Clase 3, Matemticas Financieras

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II. Matemticas Financieras

Ariel Meller arielitomeller@gmail.com

1

Contenidos

Valor del dinero en el tiempo Valor Actual y Valor Futuro Valor Actual Neto Anualidades, perpetuidades Inters simple, inters compuesto Tasas reales, nominales, efecto de la inflacin.

Bibliografa

Fundamentos de Financiacin Empresarial, Quinta Edicin, Brealey y Myers. Captulos 2 y 3.

Ejemplo 1: Qu es preferible?

$1.000.000

0 Hoy vs $1.000.000

1 En un ao

t: tiempo

0 Hoy

1 En un ao

t: tiempo

Ejemplo 2: Qu es preferible?

$1.000.000

0 Hoy vs $900.000

1 En un ao

t: tiempo

0 Hoy

1 En un ao

t: tiempo

Ejemplo 3: Qu es preferible?

$1.000.000

0 Hoy vs $200.000

1 En un ao

t: tiempo

0 Hoy

1 En un ao

t: tiempo

Valor del Dinero en el Tiempo

Un peso hoy vale ms que un peso maana.Por qu?......

Valor del Dinero en el TiempoUn peso hoy vale ms que un peso maana.

PRIMER PRINCIPIO FINANCIERO: FINANCIERO: PORQUE UN $ HOY PUEDE INVERTIRSE PARA COMENZAR A GANAR RENTABILIDAD INMEDIATAMENTE.

Valor del Dinero en el TiempoDicho de otra manera, una persona que tiene $1.000.000 hoy, estar dispuesta a invertir esa cantidad (y dejar de consumir hoy) siempre que al cabo de un perodo reciba el $1.000.000 ms un premio que compense su sacrificio (tasa de rentabilidad).

Introduccin al Costo de Oportunidad

Para efectos de este captulo, utilizaremos r como la tasa que representa el costo de oportunidad (tasa de descuento). Podramos interpretar r, como la rentabilidad a la que se renuncia al invertir en el proyecto en lugar de invertir en una alternativa.

Inters SimpleEs el que se calcula sobre un capital que permanece invariable o constante en el tiempo y el inters ganado (o pagado) se acumula slo al trmino de esta transaccin.

i =12% anualP= 1,000 S= 1,120

0

4

8

12n=12 meses

Ganancia Inters = Monto - Capital Inicial Ganancia Inters = Ganancia Inters =1,120 120 1,000

Inters SimpleSupongamos que C0=$100 y r=10%

C1 ! C0 C0 * r C2 ! C1 C0 * r C n ! C0 n * C 0 * r Cn ! C0 (1 n * r )Notemos que slo calculamos intereses sobre el principal

C 2 ! C0 C0 * r C0 * r ! C0 2 * C0 * r

Inters CompuestoInters Compuesto: Significa que el inters ganado sobre el capital invertido se aade al principal. Se gana inters sobre el inters. De otra forma se asume reinversin de los intereses en periodos intermedios.Supongamos que C0 = $100 y r = 10% C1 = C0 + r * C0 = C0 (1+r) =110 C2 = C1 + r * C1 Intereses sobre capital ms intereses. C2 = C0 (1+r) + r*(C0 (1+r) )= = 121 C2 = C0 (1+r) (1+r) = C0 (1+r)2 Para n perodos: Cn = Cn-1 + r * Cn-1 ==> Cn = C0 * (1 + r)n

0

r

1

r

2

r

3

r

4

Inters Simple vs Inters compuesto

Veamos que se obtiene para un perodo ms largo y diferentes tasas de inters. Co = 100, r = 10% y n = 40 aos: Inters Simple ==> Cn = $ 500 Inters Compuesto ==> Cn = $ 4.525,93 (9,05 veces) Co = 100, r = 5% y n = 40 aos: Inters Simple ==> Cn = $ 300 Inters Compuesto ==> Cn = $ 704 (2,35 veces) Co = 100, r = 15% y n = 40 aos: Inters Simple ==> Cn = $ 700 Inters Compuesto ==> Cn = $ 26.786,35 (28,27 veces)

Valor FuturoES EL VALOR ALCANZADO POR UN CAPITAL AL FINAL DEL PERODO ANALIZADO (VF). Supongamos que cuenta hoy con un capital inicial = C0 y r es la rentabilidad al cabo de un perodo. Cul sera el valor en t=1 de C?r C1 C1=C0+C0*r=C0 (1+r) Luego, t=0 t=1 VF1(C)= C0 (1+r)

C0

Valor ActualES EL VALOR EQUIVALENTE HOY DE UN CAPITAL A RECIBIR AL FINAL DEL PERODO ANALIZADO (VA). Supongamos que recibir una cantidad C1 al cabo de un ao y r es la rentabilidad del mercado. Qu cantidad HOY sera equivalente a C1?r C1 Sabemos que C1= X(1+r) Sea X=Valor Actual =VA, entonces: t=0 t=1 VA= C1 * 1/ (1+r) Donde 1/(1+r) factor de actualizacin corresponde descuento al o

C0

Valor del Dinero en el Tiempo

VALOR FUTURO capitalizart=0 t=1

VALOR ACTUALt=0 t=1

actualizar o descontar

Valor Actual

Si la cantidad C se recibe en n perodos ms:

Cn VA ! n (1 r )

Valor Actual

Para calcular el VA, descontamos los cobros futuros esperados a la tasa de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversin comparables (r).

Nota: Tambin se le conoce como Valor Presente

VA = VF * factor de descuento

VF y VA con n>1Ct/(1+r) Ct Ct(1+r) Ct(1+r)n-1

Ct/(1+r)t

VA /// 1/(1+r)

VF /// (1+r)

VA con n>1

Qu pasa con el VA si tenemos n perodos?C1 Ct Cn

0

1

t

n

PROPIEDAD 1: VA (A +B)= VA(A) + VA(B)Entonces tenemos:VA(C1 ) ! C1 * FD1 ! C 1 * VA(C t ) ! C t * FD t ! C t * 1 (1 r) Ct 1 ! (1 r) * (1 r)....(1 r) (1 r) t

VA con n>1Luego, sumando los valores actuales queda:

!

1

(1 r )

.....

t

(1 r )

t

.....

Valor Actualizado Neto (VAN) Valor Presente Neto (VPN)

n

!i !1

i

(1 r )

i

VA con n>1

El caso ms general es cuando las tasas de inters son diferentes para cada perodo. Si las tasas para cada perodo son r1; r2; r3; etc., entonces:

Cn C1 C2 ...... VA ! (1 r1 ) (1 r1 )(1 r2 ) (1 r1 )....(1 rn )n

VA ! t !1

Ctt

(1 r )i i !1

Valor Actual NetoSi tenemos varios flujos futuros, necesitamos una mtrica nica para comparar el valor. El concepto de Valor Actual Neto aparece como una respuesta a esta necesidad. Definiremos entonces:

Ci VAN ! i i !0 (1 r )

n

Tambin se le conoce como Valor Presente Neto, y corresponde a la medida de valor neto en el momento actual de los flujos de caja futuros.

Valor Actual NetoEjemplo: Usted enfrenta dos alternativas:

1 Proyecto Inmobiliario (sup: libre de riesgo)$1500 1

$7002

$3003

-$1000 0 Bonos del Gobierno

$600 1

$602

$10603

-$1000

Valor Actual Neto

Para poder comparar ambas alternativas de inversin, debemos resumir ambos flujos en un solo valor. Supongamos r=6%, como tasa de descuento. Luego:

VAN(p.inmob)= $16 VAN(b. gob) =$0

Por lo tanto preferiremos el proyecto inmobiliario frente a invertir en los bonos del gobierno, porque tiene un mayor VAN.

Sobre la inversin

Las empresas invierten en distintos activos reales Los activos pueden ser de diferentes tipos: Activos tangibles o fsicos (maquinaria, edificios) Activos intangibles (contratos de gestin, patentes, marcas) Activos financieros (acciones, bonos) Objetivo de la decisin de inversin es encontrar activos cuyo valor supere su costo. Dado lo anterior surge la necesidad de valorar adecuadamente los activos. Si existe un buen mercado para un activo el valor presente ser exactamente su precio de mercado.

Sobre el riesgo

No todas las inversiones tienen el mismo riesgo. Ejemplos: Bonos del tesoro Construccin de oficinas Perforacin de un pozo de petrleo En principio a mayor riesgo mayor es la rentabilidad exigida. Los inversionistas exigen un premio por riesgo. Ms adelante se discutir el problema del riesgo y como ste afecta el valor de los activos.

Anualidades

En la prctica existen numerosos casos en que nos enfrentamos a la alternativas de pagar o ahorrar con cuotas iguales, versus pagar el valor actual de dichas alternativas. Por ejemplo, la posibilidad de realizar compras en un cierto nmero de cuotas versus precio contado (valor actual) que ofrecen las casas comerciales, compaas de seguros, valores de arriendos, etc.; ahorrar peridicamente sumas fijas de dinero y su valor capitalizado; comprar instrumentos de mercado que ofrecen pagos peridicos; contratar deudas, como prstamos, crditos hipotecarios, etc.

Anualidades

Activo que produce cada ao una suma fija y constante durante un determinado nmero de aos

C

C C C C ........... VA ! 2 n 1 n (1 r ) (1 r ) (1 r ) (1 r )

Anualidades

Multiplicando la ecuacin anterior por (1+r):

(1 r )

!

(1 r )

.......... .

(1 r )

n2

(1 r ) n 1

Restando la primera ecuacin de la segunda:

(1 r )

!

(1 r ) n

Anualidades

Despejando el valor de VA:

VA !O bien:

1 1 n r r(1 r)

(1 r) n 1 VA ! C n (1 r) r

Perpetuidades

Corresponde a un flujo constante que se paga hasta el infinito. Veamos el caso de la deuda perpetua con un pago anual de C

0 C

C

C

C

C

C

Considerando una tasa r, tomamos el limite de una anualidad cuando n tiende a infinito:

1 1 C VA ! lim C ! n npg r r(1 r) r

Perpetuidades con crecimiento

Supongamos que los flujos crecen a una tasa g.

0

C1

C2

Ct

Donde: C2=C1(1+g) C3=C2(1+g)=C1(1+g)2 Ct=C1(1+g)t-1

Entonces: (sup r>g)

C1 VA ! (r g)

Equivalencias FinancierasVF 0Factor de actualizacin o valor presente

n

t: tiempoFactor de capitalizacin o cantidad compuesta

VA = VF[1/(1+r)n] VA

VF = VA[(1+r)n]

0

n

t

Equivalencias FinancierasC C 0 1 2Factor de valor presente

C n t: tiempoFactor de recuperacin de capital

!

(1 r ) n 1 r (1 r ) n

r (1 r ) n C ! VA (1 r ) n 1

VA

0

n

t

Equivalencias FinancierasC C 0 1 2Factor de cantidad compuesta

C n t: tiem