Intersticios

Estructura materiales cristalinos

Beatriz Aranda

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TEMA 1

ESTRUCTURA DE LOS

MATERIALES

CRISTALINOS


Beatriz Aranda

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1.- Estructura atómica y enlaces en los sólidos.

Según la mecánica cuántica el átomo se compone de un núcleo con carga

positiva, constituido por neutrones y protones, rodeado de una nube de electrones de

carga negativa, que se encuentra unido al núcleo por fuerzas electrostáticas. Estudiando

el comportamiento de las partículas frente a campos eléctricos y magnéticos, se

determinó que el neutrón es una partícula de carga positiva, mientras que el electrón es

una partícula de carga positiva, siendo en ambos casos su carga de 1.6 x 10-9 C. El

núcleo contiene el 989.9% de la masa total del átomo en sólo el 0.01% de su diámetro.

El tamaño de un átomo es del orden de 10-10 m, mientras que el del núcleo es del orden

de 10-15 m.

El electrón es una partícula cuyo movimiento en el campo potencial se puede

describir por una función de onda ψ; que indica el comportamiento dual del electrón: es

decir, no podremos determinar la posición de un electrón en un momento dado, sino que

debemos de hablar de densidad de probabilidad.

ψ 2 dV = Densidad de probabilidad

La densidad de probabilidad es la probabilidad de encontrar el electrón en un dV

situado en el punto (x,y,z) del espacio. La ubicación más probable del electrón en el

espacio es la de mayor densidad de probabilidad y es la que determina el tamaño

atómico.

El núcleo contiene los nucleones; protones de carga positiva, igual a la carga del

electrón (1.602x10-19C); y los neutrones sin carga eléctrica. Los pesos de ambas

partículas son respectivamente 1.0073u y 1.0087u (unidad de masa atómica, que

equivale a la doceava parte de la masa del átomo de carbono 12C). Se denomina número

atómico, Z, al número de protones o electrones que posee el átomo.

La masa del electrón en reposo es aproximadamente 9.1094x10-28gramos,

mientras que el de uno de los nucleones es 1.837 veces más pesado, lo que determina

que la masa del átomo se concentra en el núcleo. Se denomina número de masa atómica

(N+Z), a la suma de los neutrones y los protones del átomo. Se denominan isótopos a

Mayor densidad de probabilidad


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elementos que teniendo el mismo número atómico poseen distinto número de masa

atómico, es decir, difieren en el nº de neutrones.

La unidad de masa atómica u = 1.6605x10-24 gramos y su inverso es a lo que se

denomina nº de Avogadro = 6.023x1023.

Los electrones se sitúan según la mecánica ondulatoria en niveles discretos de energía,

comenzándose su ocupación por los de menor energía. La ocupación de estos niveles da

como resultado la tabla periódica de los elementos.

La ecuación de Schrödinger es a partir de la cual se obtienen dichos niveles de energía,

ya que es la que representa el comportamiento dual del electrón. Ésta ecuación es el

resultado de la combinación entre la ecuación que caracteriza a una onda estacionaria(1)

con la que caracteriza a una partícula (2), mediante la relación de De Broglie (3).

)1(42

2

2

2

ψλπψ

−=dxd

2

22 1

2)3()2(

21

λλ •=−⇒=+=+=

eeec m

hVEvm

hyVvmVEE

Si de ésta última despejo 2λ y la introduzco en la primera obtengo la ecuación de

Schrödinger, siendo ésta:

ψψψπ

EVdxd

mh

e

=+•−

2

2

2

2

8

E= Energía total, Ec = Energía cinética y V = Energía potencial

Las soluciones a la ecuación se obtiene empleándose las condiciones de frontera límite,

pues para que 2ψ tenga sentido, ψ tiene que ser finita y tener un único valor en cada

uno de sus puntos, además de cumplirse que 12 =∫ dVciotodoelespaψ . Esto exige que la

amplitud de onda asociada a una partícula encerrada en un espacio finito sea nula en los

extremos. Por ello, en un espacio de una dimensión, cada onda puede caracterizarse por

un número entero. La relación postulada por Born entre el número cuántico y el

momento angular se deduce teniendo en cuenta el espacio de dimensión circular.

Suponiendo un electrón que gira en una órbita circular estacionaria es necesario que la

longitud de la circunferencia contenga un número entero de longitudes de onda;

,2 λπ nr = y como la longitud de onda y el momento del electrón están relacionados por


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la ecuación de De Broglie (vm

h

e

λ ), igualando ambas longitudes obtengo el valor

angular postulado por Born: π2nhvrme = .

Aplicando ésta condición de frontera obtenemos las energías permitidas de los

orbitales atómicos siendo ésta: 2

2

20

2

4

8 nZ

hemE e

n •−=ε

; donde n es el nº cuántico principal, y determina los estados cuánticos discretos

permitidos. A cada n se le considera una capa y en ella todos los electrones poseen el

mismo nivel de energía. Las capas se denominan K, L, M, N... con nº crecientes de n(

n= 1; capa K) .

En cada capa existen subcapas que reflejan diferencias leves de energía, lo que se debe a

otros tres nº cuánticos:(1) nº de momento angular orbital, l; (2) nº Cuántico magnético,

ml; (3) nº cuántico de spin.

l = 0, 1,.....(n-1), designándose como s(l=0), p(l=1), d(l=3), f(l=4)

ml = -l a +l y ms = ±1/2

Cada uno de estos estados cuánticos pueden ser ocupados por dos electrones de

espines opuestos (principio de exclusión de Pauli).

1.1.- Tabla periódica y propiedades de los distintos elementos.

Por lo visto ya anteriormente los electrones de un elemento de nº atómico Z ocupan los

estados cuánticos disponibles de menor a mayor energía, teniendo en cuenta el principio

de exclusión de Pauli. Este orden de ocupación nos lleva la disposición de los elementos

en la tabla periódica, el cual nos permite determinar el comportamiento de los

materiales y el mecanismo más probable de enlace.

Ejemplo configuración electrónica:

l = 0; ml= 0 ms= -1/2

ms= +1/2

ml= 0 ms= -1/2

ms= +1/2

n= 2 l = 1 ml= 1 ms= -1/2

ms= +1/2

ml= -1 ms= -1/2

ms= +1/2

2 electrones (subcapa s)

6 electrones (subcapa


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Luego las capas s pueden ocupar dos electrones, seis la p, diez la d y catorce la f.

Si el número de electrones en una capa es menor quiere decir que esta ésta parcialmente

ocupada. A la capa más externa se le denomina capa de valencia y será la responsable el

comportamiento del elemento, tanto en propiedades como en mecanismos de

enlazamiento con otros elementos. La regla que se puede seguir para el llenado de las

capas es la que aparece a continuación,. Teniendo en cuenta que hay excepciones -

como las del carbono, y el cromo- debido a hibridaciones sp y transformaciones sd.

7s 7p 7d

6s 6p 6d 6f

5s 5p 5d 5f

4s 4p 4d 4f

3s 3p 3d

2s 2p

1s

Ejemplo: Z = 46 (paladio)

1s22s22p63s23p63d104s24p64d85s2; como puede observarse se está llenando la subcapa d

del cuarto periodo, por lo que debe ser un elemento que se encuentre en la zona de

transición de la tabla periódica. Si esto se comprueba en la tabla periódica vemos que se

cumple.

Ahora bien como comentamos anteriormente, se dan excepciones como el caso del

carbono con hibridación sp3. Z = 6 (carbono)

1s22s22p2 sería lo lógico, sin embargo la configuración que presenta es 1s22s12p3

2s2 2p2 2s1 2p3

La ocupación de los estados cuánticos de menor energía disponible y el apego al

principio de exclusión de Pauli por parte de los electrones de un átomo dan como

resultado la llamada tabla periódica de los elementos, a partir de la cual podemos

discernir rápidamente sus características químicas. Ésta se encuentra dividida en filas y

columnas, que se denominan periodos y grupos respectivamente. Los elementos del

mismo grupo poseen la misma configuración electrónica en la capa más externa y

propiedades similares. Los periodos se inician cuando comienza a ocuparse los estados s

y termina con la ocupación de todos los estados p; excepto en el caso de primer periodo

donde los estados p no se dan. En la tabla 1.1 aparece la tabla periódica de los


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elementos, y en ella aparece la nueva designación de los grupos adoptado por la Unión

Internacional de Química Pura y Aplicada.

Los elementos de configuración electrónica completa, carecen de reactividad

química o tendencia a reaccionar, por lo que poseen valencia cero, apareciendo como

elementos neutros. Sin embargo los elementos de los grupos 1 ,2 y 16,17, presentan una

alta tendencia a reaccionar cediendo o captando electrones. Así se dice que los

elementos de los grupos 1 y 2 son muy electropositivos, porque ceden electrones y los

de los grupos 16 y 17, se dicen que son muy electronegativos porque captan electrones.

Al número de electrones cedidos o captados se les denomina valencia. La

electronegatividad crece hacia la derecha y hacia arriba.

Los elementos de los grupos III, IV y V (13,14,15) tienden a reaccionar compartiendo

electrones y sobre todo los del grupo IV se combinan con formación de enlaces

coovalentes.

Los elementos que ceden electrones con facilidad también se denominan metales

y a los que los captan se les denomina no metálicos. El carácter metálico del elemento

se manifiesta en la capacidad de conducir corriente, siendo el no metálico no conductor.

1.2 Energías de enlace y principales mecanismos de formación de enlace y

propiedades de éstos.

Para que se produzca un enlace entre átomos es necesario que exista entre ellos

afinidad química, si no los átomos no se unen y se presentan en estado gaseoso a

temperaturas y presiones ordinarias, como ocurre con los elementos del grupo 18. Esto

es debido a que poseen configuración electrónica de capa cerrada y por tanto no hay .,

reactividad entre ellos. Cuando existe afinidad química, existe una fuerza de atracción

electrostática positiva de largo alcance (FA) que acerca a los átomos ( la atracción ocurre

entre el núcleo del primer átomo y los electrones del segundo), y cuando estos están

cerca, se produce una fuerza de repulsión negativa de corto alcance (FR), cuyo origen es

el de repulsión de los electrones de ambos átomos. La fuerza total de enlace será:

FB=FA + FR . Existe una separación de equilibrio, en la cual la fuerza neta es cero, que

será la que me determine el radio atómico de los elementos que se enlazan.

Cuando se analizan los enlaces, se acostumbra a utilizar más las energías que las

fuerzas, luego diremos que la energía de atracción será cero en el infinito y no cambia


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hasta que los átomos estén a una distancia aproximada de unos cuantos de diámetros

atómicos. Cuanto más aumente ésta energía más negativa se torna. La energía de

repulsión solo se manifiesta cuando las nubes electrónicas están muy próximas, siendo

la energía total la suma de la de atracción y la de repulsión. La curva resultante es la

energía de enlace, la cual presenta un mínimo a la distancia de equilibrio, r0, que me

determina el radio crítico, o lo que es lo mismo el tamaño del átomo o ion , en este tipo

de enlazamiento. Esta es una forma de determinar el tamaño atómico. Tabla 1.2.

La energía E0, en r0, es la energía de enlace del par de iones y proporciona una

indicación sobre su punto de fusión, del coeficiente de expansión térmica y del módulo

de Young. Cuanto mayor es la energía de enlace (más negativa), tanto mayor es el punto

de fusión y el módulo de elasticidad, y menor el coeficiente de expansión térmica.

Los tres mecanismos principales de formación de enlace son: iónico, coovalente

y metálico. El enlace iónico se forma entre elementos electronegativos y

electropositivos. El átomo electropositivo cede electrones al electronegativo obteniendo

ambos la configuración electrónica de capa completa, y uniéndose ambos por atracción

electrostática entre iones de distinto signo. Este tipo de enlace es el que se produce entre

metales y no metales. En términos de mecánica cuántica, los electrones de valencia

pertenecientes a los átomos neutros se comparten entre los dos átomos que constituyen

la molécula, de tal forma que la densidad de probabilidad de los electrones, es mayor en

torno al átomo más electronegativo, y por tanto éste átomo adquiere una carga negativa.

Para que la energía de atracción sea máxima y la de repulsión mínima es necesario que

los vecinos inmediatos de un catión sean aniones y viceversa, siendo por tanto el enlace

iónico adireccional, aunque es necesario equilibrar las cargas positivas y negativas para

mantener la neutralidad del cristal.

Al estar los electrones localizados la conductividad de los materiales iónicos es

muy mala, ya que para que ésta exista los iones deben de moverse con el campo

eléctrico y al ser tan pesados se mueven con lentitud, de aquí la mala conductividad

eléctrica y térmica. La energía de enlace es alta, por lo que posen un alto punto de

fusión. Las cerámicas presentan este tipo de enlace, utilizándose por sus características

para soportar grandes temperaturas y como aislantes y dieléctricos. Estas son frágiles

debido a la naturaleza localizada del enlace.

Cuando los átomos de las moléculas comparten electrones por igual, se dicen

que se enlazan bien mediante enlace coovalente o mediante enlace metálico. Una

característica importante de estos enlaces es que pueden darse entre elementos iguales.


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Así en el H2, el Cl2, el diamante y el silicio entre otros, los átomos están unidos por

enlace coovalente, mientras que en el cobre el enlace es metálico.

En los enlaces coovalentes puros los átomos comparten el mismo nº de

electrones para obtener la configuración electrónica de capa completa. En éste caso se

dice que se han formado enlaces por saturación entre los dos átomos. Ejemplo: H2 y

Cl2. En ellos el enlace es muy fuerte, pero el intermolecular es muy débil. Esta débil

atracción intermolecular es a lo que se denomina enlaces secundarios o fuerzas de van

der Waals. En términos de densidad de probabilidad la máxima se encuentra entre

ambos núcleos por lo que es un enlace direccional.

En el caso del diamante, la hibridación sp3 de cada átomo de carbono da origen a

enlaces tetraédricos y requiere cuatro átomos como vecinos para formar la

configuración electrónica más estables, pero a su vez éstos átomos necesitan otros

cuatro vecinos, y así sucesivamente; por lo que siempre hay un estado de enlace

disponible para la unión con átomos de carbono. Esto se describe como enlazamientos

insaturados, y es el responsable de que se forme un agregado muy grande

(macromolécula), dado lugar a un sólido. Luego el diamante a temperatura y presión

ordinaria se presenta en estado sólido.

Un ejemplo más del enlazamiento saturado e insaturado es el proceso de

polimerización. El etileno CH2=CH2 es un gas porque todos los estados cuánticos entre

el C y el H están llenos, por lo que el enlazamiento es saturado.. Sin embargo si

partimos el doble enlace, se obtiene una molécula –CH2 –CH2 – que tiene un estado de

enlace insaturado, por lo que hay un gran número de éstas pueden unirse formando

macromoléculas que se unen mediante enlaces débiles de van der Waals, dado lugar a

un polímero sólido.

Los materiales con enlace coovalentes son muy resistentes pero a la vez son

frágiles, pues no es posible separar mucho los núcleos sin que se rompa el enlace.

Además los electrones localizados hacen de éstos malos conductores eléctricos. El

silicio sólo muestra cierta conductividad a altas temperaturas (es lo que se denomina

semiconductor), aunque normalmente la conductividad del silicio se debe al dopaje con

impurezas. El diamante es un buen aislante eléctrico pero es un buen conductor térmico.

Los polímeros son frágiles en estado sólido, son no conductores- aunque ahora existen

polímeros conductores que poseen en su cadena grupos capaces de liberar electrones- y

los materiales cerámicos a partir de silicatos y las cerámicas avanzadas(SiN, SiC, y


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BN), también poseen enlaces coovalentes, utilizándose éstos últimos por su alta

resistencia al desgaste y a altas temperaturas, además de por su dureza.

Por último el enlace metálico es consecuencia de la gran facilidad de disociación

de los metales en iones positivos y electrones negativos. Poseen enlazamiento no

saturado y se componen de un gran número d átomos. Los electrones liberados se

desplazan con facilidad, no estando localizados, de aquí su alta conductividad eléctrica

y térmica. La teoría de Lorent y Drude de electrones libres explica la opacidad -la

oscilación de los electrones absorbe la energía del haz incidente en cualquier longitud

de onda– y la reflectividad -los electrones oscilantes emiten ondas luminosas, fotones-.

Al ser el enlace insaturado, se explica el empaquetamiento compacto de los átomos, así

como sus propiedades sobresalientes de tenacidad y ductilidad con alta resistencia

mecánica. Debido a que le empaquetamiento en los metales es mayor que en los sólidos

iónicos y coovalentes su densidad es mayor.

Otra característica de los electrones libres en el enlace metálico es la

insensibilidad ante el centro positivo, de aquí la posibilidad de sustitución de un átomo

por otro, constituyendo así las soluciones sólidas sustitucionales o aleaciones (Cu-Ni).

El enlace iónico se da entre elementos electropositivos y electronegativos, sin

embargo el enlace coovalente puro solo se da entre elementos de la misma

electronegatividad, es decir, entre elementos iguales. El enlace coovalente puede darse

entre átomos distintos, pero ya no sería simétrico, ya que hay una mayor densidad de

probabilidad cerca de un átomo que del otro, por lo que tenemos que hablar de una

mezcla de enlace coovalente e iónico. La presencia de éste carácter iónico robustece el

enlace. Pauli propuso la fórmula siguiente para determinar el carácter iónico del enlace:

Fracción carácter iónico = 1 – exp-1/4(xA

- xB

)

XA – Electronegatividad de A XB – Electronegatividad de B

Al hablar de polímeros decíamos que entre macromoléculas el enlace

intermolecular era débil y se debía a los enlaces secundarios o fuerzas de van der Waals.

Pues bien ésta es una fuerza débil de atracción, que puede existir entre los átomos y las

moléculas. El origen de la atracción es principalmente la formación de dipolos débiles

permanentes u oscilantes y la atracción entre los polos opuestos de éstos dipolos. La

energía del enlace se puede determinar de la siguiente forma: E = - CA/r6 + CR/rL

En el caso de las moléculas de agua y las macromoléculas de los polímeros, el

enlace que se da entre ellas es de dipolo permanente, llamándose en éste caso de puente


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de hidrógeno, debido a que la unión se produce a través de éste. Es el enlace de fuerzas

de van der Waals de mayor energía. La baja resistencia a la cedencia y los reducidos

módulos de los polímeros se explican en virtud de los débiles puentes de hidrógeno

(aunque sean los de mayor energía dentro de los enlaces secundarios) y fuerzas de Van

der Waals que se rompen con facilidad cuando estos materiales se someten a esfuerzos.

1.3- Tamaño de átomos e iones.

El tamaño atómico depende del número Z y el tipo de enlazamiento. A medida

que la carga nuclear aumenta los electrones ocupan los estados cuánticos de las capas

exteriores con valores n creciente, lo que tiende a aumentar el tamaño. Aunque al

aumentar la carga del núcleo, éste atrae más las capas electrónicas internas ocupadas.

Estos dos efectos se contrarrestan mutuamente de tal forma que la diferencia de rádios

entre los átomos ligeros y los pesados no es muy grande , aunque disminuye a lo largo

del periodo. Se puede decir, que de forma aproximada el tamaño aumenta en un grupo

hacia abajo, y en el periodo hacia la izquierda, es decir, hacia donde aumenta el número

Z. Sin embargo hay que tener en cuenta que puede haber excepciones, pues también va

a influir el tipo de enlazamiento. Tabla 1.4.

En el caso de los iones, tenemos que decir, que los cationes suelen ser menores que los

átomos neutros y los aniones mayores, esto se debe a que en el caso de los cationes al

ceder electrones, los electrones de las capas más internas se ven más fuertemente

atraídos por el núcleo disminuyendo su tamaño, y lo contrario le ocurre a los aniones.

2.- Materiales cristalinos y amorfos

Los materiales de pueden clasificar en función de la disposición atómica o

molecular, en sólidos cristalinos y amorfos. Si existe una disposición regular de los

átomos que da lugar a un patrón que se repite en las tres direcciones del espacio se dice

que el sólido es cristalino, y si no existe éste patrón definido se dice que se trata de un

sólido amorfo. En el primer caso se dice que el material tiene orden de largo alcance, y

en el segundo caso orden de corto alcance. Esto puede observarse en la figura siguiente:

P(2,3)

Figura 2 a) Orden largo alcance b) Orden corto alcance


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los puntos pueden representar un átomo o grupo de átomos o moléculas. En el caso de

largo alcance la zona que aparece encerrada en el rectángulo se repite horizontal y

verticalmente mediante los vectores de translación, mientras que en de corto alcance

sólo se repite en las zonas enceradas, siendo similar a la estructura de los líquidos.

Aunque la mayor parte de los metales son cristalinos, algunos se tornan amorfos cuando

sufren enfriamientos drásticos, a partir del líquido, denominándose a estos metales y

aleaciones amorfos.

De la misma forma aunque los líquidos poseen orden de corto alcance, hay

algunos que pueden poseer orden de largo alcance y son cristalinos (polímeros

cristalinos líquidos).

3.- Celdas unitaria, sistemas cristalinos y redes puntuales o espaciales

El estudio de la estructura, o disposición de los átomos en los materiales

cristalinos constituye la cristalografía. Podemos decir, que os patrones tridimensionales

que sigue la disposición atómica pueden delimitarse a siete sistemas cristalinos y 14

redes de Bravais puntuales. Los sistemas cristalinos tienen características específicas

que determinan el empaquetamiento atómico y la densidad del material.

El patrón que se repite en la estructura cristalina se denomina celda unidad. Ésta

se caracteriza por tres vectores de translación a, b y c y los ángulos α, β y γ entre los

ejes, denominándose constantes reticulares o parámetros de la red.

Celda unidad cúbica con los parámetros

de red mencionados.

Si partimos de un punto y lo trasladamos en todas direcciones con el conjunto de

los tres vectores unitarios obtenemos lo que se denomina red espacial o puntual (matriz

de puntos dispuestos en el espacio de tal forma que todos poseen el mismo entorno). Si

elegimos un punto como origen y aplicamos cada uno de estos vectores de translación

unitarios cualquier número de veces para llegar a un segundo punto, se obtiene un

vector que va del origen a ese segundo punto: P = u a + v b + w c; donde u, v y w

b a

c

α

γ

β


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indican el número de veces que se ha trasladado el eje respectivo. Estos valores son las

coordenadas del punto P (esto puede observarse en la figura 2).

Los puntos del retículo pueden representarse por un vector. Hay que advertir que

aunque la celda unidad tenga forma y orientación, el origen en el retículo espacial

puntual no es fijo, por lo que podremos elegirlo en función de la conveniencia para

resolver los distintos problemas.

Sólo existen 7 formas de especificar los valores para las longitudes axiales y

para los ángulos entre éstos, dando lo que se denominan los siete sistemas cristalinos.

Luego sólo podemos tener 7 formas de las celdas unitarias. Pero además teniendo en

cuenta la definición de red puntual, se puede añadir puntos al interior y a las caras de

algunas de las 7 celdas unitarias, por lo que a fin de diferenciar unas de otras, a las

primeras se les denomina simples o primitivas y se le designa por la letra P o R. Si se

agrega un punto al interior, la red puntual que se genera se denomina centrada en cuerpo

y se designa por I. Si se agrega un punto en el centro del plano de la celda, la red

puntual que se genera se denomina centrada en base o caras y se designan por las letras

C o F respectivamente. Bravais demostró que sólo hay 14 redes puntuales posibles, por

lo que a las rede3s puntuales también se les denomina redes de Bravais.(Figura 3).

Los puntos de la red de Bravais pueden representar un solo átomo o molécula , o

pueden representar un conjunto de éstos.

4.- Estructuras metálicas más comunes.

La mayoría de los metales cristalizan en una de estas estructuras cristalinas:

cúbica centrada en cuerpo (CCC), cúbica centrada en caras (CC) y Hexagonal

compacta(HCP).

4.1.- Estructura cúbica centrada en cuerpo (CCC).

Esta estructura recibe la designación de I y en ella todos los ejes son iguales a =

b = c y sus ángulos son de 90º. El parámetro reticular es a. Sí se coloca un átomo en

cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en cuerpo, tengo 8 átomos en los

vértices y uno en el interior. El átomo central toca a todos los átomos de los vértices a

través de la diagonal del cubo. Éste nº de átomos que tocan al átomo central son los

vecinos inmediatos y es lo que se denomina nº de coordinación. Luego en esta

estructura NC = 8.


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Esto puede aprciarse mejor en la figura 5 del anexo.

El nº de átomos por celda unidad será: NCCC = NI + NC/2 + NV/8 = 2; siendo NI

el nº de átomo internos, NC, el nº de átomos en las caras y NV, el nº de átomos en los

vértices.

El parámetro reticular puede determinarsea través del radio atómico, teniendo

encuenta que los átromos se unen a través de la diogonal de cubo. Luego como la

diagonal del cubo es 3a entonces: 3

443 rara =⇒= ; donde a es el parámetro

reticular y r es el radio atómico.

4.2- Estructura cúbica centrada en caras.

Se designa con la letra F. Todos los ejes unitarios son iguales y sus ángulos son de 90º,

siendo el parámetro reticular a. Si colocamos un átomo en cada punto de la red de

Bravais cúbica centrada en caras, tendremos 6 átomos en los seis centros de caras,

además de los 8 de los vértices.

Átomo metálico

El número de átomos por celda unidad es 4, estando éstos en contacto a través de

la diagonal de la cara, de donde podemos obtener la relación con el parámetro de red;


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24ra= . El número de coordinación es 12, lo cual puede observarse fácilmente,

teniendo en cuenta la figura 6. El átomo X está en contacto con los 8 que se enumeran

en la figura y los otros cuatro son reflejo del 5, 6, 7 y 8, de la celda unitaria siguiente

unida a la que contiene la X.

4.3 Estructura hexagonal compacta.

La estructura es la que puede verse en la figura 7a. Se trata de una red simple de

Bravais, con otro átomo situado en el punto (1/3, 2/3, ½) ó (2/3, 1/3, ½). Los parámetros

reticulares de la celda unitaria son a1, a2 y c, donde a1 = a2 ≠ c y α = β = 90º y γ = 120º.

Sin embargo aunque ésta sea la celda unitaria primitiva es difícil ver las características

de la HCP utilizándola, por ello lo que se hace habitualmente es unir tres de ellos para

formar un hexágono. Así se puede decir, que la hexagonal compacta posee un átomo en

cada vértice, uno en cada centro de base y tres situados en un plano intermedio en los

ortocentros de tres de los seis triángulos equiláteros, alternándose. El empaquetamiento

final es el que aparece en la figura 7c. El número de coordinación es 12. Los planos

superior e inferior se denominan planos basales y las caras son los planos prismáticos.

Los átomos basales están todos en contacto y los de la segunda capa se sitúan en las

depresiones de los primeros y por último la capa basal superior los átomos se sitúan en

la misma posición que los de la capa inferior. Luego la secuencia de apilamiento es

ABAB....y el número de átomos de la celda unitaria primitiva es 2, luego el hexágono

que tomamos tendrá 6 átomos.

Los átomos están en contacto a lo largo de los ejes unitarios a1 y a2, por tanto uno

de los parámetros reticulares es a1 = a2 = 2r. Podemos determinar el otro parámetro

reticular c, si advertimos que el átomo que se encuentra dentro de la celda simple están

en contacto con los átomos del plano basal y por tanto la distancia interatómica también

es 2r = a

Observando estas dos figuras podemos determinar la relación c/a, con lo que

tendremos el parámetro de red que nos faltaba.

½ a 1/3

2/3

(0,0,0)

(2/3,1/3,0)

x

x

2r = a

(2/3,1/3,0)

(2/3,1/3,1/2

(0,0,0)


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Por el triángulo rectángulo que se forma en la figura del lado izquierdo podemos

determinar x, con lo cual llevándolo a la figura siguiente obtenemos la relación buscada.

633.138

41

311

41

31

31

21

21

31

31

32

222222

22

222

2222

2

=⇒=

⇒=

−⇒=−

⇒+

=⇒+

==

−

=

ac

accacaa

acaxcacomoaaax

Ejemplo: determinar el parámetro reticular de a) Molibdeno (CCC, con r = 1.36A), b)oro

(CC, con r = 1.44A) y c) Cobalto (HCP con r = 1.15 A).

a) Al ser CCC los átomos se tocan a través de la diagonal del cubo, luego la relación entre r y a será:

( ) nmAarara 3141.014.3336.14

3443 ===⇒=⇒=

b) Al ser CC los átomos se tocan a través de la diagonal de la cara, luego: ( ) nmAarara 4073.0073.4

244.14

2442 ===⇒=⇒=

c) Al ser hexagonal compacta, tenemos que calcular los dos parámetros de red a y c. Comenzaremos hallando a, y después a través de la relación c/a, calcularemos c.

( ) ( ) AcacnmAaar 0825.45.2633.1633.1;25.05.225.122 ==⇒====⇒=

4.4.- Intersticios y huecos en las estructuras cristalinas.

En las estructuras vistas anteriormente existen espacios vacíos, llamados

intersticios o huecos, donde pueden caber átomos de pequeño tamaño. El tamaño de

estos intersticios varía de unas estructuras a otras. Podemos decir que existen dos tipos

de intersticios; los octaédricos (el intersticio está situado en el centro de un octaedro) y

tetraédricos (el hueco se sitúa en el centro de un tetraedro).

Los huecos en las estructuras CC, HCP y CCC pueden observarse en las figuras 8, 9 y

10. En la estructura CC los huecos más grandes son los octaédricos que se encuentran

en los centros de aristas y en el centro del cubo. Éstos están rodeados por seis átomos

que forman los vértices de un octaedro. Luego teniendo en cuenta que en la estructura

CC, 2

4ra = , y que según la figura 8, determinamos que el intersticio puede alojar una

esfera de 0.414r. los huecos tetraédricos se encuentran situados por la translación del

vector de la forma (1/4a,1/4a,1/4a) que va de un vértice al interior del cubo. Por tanto la

distancia del vértice al centro del hueco es ¼ de la diagonal del cubo, o lo que es lo

mismo. Como en cubo tiene 8 vértices tengo 8 huecos tetraédricos, luego el doble que

átomos por celda unidad, con n radio aproximado de 0.225r.


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16

La estructura HP tiene fundamentalmente la misma disposición atómica que la

estructura CC, por lo que los huecos tetraédricos y octaédricos se encuentran en el

mismo número y pueden alojar átomos aproximadamente del mismo tamaño. En ambas

estructuras el números de huecos octaédricos por celda unidad es igual al nº de átomos

por celda unidad y el nº de huecos tetraédricos es el doble que el de átomos por celda.

En el caso de la CCC el hueco de mayor tamaño es el tetraédrico se encuentra en la

posición de coordenadas vectoriales (1/2,1/4,0). Hay un total de 24 huecos

tetraédricos, cuatro en cada cara del cubo, los cuales pueden alojar una esfera de 0.291r.

Los huecos octaédricos, están situados en los puntos medios de las aristas y en los

centros de caras, habiendo un total de 18 huecos. El octaedro que encierra cada hueco

está ligeramente comprimido, con dos átomos más próximos que los otros cuatro., por

lo que los huecos sólo pueden alojar esferas con un radio aproximado de 0.155r. Por

tanto tenemos 12 huecos tetraédricos y 6 huecos octaédricos por celda unidad. Como

puede observarse los huecos en esta estructura son mucho menores; esto se refleja en el

hecho de que la fase austenita (CC) de los aceros disuelve en mayor medida los átomos

de carbono que la fase ferrita (CCC). Ésta es la razón fundamental por la que es posible

endurecer los aceros cuando se le aplica un tratamiento térmico.

5.- Estructura coovalente: la estructura cúbica del diamante.

Los elementos C, Si y Ge con enlaces coovalentes insaturados, presentan la

estructura cúbica del diamante (CD). Ejemplos de estas estructuras son los cerámicos

avanzados SiC, SiN y el compuesto semiconductor GaAs.

El diamante posee una estructura de Bravais CC y por tanto posee la red cúbica vista

anteriormente. La diferencia entre ésta y la estructura del diamante es la presencia de 4

átomos interiores adicionales, situados en 4 de los 8 huecos tetraédricos de la estructura,

que se sitúan en los puntos (1/4, ¼, ¼ ), (3/4, ¾, ¼), (3/4, ¼, ¾) y (3/4, ¼, ¾).

C


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17

De la figura anterior se deduce que el número de átomos por celda unidad será:

ÁtomosNCD 888

264 =++= . Técnicamente la estructura CD es una red de Bravais CC

con dos átomos asociados por punto reticular. Sin embargo el número de coordinación

en esta estructura es de 4 en lugar de 12. El parámetro de red puede calcularse teniendo

en cuenta que el hueco tetraédrico se sitúa en el punto de coordenadas ( )41,4

1,41 , de

aquí que : rara 8324

3=⇒= que es la diagonal del cubo. Como a través de la

diagonal sólo tengo 4 radios atómicos, quedan dos huecos desocupados (figura 11),lo

que determina la menor densidad de las cerámicos, y la menor compacidad de ésta

estructura frente a la de los metales. Un ejemplo con enlaces coovalentes y con una

estructura muy similar lo presenta el semiconductor GaAs (Figura 12). Aunque

técnicamente la estructura de éste semiconductor es iguala la del ZnS, se incluye aquí

por los enlaces coovalentes. En ella los huecos tetraédricos son ocupados por los átomos

de Ga.

6.- Estructuras cristalinas iónicas: Materiales cerámicos.

Los materiales cerámicos son principalmente compuestos iónicos de metales y

no metales (óxidos, Carburos, nitruros, boruros, siliciuros y halogenuros).

Las estructuras de éstos está determinado por la forma en que pueden empaquetarse los

iones positivos y negativos de modo que la atracción electrostática sea máxima y

mínima la de repulsión. Esto equivale a decir, que los cationes tendrán como vecinos

más próximos a los aniones y viceversa. La estructura más estable es la que pose el

mayor número de vecinos inmediatos, o lo que es lo mismo el mayor nº de

coordinación. Si los vecinos inmediatos están conectados entre sí se forma un poliedro

de coordinación, y como los cationes son generalmente de menor tamaño que los

aniones la relación entre radios rc/ra, es la que determina la estructura siendo el criterio

de estabilidad el que la razón sea mayor que o igual a un valor crítico para un

determinado poliedro por alcanzar o nº de coordinación (tabla 3). Al encerrar el poliedro

a los cationes también se le denomina poliedro de coordinación catiónica. El otro

criterio de estabilidad en la estructura de las cerámicas iónicas es el de neutralidad

eléctrica, es decir que el nº de cargas positivas sea igual al de carga negativas.


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18

La red de Bravais en las estructuras iónicas están determinadas por los vectores

de translación que son: (0, 0, 1) en la red cúbica simple; (1/2, ½, 0) en la CC y de (1/2,

½, ½) en CCC. El vector de translación debe terminar y comenzar en el mismo tipo de

ion.

6.1.- Estructura del CsCl.

Es un ejemplo de las estructuras iónicas con nº de coordinación 8. Su relación

entre radios es de 732.0939.081.170.1

>==a

c

rr , lo cual confirma el nº de coordinación. La

estructura que puede observarse a continuación, presenta los iones Cl- en las posiciones

de una red cúbica simple y el Cs+ ocupando el hueco intersticial del centro del cubo.

Al principio puede confundirse ésta estructura con una CCC, sin embargo si

aplicamos el vector de translación de ésta veremos que no llegamos al mismo tipo de

ion, mientras que si aplicamos el vector (1,0,0) de la Cúbica simple si que llegamos al

mismo tipo de ion. Luego es cúbica simple con dos iones uno cesio y otro cloro

asociado a cada punto reticular. Luego podemos decir:

- nº de coordinación es 8. - Tengo dos iones por celda unidad, uno positivo y otro negativo (mantengo la

neutralidad) - Los iones se unen a través de la diagonal del cubo, luego: ( ) 32 arr =+ −+ - Presentan esta estructura el CsBr, CsI

Cs+

Cl-


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6.2.- Estructura del cloruro sódico

La estructura de la sal gema que se encuentra representada a continuación, posee

un anión cloro en cada punto reticular de la red CC, y los cationes se encuentran

situados en todos los huecos octaédricos de la estructura. El nº de coordinación es de 6

tanto para los aniones como para los cationes, ya que la relación entre radios es

de 414.0541.081.1

098>==

a

c

rr .

La red es CC, porque si aplicamos su vector de translación (1/2, ½, 0) obtenemos el

mismo tipo de ion. Podemos resumir:

- el nº de coordinación es 6 para ambos tipos de iones. - Hay cuatro cationes y cuatro aniones por celda unidad (8 iones/celda). - Los iones están en contacto a través de las aristas del cubo, dando la relación:

( )−+ += rra 2 - Compuestos que poseen esta estructura son el MgO, CaO, SrO, BaO, CdO, MnO,

FeO, CoO y NiO.

6.3.- Estructura de la blenda de Zinc.

En esta estructura los aniones se encuentran en los puntos reticulares normales

de la CC y los cationes se encuentran en cuatro de los 8 huecos tetraédricos, de tal

forma que su nº de coordinación es de 4 para ambos iones.

La estructura es muy similar a la del diamante pero con la diferencia de que los

átomos interiores son sustituidos por cationes. El nº de coordinación corresponde al de

la relación entre radios, que en éste caso es de 4. Como puede observarse en la

estructura la distancia entre primeros vecinos se da a partir de la diagonal del cubo, de

tal forma que la relación entre el parámetro de red a y el radio de los elementos será

)(43

−+ += rra .

Cl-

Na+


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6.4.- Estructura de la Fluorita

LA fórmula química MX2 incluye un gran número de cerámicos estructurales. Todos

ellos responden a la estructura de la fluorita (CaF), que es la que se muestra a

continuación o a la de la sílice (SiO2), que se ve posteriormente.

La red de la fluorita se construye sobre una red de Bravais FCC, en los que hay

tres iones asociados a cada punto reticular (dos de flúor y uno de calcio). La celda

unidad posee 12 iones ( 8 F- y 4 Ca), situándose los de Ca en posiciones CC y los F- en

las posiciones de los intersticios tetraédricos. El número de coordinación Es de 4 para el

Catión y de ocho para el anión como puede observarse a continuación.

Ca

F


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21

Como puede observarse en la figura este tipo de cerámicos presentan un

volumen no ocupado en el centro de la celda unidad, que juega un papel muy importante

en la tecnología de los materiales nucleares. El dióxido de uranio (UO2) es un

combustible de reactores nucleares que pueden acomodar productos de fusión ( gas

helio), sin que aparezcan hinchamientos, debido a estas estructuras. Poseen esta

estructura, UO2, ThO2, y TeO2.

6.5.- Estructura de la sílice.

La relación entre radios es de 0.29, lo que indica una coordinación tetraédrica,

con cuatro iones oxígeno alrededor del Si4+.

Las tres estructuras fundamentales de la sílice son el cuarzo, la tridimita y la

cristobalita, cada una de las cuales existen en dos o más modificaciones. Éstas se

conocen como alótropos o polimorfos de la sílice. Como representación de ésta se suele

dar la estructura de la cristobalita que puede obtenerse a través de la estructura del

diamante, insertando después os iones oxígeno entre cada par de átomos de silicio. Ésta

estructura es más abierta que la de otros óxidos, por lo da lugar a una densidad mayor

aunque el peso atómico sea mayor, como ocurre con el caso de MgO, que poseyendo un

peso atómico menor, posee una mayor densidad.

Técnicamente es una red de Bravais CC, con seis iones por punto reticular ( dos

de Si4+ y 4 O2-). Luego la celda posee 24 átomos, 16 de oxígeno y 8 de silicio. Los

O2-

Si4+

O2-


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22

tetraedros de sílice pueden unirse de distinta forma dando lugar a distintas estructuras

que se estudiarán posteriormente en los cerámicos.

6.6.- Estructura cristalinas del tipo AmBnXP

También es posible que sé de en los cerámicos tener más de un tipo de catión;

uno de estos materiales es el tianato de bario (BaTiO3). Éste tiene la estructura cristalina

de la perouskuita (CaTiO3), que posee una red de Bravais simple con 5 iones asociados

a cada punto reticular., y por celda (un Ti4+, un Ca2+ y 3 O2-). La celda unidad puede

dibujarse como se muestra a continuación; con los Ca o Ba en los vértices, el titanio en

el centro y los oxígenos ocupando los centros de cara. Los materiales de este tipo

poseen muy buenas propiedades ferroeléctricas y piezoeléctricas.

La fórmula AB2X4 incluye una importante familia de cerámicas con aplicaciones

magnéticas, basadas en la estructura de la espinela (MgAlO4), que puede observarse en

la figura 3.23 del anexo. Esta presenta una red de Bravais FCC con 14 iones ( 2 Mg2+, 4

Al3+, y 8 O2-) asociados a cada punto reticular. Por tanto la celda posee 56 iones (8

Mg2+, 16 Al3+ y 32 O2-). Los iones Mg están ocupando posiciones tetraédricas, es decir,

están en coordinación con 4 oxígenos, y los iones Al3+ están situados en posiciones

octaédricas, es decir, se hallan en coordinación seis con los oxígenos. Sin embargo

tenemos que advertir que los cerámicos magnéticos con importancia comercial están

basados realmente en una estructura un poco modificada, que se denomina estructura de

espinela inversa, en la que los huecos octaédricos están ocupados por los iones M2+, y la

mitad de los iones M3+. El resto de iones M3+ se encuentran ocupando huecos

tetraédricos. Ejemplo de éste tipo de materiales son: FeMgFeO4, Fe3O4 o magnetita,

FeNiFeO4, y muchas otras ferritas de interés comercial.

En la tabla 3 del anexo, podemos encontrar un resumen de las estructuras más

comunes que se dan en los cerámicos.

7.-Alotropía y polimorfismo.

Es la capacidad que poseen los materiales cristalinos de asumir distintas

estructuras cristalinas a diferentes presiones y temperaturas. Muchos metales y algunos

cerámicos presentan esta propiedad, siendo el hierro y el sílice un buen ejemplo de

ellos.

El hierro asume la estructura ccc a bajas temperaturas , alrededor de 912ºC

asume la estructura cc y vuelve a ser ccc alrededor de 1394ºC.


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23

El sílice que se utiliza como refractario en hornos asume formas de cuarzo alfa

hasta 573ºC, de cuarzo beta de 573 hasta 867ºC, tridimita beta de aquí a 1470ºC y

cristobalita beta de 1470 a 1710ºC.

La importancia de la alotropía radica en el cambio de volumen que experimentan

los materiales al cambiar de estructura, debido a que cambios de temperaturas pueden

hacer que se creen tensiones internas debido a estos cambios de volumen, que pueden

dar lugar a la fractura.

8.- Fracción de empaquetamiento y densidad.

Para determinar algo tan importante como es la densidad de los materiales, es

muy útil conocer el factor de empaquetamiento o fracción volumétrica de

empaquetamiento (APF ó FVE), que se define como la fracción de volumen ocupada

por los átomos o iones en la celda unitaria:

∑=

•==

n

i Cu

i

V

rNi

unidadceldaVolumenátomosVolumenAPF

1

3

34 π

; donde Ni es el número de iones o

átomos por celda unidad, y ri es el radio atómico o iónico.

Si se trata de celda iónica necesitaremos sumar el volumen total de cada ion en

el numerador. VCu, es el volumen de la celda unidad.

Para una misma masa atómica, una FVE muy grande significa que la estructura

posee una mayor densidad. Como ya vimos las estructuras de mayor compacidad son la

FCC y la HCP, por lo que los elementos que posean este tipo de estructura. poseerán

mayor densidad.

En términos de estructura cristalina, la densidad se toma, como:

unidadceldavolumenunidadceldaporionesátomosmasa /

=ρ .

Por todo ello la densidad depende de los tamaños atómicos o iónicos, de la

fracción volumétrica de empaquetamiento y de la masa atómica. Como ya vimos al

principio el tamaño del radio atómico no varía mucho de un elemento a otros, por lo que

el tamaño no influirá en gran medida en la densidad. La mayor influencia la ejerce la

masa atómica y su empaquetamiento compacto. Los polímeros y los cerámicos son

relativamente más ligeros porque están compuestos de elementos ligeros, además de su

estructura más abierta.


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24

9.- Direcciones y planos en los cristales: Indices de Millër.

La deformabilidad en los metales viene determinada por las fracciones atómicas

planares y lineales, ya que la deformación de los materiales va a tener lugar sólo a

través de determinados planos y direcciones, que los son los de mayores fracciones

atómicos planares y lineales. Por tanto para poder determinar la deformabilidad tenemos

en primer lugar que ver como se nombran los planos y direcciones en las estructuras

cristalinas, para posteriormente poder definir las fracciones atómicas planares y lineales,

que nos conducirán a dicha propiedad.

9.1.- Direcciones

En las redes espaciales, cuando trasladamos los vectores unitarios, a, b y c de la

celda unitaria, un determinado número de veces llegamos a otro punto de dicha red

espacial, o dicho de otra forma al trasladar los vectores unitarios un número

determinado de veces podemos obtener toda la red espacial. Por ello cada punto del

retículo se puede representar por medio de un vector y sus coordenadas (u, v, w), que

corresponden a l vector P = ua + vb + wc.

Puesto que el vector tiene magnitud y dirección, las direcciones se identifican

con las coordenadas vectoriales (u, v, w) del punto P respecto del origen, tomándose

éstas coordenadas como los índices de Miller de la dirección del origen a P, y se

encierra entre corchetes [ u v w]. Fig 2.23 del anexo. Los números u, v y w deben ser

los enteros más sencillos, así [112], [224], [1/2,1/2,1] representan la misma dirección,

pero se tomará como índices de Millër válidos el primero. Las translaciones de los ejes

en sentido negativo se simbolizan con una barra encima del número [ ]wvu . Puesto que

una dirección se representa mediante un vector, una dirección entre dos puntos, P1 y P2,

de la red cristalina, vendrá dada por la diferencia vectorial entre los dos vectores,

teniendo en cuenta el origen y final de la dirección, es decir la dirección P de P1 a P2

será: P = P2 – P1 = [u, v, w]punta – [u, v, w]cola.

Si consideramos ahora el caso específico de la estructura cúbica, podemos

observar que todas la direcciones que obtenemos tomando como origen uno fijo y los

vértices del cubo, como finales de dirección, es decir, las direcciones [100], [010],

[001], [ ] [ ] [ ]100,010,001 , poseen todas la misma longitud, por geometría del cristal y

la misma distancia interatómica, por lo que decimos que forman una familia de

direcciones ya que están relacionadas por simetría del cristal, y se simboliza


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25

introduciendo entre ángulos la dirección que las representa, < 100 >. Otra familia de

direcciones en la celda cúbica la constituyen las diagonales del cubo < 111 >, que son

cuatro, [ ] [ ] [ ] [ ]111,111,111,111 y . Como puede observarse en el caso de la estructura

cúbica podemos obtener todas las direcciones equivalentes que forman la familia con

únicamente intercambiar los índices de posición y tomando los negativos y los

positivos.

9.2.- Planos.

También los planos se identifican mediante los índices de Millër, pero ésta vez

como h, k y l encerrados entre paréntesis. Al igual que en el caso de las direcciones

existen familias de planos, que están compuestas por todos los planos equivalentes

existentes por la simetría del cristal. En éste caso la familia se representa por uno de los

planos introducidos entre llaves, por ejemplo, la familia de las caras del cubo será,

{100}. De forma general una familia vendrá representada como {h k l}. Los índices de

Millër, son los recíprocos de los puntos de corte con los ejes coordenados y vamos a

demostrarlo. Tomemos el plano que corta a los ejes coordenados en A(2a), B(4b) y en

C(2c) (figura 2.28), por lo que la ecuación del plano vendrá dada por : 1=++Cz

By

Ax ,

Siendo los coeficientes específicos de x, y, z, los que determinan un plano específico. El

problema es que son fraccionarios por lo que necesitamos transformar la ecuación de

forma que los coeficientes sean nº enteros, para ello vamos a utilizar dos teoremas de

geometría. El primero dice que para un plano racional con intersecciones en A, B y C,

existen ABC planos idénticos, con igual separación del origen a éste punto racional (

siempre que no halla un factor común en los pares AB,AC y BC); y el segundo dice que

la ecuación (ax + by + cz = m) representan un plano m veces más distante del origen

que ( ax + by +cz = 1).

Por lo que aplicando los dos teoremas anteriores, podemos multiplicar la primera

ecuación por ABC, con lo que nos quedaría: BC x + AC y + AB z = ABC, que según el

segundo teorema estará ABC veces más distante del origen que el plano h x + k y + l z

= 1, siendo h = BC, k = AC y l = AB. Luego como existen ABC planos idénticos, la

ecuación anterior representará al primer plano a partir del origen que será idéntico al

plano 1=++Cz

By

Ax . Por ello podemos utilizar los coeficientes, h, k y l como los

índices de Millër del plano encerrados entre paréntesis, (h k l).


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26

Ahora bien si expresamos esta ecuación en forma de intersecciones,

entonces: 1111 =++l

z

k

y

h

x . Por lo que queda demostrado que los índices de Miller

son los recíprocos de las intersecciones fraccionarias, 1/h, 1/k, y 1/l , del primer plano a

partir del origen en los ejes cristalográficos respectivos. Así si las longitudes axiales son

a, b y c, las intersecciones reales del plano son a/h, b/k y c/l, como se muestra en la

figura 2.28b del anexo.

Por todo ello para obtener los índices de Millër de un plano debemos:

1º identificar las intersecciones de éste con los ejes cristalográficos.

2ºcalcular los recíprocos de las intersecciones

3º eliminar fracciones y

4º representar los índices de Millër como el conjunto de hkl más pequeño encerrado

entre paréntesis, es decir (hkl).

Tememos que tener en cuenta :

- Cuando el plano corta con algún eje en el infinito, es decir, es paralelo a éste, el

recíproco es cero.

- Un plano de índices negativos e iguales a un segundo plano, es paralelo e igual al

segundo plano.

- Las familias de planos, están formadas por los planos equivalentes por la simetría

del cristal, es decir, todos son geométricamente semejantes y en ellos las distancias

interátomicas son las mismas.

- En el caso de la estructura cúbica los índices de Millër de todos los plano que

conforman una familia se pueden obtener intercambiando los índices tanto en

sentido positivo como negativo. Por ejemplo la familia de las caras del cubo, {100},

serán: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100,010,001,100,010,001 , luego como puede comprobarse

son los planos que conforman las seis caras del cubo.

9.3.- Planos y direcciones en HCP.

Aunque el procedimiento que se ha descrito anteriormente sirve para identificar

los índices de Miller de los planos y direcciones en cualquier sistema cristalino, Para

poner de manifiesto la geometría hexagonal de éste sistema, la representación de tres

dígitos (índices de Miller) se convierte en una representación de cuatro dígitos( índices


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27

de Miller- Bravais). Ésta representación surge, debido a un tercer eje en el plano basal

del hexágono, a3, que está relacionado por simetría con a1 y a2. Por lo que los índices de

Miller- Bravais se refiere a los cuatro ejes, a1, a2, a3 y c, y se representan como (hkil). El

valor de i depende de h y k, pues el eje a3 es combinación lineal de a1 y a2, y viene dado

por i = -(h + k). De ésta forma al igual que ocurre en la estructura cúbica, todos los

planos equivalentes que forman una familia, poseen el mismo conjunto de números,

cosa que no ocurre en la notación de tres números, obtenidos de la celda tetragonal. Esto

puede observarse si tomamos la figura seis del anexo, y determinamos los planos que

componen las caras del prisma. En el sistema de tres dígitos, no se cumple la regla

anterior pero sí en el de cuatro dígitos. Vamos a obtener los índices en los dos sistemas

y lo compararemos (figura 6).

Cara del prisma Indices de Miller Indices de Miller-Bravais

1, 2, 8, 9 ( 1 0 0 ) ( )0101

2, 3, 9, 8 ( 0 1 0 ) ( )0110

3, 4, 10, 9 ( )011 ( )0011

4, 5, 11, 10 ( )001 ( )0101

5, 6, 12, 11 ( )010 ( )0110

6, 1, 7, 12 ( )011 ( )0011

Igualmente en el caso de las direcciones se produce la similitud en el caso de los

cuatro índices. El cambio de tres a cuatro dígitos se realiza a través de las siguientes

ecuaciones:

( ) ( ) ( )

[ ] ( )dgitosTresMillerdeíndicesloswvusiendo

wwvuiuvvvuu

′′′

′=′−′=′−′=′−′= ;;31;2

31;2

31

Hay que tener en cuenta que para el caso de direcciones es necesario primero

obtener el sistema de tres dígitos , para poder calcular los índices de Miller- Bravais de

las direcciones. Por ello normalmente las direcciones se suele dejar en índices de Miller,

y se utilizan los índices de Miller- Bravais solo en el caso de planos en la celda

Hexagonal.


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28

10.- Sistemas de deslizamiento en los metales

Una vez conocido como se nombran planos y direcciones estamos en disposición

de ver como influye la estructura en una de las propiedades más importantes de los

materiales, que es la capacidad de deformación. La deformación de éstos siempre se

produce por deslizamiento de planos preferentes a lo largo de direcciones preferentes. A

éstos planos se les denomina planos de deslizamiento y a las direcciones, direcciones

de deslizamiento. A la combinación de un plano de deslizamiento con una dirección, es

a lo que se le denomina sistema de deslizamiento, y es a través de estos sistemas por

donde se produce la deformación de los materiales, de tal forma que cuanto mayor es el

número de ellos mayor será la capacidad de deformación de éstos.

Para poder determinar cuales son sistemas existentes, primero tenemos que ver

cuales son los planos y direcciones preferentes. Pues bien los planos de deslizamiento

son los que poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo mismo,

son los planos de mayor compacidad en la estructura cristalina. Se define la fracción

atómica planar como:planodelárea

planoelenátomoslosdeáreaFAP = . Las áreas de los átonos

del plano son las secciones atómicas que el plano corta al pasar por el centro del el

átomo o punto de la red. Si hablamos de densidad atómica planar (ρp), en lugar de FAP,

ésta viene definida como: planodelárea

planoelporerceptadosátomosnp

intº=ρ . Los planos de

deslizamiento se pueden determinar teniendo en cuenta uno u otro concepto, y en ambos

casos serán los que presenten valores más altos.

Si determinamos la FAP de las distintas familias de planos de las diferentes

estructuras, veremos que para el caso de la cc, la familia de planos de mayor FAP es la

{111}, mientras que para la estructura ccc, es la {110}. Luego los planos pertenecientes

a éstas familias constituyen los planos de deslizamientos de sus estructuras cristalinas

correspondientes. Por lo que ya solo necesitamos conocer, Para poder determinar los

sistemas, cuales son las direcciones de deslizamientos.

La s direcciones de deslizamiento son las que poseen una fracción atómica lineal

(FAL) mayor o lo que es lo mismo, las que poseen mayor densidad lineal. Se define la

FAL como: direcciónladelongitud

direcciónladeolloaátomoslosdelongitudFAL arg= . Y se define


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29

densidad atómica lineal como:direcciónladelongitud

direcciónlaporerceptadosátomosnl

intº=ρ . Pues

bien si determinamos las direcciones de deslizamientos en los diferentes sistemas

cristalinos, en función de su FAL, comprobaremos que para el caso de la cc la familia

de direcciones de mayor AFL es la <110> y en el caso de ccc la familia es la <111>.

Uno vez obtenido tanto los planos de deslizamiento, como las direcciones de

deslizamiento, podemos obtener el nº de sistemas cristalinos que se dan en las distintas

estructuras, y por tanto determinar en función de ellos, cuales son los materiales de

mayor capacidad de deformación.

Cojamos por ejemplo las estructuras cristalinas cc y ccc, para poderlas comparar

en cuanto a capacidad de deformación. En el caso de la estructura cc, la familia de

planos de máxima compacidad es la {111}, en la que existen cuatro planos, y la familia

de direcciones de máxima compacidad es la <110>, en la que existen tres direcciones,

por lo que existen tres sistemas de deslizamiento por plano de dicha familia. Luego

como existían 4 planos, tengo doce sistemas de deslizamiento en la cc.

En el caso de la estructura ccc, la familia de planos de máxima compacidad es la

{110}, que posee seis planos, y la familia de direcciones de máxima compacidad es la

<111>, en la que existen dos direcciones compatibles, por lo que los sistemas de

deslizamiento que tendremos son también doce. Hay que tener en cuenta a la hora de

determinar los sistemas de deslizamiento que no se tienen en cuenta las direcciones

inversas. Figura 2.33 del anexo.

Pues bien como puede verse el número de sistemas de deslizamiento en ambas

estructuras es alto, por lo que son estructuras que poseen una buena capacidad de

deformación. En la tabla 2.7 del anexo, puede verse los sistemas de deslizamiento de la

estructuras que más se dan en metales. En ella puede observarse el porque de la buena

deformación de metales como el acero (ccc), el Cu, Ni y Al (cc), y la mala capacidad de

deformación del Cd, Zn (HCP). Por tanto aquellos materiales que posean ésta última

estructura no podrán sufrir grandes deformaciones a temperatura ambiente, mientras que

lo que posean estructuras cc y ccc, pueden fabricarse por estampado profundo, como

por ejemplo los cartuchos producidos por las aleaciones de cobre.

Las cerámicas cristalinas también presentan sistemas de deslizamiento. El óxido

de magnesio, que tiene estructura del cloruro sódico presenta un sistema de

deslizamiento >< 011}110{ ; sin embargo sólo existen dos sistemas independientes lo


Beatriz Aranda

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que hace a los cerámicos frágiles. Además en éste tipo de materiales existe un problema

añadido que es el caso de la repulsión entre iones, es decir hay direcciones en la que se

producen acercamientos de iones del mismo signo, y que por lo tanto no son posibles.

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