libro diseños factoriales aplicado a procesamiento de minerales

DISEOS EXPERIMENTALES APLICADO A PROCESAMIENTO DE MINERALESDiseos FactorialesLa siguiente gua es la publicacin de la primera parte, de un conjunto de resmenes de datos reales, que se aplican en procesamiento de minerales en base a la estadstica. 13/12/2011 Alvaro Paitan Q.

PERUAlvaro PAITAN Q. Primera Parte: 1

INTRODUCCION Las actividades de planear y realizar una investigacin tienen implicaciones de estadstica, es por ello que a la estadstica se le considera como la base fundamental que relaciona una estructura sistematizada de los factores que intervienen en un proceso para obtener un resultado.

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DISEOS FACTORIALES Que son los Diseos Factoriales? Los diseos factoriales permiten el estudio de las simulaciones de varios efectos del factor sobre el proceso conocido como respuesta. Para dicho estudio es necesario variar los niveles de los factores que intervienen. El diseo factorial se aplica: Para determinar los efectos de los factores en estudio, para la funcin respuesta. Eficiente en trminos del tiempo y costo, porque disminuye el numero de tratamiento o pruebas. Permite el estudio de interacciones entre los factores. Cundo usar los diseos factoriales? Se usa para: Obtener eficiencia en las estimaciones de los efectos de cada factor de la respuesta. Estimar los efectos de interacciones entre dos o ms factores en la respuesta. Probar la curvatura en la respuesta incluyendo el centro de los puntos de rplica en el diseo. Determinar la varianza de error experimental. Por qu usar los Diseo Factoriales? En la mayor parte de los diseos factoriales se usa para contestar preguntas como: Cules son la preparacin de las variables ms influyentes en la respuesta? Cules son los factores que optimizaran la respuesta? PRINCIPIOS PARA EL DISEO EXPERIMENTACION EN LA INVESTIGACION Para una buena investigacin un investigador debe conocer los problemas de manera sistematizada con la finalidad de responder a las preguntas que se genera durante el anlisis del problema. La buena planeacin ayuda al investigador organizar las tareas necesarias para llevar al desarrollo una investigacin. Un investigador debe tomar decisiones crticas, en base a la observacin de los factores para buscar los mejores resultados de un proceso. Al iniciar una investigacin es necesario una lista de verificaciones de aspectos concretos entre ellos tenemos: Planteamiento del [email protected]

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Formulacin del problema Objetivos trazados Justificacin Limitaciones Antecedentes del estudio El marco terico Hiptesis del tema en estudio Variables de la investigacin Mtodos Poblacin y muestra Diseo Procedimiento e instrumentos de recoleccin de datos Procedimientos de anlisis.

Entre estas etapas es necesario conocer tambin: Los factores que influyen y cules de ellos varan y cuales permanecen constantes. Nmero de repeticiones del experimento bsico a realizar. Los recursos y materiales disponibles. Cules son las preguntas sencillas para enfocar las actividades de una investigacin. Las preguntas que centran nuestra atencin a travs del proceso de diseo incluyen: ''Cul es mi objetivo?", ''Qu quiero saber?" y "Por qu quiero saberlo?". Las preguntas de seguimiento productivo para cada actividad en el proceso, tales como: "Cmo voy a realizar esta tarea?" y ''Por que hago esta tarea?", dirigen la atencin a definir el papel de cada actividad en el estudio de investigacin. Con lo que respecta a la investigacin en procesamiento de minerales el investigador debe conocer las caractersticas del mineral a detalle, porque mediante el cual definir los mejores procesos mediante los factores.

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APLICACIN DE LOS DISEOS FACTORIALES EN EL PROCESAMIENTO DE MINERALES Los diseos experimentales que se usaron en distintas empresas desde el siglo 19 permiti en las industrias identificar y controlar a los factores que ms correlacin tena con la produccin (funcin respuesta), logrndose aumentar la produccin con el mnimo costo. Es importante en la actualidad enfocar los Diseos experimentales en el procesamiento de minerales de la metalurgia extractiva, con la finalidad de mejorar la produccin en todos los aspectos. En procesamiento de minerales uno de los factores importantes que se bebe estudiar es la influencia de estos con la funcin respuesta, en este caso la recuperacin del concentrado de mineral y las leyes de las mismas, la mayora de los factores que se bebe estudiar es como ejemplo, los colectores, depresores, activadores, tiempo de acondicionamiento, condiciones de la pulpa, granulometra del mineral y otros. Para un estudio sistematizado de un problema en procesamiento de minerales es importante conocer los problemas en base a la identificacin de las variables independientes y dependientes (Funcin respuesta). Por ello es de suma importancia la estadstica en la Ingeniera Metalrgica y en todas las otras Ingenieras. 1.- PRUEBAS METALURGICAS CON DISEO FACTORIAL. En metalurgia, especialmente en flotacin de minerales, el proceso es complejo, del tipo caja negra (black box). La relacin del criterio de optimizacin a las variables independientes del proceso (funcin respuesta), puede ser descrita con el siguiente modelo matemtico. Sea la ecuacin de la funcin respuesta:

Y = ( x, u, z) (1.1)Donde: Y: Funcin respuesta. x : Variable controlable u : Variable no controlable z : Variable desconocida Las variables no controlables pueden medirse pero no controlar, y las variables desconocidas no pueden medirse ni controlarse y se encuentra dentro de las variables aleatorias; estas son incluidas dentro de la funcin respuesta como se puede ver en la ecuacin (1.1)

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Para disminuir la influencia de las variables no controlables y las desconocidas en la funcin respuesta es necesario que las variables controladas tomen un rango o parmetro de operacin esto se representa mediante la ecuacin.

Y = ( x1, x 2 ,..., xn ) + .(1.2) Donde: e : Variable aleatoria (variable no controlada y desconocida). Xn : Variables controladas o estudiadas.En el diseo factorial 2K se estudian en la mayor parte de los casos los efectos de los factores y las n interacciones de las mismas. N=2K indica el numero de tratamientos que deben hacerse con los K factores y n interacciones. En la notacin 2K los niveles superior e inferior estn indicados por los signos (+) y (-) (+1) y (-1) respectivamente. Investigar con diseo experimental es determinar los experimentos que conviene usar para poder hacer un mejor estudio de las variables, al mismo tiempo determinar la influencia de cada una sobre la funcin respuesta. Es por ello importante para que una funcin respuesta se la mejor (optima) en procesamiento de minerales identificar y seleccionar las variables que ms influyen para ello existe los diseos experimentales completos, fraccionados y de Planckett Burman que permite estudiar hasta 20 variables o factores. PRIMERA ETAPA DE SELECCIN DE VARIABLES. Es una de las etapas ms importantes en la cual se debe definir las variables o factores a estudiar, estoy convencido de que en esta etapa el factor humano es importante, porque mediante el cual los rangos sern elegidos adecuadamente (con lgica), de no ser as el diseo aplicarse ser poco confiable por no decirlo nulo. Si tomamos un ejemplo simple de realizar una flotacin de zinc y en planta o histricamente se determino que el colector xantato se usa un promedio de 30g/TM, seria en vano escoger parmetros de 10g/TM y 60g/TM para las variables de investigacin, debido a que estos datos estn lejos del dato promedio. Para la seleccin de las variables es necesario usar todo los conocimientos en un proceso metalrgico as como un diagnostico de todos los antecedentes de la operacin, ya que ser de mucha importancia para la identificacin las posibles variables las cuales se sometern a pruebas de diseo factorial. Como ya mencionamos la codificacin de las variables estn en rango inferior con (-1) y el rango mximo con (+1) tomando como promedio cero (0)[email protected]

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Qu son las variables codificadas? Las variables codificadas son los datos que debe tomas las variables en rangos de una unidad sea (-1) (+1) con la finalidad de simplificar la interpretacin de la correlacin con el factor respuesta o factor observado, en la mayora de los casos se toma este dato para tener referencia de una figura geometra en el plano cartesiana o en el espacio con centro en las orgenes (0). Qu son las variables reales? Son las variables que toman datos reales del factor o variable sometido a prueba. CALCULOS PARA MATRIZ A ESCALA CODIFICADA Una de las formas ms adecuadas, para pasar de la escala codifica sea X , a la escala real Z, es utilizando las ecuaciones siguientes: Z j = Z o + X j. Z j (1.3) j Donde: Zj : Centro del diseo Zj : Radio del diseo Xj : Escala codificada

Zimax + Zimin .(1.4) 2 Zimax Zimin Z j = ...............(1.5) 2 Para la seleccin de variables existen las plantillas codificadas y dependen del nmero de variables o factores.o Zj =

DISEOS FACTORIALES COMPLETOS En un experimento de Diseo factorial, las respuestas son medidas como una combinacin de niveles de los factores experimental. La combinacin de niveles de factores representa las condiciones de las cuales las respuestas sern medidas. Una condicin experimental es una Corrida o prueba y la medida de la respuesta es una observacin. Las pruebas enteras son el diseo. La aplicacin de un diseo factorial completo en procesamiento de minerales es recomendable usar para el estudio desde dos hasta tres factores, esto se debe a que las pruebas que se realiza son como mximo hasta ocho y son econmicamente posibles.

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Plantilla para el factorial 22 este diseo se aplica para estudiar los efectos de las dos variables A y B as como sus interacciones AB, AA y BB es aplicable en la mayora en la etapa de optimizacin a mas detalle se tocara en la etapa siguiente. Tabla 1. N pruebas 1 2 3 4 5 A(X1) + + 0 B(X2) + + 0

Plantilla para el factorial 23 este diseo se aplica para identificar los efectos de tres variables A, B, C y sus interacciones AB, AC, BC y ABC Tabla 2. N pruebas 1 2 3 4 5 6 7 8 A(X1) + + + + B(X2) + + + + C(X3) + + + +

Para realizar una regresin es necesario que la diferencia entre el nmero de pruebas menos las variables y menos uno esto sea igual o mayor a uno en todas las plantillas a disear, por ejemplo en la Tabla 2 tenemos 8 pruebas y 3 variables entonces para la regresin quedan 4 a esto se le conoce como grados de libertad de la regresin. Esto se debe a que la ecuacin lineal que forma es el siguiente:

Y = 0 + 1X 1 + 2X 2 + 2X 3 .. (1.6)En la ecuacin 1.6 se observa que tenemos tres variables y una constante entonces los grados de libertad ser: GL: 8 4 = 4 Para la regresin. Si queremos hallar la interaccin AB, AC, CB y ABC entonces el grado de libertad ser: GL: 8 8 = 0 tenemos grados de libertad igual a cero en estos casos no se puede realizar la regresin, para aumentar los grados de libertad mnimo a uno es necesario aumentar las replicas en el centro (aprovechando que las replicas en el centro en necesario realizar como mnimo 2 pruebas para encontrar el error experimental, curvatura de la ecuacin y los clculos con ANOVA)[email protected]

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El nuevo cuadro con interaccin. Tabla 3.N Pruebas A(X1) B(X2) C(X3) AB AC BC ABC -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 +1 -1 -1 2 -1 -1 1 1 -1 +1 -1 3 -1 1 -1 1 +1 +1 -1 4 1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 5 1 -1 -1 1 +1 -1 +1 6 -1 1 -1 -1 -1 +1 +1 7 -1 -1 1 -1 +1 +1 +1 8 1 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 Los signos de la interaccin de las variables se completa multiplicando los signos de las mismas variables. Es importante considerar que los cuadros de diseo factorial deben cumplir la ortogonalidad. Y Respuesta (1) a b ab c ac bc abc

Comprobacin ortogonal. Para evaluar el ortogonal de un diseo, se necesita cambiar la hoja de trabajo a cdigo de unidad. Tambin se puede entender el diseo fcilmente en cdigo automtico como ya mencionamos. Las columnas de los cuadros deben ser ortogonales una a la otra, se pude tener las siguientes condiciones: La suma de cada columna es cero. La correlacin entre cada columna es cero. Cuando los factores en un diseo son ortogonales, se puede estimar los factores de cada factor independientemente. Ventaja de un diseo ortogonal Se pueden estimar trminos de modelo. Debido a que se puede encontrar la contribucin independiente de cada efecto, el anlisis es ms simple al reducir un modelo, usted puede quitar todos los trminos no significativos simultneamente. En la tabla 3 se aumento las replicas en el centro con la finalidad de aumentar los grados de libertad. En la columna de Y funcin respuesta (respuesta observada) en cada fila representa un dato que permite calcular los efectos y la suma de cuadrados as como determinar el error experimental.

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CALCULO DE EFECTOS DE UN DISEO FACTORIAL 23 Los efectos se calculan con la siguiente formula. ContrasteA EfectoA = .(1.7) n2K 1 Donde: A: Variable n : Numero de replicas de Y(obs) K : Numero de variables independientes Los contrastes de cada variable se calculan de la siguiente forma. ContrasteA = [ b + ab + ac + abc (1) b c bc ]

ContrasteB = [b + ab + bc + abc (1) a c ac ] ContrasteC = [c + ac + bc + abc (1) a b ab] ContrasteAB = [ab b a + abc + (1) bc ac + c ] ContrasteAC = [(1) a + b ab c + ac bc + abc ] ContrasteBC = [(1) + a b ab c ac + bc + abc ] ContrasteABC = [abc bc ac + c ab + b + a (1)]

La suma de cuadrados de cada variable independiente se calcula con la siguiente formula: ContrasteA SCA = ..(1.8) n2K La media de suma de cuadrados se determina: SCA CMA = ..(1.9) g.l Donde: g.l : Grados de libertad de la variable, en un diseo factorial 2 K es la unidad. Ejemplo: En una planta metalrgica el gerente de operaciones, busca mejorar la produccin de concentrado de zinc, para ello selecciona tres variables ms influyentes en el proceso con la finalidad interpretar los efectos en la produccin, y buscar una posible optimizacin. Las variables seleccionados X1 (altura de espuma), X2 (Suministro de aire), X3 (agua de lavado) en rangos de 800:900mm, 25:35Ipm y 8:12lpm y la variable Y representado como la recuperacin del concentrado de Zinc (es importante tambin relacionar con las leyes del concentrado, cabeza de mineral y la recuperacin conocida como factor metalrgico)

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El cuadro de diseo factorial 23 con dos pruebas centrales y una columna Xo para obtener la constante:n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A (x1) -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 B(x2) -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 C(x3) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 x1x2 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 x1x3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0 x2x3 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 X1X2X3 Yobs -1 86,4 1 89,5 1 86,1 -1 90,3 1 84,5 -1 85,7 -1 87,2 1 90,4 0 85,9 0 86,2

Para facilitar el clculo de efectos se determina por matrices en Excel (se puede calcular con las formulas de efectos descritos con anterioridad). N X . [ X ]T .[Y ] ij Yi Ej = = N r N r i =1 2 2 [X]T: Transpuesta de la matriz codificada [Y] : Matriz de la funcin respuesta. N : Numero de pruebas. r : Replicas en el centro.[X]T 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 [X]T.[Y] Efecto 872,2 2,925 11,7 1,975 7,9 -1,13 -4,5 0,775 3,1 -0,72 -2,9 1,725 6,9 0,225 0,9

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 1 -1 1 -1 -1 -1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 1 -1 1 -1 1 -1 -1

1 -1 1 1 -1 -1 1 -1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

Analizando los efectos: La variable X1 influye con +2,9 en la recuperacin de zinc, en segundo lugar le sigue X2 con +1,9, estas dos variables influyen directamente debido al signo positivo y mientras que la variable X3 influye negativamente con -1,13. Pero los efectos no determinan la confiabilidad del grado de influencia por lo tanto se realiza la regresin para evaluar con t [email protected]

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Hallando las constantes con la siguiente ecuacin en Excel:

[B] = ([ X ]T .[ X ]) 1.([X ]T .[Y ]) [B] : Constantes de la regresinINVERSA ([X]T.[X]) 0,1 0 0 0 0,125 0 0 0 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1

0 0 0 0,125 0 0 0 0

0 0 0 0 0,125 0 0 0

0 0 0 0 0 0,125 0 0

0 0 0 0 0 0 0,125 0

0 0 0 0 0 0 0 0,125

Desarrollando obtenemos las constantes de la ecuacin.[B] 87,22 1,4625 0,9875 -0,5625 0,3875 -0,3625 0,8625 0,1125 constante X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3

La ecuacin.

Y= 87,22 + 1,46X1 +0,9875X2 -0,56X3 +0,387X1X2 -0,362X1X3 +0,86X2X3 +0,11X1X2X3

Analizando con t-student, para el anlisis es importante realizar una regresin con las variables para los resultados.Estadsticas de la regresin Coeficiente de correlacin mltiple Coeficiente de determinacin R^2 R^2 ajustado Error tpico Observaciones

0,954770042 0,911585832 0,602136245 1,316671941 10 Estadstico t Probabilidad 209,47804 2,2788E-05 3,1416897 0,08812773 2,12131185 0,16795073 -1,2083421 0,35039974 0,83241351 0,49274304 -0,7787094 0,51765713 1,85279136 0,20509867

Intercepcin Variable X 1 Variable X 2 Variable X 3 Variable X1X2 Variable X1X3 Variable [email protected]

Coeficientes 87,22 1,4625 0,9875 -0,5625 0,3875 -0,3625 0,8625

Error tpico 0,41636823 0,46551383 0,46551383 0,46551383 0,46551383 0,46551383 0,46551383

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PERUAlvaro PAITAN Q.Variable X1X2X3

Primera Parte: 10,1125 0,46551383 0,24166844 0,83155634

Es importante observar que el coeficiente de determinacin sea en la mayora de los casos mayor a 0,9 como se puede ver en los resultados con un valor de 0,91158. Haciendo un entre parntesis el anlisis clsico de estadstica esta siendo remplazado con el anlisis de probabilidades. En el anlisis con t-student se compara el error estadstico t de la regresin con t de la tabla con n-1 pruebas y 90 a 95% de probabilidad en dos colas. Para el ejemplo n-1 es 9 con una probabilidad de 90% en tabla es +1,83 y -1,83, para determinar qu factores influyen el error t debe estar fuera del rango de y + de 1,83 y los nicos que salen de estos intervalos son los factores X1, X2 y la interaccin X2X3, de esto se concluye que los factores que ms influyen son X1 y X2. Analizando con ANOVA. Se aplica solamente cuando se realiza pruebas con replicas en el centro del diseo. La comparacin de probabilidades se determina con Fisher con una cola hacia la derecha.Factores x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 ERROR TOTAL SC GL 17,111 7,8012 2,5313 1,2013 1,0512 5,9513 0,1012 0,045 35,794 CM 1 17,11125 1 7,80125 1 2,53125 1 1,20125 1 1,05125 1 5,95125 1 0,10125 1 0,045 9 3,9770833 F 380,25 173,3611 56,25 26,69444 23,36111 132,25 2,25 Ftabl(1,1,95%) 161,45 161,45 161,45 161,45 161,45 161,45 161,45

La terminologa SC, GL y CM ya fueron definidos, para calcular F se divide el cuadrado medio de un factor entre el cuadrado medio del error, por ejemplo en X1 se obtiene 380,25. Para el anlisis de F tabla se obtiene con los grados de libertad del numerador (factor) y denominador (error) y una probabilidad de 95%, en nuestro caso es 161,45. Si F>Ftabla entonces estos factores si influyen en la funcin respuesta y si F

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