Clase 2 - Introducción al Programa de Matemáticas

Sistemas de numeraciónParte II

3009353 Introducción al Programa de Matemáticas

Juan D. Vélez

U. Nacional

11 febrero 2013

Juan D. Vélez (U. Nacional) 11 febrero 2013 1 / 24

Solución a la tarea 1

1 La multiplicación maya puede extenderse al caso de enteros condistinto número de dígitos introduciendo lineas punteadas querepresentan las cifras iguales a cero. Las intersecciones con estaslíneas no aportan nada a la cuenta. Por ejemplo, 24� 301 puedenmultiplicarse de la siguiente manera

2 Es claro que el método funciona independiente de la base escogida.Juan D. Vélez (U. Nacional) 11 febrero 2013 2 / 24

Calculadora digital

Al multiplicar por 9 un número n entre 2 y 9, el resultado serásiempre un número de dos dígitos, del 18 al 81. Al doblar el dedonúmero n (de izquierda a derecha, y como se indicó antes), a laizquierda quedan n� 1 dedos; y a la derecha quedan 10� n. Así quele número que se lee en las manos es precisamente cd , conc = n� 1, d = 10� n. Pero ello signi�ca precisamente que

cd = 10c + d = 10(n� 1) + (10� n)Simpli�cando a la derecha se obtiene 10(n� 1) + (10� n) = 9n.

Si doblamos, por ejemplo, el cuarto dedo (n = 4) a su izquierdaquedan 3 = n� 1 dedos, y a la derecha quedan 10� n = 6.Ciertamente se cumple que 36 = 10� (4� 1) + (10� 4).


Calculadora digital

Al multiplicar por 9 un número n entre 2 y 9, el resultado serásiempre un número de dos dígitos, del 18 al 81. Al doblar el dedonúmero n (de izquierda a derecha, y como se indicó antes), a laizquierda quedan n� 1 dedos; y a la derecha quedan 10� n. Así quele número que se lee en las manos es precisamente cd , conc = n� 1, d = 10� n. Pero ello signi�ca precisamente que

cd = 10c + d = 10(n� 1) + (10� n)Simpli�cando a la derecha se obtiene 10(n� 1) + (10� n) = 9n.Si doblamos, por ejemplo, el cuarto dedo (n = 4) a su izquierdaquedan 3 = n� 1 dedos, y a la derecha quedan 10� n = 6.Ciertamente se cumple que 36 = 10� (4� 1) + (10� 4).


Teoría de los sistemas de numeración

Fijemos un entero b > 0. Todo número entero n � 0 admite unadescomposición única

n = qrbr + qr�1br�1 + � � �+ q0, (1)

con qi , r enteros no negativos.

Comenzamos por hallar br , la potencia más grande de b que nosobrepasa a n (br � n). Luego dividimos a n entre br . Llamemos qral cociente y n0 al residuo de esta división. Es decir:n = qrbr + n0,con 0 � r < br .Es claro que qr ha de ser un entero no negativo menor que b, de otramanera br+1 � n, lo cual contradiría el hecho de que br es lapotencia más alta menor o igual a n.

Repetimos el mismo procedimiento para n0 : hallamos bs � n0 tal quen0 = qsbs + n00, con 0 � qs < b. De aquí que n = qrbr + qsbs + n00.El proceso se repite hasta que el residuo sea cero.




n = qrbr + qr�1br�1 + � � �+ q0, (1)


Comenzamos por hallar br , la potencia más grande de b que nosobrepasa a n (br � n). Luego dividimos a n entre br . Llamemos qral cociente y n0 al residuo de esta división. Es decir:n = qrbr + n0,con 0 � r < br .

Es claro que qr ha de ser un entero no negativo menor que b, de otramanera br+1 � n, lo cual contradiría el hecho de que br es lapotencia más alta menor o igual a n.





n = qrbr + qr�1br�1 + � � �+ q0, (1)







n = qrbr + qr�1br�1 + � � �+ q0, (1)



Repetimos el mismo procedimiento para n0 : hallamos bs � n0 tal quen0 = qsbs + n00, con 0 � qs < b. De aquí que n = qrbr + qsbs + n00.

El proceso se repite hasta que el residuo sea cero.




n = qrbr + qr�1br�1 + � � �+ q0, (1)





Al �nal se encuentra una expresión para n de la forman = qrbr + qsbs + � � �+ qlbl . Es claro que añadiendo sumandos"mudos" qjbj , con qj = 0, la suma puede escribirse como en 1.

Theorem

La expresión n = qrbr + qsbs + � � �+ qlbl es única.

Proof.Supongamos dos escrituras para n

n = qrbr + � � �+ q0 = arbr + � � �+ a0.

Sin pérdida de generalidad podemos asumir que a0 � q0 (para el casoa0 � q0, el razonamiento es idéntico). De la igualdad anetrior se deduceesta otra:

(qr � ar )br + � � �+ (q1 � a1)b1 = a0 � q0.El lado izquierdo es divisible por b, por tanto b también divide aa0 � q0 � 0. Pero esta diferencia es menor que b, por consiguientea0 � q0 = 0, es decir,a0 = q0.


Demostración de la unicidad

Demostración (Continuación) Factorizando b en el lado izquierdo seobtiene

b((qr � ar )br�1 + � � �+ (q1 � a1)) = 0.Como b 6= 0, se deduce que

(qr � ar )br�1 + � � �+ (q1 � a1) = 0.

Si el paso anterior se repite, se deduce entonces que q1 = a1. Continuamosde esta manera. Esto nos lleva a concluir que a2 = q2, . . . , ar = qr .


Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1� 26 + 48, q6 = 1, n0 = 48

48 = 1� 25 + 16, q5 = 116 = 1� 24 + 0, q4 = 1El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.

La representación en base 2 es112 = 1� 26 + 1� 25 + 1� 24 + 0� 23 + 0� 22 + 0� 21 + 0Lo que se escribe como 111000 (base 2).

La prueba de la unicidad sigue los pasos del teorema anterior.


Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1� 26 + 48, q6 = 1, n0 = 4848 = 1� 25 + 16, q5 = 1

16 = 1� 24 + 0, q4 = 1El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.




Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1� 26 + 48, q6 = 1, n0 = 4848 = 1� 25 + 16, q5 = 116 = 1� 24 + 0, q4 = 1

El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.




Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1� 26 + 48, q6 = 1, n0 = 4848 = 1� 25 + 16, q5 = 116 = 1� 24 + 0, q4 = 1El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.




Ejemplo

b = 2, n = 112


La representación en base 2 es112 = 1� 26 + 1� 25 + 1� 24 + 0� 23 + 0� 22 + 0� 21 + 0

Lo que se escribe como 111000 (base 2).



Ejemplo

b = 2, n = 112





Algoritmo de descomposición en base

bLa siguiente rutina fue programada en el programa Maple.

La rutina dígito toma como entrada dos enteros n, b, y luego hallaenteros q, r tal que b ^r es la mayor potencia que satisface br � n yn = qbr + n0

digito:=proc(n,b)> for i from 1 to n while (b^i)<=n do> r:=r+1; end do;> q:=iquo(n,b^r);> RETURN([q,c]);


Rutina

Base

La rutina Base itera el procedimiento anterior.

> base:=proc(n,b)> k:=n;> for i from 1 to in�nity while k>0 do> q:= digito(k,b)[1];i:=digito(k,b)[2];> print([q,b,"^",i]);> k:=k-q*b^i;> end do;Ejemplo (Correr la rutina en Maple)


Adivinación

Se piensa en un número entre 1 y 63.Luego se pregunta en cuál de las siguientes cartas se encuentra. Con estainformación es posible ¡leer la mente para adivinar el número pensado!Carta 0

carta 0Juan D. Vélez (U. Nacional) 11 febrero 2013 10 / 24

Carta 1

Carta 1


Carta 2

Carta 2


Carta 3

Carta 3


Carta 4

Carta 4


Carta 5

Carta 5


Explicación del misterio

La carta número i contiene precisamente aquellos números del 1 al 63 queal ser escritos en el sistema binario poseen el dígito 1 en la posicióni-ésima, de derecha a izquierda. Por ejemplo el número 20 (en binario10100) aparece justo en las cartas 2 y 4. Luego basta sumar las potenciasque corresponden a estas dos cartas, 22 + 24, para determinarlo.


A continuación se muestran los primeros veinte enteros positivos escritosen sistema binario

Decimal 25 24 23 22 21 20

1 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 1 03 0 0 0 0 1 14 0 0 0 1 0 05 0 0 0 1 0 16 0 0 0 1 1 07 0 0 0 1 1 18 0 0 1 0 0 09 0 0 1 0 0 110 0 0 1 0 1 0

Decimal 25 24 23 22 21 20

11 0 0 1 0 1 112 0 0 1 1 0 013 0 0 1 1 0 114 0 0 1 1 1 015 0 0 1 1 1 116 0 1 0 0 0 017 0 1 0 0 0 118 0 1 0 0 1 019 0 1 0 0 1 120 0 1 0 1 0 0

Supongamos ahora que se pensó en un número que aparece solo en lascartas 0, 4 y 5. Es evidente, entonces, que este número deberá ser igual a25 + 24 + 1. Es decir, el número deberá ser el 49 (110001)


¿Cómo generalizar la prueba de adivinación?

El truco puede extenderse utilizando cualquiera otra base. En base b = 3,por ejemplo, y como cada cifra en la escritura ternaria es 0, 1 o 2, entoncescada carta deberá contener además la información de cuántas vecesaparece cada número.Las siguientes cartas sirven para realizar una prueba de adivinación paranúmeros entre 1 y 26.Carta 0

carta 0Juan D. Vélez (U. Nacional) 11 febrero 2013 18 / 24

Carta 1

carta1


Carta 2

Carta 2


Ejemplo

Supongamos que pensamos en el número 21. En base tres este número seescribe como 21 = 2� 32 + 1� 3+ 0; es decir, 21 se representa como210. Luego el número deberá aparecer en la primera carta, una vez, y en lasegunda, dos veces.


Juego del Nim

En el juego del Nim, dos jugadores retiran cerillas de tres montones,juegan de manera alternada y siguen estas tres reglas:

la persona en turno elige un montón determinado y retira de él tantascerillas como desee, pero debe retirar mínimo una y le es permitidoretirarlas todas.

El jugador en turno no puede retirar cerillas de más de un montón ala vez.

Aquel jugador que retire por última vez gana el juego.

Para iniciar, se disponen tantas cerillas por montón como se desee.

Se pide hallar una estrategia para jugar de manera óptima.


Estrategia ganadora (ejemplo)

Supongamos que se forman tres montones con 29, 11 y 14 cerillas. Parainiciar el juego, descompongamos el número de cerillas de cada montón enpotencias de 2, comenzando por el mayor de los tres. El proceso descritoarriba nos conduce al siguiente resultado:29 = 16 + 8 + 4 + 0 + 111 = 0 + 8 + 0 + 2 + 114 = 0 + 8 + 4 + 2 + 0Con estas tres descomposiciones formemos un cuadro como el que sepresenta a continuación.Monton 1 : 16 8 4 0 1Monton 2 : 0 8 0 2 1Monton 3 : 0 8 4 2 0Si en la tabla anterior observamos los elementos no nulos de cadacolumna, podremos observar que en la primera hay sólo uno, el 16, hechoque describiremos diciendo que la columna es impar. También es impar,por análoga razón, la segunda columna, con tres elementos no nulos (tresochos). En cambio, las columnas tercera, cuarta y quinta contienen de ados elementos no nulos cada una, por lo que diremos que son pares.Juan D. Vélez (U. Nacional) 11 febrero 2013 23 / 24

Tarea para el lunes 19

1 Demuestre que una estrategia ganadora para el Nim se lograsi se respeta la regla siguiente: se elige el montón que tengael mayor número de cerillas y de él se retiran tantas comosean necesarias para garantizar que en la nueva situación elnúmero de elementos no nulos de cada columna sea par.

2 Explicar por qué funciona el truco de las iguanas verdes deDinamarca.

3 Explicar por qué es cierto la a�rmación sobre el últimosuspiro del Casar : dado el astronómico número de moléculasque existen en los escasos moles de oxígeno y nitrógenoexhalados en cada respiración, es posible que de aquellasmoléculas liberadas por Julio César en su último suspiro a lospies de Bruto, después de dispersarse en forma homogéneapor toda la atmósfera durante los dos milenios transcurridosdesde el magnicidio, cada vez que nosotros respiramos, almenos unas cien de aquellas distinguidas moléculas cesáreasentran y salen de nuestros pulmones.


Clase 2 - Introducción al Programa de Matemáticas

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