Diseño de factoriales

7/23/2019 Diseño de factoriales

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Instituto Tecnológico de Biol. Raúl Jiménez

CAPÍTULO 4Conceptos básicos en diseños factoriales

4.1. Diseños factoriales con dos factores4.2. Diseños factoriales con tres factores4.3. Diseño factorial eneral4.4. !odelos de efectos aleatorios4.". Uso de #n soft$are estad%stico



Diseños factoriales !

Competencias

&'plicar c#ando #n diseño de e'peri(entos es #n diseño factorial) describiendo losconceptos básicos *#e estos in+ol#cran , (ostrado c-(o se ace tal e'peri(entaci-n.

Desarrollar los diseños factoriales de dos , tres factores. Conocer el diseño factorialeneral , diferenciar los (odelos de efectos fi/os con los (odelos de efectos aleatorios.0nterpretar correcta(ente los análisis ráficos , el análisis de +ariana en los diseñosfactoriales.

Conceptos básicos en diseños factoriales

&s frec#ente *#e en (#cos procesos e'istan +arios factores de los *#e es necesarioin+estiar de (anera si(#ltánea s# infl#encia sobre #na o +arias +ariables de resp#esta)donde cada factor tiene la (is(a i(portancia a priori desde el (o(ento *#e se decideest#diarlo) , es poco /#stificable s#poner de ante(ano *#e los factores no interactan

entre s%. Los diseños e'peri(entales *#e per(iten est#diar de (anera si(#ltánea elefecto de +arios factores son los lla(ados diseños factoriales.

&l ob/eti+o de #n diseño factorial es est#diar el efecto de +arios factores sobre#na o +arias resp#estas o caracter%sticas de calidad , deter(inar #na co(binaci-n deni+eles de los factores en la c#al el dese(peño del proceso sea (e/or *#e en lascondiciones de operaci-n act#ales es decir) encontrar n#e+as condiciones de operaci-ndel proceso *#e eli(inen o dis(in#,an ciertos proble(a de calidad en la +ariable desalida.

Los factores p#eden ser de tipo c#alitati+o (á*#inas) tipos de (aterial)

operador) la presencia o a#sencia de #na operaci-n pre+ia) etc.5) o de tipo c#antitati+ote(perat#ra) #(edad) +elocidad) presi-n) etc.5. Para poder est#diar la (anera en *#eincl#,e cada factor sobre la +ariable resp#esta) es necesario eleir al (enos dos ni+elesde pr#eba para cada #no de ellos tres (á*#inas) dos operadores) tres +elocidades) doste(perat#ras) etc.5. Con el diseño factorial co(pleta se corren aleatoria(ente en el

proceso todas las posibles co(binaciones *#e p#eden for(arse con los ni+elesseleccionados.

Un diseño de e'peri(entos factorial o arrelo factorial es el con/#nto de p#ntose'peri(entales o trata(ientos *#e p#eden for(arse considerando todas las posiblesco(binaciones de los ni+eles de los factores. Por e/e(plo) con 6 7 2 factores) a(boscon dos ni+eles de pr#eba) se for(a el diseño factorial ) *#e consiste dec#atro co(binaciones o p#ntos e'peri(entales.

Considerando otra +e 6 7 2 factores) pero aora #no con tres ni+eles , el otrocon dos ni+eles) se p#eden constr#ir 3 ' 2 co(binaciones *#e dan l#ar al diseñofactorial 3 ' 2. Obser+e *#e en el no(bre del diseño factorial +a i(pl%cita el n(ero detrata(ientos *#e lo co(ponen. Para obtener el n(ero de corridas e'peri(entales se(#ltiplica el n(ero de trata(ientos por el n(ero de r8plicas) donde #na r8plica selle+a a cabo cada +e *#e se repite el arrelo co(pleto.

!ás en eneral) la fa(ilia de diseños factoriales consiste de 6 factores) todoscon dos ni+eles de pr#eba , la fa(ilia de diseños factoriales consiste de 6 factores



#$%&T'() Diseños

Instituto Tecnológico de Biol. Raúl Jiménez

cada #no con tres ni+eles de pr#eba. &s claro *#e si los 6 factores no tienen la (is(acantidad de ni+eles) entonces no se p#ede factoriar de esta for(a) , debe escribirse el

prod#cto de (anera (ás e'pl%cita9 por e/e(plo con 6 7 3 factores) el pri(ero con c#atroni+eles , los dos restantes con dos ni+eles) se tiene el diseño factorial ) *#e consiste de 1: co(binaciones de ni+eles diferentes.

4.1. Diseños factoriales con dos factores

&l e'peri(ento factorial (ás sencillo es en el *#e inter+ienen sola(ente dos factores) por e/e(plo) A , ;. <a, ni+eles del factor A , ni+eles del factor ;. &l e'peri(ento tieneréplicas , cada r8plica contiene todas las co(binaciones de trata(ientos .

Considere los factores A , ; con , 5 ni+eles de pr#eba)respecti+a(ente. Con ellos se p#ede constr#ir el arrelo o diseño factorial ) *#econsiste de trata(ientos. =e lla(a r8plica cada repetici-n co(pleta del arrelofactorial. Los diseños factoriales *#e in+ol#cran (enos de c#atro factores se correnreplicados para poder tener la potencia necesaria en las pr#ebas estad%sticas sobre losefecto de inter8s) de tal for(a *#e si se acen r8plicas) el n(ero total de corridase'peri(entales es 5.

Efecto principal y efecto de interacción

&l efecto de #n factor se define co(o el ca(bio obser+ado en la +ariable de resp#estadebido a #n ca(bio de ni+el de tal factor. &n partic#lar) los efectos principales son losca(bios en la (edia de la +ariable de resp#esta *#e se deben a la acci-n indi+id#al decada factor. &n t8r(inos (ate(áticos) el efecto principal de #n factor con dos ni+eles esla diferencia entre la resp#esta (edia obser+ada c#ando tal factor est#+o en s# pri(er

ni+el) , la resp#esta (edia obser+ada c#ando el factor est#+o en s# se#ndo ni+el.&/e(ploDiseño factorial . =#pona *#e en #n proceso de fer(entaci-n te*#ilera) se tienendos factores A9 tipo de levadura , ;: temperatura) cada #no con dos ni+eles denotados

por respecti+a(ente. Laresp#esta de inter8s es el rendi(iento del proceso de fer(entaci-n. &n la tabla 4.1 se(#estran los c#atro trata(ientos o p#ntos del diseño factorial ) , entre par8ntesis se aindicado cada ni+el con los c-dios 1) >15. &n el e'peri(ento oriinal cadatrata(iento se corri- tres +eces tres r8plicas5) lo c#al da #n total de 12 corridas del

proceso pero) por si(plicidad) en la lti(a col#(na de la tabla 4.1 s-lo se anotaron losres#ltados de la pri(era r8plica.

Tabla 4.1 Diseño factorialA9 Le+ad#ra ;9 Te(perat#ra ?9 @endi(iento 2

41:34"

Para los datos de la tabla 4.1) los efectos principales están dados por



&fecto A 7

&fecto ; 7

por lo *#e en t8r(inos absol#tos el efecto principal de ; es (a,or. Por otra parte) sedice *#e dos factores interactan entre s% o tienen #n efecto de interacción sobre la+ariable de resp#esta) c#ando el efecto de #n factor depende del ni+el en *#e seenc#entra el otro. Por e/e(plo) los factores A , ; interactan si el efecto de A es (#,diferente en cada ni+el de ;) o +ice+ersa. Aora +ea(os esto con los datos de la tabla4.19 el efecto de A c#ando ; es ba/a está deter(inado por

&fecto A con ; ba/o5 7 41 > 2 7 13

, c#ando la te(perat#ra es alta) el efecto de A es

&fecto A con ; alta5 7 4" > :3 7 13

Co(o estos dos efectos de A en f#nci-n del ni+el de ; son (#, diferentes)entonces es e+idencia de *#e la elecci-n (ás con+eniente del ni+el de A depende delni+el en *#e est8 ;) , +ice+ersa. &s decir) eso es e+idencia de *#e los factores de A , ;interactan sobre ?. &n la práctica) el cálc#lo del efecto A en cada ni+el de ; no seace) , (ás bien se calc#la el efecto lobal de la interacci-n de los dos factores) *#e sedenotan por A; , se calc#lan co(o la diferencia entre la resp#esta (edia c#ando a(bosfactores se enc#entran en el ( is(o ni+el9 >1) >15 1) 15) , la resp#esta (edia c#ando

los factores se enc#entran en ni+eles op#estos9 >1) 15 1) >15. Para el e/e(plo) el efectode interacci-n levadura x temperatura está dado por

Los +alores absol#tos sin i(portar el sino5 de los efectos principales , delefecto de interacci-n son #na (edida de i(portancia de s# efecto sobre la +ariable deresp#esta. =in e(baro) co(o se tienen esti(aciones (#estrales) para saber si losefectos son estad%stica(ente sinificati+os diferentes de coro5 se re*#iere el análisis de+ariana ABOA5.

Modelo estadístico

Con #n diseño factorial se p#eden est#diar los dos efectos indi+id#ales , el efectode interacci-n de a(bos factores. &n t8r(inos estad%sticos) lo *#e se afir(a es *#e elco(porta(iento de la resp#esta ? en el e'peri(ento con 6 r8plicas se podr%a describir (ediante el (odelo de efectos9

donde es la (edia eneral) es el efecto debido al i>8si(o ni+el del factor es elefecto del />8si(o ni+el del factor ;) representa al efecto de interacci-n en la



co(binaci-n es el error aleatorio *#e s#pone si#e #na distrib#ci-n con (ediacero , +ariana constante , son independientes entre s%. Para *#e laesti(aci-n de los pará(etros en este (odelo sea nica) se introd#cen las restricciones9

&s decir) los efectos dados en el (odelo son des+iaciones respecto de la (edialobal. P#ede #sarse el análisis de +ariana para probar ip-tesis relati+as a los efectos

principales de los factores A , ; , la interacci-n A;.&n este (odelo) las ip-tesis de inter8s para los tres efectos son9

&stas ip-tesis se pr#eban (ediante la t8cnica de análisis de +ariana *#e para#n diseño factorial con r8plicas res#lta de desco(poner la +ariaci-n total co(o)

donde los respecti+os rados de libertad de cada #na de ellas son9

&l factor en los rados de libertad de la s#(a de c#adrados del error 5 señala *#e se necesitan al (enos dos r8plicas del e'peri(ento para calc#lar eseco(ponente ,) por ende) para constr#ir #na tabla de ABOA. @ecorde(os *#e lass#(as de c#adrados di+ididas entre s#s correspondientes rados de libertad se lla(ac#adrados (edios . Al di+idir 8stos entre el c#adrado (edio del error seobtienen estad%sticos de pr#eba con distrib#ci-n . Toda esta infor(aci-n se sintetiaen la si#iente tabla9

ABOA para el diseño factorial =C EL C!

alor>p&fecto A&fecto ;&fecto A;&rrorTotal

=i el +alor>p es (enor al ni+el de sinificancia prefi/ado) se recaa laip-tesis n#la , se concl#,e *#e el correspondiente efecto está acti+o o infl#,e en la

+ariable de resp#esta.



@ecorde(os la notaci-n de p#ntos para representar s#(as , (edias9

Con esta notaci-n la s#(a de c#adrados totales es9

donde B 7 es el total de obser+aciones en el e'peri(ento. Las s#(as de c#adradosde efectos son9

, al final) al restar 8stas del total) se obtiene la s#(a de c#adrados del error co(o9

&/e(ploConsidere(os #n e'peri(ento en el *#e se *#iere est#diar el efecto de los factores A9

prof#ndidad de corte sobre el acabado de #n (etal , ;9 +elocidad de ali(entaci-n.A#n*#e los factores son de nat#ralea contin#a) en este proceso s-lo se p#ede traba/ar en 4 , 3 ni+eles) respecti+a(ente. Por ello) se decide correr #n factorial co(pleto 4 ' 3con tres r8plicas) *#e per(itirá obtener toda la infor(aci-n rele+ante en relaci-n alefecto de esos factores sobre el acabado. Al aleatoriar las 3: pr#ebas se obtienen los

datos de la si#iente tabla9



Datos del e'peri(ento factorial 4 ' 3;9 +elocidad

A 9 P r o f # n d i d a d F)2F F)2" F)3F TotalF)1" G4

:4 1H:F

H2: 2::

HHH 2HH1F2

G:3

F)1 GH: 22FG3

H1F4 2HF

1F4HH 2HH"

F

F)21 2 2:2H2

HH1F 3F2H"

1F11F 31GHH

1

F)24 HH1F4 2HHH:

1F411F 313HH

114111 3321FG

H44

Total HGH 1 1G1 1 24:

&l acabado 5 está en #nidades de ra(os e interesa (ini(iar s# +alor

De ac#erdo a esto para obtener el ABOA para el e/e(plo) calc#le(os lostotales necesarios. De donde9

La s#(a de c#adrados totales , la s#(a de c#adrados del error están dadas por

Con esta infor(aci-n se constr#,e el análisis de +ariana de la tabla 4.2. DelABOA se concl#,e *#e los tres efectos A9 +elocidad) ;9 prof#ndidad , A; estánacti+os o infl#,en en el acabado. Dado *#e el efecto de interaci-n A; res#ltasinificati+o) práctica(ente toda la infor(aci-n rele+ante del e'peri(ento se aprecia ens# representaci-n ráfica fi#ra 4.15. B-tese *#e aparecen tantas l%neas co(o ni+elestena el factor *#e se dib#/a en la parte de arriba) *#e en este caso es la prof#ndidadcon s#s c#atro ni+eles *#e se denotan con la escala de >1 a 1. La sinificancia de lainteracci-n detectada por el ABOA se obser+a en el eco de *#e las l%neas en lafi#ra ".1 tienen pendientes relati+a(ente diferentes. Co(o lo *#e interesa es

(ini(iar la +ariable de resp#esta) se obser+a *#e a (a,or +elocidad , prof#ndidad a,#na tendencia a obtener peores acabados. Ade(ás se +e *#e c#ando se tiene +elocidad



alta 5 el efecto de prof#ndidad es (enor +8ase la dispersi-n de las l%neas en lafi#ra c#ando la +elocidad es alta5. Por lo tanto) las condiciones de operaci-n otrata(iento *#e con+ienen es prof#ndidad , +elocidad ba/as 5.

&l ABOA de la tabla ".2 se dice *#e no está deslosado) ,a *#e c#ando en #n

e'peri(ento a, factores c#antitati+os con (ás de dos ni+eles) el ABOA se p#ededeslosar para est#diar con (a,or detalle en el efecto de tal factor.

Tabla ".2 ABOA para el e/e(plo =C EL C!

alor>p;9 +elocidadA9 prof#ndidadA;&rror Total

3 1:F."2 12")1F""G)FG:H)33: "32)F

23:243"

1 "F)2"GF)3GH2)42)G2

"")F224)::3)23

F)FFFFF)FFFFF)F1F

&l plantea(iento de ip-tesis *#edar%a de la si#iente (anera9

Con s# ni+el de sinificancia co(o con s#s rados de libertad respecti+a(entetene(os *#e el +alor de cr%tica es9 ,

=e concl#,e *#e

=e recaa

=e recaa

=e acepta

Resultado arrojado en Minitab para el ejemplo anterior

Factores: 2 Réplicas: 3

Corridas base: 12 Total de corridas: 36

Bloques base: 1 Total de bloques: 1

Número de niveles: ! 3

Modelo lineal general: RESPUESTA vs. PRFUNDDAD! "E#$%DAD

Factor Tipo Niveles "alores

#RF$N%&%'% ' (i)o *+1,! *+1-! *+21! *+2

"./0C&%'% B (i)o 3 *+2*! *+2,! *+3*

'nlisis de variana para R.#$.T'4 utiliando C a)ustada para pruebas

Fuente 5/ C sec+ C a)ust+ C a)ust+ F #

#RF$N%&%'% ' 3 212,411 212,411 7*-437 2466 *4***

"./0C&%'% B 2 316*4,* 316*4,* 1,-*42, ,,4*2 *4***

#RF+8"./+ 'B6

,,74*6 ,,74*6 924- 3423 *4*1-.rror 2 6-9433 6-9433 2-472

Total 3, 6,324**



#om*aración de +

Comparación de medias

Las co(paraciones de (edias se introd#/eron en la secci-n IIDiseño co(pleta(ente alaar , ABOAII del cap%t#lo 2) para desp#8s de #n ABOA en el *#e se recaa )in+estiar c#áles (edias ca#sa las diferencias detectadas. &l ABOA s-lo indica *#e al

(enos #n par de ni+eles del factor sinificati+o son diferentes entre s%) pero no dicec#áles son. Por facilidad) denote(os los c#atro ni+eles de la prof#ndidad A5 dele/e(plo anterior co(o as% co(o los tres ni+eles de la +elocidad ;5co(o &ntonces es) los seis pares de ip-tesis para co(parar las (edias delfactor A son9

(ientras *#e para el factor ; se tienen los tres pares de ip-tesis)

Para probar estas ip-tesis con el (8todo L=D abr%a *#e calc#lar lasdiferencias (#estrales en el +alor absol#to , co(pararlas con la diferencia (%ni(asinificati+a. Cabe aclarar *#e este análisis es enañoso c#ando el efecto de interacci-nes sinificati+o. Por ello) , s-lo por il#strar el (8todo) se pr#eban las ip-tesis delfactor A inorando por el (o(ento la interacci-n. La diferencia (%ni(a sinificati+a

para co(parar los ni+eles del factor A) está dada por9

Donde es el p#nto porcent#al 1FF de la distrib#ci-n T de=t#dent) los rados de libertad del c#adrado (edio del error) , son eltotal de obser+aciones en los ni+eles del factor A) *#e están co(parando. De esta(anera) en el e/e(plo) co(o es #n diseño balanceado 7 7 H entonces)



De los totales (arinales dados en el renl-n inferior de la tabla donde serepresentan los datos del e'peri(ento factorial 4 ' 3) se obtienen las (edias del factor A) al di+idir entre H) *#e son el n(ero de (ediciones in+ol#cradas en cada total. As%)las seis posibles diferencias (#estrales en +alor absol#to res#ltan ser9

donde s-lo la pri(er diferencia res#lta no sinificati+a) es decir) se acepta en ca(bio) en las cinco co(paraciones restantes se recaa .

&/ercicios

1.> La pint#ra tapaporo de a+iones se aplica en s#perficies de al#(inio #tiliando dos(8todos9 por in(ersi-n , por aspersi-n. &l ob/eto de la pint#ra tapaporo es (e/orar laaderencia de la pint#ra) , en al#nas partes p#ede aplicarse #tiliando c#al*#iera de losdos (8todos. Al r#po de inenieros responsable del proceso de esta operaci-n leinteresa saber si tres pint#ras tapaporo diferentes difieren en s#s propiedades de

aderencia. =e reali- #n e'peri(ento factorial para in+estiar el efecto *#e tiene el tipode pint#ra tapaporo , el (8todo de aplicaci-n sobre la aderencia de la pint#ra. =e pintaron tres e/e(plares de pr#eba con cada pint#ra #tiliando cada #no de los (8todosde aplicaci-n) se aplico la pint#ra final) , se (idi- la f#era de aderencia. Probe(os laip-tesis apropiada , sa*#e(os concl#siones

Tipo detapaporo

0n(ersi-n Aspersi-n

123

4.F) 4)" 4.3 12.".:) 4.H) ".4 1".H3.) 3.G) 4.F 11."

".4) 4.H) ".: 1".H".) :.1) :.3 1.2".") ".F) ".F 1"."

2.G34.12G.F

4F.2 4H.: H. 7

Resultado en MinitabDise&o 'a(torial de m)ltiples niveles


Corridas base: 6 Total de corridas: 1-


Número de niveles: 3! 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Tapaporo! Ad*eren(ia


Tapaporo (i)o 3 1! 2! 3



+ #$%&T'() Diseños

'derencia (i)o 2 &nmersi;n! 'spersi;n

'nlisis de variana para Respuesta4 utiliando C a)ustada para pruebas


Tapaporo 2 4,-11 4,-11 2429*6 274-6 *4***

'derencia 1 49*-9 49*-9 49*-9 ,947* *4***

Tapaporo8'derencia 2 *4211 *4211 *412*6 147 *4269.rror 12 *49-67 *49-67 *4*-22

Total 17 1*4717-

< *42-67 R=cuad+ < 9*479> R=cuad+?a)ustado@ < -6496>

Dado *#e #tilia(os #n 7 F.F" , p#esto *#e el +alor de tanto para el factor A tipo de pint#ra5 co(o para el factor ;tipo de aplicaci-n5) con s# ni+el desinificancia co(o con s#s rados de libertad respecti+a(ente tene(os , . =e concl#,e *#e los efectos principales del tipo de pint#ratapaporo , del (8todo de aplicaci-n afectan la f#era de aderencia. Ade(ás) p#esto*#e 1)" ) no a, indicios de interacci-n entre estos factores. &n la

lti(a col#(na del ABOA se (#estra el +alor P para cada cociente . Obs8r+ese *#elos +alores P de los dos estad%sticos de pr#eba para los efectos principales sonconsiderable(ente (enores *#e F)F" (ientras *#e el +alor P para el estad%stico de

pr#eba de la interacci-n es (a,or *#e F)F".

=e recaa

=e recaa

=e acepta

2.> =e presentan los res#ltados de #n e'peri(ento en el *#e inter+iene #na bater%a deal(acena(iento #sada en el (ecanis(o de lana(iento de #n (isil tierra>aire paracarar al o(bro. P#eden #sarse tres tipos de (ateriales para acer las placas de la

bater%a. &l ob/eti+o es diseñar #na bater%a *#e se (antena relati+a(ente sinalteraciones por la te(perat#ra a(biente. La resp#esta de salida de la bater%a es la +idaefecti+a en oras. =e seleccionan tres ni+eles de te(perat#ra , se corre #n e'peri(ento

factorial con c#atro replicas. Los datos son los si#ientes9

!aterial Te(perat#ra ;a/a !edia Alta

1 13FG4

1""1F

34F

4FG"

2F2

GF"

2 1"F1"H

112:

13:1F:

12211"

2""

GF4"

3 131:

11F1:F

1G41"F

12F13H

H:2

1F4:F

a5 Pr#ebe las ip-tesis apropiadas , sa*#e concl#siones #tiliando el análisis de



b5 +ariana con 7 F.F"c5 Analice ráfica(ente la interacci-nd5 Analice los resid#ales de este e'peri(ento

3.> &n #n art%c#lo se describe #n e'peri(ento para in+estiar el efecto de dos factores

tipo de cristal , tipo de f-sforo5 sobre la brillante de #n cinescopio. La +ariable deresp#esta (edia es la corriente en (icroa(peres5 necesaria para obtener #n ni+elespecifico de brillante. Los datos se presentan en la si#iente tabla9

Tipo decristal

Tipo de f-sforo1 2 3

1 2F2HF2"

3FF31F2H"

2HF2"2HF

2 23F23"24F

2:F24F23"

22F22"23F

a5 &n#ncie las ip-tesis de inter8s en este e'peri(ento b5 Pr#ebe las ip-tesis anteriores , sa*#e concl#siones #tiliando análisis de

+ariana con 7 F.F"c5 Analice los resid#ales de este e'peri(ento

4.> =e cond#/o #n e'peri(ento para deter(inar si la te(perat#ra del f#eo o la posici-nen el orno afectan la densidad de end#reci(iento de #n ánodo de carbono. Los datosson los si#ientes9

Posici-n Te(perat#ra 5FF 2" "F

1 "GF":""3

1 F:31 FF1 F43

":""1F"HF

2 "2"4G"21

H1 F2:1 FF4

"2:"3"32

a5 &n#ncie las ip-tesis de inter8s

b5 Pr#ebe las ip-tesis anteriores #tiliando el análisis de +ariana con 7 F.F".JA *#8 concl#siones se lleaK

c5 Utiliando el (8todo de la L=D de iser) in+estiar las diferencias entre la(edia de la densidad del end#reci(iento de los ánodos en los tres diferentesni+eles de te(perat#ra

4.2. Diseños factoriales con tres factores

C#ando se *#iere in+estiar la infl#encia de tres factores A) ; , C5 sobre #na o (ás+ariables de resp#esta) , el n(ero de ni+eles de pr#eba en cada #no de los factores esa) b , c) respecti+a(ente) se p#ede constr#ir el arrelo factorial ) *#e consistede trata(ientos o p#ntos e'peri(entales. &ntre los arrelos de este tipo *#e se#tilian con frec#encia en aplicaciones di+ersas se enc#entran9 el factorial ) el



factorial , los factoriales (i'tos con no (ás de c#atro ni+eles en dos de los factores) por e/e(plo) el factorial 4 ' 3 ' 2 , el factorial 4 ' 4 ' 2) por (encionar dos de ellos.

Hipótesis de interés

&l est#dio factorial de tres factores A) ; , C5 per(ite in+estiar los efectos9 A) ;) C)

A;) AC) ;C , A;C) donde el ni+el de deslose o detalle con el *#e p#eden est#diarsedepende del n(ero de ni+eles #tiliando en cada factor. Por e/e(plo) si #n factor se

pr#eba en dos ni+eles) todo s# efecto (arinal indi+id#al5 es lineal) o sea *#e s# efectoindi+id#al no se p#ede desco(poner pero) si t#+iera tres ni+eles s# efecto (arinal se

p#ede desco(poner en #na parte lineal , otra c#adrática p#ra.

&n res#(en) se tienen siete efectos de inter8s sin considerar deslose) , con ellosse p#eden plantar las siete ip-tesis n#las

cada #na apare/ada con s# correspondiente ip-tesis alternati+a. &l ABOA para probarestas ip-tesis se (#estran en la si#iente tabla.

ABOA para el diseño a ' b ' c

=C EL C!

alor>p&fecto A&fecto ;&fecto C&fecto A;&fecto AC&fecto ;C&fecto A;C&rror Total

Al efecto c#,o +alor>p sea (enor al +alor especificado para alfa) se declaraestad%stica(ente sinificati+o o se dice *#e está acti+o. Las s#(as de c#adrados son(#, si(ilares a las obtenidas para dos factores abrá *#e considerar #n s#b%ndiceadicional para el tercer factor) , co(enando otra +ea) por la s#(a total de c#adrados)8stas res#ltan ser9

donde B 7 es el total de obser+aciones en el e'peri(ento. Las s#(as de c#adrados



Diseños factoriales con tres +

de efectos son9

Al restar 8stas del total) la s#(a de c#adrados del error res#lta ser

c#,os respecti+os rados de libertad se dan en la tabla anterior. Una +e eco elABOA) se procede a interpretar los efectos acti+os) , l#eo a#n*#e nonecesaria(ente desp#8s5 a dianosticar la calidad del (odelo.

&/e(plo&l e'peri(ento. =e desea in+estiar el efecto del tipo de s#spensi-n A5) abert#ra de(alla ;5 , te(perat#ra de cicla/e C5 en el +ol#(en de sedi(entaci-n ?5 de #nas#spensi-n. Para ello se decide correr #n e'peri(ento factorial 3 ' 2 ' 2 con seisr8plicas) , las obser+aciones obtenidas en las G2 corridas e'peri(entales se (#estran enla si#iente tabla9

:F) G") G":) GF) GF

:G) G3) G3:G) :) :

:2) :) :"G:) :") :"

G1) F) FG2) F) F

G:) G1) G"GF) :) G3

G") G") G"G") G") GG

"") "3) "3"") "") ""

"2) "2) "G"2) "4) "4

44) 44) 4"4) 4) 4"

:F) :F) :F:G) :G) :"

"2) "1) "F"2) 4) "4

":) "") "G"H) "F) ""

Los ni+eles de pr#eba para cada factor) tanto en #nidades oriinales co(o en#nidades codificadas) se (#estran en la si#iente tabla



actor U. oriinales U. codificadas;a/o !edio Alto ;a/o !edio Alto

A9 Tipo de s#spensi-n;9 Abert#ra de (alla

C9 Te(perat#ra

4F

F

>

>

:F

3F

>1>1

>1

F>

>

11

1

&l análisis de +ariana para este e/e(plo se (#estra en la si#iente tabla. Dea*#% se concl#,e *#e no infl#,en los efectos A;C) AC ni A) dado *#e s# +alor>p es(a,or *#e . Por otra parte) se enc#entran acti+os los efectos ;) C) A; , en(enor (edida ;C. Mstos son los c#atro efectos *#e se deben interpretar. Los efectos*#e no infl#,eron se p#eden eli(inar (andándolos al t8r(ino error. &l ABOAsi(plificado) pero con el efecto A note *#e el en a(bos ABOA= es

práctica(ente i#al. &n eneral se reco(ienda interpretar s-lo los efectos sinificati+os.

Dise&o 'a(torial de m)ltiples niveles


Corridas base: 12 Total de corridas: 72


Número de niveles: 3! 2! 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Suspensi+n! Abertura de malla! ...


uspensi;n (i)o 3 '1! '2! '3

'bertura de malla (i)o 2 B1! B2

temperatura (i)o 2 C1! C2

'nlisis de variana para Respuesta4 utiliando C a)ustada para pruebas


uspensi;n 2 134-6 134-6 6493 *49 *4613

'bertura de malla 1 -*4,* -*4,* -*4,* 342, *4***

temperatura 1 6*-6472 6*-6472 6*-6472 3349* *4***

uspensi;n8'bertura de malla 2 7--42, 7--42, 39413 2-41* *4***

uspensi;n8temperatura 2 *4-6 *4-6 2*43 146 *421

'bertura de malla8temperatura 1 ,64-9 ,64-9 ,64-9 4*6 *4*9

uspensi;n8'bertura de malla8 2 314*3 314*3 1,4,1 1411 *433-

temperatura

.rror 6* -1467 -1467 14*3

Total 71 -33947-

< 347,37 R=cuad+ < -9491> R=cuad+?a)ustado@ < --4*6>

0bservaciones inusuales de Respuesta

Residuo

0bs Respuesta ')uste ')uste . Residuo estndar

23 6*4**** 7246667 14,29* =1246667 =347* R

36 764**** 664-333 14,29* 941667 246- R

,2 -64**** 7246667 14,29* 1343333 349* R

R denota una observaci;n con un residuo estandariado Arande+



Dado *#e #tilia(os #n 7 F.F" , p#esto *#e el +alor de ) con s# ni+el desinificancia co(o con s#s rados de libertad en tablas respecti+a(ente tene(os , .

=e acepta

=e recaa

=e recaa

) =e recaa =e acepta ) =e recaa

&/ercicios1.> =e in+estian el porcenta/e de la concentraci-n de (adera d#ra en la p#lpa cr#da) lalibertad de orientaci-n de la fibra o lof) , el tie(po de cocci-n de la p#lpa en c#anto as#s efectos sobre la resistencia del papel. &n la si#iente tabla se (#estran los datos de#n e'peri(ento factorial con tres factores.

Porcenta/e de la 1." oras de tie(po de cocci-n 2.F oras de tie(po de cocci-nConcentraci-n de lof lof !adera d#ra 3"F "FF :"F 3"F "FF :"F

1F H:.: HG.H HH.4 H.4 HH.: 1FFF.:H:.F H:.F HH. H.: 1FF.4 1FF.H

1" H." H:.F H.4 HG." H.G HH.FHG.2 H:.H HG.: H.1 H:.F HH.F

2F HG." H".: HG.4 HG.: HG.F H."H:.: H:.2 H.1 H.4 HG. HH.

a Analice los datos #sando el análisis de +ariana ba/o el s#p#esto de *#e todoslos factores son fi/os. Use

b5 &nc#entre los +alores de P de los cocientes del inciso a

2.> &l departa(ento de control de calidad de #na planta de acabados te'tiles est#dia losefectos de +arios factores sobre el teñido de #na tela co(binada de alod-n , fibrasint8tica *#e se #sa para acer ca(isas. =e seleccionan tres operadores) tres d#racionesdel ciclo , dos te(perat#ras) , tres e/e(plares de pr#eba pe*#eños de tela se tiñeron

ba/o cada con/#nto de condiciones. La tela ter(inada se co(par- con #n patr-n , seasino #na p#nt#aci-n n#(8rica. Los res#ltados se presentan en la tabla si#iente

Te(perat#ra3FF 3"F

Operador OperadorD#raci-n del ciclo 1 2 3 1 2 3

4F 23 2G 31 24 3 3424 2 32 23 3: 3:2" 2: 2 2 3" 3H

"F 3: 34 33 3G 34 343" 3 34 3H 3 3:3: 3H 3" 3" 3: 31

:F 2 3" 2: 2: 3: 224 3" 2G 2H 3G 2:

2G 34 2" 2" 34 34



a5 &n#ncie , pr#ebe las ip-tesis apropiadas #sando el análisis de +ariana con

3.> Un ineniero (ecánico est#dia la r#osidad s#perficial de #na piea prod#cida en#na operaci-n de corte de (etal. =on de inter8s tres factores9 la rapide de ali(entaci-n

A5) la prof#ndidad del corte ;5 , el án#lo de la erra(ienta C5. A los tres factores seles a asinado dos ni+eles) , se corren dos r8plicas de #n diseño factorial

@apide deali(entaci-n

Prof#ndidad del corteF.F2" p#lada F.F4 p#lada

Nn#lo de la erra(ienta1" 2" 1" 2"

3F p#l(in HG

111F

H11

1F

3F p#l(in 1F12

1F13

121"

1:14

a Analice los datos #sando el análisis de +ariana ba/o el s#p#esto de *#e todoslos factores son fi/os. Use

b5 &nc#entre los +alores de P de los cocientes del inciso a

4.3. Diseño factorial general

Lo *#e se a dico para los dos diseños factoriales con 2 , 3 factores p#ede e'tendersefácil(ente para c#ando se tienen (ás factores. Considerarse factores A) ;) C)) Q con ni+eles respecti+a(ente) donde la letra Q denota al >8si(o o lti(ofactor del con/#nto a est#diar) no necesaria(ente el #nd8ci(o) *#e es el l#ar de estaletra en el alfabeto. Con estos ni+eles , factores se p#ede constr#ir el diseño factorialeneral *#e consiste de trata(ientos o p#ntos de pr#eba.Con este diseño se p#eden est#diar efectos principales) interaccionesdobles) interacciones triples) , as% s#cesi+a(ente asta lanica interacci-n de los factores A;CQ5. &l cálc#lo del n(ero de interaccionesde cierta cantidad de factores se ace (ediante la operaci-n Rco(binaciones de en

*#e c#enta el n(ero de diferentes (aneras de seleccionarR

factores de los ) donde 7

Por e/e(plo) el diseño factorial tiene cinco efectos principales) 1Finteracciones dobles) 1F interacciones triples) cinco interacciones c#ádr#ples , #nainteracci-n *#%nt#ple) lo c#al da #n total de 31 efectos. Por s# parte) el factorialta(bi8n tiene este (is(o n(ero de efectos) pero al contar con tres ni+eles en cadafactor) cada efecto principal se p#ede desco(poner en s# parte lineal , c#adrática. Cabedestacar *#e (ientras el diseño factorial tiene 32 trata(ientos) el factorial tiene243) #na cantidad de trata(ientos dif%cil de (ane/ar. A#n si p#diera correrse) representa#na opci-n (#, inefica ade(ás) e'isten arrelos e'peri(entales (ás pe*#eños ,eficientes.



Diseño factorial +

De ac#erdo con lo antes dico) en el factorial eneral se p#eden plantear ip-tesis *#e se pr#eban (ediante el análisis de +ariana. =i se tienenr8plicas. Las pri(eras tres col#(nas de este ABOA se (#estran en la si#iente tabla

ABOA para el diseño factorial eneral

=C EL

&rror Total

La s#(a de c#adrados totales está dada por9

donde B 7 es el total de obser+aciones en el e'peri(ento. Las s#(as de

c#adrados de efectos son9



Al final) la s#(a de c#adrados del error se calc#la por s#stracci-n)

&n el ABOA para el factorial eneral se obser+a la necesidad de contar con al (enos dos r8plicas del e'peri(ento para calc#lar la s#(a de c#adrados del error 5) , co(pletar toda la tabla ABOA. =in e(baro) esta necesidad de r8plicas )*#e se a (encionado). &s para el caso irreal de *#e interesan los efectos. Perores#lta *#e) con e'cepci-n del factorial ) en #n factorial co(pleto práctica(ente n#nca

interesan todos s#s posibles efectos) p#esto *#e en t8r(inos enerales s-lo al#nos deellos están acti+os. El principio de ftareto) *#e en este conte'to ta(bi8n se lla(a principio de esparcidad de efectos) dice *#e la (a,or%a de la +ariabilidad obser+ada sedebe a #nos pocos de los efectos posibles por lo co(n se debe a al#nos efectos

principales e interacciones dobles.

4.4. Modelos de efectos aleatorios

<asta a*#% los (odelos de efectos *#e se an #tiliado son (odelos de efectos o

factores fi/os) lo c#al sinifica *#e todos los ni+eles de pr#eba en cada factor son todoslos disponibles para ese factor) o bien) se est#dian todos los ni+eles de inter8s en esefactor es en este sentido *#e los ni+eles están fi/os. Mste es el caso) por e/e(plo) c#andoen el factor operador se to(an los tres nicos operadores co(o los ni+eles de pr#eba) oc#ando los ni+eles del factor (á*#inas son las c#atro (á*#inas e'istentes. O bien)c#ando se co(paran tres tipos de (aterial por*#e son los *#e interesa co(prar a#n*#ee'istan otros (ateriales de ese tipo. Con factores fi/os) las concl#siones obtenidas s-loson +alidas para los ni+eles de pr#eba *#e se est#dian en el e'peri(ento.

&n ocasiones) los ni+eles de pr#eba son #na (#estra aleatoria de la poblaci-n deni+eles posibles. &n este caso es (ás apropiado #tiliar #n (odelo de efectos o factoresaleatorios. Un e/e(plo de esta sit#aci-n es c#ando se pr#eban cinco instr#(entos de(edici-n) pero la poblaci-n de los (is(os es de 1FF instr#(entos ob+ia(ente) no es

posible e'peri(entar con todos los e*#ipos. &ntonces se e'peri(enta s-lo con cinco deellos eleidos al aar) , las concl#siones obtenidas se infieren co(o +álidas para la

poblaci-n entera de instr#(entos.

La aplicaci-n de #n (odelo de efectos aleatorios conlle+a la necesidad deconsiderar la incertid#(bre asociada con la elecci-n aleatoria de los ni+eles de pr#eba.&s decir) ,a no tiene sentido) para #n factor A) preoc#parse por el efecto del ni+el



0odelo de efectos !

co(o en efectos fi/os. Lo *#e aora con efectos aleatorios5 tiene sentido es ablar de la+ariana con la *#e el factor aleatorio contrib#,e a la +ariaci-n total es decir) es precisoesti(ar dica +ariana , probar si s# contrib#ci-n a la +ariabilidad total es sinificati+a.

El caso de dos factores aleatorios.=i se consideran dos factores aleatorios A , ;) de los c#ales se pr#eban ni+eleseleidos de #na poblaci-n rande de ni+eles) entonces si los trata(ientos sereplican +eces) el (odelo de efectos aleatorios es

donde es la (edia eneral) es el efecto debido al ni+el del factor A)es el efecto del ni+el del factor ;) representa al efecto de interacci-nen la co(binaci-n , es el error aleatorio *#e se s#pone si#e #na distrib#ci-n

nor(al con (edia cero , +ariana constante) , son independientes entre s%. &laspecto de este (odelo es i#al al de efectos fi/os) pero el eco de *#e los efectos seanaleatorios i(plica *#e no tiene sentido probar ip-tesis directa(ente sobre tales efectos(edidas5) sino *#e aora el inter8s se enfoca en est#diar la +ariana de dicos efectos.Para ello) se s#pone *#e los t8r(inos son +ariables aleatoriasindependientes nor(ales) con (edia cero , +arianasrespecti+a(ente.

) , )

De esta (anera) si se calc#la la +ariana en a(bos lados del (odelo anterior) seobtiene el (odelo de co(ponentes de +ariana dado por9

S S S

donde ) ) son las contrib#ciones de cada efecto a la +ariaci-n total , se lla(anco(ponentes de +ariana es el co(ponente de +ariana debido al error aleatorio.Las ip-tesis de inter8s son

Los cálc#los necesarios para probar estas ip-tesis in+ol#cran las (is(as s#(asde c#adrados del (odelo de efectos fi/os diseños factoriales con dos factores5) de lasc#ales se obtienen los correspondientes c#adrados (edios. Para obtener los estad%sticosde pr#eba apropiados debe to(arse en c#enta *#e los +alores esperados de losc#adrados (edios son

))



de tal for(a *#e para probar la ip-tesis (encionadas) los estad%sticos de pr#eba

apropiados en el ABOA son

respecti+a(ente. Obser+e *#e en el (odelo de efectos aleatorios los c#adrados (ediosde los efectos principales se co(paran con el c#adrado (edio de la interacci-n) , nocon el c#adrado (edio del error) co(o se ace en el (odelo de efectos fi/os. &n caso derecaar al#na de las ip-tesis sobre las +arianas) se concl#,e *#e el efectocorrespondiente contrib#,e de (anera sinificati+a a la +ariaci-n de la resp#esta. Laconcl#si-n práctica no consiste en deter(inar el (e/or trata(iento) sino *#eeneral(ente se trad#ce en to(ar (edidas para *#e la contrib#ci-n del co(ponente de+ariana se red#ca.

Al resol+er las ec#aciones dadas por los +alores esperados de c#adrados (edios para los co(ponentes de +ariana) se obtienen esti(adores de 8stos en f#nci-n de losc#adrados (edios del error) esto es)

&/e(plo&n #na co(pañ%a dedicada a la fabricaci-n de bo(bas , +ál+#las) al#nos co(ponentescr%ticos tienen tolerancias (#, estrecas *#e son dif%ciles de c#(plir. De a*#% *#e seanecesario esti(ar el error de (edici-n con el fin de +er la posibilidad de red#cirlo parac#(plir con las especificaciones. &l anco de #na piea partic#lar es #na caracter%sticade calidad cr%tica) c#,as especificaciones son :H F)4((. =e elien dos inspectores alaar , siete pieas para correr #n e'peri(ento) a fin de esti(ar la contrib#ci-n de losinspectores) de las pieas , del error aleatorio repetibilidad5 en la +ariabilidad totalobser+ada. &l e'peri(ento #tiliado se (#estra en la si#iente tabla9



B(ero de pieas

0nspector 0nspector 1 2 1 2

123

4":G

:H)3 :H):F3H)G2 :H)F:H)" :H)GF

:H)"F :H)"F:H)4 :H)4F:H)": :H)4F:H)HF GF)F2

:H):2 :H)"2:H)G :H)HF:H)GF :H)H2

:H)4: :H)"F:H)"F :H)42:H): :H):4:H)H4 :H)

B-tese *#e cada inspector (ide dos +eces cada piea. =ean los inspectores elfactor A , las pieas el factor ;) el pri(ero con dos ni+eles , el se#ndo con sieteni+eles) en a(bos casos seleccionados al aar. &l (odelo de co(ponentes de +ariana

prop#esto para describir estos datos es donde es el co(ponente de +ariana de losinspectores) es el co(ponente debido a las pieas) es el co(ponente deinteracci-n de a(bos factores , es el co(ponente aleatorio.

0nteresa probar las ip-tesis9

, esti(ar los co(ponentes de +ariana. &l ABOA para probar estas ip-tesis se(#estran en la si#iente tabla.

=C EL C!

alor>pA9 0nsp.;9 PieaA;&rror Total

F)FFF3:

F)G"1:F)F313F)FHGF)F3

1

::142G

F)FFF3:

F)12"2F)FF"2F)FF:H

F)F:H

24)FGF)G"

F)F43

F)FFFFF):1:H

Las tres pri(eras col#(nas se obtienen i#al *#e el (odelo de efectos fi/os) pero las dos lti(as deben correirse de ac#erdo con el estad%stico de pr#eba apropiado

para #n (odelo de efectos aleatorios , 5. Los +alor>p indican *#e la +ariabilidad de las

pieas es

estad%stica(ente diferente a cero) (ientras *#e la +ariabilidad de los inspectores , de lainteracci-n inspector ' piea no es sinificati+a es i#al a cero5. Desde el p#nto de+ista del ob/eti+o del e'peri(ento) los res#ltados del ABOA son los deseados9 lareprod#cibilidad S 5 es estad%stica(ente i#al a cero) es decir) los inspectores noafectan el proceso de (edici-n. La esti(aci-n de los co(ponentes de +ariana) a partir de los c#adros (edios) *#eda co(o9



De a*#% se concl#,e *#e la reprod#cibilidad S 5 no tienecontrib#ci-n , la repetibilidad e'presada co(o ".1" es i#al a F)42. =i este +alor se

co(para con la tolerancia de F.) se enc#entra *#e oc#pa "3 de 8sta) c#ando lodeseable es *#e este porcenta/e sea (enor al 1F) por lo *#e el instr#(ento esinadec#ado para discri(inar entre pieas b#enas , (alas.

4.". so de !n soft"are estadístico

tili#ando Minitab

1.&l pri(er paso consisten en seleccionar la opci-n Estadísticas del !en Principal de!initab ,) dentro de esa opci-n) seleccionar la opci-n D$E l#eo %actorial , Crear

diseño factorial co(o se presenta en la si#iente i#ra.

2. Co(o consec#encia de la acci-n anterior le debe aparecer la si#iente pantalla&&Crear diseño factorial''. &l paso en esta pantalla será seleccionar en Tipo dediseño la casilla de Diseño factorial completo general l#eo escoer el n(ero defactores considerados en el e'peri(ento en n#estro e/e(plo son dos factores9 A , ;5)

por tanto en la casilla &&()mero de factores'' #sted deberá tener el n(ero 2. L#eo



'so de !

debe opri(ir el bot-n de la opci-n &&Diseños'' para poder escoer s# diseño) n(erode repeticiones , otras opciones.

3.&n la si#iente +entana escribir el no(bre de n#estros factores A , ;) ade(ás de indicar el n#(ero de ni+eles para a(bos 4 , 3 respecti+a(ente5) ta(bi8n indicará *#e

realia(os tres repeticiones por trata(iento) para esto en la casilla &&()mero dereplicas'') #sted deberá tener el +alor de 3. inalice esta pantalla opri(iendo&&*ceptar''. &sto lo de+ol+erá a la pantalla anterior &&Crear diseño factorial''.

4.De +#elta en la pantalla &&Crear diseño factorial''. =eleccionar factores , aparecerá#na si#iente +entana.

&n la casilla &&+ipo'' seleccionar te'to para a(bos factores) &&,alores de ni-el'' )indicar los +alores correspondientes tanto para el factor A as% co(o para el factor ;)l#eo indicar aceptar) lo *#e lo lle+ara n#e+a(ente a la pantalla &&Crear diseño

factorial''.

".De +#elta a la pantalla &&Crear diseño factorial'' opri(a &&*ceptar''. !0B0TA; lecreará la si#iente pantalla. !initab crea las col#(nas de los trata(ientos) lo nico *#e#sted tiene *#e inresar a !0B0TA; es #na col#(nacon la resp#esta del e'peri(ento. Proceda entonces a inresar los datos en la col#(naCG



:.Una +e capt#rados los datos estos datos deberán corresponder al factor A con respecto a

factor ; de ac#erdo a la tabla oriinal5 en s# correspondiente renl-n. &l si#iente pasoes reresar al paso 1.

s-lo *#e esta +e seleccionar%a la sec#encia9 &&Estadísticas'' se#ida de &&D$E''

&&%actorial'' , &&*nali#ar diseño factorial''.



&sta acci-n res#ltará en la pantalla donde s-lo es necesario indicar la col#(na dela +ariable de resp#esta &&/esp!esta'' se#ido de aceptar , !0B0TA; le ofrecerá elres#ltado correspondiente.

Para capt#rar los datos en !initab) de tres factores) es id8ntico al de dosfactores) solo *#e en la +entana correspondiente indicar *#e se trata de tres factores) ,se aplica la (is(a sec#encia.

Diseño de factoriales

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