Integrales Triples 2

5/6/2018 Integrales Triples 2 - slidepdf.com

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FACULTAD DE INFORMÁTICA ANÁLISIS MATEMÁTICODPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA 2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE

1

PROBLEMAS resueltos DE INTEGRALES MÚLTIPLES

1. Calcular el valor de la integral:

I = zdxdydz

V

∫∫∫ dónde V es el recinto acotado del semiespacio z ≥ 0 interceptado por la esfera x y z

2 2 21+ + = y

el cono x y z2 2 2+ = .

SOLUCIÓN: Haciendo el cambio a coordenadas

esféricas:

x

y

z

=

==

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ

ρ ϕ

Sen Cos

Sen Sen

Cos

la integral

queda

[ ] .8

28

24

4

2

40

4

0

4

0

2

0

4

0

1

0

3

π ϕ

π ϕ ϕ

π

ϕ ϕ ϕ π

ρ ϕ ϕ ρ ϕ θ

π π

π π

π

=−==

===

∫

∫ ∫ ∫ ∫

Cosd Sen

d CosSend CosSend d I

2. Calcular el volumen del sólido en el primer octante limitado por la superficie de ecuación( ) z x e

y=

+- x2 2

y por el plano z = 0 .

SOLUCIÓN: Del enunciado se deduce que el sólido se puede expresar como

( )S x y z x y z x e

y= ≥ ≥ ≤ ≤

+( , , ): , ,0 0 0

2- x2

.

Por lo tanto su volumen se obtiene de la siguiente forma

( )Vol S x e dydx

y( ) =

+∞∞

∫ ∫ - x2 2

00

,

Con el cambio a polares x Cos

y Sen

==

ρ θ

ρ θ ρ J = ,la integral queda

Vol S Cos d Cos d ( ) = =

−∞

−∞

∫ ∫ ∫ ∫ ρ θ ρ θ θ θ ρ ρ ρ

π π

ρ 2

00

2

0

22

0

2 2

e d d e ,

y como




2

1

2

0

=∫ π

θ θ d Cos { }ρ ρ ρ π ρ 2

0

21

2

0

2 1

2

12

4 4e e−

∞−

∞

∫ ∫ = = = = =d x x dx xΓ ( )

,

resulta que el volumen pedido vale Vol S( ) =π

4.

Cabe observar que al obtener el volumen como resultado de una integral doble impropia (límites deintegración infinitos), éste se puede plantear como el límite de la sucesión de integrales dobles siguiente:

( )Vol S lím x e dxdy

n

y

Bn

( ) =→∞

+∫∫ - x2 2

donde { } B x y x y n x yn = + ≤ ≥ ≥( , ): , ,2 2 2 0 0 , pues, evidentemente

{ }lím B x y x yn

n→∞

= ≥ ≥( , ): ,0 0 ="primer cuadrante". El lector comprobará que se obtiene el mismo

resultado.

3. Calcular, con un cambio de variable adecuado la integral triple:

x y z x y z dxdydzn n n n n n

V n

− − − − − −∫∫∫ 1 1 1 1

donde ( ){ }V x y z x y z x y znn n n= ≥ ≥ ≥ + + ≤ , , : , , ,0 0 0 1 , siendo n cualquier número natural sin

concretar y mayor que uno.

SOLUCIÓN: El cambio de variable

{ }u x v y w zn n n= = = , , , de Jacobiano

J n x y z J xyzn n n

uvw=− − −3 1 1 1 1 , transforma el sólido de integración en

( ){ }V u v w u v w u v wn* , , : , , ,= ≥ ≥ ≥ + + ≤0 0 0 1 .

Por lo tanto, aplicando dicho cambio, la integral

planteada queda como

x y z x y z dxdydzn n n n n n

V n

− − − − − −∫∫∫ 1 1 1 1 =

=1

13n

u v wdudvdw

V n

− − −∫∫∫ *

=

=13n

du dv u v wdwu u v

0

1

0

1

0

11∫ ∫ ∫

− − −− − − =

8

105 3n.

4. Calcular el volumen del sólido limitado por la superficie de ecuación:

( ) ( ) x y z a x a2 2 22

3 0+ + = > .

SOLUCIÓN:




3

Comprobando que dicho sólido se encuentra en el semiespacio x ≥ 0 y que es simétrico respecto de los

planos y=0 y z=0, obtenemos que el volumen total es cuatro veces el

del sólido en el primer octante. Para calcular éste, a la vista de la

ecuación de la superficie parece adecuado un cambio a coordenadas

esféricas:.

La ecuación de la superficie tras el cambio realizado queda:

ρ θ ϕ 3 3

= a Cos Sen , transformándose el sólido en el primer octante

en ( ){ }S a* , , : ,= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ρ θ ϕ ρ θ ϕ θ π ϕ π Cos Sen ,0 0 2 0 23 . Así, el volumen pedido es:

Vol d d d

S

= ∫∫∫ 4 2ρ ϕ ρ θ ϕ Sen

*

= 4

2 2

2

0

3

d d d

a

θ ϕ ϕ ρ ρ

π π θ ϕ

0 0

Cos Sen

Sen∫ ∫ ∫ =4

3

32 2

ad d θ θ ϕ ϕ

π π

0

2

0

Cos Sen∫ ∫ =

4

3

32 2

ad d Cos Sen

0

2

0

θ θ ϕ ϕ

π π

∫ ∫ =4

6

1

2

3

2

3a β ,

=

π a 3

3.

5. Dada la función f x y( , ) definida en el rectángulo

[ ] [ ] ( ){ }0 1 0 1 0 1 0 1, , , : ,× = ≤ ≤ ≤ ≤ x y x y ,como f x y

y x y

x y x( , )

,

,

,

=

< < <

− < < <

1

0 1

10 1

0

2

2

si

si

resto del rectangulo

se pide demostrar que: f x y dxdy f x y dydx( , ) ( , )≠∫ ∫ ∫ ∫ 0

1

0

1

0

1

0

1

SOLUCIÓN:Calculamos

primero: f x y dxdy y

dx x

dx dy

y

y

( , )

0

1

0

1

2 2

1

00

1

1 1∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = −

=

= + −

=∫ 1

11

1

0

1

y ydy . La segunda de las integrales es:

f x y dydx x

dy y

dy dx

x

x

( , )

0

1

0

1

2 2

1

00

11 1∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − +

= − − +

= −∫

11

11

0

1

x xdx .

Queda, por lo tanto, comprobado lo demandado en el enunciado del problema.

6. Calcular el volumen del sólido limitado por el plano z = 0 y las superficies

x y az x y ax a2 2 2 2 2 0+ = + = > , , , utilizando: a)Integral doble. b)Integral curvilínea.

SOLUCIÓN:

a)Descripción del sólido: x y az2 2+ = es un paraboloide de sección circular con vértice en el

origen y se encuentra en el semiespacio z ≥ 0 , x y ax2 2 2+ = es un cilindro vertical de sección circular.

a.1. Cálculo en coordenadas cartesianas.

x

y

z

=

=

=

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ ϕ

ρ ϕ

Cos Sen

Sen Sen

Cos

J = Sen2




4

Vol(V)= dx dy

D

∫ ∫ + y x

a

² ² ,

donde D={(x,y): 222)( a ya x ≤+− }, luego

Vol(V) = ∫ ∫ −− )²(²

0

2a

0

dxdyy²)+(x²2

a xa

a=

=2

3)

2

5 ,

2

5(

3

)2( +)

2

3 ,

2

7 ((2a)

2 344 aa

a

π β β =

.

a.2. Cálculo en coordenadas polares.

Con el cambio de variable

x = a+aρCosθ,

y = aρSenθ,

resulta

Vol(V) = ∫ ∫ =π

π ρ θ θ ρ ρ ρ

2

0

31

02

3d )dCos2a²+a²+²(a²a²

1 a

a.

b)Cálculo usando integral curvilínea:

Usamos el Teorema de Riemann y, para ello, hemos de encontrar P(x,y) y Q(x,y) continuas, con

derivadas parciales acotadas e integrables en D y tales que

y x

a

² ² +

=

dQ

dx

dP

dy-

, ∀(x,y) ∈ D,

pues, entonces, podemos afirmar que Vol(V) = dx dy

D

∫ ∫ + y x

a

² ² = Pdx + Qdy

γ

∫ ,

donde γ es la circunferencia de centro (a,0) y radio a. Obligamos a que

y x

a

dQ

dx

dP

dy

² ² +

∀ ∈

= - , (x,y) D =dQ

dx

dP

dy-

, ∀(x,y) ∈ D,

de donde resulta que, por ejemplo,

P(x,y)= -y3 /3a, Q(x,y)= x3 /3a.

Será, entonces,




5

Vol(V) = ∫ −

g

33dy)x+dx(-y

3

1

a=

=2

3Cost)dt+t3Cos+t3Cos+tCos+t(Sen3

32

0

23443 aa π

π

=∫ .

7. Dados el paraboloide x y z2 2 2+ = y la esfera ( ) x y z2 2 211 25+ + − = , calcular, usando integrales

múltiples, el volumen que es interior simultáneamente a ambas superficies.

SOLUCIÓN:

La proyección en el plano z = 0 del volumen es el recinto

limitado por la circunferencia x y2 2 24+ = . Sin embargo,

advertimos que hay dos partes diferenciadas en el sólido cuyo

volumen se quiere calcular. Por los puntos tales que

x y2 2 16 + ≤ la vertical entra en el sólido por la esfera y

sale también por la esfera. Pero por los puntos tales que

16 242 2≤ + ≤ x y la vertical entra en el sólido el

paraboloide y sale por la esfera.

Entonces,

Vol= V V 1 2+ ,

donde

( )

( )

V dxdy dz

x y

x y

x y

1

11 25

11 25

16 2 2

2 2

2 2

=

− − +

+ − +

+ ≤∫ ∫∫

( )

( )

V dxdy dz

x y

x y

x y

2

2

11 25

16 24 2 2

2 2

2 2

=+

+ − +

≤ + ≤∫ ∫∫ .

Para calcular el primer volumen hacemos una traslación de la esfera al origen , aplicamos simetrías y un

cambio a cilíndricas, quedando

( )

V dxdy dz

x y

x y x y

1

0

25

16 0

8

2 2

2 2

=

− +

+ ≤≥

∫ ∫∫ ,

=

x Cos

y Sen

z z

J d d

=

=

=

=

= =∫ ∫ ∫ −ρ θ

ρ θ ρ ρ ϑ ρ

π ρ

, 8

0

4

0

2

0

25 2

dz

( )= − = − −

=

∫ 8

2

25 22

3

25392

3

2

0

4

23

2

0

4π

ρ ρ ρ π ρ π

d

Para calcular el segundo volumen aplicamos simetrías con respecto a x e y, y un cambio a polares,

quedando

( )( )

V x y x y

dxdy

x y x y

22 2

2 2

16 240

4 11 252

2 2

= + − + −+

=≤ + ≤≥

∫∫ ,

= x Cos

y Sen J d d

=

==

= + − −

=∫ ∫

ρ θ

ρ θ ρ ϑ ρ ρ

ρ ρ

π π

, 4 11 252

76

30

22

2

4

2 6

.




6

Entonces:

Vol= V V 1 2+ =392

3

π +

76

3

π =156π

8. A) Dado un sólido tridimensional T acotado inferiormente por el semicono z x y= +2 2y

superiormente por la superficie x y z2 2 2 1+ + = , calcular la integral triple

( )e dxdydz

x y z

T

2 2 23

2+ +∫∫∫ B) Basándose en el apartado anterior calcular ahora la integral

( )e dxdydz

x y z

T

2 2 23

24+ +∫∫∫

SOBRE el sólido tridimensional T acotado inferiormente por el semicono z x y= +2 2

4 ysuperiormente por la superficie x y z2 2 24 1+ + = .

SOLUCIÓN:

A) Haciendo el cambio a coordenadas esféricas:

x

y

z

===

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ

ρ ϕ

Sen Cos

Sen Sen

Cos

la integral

queda

( )

I d d e Sen d e d Sen

e

= =

= − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4

4

2

2

31 1

2

2

2

0

1

0

4

0

22

0

1

0

43 3

θ ϕ ρ ϕ ρ

π

ρ ρ ϕ

π

ρ

π π

ρ

π

.

B) Ahora podemos actuar de dos maneras para llegar a lo anterior. La primera es

comenzar haciendo el cambio de variables:

x u

yv

z w

J u v w

=

=

=

=2

1

2( , , ) ,

que transforma las superficies que acotan al sólido en las de ecuaciones:

w u v v w= + + + =2 2 2 2 2 1u

y la integral queda

I=( )1

2

2 2 23

2

e dudvdwu v w

T u v w

+ +=∫∫∫

, ,*

( )π

31 1

2

2. e − −

.

La segunda forma de enfocar el problema es haciendo el cambio a esféricas:

x

y

z

J

=

=

=

=

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ

ρ ϕ

ρ ϕ

Sen Cos

Sen Sen

Cos

Sen12

12

2




7

con el que la integral queda

( )

I d d e Sen d e d Sen d

e

= = =

= − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 22

2

31 1

2

2

2

0

1

0

4

0

22

0

1

0

43 3

θ ϕ ρ ϕ ρ π

ρ ρ ϕ ϕ

π

ρ

π π

ρ

π

.

9. a) Calcular el volumen del sólido acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por la

superficie 9 9 16 4 32 2 2 2 2 x y z+ + = y lateralmente por el cilindro x y y2 2 4 0+ − = .

b) Lo mismo para el sólido inferiormente por el plano xy, superiormente por la superficie

b x b y a z a b2 2 2 2 2 2 2 2+ + = y lateralmente por el cilindro x y ay2 2 0+ − = .

SOLUCIÓN:a) La proyección sobre el suelo del sólido coincide con la sección recta del cilindro, esto es, la

circunferencia de ecuación x y2 22 4+ − ≤( ) .La superficie que lo limita superiormente es el elipsoide

del enunciado, de ecuación

x y z2

2

2

2

2

24 4 31+ + = . Por lo tanto y gracias a la simetría con respecto a la

variable x del sólido, se puede expresar el volumen como:

Vol =

6 14 4

2

2

2

2

2 4

0

2 2

− +

+ − ≤

≥

∫∫ x ydxdy

x y

x

( )

=

x

y J

==

=4

416

ρ θ

ρ θ ρ

Cos

Sen( ) =

= 96 1 2

02

0

ρ ρ θ ρ

θ π

ρ θ

−

≤ ≤

≤ ≤

∫∫

Sen

d d = 16 π −

4

3

.

b) El sólido del que se habla es una

generalización del del anterior apartado.

Ahora los semiejes del elipsoide, uno de

los cuales coincide con el diámetro de la

circunferencia-proyección son las

constantes de valor no concreto a y b. Así

las cosas el volumen lo calculamos

integrando:

Vol =

( )

2 12

2

2

2

2 2

0

2 22

b x

a

y

adxdy

x y a a

x

− +

+ − ≤

≥

∫∫ ( )

= x a

y a J a

==

=ρ θ

ρ θ ρ

Cos

Sen( )2 =

= 2 12 2

02

0

a b d d

Sen

ρ ρ θ ρ

θ π

ρ θ

−

≤ ≤

≤ ≤

∫∫ =a b2

3

4

3π −

.




8

10. Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies

( )222222 y1 y xb zb z y x +=−=++

siendo b un número mayor que uno y supuestamente conocido (parámetro del problema).

SOLUCIÓN:

El sólido en cuestión está acotado inf. Por el semicono y superiormente por la esfera dados en el

enunciado (es como un helado de cucurucho).

Por lo tanto el volumen lo calculamos con la siguiente integral:

VOL=

( )

( )

∫∫ ∫ −≤+

+−−

+1

1

22

222

22b y x

y xb

y xb

dzdxdy

: Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas y

aplicando simetrías:

===

z z

Sen y

Cos x

θ ρ

θ ρ

la integral queda:

VOL= ρ ρ ρ ρ π ρ ρ θ

π ρ

ρ

d bbdzd d

bb b

b

∫ ∫ ∫ ∫ −− −−

−−−=

1

0

222

2

0

1

0

1

124

22

2

=

= ( ) { }bbbb −+−− 1113

2 2π

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