INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

MUSICALES CONJUNTOS, GRAFOS Y CADENAS DE MÁRKOV

LEONARDO FORERO HERNÁNDEZ BOGOTÁ D.C.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS ACADEMIA SUPERIOR DE ARTES DE BOGOTÁ (ASAB)

PROYECTO CURRICULAR DE ARTES MUSICALES

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS MUSICALES: CONJUNTOS, GRAFOS Y CADENAS DE MÁRKOV

LEONARDO FORERO HERNÁNDEZ CÓDIGO: 20101098014

ÉNFASIS EN COMPOSICIÓN Y ARREGLOS

DIRECTOR DE TRABAJO DE GRADO: MTRO. LUIS FERNANDO SÁNCHEZ GOODING

MONOGRAFÍA

BOGOTÁ D.C. 24 DE OCTUBRE DE 2016

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer a mi maestro y amigo Luis Fernando Sánchez Gooding, quién dedico su profesionalismo, estudio y paciencia en la construcción de esta investigación. Sin sus reflexiones y sugerencias esta empresa no podría haber sido.

A mis padres y hermanos, quienes son mi fuente de inspiración.

A Amalia, y su convicción en la música como un arte supremo.

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RESUMEN

Se realizó una investigación en cuatro áreas de la matemática, que con el paso del siglo XX y XXI han resultado ser esenciales en la producción musical teórica, compositiva y analítica. Para tal fin, fue necesario el estudio bibliográfico de eminentes teóricos matemáticos y musicales que han dedicado sus reflexiones al estudio de la lógica, la teoría de conjuntos, la teoría de grafos, probabilidad clásica y las cadenas de Márkov. La importancia del estudio, yace en la necesidad de crear un texto que fundamente al estudiante de música en ejes teóricos de relevancia actual, abordando cada temática, en principio, con su aplicación inmediatamente musical, sin descuidar en segunda medida su fundamentación y enunciación matemática pura. Adicionalmente, todos los temas abordados presentan ejemplificaciones musicales que involucra literatura musical tanto de los siglos XX y XXI, como también, literatura previa al siglo XX. El resultado de esta investigación es un libro de consulta académico-pedagógico para todo tipo de público que se interese por la relación intrínseca de estos dos conocimientos, que bien, servirá como material introductorio a pilares matemáticos de la música contemporánea y que propone, por otro lado, nuevas nociones teóricas que, en todo caso, complementan las estudiadas.

Palabras clave: Lógica, teoría de conjuntos, teoría de grafos, probabilidad, cadenas de Márkov, análisis musical.

ABSTRACT

In this paper was carried out a research about four mathematic areas that have been demonstrated, on the course of the XX and XXI centuries, to be essential on music theory, compositional and analytical production. The investigation was developed through literature research of eminent mathematicians and musicians theorists who have dedicated their studies in logic, set theory, graph theory and Márkov chains. The reason why this study is important, is that it includes a need to create a text that teaches to the music students the theoretical axes of current relevance by approaching each theme, at first, with its musical application, without disregarding the mathematical basis and enunciation. Furthermore, all the topics discussed show musical examples of musical literature of the XX and XXI centuries, as well, prior to the twentieth century literature. The result of this research is an academic-pedagogical sourcebook for all types of audiences who are interested in the intrinsic relationship of these two knowledge and will serve as prefatory material to mathematical pillars of contemporary music and it proposes, on the other hand, new theoretical notions that, in any case, complement the studied.

Keywords: Graph theory, Márkov chains, mathematical logic, musical analysis, probability, set theory.

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TABLA DE CONTENIDO RESUMEN ...................................................................................................................................................... 6 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................... 13

CAPÍTULO PRIMERO ............................................................................................................................... 16 1. TEORÍA DE CONJUNTOS Y GRAFOS.............................................................................................. 16

1.1 Lógica ................................................................................................................................... 16 1.1.1 Lógica proposicional .................................................................................................... 17 1.1.2 Propiedades en la lógica proposicional .............................................................................. 22

1.2 Teoría de conjuntos ................................................................................................................... 26 1.2.1 Definiciones, Operaciones y propiedades básicas ............................................................. 27 1.2.2 Teoría de conjuntos aplicada en la abstracción de las alturas ........................................... 31

1.2.2.1 Conjunto de alturas y operaciones .............................................................................. 31 1.2.2.2 Conjunto tónico y operaciones: .................................................................................. 38

1.2.3 Teoría de conjuntos aplicada en la abstracción del pulso .................................................. 50 1.2.3.1 Conjuntos y operaciones ............................................................................................. 51

1.3 Teoría de grafos ......................................................................................................................... 59 1.3.1 Nociones básicas de grafos ................................................................................................ 59 1.3.2 Aplicación de la teoría de grafos en la música ................................................................... 66

CAPÍTULO SEGUNDO .............................................................................................................................. 75 2. PROBABILIDAD ............................................................................................................................ 75

2.1 Introducción a la probabilidad clásica ................................................................................. 75 2.1.1 Conceptos elementales del análisis probabilístico ............................................................. 75

2.2 Cadenas Márkov ........................................................................................................................ 82 2.2.1 Elementos formales de las cadenas de Márkov .......................................................... 82 2.2.2 Aplicaciones musicales de las cadenas de Márkov ............................................................ 86

CONCLUSIONES ........................................................................................................................................... 97 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................................. 99

Anexos ................................................................................................................................................... 101 1. Factorial ..................................................................................................................................... 101 2. Matrices ..................................................................................................................................... 101 3. Algoritmos ................................................................................................................................. 104

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4. Diagramas de flujo ..................................................................................................................... 106 5. Sucesión ..................................................................................................................................... 110 6. Sumatoria y serie ....................................................................................................................... 111

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ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Tabla de verdad de la negación. .................................................................................................... 18 Tabla 2. Tabla de verdad de la conjunción. ................................................................................................. 19 Tabla 3. Tabla de verdad de la disyunción. ................................................................................................. 19 Tabla 4. Tabla de verdad del condicional. ................................................................................................... 20 Tabla 5. Tabla de verdad del bicondicional. ................................................................................................ 21 Tabla 6. Tabla de verdad para 3 proposiciones.. ........................................................................................ 22 Tabla 7. Tabla de verdad de [p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p). ............................................................. 23 Tabla 8. Simbología. .................................................................................................................................... 28 Tabla 9. Propiedades en la teoría de conjuntos .......................................................................................... 30 Tabla 10. Demostración de valor absoluto. ................................................................................................ 34 Tabla 11. Vector interválico de A: V<211110> ............................................................................................ 45 Tabla 12. Equivalencias clases-pulso ........................................................................................................... 51 Tabla 13. Vectores de simultaneidad de clapping music ............................................................................ 56 Tabla 14. Mod8 de la redonda .................................................................................................................... 58 Tabla 15. Descripción de un algoritmo en lenguaje natural. .................................................................... 106 Tabla 16. Prueba de escritorio .................................................................................................................. 106 Tabla 17. Simbología básica en los diagramas de flujo ............................................................................. 107

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ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 1. Unión de dos conjuntos. ............................................................................................................. 29 Gráfica 2. Intersección de dos conjuntos. ................................................................................................... 29 Gráfica 3. Diferencia de dos conjuntos. ...................................................................................................... 29 Gráfica 4. Complemento de un conjunto. ................................................................................................... 30 Gráfica 5. Definición de valor absoluto ....................................................................................................... 34 Gráfica 6. Diagrama de flecha de una función ............................................................................................ 35 Gráfica 7. Inversión en la recta entera ........................................................................................................ 36 Gráfica 8. Intervalos y sus inversiones ........................................................................................................ 45 Gráfica 9. Segmentación aurea en la cuantificación de transposiciones presentadas en "Canciones de Lorca" .......................................................................................................................................................... 49 Gráfica 10. Célula rítmica de clapping music. Universal Edition (1980). .................................................... 55 Gráfica 11. Inversión. .................................................................................................................................. 57 Gráfica 12. Grafo dirigido ............................................................................................................................ 60 Gráfica 13. Multigrafo. La gráfica muestra lazos en los vértices 1 y 4. Adicionalmente presenta un par de aristas múltiples (2,3) .................................................................................................................................. 60 Gráfica 14. Grafo simple no dirigido. .......................................................................................................... 61 Gráfica 15. Grafo y su respectiva matriz de adyacencia ............................................................................. 61 Gráfica 16. Grafo y su respectiva matriz de incidencia ............................................................................... 62 Gráfica 17. Subgrafo H ⊆ G ......................................................................................................................... 63 Gráfica 18. G y G ......................................................................................................................................... 63 Gráfica 19. G y G* ....................................................................................................................................... 64 Gráfica 20. Ruta Euleriana a = 4,5,7,1,6,3,8,2,11,0,9,10 ..................................................................... 65 Gráfica 21. Circuitos de Vexations .............................................................................................................. 66 Gráfica 22. Polígono de clases tónicas. ....................................................................................................... 67 Gráfica 23. Grafo (G): Relaciones interválicas a partir del conjunto de forma prima 0,1,6. Grafo (H): Grafo dirigido del comportamiento hallado en el Canon III, Webern. C. 1-3 ............................................. 68 Gráfica 24. Grafos isomorfos de forma prima 0,2,4 y 0,2,6 ........................................................................ 69 Gráfica 25. Izquierda: estándar “Afro Blue”. The Real Book Vol1. Derecha: Grafo del comportamiento armónico ..................................................................................................................................................... 70 Gráfica 26. Grafos de funciones armónicas y clases tónicas del estándar "Afro Blue" .............................. 71 Gráfica 27. Grafo G = Vértices que comparten 0 y 1 elemento. Grafo G = vectores que comparten 2 y 3 elementos. ................................................................................................................................................... 71 Gráfica 28. Relaciones interválicas 4,3 ........................................................................................................ 72 Gráfica 29. Comportamiento melódico Afro Blue ...................................................................................... 72 Gráfica 30. Ejemplos de materiales rítmicos .............................................................................................. 74 Gráfica 31. Materiales tónicos .................................................................................................................... 74 Gráfica 32. Diagrama de árbol .................................................................................................................... 76 Gráfica 33. Diagrama de flujo ..................................................................................................................... 81

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Gráfica 34. Transiciones entre estados Xt en tiempo discreto. ................................................................... 83 Gráfica 35. Diagrama de transición de la Sonata Facile - Mozart ............................................................... 85 Gráfica 36. Nube de granos en un espacio tridimensional. (Xenakis, 1992, pág.50) .................................. 87 Gráfica 37. Ejemplos de pantallas en un plano (FG), (Xenakis, 1992, pág. 53). .......................................... 88 Gráfica 38. Portafolio de pantallas, (Xenakis, 1992, pág. 51). .................................................................... 88 Gráfica 39. Operación entre pantallas (Xenakis, 1992, pág. 59). ................................................................ 89 Gráfica 40. Transformación de eventos musicales (Xenakis, 1992, pág.70). .............................................. 89 Gráfica 41. Matrices de transición presentadas enAnalogique A. .............................................................. 91 Gráfica 42. Conjuntos de alturas f0 y f1 (Xenakis, 1992, pág. 98). ............................................................... 91 Gráfica 43. Conjuntos de intensidades g0 y g1 (Xenakis, 1992, pág.98). ..................................................... 92 Gráfica 44.Conjunto de densidades d0 y d1 (Xenakis, 1992, pág.99). ......................................................... 92 Gráfica 45. Combinaciones posibles de 3 conjuntos (Xenakis, 1992, pág.88). ........................................... 93 Gráfica 46. Pantallas de Analogique A (Xenakis, 1992, pág.101). ............................................................... 93 Gráfica 47. Pares de transición de matrices para la combinación (f0,g1,d1) ................................................ 94 Gráfica 48. Matriz general de transformaciones de pantallas “Z” (Xenakis, 1992, pág.89). ...................... 94 Gráfica 49. Estructura de un algoritmo ..................................................................................................... 105 Gráfica 50. Diagrama de flujo de síntesis aditiva. ..................................................................................... 109 Gráfica 52. Elementos de la sumatoria. .................................................................................................... 111 Gráfica 52. Cinco primeros parciales de la serie armónica ....................................................................... 112

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ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1. Equivalencias numéricas de alturas ...................................................................................... 31 Ilustración 2. IV Sinfonía – Brahms. Allegro non troppo (C.1 – 2). Dover Publications .............................. 33 Ilustración 3. Kreutzer Sonata - Janáček, Adagio (C.3 – 5). Philharmonia .................................................. 34 Ilustración 4. Nocturne - Op. 9 N°. 2. Frédéric Chopin. G. Schirmer. ......................................................... 36 Ilustración 5. Minueto en G Mayor, BWV 114 (C.1-2) - J.S.Bach. Edición Ibérica. ...................................... 37 Ilustración 6. Inversión del Minueto en G Mayor, BWV 114 - J.S.Bach ...................................................... 37 Ilustración 7. Transposición de la inversión sobre el 2 y 3 tiempo ............................................................. 37 Ilustración 8. Conjunto tónico .................................................................................................................... 38 Ilustración 9. Requiem en D menor – Mozart, Lacrimosa (C.3). Bärenreiter-Verlag .................................. 40 Ilustración10. Farben - A. Schoenberg. C.F. Peters. .................................................................................... 42 Ilustración 11. Esquema transposicional de Farben. Imagen tomada de “Basic Atonal Theory, pág. 64” - John Rahn. ................................................................................................................................................... 43 Ilustración 12. Conjuntos A y B.. ................................................................................................................. 47 Ilustración 13. Permutación de los conjuntos A y B en favor de la conducción ......................................... 47 Ilustración 14. Transposición difusa en los hexacordios 11 al 14 de "Canciones de Lorca" ....................... 48 Ilustración 15. Relación entre los elementos e interválica común de los conjuntos A y B. ....................... 49 Ilustración 16. *I1. 0. ................................................................................................................................. 50 Ilustración 17. Fragmento rítmico .............................................................................................................. 51 Ilustración 18. Clases-pulso. ....................................................................................................................... 52 Ilustración 19. Tiempos de pulso Mod12 y No mod12. .............................................................................. 53 Ilustración 20. T1 y T2. Fragmento Fuga C menor BWV 871, Bach ............................................................... 54 Ilustración 21. T5 y T3 Clapping Music, Steve Reich. C. 8. ........................................................................... 55 Ilustración 22. Acentuaciones generadas en torno a las simultaneidades. ................................................ 56 Ilustración 23. Inversión Clapping Music. Reich. C. 4. Universal Edition (1980). ........................................ 57 Ilustración 24. Negación de Q. .................................................................................................................... 59 Ilustración 25. Clases tónicas Preludio. C (1-3). Schoenberg. Universal Edition. ....................................... 64 Ilustración 26. Vexations. Satie, E. Max Esching. Conjuntos en orden normal y forma prima ................... 65 Ilustración 27. III Canon. C (1-3). Universal Editions. Análisis de conjuntos de tres clases tónicas ............ 67 Ilustración 28. Fragmento de la obra “…y descubrir…nuestra imagen del mundo”. Sección piano. Sánchez (2015) .......................................................................................................................................................... 73 Ilustración 29. Sonata No 15. W.A. Mozart. C. 1 - 4. Breitkopf & Härtel. Análisis armónico ...................... 84

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INTRODUCCIÓN

No es posible un estudio musical serio sin impregnarse en mayor o menor medida con el extenso universo matemático. Desde las primeras concepciones musicales surgidas en el siglo VI (a.C.) por parte de los Pitagóricos, ya se contemplaba el sonido, como un fenómeno físico que podía ser calculado con rigor. Más allá de las nociones teóricas que brotan del pensamiento griego clásico, que en muchos casos terminan siendo problemas que atañen a la metafísica y no propiamente a la formalización matemática; si se destaca el hecho de precisar la música como un arte que contiene interiormente al número, y, por tanto, presenta relaciones armónicas con la construcción esencial de cualquier ciencia (Fubini, 1976).

La importancia de las reflexiones pitagóricas y platónicas, radican en la fuerte influencia que tuvieron en pensadores medievales como San Agustín, Boecio, Casidoro y San Isidoro de Sevilla. Pensadores que comparten la visión de la música como ciencia que describe al mundo, y, por lo tanto, su estudio ha de ser imprescindible en la cátedra universitaria de la época, conocida como las siete artes liberales, divididas en dos núcleos: el Trivium y el Quadrivium1.

Por esta razón, no se trata a la música como un arte imitativo o mecánico, sino como una ciencia que contiene propiedades y dichas propiedades no son posibles de contemplar sin la razón y la abstracción de sus elementos matemáticos, pues bien proclama Casidoro en “Instituciones, 550” que: “la ciencia de la música es la disciplina que trata de los números en relación con cuanto se descubre en los sonidos”.

El conocimiento musical por otro lado, gozó de ser un instrumento moldeador de los principios éticos. Platón, la consideraba como objeto de la razón y, en consecuencia, como dialéctica y sophia (Fubini, 1976). Este fundamento es principal en el sustento educacional de la vida medieval, ya que, define al hombre justo y, por ende, libre: “si nosotros vivimos virtuosamente, nos hallamos, constantemente, sometidos a su disciplina; más, si nosotros incurrimos en injusticias, entonces nos quedamos sin música” (Casidoro, 550, pág. 142).

La perspectiva de la música como un arte y una ciencia necesaria en la educación, parecía entonces innegable, útil y con un estatus inamovible. Sin embargo, a partir del siglo de las luces (siglo XVIII), se produciría un sismo académico estructural generado por la ilustración; un movimiento intelectual que separó a las humanidades de las ciencias, y que pondría a la música en un vaivén o paradoja que determinó nuevos principios educativos y sociales.

La paradoja se encuentra en la convivencia de dos nociones totalmente diferentes del conocimiento musical. De un lado se encontraban quienes defendían a la música como ciencia apoyados de los principios filosóficos de Pitágoras y Platón. Figuras como el compositor, teórico y clavecinista francés Jean Rameau quién junto a Rousseau formaron parte de L´Encyclopédie y formularon los conceptos

1 El Quadrivium o “cuatro caminos” agrupaba disciplinas vinculadas con las matemáticas, tales eran: la aritmética, la geometría, la astronomía y la música.

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musicales en el apartado imagination; apoya esta tesis dictaminando en su máxima obra “Traité de l’harmonie reduité à son principe natural, 1722”, que: “La música es una ciencia que debe tener unas reglas establecidas; estas reglas deben derivarse de un principio evidente, y este principio no puede revelarse sin la ayuda de las matemáticas”.

Lejos de esto, existían aquellos defensores de la filosofía Aristotélica, en donde la música era simplemente un pasatiempo, un lujo innecesario que sólo ha de ocupar los tiempos de ocio y tiene como fin único el placer. Al mando del prestigioso filósofo y médico inglés John Locke, padre del Liberalismo Clásico, símbolo mediático de la ilustración y referente de la educación moderna en Gran Bretaña y en general figura de la nueva pedagogía en Europa, que tristemente aún se mantiene en la edad contemporánea. Defiende en su escrito “Algunos pensamientos sobre la educación, 1693” que: “Pero la música ocupa de tal modo el tiempo de un joven, aun para no llegar más que a una habilidad mediocre…He oído tan pocas veces, en la sociedad de los hombres sensatos y prácticos, alabar o estimular a alguno por la excelencia de su talento musical que, entre las cosas que pueden figurar en la lista de las artes de adorno, a la música es a la que yo atribuiría mejor el último lugar”.

Sea por falta de conocimiento o por avaricia caprichosa, lo cierto es que la filosofía de Locke logro sobreponerse a siglos de vital interrelación entre música y matemáticas. Dejando a un lado y de manera arbitraria a la música en un último lugar en la jerarquía educacional contemporánea (Barenboim, 2008).

Esto no puede causar más que vacíos que hoy se perciben en el famoso estereotipo contemporáneo de “Las dos culturas” descrito por el físico y novelista inglés Charles Snow, quien en “Las dos culturas y la revolución científica, 1963” sustenta que aquella ruptura (la de las ciencias y las humanidades), sólo demuestra la ausencia de una interdisciplinaridad que pone en riesgo la calidad de la educación contemporánea, de tal forma que limita la resolución de problemas globales.

Estos vacíos, sin embargo, no han limitado la producción teórica, analítica y compositiva musical que ha encontrado en el último siglo diversos temas matemáticos que van más allá de la aritmética y el álgebra elemental y han descubierto, en las matemáticas discretas, el cálculo y las ciencias computacionales; aplicaciones directas y nuevos principios en los sistemas musicales.

Pero ¿Cómo acceder a los nuevos planteamientos matemático-musicales, si el estudio académico musical aún se ve nublado por una ausencia interdisciplinar rezago de la herencia tradicional y obliga al estudiante a sentir temor por el lenguaje matemático?

Ha de contemplarse una resolución práctica, esto es, la creación de un medio pedagógico. Un medio, claro está, que involucre la interrelación de música y matemática de una manera armónica, es decir, entendible ante los ojos del lector pero que no caiga en un conocimiento superficial y tampoco en un código indescifrable. Para ello, se ha dispuesto primero una linealidad en los temas de estudio que aborda esta tesis (lógica, teoría de conjuntos, teoría de grafos, probabilidad clásica y cadenas de Márkov) y segundo de su fundamentación matemática seguida de su aplicabilidad musical, de modo que se vaya sugiriendo poco a poco en el lector, el gusto por el lenguaje matemático y lo sienta útil, puesto que se demuestra su funcionalidad en su campo de estudio principal: la música.

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Tanto la fundamentación matemática como musical, se ha nutrido de bibliografía especializada y representativa en los temas que atañen a este estudio. Y se ha pensado siempre en las preguntas que pueden surgir en torno a conceptos previos, por lo que se dispone de una serie de anexos que ayudarán a resolver cualquier problema de fundamentación precedente a cada tema. De este modo solo se recomienda como requisito a priori a este estudio, conocer los enunciados básicos de aritmética que se cree han sido adquiridos a través de la educación primaria elemental.

Ha de tenerse la certeza de que este escrito solo hace parte de la recuperación fraternal entre la música y la matemática, que, por razones ajenas a su comportamiento intrínseco se han divido injustamente. Pero no debe dudar en ningún momento el lector que es uno de los temas más relevantes de la actualidad, y que, por ello, se presta para la investigación y el debate.

Su necesidad es inmediata y pone en manifiesto una nueva perspectiva que bajo ningún concepto puede ignorar el estudioso de la música. Por el contrario, debe tomar como natural y propia del que hacer musical.

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CAPÍTULO PRIMERO

1. TEORÍA DE CONJUNTOS Y GRAFOS 1.1 LÓGICA

La Real Academia Española define la palabra lógica2 como la “ciencia que expone las leyes, modos y formas de las proposiciones en relación con su verdad o falsedad”. Sin embargo, antes de engendrarse las ideas revolucionarias de eximios teóricos entre los siglos XIX y XX como Boole (Análisis matemático de la lógica, 1847), Frege (Notación conceptual, 1879), y, Russel y Whitenhead (Principia Mathematica, 1920) que dan lugar a la lógica matemática y por tanto categoría de ciencia formal; la lógica tiene su origen en la argumentación Aristotélica (Palau, 2014).

La lógica aristotélica se fundamentaba en silogismos3 representados en lenguaje natural, esta, aunque permitía generar argumentos formales; no cumplían un modelo formalista. El gran respeto de la obra de Aristóteles llevo incluso que, a finales del siglo XVIII, aunque una crítica entorno a su sistema lógico ya había sido generada en los trabajos de A. Arnauld y P. Nicole “La logique et l´art de penser, 1662”; el propio Kant se pronunciara al respecto determinándola como “una ciencia terminada” (Barker, 1991). No más alejado de la realidad se encontraría aquella afirmación apresurada del filósofo alemán, pues a menos de medio siglo de distancia el matemático inglés autodidacta George Boole no sólo generalizaría la teoría de los silogismos, si no que determinaría nuevos esquemas y estructuras algebraicas, todas ellas en función de los principios enunciados en la lógica proposicional.

Una nueva dimensión conceptual aparecería a principios del silgo XX, formulada por los matemáticos ingleses Bertrand Russel y Alfred North Whitenhead delimitarían el alcancé de la lógica clásica y darían inicio a las concepciones modernas de la lógica (que bien expresa Barker: “de ninguna manera contradice la lógica aristotélica tradicional”) dando como resultado la sistematización del conocimiento matemático de su época en base a un conjunto de axiomas o principios lógicos.

2 La palabra lógica procede de la raíz griega λoγλογική (logike), cuyo significado se puede interpretar como «intelectual, dialéctico, argumentativo». Esta última a su vez proviene de λόγος (logos), que quiere decir «palabra, pensamiento o razón». 3 Un silogismo es un modelo de razonamiento en donde la inferencia de su conclusión depende de la evaluación previa de dos premisas.

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1.1.1 Lógica proposicional

Podemos entender la lógica proposicional como un sistema formal encargado de evaluar, operar y hallar el valor de verdad de una o más proposiciones. Como sistema dispone de un lenguaje simbólico (desarrollado en primera instancia por Gottfried Leibniz) el cual está constituido por constantes (llamados conectores lógicos u operacionales) y variables (valores de verdad) para cada proposición dada. Adicional a esto, está compuesto por un conjunto de axiomas4 que establecen el fundamento de las reglas de inferencia5.

El estudio del cálculo proposicional es de vital importancia en la composición algorítmica del siglo XX y XXI. Su utilidad se puede hallar desde las definiciones y axiomas encontrados en la teoría de conjuntos hasta su implementación en cualquier lenguaje de programación, por ejemplo, Pure Data. Esto último debido a que las ciencias de computación se desarrollan a partir de sistemas binarios (trabajan únicamente con dos niveles de voltaje 0 o 1), y por ende su manera de pensar o lógica digital se fundamenta a su vez en la lógica binaria o bivalente6, es decir, admitiendo únicamente dos valores discretos: verdadero o falso. Así pues, es deber nuestro no solo entender este lenguaje, si no, beneficiarnos de él para interactuar de manera óptima con las teorías surgidas a partir de su concepción.

Proposición:

Una proposición en lógica binaria o bivalente es una sentencia que puede tener criterios de verdad (v) o falsedad (f) pero no los dos. Su forma de representación está dada por cualquier letra del alfabeto en minúscula (p, q, r, etc.).

Proposición atómica:

Una proposición atómica (simple), es aquella que solo contiene una única variable proposicional.

Ejemplo:

p = La suma de los ángulos internos de un triángulo en geometría euclidiana es siempre 180°. (v)

q = Una quinta justa es un intervalo musical compuesto por 5 semitonos. (f)

4 Un axioma es una proposición que se considera como verdadera sin demostración previa, es decir, una verdad evidente. Si bien, hasta el mediados del siglo XIX se creía que un axioma era apriorísticamente verdadero, la teoría moderna rechaza tal definición y promulga que: “Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y sólo de ellos, han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.” (Diccionario soviético de la filosofía, 1965). 5 “Deducir algo o sacarlo como conclusión de otra cosa.” (Real Academia Española) 6 Para efectos prácticos de esta monografía, la lógica bivalente será nuestro eje de estudio. Sin embargo, cabe destacar que hay otros modelos lógicos más complejos, como, por ejemplo, la lógica difusa. Este modelo de pensamiento establece un número de valores de verdad infinitos, como respuesta a problemas en los que no es suficiente una respuesta cerrada como: si o no.

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r = J.C. Mutis formo parte de la Real Expedición Botánica del Nuevo Reino de Granada. (v)

Proposición Molecular:

Una proposición molecular (compuesta), es aquella que presentan conexiones y operaciones lógicas entre 2 o más variables proposicionales, su valor de verdad estará dado siempre en función del conector lógico que las integre.

Ejemplo:

p = Existe música tonal, modal, atonal, dodecafónica, serialista, concreta y estocástica.

q = Si hace frío entonces me pongo un suéter.

Tablas de verdad:

Una tabla de verdad es un espacio en el cuál se consignan los diferentes valores de verdad que pueden surgir entorno a una o más operaciones en las variables proposicionales.

Negación:

La negación, denotada como “∼” o “¬”. Es una operación que puede darse tanto en proposiciones atómicas como moleculares. Su función está dada como el cambio de valor de verdad en la proposición inicial. Es decir, la proposición es verdadera cuando su negación es falsa y viceversa.

p ∼p V F F V

Tabla 1. Tabla de verdad de la negación.

Ejemplo:

p = Un violín tiene 5 cuerdas. (F)

∼p= Un violín no tiene 5 cuerdas. (V)

Lo que nos muestra la tabla básicamente es que cuando p sea verdadera, ∼p es falsa y cuando p sea falsa, ∼p es verdadera. Esta forma de lectura será siempre la misma para todos los casos que se verán en este capítulo.

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Conectores lógicos:

Un conector lógico es una constante que relaciona dos o más variables lógicas de una manera específica, con el fin de obtener diferentes valores de verdad. Los principales conectores lógicos se explican a continuación.

Conjunción:

Una conjunción, denotada como “∧” y expresada en lenguaje natural como “Y”. Es verdadera en tanto todas las proposiciones sean verdaderas. Por lo tanto, diremos que es verdadera si p y q son verdaderas.

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Tabla 2. Tabla de verdad de la conjunción.

Ejemplo:

p = Un acorde disminuido contiene un intervalo de tercera menor respecto a su nota base. (V)

q = Un acorde disminuido contiene un intervalo de tritono respecto a su nota base. (V)

Entonces

p ∧ q = Un acorde disminuido contiene un intervalo de tercera menor y tritono respecto a su nota base.

P ∧ q

Disyunción:

Una disyunción, denotada como “∨” y expresada en lenguaje natural como “o”. Es verdadera en tanto una de las proposiciones sea verdadera. Por lo tanto, diremos que es verdadera si p o q son verdaderas.

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Tabla 3. Tabla de verdad de la disyunción.

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Ejemplo:

p = Una escala mayor contiene intervalos mayores. (V)

q = Una escala mayor contiene intervalos justos. (V)

Entonces

p ∨ q = Una escala mayor contiene intervalos mayores o justos.

P ∨ q

Condicional:

Un condicional, denotado como “→” y expresado en lenguaje natural como “entonces”. Es falso solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda preposición o conclusión es falsa.

p q p → q V V V V F F F V V F F V

Tabla 4. Tabla de verdad del condicional.

Ejemplo:

p = Es una tonalidad menor. (V)

q = El acorde del primer grado es menor. (V)

Entonces

p → q = Si es una tonalidad menor entonces el acorde del primer grado es menor.

P → q

Bicondicional:

Un bicondicional, denotado como “↔” y expresado en lenguaje natural como “si y sólo si”. Es verdadera sólo cuando las proposiciones tienen igual valor de verdad, de lo contrario es falsa.

p q p ↔ q V V V V F F

21

F V F F F V

Tabla 5. Tabla de verdad del bicondicional.

Ejemplo:

p = El contrapunto es de tercera especie. (V)

q = En el contrapunto se oponen cuatro notas de igual valor contra una que tiene el mismo valor de la suma de las cuatro contrapuestas. (V)

Entonces

p ↔ q = El contrapunto es de tercera especie si y sólo si en él se oponen cuatro notas de igual valor

p ↔ q

contra una que tiene el mismo valor de la suma de las contrapuestas.

Hemos dedicado nuestro estudio a evaluar únicamente dos variables proposicionales, sin embargo, un problema puede contener un número x de variables proposicionales, todas en cuyo caso han de ser potencia de 2 (ya que solo es posible obtener dos valores de verdad). Por ende, diremos que las interpretaciones posibles son de 2𝑛𝑛 ; siendo n el número de variables proposicionales.

Por ejemplo, si quisiéramos saber el número de interpretaciones cuando tenemos 3 variables proposicionales (p, q y r); diremos que:

23 = 2 x 2 x 2 = 8

Ejemplo:

Proposición molecular: Si a partir de una nota x hay un intervalo diferente de unísono y un intervalo diferente de unísono y p, si y solo si, es un tricordio.

Al descomponerla encontraremos las siguientes proposiciones atómicas:

p = A partir de una nota x hay un intervalo diferente de unísono.

q = A partir de una nota x hay un intervalo diferente de unísono y p.

r = Es un tricordio.

Como podemos observar en la tabla 6; lo primero es hallar los valores de verdad para la contingencia “p ∧ q” y así operarla con los valores de r mediante el conector lógico “↔”, con ello hallaremos los valores de verdad del enunciado.

22

Cuando todas las conclusiones sean verdaderas diremos que se trata de una tautología, si por el contrario todas llegasen a ser falsas diremos que es una falacia. En este caso puesto que hallamos conclusiones verdaderas y falsas diremos que es una contingencia.

Contingencia

1.1.2 Propiedades en la lógica proposicional

Aunque emplear tablas de verdad es efectivo para hallar todos los diferentes índices de verdad respecto a un enunciado; su empleo puede ser tedioso en problemas en los cuales hay un número de variables proposicionales o conectores lógicos elevado. Consideremos el siguiente ejemplo:

Problema No.1:

Halle si el siguiente enunciado es tautología, contingencia o falacia:

[ p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p) 7

Lo primero que se nos viene a la cabeza es realizar la tabla de verdad con las 3 proposiciones (p, q y r), posteriormente desarrollar el primer corchete empezando primero con la disyunción de los paréntesis8 hallado los valores de vedad para “(r v q)” y operar con los valores de “p” mediante una conjunción. Adicional a eso debemos encontrar los valores de verdad de la conjunción “(p ∧ q)” y conjugarla con los

7 Es de vital importancia entender que la lógica inicialmente tuvo como objeto abstraer ciertas características del mundo real para su posterior estudio de verdad. Con el tiempo se convirtió en un sistema formal el cuál solo le interesa el estudio de la semántica, las relaciones, operaciones y conclusiones generadas a partir de las premisas de dicho metalenguaje. Es decir, una inferencia es admisible en tanto su estructura lógica sea correcta y no por su contenido argumentativo o conceptual (Audi, 1999). 8 El orden de las operaciones propuesta en algebra siempre dictamina desarrollar primero el contenido de paréntesis o corchetes, luego exponentes (potencias o raíces), seguido de multiplicación o división y por último adición y substracción.

p Q r p ∧ q p ∧ q↔ r V V V V V V V F V F V F V F F V F F F V F V V F F F V F F V F F V F F F F F F V

Tabla 6. Tabla de verdad para 3 proposiciones. Elaboración propia.

23

valores obtenidos de “[ p ∧ (r v q)]”. Por último, nos encargaremos de averiguar los valores de verdad de la disyunción “(∼q ∨ ∼p)” y negarla “∼ (∼q ∨ ∼p)”, para por fin descubrir cuáles son los valores de verdad del bicondicional “[ p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p)”

p q r (r ∨ q) [p∧(r∨q)] (p ∧ q) [p∧(r∨q)]∧(p∧q) (∼q∨∼p) ∼(∼q∨∼p) V V V V V V V F V V V F V V V V F V V F V V V F F V F V F F F F F F V F F V V V F F F V F F V F V F F F V F F F V V F F F V F F F F F F F F V F

[p∧(r∨q)] ∧ (p∧q) ↔ ∼(∼q ∨ ∼p) V V V V V V V V

Tabla 7. Tabla de verdad de [p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p). Elaboración propia.

Solución: Tautología

Parece un proceso extenuante, ¿y si la próxima vez no son 3 variables, si no, 6?, o si ¿en vez de 7 conectores lógicos son 14? Parecería una tarea que nadie le gustaría hacer. ¿Y si hubiera una manera de simplificarlo todo?

Pues bien, las propiedades son exactamente axiomas que nos servirán para solucionar este tipo de problemas, y no solamente en lógica, si no como veremos más adelante es aplicable también en teoría de conjuntos y en general, a diferentes concepciones músico-matemáticas del siglo XX y XXI, como por ejemplo, los planteamientos musicales del teórico y compositor norteamericano David Lewin sobre la teoría de grupos.

24

Negación de la negación:

La negación de una proposición negada es equivalente a la afirmación de la proposición.

• ∼(∼p) ↔ p

Nota: El símbolo “↔” en una demostración formal, se entiende como “si y solo si se sustituye por...».

Identidad:

Una proposición en conjunción o disyunción a sí misma es equivalente a la misma proposición.

• p ∧ p ↔ p • q ∨ q ↔ q

Ley de absorción:

Si una proposición “x” está conjugada a una disyunción en la cual “x” también es un elemento; esto es equivalente a decir solo “x”.

• p ∧ (q ∨ p) ↔ p • q ∧ (q ∨ p) ↔ q

Conmutativa:

Cualquiera que sea el orden de dos variables proposicionales en una operación lógica no afecta el resultado.

• p ∧ q ↔ q ∧ p • p ∨ q ↔ q ∨ p

Asociativa:

No importa cómo se agrupen los elementos cuyo operador lógico es el mismo (conjunción o disyunción); el resultado es siempre igual.

• p ∧ (q ∧ r) ↔ (q ∧ p) ∧ r • p ∨ (q ∨ r) ↔ (q ∨ p) ∨ r

Distributiva:

Una proposición “p” conjugada a la disyunción de “q” y “r”; es equivalente a la conjunción de “p” y “q” disjunta a la conjugación de “p” y “r”. El mismo procedimiento es realizable en el caso contrario.

25

• p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) • p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Leyes de Morgan9:

Primera ley: La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.

• ∼(p ∨ q) ↔ ∼p ∧ ∼q

Segunda ley: La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.

• ∼(p ∧ q) ↔ ∼p ∨ ∼q

Solución del enunciado aplicando propiedades:

Una vez estudiado las propiedades más importantes de la lógica proposicional; las utilizaremos ahora en el “Problema No. 1”, y veremos si es posible llegar a la misma conclusión mostrada en la tabla 7.

[p ∧ (r ∨ q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p) Enunciado original

Distributiva

[(p ∧ r) ∨ (p ∧ q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼(∼q ∨ ∼p)

Absorción Morgan

p ∧ q ↔ p ∧ q Tautología

Vemos como de manera elegante y breve llegamos a la misma conclusión aplicando propiedades y evitando el uso de tablas de verdad que pueden resultar más significativas cuando la conclusión sea una contingencia, en tanto queramos saber qué casos en particular son verdaderos y falsos.

9 Su nombre proviene del célebre matemático y lógico indio Augustus de Morgan (1806 - 1871).

26

1.2 TEORÍA DE CONJUNTOS

Antes del siglo XX la teoría de conjuntos se consideraba el estudio matemático de entes llamados conjuntos. Los conjuntos contienen una colección de elementos que también son conjuntos, a la vez que el conjunto que los contiene es en sí mismo un elemento de un conjunto mayor. Dicha teoría surgiría de una de las mentes más brillantes del siglo XIX; el matemático ruso George Cantor10.

En la formulación de su teoría, la cual se conoce con el nombre de “Teoría Intuitiva de Conjuntos” (pues pretende formalizar las nociones matemáticas de su época acerca de la definición de conjunto); Cantor partió de los siguientes 3 enunciados:

I: “Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad”

II: “Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto”

III: “Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos”

Esta teoría si bien contenía inconsistencias en su presentación, generando contradicciones que ni el mismísimo matemático y lógico alemán Gottlob Frege pudo solucionar11; abrió un nuevo eje de estudio matemático en torno a la descripción de una teoría que buscara mediante principios axiomáticos, la definición formal de la noción de conjuntos (Lewin, 2010).

Actualmente la “Teoría Axiomática de Conjuntos” propuesta por el alemán Ernst Zermelo y mejorada por su compatriota Adolf Fraenkel, es la más aceptada y utilizada en cuanto que soluciona las paradojas de la teoría de conjuntos clásica. Justamente es a partir de ella que realmente trasciende la teoría de conjuntos de un mero lenguaje para expresar conceptos de manera simplificada (operaciones entre conjuntos: unión, intersección, relación, etc.)12; a ser en primera medida una basé óptima para fundar la matemática y en segunda medida un tema de investigación profundo dentro de la matemática (Lewin, 2010).

10 Cantor no solo generó la axiomática de los conjuntos; igualmente es conocido por sus nociones del concepto de infinito e infinitos, su máxima “hay infinitos más grandes que otros” puede ser entendida mediante el estudio de su conjunto llamado “Conjunto de Cantor”; subconjunto fractal nulo, no vacío y no numerable del intervalo real [0,1] (Galaviz, 1996). 11 “No hay menos apetecible para un hombre de ciencia, que el que cuando está a punto de terminar su obra, se le derrumben sus cimientos”, con esta trágica sentencia termina el segundo volumen de la obra de Frege, obra que pretendía completar la iniciada por Cantor, pero que en su estructura interna no pudo solucionar las contradicciones. Justamente antes de salir a la imprenta, el matemático B. Russell le escribiría una carta a su colega en lo que hoy se conoce como la “paradoja Russell”, con la cual destruiría totalmente la formulación de Frege, que por motivos externos a la rigurosidad científica no pudo más que anexar su confesión a un trabajo que ya no podría ser detenido y que pronto saldría al mundo académico con verdad nula. 12 Lewin es muy claro al afirmar que el modelo educacional llamado “New Math” desarrollado en las décadas de los 60 y 80, tergiverso y enfoco negativamente la manera de ver la teoría de conjuntos. Debido a que quienes la enseñaban no conocían su profundidad; terminó siendo parte de la educación pre-universitaria como un ítem previó al estudio del álgebra, dando como resultado una malformación conceptual de un tema tan profundo y hermoso como lo es la teoría de conjuntos.

27

1.2.1 Definiciones, Operaciones y propiedades básicas

Al igual que en nuestro estudio de lógica, la teoría de conjuntos tiene una serie de definiciones, operaciones y propiedades análogas. Cada una conlleva a un lenguaje del cual nos iremos relacionando conforme avancemos en su estudio.

1 - Definiciones básicas

Conjuntos:

Los conjuntos, denotados por letras mayúsculas (A, B, C, etc.) son colecciones de objetos o elementos específicos reales o imaginarios, generalmente delimitados por el uso de llaves o corchetes “”. Es posible describir el contenido de un conjunto de dos maneras diferentes.

I. Por enumeración = Se enumeran cada uno de los elementos. II. Por descripción = Se describe de manera formal el contenido del conjunto.

Ejemplo.

A = Todos los intervalos simples

A = 0T, 12T, 1T, 1 1

2T, 2T, …6T Enumeración

Siendo T = tono.

A = x / 0T ≤ x ≤ 6T Descripción

Lo que nos quiere decir la descripción es que el conjunto A es igual a todos los x, tal que x es mayor o igual a 0T y menor o igual a 6T. En palabras coloquiales, que A es igual a todos los intervalos desde unísono hasta octava justa.

Para mayor claridad, se muestra la tabla 8 la cual contiene los símbolos más recurrentes en teoría de conjuntos.

Símbolo Significado > mayor que < menor que

≥ Mayor o igual que ≤ Menor o igual que = igual ≠ diferente

28

∈ pertenece ∉ No pertenece

“/” o “:” | Tal que ∧ y ∨ o → Implica que ↔ Si y solo si ∀ Para todo ∃ Existe ∃! Existe un único

Tabla 8. Simbología. Elaboración propia.

Conjunto universal:

Un conjunto universal es aquel que contiene los demás conjuntos a tratar en una situación determinada, generalmente se representa mediante la letra U.

Conjunto vacío:

Un conjunto vacío denotado como “A = ∅”; es por definición, un conjunto que no contiene elementos.

Subconjunto:

Un subconjunto denotado por “⊆”, es un conjunto A en el cual todos sus elementos hacen parte de los elementos de B, por tanto, A⊆B.

Igualdad:

Sean dos conjuntos iguales, cuando uno de ellos contiene exactamente los mismos de elementos del otro sin importar el orden de sus elementos, por tanto, A = B.

2- Operaciones básicas

Unión:

La unión de dos conjuntos A y B denotada como “A∪B”, es un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de A y B. Su descripción formal es: A ∪ B = x / x ∈ A ∨ x ∈ B. La unión en conjuntos es el análogo a la disyunción en lógica. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 1.

29

Gráfica 1. Unión de dos conjuntos.

Intersección:

La intersección de dos conjuntos A y B denotada como “A∩B”, es un nuevo conjunto que contiene los elementos compartidos de A y B. Su descripción formal es: A ∩ B = x / x ∈ A ∧ x ∈ B. La intersección en conjuntos es el análogo a la conjunción en lógica. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 2.

Gráfica 2. Intersección de dos conjuntos.

Diferencia:

La diferencia de dos conjuntos A y B denotada como “A − B”, es un nuevo conjunto que contiene los elementos que pertenecen a A pero no a B. Su descripción formal es: A − B = x / x ∈ A ∧ x ∉ B. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 3.

Gráfica 3. Diferencia de dos conjuntos.

30

Complemento:

El complemento de un conjunto “A” denotado como “A´”, es un conjunto cuyos elementos no hacen parte de A, pero está contenido en el universal. Su descripción formal es: A´ = x / x ∈ U ∧ x ∉ A. El complemento en conjuntos es el análogo a la negación en lógica. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 4.

Gráfica 4. Complemento de un conjunto.

3- Propiedades básicas

Al igual que las propiedades estudiadas en el apartado de lógica; la teoría de conjunto se vale de las mismas para la demostración de enunciados. Dichas propiedades se muestran en la siguiente tabla:

Leyes de Morgan (A ∪ B)´ = A´ ∩ B´ (A ∩ B)´ = A´ ∪ B´

Doble complemento13 (A´)´= A

Absorción A ∩ (B ∪ A) = A A ∪ (B ∩ A) = A

Identidad A ∪ A = A A ∩ A = A

Conmutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (B ∪ A) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (B ∩ A) ∩ C

Distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Definición de vacío y universal A ∪ A´ = U A ∩ A´= ∅

Tabla 9. Propiedades en la teoría de conjuntos. Elaboración propia.

13 El doble complemento en teoría de conjuntos es análogo a la negación de la negación en lógica proposicional.

31

1.2.2 Teoría de conjuntos aplicada en la abstracción de las alturas

En la década de los años 60´s y 70´s la teoría de conjuntos vio nacer sus fundamentos en el campo teórico de la música. El trabajo Howard Hanson “Harmonic materials of modern music, 1960” introdujo la noción de conjuntos en la música tonal, mientras Milton Babbitt en “Set Structure as Compositional Determinant, 1961” y “The Structure and Funtion of Music Theory, 1965” hizo lo propio en la música dodecafónica y serialista. Sin embargo, no fue sino hasta 1973, que el músico teórico y musicólogo americano Allen Forte formalizó en “The estructure of Atonal Music” los procesos más sólidos y estructurados de la teoría, perfeccionada posteriormente en 1980 por John Rahn en “Basic Atonal Theory”; obra que aún hoy permanece como un pilar inamovible en el estudio de la teoría de conjuntos y de la cual basaremos parte de nuestro estudio.

1.2.2.1 Conjunto de alturas y operaciones14:

Conjunto de alturas:

Defínase como un conjunto cuyos elementos son alturas, entendidas como notas musicales (Rahn, 1980).

Equivalencias numéricas de alturas:

Las equivalencias numéricas de alturas son entidades virtuales (representaciones numéricas) obtenidas a partir de la abstracción de objetos reales (notas musicales). Estas abstracciones son fundamentales para el estudio objetivo y estructurado en torno a las relaciones y operaciones que pueden realizarse entre los conjuntos tónicos. Por tanto, a cada nota musical corresponde un único número que a su vez le representa en el conjunto U de clases tónicas.

Por convención, se ha asignado el valor de 0 al do central15, esto es, C4 como eje en la recta entera finita de intervalo [-39,49] (tomando como referencia el registro total de un piano).

Ilustración 1.Equivalencias numéricas de alturas. Elaboración propia. 14 Algunos conceptos estudiados en la operación de conjuntos musicales, difieren de las definiciones matemáticas. Un claro ejemplo de esto se puede encontrar en las operaciones de transposición e inversión, que en matemáticas son análogas a las operaciones de translación y reflexión. 15 Sin embargo, es muy común encontrar que el eje “0” puede variar, por ejemplo, F = 0. Esto se debe principalmente a una tradición compositiva a priori de las nociones y enunciados formales, es decir, antes de la oficialización teórica.

32

Por tanto, se puede definir formalmente el conjunto universal de alturas (entendido como el conjunto que contiene todas las equivalencias numéricas de alturas) como: CUA = x / x ∈ ℤ ∧ -39 ≤ x ≤ 49.

Con el fin de afianzar la aplicación de las operaciones, desarrollaremos el siguiente ejercicio el cual también es posible demostrar mediante el empleo de propiedades básicas de conjuntos.

Ejemplo:

Dados los siguientes conjuntos de alturas:

U16 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

A = 3, 7, 9

B = 0, 1, 5, 6, 8

C = 2, 4, 6, 8

D = 9

Demuestre mediante operaciones y propiedades la siguiente igualdad:

[(A´∪ B)´ ∪ A]´ ∩ A = ∅

Empezaremos demostrando mediante operaciones si se cumple o no la igualdad.

A´ = 0,1,2,4,5,6,8

A´∪ B = 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8

(A´∪ B)´ = 3,7,9

(A´∪ B)´ ∪ A = 3, 7, 9

[(A´∪ B)´ ∪ A]´ = 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8

[(A´∪ B)´ ∪ A]´ ∩ A = ∅ Por tanto, se cumple la igualdad.

Ahora lo haremos a través de propiedades y veremos si llegamos a la misma conclusión.

[(A´∪ B)´ ∪ A]´ ∩ A = ∅ Enunciado original

Morgan

[(A´)´∩ B´) ∪ A]´ ∩ A = ∅

Doble negación

16 Entiéndase el conjunto tónico “U”, como el conjunto universal de un problema específico que a su vez es subconjunto del conjunto universal tónico definido como “CUA”, talque U ⊆ CUT.

33

[(A ∩ B´) ∪ A]´ ∩ A = ∅

Absorción

[A]´ ∩ A = ∅

Definición de vacío

∅ = ∅ Por tanto, se cumple la igualdad.

Como vemos, las propiedades al igual que en lógica son muy útiles para demostrar formalmente si un enunciado se cumple o no, evitando la comprobación operacional.

Intervalos:

El estudio de los intervalos tiene por objeto encontrar relaciones matemáticas de distancia entre conjuntos compuesto por dos alturas. Simbolizado como “ip17 <a,b>” (Rahn, 1980), donde a y b son variables de equivalencias numéricas de alturas, los intervalos pueden ser representados de manera ordenada y no ordenada.

Intervalo ordenado:

Representado mediante la fórmula “ip<a,b> = b – a” (Rahn, 1980); un intervalo es ordenado cuando se ha obtenido la diferencia de b – a.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente motivo melódico encontrado en el I movimiento “Allegro non troppo” de la IV sinfonía del compositor alemán Johannes Brahms:

Ilustración 2. IV Sinfonía – Brahms. Allegro non troppo (C.1 – 2). Dover Publications.

Encontramos los siguientes intervalos ordenados:

i. ip<23,19> = 19 - 23 = -4 ii. ip<16,24> = 24 - 16 = 8

17IP = “pitch intervals” (intervalos de tono).

34

Lo que nos dice el resultado (-4 y 8) es la distancia en semitonos de los intervalos a tratar y su dirección; esto es, ascendente cuando el valor sea positivo y descendente cuando sea negativo.

Intervalo no-ordenado:

Representado mediante la fórmula “ip(a,b) = |b – a|” (Rahn, 1980); un intervalo es no-ordenado cuando se obtiene el valor absoluto18 de la diferencia de b – a.

Considérese además la siguiente definición de valor absoluto (Stewart, 2012):

Gráfica 5. Definición de valor absoluto. Elaboración propia.

Nótese como este y en general todos los axiomas, teoremas, enunciados, etc., matemáticos se valen de los principios lógicos (que hemos estudiado previamente) para su constitución. En este caso podemos visualizar (tabla 10) rápidamente el uso del condicional para el enunciado de los dos casos, que nos demuestra que el valor absoluto de | a | siempre es positivo.

Caso 1: Si “a” es mayor o igual de 0 entonces “a”. Caso2: Si “a” es menor de 0 entonces “-a”.

Cuando a = 2. Entonces: | a | = a = 2.

Cuando a = -5. Entonces: | a | = - (a) = -(-5) = 5.

Tabla 10. Demostración de valor absoluto. Elaboración propia.

Analicemos la siguiente célula melódica del I movimiento “Adagio” contenido en el cuarteto de cuerdas No.1 “Kreutzer Sonata” de Leoš Janáček.

Ilustración 3. Kreutzer Sonata - Janáček, Adagio (C.3 – 5). Philharmonia.

Hallamos los siguientes intervalos ordenados y no ordenados:

18 El valor absoluto de un número, representado como | a |, es siempre una cantidad positiva. Entiéndase en música como la distancia interválica de un punto “a” a un punto “b”, sin importar su dirección.

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i. Ordenado: ip<-8,-1> = -1 – (-8) = -1 + 8 = 7. No ordenado: ip(-8,-1) = |-1 – (-8)| = | 7 | ii. Ordenado: ip<-1,-1> = -1 – (-1) = -1 + 1 = 0. No ordenado: ip(-1,-1) = |-1 – (-1)| = | 0 |

iii. Ordenado: ip<-1,-2> = -2 – (-1) = -2 + 1 = -1. No ordenado: ip(-1,-2) = |-2 – (-1)| = |-1| = -(-1) = | 1 | iv. Ordenado: ip<-2,-2> = -2 – (-2) = -2 + 2 = 0. No ordenado: ip(-2,-2) = |-2 – (-2)| = | 0 | v. Ordenado: ip<-2,-1> = -1 – (-2) = -1 + 2 = 1. No ordenado: ip(-2,-1) = |-1 – (-2)| = | 1 |

vi. Ordenado: ip<-1,-6> = -6 – (-1) = -6 + 1 = -5. No ordenado: ip(-1,-6) = |-6 – (-1)| = |-5| = -(-5) = | 5 | vii. Ordenado: ip<-6,-8> = -8 – (-6) = -8 + 6 = -2. No ordenado: ip(-6,-8) = |-8 – (-6)| = |-2| = -(-2) = | 2 |

Lo practico al hallar el valor absoluto de una serie de intervalos; es la cuantificación de recurrencia de un intervalo x. En este caso vemos como el intervalo 0 y 1 fueron los más reiterados con un total de 2 apariciones cada uno.

Transposición de alturas:

Entiéndase la transposición como un proceso de metamorfosis que sufre una altura para convertirse en otra. Denótese como “Tp

n = x + n” ó “Tp-n = x - n”, donde “x” es la equivalencia de altura y “n” es la cantidad

medida en semitonos que se adicionan o restan a “x”19 (Rahn, 1980). En términos matemáticos se puede considerar la transposición como una función (denotada como “f”), es decir, una regla o proceso en la que un elemento “x” de un conjunto A tiene una única imagen o correspondencia matemática de un elemento del conjunto B denotado como “f(x)”. El siguiente diagrama de flechas (figura 6) nos muestra mejor el concepto de función.

Gráfica 6. Diagrama de flecha de una función. Elaboración propia.

El conjunto A le llamaremos dominio de la función y lo entenderemos como una variable independiente, es decir, su valor no depende de otra variable. Por otro lado, al conjunto B de la función lo llamaremos rango y lo entenderemos como una variable dependiente, esto debido a que su resultado depende del elemento del conjunto A y del proceso que se le aplique a dicho elemento, se denota como a → f(a).

19 Tp-n se considera también como la operación inversa de la transposición, es decir, el procedimiento utilizado para llegar al conjunto o altura original a partir de su transposición.

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Ejemplo:

Realizar Tp7 y Tp

-3 al siguiente fragmento melódico:

Ilustración 4. Nocturne - Op. 9 N°. 2. Frédéric Chopin. G. Schirmer.

Tp7 = 10 + 7 = 17 Tp

-3 = 10 – 3 = 7

Dominio Rango

Tp7 = 19 + 7 = 26 Tp

-3 = 19 – 3 = 16 Tp

7 = 17 + 7 = 24 Tp-3 = 17 – 3 = 14

Tp7 = 15 + 7 = 22 Tp

-3 = 15 – 3 = 12

Se consigue con esto transformar el conjunto A = 10,19,17,15 a dos nuevos conjuntos: Tp

7 B = 17,26,24,22 y Tp-3 C = 7,16,14,1220. Siendo esta la manera matemática de representar mediante

conjuntos las modulaciones musicales.

Inversión:

La inversión de una altura denotada como “Ipx = -x” (Rahn, 1980), donde x representa la altura; es un

proceso en el cuál una altura positiva tiene su contraparte negativa y viceversa, tomando como eje a 0 = C4. Veámoslo mejor en la siguiente ilustración:

Gráfica 7. Inversión en la recta entera. Elaboración propia.

20 Los elementos de los conjuntos fueron ordenados teniendo en cuenta su presentación en la obra. Si se quisiera ordenar de cualquier otra forma; de ninguna manera presentaría un problema, ya que por definición: el orden de los elementos de un conjunto no altera el conjunto. Sin embargo, puesto que se quiere mantener el contorno melódico original; es fundamental para este objetivo mantener el orden de presentación original.

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Ejemplo:

Invierta el siguiente motivo melódico encontrado en el “Minueto en G mayor, BWV 114” del libro de Ana Magdalena de Johann S. Bach.

Ilustración 5. Minueto en G Mayor, BWV 114 (C.1-2) - J.S.Bach. Edición Ibérica.

Ip14 = -14, Ip

7 = -7, Ip9 = -9, Ip

11 = -11, Ip12 = -12.

Dándonos como resultado la siguiente sucesión melódica, que no es más que los mismos intervalos en dirección opuesta cuyo eje es 0, o en términos familiares una modulación con contorno melódico invertido:

Ilustración 6. Inversión del Minueto en G Mayor, BWV 114 - J.S.Bach. Elaboración propia.

Transposición de la inversión:

La transposición de la altura denotada como “TpnI = -x + n” ó “Tp

-nI = -x - n” (Rahn, 1980), donde x es altura y n cantidad de semitonos a adicionar o restar. Es como vimos anteriormente, la transformación de una altura en otra. Esta vez realizada sobre la inversión.

Ejemplo:

Tomemos como conjunto el gesto melódico descendente realizado por corcheas del 2 y 3 tiempo obtenido del Minueto de Bach y realicemos sobre este Tp

6I:

A = -7,-9,-11,-12 Tp6I B = -1,-3,-5,-6

Tenemos como resultado el conjunto B = -1,-3,-5,-6 que se muestra en la siguiente ilustración:

Ilustración 7. Transposición de la inversión sobre el 2 y 3 tiempo. Elaboración propia.

Alturas que se pueden encontrar en exactamente los mismos tiempos (2 y 3) del compás número 15 del minueto, a excepción que se encuentran 1 octava arriba. Por tanto, tanto la transposición, inversión y transposición de la inversión son tremendamente útiles no solo para el análisis, si no, para la arquitectura

38

motívica melódico-armónica de una obra, en tanto se producen diferentes relaciones geométricas (reflexión, translación) que contribuyen a la construcción morfológica de la pieza.

1.2.2.2 Conjunto tónico y operaciones:

Conjunto y clase tónica:

Puesto que a la teoría de conjunto le interesa saber la composición interna de un conjunto y las relaciones que surgen entre uno o más conjuntos. El registro específico de una altura cualquiera no representa mayor significación en el proceso de cuantificación, salvo se quiera estudiar la recurrencia del registro y característica del contorno presentado en una obra.

Así pues, un conjunto tónico es la máxima abstracción de las equivalencias numéricas de alturas cuyos elementos van del 0 al 11 convirtiéndolo en un sistema cerrado. Por otro lado, podemos definir una clase tónica como un elemento del conjunto tónico que a su vez es un conjunto que representa todas las posibilidades de registro que puede tener una misma nota.

Ejemplo:

Equivalencia del conjunto de todos los registros de la nota C.

0 = C1, C2, C3 … C8

Siendo 0 la clase tónica C.

Esto nos da como resultado un esquema numérico (ilustración 8), que es un conjunto al que llamaremos “conjunto tónico” y cuyos elementos son clases tónicas. Podemos definir formalmente este conjunto como: CT = x / x ∈ ℤ ∧ 0 ≤ x ≤ 11.

Ilustración 8. Conjunto tónico. Elaboración propia.

Ahora bien, para establecer el valor de una altura x en su equivalente clase tónica; partimos de las siguientes definiciones:

39

a. Si x > 11 o x < -11, entonces x mod1221. b. Si -11 ≤ x < 0, entonces -x mod12 = -x + 12.

Ejemplo:

Halle las clases tónicas de las siguientes alturas:

a) 15. b) -8. c) 41. d) -28.

Entonces;

a) 15 mod12 = 3 = D# b) -8 + 12 = 4 = E c) 41 mod12 = 5 = F d) -28 mod12 = -4 + 12 = 8 = G#

Intervalos de clases tónicas:

Al igual que en las equivalencias numéricas de alturas se introdujo el concepto de intervalo ordenado e intervalo no ordenado; los intervalos de clases tónicas, denotados como “i<a,b>” (Rahn, 1980), se pueden dividir en dos casos: intervalo dirigido e intervalo no dirigido.

Intervalo dirigido:

El intervalo dirigido es el espacio que hay en medio de dos clases tónicas. La forma de establecerlo es mediante la siguiente ecuación “i<a,b> = (b - a)” (Rahn, 1980). Para los casos en los cuales el resultado cumpla la siguiente propiedad: -11 ≤ x < 0, entonces x + 12.

Ejemplo:

Examinemos el siguiente ejemplo extraído del Requiem en D menor de Wolfgang Amadeus Mozart.

21 El término “mod” es la abreviación de módulo, y se refiere al concepto utilizado en programación para representar una división de dos números positivos y cuyo resto es el “mod”. Esto quiere decir que “x mod12”, devuelve el resto de una división en la cual el divisor de un dividendo “x” es 12.

40

Ilustración 9. Requiem en D menor – Mozart, Lacrimosa (C.3). Bärenreiter-Verlag.

Lo primero será obtener todas las clases tónicas:

a) 17 mod12 = 5 b) 14 mod12 = 2 c) 13 mod12 = 1

Posteriormente hallaremos los intervalos dirigidos encontrados en el fragmento melódico:

i. i<A,F> = i<9,5> = 5 – 9 = -4 + 12 = 8. ii. i<F,D> = i<5,2> = 2 – 5 = -3 + 12 = 9.

iii. i<D,D> = i<2,2> = 2 – 2 = 0. iv. i<D,C#> = i<2,1> = 1 – 2 = -1 + 12= 11.

Intervalo no dirigido:

Un intervalo no dirigido es el intervalo menor de las dos posibilidades interválicas que pueden surgir entorno a dos clases tónicas, es decir, para i(a,b) cuyos intervalos pueden ser i<a,b> o i<b,a> (Rahn, 1980); el intervalo dirigido será aquel que tenga como resultado la menor cantidad.

Ejemplo:

Tomemos de referencia nuevamente el Requiem en D menor de Mozart y hallemos el intervalo faltante, esto es, para i<b,a>.

i. i<F,A> = i<5,9> = 9 - 5 = 4. ii. i<D,F> = i<2,5> = 5 - 2 = 3.

iii. i<D,D> = i<2,2> = 2 – 2 = 0. iv. i<C#,D> = i<1,2> = 2 - 1 = 1.

Estos resultados nos permiten ver ciertas constantes que, al abstraerlas, se llega a formalizar el intervalo no definido declarándolo de la siguiente manera:

41

a. Si a ≤ b entonces el intervalo menor es aquel que se obtiene de i<a,b>. b. Si a > b, entonces el intervalo menor es aquel que se obtiene de i<b,a>.

Orden normal de un conjunto tónico:

El orden normal de un conjunto tónico es una manera estándar de organizar los elementos contenidos en él de manera que se puedan hacer mejores relaciones y comparaciones. La forma de organización es realmente simple y se explica a continuación:

1. Dado un conjunto A con n elementos, se hallan todas las posibilidades de orden ascendente de los elementos que integran el conjunto; obteniendo con ello n combinaciones posibles.

2. El conjunto cuyo intervalo externo tenga la menor cantidad, es decir, la distancia interválica que hay entre el primer y último elemento del conjunto; es el orden normal.

3. Si el resultado del intervalo externo es igual en dos o más conjuntos, entonces calcule de nuevo el intervalo externo. Esta vez entre el primer y penúltimo elemento, si persiste entonces vuelva a calcular esta vez con el elemento inmediatamente anterior (antepenúltimo) y así sucesivamente hasta romper la igualdad.

4. Si la igualdad nunca se rompe, entonces el orden normal es el conjunto cuyo primer elemento sea la clase tónica menor.

Ejemplo:

Halle el orden normal de los siguientes conjuntos:

a) A = D, A, F#, C = 2,9,6,0 b) B = C#, G, D#, E, B, A# = 1,7,3,4,11,10

1. Combinaciones ascendentes.

A = 2,9,6,0 = 0,2,6,9, 2,6,9,0, 6,9,0,2, 9,0,2,6. B = 1,7,3,4,11,10 = 1,3,4,7,10,11, 3,4,7,10,11,1, 4,7,10,11,1,3, 7,10,11,1,3,4, 10,11,1,3,4,7, 11,1,3,4,7,10.

2. Calcular intervalos externos. A = i<0,9> = 9. i<2,0> = 10. i<6,2> = 8. i<9,6> = 9. El orden normal del conjunto A = 6,9,0,2. B = i<1,11> = 10. i<3,1> = 10. i<4,3> = 11. i<7,4> = 9. i<10,7> = 9. i<11,10> = 11. Hallamos dos conjuntos cuyos intervalos externos son los mismos.

42

3. Romper la igualdad. B = i<7,3> = 8. i<10,4> = 6 El orden normal del conjunto B = 10,11,1,3,4,7.

Transposición de clases tónica:

La transposición en clases tónica es exactamente el mismo procedimiento que el estudiado en la transposición de alturas, a excepción que esta vez el valor de “n” solo puede ser de 0 a 11. Denótese como “Tn = x + n” ó “T-n = x - n” (Rahn, 1980), donde “x” es la equivalencia de clase tónica y “n” es la cantidad medida en semitonos que se adicionan o restan a “x”.

Ejemplo:

Hasta ahora hemos visto la construcción de conjuntos y operaciones entre sus elementos a partir de motivos melódicos. Analicemos ahora el primer compás de la III pieza - Farben - que hace parte de las V piezas para orquesta Op. 16 de Arnold Schoenberg:

Ilustración10. Farben - A. Schoenberg. C.F. Peters.

Para efectos prácticos hemos tomado la reducción a 2 pianos hecha por quién sería uno de los discípulos más predilectos de Schoenberg: Anton Webern. Como hemos visto hasta ahora un conjunto puede ser definido en torno a un hecho musical significativo, es decir, podemos definir conjuntos tomando como referencia motivos melódicos, frases, grupos, periodos, etc., o como en este caso, simultaneidades.

Dicho esto, el orden normal del conjunto que encontramos es el siguiente:

A = 8,9,11,0,4

Sobre el conjunto A hallaremos las siguientes transposiciones: T1, T2, T3, T4, T-1.

T1 = 9,10,0,1,5, T2 = 10,11,1,2,6, T3 = 11,0,2,3,7, T4 = 0,1,3,4,8, T-1 = 7,8,10,11,3

Hemos llegado a general 5 nuevos conjuntos a partir de A = T0 con un total de 6 conjuntos, los mismos utilizados por Schoenberg para realizar la obra. Como nos muestra la ilustración analítica de Rahn;

43

Schoenberg mantuvo casi invariable la disposición interválica del primer acorde, jugando únicamente con sus transposiciones y con las infinitas posibilidades tímbricas que ofrece una orquesta.

Ilustración 11. Esquema transposicional de Farben. Imagen tomada de “Basic Atonal Theory, pág. 64” - John Rahn.

Véase como en los compases concernientes al clímax (c. 241/2-32) se presenta un descenso en las transposiciones del acorde fundamental hasta llegar a T0 que curiosamente es el comienzo de la sección final, es decir, un punto de elisión. También note como en la sección final solo se presentan transposiciones de medio tono como si se tratase de una bordadura con tendencia a hallar reposo en T0. Por último, advierta que antes de llegar al clímax (que también es el punto de máxima transposición ascendente), le precede el conjunto “T-1” generando con ello el máximo salto posible entre los conjuntos que contienen los registros extremos de la pieza; contribuyendo de esta manera al clímax de una manera implícita.

Inversión de clases tónicas:

La inversión en clases tónicas se define como “Ix = -x + 12” (Rahn, 1980); donde x representa la clase tónica.

Ejemplo:

Halle las inversiones del siguiente conjunto tónico cuyo orden normal es el siguiente:

A = 5,6,9,1

a) x = 5 → I5 = -5 + 12 = 7. b) x = 6 → I6 = -6 + 12 = 6. c) x = 9 → I9 = -9 + 12 = 3. d) x = 1 → I1 = -1 + 12 = 11.

La inversión del conjunto tónico A = 5,6,9,1 es B = 7,6,3,11. Ambos conjuntos tienen exactamente los mismos intervalos entre sus elementos [1,3,4] con la diferencia en que los elementos del conjunto A presentan un orden ascendente y los elementos del conjunto B descendentes.

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Transposición de la inversión de clases tónicas:

La inversión en clases tónica se define como “TnI = -x + n” (Rahn, 1980); donde x representa la clase tónica y n el valor de la transposición. Si TnI = x < 0, entonces -x + 12.

Ejemplo:

Tomando como referencia el anterior conjunto “A = 5,6,9,1”, realice T4I.

a) x = 5 → T4I = -5 + 4 = -1 + 12 = 11. b) x = 6 → T4I = -6 + 4 = -2 + 12 = 10. c) x = 9 → T4I = -9 + 4 = -5 + 12 = 7. d) x = 1 → T4I = -1 + 4 = 3.

En el caso que quisiéramos realizar el proceso inverso de TnI, se presenta la particularidad que TnI es en sí misma su inversa. Comprobémoslo mediante propiedades: Si TnI (x) = -x + n entonces TnI (-x + n) = x.

Demostración:

TnI (-x + n) = - (-x + n) + n

Morgan

TnI (-x + n) = (x – n) + n

Asociativa

TnI (-x + n) = x + (– n + n)

Definición de vacío

TnI (-x + n) = x

Vector interválico:

El vector interválico, denotado como V<v1,v2,v3,v4,v5,v6>, se refiere a la cantidad de recurrencias de un intervalo en un conjunto. Este vector es el resultado del análisis interválico de los subconjuntos de cardinalidad222, denotada como “nA = 2”; que surgen del conjunto original.

Ejemplo:

Dado el conjunto A = 1,2,3,6 tenemos los siguientes subconjuntos nA = 2 y sus respectivos intervalos:

1,2, 1,3, 1,6, 2,3, 2,6, 3,6

1 2 5 1 4 3

22 La cardinalidad se refiere a la cantidad de elementos que tiene un conjunto.

45

Obtenemos con ello la repetición del intervalo 1 y solo una aparición de los intervalos 2,3,4,5. Como es lógico solo es posible definir 6 intervalos, ya que como muestra la figura 7; los intervalos del 7 al 11 son solo inversiones de los intervalos del 1 al 5, donde 0 y 6 son inversos de sí mismos. Esto debido a que un conjunto tónico solo está compuesto por 12 elementos (0 - 11) y sea cual sea el punto de partida; solo puede haber una distancia interválica máxima de 6.

Gráfica 8. Intervalos y sus inversiones. Elaboración propia.

Por tanto, tenemos que el vector interválico de A es:

Conjunto V1 V2 V3 V4 V5 V6 1,2,3,6 2 1 1 1 1 0

Tabla 11. Vector interválico de A: V<211110>. Elaboración propia.

Al igual que los todos los temas estudiados hasta el momento nos demuestran importantes relaciones en torno al material tónico hallado en una obra, que como hemos visto, puede reducirse a un solo conjunto. El vector interválico nos proporciona información relevante respecto a la composición interna de un conjunto, como una manera de abstraer su comportamiento y con ello determinar, por ejemplo, el carácter o las cualidades sonoras de una obra. Así, no es lo mismo tener como arquitectura de una pieza el vector interválico V<100001> cuyas sonoridades predominantes serán disonancias de intervalos de segunda menor, séptima mayor y tritono. Que un vector interválico V<000110> cuyas sonoridades serán consonantes y justas; encontradas en intervalos de terceras mayores, sextas menores, cuartas justas y quintas justas.

Forma prima de un conjunto:

La forma prima de un conjunto es todo conjunto que una vez hallado su orden normal, se invierte dando como resultante un nuevo conjunto y se procede a encontrar su orden normal. Una vez tengamos el conjunto original y su inverso en orden normal; comparamos cuál es el más compacto interválicamente a la izquierda y a este, trasladamos sus términos en función de la clase tónica C = 0. Acá se aclara que cuando

01

2

3

4

56

7

8

9

10

11 1

2

3

4

5

46

nos referimos a invertir el conjunto, no nos referimos a la inversión de clases tónicas, si no, a la inversión interválica que tiene una clase tónica descrita en la gráfica 8.

Ejemplo:

Determine la forma prima del conjunto A = 3,10,7,9.

Se tiene que el orden normal de A = 3,7,9,10 y que su inverso es Ai = 9,5,3,2. A su vez el orden normal de Ai = 2,3,5,9. Al comparar el conjunto A con Ai en orden normal, se obtiene que el conjunto Ai está más comprimido interválicamente a la izquierda, por lo que será el conjunto Ai quien deba trasladarse en función de la clase tónica 0, es decir, 0,1,3,7. Por lo tanto, se concluye que la forma prima del conjunto A es:

0,1,3,7

La importancia de determinar la forma prima de un conjunto, radica en que se obtiene la máxima abstracción posible y por tanto revela una única representación. Esto es interesante dado que los conjuntos con una misma forma prima contienen la misma cantidad de elementos y la misma disposición interválica.

Allen Forte fue pionero en el estudio de la forma prima de conjuntos y realizo un catálogo de formas primas en conjuntos de 3 a 9 elementos, ordenándolos de acuerdo a su contenido interválico. La resultante es un número llamado “número Forte” donde el primer término indica la cantidad de elementos del conjunto y el segundo término indica la posición que ocupa en la tabla del catálogo de números Forte (Forte, 1977). Por ejemplo, el número “3-11” índica un conjunto de 3 elementos que figura en la posición número 11 del catálogo, cuya forma prima es (0,3,7) y es la abstracción de las triadas mayores y menores.

Permutaciones y combinatorias de un conjunto23:

La permutación “P” se define como las diferentes variantes de ordenamiento de los elementos de un conjunto A. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de tres elementos A = 1,2,3; sus permutaciones serán las siguientes: A = 1,3,2, A = 2,1,3, A = 2,3,1, A = 3,1,2, A = 3,2,1, teniendo 6 permutaciones diferentes (contando el orden original) del mismo conjunto.

Matemáticamente se expresa como:

P(n,k) = 𝑛𝑛!(𝑛𝑛−𝑘𝑘)!

Donde “n” representa el número de elementos de un conjunto, y “k” representa el número de elementos que quiere permutar. Por lo tanto:

P(3,3) = 3!(3−3)!

= 6

23 Véase anexo 1 antes de continuar con el estudio de las permutaciones y combinatorias.

47

Las permutaciones de un conjunto son interesantes mientras se quieran generar contornos melódicos o simultaneidades diferentes partiendo de un mismo conjunto. También son representativas en tanto se quiera mantener la coherencia conductiva de las voces (Sánchez, 2016), por ejemplo, dado el conjunto A = 11,2,7 y el conjunto B = 7,0,4 se tendrían las siguientes simultaneidades:

Ilustración 12. Conjuntos A y B. Elaboración propia.

Sin embargo, si lo que queremos es realizar una resolución al estilo de la práctica común; las permutaciones A = 2,7,11 y B = 4,7,0 tendrían mucho más sentido en torno al movimiento conductivo de voces:

Ilustración 13. Permutación de los conjuntos A y B en favor de la conducción. Elaboración propia.

Si además quisiéramos saber cuántos subconjuntos de “k” elementos puede surgir en torno a un conjunto A; es allí cuando vale la pena utilizar la combinatoria “C”. Por ejemplo, si quisiéramos saber los subconjuntos de 3 elementos posibles del conjunto A = 1,2,3,4; tendríamos un total de 4 subconjuntos: A = 1,2,3, A = 1,2,4, A = 1,3,4, A = 2,3,4.

Matemáticamente se expresa como:

C(n,k) = 𝑛𝑛!(𝑛𝑛−𝑘𝑘)!𝑘𝑘!

Donde “n” representa el número de elementos del conjunto original, y “k” representa el número de elementos que quiere combinar. Por lo tanto:

C(4,3) = 4!(4−3)!3!

= 4

Naturalmente las combinaciones dan profundidad y variedad a las organizaciones tónicas-armónicas que puede haber en una obra, en tanto son subconjuntos distintos interválicamente unos de otros, pero creados a partir de un conjunto en común o universal.

48

Transposición Difusa:

La transposición difusa se refiere a un procedimiento en el cuál uno o más elementos del conjunto transpuesto no corresponden a la relación simétrica. Se denota como “*𝑇𝑇(𝑘𝑘)

𝑛𝑛 ” donde “n” corresponde al índice de transposición y “k” a el o los elementos diferentes (Strauss, 2005).

Ejemplo:

Canciones de Lorca es una obra compuesta en 1976 por el argentino Gerardo Gandini. Esta obra para voz y guitarra comienza con un preludio caracterizado por el rol solista de la guitarra como introducción del “nocturno esquemático” que vendrá. Su construcción está basado en un ostinato rítmico y con bloques de hexacordios (30 en total) que se mueven ligeramente en su interior, es decir, cambios inicialmente de una sola nota por acorde hasta llegar a un máximo de 4 cambios por acorde. Su particularidad está en el palíndromo en su disposición formal cuyo centro es el acorde número 15. A continuación se presentan la sucesión de los hexacordios 11 al 14.

Ilustración 14. Transposición difusa en los hexacordios 11 al 14 de "Canciones de Lorca". Elaboración propia.

La ilustración nos muestra algunas transposiciones difusas representadas en líneas entrecortadas, se deduce que, aunque se presenten dos *𝑇𝑇(2)

0 , cada una contiene un comportamiento diferente entre el movimiento de las voces internas. Gandini claramente no consideró realizar la transposición completamente simétrica pero sí da una máxima lejanía de *𝑇𝑇(4)

0 , de hecho, solo se presenta en una ocasión entre la transición del acorde 12 y 13 (X1 a X2 en la ilustración 14).

Durante todo el preludio predomina *𝑇𝑇(2)0 con un total de 9 apariciones y otras 5 diferentes divididas en:

cuatro *𝑇𝑇(1) 0 entre los hexacordios 2 al 6, y una *𝑇𝑇(4)

0 entre los hexacordios 12 y 13. De hecho, si representáramos el número de transiciones en una recta y la dividiéramos en dos segmentos con proporción aurea y aproximáramos los resultados a números enteros; tendríamos un segmento a de 9 transiciones y un segmento b de 5 transiciones. En este caso, el segmento a bien podría representar las transposiciones *𝑇𝑇(2)

0 (9 en total), mientras que la sección b representaría todas las *𝑇𝑇(𝑘𝑘)𝑛𝑛 ≠*𝑇𝑇(2)

0 (5 en total). Ya sea que Gandini tuviera o no presente este elemento para la construcción del preludio, si

*𝑇𝑇(2)0 *𝑇𝑇(2)

0 *𝑇𝑇(4)0

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podemos decir que se presenta sección aurea entre la cuantificación de sus transposiciones. Esto puede entenderse mejor en la siguiente gráfica:

Gráfica 9. Segmentación aurea en la cuantificación de transposiciones presentadas en "Canciones de Lorca". Elaboración propia

Inversión Difusa:

La inversión difusa se refiere a un procedimiento en el cuál una o más relaciones interválicas entre los elementos del conjunto no contienen una relación simétrica. Se denota como “*𝐼𝐼(𝑘𝑘)

𝑛𝑛 ” donde “n” corresponde a la inversión y “k” a el o los elementos diferentes (Strauss, 2005). Para su cálculo se requiere la ecuación estudiada previamente en el apartado de trasposición de la inversión de una clase tónica:

TnI = -x + n

Ejemplo:

Demuestre que el conjunto A = Eb, G#, A es inversión difusa *𝐼𝐼(1) 0 del conjunto B = D, E, A.

Lo primero que debemos hacer es demostrar que se encuentra al menos una relación interválica entre ambos conjuntos:

Ilustración 15.Relación entre los elementos e interválica común de los conjuntos A y B. Elaboración propia.

Una vez encontrada la relación interválica común, en este caso el intervalo 5; se halla el valor de la inversión difusa mediante el despeje de la ecuación “TnI = -x + n”, de modo que:

TnI = -x + n

n = TnI + x

Definida la ecuación, reemplazamos los términos por los elementos de los conjuntos A y B, tal que x corresponde a cada uno de los elementos del conjunto A y TnI a cada uno de los elementos del conjunto B. El orden del reemplazo corresponde a la relación entre elementos definida en la ilustración 15.

14

a b

5,35 = 5 8,65 = 9

*𝑇𝑇(2)0 *𝑇𝑇(1)

0 *𝑇𝑇(4)0 ∧

50

Entonces:

Cuando x = D y TnI = A, se tiene que: n = 9 + 2 = 11

Cuando x = E y TnI = G#, se tiene que: n = 4 + 8 = 12 mod12 = 0

Cuando x = A y TnI = Eb, se tiene que: n = 9 + 3 = 12 mod12 = 0

Se concluye efectivamente que A es *𝐼𝐼(1) 0 del conjunto B, el elemento difuso se presentada en la relación

de las clases tónicas 9 y 2.

Ilustración 16. *𝐼𝐼(1). 0 Elaboración propia.

1.2.3 Teoría de conjuntos aplicada en la abstracción del pulso

Corría el año 1962 cuando el matemático, teórico de la música y compositor estadounidense Milton Babbitt escribiría el artículo “Twelve-Tone Rhythmic Structure and The Electronic Medium” que le daría una nueva dimensión a la teoría de conjuntos, esta vez con la construcción de conjuntos cuyos elementos derivan de tal vez el factor más intrínseco de la música: el pulso. Pionero de la música serial, siendo su obra “Three Compositions for Piano (1947)” la primera en la historia con serialización total, Milton Babbit en su disertación de doctorado de 1946 en la Universidad de Princeton (Publicada en 1992) había realizado un profundo análisis de la estructuración del sistema de conjuntos de 12 tonos. Esto unido a que para 1961 Babbitt tenía un fuerte interés por la música electrónica y trabajaba como compositor en la RCA utilizando el sintetizador Mark II, le dio no solamente nuevas posibilidades tímbricas, sino fundamentalmente precisiones rítmicas que difícilmente conseguiría un intérprete humano, y que por su parte si podría cuantificar y reproducir fidedignamente en la máquina (Haskins, 1991). Es así que teoriza y genera el concepto de “Beat-Class Set” o “BC” que es una analogía de la teoría “Pitch-Class Set” o “PC”, cuya traducción literal es “conjunto de clase-pulso” y que será el tema de estudio de este capítulo, en la cual la manera de ordenar y cuantificar el ritmo depende de la noción de pulso que se trabaje.

51

1.2.3.1 Conjuntos y operaciones

Conjunto de clase-pulso, clase-pulso y conjunto de tiempo-pulso:

El conjunto de clase pulso, denotado por Pn; es un conjunto cuyos elementos son clases-pulso. Las clases-pulso son definidas como x / x ≥ 0, es decir, todos los enteros positivos y el cero que representan un pulso o subdivisiones de un pulso dentro de un compás. A diferencia de las clases-tónicas que no varían en su valor, las clases-pulso si dependen del contexto para su definición.

Para hallar las clases pulso lo primero que debemos hacer es definir el compás. Segundo hallaremos la figura rítmica más pequeña de la pieza. Tercero, subdividimos el compás tomando como referencia la figura más pequeña de la obra. Cuarto hacemos la tabla de clase-pulso o módulo “x”, donde el valor de x dependerá del total de subdivisiones que tiene el compás.

Ejemplo:

Analice el siguiente fragmento rítmico:

Ilustración 17. Fragmento rítmico. Elaboración propia.

En este caso se trata de un compás de ¾ cuya figura rítmica más pequeña es la semicorchea, por lo que un compás es posible subdividirlo en 12 semicorcheas dando como resultado “mod12” cuya tabla de clases-pulso se encuentran a continuación:

Figura

Clase-Pulso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tabla 12. Equivalencias clases-pulso. Elaboración propia.

Como puede verse el punto cero (0) o eje de las clases-pulso en este ejemplo es la semicorchea; ya que a partir de ella se forman las demás clases. Así mismo, las clases variarán dependiendo de la relación compás-pulso de una obra. El lector se preguntará ¿porque no realizar una generalización de todas las figuras rítmicas en un conjunto universal que fuera aplicable para cualquier obra como en el caso de las alturas?, pues bien, aunque dicha generalización es posible, tendría 2 serias contradicciones en su formulación.

52

Por ejemplo, para la primera contradicción supóngase que se ha proclamado que una redonda (por poner un ejemplo x) será el eje estandarizado y que a partir de ella surgen las demás clases-pulso, esto sería correcto para todas las figuras cuyas duraciones son menores que una redonda, pero ¿Qué pasa con las que son mayores?, tendríamos que decir que hay una clase más grande que contiene entre sus clases-pulso a la redonda, por ejemplo, una redonda ligada a una semifusa, si ahora por el contrario llamamos a la redonda ligada a una semifusa el eje de las clases tónicas; volvería a suceder el mismo dilema en tanto siempre habrá una duración mayor por tratarse de ser un conjunto infinito.

El segundo problema que surge es en torno a la duración de una figura rítmica, ya que la duración de la figura está supeditada al valor del tiempo que se defina. Es decir, una corchea en tiempo de 60 ppm (pulsos por minuto) no es equivalente a una corchea en tiempo de 120 ppm. Ya que 60 ≠ 120. Si quisiéramos hallar la equivalencia real tendríamos que una corchea en tiempo de 60 bpm es igual a una negra en tiempo de 120 bpm, en tanto 60*2 = 120, por lo que 120 = 120 y con ello la clase-pulso de la corchea sería igual a la clase-pulso de la negra generando la segunda contradicción.

El lector de nuevo se preguntará ¿Pero el mismo conflicto puede suceder en las clases-tónicas ya que por ejemplo hay notas de ¼ tono?, si bien es cierta esta afirmación lo que conllevaría a ampliar el módulo a “mod 24” y aún mucho más si por ejemplo se utilizan medios electrónicos. Lo cierto es que el mundo occidental ha estandarizado un temperamento y es debido a ello justamente que se ha podido generalizar las clases tónicas a “mod12”, esto debido a que el sistema estándar es el temperamento justo de 12 ½ tonos.

Volviendo a nuestro ejemplo, una vez realizado el proceso de equivalencias tenemos que las clases-pulso del fragmento rítmico son las siguientes:

Ilustración 18. Clases-pulso. Elaboración propia.

Ahora bien, el conjunto de tiempo-pulso representado como “Qn”24; es un conjunto cuyos elementos se obtiene al analizar los momentos o “time points” en los cuales se produce un evento rítmico, es decir, el instante donde se produce la acción percutida de una clase-pulso. Para representarlas en el conjunto lo que haremos es hallar el mod de la pieza que corresponde al obtenido en las clases-pulso, es decir, “mod12”.

24 La notación “bc set” fue sugerida por John Roeder al formalizar los análisis de Richard Cohn sobre los modelos compositivos de Steve Reich en su artículo “Transpositional Combination of Beat-Class Sets in Steve Reich’s Phase-Shifting Music” de 1992. (Guy)

53

Ilustración 19. Tiempos de pulso Mod12 y No mod12. Elaboración propia.

Como vemos, la ilustración 19 nos muestra los puntos de acciones percutidas utilizando “mod12”, como también nos muestra los puntos de acción percutida sin ningún tipo de reducción modular. Así mismo, podemos sacar un total de 4 conjuntos de tiempos de pulso: Q1 = 0,2,7,10, Q2 = 6,7,9,10, Q3 = 2,9,11, Q4 = 0. Estos conjuntos a su vez están unidos a los conjuntos de clase-pulso P1 = 1,4,2,7, P2 = 0,1,0,3, P3 = 6,1,0 y P4 = 11 respectivamente, obteniendo en su unión la descripción literal del fragmento analizado. Sin embargo, puesto que el propósito es abstraer la información relevante en términos formales y no transcribir la pieza del lenguaje musical al matemático; se recomienda utilizar los conjuntos de clase pulso en comportamientos rítmicos relevantes, como, por ejemplo, motivos rítmicos que bien pueden aparecer permutados, fragmentados, o con procesos de transposición que desembocan en la aumentación o disminución de la célula rítmica, etc.

Transposición de clase-pulso:

La transposición de los conjuntos de clase-pulso, es un procedimiento que se basan en la misma concepción de transposición los conjuntos de clases-tónica. Su definición formal es: “Tn = x + n” donde “x” representa la clase-pulso y “n” es el número de la transposición con respecto al mod definido. El resultado obtenido es la que se conoce tradicionalmente como aumentación rítmica.

Ejemplo:

Bach es sin duda alguna uno de los compositores que más ha implementado la geometría euclidiana en su catálogo de obras. Simetrías, reflexiones, translaciones, aumentaciones y disminuciones proporcionales, etc., fueron sus principales materiales para generar tanto en su época como en la actualidad gran admiración.

A continuación, se presenta un fragmento de la fuga BWV 871 en C menor en la cual se aplica T1 y T2 de

las clase-pulso , respectivamente. Acá se tiene que el mod de la pieza es 16 y la clase-pulso 0 = .

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Ilustración 20. T1 y T2. Fragmento Fuga C menor BWV 871, Bach. Elaboración propia.

Es posible generar otras maneras de aumentación y disminución rítmica, por ejemplo, la disminución se puede definir como “T-n = x /n” donde n ∈ ℕ / n > 0.

Ejemplo:

Halle T-2, T-6 y T-4 de las siguientes clases-pulso: .

T-2 = 2

= , T-6 = 6

= , T-4 = 4

=

El resultado es siempre proporcional y por ello en muchos casos ha de dar tresillos, quintillos, etc. Por supuesto la operación inversa “x = n*T-n” da como resultado la clase-pulso original que es en otras palabras una aumentación:

= 2 * , = 6 * , = * 4

Esta nueva forma de transposición es particularmente útil a la hora de utilizarla en lenguajes de programación como pure data; en los cuales las clases-pulso son representadas en milisegundos (ms), tomando como guía la negra ( ) donde = 1 seg = 1000 ms. Esta equivalencia es dada por la simetría que genera el tempo = 60, es decir, 60 negras por minuto.

Ejemplo:

Teniendo en cuenta que = 75. Halle el valor de , y en ms.

Si = 75

Entonces,

= 6075

= 45 x 1000 = 800 ms.

Tal que,

= 800 x 2 = 1600 ms.

55

= 8002

= 400 ms.

Transposición de tiempo-pulso:

Cuando hablamos de transposición de un conjunto de tiempo-pulso, nos referimos a el traslado de un conjunto de un tiempo de pulso “x” a otro tiempo de pulso “y”. Al igual que en clases-tónicas su definición formal es: “Tn = x + n” ó “T-n = x - n”, donde “x” es la equivalencia de tiempo-pulso original y “n” es la cantidad medida en tiempos de pulso que se adicionan o restan a “x” (Cohn, 1992).

Clapping Music (1972) de Steve Reich es sin lugar a dudas una obra que muestra de manera absolutamente pedagógica la noción de transposición e inversión. El compositor estadounidense dispone originalmente de la siguiente célula rítmica ejecutada por dos intérpretes aplaudiendo y repitiendo 12 veces cada compás:

Gráfica 10. Célula rítmica de clapping music. Universal Edition (1980).

Como vemos el eje de las clases-pulso es la corchea, de hecho, a través de toda la obra se tendrá únicamente esta figura. Lo realmente interesante de la obra se da a partir del análisis de los tiempos de pulso del conjunto original Q0 = 0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10. Esto debido a que durante la obra se producen desplazamientos por parte del segundo intérprete que generan nuevas simultaneidades y por lo mismo nuevas acentuaciones rítmicas que dan profundidad a la obra.

Ejemplo:

Ilustración 21. T5 y T3 Clapping Music, Steve Reich. C. 8.

El resultado a partir de T3 y T5 son los conjuntos Q3 = 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10 y Q5 = 0, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10 respectivamente. Esto es representativo en torno a las nuevas relaciones de acentuación que tiene el conjunto fijo Q0 con los nuevos conjuntos Q3 y Q5, dando una especie de perspectiva sonora en la cual se da el siguiente plano sonoro.

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Ilustración 22. Acentuaciones generadas en torno a las simultaneidades. Elaboración propia.

Este producto rítmico puede ser registrado en un vector, denominado vector de simultaneidad.

Vector de simultaneidad:

El vector de simultaneidad, denotado como S<s1,s2,…,sn>, se refiere a la cantidad de simultaneidades que se producen en un tiempo de pulso específico. Su longitud está dada por el mod de tiempos de pulso de la obra. Para computar el resultado se pondrá 1 cuando se dé simultaneidad y 0 cuando no se dé.

A partir del análisis de simultaneidades en la obra Clapping music de Steve Reich, se obtuvieron los siguientes resultados:

Compás S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11

1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 3 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 4 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 5 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 6 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 7 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 8 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 9 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 10 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 11 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 12 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Σ 8 8 8 0 8 8 0 8 0 8 8 0

Tabla 13. Vectores de simultaneidad de clapping music. Elaboración propia.

Los datos logrados en la tabla 13 son realmente interesantes. Por un lado, nos muestra las acentuaciones generadas compas tras compas, las cuales nunca se repiten confirmando la rica variedad de la pieza y de los planos sonoros. Por otro lado, el resultado de la sumatoria de valores obtenidos en cada vector precisa las ausencias de los vectores S3, S6, S8 y S11 y señalan una uniformidad de aparición de los vectores restantes. Dicha uniformidad en la ausencia y recurrencia de cada evento podría abstraerse en un único gran vector de simultaneidades total de la pieza, dando como fruto: S<1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0>. Este vector al analizarse, resulta ser el vector de la célula rítmica original; por lo que se determina que la obra en sí mantiene como fundamento el mismo manejo relacional horizontal de eventos rítmicos. Esto es cierto bajo cualquier mirada, ya que lo único que cambia es la yuxtaposición temporal o verticalidad de los ejecutantes y no la organización en sí del material rítmico, por lo que la esencia siempre es la misma.

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Inversión de tiempo-pulso:

La inversión de un conjunto de pulso, denotada como “Ix = k – x”; donde “x” corresponde al tiempo de pulso específico que se quiere invertir y “k” al índice de inversión, siempre que cumpla con la propiedad “0 ≤ k ≤ mod”, siendo el mod de tiempos de pulso de la obra. Se puede entender como la modificación de la direccionalidad original del conjunto a manera de espejo. Este proceso es posible representarlo gráficamente de la siguiente manera:

Gráfica 11. Inversión. Elaboración propia.

Ejemplo:

Halle la inversión del conjunto original Q0 = 0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10 de clapping music.

Teniendo definido el mod y el conjunto, entonces:

a) I0 = 11 – 0 = 11. b) I1 = 11 – 1 = 10. c) I2 = 11 – 2 = 9. d) I4 = 11 – 4 = 7. e) I5 = 11 – 5 = 6. f) I7 = 11 – 7 = 4. g) I9 = 11 – 9 = 2. h) I10 = 11 – 10 = 1.

Generando el conjunto IQ0 = 1,2,4,6,7,9,10,11, encontrado en el compás 4 de la obra.

Ilustración 23. Inversión Clapping Music. Reich. C. 4. Universal Edition (1980).

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Equivalencias clases-pulso alternativas:

La equivalencia de clase-pulso que hemos visto, puede ser definida como aditivas en cuanto los módulos van surgiendo al sumar indefinidamente la misma figura, sin embargo, esta no es la única alternativa a la hora de generar un módulo. Se puede realizar un proceso contrario el cuál definiremos segmentario, del

cual a partir de una figura rítmica x se procede a dividir sobre n, tal que xn donde n ∈ ℕ.

Ejemplo:

Realice mod8, cuando x =

1

2

3

4

5

6

7

8

Tabla 14. Mod8 de la redonda. Elaboración propia.

Lo que conseguimos con esto no es solamente un elemento rítmico, sino un grupo de elementos rítmicos que pueden ser dispuestos en cualquier lugar del compás, y que es un muy buen recurso a la hora de componer en planos yuxtapuestos o de manera vertical generando contornos contrapuntísticos muy elaborados. Igualmente es posible utilizarlos horizontalmente, como, por ejemplo, en contornos melódicos.

La negación como abstracción del silencio:

Puesto que el silencio transcurre en el tiempo, lógicamente es estructura de cualquier suceso rítmico. Si bien es cierto que los conjuntos de clases-pulso y clase-tiempo definen aquellos eventos sonoros (x) su negación es por obvias razones el evento no sonoro (∼x) o silencio y viceversa.

Ejemplo:

Tomando como referencia el conjunto Q0 = 0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10 hallado en Clapping Music de Steve Reich. Se obtiene que ∼Q0 = 3, 6, 8, 11.

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Ilustración 24. Negación de Q. Elaboración propia.

Esto comprueba además que ∼Q0 = Q0´, por lo que conseguimos la definición de universal Q0 ∪ Q0´ = U.

1.3 TEORÍA DE GRAFOS

La teoría de grafos estudia las propiedades de un conjunto de elementos denominados vértices y aristas25 que se representan mediante figuras geométricas denominadas Grafos. El primer bosquejo del concepto de grafo, puede localizarse en el siglo XVIII, a manos del principal matemático y prolífico físico de la época: Leonhard Euler. En su trabajo titulado “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, 1736”, Euler propone una solución para el problema matemático de “Los puentes de Königsberg”. El cuál radicaba en transitar las cuatro regiones de la ciudad de Königsberg enlazadas por los 7 puentes del rio Pregel, cruzando una única vez cada uno de ellos (Alexanderson, 2006).

La abstracción del problema ocasionada por Euler, dio pie para que en 1976 el matemático estadounidense Kenneth Appel y su colega alemán Wolfgang Haken resolvieran el teorema de “los cuatro colores26” propuesto en 1852 por el matemático ingles Francis Guthrie; en el cuál mediante su resolución los amigos definieron las ideas fundamentales de la teoría de grafos, siendo este punto el considerado como el origen de una de las teorías más recientes del análisis matemático y los sistemas computacionales (Fritsch & Fritsch, 1998).

1.3.1 Nociones básicas de grafos

Grafo:

Un grafo denotado como “G”, es un conjunto finito cuyos dos únicos elementos son en sí mismos conjuntos. El conjunto “V(G)”; es un conjunto no vacío de elementos que llamaremos “Vértices de G”. El conjunto “E(G)”; es un conjunto de pares ordenados que puede ser vacío llamados “Aristas de G”, representadas como en=(u,v) (Pérez, 2009).

25 Los vértices son llamados en algunos tratados como nodos o puntos, y las aristas como líneas o lados. 26 El problema plantea la pregunta: ¿es posible pintar cualquier mapa de países utilizando tan solo 4 colores, de tal manera que dos países limítrofes no tengan el mismo color?

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Grafo dirigido y no dirigido:

Un grafo cuyo conjunto E(G) cumpla con la condición de sus aristas (u,v) ≠ (v,u); se dice que es dirigido. Es decir, que sus aristas nos marcan una dirección o sentido definido.

Ejemplo:

Represente un grafo que cumpla con las siguientes condiciones:

Conjunto V(G) = 1,2,3,4,5. Conjunto E(G) = (1,2), (2,1), (2,3), (3,4), (4,5), (5,2)

Gráfica 12. Grafo dirigido. Elaboración propia.

Lo que nos muestra la Gráfica 12; es un grafo compuesto por 5 vértices representados convencionalmente como círculos y las aristas representadas como flechas (ya que se trata de un grafo dirigido). Note como la dirección de las aristas dependen de la definición dada en el conjunto “E(G)”, y como también el par ordenado (1,2) es diferente al par ordenado (2,1), dando como resultante una arista bidireccional.

Adicionalmente, los grafos dirigidos admiten en sus aristas la forma (u,u) lo que se conoce como “Lazos”, al igual que la presencia de “aristas múltiples” definida como (u,v) y (u,v). A estos grafos se les conoce como multigrafos (Pérez, 2009).

Ejemplo:

Gráfica 13. Multigrafo. La gráfica muestra lazos en los vértices 1 y 4. Adicionalmente presenta un par de aristas múltiples (2,3). Elaboración propia.

Un grafo sin embargo, puede cumplir la condición (u,v) = (v,u); dando como resultado un grafo no dirigido. Es decir, un grafo cuyas aristas no determinan la orientación, por lo que puede ser leído siempre

4

5

2

3

1

4 2 3

1

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bidireccionalmente. Estas aristas gráficamente se representan como líneas simples que unen a los vértices, por motivos prácticos de esta monografía; la denotaremos formalmente como |a,b|.

Ejemplo:

Represente un grafo que cumpla con las siguientes condiciones:

Conjunto V(G) = 1,2,3,4,5,6. Conjunto E(G) = |1,2|, |1,3|, |2,4|, |4,5|, |5,6|, |6,3|

Gráfica 14. Grafo simple no dirigido. Elaboración propia.

La ausencia de lazos y de par de aristas, han dado como resultante un grafo simple. Añadido a esto se trata de un grafo plano, es decir, un grafo cuyas aristas no se intersectan (Pérez, 2009).

Matrices de adyacencia e incidencia27:

Se dice que un vértice es adyacente a otro cuando existe una arista que los una. Por definición un vértice no es adyacente a sí mismo. La matriz de adyacencia es siempre cuadrada, y sus valores serán siempre bivalentes, es decir, 0 cuando no se presente adyacencia y 1 cuando se presente adyacencia (Espinosa, 2010).

Ejemplo:

Haga la matriz de adyacencia del siguiente grafo:

Gráfica 15. Grafo y su respectiva matriz de adyacencia. Elaboración propia.

27 Véase el estudio de matrices en el anexo 2.

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Note como el vértice número 2 posee la mayor adyacencia ya que mantiene relación con todos los vértices del grafo. En contraparte el vértice 4 sólo tiene 1 valor de adyacencia por lo que se considera como el vértice con la menor adyacencia del grafo.

Se dice que un vértice es incidente a una arista cuando la arista surja de dicho vértice. Los valores de la matriz de incidencia serán siempre bivalentes, es decir, 0 cuando no se presente incidencia y 1 cuando se presente incidencia (Espinosa, 2010).

Ejemplo:

Genere una matriz de incidencia a partir del siguiente grafo:

Gráfica 16. Grafo y su respectiva matriz de incidencia. Elaboración propia.

La gráfica 16 nos muestra un grafo interesante respecto a la relación de todos los vértices y aristas con un único vértice. La matriz de incidencia es clara mostrándonos como el vértice 1 tiene todos los valores “1” de incidencia; mientras que, los demás vértices tienen un solo valor “1” de incidencia, lógicamente con el vértice 1.

Adicional a esto, diremos que el grado de un vértice es el número de aristas que contiene dicho vértice y se denota como “deg(x)” (Pérez, 2009). En este ejemplo en particular hallamos los siguientes grados: Para el vértice 1: deg(1) = 4. Mientras que para los vértices 2 ,3 ,4 y 5 se encuentra que: deg(2) = 1, deg(3) = 1, deg(4) = 1 y deg(5) = 1. La suma de los grados es igual a 8, por lo cual surge el siguiente teorema: “La suma de los grados de los vértices de un grafo G es igual a dos veces el número de aristas en G.” (Pérez, 2009, pág. 182).

Con todo ello hemos conseguido en la matriz de incidencia los datos referentes al grado del grafo y la descripción de incidencia del mismo. Se vislumbra entonces que a partir de una matriz de incidencia o adyacencia se puede concebir el grafo y viceversa.

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Subgrafo, complemento e isomorfismo:

Un grafo denotado como “H” se dice que es subgrafo de un grafo “G”; cuando el conjunto de sus vértices y aristas, denotadas como V(H) y E(H), pertenecen al conjunto de vértices y aristas del grafo G. Su definición formal se representa mediante V(H) ∧ E(H) ⊆ V(G) ∧ E(G).

Ejemplo:

Gráfica 17. Subgrafo H ⊆ G. Elaboración propia.

El complemento de un grafo (G), denotado como (G); son todas aristas que pertenecen a G y no pertenecen a G, tal que E(G) ∉ E(G) (Pérez, 2009). Esto quiere decir, que G ∪ G da como resultado un grafo completo, es decir, aquel que tiene todas las aristas para cada par de sus vértices.

Ejemplo:

Gráfica 18. G y G. Elaboración propia.

Se dice que un grafo G es isomorfo a otro G*, cuando ambos tienen idénticas aristas, aunque sus vértices y su forma sean diferentes. A esto se le conoce como una función biyectiva, y se representa matemáticamente como f: V(G) → V(G*) / (u,v) ∈ G ↔ (f(u),f(V)) ∈ G* (Pérez, 2009).

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Ejemplo:

Gráfica 19. G y G*. Elaboración propia.

Rutas y circuitos en un grafo:

Una ruta o secuencia “a” es un recorrido entre vectores unidos por aristas. Si bien su definición es formal es (v0, e1, v1, e2…, vn-1, en, vn) (Pérez, 2009); por motivos prácticos solo se anotarán los vectores de la ruta prescindiendo de las aristas. Si la ruta pasa por todos los vértices una única vez se denomina ruta simple y si la ruta contiene aristas distintas se le llamará vía.

Ejemplo:

El siguiente fragmento pertenece al preludio de la Suite, Op.26 del compositor austriaco Arnold Schöenberg. En él, se haya una ruta simple y una ruta Euleriana, es decir, una ruta que pasa por cada arista una sola vez.

Ilustración 25. Clases tónicas Preludio. C (1-3). Schoenberg. Universal Edition.

La razón por la que se puede tener certeza de que se trata de un recorrido Eureliano es debido a que la técnica compositiva es dodecafónica, en la cual, como ha de conocer el lector, consiste en utilizar los 12 sonidos de la escala cromática uno después del otro sin repetición. Este concepto es mejor representado en el siguiente gráfico:

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Gráfica 20. Ruta Euleriana a = 4,5,7,1,6,3,8,2,11,0,9,10. Elaboración propia.

Si el grafo cumpliera además E(G) = |4,10| se tendría un grafo cerrado generando un circuito Euleriano. Un circuito es una ruta cerrada que cumple la condición E(G) ≤ 3.

Ejemplo:

En 1893 el pianista francés Erik Satie compondría una obra que a más de un coetáneo hizo reír y considerar una broma. Vexations es una pieza de tan solo dos sistemas, cada sistema con 18 tricordios que se repiten 840 veces. Los 36 tricordios pueden reducirse a tan solo 11 tricordios permutados de diferentes maneras, que al abstraerlos totalmente; corresponden a 3 conjuntos de forma prima 0,3,6, 0,4,8 y 0,2,6.

Ilustración 26. Vexations. Satie, E. Max Esching. Conjuntos en orden normal y forma prima. Elaboración propia.

Esta sucesión acórdica puede representarse mediante la siguiente gráfica; en ella se ven dos circuitos y un grafo eulerianos conectados uno tras otro mediante el grafo E.

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Gráfica 21. Circuitos de Vexations. Elaboración propia.

Una vez estudiados los conceptos fundamentales de la teoría de grafos; se verán a continuación, algunas aplicaciones en la práctica analítica y compositiva de la música.

1.3.2 Aplicación de la teoría de grafos en la música

La teoría de grafos tiene un papel fundamental en torno al análisis y la estructuración musical. Aunque su estudio es tema de investigación actual, no es difícil vislumbrar que se trata de una herramienta que permite abstraer elementos musicales y organizar el comportamiento de una determinada obra. Veamos algunas aplicaciones.

Diagramación del material tónico de un conjunto:

Los grafos surgidos a partir de la disposición de clases tónicas dentro de un conjunto es una de las primeras aplicaciones encontradas en la teoría de grafos. El trabajo compositivo del célebre Anton Webern, había dejado entrever la capacidad de crear obras completas tomando como referencia un solo conjunto de pocas clases tónicas. Así, por ejemplo, al analizar el siguiente fragmento del III Canon de Webern (5 Canons, Op.16); podemos ver como se generan conjuntos de forma prima 0,1,6, y sobre estos conjuntos, realizar transposiciones y permutaciones que generan los siguientes comportamientos melódicos y armónicos:

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Ilustración 27. III Canon. C (1-3). Webern, A. Universal Editions. Análisis de conjuntos de tres clases tónicas. Elaboración propia.

Si bien es cierto que podemos generar una lista de todas las transposiciones y permutaciones generadas en esta obra, sería mejor abstraer el elemento interválico y diagramarlo; con el fin de aplicar este tipo de relaciones tónicas en el análisis formal de cualquier obra y del quehacer compositivo.

Se dispone entonces de un polígono cuyos vértices representan las clases tónicas mod12 (Bennighof, 1987).

Gráfica 22. Polígono de clases tónicas. Elaboración propia.

Sobre el polígono se consignarán las relaciones entre vértices mediante el empleo de aristas, dichas relaciones tendrán como noción fundamental la distribución interválica de la forma prima del conjunto escogido, en este caso 0,1,6 dando como resultado el siguiente grafo:

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Gráfica 23. Grafo (G): Relaciones interválicas a partir del conjunto de forma prima 0,1,6. Grafo (H): Grafo no dirigido del comportamiento hallado en el Canon III, Webern. C. 1-3. Elaboración propia.

La resultante del grafo (G) es siempre simétrica, en tanto se consignan idénticas relaciones, e ilustra todas las posibles operaciones del conjunto graficado (transposiciones, inversiones, permutaciones, etc). Adicionalmente, el subgrafo (H) contenido en el Grafo (G), representa el comportamiento hallado en el fragmento del Canon III de Webern, su matriz de adyacencia nos proporciona facilidad en la lectura de datos.

La aplicación de la diagramación del material tónico de un conjunto es sin duda alguna una herramienta muy práctica; su estética visualmente armónica y su utilidad tanto en el análisis como en la creación musical nos ahorrará tiempo y permitirá condensar ordenadamente las operaciones matemáticas en un espacio reducido.

Isomorfismo en la diagramación del material tónico:

Dos conjuntos de forma prima diferentes son isomorfos si se cumplen el siguiente algoritmo:

1. Defina dos conjuntos en su forma prima. 2. Halle los intervalos del primer conjunto de la siguiente manera: Encuentre el intervalo externo,

posteriormente el intervalo que se da entre el último y penúltimo elemento, luego el penúltimo y antepenúltimo elemento y así sucesivamente hasta terminar.

3. Los intervalos del segundo conjunto hállelos de la siguiente manera: Encuentre el intervalo entre el último y penúltimo elemento, después el penúltimo y antepenúltimo elemento, y así sucesivamente hasta terminar.

4. Si el intervalo externo del primero conjunto es igual al intervalo formado entre el último y penúltimo elemento del segundo conjunto, y si el intervalo entre el último y penúltimo elemento del primer conjunto es igual al intervalo entre el penúltimo y antepenúltimo elemento del segundo conjunto, y así sucesivamente hasta pasar por todos los elementos de los conjuntos; entonces, los conjuntos son isomorfos.

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Ejemplo:

Halle si los siguientes dos conjuntos son isomorfos y represéntelos mediante grafos.

1. a = 0, 2, 4 y b = 0, 2, 6

Lo primero que hacemos es aplicar el algoritmo obteniendo el siguiente resultado.

Se descubre que las relaciones son idénticas y por lo tanto se trata de conjuntos isomorfos cuya representación es la siguiente:

Gráfica 24. Grafos isomorfos de forma prima 0,2,4 y 0,2,6

Vectores y aristas como estructuras de organización:

Como hemos visto, un grafo está conformado por vértices y aristas que también son en sí mismos conjuntos. Por lo cual, podemos determinar que un vértice puede contener una cantidad finita de información tónica, dinámica, rítmica, etc., y, por otro lado, las aristas pueden representar un proceso matemático-musical entre diferentes vértices, tales como progresiones, transposiciones, inversiones, etc.

Tomemos el estándar de Jazz “Afro Blue” del compositor cubano M. Santamaría y abstraigamos en un grafo la información referente a la progresión armónica de la obra:

70

Gráfica 25. Izquierda: estándar “Afro Blue”. The Real Book Vol1. Derecha: Grafo del comportamiento armónico. Elaboración propia.

Lo que nos muestra la gráfica es básicamente las transiciones posibles entre acorde y acorde. Se trata de un multigrafo dirigido, ya que, por un lado, todos los vértices tienen relaciones bidireccionales y por otro, los vértices F-7 y Eb contienen lazos. El vértice F-7 es también un eje central del grafo, pudiendo generar a partir de él dos subgrafos de tres vértices cada uno:

V(G) = F-7, G-7, Abmaj7 y V(H) = F-7, Eb, Db.

Y es justamente en estos subgrafos donde encontramos los conjuntos de las rutas generadas en la progresión armónica de la pieza, teniendo en su forma básica a:

a = F-7, G-7, Abmaj7, G-7, F-7 y b = Eb, Eb, Db, Eb, F-7

En ambos recorridos el vértice F-7 es el elemento común y dicho elemento concuerda con el final del recorrido, por lo que se podría entender como un punto armónico de llegada o reposo. En otras palabras, el vértice F-7 es principal; ya que todas las rutas pasan por él, lo que concuerda con el contexto de la pieza al tratarse de la tónica.

No es difícil imaginar rutas alternativas teniendo en cuenta el mismo grafo. Incluso, podría abstraerse aún más y generar un grafo no dirigido reemplazando los acordes por funciones armónicas y hasta por conjuntos de clases tónicas.

71

Gráfica 26. Grafos de funciones armónicas y clases tónicas del estándar "Afro Blue". Elaboración propia.

Representar el grafo mediante clases tónicas en orden normal nos muestra relaciones que antes podrían pasar desapercibidas, un par de ellas son las transposiciones y transposiciones difusas que se presentan en la obra. Adicionalmente esta abstracción es punto de partida para la creación de nuevos grafos. No es difícil ver que el conjunto tónico 0,3,5,8 tiene elementos en común con todos los demás conjuntos, por esto la creación de aristas que relacionen los vértices puede estar determinada por un parámetro de relación entre dichos conjuntos, por ejemplo, aquellos que compartan 1 o ningún elemento y otro en el que compartan 2 y 3 elementos.

Gráfica 27. Grafo G = Vértices que comparten 0 y 1 elemento. Grafo G = vectores que comparten 2 y 3 elementos. Elaboración propia.

Curiosamente a partir de las nuevas relaciones hemos encontrado el complemento de “G”, es decir, a G tal que G ∪ G es un grafo completo.

72

Un elemento igualmente interesante aparece en el conjunto Eb 3,7,10; su relación interválica 4,3 está incluida en todos los conjuntos encontrados. Este elemento desemboca una nueva jerarquía, esta vez, interválica.

Gráfica 28. Relaciones interválicas 4,3. Elaboración propia.

Decimos que todos los conjuntos están incluidos en el conjunto 3,7,10, y, por tanto, son todas transposiciones difusas del conjunto Eb.

Por último, se puede abstraer la melodía de Afro Blue consiguiendo dos grafos conectados entre sí, cada grafo representa a los dos periodos del estándar.

Gráfica 29. Comportamiento melódico Afro Blue. Elaboración propia.

73

Muchas obras del siglo XX y XXI se han creado a partir de la teoría de grafos; en ellas los compositores definen los objetos musicales que contiene cada vértice y determinan su relación con otros vectores a través de aristas. En el siguiente gráfico pueden verse dos grafos no direccionales pertenecientes a la obra “…y descubrir…nuestra imagen del mundo” del compositor colombiano Luis Sánchez.

Ilustración 28. Fragmento de la obra “…y descubrir…nuestra imagen del mundo”. Sección piano. Sánchez (2015)

Lo que nos muestra la ilustración es un fragmento del material tónico y rítmico que presenta el piano. Estos elementos se desarrollan en una medida de tiempo longitudinal, es decir, en una extensión de tiempo definida en segundos. La articulación, dinámicas, ornamentos tónicos, uso de pedal, etc., es determinado libremente por el ejecutante.

Los materiales rítmicos por un lado están divididos en dos grafos que se conectan mediante una única arista y un único vértice, y es justamente este vector el eje principal de la sección; ya que a partir de este surgen los demás vectores por medio del uso de la fragmentación, comprensión y subdivisión. A continuación, se presentan algunos ejemplos:

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Gráfica 30. Ejemplos de materiales rítmicos. Elaboración propia.

El material tónico igualmente está organizado en torno a los conjuntos A = 0,4,5 y B = 6,8,10,1 en el primer grafo y el conjunto C = 5,7 con sus respectivas T1 = 6,8, T2 = 7,9 y *T0(1) = 5,6. Gráficamente se puede representar mediante los siguientes dos grafos:

Gráfica 31. Materiales tónicos. Elaboración propia.

Como se demuestra claramente en el estudio de esta sección, la teoría de grafos es útil tanto en la estructuración, el análisis y la composición musical. Estos elementos darán forma y orden a nuestras concepciones musicales, y si bien, es cierto que aún no se ha explotado lo suficiente; conviene conocer bien sus elementos básicos y formar parte de la investigación de la materia con el fin de proponer y crear diversas aplicaciones.

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CAPÍTULO SEGUNDO

2. PROBABILIDAD

2.1 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD CLÁSICA

El estudio de la probabilidad se constituyó como rama de las matemáticas hace pocos siglos. Si bien su origen tuvo que ver siempre con el arte de la adivinación de fenómenos naturales o la suerte del ser humano; lo cierto es que su formulación teórica aparece con los estudios de los juegos de azar realizados por los Pascal y Fermat en el siglo XVII. Y aunque en el siglo XVIII hubieron destacados avances en el cálculo de probabilidades como la “Teoría analítica de la probabilidad, 1812” de Laplace o el “Ars Conjectandi, 1713” de Bernoulli; no fue sino hasta el siglo XIX que se constituyó como una rama seria de las matemáticas gracias al avance de la escuela rusa con figuras notables como Tchevycheff, Kolmogov y Márkov. En la actualidad, el estudio de la probabilidad goza de reputación y, su evolución constante y acelerada, generan aplicaciones en diversas ramas del conocimiento tales como la mecánica estadística, la física, la computación, la economía, la música, etc.

2.1.1 Conceptos elementales del análisis probabilístico

Espacio muestral:

El espacio muestral denotado como “S” o “Ω”, es el conjunto de todos los resultados o eventos posibles que puede llegar a tener un experimento (Alvarado, 2014).

Ejemplo:

Experimento: Generar una nota aleatoriamente a partir de la escala pentatónica mayor de C.

Espacio muestral: S = C, D, E, G, A

Si, por ejemplo, la nota generada fuera un D, se dirá que el evento D ha tenido éxito.

Probabilidad clásica:

El estudio de la probabilidad clásica se basa en hallar cuantitativamente la posibilidad de que un evento x ocurra. Se define mediante la siguiente ecuación.

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𝑃𝑃(𝑥𝑥) =𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 é𝑥𝑥𝑥𝑥𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑒𝑒𝑇𝑇𝑇𝑇𝑥𝑥

El resultado será siempre expresado por medio de porcentajes, decimales o fracciones; que en ningún caso tendrá un valor superior a 1 (Alvarado 2014). Es decir, la probabilidad será siempre expresada como: 0 ≤ x ≤ 1.

Ejemplo:

Se quiere generar una nota aleatoria a partir de la escala de C mayor natural y deseamos saber cuál es la probabilidad de que la nota generada sea E.

Definimos el espacio muestral y luego el evento específico el cuál queremos cuantificar.

S = C, D, E, F, G, A, B

Evento x = E.

Como vemos solo existe un solo evento “E” en el espacio muestral de nuestro experimento, por lo que tenemos que:

𝑷𝑷(𝒙𝒙) =𝟏𝟏𝟕𝟕

= 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏%

Rápidamente podemos contemplar que la probabilidad de que el evento E tenga éxito es de 𝟏𝟏𝟕𝟕 .

Diagramas de árbol:

Un diagrama de árbol es una notación gráfica utilizada para el análisis probabilístico, es decir, para representar los eventos y las ocurrencias de los mismos en un experimento cualquiera. Su construcción está determinada por un “nodo de inicio” y un “nodo de evento”, unidos por líneas denominadas “ramas” (Alvarado, 2014).

Ejemplo:

Represente cuales son las probabilidades de éxito de cada evento, al generar una nota aleatoria del acorde de Cmaj7:

Gráfica 32. Diagrama de árbol. Elaboración propia.

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Por tanto, la probabilidad de éxito que tiene cada evento es de 𝟏𝟏𝟏𝟏 .

Eventos mutuamente exclusivos:

Los eventos mutuamente exclusivos son aquellos en los cuales la probabilidad de ocurrencia de un evento no altera la probabilidad de ocurrencia del otro. La palabra exclusivo o excluyente, se debe a que los eventos no pueden suceder en el mismo momento. Se expresa mediante la disyunción “x o y”; que matemáticamente es el producto de la suma de la probabilidad del evento “x” con el evento “Y”, es decir, “P(x o y) = P(x) + P(y)” (Alvarado, 2014).

Ejemplo:

Se tiene el siguiente espacio muestral de figuras rítmicas:

S = , , , ,

¿Cuál es la probabilidad de que se consiga o ?

Primero definimos los eventos:

Evento x = Evento y = Entonces:

P(x) = 15

y P(y) = 15

Por tanto, la probabilidad de conseguir el evento “x” o “y” es igual a:

P(x o y) = 15 + 1

5 = 𝟐𝟐

𝟓𝟓 = 0.4 = 40%

Eventos sucesivos o simultáneos:

Son eventos en los cuales se determina la probabilidad de que dos o más eventos sucedan de forma simultánea o uno después del otro. Se expresa como la conjunción “x y y”, que matemáticamente es el producto de la multiplicación del evento “x” por el evento “y”, o sea, “P(x y y) = P(x) * P(y)” (Alvarado, 2014).

Ejemplo:

Se tiene el siguiente espacio muestral de rangos dinámicos:

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S = p, mp, mf, f

¿Cuál es la probabilidad de que se produzca la dinámica “p” y le siga la dinámica “f”?

Evento x = p. Evento y = f.

Entonces:

Primera generación aleatoria de dinámicas: P(x) = 14

Segunda generación aleatoria de dinámicas: P(y) = 14

Por tanto, la probabilidad de conseguir el evento “y” seguido del evento “x” es igual a:

P(x y y) = 14 * 1

4 = 𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟏𝟏 = 0.0625 = 6.25%

Probabilidad condicional:

La probabilidad condicional, se refiere a que la probabilidad de ocurrencia de un evento “y” depende de si previamente ha ocurrido un evento “x”. Se puede entender como un bicondicional en el que “y ↔ x”. Se denota como “P(x ∩ y) = P(x) * P(y/x)” (Alvarado, 2014).

Acá se le aclara al lector, que ya que se trata de un experimento consecutivo; este puede presentarse con reemplazo, es decir, una vez generado el resultado, el evento que tuvo éxito aún continua en el espacio muestral, o, sin reemplazo: generado el resultado, este ya no hace parte del espacio muestral.

Perfectamente podemos sacar provecho en la “Probabilidad condicional sin reemplazo” para generar un espacio muestral que tiende a desaparecer, pero cuyas nociones de esa desaparición podemos determinarla mediante el empleo de relaciones iniciales de 2:1 entre cada uno de los elementos.

Ejemplo:

Se tiene el siguiente espacio muestral:

S = G, G, G, G, G, G, G, G, C#, C#, C#, C#, E, E, D

El espacio muestral contiene la relación 2:1 entre G - C#, C# - E y E - D. Adicionalmente el evento “G” es

quién más probabilidad de éxito tiene ( 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟓𝟓

= 53,3%) respecto a C# ( 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓

= 26,6%) E ( 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓

= 13,3%) y D ( 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓

= 6,6%). Sumado a esto, ya que se trata de un experimento sin reemplazo, podemos tener certeza que “G” será el primer evento que más rápidamente bajará el porcentaje de éxito, en tanto tendrá una mayor recurrencia y por esto una mayor significación musical, ya sea en una melodía, contrapunto, armonía, o sea cual sea el lugar o rol donde queramos implementarlo en la obra.

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Ahora bien, se pretende determina cuál es el valor de la probabilidad de éxito de C# sin reemplazo, si y solo sí, previamente ha tenido éxito G. Por tanto:

Evento x = G. Evento y = C#.

La ocurrencia de y solo será determinada si y solo si antes ha ocurrido x; en consecuencia, las probabilidades de x son:

P(x) = 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟓𝟓

En consecuencia: Si se ha obtenido el evento x, entonces se actualiza el espacio muestral y en seguida se halla la probabilidad del evento condicional, es decir, del evento y.

P(y/x) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

De manera que:

P(x ∩ y) = 815

* 414

= 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓 = 0.15 = 15%

Las probabilidades de que a G le siga C# son iguales al 15%.

Aleatoriedad controlada:

El estudio de la probabilidad clásica, tiene una aplicabilidad inmediata en la teoría de la música aleatoria. Vea cómo, aunque se determinan los conjuntos o espacios muestrales y se efectúa un análisis de los posibles valores de éxito tomando las relaciones entre sus eventos, es decir, sucesivos, comunes, etc.; las resultantes musicales posibles solo se muestran en el momento de ejecución de la obra, que lógicamente, nunca es la misma. Así, el elemento compositivo se refiere a la determinación y la arquitectura de las nociones probabilísticas (utilizando, por ejemplo, procesos algorítmicos implementados en lenguajes de programación); para que luego el intérprete (humano o autómata), sea quién realice los procesos de decisión, que, en últimas, es la obra terminada.

Ejemplo28:

Problema

Se quiere generar una melodía aleatoria con un máximo de 10 alturas, basada en el espacio muestral del conjunto de clases tónicas “S = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11”, en la cual la nota de inicio y fin sea la misma clase tónica.

Solución:

28 Se recomienda dirigirse a los anexos 3 y 4 dedicados al estudio de algoritmos y diagramas de flujo.

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Se tiene que la longitud máxima de alturas que puede contener la melodía, es de “m” elementos, tal que “m = 10”, por lo tanto, se tiene “mod m”. Por otro lado, se especifica que la nota inicial y final de dicha melodía debe ser la misma, para lograrlo debemos especificar un valor inicial o punto de partida, ya que, a partir de dicho valor, se generarán los valores subsecuentes. Dicho elemento lleva el nombre de “semilla” y estará denotado como “x0”. Acá se entiende que se trata de un cálculo pseudoaleatorio29, sin embargo, es posible generar una mayor aleatoriedad, determinando simplemente el número de elementos que se quieren generar sin una respectiva semilla30.

Para determinar la melodía, se recurrirá al siguiente generador de congruencias lineales; en el cual el resultado de las secuencias pseudoaleatorias se debe a la relación de recurrencias de los siguientes elementos:

xn + 1 = (Axn + B) mod m.

donde A es una constante multiplicativa y B una constante aditiva, que cumplen con la condición de x0,

A, B < 10 (Albornoz, 2006); definidas también por el compositor.

Ahora bien, definimos a A = 3, B = 7 y x0 = 0, y al reemplazar los términos se obtiene que:

x0 + 1 = (3*0 + 7) mod 10 = x1 = 7

x1 + 1 = (3*7 + 7) mod 10 = x2 = 8

x2 + 1 = (3* 8 + 7) mod 10 = x3 = 1

x3 + 1 = (3* 1 + 7) mod 10 = x4 = 0

x4 + 1 = (3* 0 + 7) mod 10 = x5 = 7

La melodía resultante ha sido de 5 elementos cuyas clases tónicas son 7,8,1,0,7. Como vemos, se cumplió con el enunciado de ser menor o igual a 10 notas y que la nota inicial y final sea la misma. Por otro lado, si quisiéramos hallar el valor de “x6” tendríamos que sería el mismo resultado que “x1” y así sucesivamente; esto debido a que se trata de un proceso algorítmico que cumple con la condición de ser un ciclo euleriano. Por tanto, si lo que queremos generar son nuevas melodías; lo que se debemos modificar son las constantes aditiva y multiplicativa. Tenga en cuenta que, si elige números pares para dichas constantes, las 29 Se entiende como pseudoaleatorio a un proceso que, aunque a simple vista parece producto del azar; no lo es por ser concebido a partir de un proceso determinista. 30 La aleatoriedad total es tal vez un concepto imposible de visualizar en la concepción musical y humana, ya que, por un lado, el compositor siempre determinará en mayor o menor medida esquemas o arquitecturas de las cuales corresponde al intérprete tomar decisiones. Por otro lado, aunque no hubiera ningún esquema y simplemente se realice música en vivo en la cual el intérprete haga el proceso compositivo en tiempo real, sus resultantes musicales se verán totalmente afectadas por los conocimientos previos que ya tiene de manera más o menos conscientes de su quehacer musical. Por todo ello, la aleatoriedad total musical, en términos reales, sería la ejecutada por un ser humano sin conocimiento musical alguno, pero dicha ejecución seguramente no tendría cabida en el estudio estético o formal de la música, y si lo tuviera, en todo caso no sería transcendental ni representativo.

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secuencias melódicas tendrán menos elementos que si elige números impares a causa que en este caso el módulo es par.

Este proceso es mucho más efectivo si se implementa en un lenguaje de programación con el fin de realizar los cálculos de manera más efectiva, en el cuál los datos de entrada serán las constantes A, B, m y x0, y los datos de salida obtenidos serán la secuencia de clases tónicas. Un posible algoritmo resultante sería el siguiente:

Gráfica 33. Diagrama de flujo. Elaboración propia.

Este mismo algoritmo es posible utilizarlo en espacios muestrales cuyos elementos sean figuras rítmicas, matices dinámicos, técnicas específicas, etc. Por ejemplo, si tuviéramos siguiente espacio muestral “S´ = ,

, ; tendríamos que: = 1, = 2 y = 3; y simplemente procederíamos a ejecutar el algoritmo.

Recuerde además que el análisis probabilístico es de vital importancia a la hora de generar la concepción de la obra. Por ejemplo, si quisiera realizar una melodía aleatoria utilizando el siguiente espacio muestral: S = C, D, E, F, G pero con la condición de que la nota “D” tuviera el doble de recurrencia, es decir, el doble

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de probabilidad de tener éxito. Lo conveniente es determinar una relación de 2:1 y generar un espacio muestral que cumpla dicho propósito, por lo que conviene modificarlo:

S´ = C, D, E, F, G, D

Como vemos en este caso la probabilidad de éxito del evento “D” ha aumentado de 𝟏𝟏𝟏𝟏 a 𝟐𝟐

𝟏𝟏 , justamente el

doble (recuerde que en probabilidad a diferencia de teoría de conjuntos si es relevante repetir un elemento), llegando a dicha conclusión mediante la aplicación del análisis de “Eventos mutuamente exclusivos”.

2.2 CADENAS MÁRKOV31

En probabilidad, se conoce como cadenas de Márkov a un proceso estocástico discreto desarrollado por el matemático ruso Andréi Márkov entre los años 1907 y 1912. Este proceso cumple con la particularidad de que la probabilidad de éxito de un evento depende exclusivamente del evento inmediatamente anterior, y, por lo tanto, se dice que tiene memoria. Este tipo de memoria es limitada, ya que solo recuerda el evento presente para determinar el evento futuro.

Originalmente Márkov, quién amaba la poesía; comenzó en 1905 a estudiar la frecuencia de aparición de las vocales y determinar las relaciones con las letras que le precedían en la novela “Eugenio Oneguin” escrita por el fundador de la literatura rusa moderna Aleksandr Pushkin entre 1823 y 1831 (Rincón, 2012). Pero no fue sino hasta 1913 que Márkov publicaría su modelo general basado en sus investigaciones en matemática pura.

Desde su publicación en 1913 hasta la actualidad, las cadenas de Márkov han tenido gran éxito en el público general y han encontrado innumerables aplicaciones desde la genética y redes neuronales hasta los juegos de azar y el béisbol.

2.2.1 Elementos formales de las cadenas de Márkov

Proceso estocástico discreto:

Cuando hablamos de proceso estocástico, nos referimos a un proceso en el cuál sus variables tienen que ver en mayor o menor medida con hechos aleatorios, es decir, proceso estocástico es una colección de variables aleatorias (Rincón, 2012).

Por otro lado, el término discreto se utiliza en matemáticas para definir un conjunto finito o infinito pero numerable, es decir, que se puede contar. Un ejemplo claro es el conjunto de los números naturales ℕ = 1 ,2, 3, 4, 5, … o el conjunto de clases tónicas CT = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ambos son contables o discretos siendo uno infinito y el otro finito respectivamente. 31 Véase anexo 5 y 6 antes de comenzar el estudio de cadenas de Márkov.

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Las variables aleatorias (v.a), están denotadas como “Xt”, donde “X” es el valor que puede tener la variable. Estos valores son a su vez elementos de un conjunto “S” llamado espacio de estados, por lo que X ∈ S. Sumado a esto, “t” es un punto en el espacio “T” llamado espacio paramétrico, por lo que t ∈ T. Por tanto, Xt se debe entender como el valor de un proceso X en el tiempo t. Ahora bien, los cambios que puedan surgir en torno al valor de la v.a “Xt” son llamados transiciones entre los estados.

La siguiente gráfica nos muestra a modo de ejemplo los conceptos recién enunciados:

Gráfica 34. Transiciones entre estados Xt en tiempo discreto. Elaboración propia.

Una vez estudiado el concepto de proceso estocástico discreto, comenzaremos con el estudio de uno en específico: las cadenas de Márkov.

Propiedad de Márkov:

Como hemos enunciado anteriormente una cadena de Márkov es un proceso estocástico discreto. Este proceso a su vez debe cumplir con una propiedad condicional, la cual se le conoce como propiedad Márkoviana y se define formalmente como:

P (Xn+1 = xn+1 | X0 = x0, X1 = x1, …, Xn-1 = xn-1, Xn = xn) = P (Xn+1 = xn+1 | Xn = xn)

Futuro Pasado Presente

Lo que nos dice la propiedad básicamente es que la probabilidad de ocurrencia de la variable aleatoria “Xn+1” que tiene como valor, cualquier elemento del espacio de estado futuro “xn+1”, es decir, “Xn+1 = xn+1”;

tal que se conocen los estados pasados “x0”, “x1” y así sucesivamente hasta llegar al estado presente “xn” es igual a que la probabilidad de ocurrencia del estado futuro “xn+1” depende únicamente del estado presente “xn” y no de los estados pasados “xn-1”.

Por motivos prácticos, ya que P (Xn = xn) es una equivalencia entonces es posible simplificarla y denotarla como p(xn), por lo que la propiedad de Márkov quedaría enunciada simplemente como “p (xn+1 | xn)” (Rincón, 2012).

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A las cadenas de Márkov que surgen a partir de esta propiedad se les llama de primer orden, ya que, como sabemos, su memoria solo recuerda el último evento para determinar el siguiente. Sin embrago, es posible encontrar cadenas de Márkov con mayor memoria en las cuales para determinar la probabilidad del evento futuro se requiere del conocimiento de los dos, tres o n eventos anteriores. A estas cadenas de Márkov les llamaremos de segundo orden si necesita conocer el evento presente y eventos inmediatamente anterior para predecir el futuro, de tercer orden si necesita conocer el evento presente y los dos eventos inmediatamente anteriores para predecir el futuro y así sucesivamente.

Matriz de transición32:

Una matriz de transición denotada como “T” o “PT”; es una matriz cuadrada (n x n) en la cuales se consignan los valores de probabilidad de transición de un estado “i” a un estado “j”, tal que:

P (Xn+1 = j | Xn = i)

Esta matriz será denotada como (pij) y deberá cumplir con las siguientes dos propiedades básicas:

La primera propiedad se refiere a que cada elemento de la matriz debe ser igual o mayor a cero. La segunda propiedad nos dice que la suma de los elementos de cada fila debe ser igual a 1.

Ejemplo:

Se tiene el espacio de estados S = I, IV, V, donde cada elemento representa una función tonal. Represente en una matriz de transición la progresión armónica de los primeros 4 compases de la Sonata para piano No. 15 - K545 o “Sonata Facile” de W. A. Mozart.

Ilustración 29. Sonata No 15. W.A. Mozart. C. 1 - 4. Breitkopf & Härtel. Análisis armónico. Elaboración propia.

Como podemos ver se tratan de siete transiciones entre acorde y acorde, cuatro que involucran la tónica (I), una que involucra a la subdominante (IV) y dos que involucran a la dominante (V).

32 Se recomienda volver a repasar el anexo 2 referente a matrices y estudiar a detalle la multiplicación matricial.

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La matriz de transición que surge puede ser representada tanto en fracciones, porcentajes o decimales:

Verificamos que efectivamente se tratan de matrices de transición; ya que son matrices cuadradas en las que cada uno de los elementos son mayores o iguales a 0 y la suma de cada fila es igual a 1.

Diagrama de transición:

Un diagrama de transición es un grafo dirigido que presenta gráficamente los datos obtenidos en la matriz de transición. De esta manera los vértices del grafo serán los elementos del conjunto de espacio de estados “S” y las aristas representarán las probabilidades de transición entre un elemento o vértice a otro.

A continuación, se presenta el diagrama de transición correspondiente a la Sonata Facile de Mozart. Por motivos prácticos se utilizarán los datos obtenidos en la matriz de representación decimal.

Gráfica 35. Diagrama de transición de la Sonata Facile - Mozart. Elaboración propia.

Cálculo de estados:

El cálculo de estados es el objetivo principal de las cadenas de Márkov. Se define estado o distribución inicial como la disposición del valor de probabilidades de los elementos de S en un tiempo específico. Se denota usualmente como “pn” o “fn”, donde f representa la matriz de estado y n simboliza el número del estado en función del tiempo. Así por ejemplo, f0 representa estado inicial mientras que f2 representa el estado al cabo de dos etapas.

Para hallar el resultado de fn, se tiene que fn = T * fn-1.

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Ejemplo:

Tomando como base la matriz de transición obtenida en el ejemplo anterior; calcule cual es la progresión armónica más probable en las primeras 2 etapas, teniendo que el estado inicial es:

Entonces:

f1 = f0 * T

f2 = f1 * T

Por lo tanto, la progresión armónica más probable hasta el estado f2 es: I V I, resultado que concuerda con la disposición armónica inicial de los primeros dos compases de la sonata de Mozart.

Es necesario aclarar que la matriz de este ejemplo, por motivos prácticos, fue producto de un análisis superficial; ya que solo se tomaron en cuenta los 4 primeros compases. Si lo que se quiere es generar un matriz que componga al estilo mozartiano, lo primero que se debe hacer es un análisis armónico del total del movimiento y otra con el análisis melódico, de manera tal, que al poner en marcha la máquina de Markov se genere una nueva obra con un comportamiento compositivo más cercano en substancia al de Mozart, o en general, al del compositor escogido.

2.2.2 Aplicaciones musicales de las cadenas de Márkov

Formalized Music de Iannis Xenakis:

La aplicación de cadenas de Márkov en la producción musical, tiene como primer referente al compositor griego Iannis Xenakis. Su tratado “Formalized Music, thought an mathematics in compositions, 1992”; es una compilación de estudio realizados por Xenakis en los años 60 que tuvieron como objetivo la formulación de modelos compositivos en base a procesos estocásticos.

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Xenakis considera la característica del sonido, definiéndola primeramente como una entidad que está representada por 4 variables independientes que son timbre, altura, intensidad y duración y luego, como una partícula “sónica” o cuanto33 sónico, siendo este la resultante de una integración de granos dispuestos adecuadamente en el espacio-tiempo caracterizados por tres elementos fundamentales: frecuencia, duración e intensidad.

Según Xenakis, partiendo del supuesto de que la duración “t” de cada grano transcurre en un tiempo invariable y corto; es posible ignorarlo y considerar únicamente al grano sónico como la asociación del conjunto de frecuencias “F” y el conjunto de intensidad “G”, tal que el producto de F x G es igual a un grano sónico. La representación gráfica de esta “nube de granos” se da en un espacio tridimensional en la cual el eje “y” corresponde a la intensidad medida en dB (decibelios), el eje “x” corresponde a las frecuencias en unidades logarítmicas, por ejemplo, semitonos y el eje “z” puede considerarse como la unidad de tiempo donde transcurre cada evento sonoro “∆t” (Xenakis, 1992).

Gráfica 36. Nube de granos en un espacio tridimensional. (Xenakis, 1992, pág.50)

La proyección de la nube de granos se da sobre un espacio bidimensional o “pantalla”, que es el plano de rango audible del ser humano (FG). Esta pantalla contiene información de los elementos sonoros que transcurren en el tiempo, por lo que es un conjunto elementos ∆F∆G. Estos elementos a su vez pueden ser representados como rectángulos que pueden o no contener granos de sonido, y dependiendo de su contenido, así mismo será considerado una densidad ∆D.

33 Término proveniente del latín “quantum” que significa “cantidad” y es utilizado en la física cuántica para denotar el valor mínimo de una determinada magnitud.

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Gráfica 37. Ejemplos de pantallas en un plano (FG), (Xenakis, 1992, pág. 53).

El ejemplo A corresponde a un sonido puro u onda sinusoidal y por tanto de mínima densidad como el obtenido en los osciladores. El ejemplo B, por el contrario, muestra diferentes densidades surgidas a partir de varios sonidos complejos que interactúan en el mismo plano, como, por ejemplo, una nota surgida en un cuerpo flexible como una cuerda, que como sabemos genera una serie de armónicos originados a partir de un sonido fundamental. Por último, en el ejemplo C, conviven todos los elementos sonoros de rango audible dando un resultado de máxima densidad, y, por tanto, generando ruido blanco, es decir, aquel que contiene todas las frecuencias y todas mantienen la misma intensidad.

Ahora bien, una obra puede entenderse como un conjunto de sucesión pantallas dispuestas en orden lexicográfico, es decir, como un diccionario. La resultante sería una especie de portafolio que contiene toda la historia sonora de la obra en cuestión.

Gráfica 38. Portafolio de pantallas, (Xenakis, 1992, pág. 51).

Naturalmente puesto que cada pantalla es un conjunto, es posible realizar operaciones entre ellas, operaciones que son las mismas que hemos estudiado anteriormente en teoría de conjuntos (unión, intersección, complemento, etc.). A continuación, se muestran algunos ejemplos:

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Gráfica 39. Operación entre pantallas (Xenakis, 1992, pág. 59).

Xenakis realiza este análisis no de manera fortuita claramente, si no con un objetivo claro: la música es un proceso dinámico. Es decir, la música es un conjunto de conjuntos (rítmicos, tímbricos, tónicos, etc.), cada conjunto a su vez tiene elementos los cuales sufren transformaciones a través del tiempo. Además, cada elemento no es aislado, sino que está relacionado o unido a otros elementos de otros conjuntos dando su carácter final. Por ejemplo, si pidiéramos a un instrumentista cualquiera generar un sonido, la resultante sería:

a) Tímbrica = Depende del instrumento y la técnica utilizada para generarlo. b) Duracional = Tiene principio y fin. c) Tónica = Presenta altura. d) Dinámica = Contiene intensidad.

Ahora bien, no es difícil imaginar que Xenakis quisiera generar un proceso en el cuál pudiera guardar los datos probabilísticos que observaba en su estudio de laboratorio. Un proceso matemático que permitiera describir las transformaciones de los elementos de conjuntos previamente establecidos, y luego, simularlos en una máquina que pusiera en marcha el proceso y diera como resultado los materiales musicales que luego incorporaría en la creación de sus obras. Para tal fin, Xenakis decidió utilizar las cadenas de Márkov.

Xenakis explica que las pantallas cuya disposición es lexicográfica; pueden ser traducidas como una sucesión de símbolos que representan las transiciones entre pantalla y pantalla. De esta manera cualquier símbolo único es llamado término y la sucesión de dos términos se llamará transición, tal que el segundo término es la transformación del primer término denotado como A → B (Xenakis, 1992).

A continuación, se muestran tres ejemplos de transición:

Gráfica 40. Transformación de eventos musicales (Xenakis, 1992, pág.70).

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Tanto la transformación de a y b tiene la particularidad de ser transformaciones cerradas, ya que tanto el término como la transición son elementos de un mismo conjunto (clases-tónicas y clases-pulso). Así mismo, a es una trasformación unívoca ya que cada termino tiene solo una única transición, contrario a b que presenta una transformación no-unívoca (Xenakis, 1992).

Estas transiciones pueden ser además representadas en un espacio matricial que describa el proceso de transición, es decir, en una matriz de transición.

Ejemplo:

Represente en una matriz de transición la siguiente transformación:

Matriz de transición:

Comprendidos los elementos conceptuales y la necesidad que llevo a Xenakis a integrar cadenas de Márkov. Conviene analizar a continuación una de sus obras predilectas. Analogique A.

ANALOGIQUE A:

Analogique A es una obra compuesta por Xenakis para 9 instrumentos de cuerda frotada (3 violines, 3 violonchelos y 3 contrabajos) entre los años 1958 y 1959, el interés de su estudio está basado en dos hechos fundamentales: el primero, por ser junto con Analogique B las únicas obras de Xenakis estructurada en base a cadenas de Márkov y segundo, por ser la primera obra en la historia que presenta este proceso.

Para la construcción de la pieza, Xenakis define 6 conjuntos que representan el material musical. Estos conjuntos son: dos para las alturas (f0 y f1), dos para intensidad (g0 y g1) y dos para densidad (d0 y d1). Adicionalmente dispone esencialmente de dos matrices de transición (ρ y σ) que utilizará en las matrices de transición para altura (α y β), intensidad (γ y ε) y densidad (λ y µ):

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Gráfica 41. Matrices de transición presentadas enAnalogique A. Elaboración propia.

Posteriormente define las siguientes transformaciones que conectan los tres pares de matrices entre sí:

Suponiendo que la nota generada correspondiera al conjunto f1, se leería: Si la nota elegida corresponde al conjunto (f1) entonces la intensidad corresponderá a la matriz (ε) y la densidad a la matriz (µ).

Los parámetros que contiene cada conjunto fue determinado por Xenakis de la siguiente manera:

Para las alturas:

Gráfica 42. Conjuntos de alturas f0 y f1 (Xenakis, 1992, pág. 98).

Se tiene que hay en total 6 regiones, cada región posee la distancia inicial y final medida en semitonos, es decir, si la región seleccionada es la 2 entonces se tienen las notas cromáticas desde E1 a D2. Adicionalmente se tiene una relación de complemento entre (f0) y (f1), tal que f0 = 1, 2, 5, 6 y f1 = 3,4.

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Para las intensidades:

Gráfica 43. Conjuntos de intensidades g0 y g1 (Xenakis, 1992, pág.98).

Se tiene un total de 3 regiones, cada región representa una dinámica. Adicional a esto se puede ver una relación de inclusión en tanto g1 ⊆ g0, tal que g0 = 1, 2, 3 y g1 = 1, 2

Para las densidades:

Gráfica 44.Conjunto de densidades d0 y d1 (Xenakis, 1992, pág.99).

Se tiene un total de 3 regiones, cada región con el total de sonidos o eventos que pueden ser generados por segundo, para región 1 = 1, región 2 = 3 y región 3 = 9. Se tiene una relación de identidad tal que d0 = d1.

Como se puede ver en cada región de los diferentes conjuntos está acompañada por 1, 2 o 3 números romanos de los 4 posibles (I, II, III y IV); estos corresponden a la interconexión entre dichos conjuntos. Por ejemplo, si se presenta la combinación (f1, g0, d1) y dentro del conjunto f1 se determinó la región 4, entonces esta corresponde al número romano IV por lo que la intensidad corresponderá a ff (conjunto g0, región 3) y la densidad será un único evento o sonido/segundo (conjunto d1, región 1).

Una vez definido los elementos de cada conjunto, Xenakis concibe las posibles combinaciones que pueden surgir en torno a los 6 conjuntos, como su interés es generar sonidos que contengan altura, intensidad y densidad. Plantea formar combinaciones de los 3 elementos, que fácilmente determina con el uso de diagramas de árbol:

93

Gráfica 45. Combinaciones posibles de 3 conjuntos (Xenakis, 1992, pág.88).

La resultante son 8 combinaciones posibles, cada una asignada por una letra (de la A a la H) que se grafican en 8 pantallas diferentes, siendo estos los conjuntos finales que utilizará en la composición. Asimismo, cada pantalla tendrá una duración de 1,11 segundos, correspondiente a medio compás.

Gráfica 46. Pantallas de Analogique A (Xenakis, 1992, pág.101).

Conviene ahora realizar la matriz de transición entre pantalla y pantalla. Para ello Xenakis propone el siguiente procedimiento:

1. Determinar los dos conjuntos (pantallas) de transformación. 2. Computar los valores correspondientes al índice de probabilidad de transformación de los tres

componentes o eventos sonoros (altura, intensidad, densidad). 3. El producto de la transición entre los tres eventos independientes, es la probabilidad de

transformación de las pantallas evaluadas.

Ejemplo:

Halle la probabilidad de transformación entre la pantalla D y la pantalla E.

a) Se tiene que la pantalla D = f0, g1, d1 tiene los siguientes pares de probabilidades de transformación entre matrices:

94

Gráfica 47. Pares de transición de matrices para la combinación (f0, g1, d1). Elaboración propia.

b) Por tanto, se tiene que los valores de las probabilidades de transformación de la pantalla D a la E son:

f0 a f1 g1 a g0 d1 a d0 0,8 0,8 0,8 0,15 0,4 0,4

Entonces:

* f1 a f0 = 0,8 + 0,15/2 = 0,475

* g1 a g0 = 0,8 + 0,4/2 = 0,6

* d0 a d1 = 0,8 + 0,4/2 = 0,6

c) De esta manera el producto de la transición entre los tres eventos independientes es: D → E = 0.475 * 0.6 * 0.6 = 0.171

Todas las posibles transformaciones de pantallas fueron computadas por Xenakis, produciendo la siguiente matriz general de transiciones de pantalla “Z”, donde se resalta el resultado obtenido de D → E:

Gráfica 48. Matriz general de transformaciones de pantallas “Z” (Xenakis, 1992, pág.89).

95

Para terminar, Xenakis determina 8 estados iniciales denotados como VnX, donde n corresponde al

estado de la cadena y x al conjunto o pantalla. En cada uno de los estados iniciales, Xenakis determina el 100% de probabilidades de éxito en un solo conjunto o término de la matriz, esto es entendible, ya que, para su época, no se disponía de medios computacionales para simular las cadenas de Márkov, y tan solo disfrutaba de una calculadora. Esto explica también porque utiliza únicamente dos modelos matriciales en la altura, intensidad y densidad.

Ejemplo:

Determine cuál es el estado V1F y V2

F, teniendo que el estado inicial V0F es:

0 0 0 0 V0

F = 0 100 0 0

Utilizando las leyes de multiplicación matricial y conociendo de antemano que V´ = ZV, es decir, que el estado futuro es igual a la multiplicación matricial del estado presente por la matriz de transición, se determinan las siguientes probabilidades para los estados V1

F y V2F:

A partir de este momento Xenakis realiza siempre el mismo procedimiento descrito a continuación:

a) Elige un estado inicial. b) A partir de la pantalla que es generada en la simulación; determina aleatoriamente las alturas, y

las relaciona con las intensidades y densidades de acuerdo a la arquitectura de la pantalla generada.

c) Organiza el material resultante en medio compás cuya duración es de 1.11 seg.

17.799 11.7716 13.796 13.8834 V2

F = V1F * Z 13.254

10.8004 7.776 10.9196

20.4 13.6 3.6 2.4 V1

F = V0F * Z 30.6

20.4 5.4 3.6

96

d) A partir del estado obtenido o estado presente prosigue con la predicción del nuevo estado o estado futuro y repite los mismos patrones de organización.

La máquina de Márkov funciona durante toda Analogique A que está compuesta de 10 pequeñas secciones. En las secciones 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 y 10 Xenakis realiza el cálculo de estados exactamente 30 veces por sección; lo que corresponde a una duración de 15 compases. Para la sección 4 realiza 35 veces este procedimiento, lo que equivalente a 17.5 compases y para la sección 9 lo utiliza 32 veces con un total de 16 compases.

Si bien es cierto que el resultado final no gusto del todo a Xenakis, y que por ello decidió unirla con Analogique B34 creando una nueva obra mixta más interesante a los ojos del compositor. Lo cierto es que su formalización fue fundamental no solo en el estudio de un nuevo material y técnica compositiva, si no como apertura a una nueva dimensión de objetos sonoros que derivan de nuevas concepciones matemáticas, que no son motivo de la casualidad, sino al contrario, del análisis profundo de interrogantes que requerían un conocimiento matemático elevado.

34 Analogique B es una pieza acusmática, es decir, electroacústica que utiliza los mismos procesos de estado y matrices estudiados en Analogique A.

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CONCLUSIONES

Tanto en la música como en la matemática se presenta orden y belleza, y esta relación no puede ser menos que axiomática, pues se ha manifestado constante en la historia del hombre. Paul Erdös se preguntó alguna vez "¿Por qué son bellos los números? Es como preguntar por qué es bella la novena sinfonía de Beethoven. Si no lo son, entonces nada lo es.".

Esta investigación fue llevada a cabo con el fin de demostrar algunos vínculos elementales entre estas dos ramas del conocimiento. Partiendo siempre de la formulación lógica, es decir, de la implementación de simbología matemática para la fundamentación teórica de cualquier tema; se abordaron cuatro áreas específicas de las matemáticas que se consideran primarias para el entendimiento estructural actual de la música.

La teoría de conjuntos, por ejemplo, demostró ser útil en la abstracción de los materiales musicales. A su vez, la teoría de grafos es un modelo esencial en la organización y estructuración de dichos materiales musicales. Este tipo de correlaciones lineales las encontramos igualmente en el estudio de la probabilidad clásica como sustento de estéticas musicales contemporáneas como aleatoriedad e indeterminación, o como soporte del modelo de Márkov, siendo fundamental el estudio teórico de “Formalized Music” de Iannis Xenakis, por ser una obra pionera en cadenas de Márkov aplicadas en el análisis y la composición musical.

Adicionalmente se encuentra este libro como un método pedagógico de consulta que fundamenta matemática y musicalmente al estudiante de los problemas musicales y pretende ser anexado en la bibliografía de la investigación musical, que bien puede emplearse en asignaturas de análisis, composición e interpretación musical.

Teniendo en mente la pedagogía como pilar de esta monografía, se dispuso de ejemplos ayudados de gráficos, ilustraciones y tablas que resultaran prácticas en la interiorización de las temáticas. Paralelamente, cada capítulo contiene su respectivo contexto histórico, siempre pensando que los procesos musicales y matemáticos son el producto de las preguntas intelectuales propias de cada época.

Las reflexiones y contemplaciones de cada elemento que constituye este análisis siempre fueron propositivas, y permitió crear e implementar nuevas teorías como la transposición de clases pulso, las equivalencias alternativas de clase pulso, la negación como abstracción del silencio y una manera de generar circuitos eulerianos de clases tónica, clases pulso, intensidades o densidades, utilizando el algoritmo de congruencias lineales propio de los procesos pseudoaleatorios. Por otro lado, se sugirió el estudio algorítmico para la estructuración de cualquier proceso musical, considerándose útil las arquitecturas simbólicas como los diagramas de flujo, para una posterior sistematización en lenguajes de programación.

Puesto que la matemática es columna vertebral del análisis musical contemporáneo, se cree que debe ser replanteado el modelo de acceder a ella, ya que a falta de asignaturas matemáticas como: matemáticas discretas, cálculo proposicional o probabilidad y estadística (por nombrar solo unas

98

cuantas), en el pensum de artes musicales de pregrado; es imperativo crear materiales teóricos que suplanten esta deficiencia actual. Esto trae consecuencias inmediatas que desembocan en cuestionamientos filosóficos como ¿es necesario redefinir el núcleo básico de la cátedra musical contemporánea, pudiéndola complementar, por ejemplo, con áreas de la matemática pura?

Si bien, no es el fin de esta tesis sugerir una nueva estructura académica de las artes musicales; si advierte un nuevo horizonte conceptual que debe ser investigado, pues como demuestra la historia: es en la reformulación de los elementos conceptuales donde se encuentra la semilla de la revolución intelectual. Dichas revoluciones no serán posibles si la comunidad académica no incentiva y genera investigaciones pedagógicas matemáticas, siendo este un campo gigantesco de erudición. De estas investigaciones dependerá una reforma académica con un énfasis en la interdisciplinaridad música-matemática.

99

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101

ANEXOS

1. FACTORIAL

La función factorial de un número “n” definido como “n!”; es una operación que se utiliza tanto en matemáticas como probabilidad, para especificar de cuantas maneras distintas (sin repetición) es posible ordenar “n” elementos.

Su definición formal es:

n! = 1 x 2 x 3 x … x (n - 1) x n

Esto quiere decir, que el factorial de un entero (ℤ) positivo es igual al producto de los naturales (ℕ) empezando desde la unidad “1” hasta “n”.

Ejemplo:

Halle el factorial de 5 y de 8.

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 .320

Por definición se tiene que 0! = 1.

2. MATRICES

Una matriz denotada por una letra mayúscula (X, Y…); es una distribución bidimensional de números. Es decir, sus elementos denominados términos y denotados por la misma letra, pero en minúsculas (x, y…); están dispuestos en un orden específico dentro de “n” filas por “m” columnas (“n x m” u “orden n, m”) (Álvarez, 2014).

Ejemplo:

X =

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 ⋯ 𝑥𝑥1𝑚𝑚𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 ⋯ 𝑥𝑥2𝑚𝑚

⋮𝑥𝑥𝑒𝑒1

⋮

𝑥𝑥𝑒𝑒2

⋱⋯

⋮𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚

102

Como podemos ver, cada término “𝑥𝑥” tiene dos coordenadas; por ejemplo, el término "𝑥𝑥21” nos dice que “𝑥𝑥” está en la segunda fila y en la primera columna, por lo tanto, se dice que el término de posición (2,1) es "𝑥𝑥21”.

Las matrices se leen siempre de izquierda a derecha para las columnas y de arriba a abajo para las filas. Se dice que dos matrices son iguales (X = Y) siempre y cuando sus términos sean idénticos tanto en valor como en posición, de lo contrario se tiene que X ≠ Y (Álvarez, 2014).

Antes de pasar a las operaciones básicas entre matrices; se debe aclarar al lector que existen diversos tipos de matrices, las hay de una única fila o columna, puede ser cuadrada (mismo número de columnas y filas, por lo que se dice que es de orden “n”) como las utilizadas en matrices de transición de una cadena de Márkov, etc.

Operaciones básicas entre matrices:

Para realizar cualquier operación entre matrices, a excepción de la multiplicación entre matrices, es necesario que ambas matrices contengan el mismo orden.

Suma y resta:

La suma o resta entre dos matrices se da sumando o restando los términos de la misma coordenada (Álvarez, 2014).

Ejemplo:

Se tienen las siguientes matrices de equivalencias numéricas de alturas:

A = 5 3 911 −2 4, B =

1 5 9

0 −2 3

7 0

1

10 8 0

11 4

−6 C =0 7 −8

1 6 10, D =−9 8 5

0−11 6

721

−3 4 −5

10 −1 11

Realice la adición entre las matrices A y C, y la substracción entre las matrices B y D.

Como se ve las matrices A y C pueden ser operadas al igual que las matrices B y D; ya que poseen el mismo orden (2,3) y (3,5) respectivamente:

A + C = 5 3 911 −2 4 + 0 7 −8

1 6 10 = 5 + 0 3 + 7 9 + (−8)11 + 1 −2 + 6 4 + 10 = 5 10 1

12 4 14

B - D =1

5 9

0 −2 3

7 0

1

10 8 0

11 4

−6 -

−9 8 5

0−11 6

721

−3 4 −5

10 −1 11

= 1 − (−9)

5 − 8 9 − 5

0 − 0 −2 − (−11)

3 − 6

7 − 7 0 − 2

1 − 1

10 − (−3)

8 − 4 0 − (−5)

11 − 10 4 − (−1) −6 − 11

= 10−3 4

0 9 −3

0−2 0

13 4 5

1 5 −17

103

Multiplicación:

La multiplicación se considera una operación especial debido a que se puede dar de dos maneras, la primera, multiplicando una matriz por un número “x” y la segunda, denominada “multiplicación matricial”, que puede efectuarse entre dos matrices de diferente orden, siempre y cuando se cumpla que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz, dando como resultado una matriz con el número de filas de la primera y número de columnas de la segunda (Álvarez, 2014).

Los siguientes dos ejemplos exponen la multiplicación por un número de la matriz y la multiplicación matricial respectivamente:

Ejemplo multiplicación por un número de una matriz

Se tiene la siguiente matriz:

X = 1 4 5

10 1 67 8 1

Halle el producto al multiplicarla por 3, denotado como 3X.

3X = 3 1 4 5

10 1 67 8 1

= 3 ∗ 1 3 ∗ 4 3 ∗ 5

3 ∗ 10 3 ∗ 1 3 ∗ 63 ∗ 7 3 ∗ 8 3 ∗ 1

= 3 12 15

30 3 1821 24 3

Ejemplo multiplicación matricial

Dadas las siguientes matrices:

X =(1 3 5), Y =6

0 8

9 2 4

Diga si es posible realizar una multiplicación matricial y, en caso de ser posible, efectué la operación.

Lo primero que hacemos es sacar el orden de cada matriz:

La matriz X es de orden (1,3) y la matriz Y es de orden (3,2). Por tanto, se cumple que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz así que si se puede efectuar la operación.

Segundo, se procede a operar de la siguiente manera:

Puesto que la matriz resultante será de orden (1,2) tenemos que:

X*Y = (𝑥𝑥𝑥𝑥11 𝑥𝑥𝑥𝑥12)

104

Para hallar el valor de 𝑥𝑥𝑥𝑥11, se debe multiplicar los términos de la primera fila de la matriz X “x11, x12,

x13” (1, 3, 5), por los términos de la primera columna de la matriz Y “y11, y21, y31” (6, 0, 8), tal que el término “x11” (1) se multiplique por el término “y11” (6), el segundo término “x12” (3) se multiplique por el segundo término “y21” (0) y así sucesivamente hasta obtener todos los productos. Luego se procederá a sumarlos, dando como resultado el término 𝑥𝑥𝑥𝑥11:

X*Y =(𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟓𝟓) * 𝟏𝟏

𝟎𝟎 𝟖𝟖

9 2 4

= (𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 + 𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎 + 𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟖 • ) = (𝟏𝟏𝟏𝟏 •)

El mismo procedimiento se efectúa para hallar el valor de 𝑥𝑥𝑥𝑥12:

X*Y =(𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟓𝟓) * 6

0 8

𝟗𝟗 𝟐𝟐 𝟏𝟏

= (• 𝟏𝟏 ∗ 𝟗𝟗 + 𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏 ) = (• 𝟑𝟑𝟓𝟓)

La matriz resultante de X*Y es:

X*Y = (46 35)

Acá se le aclara al lector que la multiplicación matricial es la utilizada en las matrices de transición de las cadenas de Márkov, y por ello la importancia de su estudio.

3. ALGORITMOS35

Sea un algoritmo en su definición habitual un conjunto de reglas, instrucciones o procedimientos ordenados para desarrollar, conseguir y cumplir una determinada tarea o fin. En otras palabras, un algoritmo es una abstracción de la realidad que genera un modelo finito compuesto por datos procesables, cuyo comportamiento lineal36 tiene el propósito de solucionar un determinado problema.

Se debe enfatizar en que la óptima realización de un algoritmo depende en reconocer el problema acertadamente, para luego establecer con claridad el proceso de solución. Dicho proceso de solución debe ser exacto, tal que al efectuar el algoritmo n veces bajo un mismo parámetro de entrada se produzca invariablemente la misma salida. Para efectos prácticos, diremos que la estructura interna encontrada dentro de un algoritmo se expresa como un conjunto de 3 elementos (gráfica 49), cada elemento interrelacionado con el anterior (Moreno & Ramírez, 2006).

35 La palabra algoritmo deriva del matemático, astrónomo y geógrafo persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi quién en su tratado de álgebra realizado en la primera mitad del siglo IX en la corte del califa al-Mamun; da las bases de nuestro actual sistema de numeración arábigo convirtiéndolo además en el padre del álgebra. 36 Se interpreta aquí la palabra lineal, no como sinónimo de unidireccional (ya que un problema puede desembocar en varias soluciones), si no como la marcha de un solo proceso a la vez (uno tras otro) y no de manera simultánea.

105

Gráfica 49. Estructura de un algoritmo. Elaboración propia.

Si bien, el objetivo final del desarrollo algorítmico es su implementación en cualquier lenguaje de programación (Java, C++, Pure Data, etc.), diferentes métodos de descripción (pre-implementación37) se pueden utilizan a la hora de realizar un algoritmo; esto con el fin de ayudar al programador a esquematizar el/los procesos de solución en un lenguaje más familiar e informal. Entre los más usuales destacan diagramas de flujo, pseudocódigo e incluso el lenguaje natural.

En general, conozcamos o no el concepto, lo cierto es que todos los días de manera intuitiva realizamos algoritmos de mayor o menor complejidad para cumplir efectivamente tareas diarias. Estás pueden ser desde bañarnos, comer, desplazarnos de un lugar a otro, hacer ejercicio, etc.; hasta componer una obra musical utilizando teoría de conjuntos o distribución de Gauss. Por ejemplo, si quisiéramos determinar el equivalente binario38 de un número entero positivo cuya base es decimal; una posibilidad viable (es decir, ejecutable), sería el siguiente algoritmo en lenguaje natural:

Problema: Cambiar un número entero positivo de sistema decimal a binario.

Datos de entrada: Número entero positivo en base 10.

Proceso:

1. Inicio. 2. Escriba el número entero positivo en base 10. 3. Pregunte: ¿Es el número mayor a 0 y mayor de 1? 4. Si no es mayor a 0 y mayor a 1 imprima el número ingresado. 5. Si es mayor a 0 y mayor a 1 divídalo entre 2, guarde el resto y pregunte de nuevo si es

mayor a 0 y mayor a 1 (está vez con el cociente resultante que ahora pasa a ser el nuevo dividendo).

6. Si es mayor a 0 y mayor a 1 vuelva al paso 5, de lo contrario imprima los restos obtenidos en cada una de las divisiones empezando por el último hasta el primero.

7. Fin del algoritmo.

37 El término implementación hace referencia a la realización de un algoritmo en un programa informático, con las reglas semánticas propias del programa escogido. 38 Sistema de numeración en el cuál los números se representan únicamente con 0 y 1.

106

Datos de salida: Número en base 2.

Tabla 15. Descripción de un algoritmo en lenguaje natural. Elaboración propia.

Una vez creado el algoritmo, podremos realizar pruebas de escritorio que ejemplifiquen la abstracción determinando el valor de las variables. En este caso supondremos que el número que deseamos convertir a binario es el 65:

Datos de entrada: 65 Proceso:

Dato de salida: (1000001)2

Tabla 16. Prueba de escritorio. Elaboración propia.

Describir un algoritmo en lenguaje natural es una manera muy efectiva de entender con nuestras propias palabras un proceso, sin embargo, conforme el algoritmo se va complejizando esta tarea puede resultar no sólo agotadora, sino dar pie a ambigüedades generando errores estructurales a la hora de implementar nuestra solución en un lenguaje determinado.

Por todo esto, lo más efectivo a la hora de efectuar un proceso descriptivo, pre-implementación, es el empleo de diagramas de flujo o pseudocódigo, dichas herramientas no sólo nos ayudaran de manera más ordenada a concebir nuestro algoritmo; si no a aproximarnos de una manera más real (es decir, con una sintaxis más cercana) al lenguaje que utilizaremos a la hora de programar en nuestro programa de preferencia.

4. DIAGRAMAS DE FLUJO

Los diagramas de flujo son representaciones gráficas de un algoritmo, es decir, secuencias lógicas y ordenadas para el desarrollo óptimo de una determinada tarea (Caro, 2003). Su diseño arquitectónico facilita tremendamente el proceso descriptivo pre-implementación, ya que en él se definen variables, constantes, datos, operadores aritméticos y lógicos, que después solo tendremos que adecuar al lenguaje de programación de preferencia, es decir, con la semántica propia del programa.

107

La simbología utilizada en los diagramas de flujo es estándar. A continuación, expondremos los símbolos más utilizados y sus respectivas descripciones:

Símbolo que representa el inicio y fin de un algoritmo.

Símbolo que representa la lectura de los datos de entrada.

Símbolo que representa un proceso. Dentro de él podemos realizar diferente tipo de operaciones.

Símbolo que representa la toma de una decisión. Dentro de él hallamos una condición que dependiendo de su valor de verdad (si se cumple o no), elige uno de los dos caminos (si o no).

Símbolo que representa una decisión múltiple. Dentro de él encontramos diferentes variables de selección; cada una nos dirige a un proceso de solución diferente.

Símbolo que representa la impresión de los datos de salida.

Líneas que conectan y direccionan los procesos dentro de un algoritmo.

Tabla 17. Simbología básica en los diagramas de flujo. Elaboración propia.

Ejemplo:

Construya un algoritmo que realice síntesis aditiva.

Análisis del problema:

La síntesis aditiva es un proceso para obtener timbres o espectros sonoros más ricos y aproximados a los naturales (Gutiérrez, 2009). La naturaleza de un sonido no se compone de una onda simple, sino como veremos al estudiar la serie armónica (anexo 6), a partir de un sonido fundamental se desprenden otros llamados parciales y es la suma de todos ellos lo que conocemos como timbre, por lo tanto, la naturaleza

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solo nos ofrece ondas compuestas. De esta manera, cada sonido natural tiene relaciones diferentes con sus parciales y es esto lo que nos hace diferenciar, por ejemplo, el sonido de un perro con el de un gato, o el sonido de una guitarra del de una flauta, aun así, ambos produzcan la misma altura e intensidad.

Ahora bien, gracias a los avances de la electrónica en el siglo XX; es posible crear estas ondas simples llamadas “ondas sinusoidales” mediante el empleo de un dispositivo llamado “oscilador”. Este dispositivo en su origen fue puramente mecánico, pero no tardó en incorporarse digitalmente e implementarse en lenguajes de programación especializados (por ejemplo, en Pure Data se denota como

).

El ejercicio nos pide simplemente generar síntesis aditiva, es decir, sumar ondas sinusoidales producidas por uno o varios osciladores. El valor de dichas ondas está dado en Hertz “Hz” que es la unidad de frecuencia en el “Sistema Internacional de Unidades”. A modo de ejemplo, un C4 es igual a 261,625565 Hz, esto quiere decir que la onda se mueve 261,6 veces por segundo.

Proceso de solución:

Debemos declarar algunas variables cuyos valores son definidos por el usuario: una a la que llamaremos “FreHz” (frecuencia en Hz de la onda sinusoide que quiere crear) y otra que se llame “TotalO” (dedicada a almacenar el resultado de cuántas ondas quiere producir). Se debe preguntar al usuario justo después de haber determinado la frecuencia, si quiere generar la nota fundamental “F” o uno de sus parciales “P”. Si se selecciona “P” se debe crear una última variable llamada “X”, destinada al parcial que se quiere resaltar y que nuevamente es definido por el usuario39. Las frecuencias se guardarán dentro de un vector40 “V[K]” cuya longitud “K” depende de cuantas ondas vayan a ser generadas, para luego acceder a ellas y sumarlas. Para terminar, implementaremos un contador con el nombre de “CN”, ocupado del cálculo de cuantas ondas se han generado y una vez completado el número de ondas especificado por el usuario, direccione al procedimiento matemático de la suma de las mismas “Sin_Adit” e imprima el resultado.

Los procesos matemáticos que haremos serán básicamente dos:

1- Realizar la operación “Parcial = FreHz * x”, si se quiere generar algún parcial. 2- Sumar todas las ondas sinusoidales.

39 Si el usuario hipotéticamente define que “FreHz = 440”, se generaría A4, es decir, el primer parcial. Sin embargo, si lo que se quiere es generar un parcial “x” a partir del valor de “FreHz”; se tendría que “Parcial = FreHz * x”. Ejemplo: x = 2 y FreHz = 440, por lo que: Parcial = 440 * 2 = 880, correspondiente a A5, que es la octava de A4, ósea, su segundo parcial. 40 Un vector es una colección unidimensional de elementos (Caro, 2003), es decir, imagine que un vector es una biblioteca que posee únicamente una fila o una columna de casillas que están separadas una de otra, donde, cada casilla guarda un único elemento para que posteriormente, si se quiere acceder a él, se localice de manera precisa. Para guardar un dato dentro de un vector utilizaremos el símbolo “!”. Por ejemplo, si tenemos un vector de 5 elementos diremos que V[R], cuando R = 1…5. Ahora, si quisiéramos acceder al elemento guardado en la casilla número 1; tendríamos a V[1] y si por el contrario quisiéramos asignar o guardar un elemento “x” en la casilla número 1, tendríamos V[1] ¡ x.

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Algoritmo:

Gráfica 50. Diagrama de flujo de síntesis aditiva. Elaboración propia.

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Note como el algoritmo simplemente se encarga de determinar las ondas sinusoidales y sumarlas, sin embargo, en la práctica conviene determinar también la intensidad de las ondas (cuyo valor oscila entre 0 y 1) y su comportamiento en el tiempo, es decir, la envolvente. Se anima al lector a anexar estos elementos al diagrama a modo de ejercicio, con el fin de afianzar los temas aquí expuestos.

5. SUCESIÓN Una sucesión es una lista de elementos o términos, que son resultados (rangos) de la aplicación de una función41 sobre los dominios de la sucesión. Se dice que una sucesión es finita, cuando su dominio es finito e infinita cuando su dominio es infinito.

Ejemplo:

Sea la sucesión finita f(x) = - x + 12, tal que, x ∈ 1,2,3,4,5,6.

f(1) = 11

f(2) = 10

Dominio f(3) = 9

f(4) = 8 Rango

f(5) = 7

f(6) = 6

La sucesión finita que acabamos de hallar que no es más que la inversión interválica de clases tónicas, queda representada como 11,10,9,8,7,6. Y obtenemos de ella 6 pares ordenados:

(1,11), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7), (6,6)

Es común encontrar en el dominio de la sucesión la notación matemática “an”, por lo que:

a1 = primer término de la sucesión

a2 = segundo término de la sucesión . . .

an = n-ésimo término de la sucesión

Al elemento an = f(n) se le denomina “Elemento general de la sucesión” (Pérez, 2009, pág. 9), es decir, la ecuación que define el comportamiento de la sucesión. Este elemento en muchas ocasiones es el

41 El término función ya se ha abordado previamente en Capítulo I. Véase pág. 35.

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resultado de la abstracción del análisis de los términos de una sucesión, sin embargo, el contar con varios términos de una sucesión no es necesariamente suficiente para hallar el elemento general de dicha sucesión.

6. SUMATORIA Y SERIE

Una sumatoria es la representación matemática de la suma de los términos de una sucesión finita o infinita. Se representa mediante el símbolo sigma “Σ”. Analicemos en su definición formal los elementos que le constituyen:

Gráfica 51. Elementos de la sumatoria. Elaboración propia.

Donde los límites “j” y “n” pertenecen al conjunto de los enteros (ℤ) y j ≤ n. En caso que j > n la suma es igual a 0 (Pérez, 2009). Debemos entender que una sumatoria es una manera de condensar o generalizar sumas sucesivas que por su extensión resultaría ineficiente representarlas de una manera aritmética tradicional.

Ejemplo:

Queremos representar la suma de los siguientes 5 términos: 1+8+27+64+125. Como vemos, cada término es el resultado de elevar al cubo los 5 primeros números naturales, es decir, 13+23+33+43+53, por lo que la sumatoria es posible expresarla de la siguiente manera:

𝑥𝑥35

𝑖𝑖=1

= 1 + 8 + 27 + 64 + 125

Lo que estamos generando en esta igualdad es que la expresión aritmética original, encontrada en el lado derecho de la ecuación; es exactamente igual que la notación sigma encontrada en el lado izquierdo de la ecuación. Con la diferencia gigantesca de haber abreviado su representación.

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Las series utilizan el símbolo de sumatoria para poder expresar cadenas infinitas de sumas. La idea del estudio de las series es poder determinar el comportamiento de estas cadenas al analizar solamente una parte de la serie (pues al ser infinitas no poseen un último término), a estas secciones se les conoce como: parciales de la serie.

Ejemplo:

Se tiene la siguiente serie infinita conocida como “serie armónica”:

1𝑥𝑥

=11

+ 12

+13

+14

+15

…

∞

𝑖𝑖=1

Como sabemos la serie armónica representa la vibración de un cuerpo (por ejemplo, una cuerda), mediante la sucesión de fracciones unitarias (fracción cuyo numerador es 1 y denominador un entero positivo). Cada fracción unitaria es conocida como la longitud de onda de un armónico, por lo que cada longitud de onda de un armónico es a su vez un parcial de la serie.

La siguiente ilustración muestra al lado izquierdo la vibración fraccionada de una cuerda, cuyos equivalentes musicales se encuentran a la derecha, tomando como a “C” como nota fundamental de la serie.

Gráfica 52. Cinco primeros parciales de la serie armónica. Elaboración propia.

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Entender el concepto de sumatoria y serie es sumamente importante para el estudio general de las matemáticas. Adicionalmente la música cuyos fundamentos composicionales se basan en procesos estadísticos como función Maxwell-Boltzmann, la distribución de Gauss de una variable continua y procesos estocásticos como cadenas Márkov las cuales estudiaremos en este documento; las implementan por lo que es una necesidad su comprensión y estudio.