 8 6 2

4

6

Y

X

Calcula:

xf

6

0

Solución:

Vamos a distinguir dos recintos:

6,4 II ,4,0 I

El área del recinto I es:

3. altura y 4 base de triángulo un es que ya,u 62

34 2

El área del recinto II es:

3. altura y 2 base de triángulo un es que ya,u 32

32 2

Por tanto:

26

0u 3 3 6 II recinto área I recinto área xf

Ejercicio nº 2.-

:calcula ,32 función la Dada 2 xxxf

xf6

0 a)

xf

0

1 b)

Solución:

2

33

232

232 xx

xxxG

6

131;00;

2

93 GGG

29

029

03 a)3

0 GGf

6

136

13010 b)

0

1

GG

Ejercicio nº 3.-

4][0, intervalo

el en eje el y6 parábola la por limitado recinto del área el Halla 2 Xxxxf

Solución:

Puntos de corte con el eje X:

3

2

22411

x 0 62

12

x

xxx

En el intervalo [0, 4] solo está x2 = 3.

Hay dos recintos: I [0, 3]; II [3, 4]

xxx

xxxG 623

6 23

2

3

324;

2

273;00

GGG

2

2703 I recinto del Área GG

6

1734II recinto del Área GG

2u3

49

6

17

2

27 total Área

La gráfica no es necesaria, pero la incluimos para visualizar el resultado:

4

6

8

2

6 82 4 4 2 8 6 2

4

6

Y

X

f(x ) x x= 62

Ejercicio nº 4.-

Las siguientes gráficas corresponden a las funciones:

22

33 x

yexxy

y x x= 23

y= x 3

2

4

6

8

2

6 82 4 4 2 8 6 2

4

6

Y

X

Calcula el área del recinto limitada por ellas.

Solución:

xxx

xx 222

2 33

3

.2,0,20404022 321

233

xxxxxxxxx

Hay dos recintos: I [-2, 0]; II [0, 2]

243

82

2 x

xx

xxG

22;00;22 GGG


202 II recinto del Área GG

Área total 2 2 4u2

Ejercicio nº 5-

Dada la gráfica de la función f (x):

1

I

II

2 f x( )

2

1 2 1 2

Y

X

:calcula,u 2

19 es II recinto del área el que yu 2 es I recinto del área el que sabiendo 2 2

xf

2

2

Solución:

22

2u

2

15

2

192 II recinto área - I recinto área

xf

Ejercicio nº 6.-

:siendo ,Calcula2

0xf

21si2

10si12

x

xxxf

Solución:

Entre 0 y 1:

xx

xxG 31

32

1

00;3

41 11 GG

34

011 112

1

0 GGx

Entre 1 y 2:

xxG 222

21;42 22 GG

224122 22

2

1 GG

Por tanto:

3

102

342

0 xf

Ejercicio nº 7.-

.2 0, intervalo el en eje el y1 función la entre acomprendid área el Calcula 2 Xxy

Solución:


1,101 212 xxx

Solo nos sirve x 1 en el intervalo [0, 2].

Tenemos dos recintos:

I [0, 1]; II [1, 2]

xx

xxG3

1 3

2

3

22;

3

21;00

GGG

32


34


2u23

6

3

4

3

2 total Área

La gráfica no es necesaria; la incluimos para visualizar el resultado:

2

3

1

1

2 31 1 2

Y

X

y x= 12

I

II

Ejercicio nº 8.-

Halla el área comprendida entre la curva y = 2x2 + 2x - 1 y la recta y = 4x + 3.

Solución:

42234122 22 xxxxx

2

1

2

811020422

2

122

x

xxxxxx

xxx

xxxG 43

2422 2

32

3

202;

3

71

GG

2u 91G2G Área

Las gráficas no son necesarias, pero las incluimos para visualizar el resultado:

y x x= 2 + 2 12 y x= 4 + 3

4

6

8

1 0

2

6 82 4 4 2 8 6 2

Y

X

Ejercicio nº 9.-

La gráfica de una cierta función, f(x) , es la siguiente:

4

6

8

2

6 82 4 4 2 8 6 2

4

6

Y

X

A partir de esta gráfica, calcula:

xf4

0

Solución:

Vamos a distinguir dos recintos:

4,3 II ,3,0 I

El área del recinto I, que es un trapecio, es:

2u 2

15

2

323

El área del recinto II, que es un triángulo, es:

2u2

3

2

31

..Por tanto:

24

0u 6

2

12

2

3

2

15 II recinto del área I recinto del área xf

Ejercicio nº 10.-

Resuelve la siguiente integral:

32 23

1 x

Solución:

xx

xxG 33

232

32

3

111;273 GG

3

70

3

11271332 2

3

1 GGx

Ejercicio nº 11.-

. eje el y2 función la por limitada área el Halla 23 Xxxxy

Solución:


21

2

31

2

811

0

0202

3

2

1223

xx

x

x

xxxxxx

Hay, entonces, dos recintos:

10II02I ,;,

234

23

342 x

xxxxxxG

12

51;00;

3

82

GGG

3


12


2u 12

37

12

5

3

8 total Área


y x x x= + 23 2

2

4

2

2 4 2 4

Y

X

Ejercicio nº 12.-

.1 e 1 curvas las por limitado recinto del área el Calcula 22 xyxy

Solución:

2211 222 xxx

1,1022 212 xxx

xx

xxG 23

222

32

3

41;

3

41

GG

2u3

811 Área GG


1

2

2

1

1 2 1 2

Y

X

y x= 12

y x= 1 2

Ejercicio nº 13-

. eje el y 4 función la por limitado recinto del área el Halla 3 Xxxxf

Solución:


2,0,20404 32123 xxxxxxx

20II02 I :recintos dos Hay ,;,

24

3 24

4 xx

xxxG

42;00;42 GGG



Área total 4 4 8 u2


f(x ) x x= 43

2

4

2

2 4 2 4

Y

X

Ejercicio nº 14.-

Calcula el área limitada por la parábola y = x2+1, la recta y = 4x -3 y el eje Y.

Solución:

44341 22 xxxx

20442 xxx

Hay un recinto [0, 2].

xxx

xxxG 423

44 23

2

00;3

82 GG

2u3

802 Área GG


y x= + 12

y x= 4 3

4

6

8

1 0

2

6 82 4 4 2 8 6 2

Y

X

Ejercicio nº 15.-

Calcula:

2

41

02

3x

x

Solución:

3

2

152

3

352

4 xxx

xxG

00;5

31 GG

5

3012

3 2

41

0

GGx

x

Ejercicio nº 16.-

1. y1 rectas las y eje el 3,2 función la entre acomprendid área el Calcula 2 xxXxxy

Solución:


2

12420322

xxx

No corta al eje X.

xxx

xxxG 33

32 23

2

3

131;

3

71

GG

2u3

2011 Área GG


2

4

6

2 4 2 4

Y

X

f(x ) x x+= + 2 32

Ejercicio nº 17.-

.1y2,52 curvas las entre acomprendid área el Calcula 22 xxxyxxy

Solución:

xxxxxx 3252 222

3,003 212 xxxx

Hay dos recintos: I [-1, 0]; II [0, 3]

2

33

3 23

2 xxxxxG

2

93;00;

6

111

GGG

6


2


2u3

19

2

9

6

11 total Área


y x x= 22

y x x= 2 52

4

6

8

1 0

2

6 82 4 4 2 8 6 2

4

Y

X

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