DISEOS FACTORIALES

5.1 DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BASICOSEl efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio del nivel del factor. Con frecuencia se le llama efecto principal referido a los factores primarios del experimento

Figura 5.1 experimento factorialDos factores del diseo tienen 2 niveles a estos niveles se les denomina alto y bajo y se denotan como - y + El efecto principal de este factor A de este diseo se visualiza como la diferencia entre la respuesta promedio con el nivel bajo de A y el nivel alto de A numericamente esto es:

A=(40+52/2)-(20+30/2 ) =21 Es decir cuando el factor A se incrementa del nivel bajo al nivel alto se produce un incremento de la respuesta promedio de 21 unidades

De manera similar el efecto principal de B es: B= (30+52/2)-(20+40/2)=11 Cuando los factores tienen mas de 2 niveles es necesario modificar el procedimiento anterior

En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles de los otros factores, cuando esto ocurre existe una interaccin

La magnitud del efecto de la interaccion es la diferencia promedio de estos dos efectos A o AB=(-28-30)/2=-29 graficando esta interaccion obtenemos:

La figura 5.3 indica que los datos son comparados de la figura 5.1 contra A para ambos niveles del factor B. La figura 5.4 indica que de manera similar se grafican los datos de la figura 5.2 en este caso se observa que las B no son paralelas esto indica una interaccion entre los factores A y B

Si los dos factores del diseo fueran cuantitativos se podria realizar un modelo de regresion se podria escribir: Y=Bo+B1X1+B2X2+B12X1X2+E Donde y es la respuesta para las B que son parametros cuyos valores deben determinarse x1 es una varible que representa el factor al factor A, x2 se definen en una escala codificada de -1 a +1 los niveles altos y bajos de A y B ademas de x,y,x2 representan la interaccion de X1 y X2.

Las estimaciones de los parametros en este modelo de regresion resultan estar relacionadas con las estimaciones de los efectos. Para el experimento ilustrado fig 5.1 que se encuentra en los efectos principales A y B son A=21 y B=11

Las estimaciones de B1 y B2 son la mitad del valor del efectoprincipal correspondiente por lo tanto `B1=21/2=10.5 y `B2=11/2=5.5 El efecto de la interaccion de la figura 5.1 es AB=1 por lo que el valor del coeficiente de la interaccion en el modelo de regresion `B12=1/2=0.5 El parametro B0 se estima con el promedio de las cuatro respuestas `B0=(20+40+30+52)/4=35.5 Por lo que el modelo resultante es: `y=35.5+10.5x1+5.5x2+0.5x1x2

El modelo de superficie de respuesta de un experimento es de gran importancia y utilidad cuando una interaccion es grande los efectos principales correspondientes no tienen un significado practico en la figura 5.2 la estimacion del efecto principal de A seria A=(50+12/2)-(20+40/2)=1

5.2 LA VENTAJA DE LOS DISEOS FACTORIALES Es sencillo ilustrar la ventaja de los diseos factoriales suponga que se tienen dos factores A y B cada uno con dos niveles Los niveles de los factores se denotan por A-,A+,B-,B+, podria obtenerse informacion acerca de ambos factores haciendolo variar uno a la vez como se muestra en la figura 5.7

El efecto de cambiar el factor de A esta dado por A-,A+,B-,B+

5.3.5 Eleccion del tamao de la muestra Para determinar un tamao de la muestra apropiado en un diseo factorial de los dos factores, el experimento que pueda apoyarse en las curvas de operacin caracteristica. Incluyen grados de libertad del numerador y grados de libertad del denominador A-1,b-1 (a-1)(b-1) ab(n-1) ab(n-1) ab(n-1)

5.3.6 El supuesto de no interaccin en un modelo de dos factoresOcasionalmente un experimentador siente que es apropiado un modelo de dos factores sin interaccin por ejemplo: i = 1,2,,a

Yijk =

+ i+ j+

ijk

j = 1,2,,b k = 1,2,,n (5.20)

El anlisis estadstico de un modelo factorial de dos factores sin interaccin es directo.

Suponiendo que el modelo es valido sin interaccin ( ecuacin 5.20) Sin embargo, tan pronto como se efecta el anlisis residual de estos datos, se pone de manifiesto que el modelo sin interaccin es inadecuado.

5.3.7 Una observacin por celdaExperimentos de dos factores con una sola rplica, es decir, en los que slo hay una observacin por celda. Cuando hay dos factores y una sola observacin por celda, el modelo de los efectos es

i = 1,2,,a Yijk = + i+ j +( )ij+ij

j = 1,2,,b (5.21)

Al examinar los cuadrados medios esperados, se observa que la varianza del error 2 es no estimable; es decir, que el efecto de la interaccin de los dos factores ( ) y el error ij experimental no puede separarse de alguna manera obvia.

Si no hay una interaccion presente, entonces

( )ij = 0 para toda i y j, y un modelo plausible esi = 1,2,,aYijk =

+ i+ j+

ij

j = 1,2,,b(5.22)

Si el modelo (ecuacion 5.22) es apropiado, entonces el cuadrado medio de los residuales de la tabla 5.9 es un estimador insesgado de 2 , y los efectos principales pueden probarse comparando MSA y MSB con MSResidual

5.4 DISEO FACTORIAL GENERAL

Para un modelo con efectos fijos, los estadisticos de prueba para cada efecto principal e interpretacin pueden construirse dividiendo el cuadrado medio correspondiente del efecto del efecto o interaccin por el cuadrado medio del error. Todas las pruebas de F sern de una cola superior

El numero de grados de libertad de cualquier efecto principal es el numero de niveles del factor menos uno, y el numero de grados de libertad de una interaccin es el producto del numero de grados de libertad asociados con los componentes individuales de un interaccion

Considere el modelo del analisis de variancia de tres factores

Yijk =

+ i+ j +yk +( )ij+ ( y)ik+ ( y)jk

+(

by)ijk+ ijkl

i=1,2,.., a J=1,2,.., b K=1,2,.. ,c L=1,2,.., d

Suponiendo que ABC son fijos la tabla del anlisis de varianza se presenta tabla 5.12