Interpolación polinómica

s un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su

imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.

El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la

función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.

Se llama interpolación polinómica

al proceso de hallar un polinomio

de grado menor o igual a m

E

Quien descubre la interpolación polinómica de Lagrange

ue descubierto por Edward Waring en 1779

y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.En análisis numérico.

El polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que

interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange.

Aunque el polinomio interpolador de Lagrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto fácilmente en una computadora, también tiene otras

aplicaciones en el campo del álgebra exacta, lo que ha hecho más célebre a este polinomio, por ejemplo en el campo de los proyectores ortogonales:Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita E en el que definimos un producto escalar

F

Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y

Gauss

olinomio Interpolante de Newton-Gregory Cuando la función ha sido tabulada, se

comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).

Polinomio Interpolante de Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.

P

Interpolación De Hermite

La gran ventaja de la interpolación de Hêrmite es que al derivar en ciertos puntos el polinomio de interpolación, sus derivadas valen igual que las derivadas de la función original, además de interpolar. El precio a pagar es que el polinomio será de n grados más alto de lo necesario.

Las aplicaciones que puede tener por ejemplo es si tú tienes

información de la longitud, velocidad y tiempo sobre un vehículo, con el polinomio de Hêrmite puedes recoger toda esa información, sin perderla. (Las velocidades serían las derivadas).Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma

única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas

Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale

decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta fu

nción de peso.