Introduccion a los diseños factoriales

INTRODUCCION A LOS DISEÑOS FACTORIALES

SEMANA 71

2

Diseños Factoriales

Referencia en el Texto: Capítulo 5

Principios generales de los experimentos factoriales

El factorial con dos factores con efectos fijos

La ANOVA para factoriales

Extensiones a más de dos factores

Factores Cuantitativos y Cualitativos - curvas y

superficies de respuesta

3


1. Principios básicos

2. Diseño factorial general

3. Superficices de respuesta

4. Bloques en factoriales


El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés en todos los factores

Los factores pueden ser cualitativos, cuantitativos o mixtos

Es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada factor.

En el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones

4

Definiciones Básicas

Definición del efecto de un factor: El cambio en la respuesta promedio cuando el factor es cambiado de nivel bajo a alto.

40 52 20 3021

2 230 52 20 40

112 2

52 20 30 401

2 2

A A

B B

A y y

B y y

AB

Efecto de la

Interacción Baja

Líneas paralelas

5

El caso de la Interacción

50 12 20 401

2 240 12 20 50

92 2

12 20 40 5029

2 2

A A

B B

A y y

B y y

AB

Efecto de la

Interacción Alta

Efecto de A depende del nivel que se elige para el factor B

Líneas se intersecan

6

Un vendedor de plástico para empaques flexibles esta ayudando a uno de sus clientes, el que reclama que el plástico que este le vende, no sella bien.

La forma de medir este sello es por medio de la fuerza requerida para separarlo, y las unidades con las que esto se mide son: gramos entre centímetros cuadrados.

Problema

Diseños Factoriales (Ejemplo)

7


El proceso de sellado

8

De acuerdo con su experiencia, el vendedor considera que el cierre de este material depende de las siguientes características: Temperatura Presión Grueso del plástico Tiempo de sellado.

Y ha definido las siguientes variables para realizar un experimento.


9

Variable respuesta: Y: fortaleza del sello (gr/cm2)

Factor Nivel alto

(+1)Nivel bajo (-1)

Temperatura (°C) 300 250

Presión (psi) 100 80

Grueso del material Pulgadas)

0.03 0.02

Tiempo sellado (s) 0.2 0.1


Ho: efecto de temperatura = 0H1: efecto de temperatura 0…

A esto se le conoce por matriz de arreglo factorial

10

Temperatura Presión Grosor Tiempo Fuerza

-1 -1 -1 -1 150

-1 -1 -1 1 158

-1 -1 1 -1 141

-1 -1 1 1 163

-1 1 -1 -1 160

-1 1 -1 1 164

-1 1 1 -1 147

-1 1 1 1 168

1 -1 -1 -1 153

1 -1 -1 1 159

1 -1 1 -1 149

1 -1 1 1 160

1 1 -1 -1 170

1 1 -1 1 163

1 1 1 -1 171

1 1 1 1 178

Se realiza el experimento en la planta del cliente y se obtuvo los siguientes datos

Promedio temperatura baja: 156.38

Promedio temperatura alta: 162.88


11


12

153

Temperatura alta

159

149

160

170

163

171

178

162.88 Promedio

150

Temperatura baja

158

141

163

160

164

147

168

156.38 Promedio


Efecto de un factor: es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor.

El efecto de “Temperatura”= 162.88 – 156.38 = 6.5

Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores

13


14


Temperatura

Presión Fuerza

1 -1 153

1 -1 159

1 -1 149

1 -1 160

155.25

15


Temperatura

Presión Fuerza

-1 -1150

-1 -1158

-1 -1141

-1 -1163

153

16


Temperatura

Presión Fuerza

-1 1160

-1 1164

-1 1147

-1 1168

159.75

17


Temperatura

Presión Fuerza

1 1 170

1 1 163

1 1 171

1 1 178

170.5

18

Principios Básicos

Estudios de los efectos de dos o más factores

En cada ensayo o réplica se estudian todas las

posibles combinaciones de los niveles de los factores

Diseños factoriale

s

19

Principios Básicos

Son ampliamente utilizados y de gran valor cuando se sabe poco sobre los niveles óptimos de los factores o no se sabe qué factores son importantes.

De gran valor en campos de estudio donde se sabe que la interacción de los factores es importante.

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Ventajas y Desventajas

Ventaja de los diseños factoriales

Permite obtener más información que en un experimento de un

solo factor, se estudian efectos principales, efectos cruzados y

de interacción de los factores.

Desventaja de los diseños factoriales

Se requiere un mayor número de unidades experimentales que

en experimentos con un solo factor.

Se obtendrán resultados de combinaciones que pueden no ser

de interés para el investigador.

El análisis estadístico y la interpretación de resultados es más

complicada.

21

Definición del experimento factorial

Un experimento factorial queda definido

por el número de factores y niveles de

cada factor.

Un experimento con 3 niveles del factor

A, 4 del factor B y 2 del factor C, puede

ser denotado por:

3A4B2C

3X4X2

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Tipos de interacciones

Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores

Efecto simple: Es el efecto de un factor, en un nivel de los demás factores

Efecto de Interacción: Está dado por la variación que tiene un efecto simple de un factor al pasar de un nivel a otro de otro factor

Efecto cruzado: Esta dado por las combinaciones cruzadas de dos factores.

Veamos de que se trata…

23


Ejemplo: Datos de un experimento factorial 2x2

Niveles factor A

a1 a2

Niveles factor B b1 b2 b1 b2Medias 54 38 45 56

24


Niveles factor A

a1 a2

Niveles factor B b1 b2 b1 b2Medias 54 38 45 56

25


+

26


27


Cada línea corresponde a un efecto simple, y la interacción puede notarse cuando las líneas tienen

pendientes diferentes.

Recuerde: Efecto de interacción sobre la variable de respuesta es el que se produce cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro.

28


Ejemplos en los que NO hay interacción

29

Modelo de Regresión y la Superficie de Respuesta Asociada

0 1 1 2 2

12 1 2

1 2

1 2

1 2

The least squares fit is

ˆ 35.5 10.5 5.5

0.5

35.5 10.5 5.5

y x x

x x

y x x

x x

x x

30

El efecto de la Interacción en la Superficie de Respuesta

1 2

1 2

ˆ 35.5 10.5 5.5

8

y x x

x x

Suponer que se añadió un término de interacción al modelo:

Interacción es en realidad una forma de curvatura

31

Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un

dispositivo que se someterá a temperaturas extremas. El

único parámetro de diseño es el material de la placa o ánodo

de la batería.

El ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas a las

que operará el dispositivo, pero las puede controlar en el

laboratorio, para efectos de experimentación.

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175)

32


A = Tipo Material; B = Temperatura

1. Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura en la vida útil?

2. Existe una escogencia de material que daría larga vida, a pesar de la temperatura (un producto robusto) ?

33

El Experimento General de Dos Factores

a niveles de factor A; b niveles de factor B; n réplicas

Este es un diseño completamente aleatorizado

34

El Experimento General de Dos Factores

Modelo estadístico (efectos): 1,2,...,

( ) 1, 2,...,

1, 2,...,ijk i j ij ijk

i a

y j b

k n

Otros modelos (modelo de medias, modelo de regresión) pueden ser útiles

35

Extensión de ANOVA a Factoriales (Caso de Efectos Fijos) – pg. 178

2 2 2... .. ... . . ...

1 1 1 1 1

2 2. .. . . ... .

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b n a b

ijk i ji j k i j

a b a b n

ij i j ijk iji j i j k

y y bn y y an y y

n y y y y y y

breakdown:

1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)

T A B AB ESS SS SS SS SS

df

abn a b a b ab n

36

Tabla ANOVA – Caso Efectos Fijos

Texto da detalles del cálculo manual – ver pp. 180 & 181

37

Fuentes de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad

Cuadrado Medio F0 Valor P

Tipos de Materiales SSA 10683.72 a-1 2 5341.86 7.91 0.002

Temperatura SSB 39118.72 b-1 2 19559.36 28.97 0.0001

Interacción SAB 9613.78 (a-1)(b-1) 4 2403.445 3.56 0.0186

Error SSE 18230.75 ab(n-1) 27 675.212963

Total SST 77646.97 abn-1 35


38

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175) Resuelto con Minitab

Se debe definir la interacción de las variables en el modelo (A*B)

39

Ejemplo 5.1 Salida Minitab

Modelo lineal general: Vida de la batería vs. Tipo de Mate, Temperatura Factor Tipo Niveles ValoresTipo de Material fijo 3 A1, A2, A3Temperatura fijo 3 15, 70, 125

Análisis de varianza para Vida de a batería, utilizando SC ajustada para pruebas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F PTipo de Material 2 10683.7 10683.7 5341.9 7.91 0.002Temperatura 2 39118.7 39118.7 19559.4 28.97 0.000Tipo de Material*Temperatura 4 9613.8 9613.8 2403.4 3.56 0.019Error 27 18230.8 18230.8 675.2Total 35 77647.0

S = 25.9849 R-cuad. = 76.52% R-cuad.(ajustado) = 69.56%

Observaciones inusuales de Vida de a batería

Vida de a ResiduoObs batería Ajuste Ajuste SE Residuo estándar 3 74.000 134.750 12.992 -60.750 -2.70 R 4 180.000 134.750 12.992 45.250 2.01 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Conclusiones?

40


41

Análisis Residual – Ejemplo 5-1

DESIGN-EXPERT PlotLife

Residual

No

rma

l % p

rob

ab

ility

Normal plot of residuals

-60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25

1

5

10

20

30

50

70

80

90

95

99


PredictedR

es

idu

als

Residuals vs. Predicted

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

49.50 76.06 102.62 129.19 155.75

Conclusiones?

42


Run Number

Re

sid

ua

ls

Residuals vs. Run

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

1 6 11 16 21 26 31 36


Material

Re

sid

ua

ls

Residuals vs. Material

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

1 2 3


Temperature

Re

sid

ua

ls

Residuals vs. Temperature

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

1 2 3

Análisis Residual – Ejemplo 5-1

Conclusiones?

43


La temperatura posee una relación indirectamente proporcional con respecto a la vida útil, cuando aumenta la temperatura la vida de la batería disminuye

El tipo de Material es un factor significativo en el diseño de las baterías

Cuál es la mejor combinación ?Podríamos decir que el

material A3 y la temperatura a 15?

44


Analizando el efecto de la interacción, el cuál no se logra analizar en el gráfico de efectos principales se puede concluir para los datos evaluados que la combinación que maximiza la vida de la batería es el tipo de material 2 a 15 grados centígrados

Hay que tomar en cuenta que si el lugar a donde se va a utilizar es mayor a 70 grados centígrados el material adecuado es el 3

45

Factores Cuantitativos y Factores Cualitativos

El procedimiento básico ANOVA trata cada factor como si

fueran cualitativos

Algunas veces un experimento involucra factores

cuantitativos y cualitativos, como el Ejemplo 5.1

Esto puede ser tomado en cuenta en el análisis para producir

un modelo de regresión para los factores cuantitativos en

cada nivel (o combinación de niveles) de los factores

cualitativos.

Estas curvas de respuesta y/o superficies de respuesta son de

considerable ayuda en las interpretaciones prácticas de los

resultados.

46

Factoriales con más de dos factores

Procedimiento básico es similar al caso de dos factores; todos los abc…kn combinaciones de tratamientos son corridos en orden aleatorio

ANOVA es también similar:

Ejemplo completo de tres factores en Sección 5-4 del texto

T A B AB AC

ABC AB K E

SS SS SS SS SS

SS SS SS

47

Otras consideraciones para el diseño factorial de dos factores

• Cuando se concluye que una interacción de dos factores tiene un

efecto estadísticamente importante sobre la respuesta, su

interpretación tiene prioridad sobre los efectos principales,

aunque estos también sean significativos.

• La verificación de la adecuación del modelo: mediante el análisis

residual ya conocido (supuestos de normalidad, varianza

constante e independencia de los residuos)

• En el caso de no asegurarse la normalidad y homogeneidad en los

residuos, se pueden utilizar métodos de análisis alternativos: no

paramétricos; modelos lineales generalizados y de análisis de

respuesta transformada. Estas situaciones exceden el alcance

del curso, pero pueden ser objeto de estudio individual posterior.

49 Diseño factorial general

50

Diseño factorial general

Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden

aplicarse al caso general:

a niveles del factor A, b niveles del factor B, c niveles del

factor C. Dispuestos en un diseño general.

Habrá abc…n observaciones totales si se hacen n réplicas

del experimento total.

Se necesitan al menos n≥2 para determinar una suma de

cuadrados debida al error si todas las interacciones están

incluidas en el modelo (si n=1 la varianza del error es no

estimable, es decir, no se puede separar el efecto de la

interacción del del error experimental)

51

Diseño factorial general

El Modelo del análisis de varianza de tres factores es

y ijkl i j k ij ik jk ijk ijk

Dónde:i = 1,2,3,… , a.j = 1,2,3,… , b.k = 1,2,3,… , c.l = 1,2,3,… , n.

52

Tabla del análisis de varianza del modelo de tres factores con efectos fijos

Tabla de la página 195 del Montgomery, Tabla 5-12.

53

Práctica en grupos para la casa

A continuación se presenta los tiempos de supervivencia en

horas de animales asignados aleatoriamente a tres venenos

(v1, v2, v3) y tres antídotos (a1, a2, a3). El experimento fue

parte de una investigación para combatir los efectos de

ciertos agentes tóxicos y fue un diseño completamente al

azar.

54


a) Efectúe el análisis de varianza y analice sus efectos con respecto al enunciado.

b) Realice el análisis gráfico de la interacción.

c) Se cree que el antídoto a2 es más efectivo que el a1 para contrarrestar el veneno v1, verifíquelo.

55 Superficies de respuesta

Modelos de efectos aleatorios

56

Superficie de respuesta

Hasta el momento nos hemos enfocado en experimentos que permiten:

Identifican unas pocas variables importantes de un gran número de candidatos.

Asegurar cómo unas pocas variables impactan una respuesta.

Pero, ¿cuáles son los niveles de estas variables que generan una respuesta óptima?..

Responder esto es lo que se busca con las superficies de respuesta.

57


Cuando varios de los factores de un experimento factorial

son cuantitativos, puede utilizarse una superficie de

respuesta para modelar la relación entre “y” y los factores

de diseño.

Las gráficas se obtienes por medio de ecuaciones lineales o

cuadráticas. La forma más fácil de obtener estas ecuaciones

es por medio de software especializado.

58


Cuando al menos dos de los factores son cuantitativos, resultan útiles para predecir la respuesta a niveles intermedios entre los factores

59

Se desea conocer el % de conversión de una

sustancia química como consecuencia de tres

factores (temperatura, tiempo y % de catalizador.

Superficie de respuesta (Ejemplo)

El ingeniero desea conocer a

profundidad el impacto de los

factores en la variable respuesta.

60

Superficie de respuesta (Ejemplo)

Comentarios ?

Cómo se predice el comportamiento de la variable respuesta ?

61

Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversión

Design Points97

51

X1 = A: TiempoX2 = B: Temperatura

Actual FactorC: Catalizador = 2.50

40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00

80.00

82.00

84.00

86.00

88.00

90.00Conversión

A: Tiempo

B:

Te

mp

era

tura

78

80

80

82

84

86

88

6

Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno)

Nos ayuda a entender el impacto de los factores en la variable respuesta, la simbología de los colores representan el impacto en la variable respuesta Es la proyección de la superficie de respuesta

Qué pasa cuando el % del catalizador pasa de 2.50 a 3?

62


Design Points97

51



40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00

80.00

82.00

84.00

86.00

88.00

90.00Conversión

A: Tiempo

B:

Te

mp

era

tura 70

80

90


Se puede observar en la gráfica de contorno como los colores más cálidos se alcanza más rápido, con los mismos niveles de tiempo y temperatura.El % de Canalización es significativo e interactúa con los demás factores

63


64


Design points above predicted valueDesign points below predicted value97

51



40.00 42.00

44.00 46.00

48.00 50.00 80.00

82.00

84.00

86.00

88.00

90.00

75

80

85

90

95

Co

nv

ers

ión

A: Tiempo B: Temperatura


65

Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversionX1 = A: timeX2 = B: temperatureX3 = C: catalyst

CubeConversion

A: time

B:

tem

pe

ratu

re

C: catalyst

A-: 40.00 A+: 50.00B-: 80.00

B+: 90.00

C-: 2.00

C+: 3.00

75.6805

73.0885

87.2617

69.1696

50.7374

93.6454

70.8186

98.2265

6

Superficie de respuesta (Cubo)

66

¿Cómo se maneja el experimento factorial si la programación de producción del ejemplo de la selladora, no permite correr todas las muestras en la misma máquina?

67Formación de Bloques en un diseño Factorial

Cuando no es factible o práctico hacer la aleatorización completa de las corridas, utilizamos bloques.

68

Formación de bloques en un diseño factorial

Las máquinas de sellado se convierten en una restricción sobre la aleatorización o un bloque.

El modelo de los efectos para este nuevo diseño es:

y ijkl i j k ij ik jk ijk m ijkm

Donde:δm: es el efecto del m-ésimo bloque.

Es importante que dentro de cada bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está totalmente aleatorizadas

69

Formación de bloques en un diseño factorial

Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante.

Si estas interacciones existen no pueden separarse del error.

70

Tabla del análisis de varianza de un diseño factorial de dos factores en bloques completos aleatorizados

Tabla de la página 208 del Montgomery, Tabla 5-18.

71

Práctica en grupos para la casaSe realizó un experimento con un arreglo factorial 2A3B en 4 campos de cultivo, para evaluar el efecto en el rendimiento de maíz obtenido con dos tipos de abono (a1 y a2) y tres dosis (b1=20, b2=30, b3=40 kg/ha). Los resultados obtenidos en TM/ha se presentan a continuación:

72

Realice el análisis de los efectos y el análisis de varianza para este caso.¿A qué conclusiones se puede llegar?


GRACIAS

SEMANA 773

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Design

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