154

INTRODUCCIÓN

La asignatura de Matemáticas II, es la segunda de un conjunto de cuatro, que forman el campo de

las matemáticas, su antecedente es la asignatura de Matemáticas I. En esta primera asignatura de

bachillerato, los estudiantes aprendieron a plantear y resolver problemas en distintos ámbitos de su

realidad, así como, justificar la validez de los procedimientos y resultados empleando el lenguaje

algebraico como un elemento más de comunicación. En el bachillerato, se busca consolidar y

diversificar los aprendizajes y desempeños adquiridos, ampliando y profundizando los

conocimientos, habilidades, actitudes y valores relacionados con el campo de las matemáticas,

promoviendo en matemáticas I, el uso de representaciones y procedimientos algebraicos para

resolver situaciones de su entorno, que impliquen el manejo de magnitudes, variables y constantes;

en las asignaturas consecuentes, este desempeño se fortalecerá con el manejo de las relaciones

funcionales entre dos o más variables, mismas que permitirán al estudiante modelar situaciones o

fenómenos, y obtener, explicar e interpretar sus resultados: En matemáticas II, con relación a

magnitudes físicas, espaciales o aleatorias; en matemáticas III, mediante el cambio y la equivalencia

entre representaciones algebraicas y geométricas; y finalmente en matemáticas IV, mediante el

empleo de relaciones funcionales.

Desde el punto de vista curricular, cada materia de un plan de estudios mantiene una relación

vertical y horizontal con el resto, el enfoque por competencias reitera la importancia de establecer

este tipo de relaciones al promover el trabajo disciplinario, en similitud a la forma como se

presentan los hechos reales en la vida cotidiana. En este caso, todas las matemáticas del

componente básico, retroalimentan a las asignaturas del campo de las ciencias experimentales

como: física, química y biología y constituyen un apoyo en las materias de las ciencias sociales.

155

UNIDAD I. UTILIZAS

TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y

RELACIONES MÉTRICAS

1.1 Elementos de la Geometría Euclidiana.

La palabra geometría tiene su origen en el vocablo griego geos, que significa tierra y metrein, que

significa medir. Surgió a partir de la necesidad práctica de resolver problemas relacionados con la

medida, dimensiones y deslinde de los terrenos.

Remontando al pasado con el invento de la rueda por los sumerios (3500 años a. C.), mostraban

figuras geométricas; siendo adaptada la rueda por parte de los babilonios a sus carros con fines

bélicos, lo que propició que con el uso de este artefacto, se descubriera la relación entre la

circunferencia y su diámetro.

Los egipcios realizaron divisiones constantes de la tierra, (probablemente esto tuvo que ver con la

etimología de la palabra geometría que significa “medida de la tierra”). Los conocimientos en

geometría fueron aplicados en la construcción de las pirámides, así como en el cálculo de las áreas

del triángulo isósceles y del círculo, con lo que se determinó un valor aproximado para π (3.116).

Los griegos, al haber reemplazado la observación y la experimentación por deducciones lógicas,

fundaron la geometría como ciencia.

Tales de Mileto (624-546 a. C.). Entre sus estudios sobre proporcionalidad de segmentos

determinados en dos rectas por un sistema de paralelas, destacan los teoremas que llevan su

nombre, pues dichos estudios representaron el inicio de la geometría como ciencia.

Pitágoras de Samos (570-496 a. C.). Discípulo de Tales y descubridor de la relación a2=b

2+c

2 para

cualquier triángulo rectángulo, así como su demostración, fundador de la escuela pitagórica, de la

cual, se obtiene la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo.

Euclides (330-275 a. C., aproximadamente). Se establecen las bases de lo que se conoce como

geometría clásica; su obra “Los elementos” fue tan exitosa que a su aportación se le conoce como

“Geometría Euclidiana”.

156

1.1.1 Términos no definidos de la geometría.

En la geometría se utilizan diversos términos para realizar descripciones o hacer referencias a

objetos de uso común; los cuales se mencionan a continuación:

Término Características Figura

Punto Carece de dimensiones y sólo

tiene posición. Se representa

por • y se designará

colocando una letra

mayúscula próxima al

símbolo

•P

Línea Presenta una sola dimensión:

la longitud. Se representa

mediante un trazo y su

designación es a través de

dos letras mayúsculas

correspondientes a dos

puntos cualesquiera por

donde pase.

Superficie Posee dos dimensiones:

longitud y anchura. Para

representarla se trazan líneas

que la limitan, y se designará

con una letra mayúscula

dentro de una región

limitada.

1.2 Ángulos.

Un ángulo es la abertura existente entre dos rectas que se tocan en un punto. La recta y la se

tocan en O; a este punto se le denomina vértice. El ángulo se puede escribir como: ˂AOB = ˂β

(generalmente se utiliza una letra del alfabeto griego).

A

A

O

B

157

1.2.1 Clasificación de los ángulos por sus medidas.

De acuerdo con su abertura los ángulos reciben nombres específicos, se ubican en algún rango sin

necesidad de realizar la medición de éstos, lo que permite su fácil localización en las figuras

geométricas:

Ángulo Medida Figura

Agudo Menor de 90°

Recto Mide 90°

Obtuso Mayor de 90° pero menor

que 180°

Llano Mide 180°

Entrante Mayor que 180° pero menor

que 360°

Perígono

1 Mide 360°

1 Se obtiene al hacer girar la semirrecta hasta colocarla en su posición inicial.

158

Con base en la abertura de cada ángulo se puede definir la perpendicularidad de dos rectas:

Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos rectos y se representa

por el símbolo ┴.

La siguiente figura ilustra dos rectas perpendiculares:

y es perpendicular a

Por lo tanto:

1.2.2 Clasificación de los ángulos por

su posición.

Si se consideran la suma de las medidas de

los ángulos, se encontrarán dos casos

particulares. Los ángulos complementarios

y los ángulos suplementarios

Complementarios

Son dos ángulos adyacentes, esto es, que

tienen un lado en común. La suma de sus

aberturas es igual a un ángulo recto o 90°.

Si α1+α2 = 90°, entonces α1 y α2 son complementarios.

Suplementarios

Dos ángulos adyacentes son suplementarios si su suma es igual a la suma de dos ángulos rectos (es

decir, si ambos ángulos suman 180°). Si α + β = 180°, entonces α y β son ángulos suplementarios.

D

B C

A

O

A C

B

α2

α1

C

α β

B A

159

1.3 Triángulos.

Se le llama triángulos a las figuras geométricas planas que poseen tres lados. Se pueden clasificar

por la medida de sus lados o por la abertura de sus ángulos.

1.3.1 Por la medida de sus lados.

Tabla 1.3 Clasificación de los triángulos según sus medidas

Triángulo Descripción Figura

Equilátero Presenta tres lados que

miden lo mismo

Isósceles Dos de sus lados son iguales

Escaleno Sus tres lados son

totalmente diferentes.

1.3.2 Por la abertura de sus ángulos.

Considerando la abertura de los ángulos que forman los lados de un triángulo, estos se clasifican en:

1. Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto (90°).

160

2. Triángulo Obtusángulo: presenta un ángulo obtuso.

3. Triángulo acutángulo: sus tres ángulos son totalmente agudos.

4. Triángulo oblicuángulo: aquél que no es rectángulo, ya que no tiene ningún ángulo recto.

5. Triángulo Equiángulo: tiene sus tres ángulos iguales.

1.3.3 Propiedades relativas de los triángulos.

Los lados del siguiente triángulo son los segmentos de recta o c, b y a,

respectivamente.

Presenta tres ángulos internos: indicados con las letras griegas α, β y ϒ.

Los ángulos externos son los que se forman entre la continuación de un lado y su lado contiguo,

marcados por las letras griegas Ƞ, π, Ѳ.

Ѳ

ϒ

β

π

a

C

B

b Ƞ

α

c

A

161

1.3.3.1 Propiedades de los ángulos de un triángulo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°

De acuerdo a la figura anterior, se establece que α+β+ϒ = 180°.

La suma de los ángulos externos del triángulo es de 360°, los ángulos de la figura anterior

su suma sería Ѳ+π+Ƞ = 360°.

El ángulo externo mide lo mismo que la suma de los ángulos internos no adyacentes a éste:

1.3.3.2 Propiedades de los lados de un triángulo.

Para un triángulo con lados a, b y c, se cumple que:

1. La suma de dos de sus lados es mayor que el tercero, es decir:

a + b > c

a + c >b

b + c >a

2. La resta de dos de sus lados es menor que el otro lado.

a – b < c

a – c < b

b – c < a

Ejemplo:

Una lámpara de mano ilumina un terreno en forma triangular. Los fabricantes indican que el ángulo

de proyección de la lámpara es el doble que el de su modelo anterior. ¿Cuál es la abertura del

ángulo de proyección del modelo anterior?

En la figura:

Ƞ= ϒ+β

π= α+ϒ

Ѳ= α+β

2x

x - 3 2x+33

162

De acuerdo a la figura, el ángulo de proyección de la lámpara es 2x, por lo tanto, el modelo anterior

presentaba un ángulo de proyección de la mitad, x. Para conocer el valor del ángulo de proyección

se procederá a encontrar el valor de x.

Los ángulos internos de un triángulo suman 180°, entonces, con los valores que se proporcionan se

puede establecer la siguiente igualdad:

Eliminando paréntesis y sumando términos iguales tenemos:

Despejando x de la ecuación nos dará el resultado que esperamos.

Lo que implica que el modelo anterior presentaba un ángulo de 30°.

Comprobación:

El resultado obtenido es correcto.

163

AUTOEVALUACIÓN 1 En la tabla que se presenta a continuación escribe en la segunda columna el término punto,

línea o superficie según corresponda a la descripción a la que hace referencia en la primera

columna. En la tercera justifica la respuesta proporcionada.

Descripción Término ¿Por qué?

Pantalla de un cine

Punta de un lápiz

Cuerda tensa

Cubierta de una mesa

Filo de una navaja

2 Con base en la clasificación de ángulos complementarios y suplementarios completa los

espacios en blanco según corresponda. Observa el ejemplo:

El complemento de 72° es 18°, ya que 72° + 18° = 90°

El suplemento de 45° es ________, ya

que

45° + =

El complemento de 34.5° es _______, ya

que

34.5° + =

El suplemento de 26.8° es _________,

ya que

26.8° + =

El complemento de 67° es _________,

ya que

67° + =

3 Calcula el valor de los ángulos restantes de los siguientes triángulos:

α

35°

β

164

x

X + 34

X _________________

X + 34 _______________

117°

α 43.5°

ϒ

β

Ѳ

α _________________

β _________________

Ѳ _________________

ϒ _________________

165

UNIDAD II. COMPRENDES LA

CONGRUENCIA DE

TRIÁNGULOS

Un tema principal en la geometría es la congruencia de triángulos, es decir, cuando se trata de

figuras planas, no se dice que hay igualdad sino congruencia, siendo éste un término equivalente.

Refiere que un triángulo no es igual a otro, debido a que se tienen presentes dos triángulos y no uno

solo.

Supongamos que se tienen dos triángulos, uno con vértices ABC y otro con vértices en PQR, para

indicar la congruencia se escribe (el triángulo ABC es congruente al triángulo

PQR).

Los triángulos congruentes presentan exactamente la misma forma y las mismas dimensiones.

Cualquier pareja de triángulos congruentes tienen tres lados iguales y tres ángulos iguales.

Entonces para los triángulos congruentes ABC y PQR:

por lo que:

1. Todos los lados correspondientes son iguales entre sí, esto es:

2. Todos los ángulos correspondientes son iguales entre sí, por lo que:

Cuando todas las partes de dos triángulos se pueden hacer coincidir, los triángulos son congruentes.

Esto se escribe:

C

A B

R

P Q

166

2.1 Criterios de Congruencia.

Son las condiciones para considerar que dos triángulos son congruentes. En geometría se les

considera teoremas, por lo que son enunciados que se pueden demostrar a partir de axiomas y

postulados.

2.1.1 Criterio de Congruencia Lado, Lado, Lado (L, L, L)

Este criterio indica: Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son iguales. Para los triángulos

:

2.1.2 Criterio de Congruencia Lado, Ángulo, Lado (A, L, A).

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo formado entre ambos

también es igual, para que los triángulos sean congruentes se tienen que cumplir las

expresiones siguientes:

R

Q P B A

C

167

2.1.3 Criterio de Congruencia Ángulo, Lado, Ángulo (A, L, A).

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y el lado adyacente a ambos es igual.

Así, para los triángulos sean congruentes, se tiene que:

Ejemplo de aplicación:

Determina si los triángulos son congruentes, así como encontrar las longitudes del

lado x.

L

J K M

O

P

N

C

B A P

R

Q

168

1. Para la figura se considera el criterio A, L, A (Ángulo, Lado, Ángulo) para determinar que

son congruentes. Y se corrobora que en realidad sí lo son, debido a que se

cumple este criterio, como se puede observar dos parejas de ángulos correspondientes de

los triángulos son iguales y que los lados comunes a ambos pares de

ángulos también son iguales, puesto que los dos miden 12 unidades.

2. Una vez determinada la congruencia de los triángulos y se sabe que los lados

correspondientes tienen la misma medida. El lado corresponde al porque ambos

están enfrente del ángulo de 37°.

3. La longitud del lado es 9 unidades.

4. A partir de la afirmación 2se establece que mide 9 unidades.

5. De los datos se sabe entonces que

6. De acuerdo a las afirmaciones 4 y 5, se deduce que x =9

37°

37°

A

x

B

y

C 12 D

9

E

16

12

169

AFRIMACIÓN O RAZONAMIENTO EXPLICACIÓN

Por ser lados correspondientes de dos

triángulos congruentes.

Por los datos observados en la figura

A partir de las afirmaciones 2 y 3 dos

cantidades iguales a una tercera son iguales

entre sí

De los datos

x=9 A partir de 4 y 5 dos cantidades iguales a una

tercera son iguales entre sí

En Conclusión:

1. En triángulos congruentes, a ángulos iguales se oponen lados iguales y viceversa.

2. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.

3. En todo triángulo, al lado mayor se opone el ángulo mayor y viceversa.

4. En dos triángulos, con dos lados respectivamente iguales y ángulo desigual comprendido

entre ellos, a mayor ángulo se opone mayor lado.

170

AUTOEVALUACIÓN 1 Determina si los triángulos son congruentes. Si es así, anota el criterio que utilizaste

2 Determina si los siguientes triángulos son congruentes y determina la longitud del lado M

B

A

C

E

D

C punto medio de BD y AE

¿Son congruentes?

________________________

Criterio Utilizado:

________________________

D C A

B

M 8

7

5

34° 34°

H

¿Son congruentes?

__________________________

Criterio Utilizado:

__________________________

Valor de M

__________________________

171

UNIDAD III. RESUELVES

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS Y TEOREMAS DE

PITÁGORAS

3.1 Criterios de semejanza.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados

correspondientes proporcionales; esto significa que, entre ellos se puede establecer una escala. Los

triángulos pueden estar girados entre sí, refiriéndose a una inclinación diferente, pero sí se puede

establecer una escala entre ellos, entonces se puede determinar su semejanza.

Para ello se definirán brevemente dos conceptos que servirán para comprender los criterios:

Razón: Comparación entre dos cantidades; se obtiene a partir de la división de dichas

cantidades o magnitudes.

Si se tienen las cantidades a y b, para encontrar su razón se divide a entre b:

Razón ; así la razón entre 12 y 4 es 3: Razón=

Proporción: Es la igualdad existente entre dos razones. Así, para las cantidades a, b, c y d;

la proporción se escribe de la siguiente forma:

Se interpreta como: a corresponde a b, como c corresponde a d.

Para que dos triángulos sean semejantes es necesario tener:

1. Sus ángulos correspondientes sean iguales.

2. Sus lados mantengan una misma proporción, que la razón entre cada uno de sus pares de

lados correspondientes sea el mismo, eso significa que los lados son proporcionales.

Considera los triángulos ABC y A‟B‟C‟

172

Para que los ángulos correspondientes de ABC y A‟B‟C‟ sean iguales se debe de cumplir que:

α = α‟

β = β‟

ϒ = ϒ‟

Para que los lados de ABC y A‟B‟C‟ mantengan la misma proporción debe ocurrir que:

Así, se establece la semejanza de los triángulos ABC y A‟B‟C‟, en símbolos matemáticos se

expresa:

Que se lee: El triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’.

Si dos triángulos cumplen con las condiciones anteriores, entonces son semejantes.

3.1.1 Criterio de Semejanza Lado, Lado, Lado (L, L, L)

Para que dos triángulos sean semejantes, sus tres lados deben ser proporcionales.

173

Si , entonces

3.1.2 Criterio de semejanza Lado, Ángulo, Lado (L, A, L).

Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo que forman ambos

lados es igual.

Si

3.1.3 Criterio de Semejanza Ángulo, Ángulo, Ángulo (A, A, A)

Dos triángulos serán semejantes si dos ángulos correspondientes son iguales

Si

174

Entonces

Si dos de los ángulos correspondientes de ambos triángulos el tercer par de triángulos será

semejante igual.

3.2 Teorema de Tales

Creado por Tales de Mileto, en donde menciona:

“Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos

correspondientes proporcionales”

En la figura anterior, si un ángulo es cortado por paralelas, se originan segmentos proporcionales;

dividiendo en segmentos de rectas que son proporcionales:

Para los triángulos semejantes, se traza una recta paralela a cualquiera de las rectas que forman el

triángulo y esta recta corta el triángulo, entonces se forma otro triángulo de menor tamaño que es

semejante al triángulo inicial.

x

o

z

p

y

w

q

A

C

B A B

C

D E

175

por lo tanto, se establece una proporción entre los segmentos que forman ambos

triángulos.

3.3 Teorema de Pitágoras

Teorema propuesto por Pitágoras de samos en donde relaciona las longitudes de los lados de un

triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es un tipo especial de triángulo que tiene la

particularidad de que uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto, es decir, que mide 90°.

El triángulo ABC de la figura es un triángulo rectángulo que tiene el ángulo C recto, los lados de

este tipo de triángulo tienen nombre:

El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y siempre es el lado con mayor

longitud.

A los lados opuestos a los otros ángulos se les llama catetos.

El teorema de Pitágoras se enuncia:

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”

El cual se representa con la siguiente igualdad:

176

AUTOEVALUACIÓN

1. En cada una de las siguientes figuras, calcula el valor de la incógnita.

B

h

h+4

28

D

20

C A

E

h:____________________________

177

2. Calcula el valor de la incógnita usando el teorema de Pitágoras de los siguientes triángulos

2z+14

5z

36

60

Z: ___________________

x 15

8

X:_________________

3 t

t + 1

3

t: ________

178

UNIDAD IV. RECONOCES LAS

PROPIEDADES DE LOS

POLÍGONOS

4.1 Polígonos

Los polígonos son figuras planas limitadas por la unión de tres o más segmentos de rectas, los

cuales se clasifican de dos formas:

1. Regulares: Polígonos cuyos lados tienen la misma longitud.

2. Irregulares: Polígonos cuyos lados tienen diferentes longitudes.

En relación con sus ángulos los polígonos se clasifican en:

1. Convexos: polígonos con ángulos interiores menores de 180°.

2. Cóncavos: Polígonos con al menos un ángulo interior mayor a 180°.

4.1.1 Elementos de los polígonos

Son las partes que identifican a los polígonos, las cuales se enumeran a continuación:

Vértice: punto en el que se intersectan las rectas que forman el polígono, es decir, las

esquinas de éste, en la figura son los puntos A, B, C, D, E

Ángulo interior: Es el ángulo que forman dos lados adyacentes o contiguos de un polígono,

en la figura son los conformados por las letras griegas α, β, ϒ, ξ, σ.

179

Ángulo exterior: Es el ángulo formado entre uno de sus lados y la prolongación de un lado

adyacente a éste. En la figura, éstos son la prolongación de los lados A, B, C, D, E.

Diagonal: segmento de recta con el que se pueden unir dos vértices no adyacentes de un

polígono. El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono, está determinado

por la fórmula:

Donde n es el número de lados del polígono.

180

4.1.2. Elementos de los polígonos regulares.

Una propiedad de los polígonos regulares de n-lados es que cada uno de ellos tiene una

circunferencia inscrita, es decir, aquella que se dibuja en su interior y que toca todos sus lados y una

circunscrita que es aquella que pasa por todos los vértices del polígono.

181

Propiedad Descripción

Centro Es un punto interior que equidista al polígono

de todos sus vértices, coincide con el centro de

los círculos circunscritos e inscritos.

Radio Radio del círculo circunscrito

Apotema Radio de la circunferencia inscrita.

Ángulo Central Está formado por dos radios que pasan por

vértices consecutivos.

Ángulo Interno Formado por dos lados consecutivos

Ángulo Externo Formado por un lado y la prolongación de otro

consecutivo.

Los polígonos cumplen con determinadas particularidades a las que se les llama propiedades, las

cuales se enumeran a continuación en la siguiente tabla:

Propiedad Descripción

Suma de los ángulos interiores La suma de los ángulos interiores de un

polígono se obtiene a partir de la expresión:

Si es la suma de los ángulos interiores.

n: es el número de lados del polígono.

Suma de los ángulos exteriores Los ángulos exteriores de un polígono suman

360°.

Ángulo interior de un polígono regular La amplitud de los ángulos interiores de un

polígono regular se pueden calcular con la

expresión:

Ángulo exterior de un polígono regular La abertura de todos los ángulos exteriores de

un polígono regular tienen la misma medida

que se calcula como:

Suma de los ángulos centrales de un

polígono regular

Como un polígono se puede inscribir en un

círculo, entonces la suma de ellos mide 360°

Área Su área está dada por donde P es el

perímetro y a la apotema.

182

AUTOEVALUACIÓN

En los siguientes polígonos calcula los valores de su perímetro y área:

De las siguientes figuras calcula el valor de los ángulos interiores, exteriores y el área.

B

A

D

C

P:__________

A:__________

AD=DC=DB=4 BC=7.4

Apotema (a): 2.5

Ángulo Interior: _______________

Ángulo Exterior: _______________

5

O

O

5

Apotema (a): 2.5

Ángulo Interior: _______________

Ángulo Exterior: _______________

183

UNIDAD V. EMPLEAS LA

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es una figura plana y cerrada cuyos puntos están a igual distancia de otro punto

interior llamado centro; gráficamente es el contorno de la figura.

El círculo es el conjunto de puntos interiores de la circunferencia.

De acuerdo a la figura anterior, la circunferencia únicamente presenta longitud, mientras que el

círculo tiene área, es entonces, que el perímetro del círculo se obtiene mediante la fórmula:

Y el área con la siguiente fórmula:

5.1 Elementos y ángulos asociados a la circunferencia

Consideremos una circunferencia con centro en el punto O:

Circunferencia

Círculo

184

Los términos que marcan a la circunferencia se describen en la siguiente tabla:

Término Descripción Línea

Tangente Es cualquier recta que toca a

la circunferencia en uno y sólo

un punto

HI

Secante Recta que corta a la

circunferencia en dos puntos

FG

Diámetro Segmento cuyos extremos

están en la circunferencia y

contiene al centro

BC

Cuerda Es el segmento cuyos

extremos están en la

circunferencia. La mayor

cuerda es el diámetro

DE

Radio Es cualquier segmento que

une al centro con un punto de

la circunferencia. También se

considera una distancia que es

la longitud del segmento

OA

I

A

C

G

F

O

E

D

B

H

185

Propieda

d

Descripción Figu

ra

Arco Es una parte de la circunferencia. Para representarlo se usa el símbolo

Ángulo

Central

Es aquél cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia y sus lados

son dos radios

Ángulo

Semiinsc

rito

Es aquél cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son una

secante y una tangente

Ángulo

Inscrito

Es aquél cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos

cuerdas.

En relación a sus ángulos, algunas propiedades se enuncian a continuación:

Un ángulo central en una circunferencia tiene por medida el arco que lo determina o subtiende.

A

O

B

F

H G

E

D

C

186

Un ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que lo subtiende

Un ángulo semiinscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que subtiende a su

correspondiente ángulo central.

187

Los ángulos inscritos en una circunferencia subtendidos por el mismo arco son iguales.

Todo ángulo inscrito en una circunferencia subtendido por una semicircunferencia es recto.

188

Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.

Los ángulos opuestos por el vértice, que determinan dos cuerdas de una circunferencia que se

cortan, tienen por medida la semisuma de los arcos limitados por sus lados.

189

El ángulo formado por dos secantes, que se cortan fuera de la circunferencia, tiene por medida la

semidiferencia de los arcos que lo subtienden.

5.2 Rectas tangentes a una circunferencia.

Es de suma importancia destacar que la tangente a una circunferencia tiene la propiedad de ser

perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia.

Si se tienen dos rectas tangentes desde un punto P exterior a una circunferencia con puntos de

tangencia r y π, entonces los segmentos Pπ y Pr son iguales.

190

Si se tienen dos circunferencias que se cortan y dos rectas tangentes desde un punto P exterior a

ambas circunferencias con puntos de tangencia en C, D, E y F, respectivamente, entonces los

segmentos CD y EF son iguales.

O’ O

D

C

F

E

P

191

AUTOEVALUACIÓN

En cada una de las siguientes figuras calcula el valor que se indica de acuerdo con los datos

que se proporcionan.

α: 120°

β:_______

π:_______

A

β

α

π

C

B

α: 85° y

A

B α

D C

192

En las siguientes figuras, encuentra el valor de las incógnitas en grados

a:_______

b:_______

b

B

3a

C

4a

A

2a

a:__________

b:__________

F

E

a

3a

G

b

193

UNIDAD VI. DESCRIBES LAS

RELACIONES

TRIGONOMÉTRICAS PARA

RESOLVER TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS

6.1 Funciones Trigonométricas

Se definen como las relaciones de proporcionalidad que hay entre las longitudes de dos de los lados

de un triángulo rectángulo, se obtienen al dividir la longitud de uno de los lados de un triángulo

rectángulo entre la longitud de otro de ellos.

En un triángulo rectángulo se puede conocer la longitud de un lado sabiendo la longitud de los otros

lados, o conociendo la abertura de uno de los ángulos y la longitud de uno de sus lados.

6.1.1 Sistema Sexagesimal y circular.

La medición de ángulos se puede hacer en dos sistemas distintos, el sistema sexagesimal y circular.

En el primero de ellos divide la medida de un arco completo de circunferencia ene 360 partes, las

cuales se denomina grado y se escribe (°), se divide en 60 minutos, representados con una comilla

(„) y cada minuto en 60 segundos, representados por dos comillas („‟). En este sistema un cuarto de

circunferencia mide 90°, media circunferencia 180° y un arco de circunferencia 360°.

194

En el sistema circular la unidad de medida de los ángulos son los radianes. Un radián se define

como un arco de longitud igual al radio de una circunferencia. Un arco completo de circunferencia

mide 2πradianes, usualmente, los ángulos se expresan en fracciones como: , etc.

Como ambos sistemas miden ángulos, se puede encontrar una equivalencia en ellos: igualando la

medida del arco completo de la circunferencia se tiene:

Despejando los radianes, se tiene que:

6.1.2. Razones Trigonométricas directas de ángulos agudos.

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Por definición un triángulo rectángulo

tiene un ángulo recto, que mide 90°, por lo tanto, los ángulos restantes son agudos. Para la figura

siguiente se definen las siguientes funciones trigonométricas directas:

Función Descripción Ángulo α Ángulo β

Seno Es la relación entre el

cateto opuesto a un

ángulo y la hipotenusa

de un triángulo

rectángulo

Coseno Es la relación entre el

cateto adyacente y la

hipotenusa

Tangente Es la relación entre el

cateto opuesto y el

cateto adyacente a un

ángulo.

β

α

c

a

b

195

6.1.3. Razones trigonométricas recíprocas de ángulos agudos.

Existen otras funciones trigonométricas que son recíprocas a las anteriores.

Función Descripción Ángulo α Ángulo β

Secante Relación entre la

hipotenusa de un

triángulo rectángulo y

el cateto adyacente a

ese ángulo.

Cosecante Es la relación entre la

hipotenusa de un

triángulo rectángulo y

el cateto opuesto de ese

ángulo

Cotangente Es la relación entre el

cateto adyacente de un

ángulo y el cateto

opuesto a ese mismo

ángulo.

6.2 Resolución de triángulos rectángulos.

Conociendo el valor de una función trigonométrica de uno de los ángulos agudos del triángulo

rectángulo, se puede saber el valor de cualquier función trigonométrica. Esto se hace aplicando las

definiciones de las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

Para el siguiente triángulo se sabe que la función trigonométrica

Determinar los valores de los ángulos, así como las longitudes de los lados a, b y c.

Se sabe que , entonces, para la figura:

b

C

a

β

c

α

B

A

A

196

Por lo tanto, de las dos igualdades se deduce que:

a: 3 y c: 5

Una vez obtenidos a y c, se obtiene la longitud de b aplicando el teorema de Pitágoras:

Despejando b, se tiene:

Sustituyendo en la ecuación, los valores de a y c.

197

AUTOEVALUACIÓN

Convierte a radianes los siguientes ángulos.

1. 83.5°__________

2. 28° ___________

3. 27°25‟20‟‟ _______

4. 25° ____________

5. 40.55° _________

6. 53°22‟40‟‟_______

Convierte a grado los siguientes ángulos.

1. 43 rad _________

2. 102 rad ________

3. _________

4. 2 rad _________

5. 8 rad _________

6. 30 rad ________

Calcula el valor de las siguientes funciones trigonométricas de un ángulo de 60°

Sen 60°_________________________ csc 60°________________________

Cos 60° ________________________ sec 60°_________________________

Tan 60°________________________ cot 60° _________________________

Resuelve lo siguiente:

La tangente de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es , encuentra los

valores correspondientes a las longitudes de los catetos y la hipotenusa.

198

UNIDAD VII. APLICAS LAS

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS 7.1 Funciones Trigonométricas en el plano cartesiano.

El plano cartesiano es un espacio en dos dimensiones, formado por dos rectas dirigidas llamadas

ejes. Ambas son perpendiculares entre sí y se intersectan en un punto llamado origen al que se le

asignan las coordenadas (0,0).

Se establece un sistema de coordenadas (x,y). A los valores x se les llama coordenadas en x o

abscisas. A los valores y se les llama coordenadas en y u ordenadas.

Usualmente, las coordenadas en x, se representan las “variables independientes”, y en el eje y las

“variables dependientes”, llamadas así, porque su valor depende de los valores que tome o que se le

asignen a la variable x.

También se pueden representar las razones trigonométricas que ya se conocen.

Considerando la relación trigonométrica seno, sabiendo que es la razón entre la longitud del cateto

opuesto y la del cateto adyacente, tal y como se muestra en el triángulo de la siguiente figura

trazado en un sistema cartesiano, haciendo coincidir uno de los catetos con el eje x.

Como se aprecia, el triángulo está en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el que las

magnitudes en x y y son positivas.

199

Significa que α es el ángulo cuyo seno es 0.707106781.

Este valor del seno es único para un solo ángulo o sus ángulos múltiplo. En términos matemáticos

esto se indica diciendo que la razón seno es una función. Entonces, a partir del valor de una función

trigonométrica para un ángulo, se puede conocer la abertura del ángulo, aplicando una función

inversa, que es lo equivalente a despejar.

Despejando α:

Considerando todos los posibles triángulos rectángulos con un cateto que coincida con el eje

horizontal y un vértice que coincida con el del plano cartesiano, como se muestra a continuación.

En el plano cartesiano de la figura anterior, para un ángulo α ubicado en cualquier cuadrante, el

cateto opuesto tiene el signo de las coordenadas en y, mientras que el cateto adyacente tiene el signo

de las coordenadas en x. Con base en esta información, se puede conocer el signo que tienen las

funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes de un sistema cartesiano.

7.2 Círculo Unitario.

Las razones trigonométricas se definen como la relación entre las longitudes de dos lados de un

triángulo rectángulo. A su vez, las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinan la

abertura de uno de los ángulos agudos de este triángulo.

Para determinar los valores de las funciones trigonométricas, se sugiere que uno de los catetos de

cualquier triángulo rectángulo coincida con el eje de las x y uno de sus vértices con el origen de un

sistema cartesiano, además, los triángulos deben de estar dentro de un círculo con radio r = 1. Por

esta razón, a este círculo se le llama círculo unitario.

A partir de las longitudes de los catetos de los diferentes triángulos rectángulos en un círculo

unitario, se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo.

Dado que la hipotenusa de los triángulos tiene como longitud 1, se determina el valor de las

funciones trigonométricas y sus funciones recíprocas para cualquier ángulo α como:

200

Sen α = x Csc α =

Cos α = y Sec α =

Tan α = Cotan α =

7.2.1 Gráfica de la función seno.

Una función se define como la relación biunívoca entre dos variables. Esto significa que para todo

valor de una variable independiente, corresponde un solo valor de la variable dependiente.

Al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x) se le llama dominio de la

función, mientras que los valores que puede tomar la variable dependiente (y) se le denomina rango

o recorrido de la función.

Las razones trigonométricas son funciones, ya que para cada ángulo corresponde un valor de una

función trigonométrica; si se representa al conjunto de ángulos en el eje x y a los valores que puede

tomar la función seno en el eje y, se encontrará la gráfica de la función seno para cualquier ángulox,

es decir, la gráfica y = sen (x)se lee como “y igual al seno de x”.

Visto en el bloque anterior, los valores de las funciones trigonométricas se calculan a partir del

círculo unitario y que la función y = sen (x) toma el valor de la ordenada al origen o la distancia y

para todos los puntos de la circunferencia que enmarca al círculo unitario.

Con esta información se puede completar una tabla de los valores de las funciones trigonométricas

para diferentes ángulos del primer cuadrante (de 0° a 90°). En la gráfica anterior se puede observar

que para un ángulo de 0°, y = 0, mientras que para un ángulo de 90° ( ) la función y = 1. Con esos

datos se puede completar una gráfica del primer cuadrante del círculo unitario.

201

Cuadrante I

ÁNGULO EN

RADIANES

0

ÁNGULO EN

GRADOS

0° 30° 45° 60° 90°

VALOR

FRACCIONARIO

DE LA FUNCIÓN

SENO

0

1

VALOR

DECIMANL DE

LA FUNCIÓN

SENO

0 0.5 0.7071 0.8660 1

Con los valores de la función para todos los cuadrantes se puede hacer una aproximación a la

gráfica de la función y = sen (x), como la que se muestra a continuación:

Cuadrante II

En el círculo unitario se nota que para un ángulo de 90°, y = 1, mientras que para un ángulo de

180°(π) y = 0.

A partir de la tabla y el círculo unitario anterior, se puede inferir los valores para ángulos mayores

que 90° o mayores que . Como se puede observar en el círculo unitario anterior, sen 120 ° = sen

60°, sen 135° = sen 45°, sen 150° = sen 30°.

ÁNGULO EN

RADIANES

ÁNGULO EN

GRADOS

90° 120° 135° 150° 180°

VALOR

FRACCIONARIO

DE LA FUNCIÓN

SENO

1

0

VALOR

DECIMANL DE

LA FUNCIÓN

SENO

1 0.5 0.7071 0.8660 0

202

Cuadrante III

Los ángulos miden 180° más o π más que los del cuadrante I. En el círculo unitario se observa que

para un ángulo 180°, y = 0, mientras que para un ángulo de 270°(π) la función y = -1.

Los valores absolutos de los ángulos intermedios son los mismos, porque las distancias al eje y son

las mismas, pero su signo es negativo por encontrarse abajo del eje x.

ÁNGULO EN

RADIANES

Π

ÁNGULO EN

GRADOS

180° 210° 225° 240° 270°

VALOR

FRACCIONARIO

DE LA FUNCIÓN

SENO

0

-1

VALOR

DECIMANL DE

LA FUNCIÓN

SENO

0 -0.5 -0.7071 -0.8660 -1

Cuadrante IV.

Los ángulos miden 90° más o más que los del cuadrante III. Para un ángulo 270°, y = -1, mientras

que para un ángulo de 360°(π) la función y = 0. Los valores absolutos son los mismos, porque las

distancias al eje y son las mismas. Su signo es negativo por encontrarse abajo del eje x.

ÁNGULO EN

RADIANES

ÁNGULO EN

GRADOS

270° 300° 315° 330° 360°

VALOR

FRACCIONARIO

DE LA FUNCIÓN

SENO

-1

0

VALOR

DECIMANL DE

LA FUNCIÓN

SENO

-1 -0.5 -0.7071 -0.8660 -1

Se puede resumir lo siguiente:

Dominio: su gráfica es continua, porque está definida para todos los valores reales de x. Rango o

recorrido: La función seno toma valores entre -1 y 1.

La gráfica de y = sen(x) intersecta al eje x en untos que son múltiplos de π, los cuales se pueden

representar con la expresión nπ, considerando que n es un número entero.

Sabemos que esta función trigonométrica tiene el mismo valor para sus ángulos múltiplo,

representados por las expresiones n360° o n2π. Así que la gráfica de esta función se repetirá cada

203

intervalo de 2π, por lo que se dice que la función seno es una función periódica, con periodos

iguales a 2π.

De acuerdo con lo anterior, se obtiene una gráfica extendida de la función y = sen (x) como la que

se presenta a continuación:

Gráfica de la función seno.

Gráfica de la función coseno

La función coseno se puede escribir como: f(x) = cos x.

Dominio: Su gráfica es continua, porque está definida para todos los valores reales de x. Rango o

recorrido: Toma valores entre -1 y 1. Es una función periódica, con un periodo de 2π.

Su gráfica intersecta al eje x en los puntos cuyas abscisas son , considerando que n puede ser

cualquier número entero.

204

Gráfica de la función Tangente

La función tangente se puede expresar como: f(x) = tan x. Su gráfica es la siguiente:

205

AUTOEVALUACIÓN

Encuentra el ángulo reducido y grafícalo

Ángulo Procedimiento Ángulo Reducido Figura

1997°

375°

580°

-763°

-3500°

206

UNIDAD VIII. APLICAS LAS

LEYES DE LOS SENOS Y

COSENOS. 8.1 Ley de los senos

Para cualquier triángulo oblicuángulo como el de la figura, con vértices A, B y C lados a, b, c y

ángulos A, B, C.

En el cual:

a es el lado opuesto al vértice A.

b es el lado opuesto al vértice B.

c es el lado opuesto al vértice C.

Se cumple lo siguiente:

Hay una razón constante entre la longitud de los lados y el valor de la función seno para el ángulo

interno del triángulo opuesto a cada uno de los lados. Esto se expresa en términos matemáticos de la

siguiente manera:

Utilizando esta ley se puede resolver completamente un triángulo, esto es, encontrar la abertura de

sus ángulos y la longitud de sus lados.

Analizando la expresión de la ley de los senos, nos damos cuenta de que se aplican cuando:

a. Se conocen dos de los ángulos de un triángulo y uno de los lados.

b. Se conoce la longitud de dos de los lados del triángulo y el ángulo opuesto a uno de esos

lados.

C

a

B

c A

b

207

Considere el triángulo siguiente:

Para el triángulo, se conocen las longitudes de dos lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados.

Por lo tanto, para resolver el triángulo, se aplica la ley de los senos.

Reescribiendo los datos conocidos para que coincidan con la expresión anterior:

Utilizamos entonces la igualdad:

Sustituyendo en ella los datos conocidos, tenemos:

En la ecuación anterior sen 50° es un valor numérico (0.76604443), así que el único dato

desconocido es Sen B que será la variable a despejar en la ecuación anterior.

50

°

C

18

B

c A

15

208

Para conocer el ángulo B, se requiere despejar el seno inverso, entonces:

Considerando que los ángulos internos de un triángulo suman 180°, implica que:

Despejando el ángulo C se tiene:

Encontrando el valor de C considerando unidades en grados:

Para resolver totalmente el triángulo sólo nos falta conocer la longitud del lado c. Para encontrarlo

podemos aplicar nuevamente la ley de los senos y despejar sen C siguiendo un procedimiento

similar al anterior.

Sustituyendo datos en la ecuación:

Despejando la variable c:

8.2 Ley de cosenos

Para cualquier triángulo oblicuángulo como el de la figura, con vértices A, B y C lados a, b, c y

ángulos internos A, B, C.

209

En el cual:

a es el lado opuesto al vértice A.

b es el lado opuesto al vértice B.

c es el lado opuesto al vértice C.

A es el ángulo interno con origen en el vértice A.

B es el ángulo interno con origen en el vértice B.

C es el ángulo interno con origen en el vértice C.

Se cumple que:

El cuadrado de la longitud de cualquiera de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados, menos el doble producto de la longitud de esos lados por el seno del ángulo opuesto

al lado.

Esta ley se resume en forma algebraica mediante las expresiones:

Lados Ángulos

Esta ley se utiliza para resolver completamente un triángulo oblicuángulo. Analizando la expresión

de la ley de los senos, nos damos cuenta que se puede aplicar cuando:

a. Se conocen las longitudes de dos de los lados, así como la abertura del ángulo que forman.

b. Se conocen las longitudes de los tres lados.

Considera el triángulo siguiente y los pasos a seguir para resolverlo en tu cuaderno:

C

a

B

c A

b

210

C

11

B

13 A

12.5

211

AUTOEVALUACIÓN

Considerando los datos que se dan en cada caso, resuelve cada triángulo, determinando los

valores faltantes.

a: 12 b: 15 c: 18 A: B: C:

a: 5 b: 7 c: 10 A: B: C: 111°48’

212

UNIDAD IX. APLICAS LA

ESTADÍSTICA ELEMENTAL El nombre estadística proviene de la palabra Estado en el sentido de un gobierno central, ambas

palabras provienen de la palabra latina status, que significa el modo de ser o la situación de las

cosas.

En sus orígenes la estadística se utilizó para plantear cuestiones que eran importantes para los

Estados como son: La población, la distribución de la riqueza, el pago de impuestos, las cosechas

durante un año, entre otros.

9.1 Población.

Se le conoce como población al conjunto de todos los individuos de los que se desea conocer alguna

característica, comportamiento o propiedad. Un individuo es cualquier caso especial que tenga

información sobre una propiedad a estudiar.

Ejemplo:

Se quiere estudiar el consumo diario de kilos de alimento de los pandas de un zoológico, en este

caso, las características a estudiar es el consumo alimenticio diario en Kilogramos de los pandas.

9.2 Muestra

En poblaciones amplias no se puede hacer un estudio exhaustivo de todos los individuos que

forman una determinada para saber qué ocurre con algunas de las características que se quiere

estudiar en un grupo determinado. Para ello, se estudia un grupo más pequeño de la población, un

subconjunto menor que sea suficientemente representativo de la población en la que se desea

estudiar una propiedad o característica, de manera que la información sea más manejable. A este

grupo se le llama muestra.

Una muestra es un subconjunto de la población en la que se quiere estudiar determinada propiedad

o característica. Al número de individuos, o la cantidad de casos particulares de una muestra se le

llama tamaño de la muestra.

9.3 Datos agrupados y no agrupados.

En estadística, los datos no agrupados están dados por una lista de valores de la variable a medir.

Un ejemplo de datos es el siguiente:

Los coeficientes intelectuales (CI) de 20 personas dados en la siguiente lista de valores.

90, 95, 140, 100, 88, 115, 110, 150, 110, 100, 120, 96, 130, 150, 110, 88, 100, 70, 60, 115.

Para muestras más grandes, se tienen más valores de la variable a medir y algunos de esos datos se

repiten para varios individuos de la muestra. En estos casos, se acostumbra a agrupar los datos. Para

hacerlo, se representan los valores de la variable o propiedad a medir en una tabla de frecuencias,

213

una tabla en la que se registran los valores de la variable a estudiar indicando la frecuencia o el

número de ocurrencias de cada uno de los valores de la variable a medir.

Por ejemplo: En un estudio de la edad a la que empiezan a caminar los bebés, se toma una muestra

de 30 edades en que los niños empiezan a caminar. Esta es la propiedad a estudiar. Los individuos

de la muestra son cada uno de los valores de las edades en que cada uno de los bebés empezó a

caminar. Los datos o valores de la muestra se agrupan y se presentan en una tabla de frecuencias,

considerando la variable estadística (edad en meses en que los niños empezaron a caminar). La

frecuencia es el número de datos que indicaban determinada edad. En estadística, la frecuencia se

representa con la letra f.

Edad en meses Frecuencia (f)

9 1

10 1

11 4

12 2

13 3

14 6

15 3

Para la representación de datos estadísticos, en ocasiones se utilizan tablas en las que se registran de

manera ordenada las variables estadísticas y su frecuencia.

Otra forma de representar datos estadísticos es a través de gráficos de pastel, o de gráficas de barras.

Sin embargo, para resumir la información que hay en las tablas y las gráficas, se utilizan valores de

parámetros estadísticos. Estos se pueden clasificar en dos grupos: Las medidas de tendencia central

y las medidas de dispersión.

9.4 Medidas de tendencia central para datos no agrupados.

En un estudio estadístico, se puede estudiar una sola propiedad o varias propiedades

simultáneamente o cuando se requiere caracterizar alguna observación o propiedad en una

población, se hace a partir de un solo valor. Generalmente dicho valor se encuentra en la parte

central de la distribución de datos, por eso se llama medida de tendencia central o centralización.

Entre esas medidas están la media aritmética, la moda y la mediana.

214

Media aritmética:

Es la suma de todos los valores de la muestra, dividido entre el número de ellos (el tamaño de la

muestra). En términos matemáticos la media para datos no agrupados se expresa como:

Donde es el símbolo para la media aritmética. X1 a xn son los datos y n es el total de datos o el

tamaño de la muestra.

La expresión anterior también se puede representar como:

Para datos no agrupados, la media se calcula de la siguiente forma:

Donde f1 a fn son las frecuencias para los valores

Moda

Es el dato que tiene mayor frecuencia, el que se repite en una muestra.

Mediana.

Se ordenan los datos de menor a mayor y el valor de la variable a medir se encuentra justo a la

mitad de los valores bajos y los valores altos, cuando la cantidad de valores son un número

impar, es la mediana, en el caso de que la cantidad de valores sea un número par, se toman los

dos valores centrales, estos se suman y se dividen entre dos, y así se obtiene la mediana.

9.5 Medidas de dispersión: Para datos no agrupados y agrupados.

En estadística existen parámetros que sirven para medir qué tanto se alejan los datos de una medida

central. Estos parámetros son entre otros: El rango o recorrido, la desviación media y la varianza.

Rango o recorrido

Es la diferencia entre el dato de mayor valory el de menor valor de un grupo de datos o de una

distribución estadística. Así, para el ejemplo de la edad en que 30 niños empiezan a caminar el

rango son 15 meses – 9 meses = 6 meses.

Desviación media

Es la diferencia que hay entre cada uno de los valores de la muestra y la media aritmética. Por

lo tanto existe para cada individuo de la muestra; la desviación media se calcula como:

Donde i, puede tomar valores desde 0, hasta n, que es el número total de individuos en la

muestra.

215

Varianza:

Se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una

distribución estadística. La varianza se representa por la letra griega sigma minúscula elevada al

cuadrado, es decir, :

Para datos no agrupados se calcula de la siguiente forma:

Para datos agrupados se calcula con la expresión:

La varianza es un valor que permite comparar poblaciones. Si la dispersión de los datos es

grande, el valor de este parámetro también es. Sus valores son positivos o cero.

Desviación estándar o desviación típica.

Se define como la raíz cuadrada de la varianza y se representa por la letra griega . Este

parámetro estadístico está en las mismas unidades de la variable que se está estudiando.

216

AUTOEVALUACIÓN

Calcula lo que se pide

Los salarios en pesos de 60 empleados de una empresa son los siguientes:

51 53 56 57 76 55 47 50 50 49

58 132 90 92 128 62 50 63 54 90

127 136 94 97 139 63 55 92 112 93

127 237 106 195 155 84 62 126 141 146

207 602 106 197 177 169 124 153 175 168

446 550 142 268 223 398 359 227 276 238

Haz una ordenación de la información anotando todos los elementos en la siguiente tabla:

Salarios ($)

51-150

151-250

251-350

351-450

451-550

551-650

217

Completa la siguiente tabla:

Salarios ($) X f fx Fx2

51-150

151-250

251-350

351-450

451-550

551-650

Determina la media aritmética.

Determina la mediana.

Encuentra la moda.

Encuentra la desviación estándar.

¿Cuál es el rango de la población?

Encuentra los límites del intervalo en donde se estima que se encuentre el 68% de los datos

de la población.

218

UNIDAD X. EMPLEAS LOS

CONCEPTOS ELEMENTALES DE

LA PROBABILIDAD 10.1 Probabilidad Clásica.

La estadística puede servir para tomar decisiones en política o en medicina. Por eso es importante

que los datos con los que se trabaja en estadística sean confiables. A veces los datos de una

estadística están influenciados por eventos azarosos o casuales y tienen cierto grado de

incertidumbre. En estos casos la probabilidad puede ser muy útil, determinando las reglas para

medir esa incertidumbre.

La palabra probabilidad se utiliza en la vida cotidiana, indicando la posibilidad de que algo ocurra.

En el ámbito de las matemáticas la probabilidad se refiere a algo más concreto: A la probabilidad de

que ocurra un suceso en particular, en términos del porcentaje de veces que ocurriría ese suceso si

se realizaran muchas observaciones o experimentos bajo las mismas condiciones.

Se acostumbra representar un suceso o evento con letras mayúsculas, por ejemplo si se estudia el

sabor preferido por los clientes de una heladería. A puede representar el hecho de que un cliente

compre un helado de vainilla y B el hecho de un cliente compre un helado de fresa.

La letra que se utiliza para un evento en forma general es la letra E, la probabilidad de que ocurra el

evento se expresa como: P(E). La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1, esto es:

Los eventos que tienen probabilidades en este intervalo se llaman eventos aleatorios y son los que

estudia la probabilidad, estos eventos tienen que ver con el azar. La palabra aleatorio está

relacionada con la palabra “alea” que en latín significa azar y con la palabra “aleatorius”, que en

latín se refiere a los juegos de dados.

En los valores extremos de la probabilidad se encuentran los eventos deterministas, aquellos que se

sabe con certeza si ocurrirán o no. En los eventos o fenómenos deterministas, los resultados siempre

son los mismos.

Un evento o suceso que nunca ocurre tiene una probabilidad 0.

Un evento que siempre ocurre tiene una probabilidad 1.

Si se considera evento A, que ocurre en k elementos de una población total de N, la probabilidad de

A se determina con la expresión:

219

Ejemplo:

En una pecera con 100 peces dorados 5 de ellos tienen una infección en la piel, entonces si

definimos:

N: Población total de los peces.

A: El hecho de que un pez padeciera una infección en la piel.

La probabilidad de que un pez tenga una infección en la piel se estima como:

Así que, las probabilidades se expresan en forma de fracciones comunes, fracciones decimales o

porcentajes.

10.2 El espacio muestral.

Es el conjunto de todos los eventos o sucesos posibles en una prueba. Se acostumbra a representar

con la letra S.

Escribe el espacio muestral de los días de la semana.

Escribe el espacio muestral de los sentidos.

Escribe el espacio muestral de las estaciones del año.

Para un experimento lanzando un dado, el espacio muestral será:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si el experimento consiste en tirar dos dados, cada elemento del espacio muestral será una pareja de

números y los sucesos posibles serán todas las parejas posibles de números del uno al seis.

En algunas ocasiones determinar S, puede resultar útil para encontrar la probabilidad de un evento:

Por ejemplo, si para el experimento anterior se quiere calcular la probabilidad de obtener dos veces

el mismo número, podemos hacer lo siguiente:

Definimos el evento A como el evento en el que ambos dados caen en el mismo número. Contamos

el número de elementos totales de S y establecemos que N = 36(que son las posibles caídas

diferentes). Contamos los elementos en los que se obtiene el mismo número y establecemos que

K=6. Sustituimos estos valores en la fórmula general de la probabilidad:

220

Así, sabemos que la probabilidad de obtener el mismo número cuando se lanzan los dados es del

16.66%.

10.3 Propiedades básicas del cálculo de probabilidades.

El complemento:

Dado un evento A, a su contrario (que no suceda A) se le conoce al complemento como , que

se lee: “complemento de A”. Se establece que:

Esto es que la probabilidad de que ocurra un evento A es igual a uno, menos la probabilidad de

que no ocurra tal evento2.

Eventos mutuamente excluyentes.

Dados los eventos A, B, C,… que son todos los posibles resultados en una observación o

experimento. Estos resultados son mutuamente excluyentes, si no pueden ocurrir

simultáneamente en una misma prueba.

Ejemplo

Lanzar un dado dos veces, lanzamiento 1 (A), lanzamiento 2 (B), los eventos son

independientes porque el resultado del primer evento no afecta sobre la probabilidad de que

caiga un número del 1 al 6 en el segundo lanzamiento, representado por un diagrama de Venn:

Las probabilidades de todos los posibles eventos o resultados en una observación suman 1.

2 Para aplicar directamente esta propiedad y las que se presentarán más adelante, hay que expresar la probabilidad en forma de fracción, conviene hacerlo en forma de fracción decimal.

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Eventos no excluyentes entre sí. Cuando la ocurrencia de un evento no impide que suceda

también otro; por ejemplo que la edad de Alejandro sea 17 años y tenga bicicleta.

Representando este tipo de eventos en un diagrama de Venn sería:

222

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve los siguientes ejercicios.

1. En el lanzamiento de dos dados, considera los eventos A: obtención de 11 y B: obtención de 7.

a) Calcula P(A)

b) Calcula P(B)

2. Dos contendientes de ajedrez se han enfrentado en 12 ocasiones. El jugador A ganó cinco

partidas y el jugador B ganó cuatro, quedando empatados en las restantes. Calcula la probabilidad

de:

a) Gane A en un nuevo encuentro.

b) Gane B en un nuevo encuentro.

c) Queden empatados en un nuevo encuentro.

3. Una baraja consta de 52 cartas.

a) ¿Qué probabilidad se tiene de obtener, en una extracción un as?

b) ¿En dos extracciones, sin reemplazo, dos ases…?

c) ¿En dos extracciones, sin reemplazo, un as y un rey…?

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Bibliografía

Albarrán, Y. C. (2012). MATEMÁTICAS 2. México: Anglo.

Gutiérrez, S. S. (2009). MATEMÁTICAS 2. México: Nueva Imagen.

Vásquez, P. S. (2006). MATEMÁTICAS 2. México: Nueva Imagen.