Clase 10 - Introducción al programa de Matemáticas

3009353 Introducción al Programa de Matemáticas:Probabilidad y mecánica cuántica (Clase 10)

Juan D. Vélez

Universidad Nacional

Abril 29, 2013

(Universidad Nacional) 3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad y mecánica cuántica (Clase 10)Abril 29, 2013 1 / 33

Stern Gerlach y su experimento (1922)

Un aparato de Stern Gerlach, ASG, crea un campo magnético nohomogéneo con una orientación espacial de�nida.

Una vez el aparato se orienta en una determinada posición espacial,un chorro de electrones (u otras partículas) es enviado por una canalhacia el aparato, el cual desvía cada electrón hacia arriba o haciaabajo con igual probabilidad. Es decir, se ha observado que la mitadde los electrones, aproximadamente, van hacia arriba y la otra mitadhacia abajo. Los físicos hablan entonces de un electrón con espínpositivo, (respectivamente, espín negativo) en la dirección deorientación del aparato.

Siempre se ha visto que un electron cuyo espín sea positivo(respectivamente, negativo), al volverlo a pasar por el mismo aparato,su espín vuelve a ser positivo (respectivamente, negativo). En estecaso decimos que el electrón quedó preparado.



Un aparato de Stern Gerlach, ASG, crea un campo magnético nohomogéneo con una orientación espacial de�nida.

Una vez el aparato se orienta en una determinada posición espacial,un chorro de electrones (u otras partículas) es enviado por una canalhacia el aparato, el cual desvía cada electrón hacia arriba o haciaabajo con igual probabilidad. Es decir, se ha observado que la mitadde los electrones, aproximadamente, van hacia arriba y la otra mitadhacia abajo. Los físicos hablan entonces de un electrón con espínpositivo, (respectivamente, espín negativo) en la dirección deorientación del aparato.Siempre se ha visto que un electron cuyo espín sea positivo(respectivamente, negativo), al volverlo a pasar por el mismo aparato,su espín vuelve a ser positivo (respectivamente, negativo). En estecaso decimos que el electrón quedó preparado.



La adición de un segundo par de magnetos a un ASG permite recoger losrayos separados y volverlos a poner en dirección horizontal


Stern Gerlach, primer experimento

Cada uno de estos aparatos (sin y con colector) puede rotarse un ángulo αalrededor del eje y, en la dirección positiva, que simbolizaremosesquemáticamente de la siguiente manera:

ASG α tipo 1 ASG α tipo 2



Para simpli�car la discusión supongamos que las medidas que produce unaparato de tipo α = 0 se llamarán el color del electrón, (blanco si el espínes positivo y negro si es negativo), y el espín de un aparato de tipo 2(α = 45), la dureza del electrón, (duro si es positivo y blando, si esnegativo).



Los siguientes hechos se han observado:

Usando un aparato de tipo AGS, α = 0 se preparan electrones blancos.

Luego, estos electrones ya preparados se les mide su dureza.

Independiente del resultado que se obtenga en el paso anterior, alvolver a medir su color, se observa que éste pudo haber cambiado.

En forma similar, electrones duros o blandos previamente preparadospuede cambiar su estado duro o blando, después de una medición desu color.


Stern Gerlach, primer experimento

De manera esquemática, podría ocurrir algo como se indica en el dibujo:


Stern Gerlach, segundo experimento

Conectemos ahora un aparato que mide dureza con otro que mide color yalimentamos el primero con electrones blancos:



¿Qué esperaríamos como resultado de este segundo experimento?

En primer lugar, de 100 electrones blancos que entran a la caja dedureza, 50 aproximadamente son duros y 50 son blandos. De los 50duros, 25 aprox. son blancos. De los 50 blandos, 25 aprox. sonblancos. En total se esperan 50 electrones blancos, aproximadamente.

Pero, al realizar el experimento, ¡se observa que todos los electronesque salen de la segunda caja son blancos!



¿Qué anda mal? Pongamos un sensor en el punto de salida del primeraparato, digamos en la parte superior, el cual destella al paso de unelectrón duro. Al alimentar nuevamente la primera caja con electronesblancos, vemos que el sensor destella la mitad de las veces,aproximadamente. y observamos nuevamente electrones blancos y negrosque salen de la segunda caja de color, en igual proporciones. ¡Como unohubiera esperado!



La conclusión de Stern y Gerlach fue la siguiente:

Mientras sea imposible determinar "la ruta elegida por el electrón",sólo se observan electrones blancos a la salida de la segunda caja y ¡elfenómeno desaparece cuando se dispone de dicha información!

Pero, parece obvio que aunque no sepamos "la ruta seguida por elelectrón", el resultado en el segundo aparato debería de todas formasser de 50% de electrones blancos y 50% de electrones negros.

¿Cómo se explica esta paradoja en mecánica cuántica?


Modelo Cuántico

El espín se modela con un vector unitario v de C2.Denotemos por fu1(α), u2(α)g la base que se obtiene de rotar la baseestándar u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), un ángulo α.


Modelo Cuántico

Las dos bases están relacionadas mediante las fórmulas:

u1(α) = cos(α)u1 + sin(α)u2 u1 = cos(α)u1(α)� sin(α)u2(α)u2(α) = � sin(α)u1 + cos(α)u2 u2 = sin(α)u1(α) + cos(α)u2(α)

Cada representación de un vector v (unitario) en la basefu1(α), u2(α)g , v = au1(α) + bu2(α) se interpreta de la siguientemanera: al hacer una medición del espín con un aparato AGS rotadoun ángulo α, la probabilidad de que éste sea positivo es jaj2 y laprobabilidad de que sea negativo es jbj2 (como v es unitario,jaj2 + jbj2 = 1). Decimos que el espín está en un estado desuperposición.

La medición del espín tiene el efecto de colapsar la superposición deestados. Si al medir el espín con ángulo α la medición fue, digamos,positiva, entonces su espin original v = au1(α) + bu2(α) "colapsa" enel nuevo estado v 0 = 1.u1(α) + 0u2(α).


Modelo Cuántico

Volvamos a mirar el experimento bajo esta óptica: u1 = blanco, u2 =negro. Si a = π/2, u1(π/2) = duro, u2(π/2) = blando. La fórmulas decambio de base serían:

duro = 1/p2blanco + 1/

p2negro

blando = �1/p2blanco + 1/

p2negro

blanco = 1/p2duro � 1/

p2blando

negro = 1/p2duro + 1/

p2blando


Modelo Cuántico

Volvamos a repetir el segundo experimento: se alimenta un electrón v =blanco, (blanco = 1/

p2duro�1/

p2blando) en el aparato que mide la

dureza.Si se efectúa una medición con el sensor, el estado colapsa conprobabilidad 1/2, a duro o a blando.Por otro lado, duro = 1/

p2blanco +1/

p2negro, (de manera similar,

blando= �1/p2blanco+1/

p2negro) por tanto, al efectuar la segunda

medición (color), en el 50% (aproximadamente) de los casos el estadocolapsa a blanco y en el otro 50% colapsa a negro. ¡Como en efecto seobserva!


Modelo Cuántico

Ahora, si no se efectúa ninguna medición, en el primer aparato el estadodel electrón permanece en su estado original,blanco (blanco = 1/

p2duro�1/

p2blando) y la medición en el segundo

aparato deberá por tanto ser siempre blanco.


Modelo Cuántico

Otro experimento en el que la medición "colapsa" el estado desuperposición es el muy conocido experimento de la doble rendija. Unafuente de electrones emite electrones en forma discreta (uno a la vez) loscuales son obligados a pasar por una pantalla con dos rendijas separadaspor una distancia muy pequeña.


Experimento de las dos rendijas

Al tapar la rendija inferior la probabilidad de que un electrón llegue adeterminado punto de la pantalla está dada por el siguiente grá�co



En forma similar, la probabilidad de llegar a la pantalla cuando de tapa larendija superior es:



Sumando estas dos probabilidades, esperaríamos una probabilidad de llegara la pantalla dada por la suma de ambas probabilidades.



Sin embargo, lo que se observa es un patrón de interferencia:

Como si los electrones pasaran a través de ambas rendijas al mismotiempo. El patrón desaparece cundo se coloca un sensor al lado de una delas rendijas que hace "colapsar" el estado de superposición v =1/p2superior+1/

p2 inferior.


Experimento EPR

Dos partículas atómicas, partícula y antipartícula (representadas por loscolores rojo y negro) que están inicialmente unidas se separan en t = 0, yviajan varios años luz hasta encontrar, cada una de ellas, tres posiblesaparatos de Stern-Gerlach que miden el espín con ángulos de α = 0, 120,240 grados.

Al comienzo del experimento se elije al azar en cada extremo (conprobabilidad 1/3) uno de los tres aparato con los que se ha realizar lamedición del espín de la partícula que llegue.


Experimento EPR

Al realizar el experimento se observa lo siguiente: siempre que se haga unamedición con el mismo tipo de aparato a ambos lados, los espines sonnecesariamente opuestos. Por ejemplo, si se mide en ambos lados el espíncon ángulo 120 grados (aparato B), si el espín fue positivo para lapartícula, entonces se observa negativo para la antipartícula:


Experimento EPR

Una vez se selecciona (al azar) en cada extremo un determinado aparato,decimos que las mediciones coinciden si el espín de partícula yantipartícula es en ambos casos positivo o en ambos casos negativo.Hecho empírico: al realizar el experimento se obtiene un promedio decoincidencias del 50%.El hecho anterior es paradójico: hagamos los cálculos. Supongamos quecada partícula al separarse viniera con espín predeterminado. Por ejemplo,la siguiente tabla muestra la partícula con espines predeterminados A+,B+ y C�, mientras que la antipartícula tendría (necesariamente) espinesA�, B� y C+. La tabla siguiente muestra cuándo habría unacoincidencia (si) y cuándo no habría coincidencia (no).


Experimento EPR

El número de coincidencias sería en este caso 4/9 > 1/2 .Calculemos laprobabilidad de que ocurra una coincidencia. La tabla siguiente muestratodos los posibles casos para un par partícula-antipartícula, y el número decoincidencias que se registrarían al hacer las mediciones:


Experimento EPR

De ahí que la probabilidad de que ocurra una coincidencia sería

P = 1/8� (0+ 4/9+ 4/9+ 4/9+ 4/9+ 4/9+ 4/9+ 0)= 1/8� 24/9 = 1/3

Pero los experimentos muestran que dicha probabilidad debería ser 1/2!


Experimento EPR, explicación

Explicación cuántica del fenómeno

Cada par de partículas constituyen un solo ente cuántico que semodela matemáticamente como un vector de CC.

Cada medición de espín, con ángulo α, corresponde a: una escogenciade base (ortonormal) para CC donde la magnitud de cadacoe�ciente del correspondiente vector de la base se interpreta como laprobabilidad de que al hacer una medición el estado colapse en esevector.

Por ejemplo, la base que "corresponde al aparato A" (α = 0) seríafu1 u1, u1 u2, u2 u1, u2 u2g. El estado del sistemapartícula-antipartícula estaría dado por un vector unitariov = ∑

i ,jai ,jui uj , es decir ∑

i ,jjai ,j j2 = 1. A priori sabemos que

a11 = a22 = 0, puesto que al realizar la medición del espín con α = 0,las dos partículas deberán tener espín opuestos.



En lo que sigue, y por comodidad, representaremos a u1 por A+ y au2 por A�. El estado v del sistema en esta base vendrá respresentadoentonces por v = a(A+ A�) + b(A� A+), con jaj2 + jbj2 = 1.

De nuevo, los coe�cientes a y b se interpretan del siguiente modo: sise hace una medición del espín para ambas partículas, con el mismoaparato A, v colapsa en uno de los dos estados1(A+ A�) + 0(A� A+), o 0(A+ A�) + 1(A� A+), conprobabilidades jaj2 y jbj2, respectivamente.De manera similar, denotaremos las vectoresu1(120) = B+, u2(120) = B�, u1(240) = C+, u2(240) = C�, y porB+ B�,C+ C�, los correspondientes productos tensoriales.



En lo que sigue, y por comodidad, representaremos a u1 por A+ y au2 por A�. El estado v del sistema en esta base vendrá respresentadoentonces por v = a(A+ A�) + b(A� A+), con jaj2 + jbj2 = 1.De nuevo, los coe�cientes a y b se interpretan del siguiente modo: sise hace una medición del espín para ambas partículas, con el mismoaparato A, v colapsa en uno de los dos estados1(A+ A�) + 0(A� A+), o 0(A+ A�) + 1(A� A+), conprobabilidades jaj2 y jbj2, respectivamente.

De manera similar, denotaremos las vectoresu1(120) = B+, u2(120) = B�, u1(240) = C+, u2(240) = C�, y porB+ B�,C+ C�, los correspondientes productos tensoriales.



En lo que sigue, y por comodidad, representaremos a u1 por A+ y au2 por A�. El estado v del sistema en esta base vendrá respresentadoentonces por v = a(A+ A�) + b(A� A+), con jaj2 + jbj2 = 1.De nuevo, los coe�cientes a y b se interpretan del siguiente modo: sise hace una medición del espín para ambas partículas, con el mismoaparato A, v colapsa en uno de los dos estados1(A+ A�) + 0(A� A+), o 0(A+ A�) + 1(A� A+), conprobabilidades jaj2 y jbj2, respectivamente.De manera similar, denotaremos las vectoresu1(120) = B+, u2(120) = B�, u1(240) = C+, u2(240) = C�, y porB+ B�,C+ C�, los correspondientes productos tensoriales.



Notemos que hay otras bases ortonormales como

fA+ B+,A+ B�,A� B+,A� B�g,fA+ C+,A+ C�,A� C+,A� C�g, etc .

Las fórmulas para cambiar de una base a otra están inducidas porrelaciones de la forma:

A+ = 1/2B+ �p3/2B�

A� =p3/2B+ + 1/2B�

A+ =p3/2C+ � 1/2C�

A� = 1/2C+ �p3/2C�

...



Así, por ejemplo, un sistema en el estado de superposición

v = 1/p2A+ A� � 1/

p2A� A+,

también estará en el estado

v =p3/(2

p2)A+ B+ + 1/2

p2A+ B�

�1/2p2A� B+ +

p3/(2

p2)A� B�.



Esto último, ya que

v = 1/p2A+ A� � 1/

p2A� A+

= 1/p2A+ (

p3/2B+ + 1/2B�)

�1/p2A� (1/2B+ �

p3/2B�)

=p3/(2

p2)A+ B+ + 1/2

p2A+ B�

�1/2p2A� B+ +

p3/(2

p2)A� B�.

En este caso la probabilidad de una coincidencia es

[p3/(2

p2)]2 + [

p3/(2

p2)]2 = 3/4.



El razonamiento es similar para cualquier par de mediciones con aparatosA,B y C en cada extremo A continuación se listan todas las posiblesmediciones con su probabilidad de coincidencia:



Luego la probabilidad de una coincidencia es

P = 1/9� (0+ 6� 3/4) = 2/4 = 1/2.

Como se comprueba en el experimento.


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