Intersecciones y Verdadera Magnitud de Una Recta

8/3/2019 Intersecciones y Verdadera Magnitud de Una Recta

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9-1 Apuntes de dibujo tcnico

INTERSECCIN DE PLANOS

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INTERSECCIONES Y

VERDADERA MAGNITUD

DE UNA RECTA

Casos de interseccin. Verdadera magnitud de una recta. Interseccin de recta y plano. Planos

que pasan por una recta.

TEMPORALIZACION: 5 horas

Como caso general el proceso para determinar las proyecciones de la rectainterseccin consiste en llevar, desde donde se cortan las trazas verticales delos planos, una perpendicular a la LT y desde sta unimos con el punto dondese cortan las trazas horizontales de los planos; obtenemos as la proyeccinhorizontal de la recta interseccin.

Para obtener la proyeccin vertical de la recta interseccin llevamos, desde elpunto de corte de las trazas horizontales de los planos, perpendicular a la LT ydesde sta unimos con el punto de corte de las trazas verticales de los planos,que ser la proyeccin buscada.

Para poder estudiar mejor el problema de la interseccin de planos dividiremoslos distintos casos en 4 grupos. El modelo general corresponde al caso 1-1:interseccin de plano oblicuo con plano oblicuo. Fig.9.1. La columna de laizquierda corresponde a cada tipo de plano; cada nmero de las filas de laderecha corresponde al plano con que se intersecciona el nmero de la columnaizquierda.


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Intersecciones; Verdadera magnitud de la recta 9-2

Los 8 t ipos de plano

Caso 1-1: Plano oblicuo con plano oblicuo

Grupo 1 1234

1-2-3-4-5-6-72-3-4-5-6-73-4-5-6-75-6-7


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En el caso 1-2 (interseccin de plano oblicuo con plano proyectante horizontal),cuando las traza horizontal del plano oblicuo y la horizontal del plano proyectan-te son paralelas, la interseccin de ambos planos se explica teniendo en cuentaque las trazas horizontales al ser paralelas se cortan en el infinito; y por tanto laproyeccin vertical de la recta interseccin ser paralela a la LT.

Siguiendo con el proceso general, para hallar la proyeccin vertical de la rectainterseccin llevamos desde el punto donde se cortan las trazas horizontales delos planos (el infinito) perpendicular a la LT y desde sta unimos con el puntodonde se cortan las trazas verticales de los planos (recurdese que dado quelas trazas horizontales se cortan en el infinito, la perpendicular a la LT que se

debe levantar desde este punto unin, se encuentra tambin en el infinito y porltimo, para retornar al punto de corte de las trazas verticales deberemos trazaruna paralela a la LT hasta dicho punto de corte).


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Observado el caso 2-2 podemos sacar como conclusin que cuando dos planosson perpendiculares a uno de los de proyeccin, la recta interseccin es unpunto en el de proyeccin donde se cortan las trazas.


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Fig.9.9


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Fig.9.11

Grupo 2 56

7

6-7-87-8

7-8

Para realizar las intersecciones de este 2 grupo necesitamos ayudarnossiempre del plano de perfil. El caso general de este 2 grupo es el caso 7-7.Fig.9.11

Dos planos se cortan de forma que su interseccin slo es apreciable en elplano de perfil. Giramos dicho plano de perfil sobre el vertical de proyeccin y seobserva con facilidad que la interseccin de los dos planos tiene la misma cota

2que la proyeccin vertical, R , de la recta interseccin, mientras que el aleja-miento existente entre la interseccin de los planos y el vertical de proyeccin

1ser ele alejamiento de la proyeccin horizontal de la recta interseccin, R .


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Fig.9.14

Grupo 3 8 1-2-3

Para realizar esta interseccin debemos encontrar dos puntos comunes aambos planos. Uno de los puntos ser el de interseccin del plano oblicuo y del

1 2plano que pasa por la LT con los de proyeccin, B /B .El otro punto A, tiene que estar contenido en una recta perteneciente al plano

oblicuo y a su vez contenido en una recta del plano paralelo a la LT. Para ellodibujamos una recta cualquiera R del plano que pasa por la LT y otra S delplano oblicuo de forma que ambas rectas tengan la misma cota. El punto de

1 1interseccin de las proyecciones horizontales de las rectas, R y S determinarlas proyecciones del punto A, segundo punto buscado. La unin de las proyec-ciones de los puntos A y B sern las proyecciones de la recta interseccin.En las figuras 9.14 y 9.15 observamos el proceso para la obtencin del casogeneral de las intersecciones del grupo 3


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Fig.9.15


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Grupo 4: Cuando por cualquier motivo, no puede obtenerse la interseccinde los planos del grupo 1 se cortan ambos planos por un auxi-liar, siendo aconsejable que estos sean paralelos al horizontal oparalelos al vertical de proyeccin.

Ejercicio 1


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Ejercicio 2

Interseccin de recta y plano. Fig.9.19

Para hallar la interseccin de una recta con un plano hacemos pasar un plano que contenga a la recta dada, R. Al cortar el plano al plano dado ", obtendre-mos una recta interseccin L. El punto donde la recta R corta a la recta inter-seccin L, es el punto de interseccin, I, de recta y plano.

Planos que pasan por una recta. Fig.9.20

Por una recta pasan infinitos planos. Para ello, las trazas del plano deben pasarpor las dos trazas de la recta.


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VERDADERA MAGNITUD DE UNA RECTA

Fig.9.21

La verdadera magnitud de un segmento es la hipotenusa de un tringulo uno decuyos catetos es la proyeccin horizontal del segmento y el otro la diferencia decotas entre los puntos extremos del segmento. Fig.9.21

En la Fig.9.21, si proyectamos un segmento A-B sobre un plano, obtendremos

1 1una proyeccin A -B . Si trazamos por el punto de menor cota, una paralela adicha proyeccin, observamos que dicha paralela es igual a la proyeccin y portanto se forma un tringulo rectngulo, donde como hemos dicho, la hipotenusaes la verdadera magnitud del segmento, otro cateto es la paralela a la proyec-

1 1cin A -B , y el restante es igual a la diferencia de cotas entre los puntosextremos del segmento.


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Fig.9.22

Para hallar en didrico la verdadera magnitud de una segmento de recta

1 1Fig.9.22, abatimos el cuadriltero A-B-A -B sobre el pH con lo que observamos

1como las lneas de proyeccin quedan perpendiculares a R ; por ello trazamospor los extremos de dicho segmento perpendiculares a la proyeccin horizontalde la recta. Sobre dichas perpendiculares llevamos las cotas de sus puntos:

1 1sobre la perpendicular de A la cota del punto A y sobre la perpendicular de B ,la cota del punto B. Uniendo las cotas medidas en las perpendiculares tendre-mos la verdadera magnitud de la recta (VMG). El mtodo puede abreviarse sipor la proyeccin vertical del punto de menor cota trazamos una paralela a la

LT, con lo que obtendremos la diferencia de cotas m-n. En este caso, para hallarla VMG, nicamente necesitaremos trazar una perpendicular a la proyeccinhorizontal de la recta, por la proyeccin del punto de mayor cota, sobre la quellevaremos la diferencia de cotas m-n, antes hallada. Uniendo la medida de ladiferencia de cotas con la proyeccin horizontal del punto de menor cota,obtendremos la verdadera magnitud.


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Hallar la interseccin de un plano " que pasa por la LT y definido por un puntoM de cota 4 cm. y 6 cm. de alejamiento, con un plano paralelo al planovertical.El alejamiento de son 2 cm.Se pide hallar la cota de la recta interseccin.

2.- Un plano cuya traza vertical forma 30 con la LT y 60 la traza horizontal, secorta con un plano paralelo a la LT de igual cota que alejamiento. Hallar la rectainterseccin.

3.- Hallar la interseccin de 3 planos ", y B, siendo " proyectante horizontal, proyectante vertical y B paralelo a la LT.

4.- Dados un plano " (oblicuo) y un plano (de canto), hallar su interseccin.

2 25.- Encontrar las trazas verticales p -q de dos planos oblicuos de los que se

1 1 1 2conocen sus trazas horizontales p y q , as como el punto i -i de su intersec-cin.

6.- Hallar la interseccin de un plano oblicuo con una recta perpendicular a ste.

7.- Hallar la interseccin de dos planos oblicuos opuestos, cuyas trazas horizonta-les se cortan fuera del papel.

8.- Hallar la interseccin de los planos P(-50, 66, 42) y Q(84, 26, 42)


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1 29.- Hallar el punto de interseccin de la recta r -r con el plano

1 210.- En la figura, el punto A , A pertenece a la interseccin de dos planos, de cadauno de los cuales slo se conoce una traza. Hallar esa interseccin. (Trasladarestos datos al papel del examen)(Selectividad. Navarra. 1992)


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EJERCICIOS RESUELTOS

CAPITULO 8

1.- Dibujado el plano segn losdatos representamos la hori-zontal, de las cuales la mscomn es la oblicua al planovert ica l de proyecc in(Fig.7.19).Para que un punto A pertenez-ca al plano P dado, ha de per-tenecer tambin a una rectacualquiera de dicho plano. Por

1tanto, situando un punto A(A -

2 A ) en la horizontal del planotendremos un punto del plano.Una recta de mxima inclina-cin es aquella que tiene su proyeccin vertical perpendicular a la traza vertical

2 2del plano. Haciendo pasar por A una proyeccin perpendicular a P obtendre-

mos fcilmente dicha recta de mxima inclinacin.

2.- Una lnea de mxima pendien-te (l.m.p.) es aquella que tienesu proyeccin horizontal per-pendicular a la traza horizontaldel plano, por lo tanto pararepresentar dicha lnea en elplano proyectante basta dibu- jar una lnea, que cumpliendodicha condicin pertenezca al

plano ".Para conseguir un punto decota 8 mm en la l.m.p. trazare-mos una paralela a la LT a 8mm de ella que al cortarse con

2" nos determinar el punto pedido A.


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Ejercicio 4

3.- Hllense las trazas de la l.m.p.Aplicando lo explicado para elejercicio anterior se puede

resolver ste haciendo pasar

1la traza horizontal " perpendi-cular a la l.m.p.La traza vertical del plano ne-cesariamente ha de pasar porla traza vertical de la l.m.p.para que dicha lnea pertenez-ca al plano.

4.- Primeramente se halla la otraproyeccin del punto, auxilin-

2dose de la horizontal S del plano que pasa por l, siendo S la paralela a la LT,

2 1 1 1 1 1trazada por A y S , a " . Refieriendo A a S , se obtiene A .La recta de mxima pendienteR se proyecta horizontalmen-

1 1te, segn la normal R a " ,

1 1trazada por A , que corta a "

R Ren H , siendo R/ AH . Comocomprobacin, la traza vertical

R 2V incide con la traza " delplano.

5.- En primer lugar se halla la rec-ta AB en verdadera magnitudpara lo cual proyectamos elplano de perfil sobre el verticalde proyeccin.Se determina el punto mediodel segmento AB y una vezhallado localizamos el segmento MN, extremos del dimetro de 10 mm delongitud.Una vez dibujados M y N bas-

ta seguir el sentido de las fle-chas para desabatir el planode perfil y hallar las proyeccio-nes del segmento.

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