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EXPERIMENTOS FACTORIALES Y CON MEZCLAS: APLICACIONES INDUSTRIALES

David R. González Barreto

GRUPO M

Etapas del Adiestramiento

Experimentos Factoriales y con Mezclas David R. González Barreto

2

¨  Introducción ¨  Experimentos Factoriales ¨  Experimentos con Mezclas

GRUPO M

Definiciones y principios básicos

¨  Experimento es una prueba o serie de pruebas en la(s) cual(es) ciertas variables de entrada de un proceso son alteradas sistemáticamente con el propósito de identificar su efecto en la(s) variable(s) de salida.

¤  Los experimentos diseñados estadísticamente permiten diseñar pruebas que son eficientes y económicas, el uso de métodos estadísticos a la hora de examinar los datos obtenidos de estas pruebas resultan en conclusiones válidas y objetivas desde la perspectiva científica.

¤  Todos los experimentos se diseñan, algunos se diseñan de forma incorrecta resultando en conclusiones no válidas y/o un mal uso de recursos.

Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto

3

GRUPO M


¨  Factor es cualquier variable cuyo impacto en la respuesta queremos estudiar y que podemos controlar.

¨  Nivel es el número de alternativas o ajustes para cada factor.

¨  Tratamiento o condición experimental es una combinación de factores para obtener una respuesta.


4

GRUPO M


¨  Repetición se refiere al número de ocasiones que una misma condición experimental se efectúa durante la prueba.

¨  En este ejemplo, tendríamos cuatro (4) condiciones experimentales. Si cada una de las condiciones experimentales se repite el mismo número de veces, en este caso sería dos (2) veces como se presenta en la casilla superior izquierda, entonces decimos que el experimento es balanceado. De lo contrario, el experimento es considerado como desbalanceado con ciertas repercusiones que estudiaremos.

Temperatura

Presión X X


5

GRUPO M

Experimentación

Proceso

o

Sistema

•  Variables de Entrada

•  Variables Controlables

•  Factores

Recursos

•  Personal

•  Equipo de Medidas

•  Otros

X y

•  Variables de Salida

•  Variables de Respuesta

En DOE las variables X’s son manipuladas sistemáticamente. Típicamente resulta en una matriz de variables no correlacionadas


6

GRUPO M

Experimentación

y = f ( X ) + ε

Aspiramos a obtener un modelo matemático de la forma:


7

GRUPO M


¨  Aleatoriedad se refiere al orden en que se ejecutan las condiciones experimentales durante el experimento. El objetivo de la aleatoriedad es el de ‘neutralizar’ los efectos de variables ajenas al experimento que puedan intervenir o estar presentes en el mismo.

¨  Bloque es la técnica utilizada con el fin de aumentar la precisión en un experimento. Un bloque es una porción del material experimental que debe ser más homogénea que el conjunto completo del material.


8

GRUPO M

Pasos a seguir en el diseño y análisis de experimentos

1.  Reconocimiento y establecimiento del problema

2.  Selección de factores y los niveles de estos 3.  Selección de la variable respuesta 4.  Determinar el diseño experimental a llevarse a cabo

5.  Llevar a cabo el experimento 6.  Analizar los datos 7.  Conclusiones y recomendaciones 8.  Estudio de confirmación


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GRUPO M

Clasificación de variables controlables (Factores)

Variables Controlables

Cualitativas (e.g Tipo de

Material, Sujeto)

Cuantitativas (e.g Temperatura,

Presión)

Variable de Respuesta

Cualitativas (e.g producto aceptable o defectuoso)

Cuantitativas (e.g Viscosidad,

Tiempo)


10

GRUPO M

Modelos según las variables analizadas

X Cuantitativa Cualitativa

Y

Cuantitativa Diagramas de Dispersión, Regresión

Análisis de Varianza

Cualitativa Regresión Logística

Tablas de contingencia


11

GRUPO M

Modelos según las variables analizadas

¨  Modelo de ANOVA para un factor:

yij = µ + ιi + eij

¨  Modelo de regresión de un factor:

yij = bo + b1 X + eij


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GRUPO M

Análisis de varianza (ANOVA)

¨  ANOVA - este nombre proviene del inglés ‘Analysis of Variance’ y el objetivo fundamental es el de descomponer la variabilidad total en sus distintos componentes.

¨  Considere la siguiente Tabla para un experimento de un solo factor con n repeticiones en cada uno de los a tratamientos :

Tratamientos 1 2 …. a

y11 y21 ya1 y12 y22 ya2 . .

Observaciones

y1n y2n yan totales y1. y2. …. ya.

promedios .1y .2y

.ay


13

GRUPO M

Análisis de varianza (ANOVA)

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )∑∑ −+∑ −=

∑∑ −+−=

+=∑∑ −=

= ==

= =

= =

a

i

n

jiij

a

ii

a

i

n

jiiji

ERROROSTRATAMIENT

a

i

n

jij

yyyynSST

yyyySST

SSSSyySST

1 1

2

.1

2

...

2

1 1....

2

1 1..

Al igual que la suma de cuadrados los grados de libertad se descomponen de forma aditiva como presenta la siguiente relación:

glTOTAL = glTratamientos + glError an – 1 = (a – 1) + (an – a) N – 1 = (a – 1) + (N – a)

libertaddegradosCuadradosdeSumadeVarianzaEstimado

=


14

GRUPO M

Analisis de varianza (ANOVA)

Error

TratC MS

MSF .=1.

. −=aSSMS Trat

Trat

aNSSMS Error

Error −=

N-1 SSTotal Total

N-a SSError Error (dentro)

a-1 SSTratamientos Tratamientos (entre)

Estadística F Promedio de Cuadrados

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados Fuente


15

GRUPO M

ANOVA – Un solo Factor

yij = µ + τi + εij

µ = promedio general

τi = efecto del bloque

εij = error o residual


16

GRUPO M

Presunciones de ANOVA

¨  Para efectuar la prueba de hipótesis que acabamos de describir establecemos las siguientes presunciones: ¤  Los errores son variables aleatorias independientes y están normalmente

distribuidos promedio cero y varianza constante σ2. ¤  La varianza σ2 se presume constante para todos los niveles del factor.

¨  La prueba de hipótesis bajo estas condiciones puede formularse: Ho: ι1 = ι2 = ι3 = …. = ιa = 0 H1: ι1 ≠ 0 para al menos una i i = 1, 2, 3, …, a

¨  Una forma alterna para formular la hipótesis sería: Ho : µ1 = µ2 = µ3 = …. = µa H1 : µi ≠ µj para al menos una

combinación (i, j)


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GRUPO M

Métodos gráficos para cotejar la idoneidad del modelo

¨  Definimos el residual de la observación j dentro del tratamiento i : eij = yij - donde este último término corresponde al estimado del modelo para la observación correspondiente.

¨  Trazo de Probabilidad Normal (Normal Probability Plot) Cotejamos la normalidad de los residuales

¨  Trazo de Residuales en Secuencia de Tiempo – nos ayuda en detectar alguna correlación existente entre los residuales, por lo tanto, trabaja con la presunción de independencia de los residuales. En ocasiones, este gráfico podrá mostrarnos cuando una variable no considerada en el experimento intervino en el mismo.

ijy


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GRUPO M

Métodos gráficos para cotejar la idoneidad del modelo

•  Trazo de Residuales vs. Factores – nos ayuda en detectar de forma clara en muchas ocasiones desviaciones a la presunción de varianza constante.

•  Trazo de Residuales vs. Valores Estimados – este trazo no debe mostrar ninguna estructura para reconocer que tenemos un modelo adecuado y que las presunciones del mismo se cumplen. Ayuda a detectar valores influyentes (“outliers”).


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Análisis de varianza (ANOVA) Ejemplo

¨  El efecto de la geometría de un transportador de tabletas (“sinker”) en el tiempo de disolución de las tabletas es estudiado. Las tabletas son sumergidas en un baño en un medio específico luego de ser colocadas en los “sinkers” y el tiempo de disolución es capturado.

“Sinker Geometry”

G1 G2 G3 G4 G5

98 95 91 101 94

99 94 84 98 100

100 89 88 100 98

99 96 83 98 103

95 94 75 98 101

GRUPO M


One-way ANOVA: % Diss versus Sinker !!Source DF SS MS F P!Sinker 4 811.8 202.9 16.53 0.000!Error 20 245.6 12.3!Total 24 1057.4!!S = 3.504 R-Sq = 76.77% R-Sq(adj) = 72.13%!


21

GRUPO M


Sinker

% D

iss

G5G4G3G2G1

105

100

95

90

85

80

75

Boxplot of % Diss by Sinker


22

Análisis de residuales

¨  Usando métodos gráficos para el análisis de residuales podemos cotejar la idoneidad del modelo.

Trazo de Probabilidad Normal (Normal Probability Plot)

Una inspección visual de este gráfico no revela ninguna desviación significativa de la presunción de normalidad para los residuales.

Residual

Pe

rce

nt

50-5-10

99

95

90

80

70

60504030

20

10

5

1

Normal Probability Plot of the Residuals(response is % Diss)

GRUPO M

Análisis de residuales Trazo de Residuales vs. Orden de Experimentación

Ningún patrón aparente se muestra en el mismo.

Observation Order

Re

sid

ua

l

24222018161412108642

5

0

-5

-10

Residuals Versus the Order of the Data(response is % Diss)


24

GRUPO M

Pruebas después de ANOVA

¨  Diferencia Mínima Significativa (Least Significant Difference) ¤  Después que Anova rechaza la Hipótesis nula entonces queremos hacer

pruebas con la siguiente formulación: Ho: µi = µj para toda i ≠ j

¤  Esto puede realizarse empleando la estadística t

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

ji

ji

nnMSE

yyt

11..


25

GRUPO M


¨  Si presumimos una prueba en dos direcciones (dos colas), declararemos que una pareja de promedios µi, µj será signifcativamente diferente si:

¨  A la expresión de la derecha es a lo que conocemos como la diferencia mínima significativa (LSD).

¨  En resumen decimos que una pareja de promedios µi, µj difieren si:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+>− −

jiaNji nnMSEtyy 11

,2/.. α

LSDyy ji >− ..


26

GRUPO M


Fisher 95% Individual Confidence Intervals!All Pairwise Comparisons among Levels of Sinker!!Simultaneous confidence level = 73.57%!!!Sinker = G1 subtracted from:!!Sinker Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------!G2 -9.223 -4.600 0.023 (---*----)!G3 -18.623 -14.000 -9.377 (----*----)!G4 -3.823 0.800 5.423 (----*---)!G5 -3.623 1.000 5.623 (----*----)! +---------+---------+---------+---------! -20 -10 0 10!!!Sinker = G2 subtracted from:!!Sinker Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------!G3 -14.023 -9.400 -4.777 (----*---)!G4 0.777 5.400 10.023 (---*----)!G5 0.977 5.600 10.223 (----*---)! +---------+---------+---------+---------! -20 -10 0 10!!!Sinker = G3 subtracted from:!!Sinker Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------!G4 10.177 14.800 19.423 (----*---)!G5 10.377 15.000 19.623 (----*----)! +---------+---------+---------+---------! -20 -10 0 10!!


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GRUPO M

Bloque completamente aleatorio

¨  En muchos problemas experimentales, es necesario diseñar de forma tal que la variabilidad causada por fuentes ajenas a nuestro interés pueden ser sistemáticamente controladas. Cuando existe una sola fuente extraña (ajena) a nuestro interés, decimos que esa fuente o ese factor debe ser “bloqueado” con el fin de alejar su variabilidad del error experimental y así poder reducir el mismo. Experimentos de este tipo se conocen como Bloque Completamente Aleatorio.

yij = µ + τi + βj + εij

µ = promedio general

τi = efecto del bloque

βj = efecto del tratamiento j

εij = error o residual


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Bloque completamente aleatorio Ejemplo

¨  Suponga que en el ejemplo de los “sinkers” existen cinco baños (“vessels”) en dende se sumerjen los mismos. Los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla:

“Sinker Geometry”

Vessel G1 G2 G3 G4 G5

1 98 95 91 101 94

2 99 94 84 98 100

3 100 89 88 100 98

4 99 96 83 98 103

5 95 94 75 98 101

GRUPO M

Bloque completamente aleatorio Ejemplo

¨  Considerando tanto la “sinkers” como los baños en ANOVA, obtenemos la siguiente gráfica:

Analysis of Variance for %DISSOLUTION, using Adjusted SS for Tests!!Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P!Vessel 4 34.56 34.56 8.64 0.66 0.632!Sinker 4 811.76 811.76 202.94 15.39 0.000!Error 16 211.04 211.04 13.19!Total 24 1057.36!!!S = 3.63180 R-Sq = 80.04% R-Sq(adj) = 70.06%!


30

GRUPO M

Experimentos Factoriales

¨  Muchos experimentos envuelven el estudio de los efectos de dos o más factores. Puede demostrarse que, en general, los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos.

¨  Definimos un Experimento Factorial como uno en donde existen dos o más factores, en donde todas las condiciones experimentales son llevadas a cabo de forma completamente aleatoria.


31

GRUPO M


¨  Características de los experimentos factoriales:

¤  Dos o más factores son considerados. ¤  Todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores son investigadas. ¤  Son más eficientes que variar un factor a la vez (lo veremos). ¤  Son necesarios cuando las interacciones están presentes (lo veremos). ¤  Las unidades son sometidas a los distintos tratamientos de forma completamente

aleatoria. ¤  Nos permite estimar los efectos de un factor a través de distintos niveles de otros

factores, logrando conclusiones válidas en un rango de condiciones experimentales.


32

GRUPO M


4 x 3 2 x 2 - 22 2 x 2 x 2 - 23

2 x 2 x 2 x 2- 24 2 x 2 x 2 x 2 x 2 - 25 Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto

33

GRUPO M


2 x 2 - 22

Factorial No se observa

Variando un factor a la vez

No se observan

Variando un factor a la vez

2 x 2 x 2 - 23

Factorial


34

GRUPO M


A A

Res

pues

ta

B-

B+

A- A+ A- A+

B-

B+

Interacción – No Presente Interacción – Presente


35

Conceptos fundamentales del modelo lineal de regresión

y

yy

yn

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1

2

::

X

x x xx x x

x x x

k

k

n n nk

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

11

1

11 12 1

21 22 2

1 2

..

..: : : .. :: : : .. :

..

β

β

β

β

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0

1

::

k

ε

ε

ε

ε

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1

2

::

n

( )( )ββεεε XyXyLn

ii −−==∑=

=

''

1

2

y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X1 X2 + ε

Matriz de Diseño

y = Xβ + ε

βββ

ββββ

XXyXyyXXXyyXyyL

'''''

''''''

2= +−

+−−=

∂∂βL

X y X Xbb

= − + =2 2 0' '

yXXbX '' =

( )b = −X X X y' '1

Estimado de Coeficientes

Típicamente Matriz Diagonal

Vector Observaciones Vector Coeficientes Vector Errores

GRUPO M

Experimentos Factoriales - Ejemplo

Un experimento 24 se conduce para ver el impacto que tienen en la razón de filtración de un producto los factores: A (Temperatura), B (Presión), B (Concentración de Compuesto) y D (Velocidad de Agitado). La siguiente figura muestra las 16 respuestas obtenidas del experimento que se ejecutó de forma completamente aleatoria.

43

45

70

75

100

86

96

104

45

48

80

68

71

60

65

65

A

B

C

D

1

-1

1

-1

-1

1

-1 1


37

GRUPO M


Mea

n of

R d

e Fi

ltra

ción

1-1

80

75

70

65

60

1-1

1-1

80

75

70

65

60

1-1

A B

C D

Main Effects Plot (data means) for R de Filtración

Estimated Effects and Coefficients for R de Filtración (coded units)!!Term Effect Coef!Constant 70.063!A 21.625 10.812!B 3.125 1.562!C 9.875 4.938!D 14.625 7.312!A*B 0.125 0.062!A*C -18.125 -9.063!A*D 16.625 8.313!B*C 2.375 1.188!B*D -0.375 -0.187!C*D -1.125 -0.563!A*B*C 1.875 0.937!A*B*D 4.125 2.063!A*C*D -1.625 -0.813!B*C*D -2.625 -1.312!A*B*C*D 1.375 0.687!

A

1-1 1-1 1-1100

75

50

B

100

75

50

C

100

75

50

D

A-11

B-11

C-11

Interaction Plot (data means) for R de Filtración


38

GRUPO M


Effect

Perc

ent

20100-10-20

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Factor

D

NameA AB BC CD

Effect TypeNot SignificantSignificant

AD

AC

DC

A

Normal Probability Plot of the Effects(response is R de Filtración, Alpha = .05)

Lenth's PSE = 2.625


39

GRUPO M

Puntos centrales en los experimentos 2k

¨  Cuando efectuamos un experimento 2K lo hacemos bajo la suposición de que los efectos tienen un comportamiento lineal.

¨  Existe la posibilidad de efectuar observaciones en ciertos puntos de nuestra región experimental para detectar la presencia de curvatura en la misma, así como el de propiciar un estimado de error independiente.

¨  El método para lograr esto consiste en añadir repeticiones en el punto central del experimento 2K. Los nC puntos centrales se conducen en el experimento en el nivel codificado Xi = 0 (i =1, 2, …, K).

¨  Esto se hace bajo la suposición que los K factores son cuantitativos, veremos el impacto de que algunos de los factores sea cualitativo más adelante. Algo obvio que puede ser señalado en este instante es que factores de tipo cualitativo no tienen un nivel central.

¨  Suponga que tiene un experimento factorial 22 con una observación en cada punto factorial (- , -), (- , +), (+ , -) y (+ , +) así como cinco (nC = 5) observaciones en el nivel (0 , 0). Gráficamente esto se muestra en la figura que sigue.

5 observaciones

-1 1 0

-1

0

1


40

GRUPO M


¨  Si definimos como el promedio de las observaciones en las cuatro corridas del experimento factorial y como el promedio de las nC observaciones en los puntos centrales, entonces podemos decir que si la diferencia entre estos promedios (-) es grande, la curvatura existe.

¨  Una suma de cuadrados para discriminar si la curvatura es o no significativa está dada por

¨  Esta suma de cuadrados, con 1 grado de libertad, se compara con la media del cuadrado del error para probar la existencia de curvatura.

( )SS

n n y yn nCURVATURA

F C F C

F C=

−

+

2


41

GRUPO M


Ejemplo

¨  Un ingeniero está estudiando el rendimiento de un proceso químico. Las dos variables de interés en este estudio resultan ser: Tiempo de Reacción y Temperatura de Reacción. Para cuidarse contra la posibilidad de la existencia de curvatura se decide efectuar un experimento factorial 22 con cinco puntos centrales.

¨  Las siguientes son las respuestas obtenidas del estudio:

Data Display Row Tiempo Temperatura rendimiento 1 -1 -1 39.3

2 1 -1 40.9 3 -1 1 40.0 4 1 1 41.5

5 0 0 40.3 6 0 0 40.5 7 0 0 40.7 8 0 0 40.2

9 0 0 40.9


42

GRUPO M


Ejemplo

¨  El ANOVA así como el modelo de regresión obtenido de MINITAB se presenta a continuación:

Fractional Factorial Fit Estimated Effects and Coefficients for rendimie Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 40.4778 0.08795 460.26 0.000 Tiempo 1.5500 0.7750 0.13192 5.87 0.002 Temperat 0.6500 0.3250 0.13192 2.46 0.057 Tiempo*Temperat -0.0500 -0.0250 0.13192 -0.19 0.857 Analysis of Variance for rendimie Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 2 2.82500 2.82500 1.41250 20.29 0.004 2-Way Interactions 1 0.00250 0.00250 0.00250 0.04 0.857 Residual Error 5 0.34806 0.34806 0.06961 Curvature 1 0.02006 0.02006 0.02006 0.24 0.647 Pure Error 4 0.32800 0.32800 0.08200


43

GRUPO M

Modelos de Segundo Orden

¨  En las pasadas secciones nos limitamos a diseños que generan modelos de primer orden o contienen términos para la interacciones.

¨  Discutimos además el concepto de puntos centrales en los experimentos 2k para detectar curvatura en el modelo.

¨  Estimar los términos de segundo orden, de ser necesarios, requiere el efectuar tratamientos adicionales.


44

GRUPO M

Modelos de Segundo Orden

¨  Un modelo de segundo orden típico, proveniente de la expansión de Taylor sería:

εββ

βββββββ

++++

++++++++=

−− kkk,k

kkkkk

xxxxxxxxxxxy

113113

2112

22

11122110

CCD - Central Composite Design CCD consiste de: Puntos Factoriales Puntos Axiales Puntos Centrales


45

Ejemplo - CCD ¨  Se desea construir un modelo de segundo orden para el esfuerzo de

remoción de etiqueta de botellas de empaque como función de energía y velocidad de la correa.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−−−

31.9185.9021.9070.8522.8639.8550.8544.8080.8529.8655.88

000000414.10414.100414.10414.11111111121 yxx CCD

Ejemplo CCD Estimated Regression Coefficients for Esfuerzo!

!

Term Coef SE Coef T P!

Constant 90.7900 1.0224 88.797 0.000!

A -0.9719 0.6261 -1.552 0.181!

B -1.1669 0.6261 -1.864 0.121!

A*A -2.7806 0.7452 -3.731 0.014!

B*B -2.5231 0.7452 -3.386 0.020!

A*B -0.7750 0.8855 -0.875 0.421!

!

S = 1.771 R-Sq = 84.0% R-Sq(adj) = 68.1%!

A

B

1.00.50.0-0.5-1.0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Esfuerzo

81 - 8484 - 8787 - 90

> 90

< 7878 - 81

Contour Plot of Esfuerzo vs B, A

1

Esfuerzo

75 0

80

85

B

90

-1 -10 1A

Surface Plot of Esfuerzo vs B, A

CCD – “Face Centered”

¨  CCD centrado en la cara consiste de:

n  Puntos Factoriales

n  Puntos Axiales

n  Puntos Centrales

¨  Matriz de Diseño

Factoriales

Axiales

Centrales ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−−

0000001010010111111111

GRUPO M

Experimentos con Mezclas

¨  Para los experimentos que hemos estudiado (experimentos factoriales, CCD, otros), los niveles de cada factor son independientes de los niveles de otros factores.

¨  En los experimentos con mezclas, los factores son los componentes o ingredientes de la mezcla y por consecuencia, sus niveles no son independientes. Por tanto, estas variables controlables representan cantidades proporcionales a la mezcla en vez de cantidades sin restricción.


49

GRUPO M


¨  Si decimos que el número de componentes en el sistema se denomina por q y que la proporción para el componente i en la mezcla como xi, entonces

Xi > 0 i = 1, 2, ….Q y

¨  Claro está la xi representará porcentajes no negativos hasta alcanzar el 100% (i.e. = 1).

11

=∑=

q

iix


50

GRUPO M


¨  Estas restricciones para el caso de 2 y 3 componentes en la mezcla se muestran gráficamente a continuación.

1

1

x2

0

x1 + x2 = 1

x1 Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto

51

GRUPO M


0 1

1

1

x1 + x2 + x3 = 1

Los vértices en ambos casos representan formulaciones de mezcla puras (mezcla corresponde al 100% de un solo componente).


52

GRUPO M


¨  Los diseños tipo simplex se utilizan para estudiar los efectos de los componentes de la mezcla en la variable respuesta.

¨  Un diseño “simplex lattice” (SLD) {q, m} para q componentes en la mezcla, consiste de los puntos definidos por el sistema de coordenadas siguientes para la proporción de cada componente:

xi = 0, 1/m, 2/m, …, 1 i = 1, 2, …, p


53

GRUPO M


Ejemplo SLD {3 , 2}

Este SLD consiste de las siguientes seis corridas:

(x1, x2, x3) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) – mezcla pura

(x1, x2, x3) = (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2) – binaria

x1 = 1

x2 = 1 x3 = 1

Condiciones Experimentales


54

GRUPO M


Ejemplo SLD {3 , 3} x1 = 1

x2 = 1 x3 = 1

Condiciones Experimentales


55

GRUPO M


Ejemplo SLD {3 , 2}

A B C “Elongation”

1.0 0.0 0.0 11.7 0.0 1.0 0.0 9.4 0.0 0.0 1.0 16.4 0.5 0.5 0.0 15.3 0.5 0.0 0.5 16.9 0.0 0.5 0.5 10.5


56

Experimentos para Mezclas

Ejemplo SLD {3 , 2} – Cont.

Regression for Mixtures Estimated Regression Coefficients for y

A

0

1

B1

0

C1

0

Elongation

12 - 1414 - 16

> 16

< 1010 - 12

Mixture Contour Plot of Elongation(component amounts)

Term Coef A 11.700 B 9.400 C 16.400 A*B 19.000 A*C 11.400 B*C -9.600

GRUPO M


¨  Los modelos de mezcla difieren de los modelos polinómicos debido a la restricción:

¨  La forma estándar de construir los modelos para mezcla están dados

por:

Lineal

11

=∑=

q

iix

∑=

=q

iii xyE

1)( β


58

GRUPO M


Cuadrático ¨  El componente lineal se le conoce como la mezcla lineal y es la

respuesta cuando xi = 1 y xj = 0 para I distinto de j.

¨  El componente adicional en el cuadrático estima la mezcla con más de un componente: la misma puede ser sinergética o antagónica.

ji

q

jiij

q

iii xxx)y(E ∑∑+∑=

<=ββ

1


59

GRUPO M

Experimentos para Mezclas - Análisis

Ejemplo: A B C Acc1.0 0.0 0.0 4.30.0 1.0 0.0 6.50.0 0.0 1.0 6.90.5 0.5 0.0 6.30.5 0.0 0.5 6.10.0 0.5 0.5 6.21.0 0.0 0.0 4.70.0 1.0 0.0 6.20.0 0.0 1.0 7.00.5 0.5 0.0 5.80.5 0.0 0.5 6.50.0 0.5 0.5 6.21.0 0.0 0.0 4.80.0 1.0 0.0 6.30.0 0.0 1.0 7.40.5 0.5 0.0 6.10.5 0.0 0.5 5.90.0 0.5 0.5 6.1


60

GRUPO M


Regression for Mixtures: Acc versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for Acc (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 4.600 0.1340 * * 1.500 B 6.333 0.1340 * * 1.500 C 7.100 0.1340 * * 1.500 A*B 2.400 0.6566 3.66 0.003 1.500 A*C 1.267 0.6566 1.93 0.078 1.500 B*C -2.200 0.6566 -3.35 0.006 1.500 S = 0.232140 PRESS = 1.455 R-Sq = 93.89% R-Sq(pred) = 86.24% R-Sq(adj) = 91.34% Analysis of Variance for Acc (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 9.9294 9.92944 1.98589 36.85 0.000 Linear 2 8.1391 9.84222 4.92111 91.32 0.000 Quadratic 3 1.7903 1.79033 0.59678 11.07 0.001 Residual Error 12 0.6467 0.64667 0.05389 Total 17 10.5761


61

GRUPO M


A

0

1

B1

0

C1

0

Acc

5.5 - 6.06.0 - 6.56.5 - 7.0

> 7.0

< 5.05.0 - 5.5

Mixture Contour Plot of Acc(component amounts)

A1.00

0.00

0.00

5

B

6Acc

7

1.00 0.001.00

C

Mixture Surface Plot of Acc(component amounts)


62

GRUPO M

“Simplex Centroid”

¨  Un diseño “simplex centroid” con q componentes consiste de 2q – 1 puntos de diseño. Estos puntos de diseño son las q permutaciones (1, 0, 0, …, 0) de las mezclas puras, las permutaciones (½ , ½, 0, …, 0) de las mezclas binarias,

Las permutaciones (1/3, 1/3, 1/3, 0, …, 0) y el centroide (1/q, 1/q, …, 1/q).

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2q

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3q


63

GRUPO M


“Simplex Centroid para q = 3; 7 puntos de diseño


64

GRUPO M


“Simplex Centroid para q = 4


65

GRUPO M


¨  Para q = 3 el modelo es:

3211233223

31132112332211

)(

xxxxxxxxxxxxyE

ββ

βββββ

++

++++=

Modelo cúbico polinómico especial


66

GRUPO M


¨  Para q = 4 el modelo es:

43211234

444

1

xxxx

xxxxxx)y(Ei j k

kjiijki j

jiiji

ii

β

βββ

+

∑∑∑+∑∑+∑=< <<=

Modelo cúbico especial con un término Cuártico adicional


67

GRUPO M

Diseños “Simplex” con corridas axiales

¨  Los diseños “Simplex-Lattice” y el “Simplex Centroid” son diseños cuyos tratamientos se encuentran en los límites de la región experimental, con la excepción del centroide.

¨  Por ejemplo, un “simplex-lattice” {3, 3} contiene 10 puntos experimentales. Seis (6) de estos están en las caras del triángulo, tres (3) corresponden a los vértices y el centroide.


68

GRUPO M


¨  Los tres (3) puntos proveen la información de las mezclas puras, los seis (6) brindan información de las mezclas binarias y sólo un punto contiene información de mezclas completas.

¨  La distribución de la información se denomina como 3: 6: 1.


69

GRUPO M


¨  Si se interesa realizar predicciones acerca de mezclas completas, es preferible realizar corridas dentro del interior del “simplex”.

¨  Se recomienda en estos casos aumentar el diseño “simplex” con corridas axiales y con el centroide (si éste no ha sido considerado).


70

GRUPO M


¨  Los puntos axiales se posicionan a lo largo de los ejes del componente a una distancia Δ desde el centroide.

¨  Se recomienda que los puntos axiales se conduzcan en un punto medio entre el centroide del “simplex” y el vértice, de forma tal Δ = (q -1) / 2q


71

GRUPO M



72

GRUPO M


A

0

1

B1

0

C1

0

Simplex Design Plot in Amounts

“Simplex-Centroid con puntos axiales


73

GRUPO M


¨  El diseño tiene 10 puntos, cuatro (4) de estos en el interior del “simplex”.

¨  La distribución de la información se denomina como 3: 3: 4.


74


x1 x2 x3 y 1 0 0 540,560 0 1 0 330,350 0 0 1 295,260 ½ ½ 0 610 0 ½ ½ 330 ½ 0 ½ 425

2/3 1/6 1/6 710 1/6 2/3 1/6 640 1/6 1/6 2/3 460 1/3 1/3 1/3 800,850

GRUPO M

Ejemplo Modelo Lineal

Regression for Mixtures: y versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for y (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 686.4 103.0 * * 1.089 B 485.4 103.0 * * 1.089 C 362.4 103.0 * * 1.089 S = 177.115 PRESS = 516540 R-Sq = 27.93% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 14.83% Analysis of Variance for y (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 2 133755 133755 66877.5 2.13 0.165 Linear 2 133755 133755 66877.5 2.13 0.165 Residual Error 11 345066 345066 31369.7 Lack-of-Fit 7 342804 342804 48972.0 86.58 0.000 Pure Error 4 2262 2262 565.6 Total 13 478821


76

GRUPO M

Ejemplo – Modelo Cuadrático

Regression for Mixtures: y versus A, B, C

Term Coef SE Coef T P VIF

A 534.6 83.35 * * 1.548

B 329.2 83.35 * * 1.548

C 252.7 83.35 * * 1.548

A*B 1343.1 469.58 2.86 0.021 1.718

A*C 644.5 469.58 1.37 0.207 1.718

B*C 711.7 469.58 1.52 0.168 1.718

S = 120.261 PRESS = 812043

R-Sq = 75.84% R-Sq(pred) = 0.00%

R-Sq(adj) = 60.73%

Analysis of Variance for y (component proportions)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Regression 5 363120 363120 72624.0 5.02 0.022

Linear 2 133755 89272 44636.2 3.09 0.102

Quadratic 3 229365 229365 76455.0 5.29 0.027

Residual Error 8 115702 115702 14462.7

Lack-of-Fit 4 113439 113439 28359.8 50.14 0.001

Pure Error 4 2262 2262 565.6

Total 13 478821

Unusual Observations for y

Obs StdOrder y Fit SE Fit Residual St Resid

2 2 610.000 767.677 101.279 -157.677 -2.43R

3 3 425.000 554.820 101.279 -129.820 -2.00R

5 5 330.000 468.867 101.279 -138.867 -2.14R

R denotes an observation with a large standardized residual.


77

GRUPO M

Ejemplo – Modelo Cuadrático

A

0

1

B1

0

C1

0

y

400 - 500500 - 600600 - 700

> 700

< 300300 - 400

Mixture Contour Plot of y(component amounts)

A1.00

0.00

0.00200

400

B

600

y

800

1.00 0.001.00

C

Mixture Surface Plot of y(component amounts)


78

GRUPO M

Ejemplo – Modelo Cúbico Especial

Regression for Mixtures: y versus A, B, C

Term Coef SE Coef T P VIF

A 550.20 23.22 * * 1.555

B 344.72 23.22 * * 1.555

C 268.29 23.22 * * 1.555

A*B 689.54 146.51 4.71 0.002 2.164

A*C -9.03 146.51 -0.06 0.953 2.164

B*C 58.11 146.51 0.40 0.703 2.164

A*B*C 9243.33 940.85 9.82 0.000 2.988

S = 33.4318 PRESS = 80312.0

R-Sq = 98.37% R-Sq(pred) = 83.23%

R-Sq(adj) = 96.97%

Analysis of Variance for y (component proportions)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Regression 6 470998 470998 78500 70.23 0.000

Linear 2 133755 89272 44636 39.94 0.000

Quadratic 3 229365 25123 8374 7.49 0.014

Special Cubic 1 107878 107878 107878 96.52 0.000

Residual Error 7 7824 7824 1118

Lack-of-Fit 3 5561 5561 1854 3.28 0.141

Pure Error 4 2262 2262 566

Total 13 478821

Unusual Observations for y

Obs StdOrder y Fit SE Fit Residual St Resid

10 10 460.000 523.796 15.187 -63.796 -2.14R

R denotes an observation with a large standardized residual.


79

GRUPO M

Ejemplo – Modelo Cúbico Especial

A

0

1

B1

0

C1

0

y

400 - 500500 - 600600 - 700700 - 800

> 800

< 300300 - 400


A1.00

0.00

0.00200

400

B

600

y

800

1.00 0.001.00

C



80

GRUPO M

Ejemplo – Cúbico Especial Análisis de Residuales

Standardized Residual

Per

cent

210-1-2

99

90

50

10

1

Fitted Value

Stan

dard

ized

Res

idua

l

800600400200

2

1

0

-1

-2


Freq

uenc

y

210-1-2

4

3

2

1

0

Observation Order

Stan

dard

ized

Res

idua

l

1413121110987654321

2

1

0

-1

-2

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for y


81

Ejemplo – Modelo Cúbico Especial “Response Trace Plot”

deviation from reference blend in proportion

Fitt

ed y

0.750.500.250.00-0.25-0.50

900

800

700

600

500

400

300

200

ComponentABC

Cox Response Trace Plot

¨  Note el efecto no lineal de los componentes.

¨  En este caso y es muy sensible a cambios en todos los componentes.

¨  Si uno o más de estos trazos tiene un comportamiento horizontal esto indicaría que ese componente tiene muy poco efecto en la respuesta; a estos ingredientes le llamamos inactivos.

GRUPO M

Restricciones en las Proporciones de los Componentes

¨  En muchos experimentos con mezclas existen restricciones en las proporciones de los componentes que no permiten explorar toda la región del Simplex.

¨  Regularmente estas restricciones toman forma de límites inferiores y superiores para cada uno de las proporciones de los componetes.


83

GRUPO M

Restricciones en las Proporciones de los Componentes

¨  Las restricciones toman la forma Li < xi < Ui i = 1,2 …, q

Donde Li = límite inferior para el componente i Ui = límite superior para el componente i

x1 + x2 +… +xq = 1 Li > 0 y Ui < 1 para i = 1,2 …, q


84

GRUPO M

Restricciones Inferiores

Li < xi < 1 i = 1,2 …, q x1 + x2 +… +xq = 1

Ejemplo:

0.3 < x1 0.4< x2 0.1< x3


85


¨  Como la región experimental factible sigue siendo un Simplex (figura anterior), definimos unos pseudocomponentes entre los valores 0 y 1 en la región factible. Los pseudocomponentes se definen:

Xi = (xi – Li)/(1 - L)

Donde:

11

<=∑=

q

iiLL

GRUPO M


¨  Para construir un diseño basado en los pseudocomponentes se especifican los puntos de diseño en pseudocomponentes y se convierten a los componentes originales usando:

xi = Li + (1 – L)Xi


88


Ejemplo:

0.3 < x1 0.4< x2 0.1< x3

A

0.3

0.5

B0.6

0.4

C0.3

0.1


A

0

1

B1

0

C1

0

Simplex Design Plot in Pseudocomponents

A B C

0.500000 0.400000 0.100000

0.300000 0.600000 0.100000

0.300000 0.400000 0.300000

0.400000 0.500000 0.100000

0.400000 0.400000 0.200000

0.300000 0.500000 0.200000

0.366667 0.466667 0.166667

GRUPO M


¨  Se recomienda el uso de pseudocomponentes para ajustar un modelo de mezclas. Los componentes originales t i e n e n m a y o r m u l t i c o l i n e a r i d a d q u e l o s pseudocomponentes y esto puede tener un impacto en los estimados de coeficientes que se obtienen del método de cuadrados mínimos.


90

GRUPO M

Restricciones Inferiores - Ejemplo

¨  Se desea construir un modelo que incluya tres componentes y que responda a las siguientes restricciones:

x1 + x2 + x3 = 0.9

Ejemplo:

0.3 < x1 0.2 < x2 0.2 < x3

¨  2 repeticiones en los vértices ¨  – 3 repeticiones en el centroide


91

GRUPO M


A B C y 0.500000 0.200000 0.200000 32.5 0.300000 0.400000 0.200000 54.5 0.300000 0.200000 0.400000 64.0 0.400000 0.300000 0.200000 44.0 0.400000 0.200000 0.300000 63.2 0.300000 0.300000 0.300000 94.0 0.366667 0.266667 0.266667 112.5 0.433333 0.233333 0.233333 67.1 0.333333 0.333333 0.233333 73.0 0.333333 0.233333 0.333333 87.5 0.500000 0.200000 0.200000 3.9 0.300000 0.400000 0.200000 32.5

0.300000 0.200000 0.400000 78.5 0.366667 0.266667 0.266667 98.5 0.366667 0.266667 0.266667 103.6


92

GRUPO M


Estimated Regression Coefficients for y (pseudocomponents) Term Coef SE Coef T P VIF A 35.49 6.072 * * 1.608 B 42.78 6.072 * * 1.608 C 70.36 6.072 * * 1.608 A*B 16.02 38.292 0.42 0.687 2.398 A*C 36.33 38.292 0.95 0.370 2.398 B*C 136.82 38.292 3.57 0.007 2.398 A*B*C 854.98 229.183 3.73 0.006 3.535 S = 8.74215 PRESS = 3296.97 R-Sq = 93.60% R-Sq(pred) = 65.50% R-Sq(adj) = 88.81%

Analysis of Variance for y (pseudocomponents) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 6 8946.4 8946.4 1491.06 19.51 0.000 Linear 2 2395.9 1420.8 710.38 9.30 0.008 Quadratic 3 5486.9 1000.7 333.56 4.36 0.042 Special Cubic 1 1063.6 1063.6 1063.62 13.92 0.006 Residual Error 8 611.4 611.4 76.43 Lack-of-Fit 3 149.3 149.3 49.76 0.54 0.676 Pure Error 5 462.1 462.1 92.42 Total 14 9557.8


93

GRUPO M

Restricción Inferior - Ejemplo

A

0.3

0.5

B0.4

0.2

C0.4

0.2

y

50 - 6060 - 7070 - 8080 - 9090 - 100

<

> 100

4040 - 50


A0.50

0.20

0.2040

60

B

80

y

100

0.40 0.300.40

C



94

GRUPO M



Per

cent

210-1-2

99

90

50

10

1

Fitted Value

Stan

dard

ized

Res

idua

l

100806040

2

1

0

-1

-2


Freq

uenc

y

2.01.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

3

2

1

0

Observation Order

Stan

dard

ized

Res

idua

l

151413121110987654321

2

1

0

-1

-2





95

GRUPO M



Fitt

ed y

0.150.100.050.00-0.05-0.10

110

100

90

80

70

60

50

40

30

ComponentABC



96

GRUPO M

Restricción Superior

1min1

≤−∑=

UUq

ii

¨  En ocasiones solo existen restricciones del tipo Xi < Ui. ¨  Estos problemas pueden resultar en diseños tipo

“simplex” o en diseños que no cumplen con esta configuración.

¨  En general la región experimental para este tipo de problema será un “simplex” invertido si


97


¨  Ejemplo x1 < 0.4 x2 < 0.5 x3 < 0.3

A

0.2

0.6

B0.7

0.3

C0.5

0.1


Simplex

Invertido


¨  Ejemplo x1 < 0.7 x2 < 0.5 x3 < 0.8

A

0

1

B1

0

C1

0


Región

Irregular

GRUPO M

Restricciones en ambos lados

¨  En estas situaciones la región experimental no será un “simplex”.

¨  En estos experimentos se consideran los vértices extremos de la región restringida por las combinaciones de las restricciones impuestas por los límites superior e inferior.


100


¨  Ejemplo

08.003.050.010.050.010.060.040.0

1

4

3

2

1

4321

≤≤

≤≤

≤≤

≤≤

=+++

xxxx

xxxx A

0.40

0.77

B0.47

0.10

C0.47

0.10

A

0.40

0.77

B0.47

0.10

D0.40

0.03

A

0.40

0.77

C0.47

0.10

D0.40

0.03

B

0.10

0.47

C0.47

0.10

D0.40

0.03

Hold ValuesA 0.4B 0.1C 0.1D 0.03

Matrix of Simplex Design Plots in Amounts


Ejemplo

20.013.010.007.030.020.05.0

3

2

1

321

≤≤

≤≤

≤≤

=++

xxxxxx

A B C 0.200 0.1000 0.2000 0.300 0.0700 0.1300 0.230 0.0700 0.2000 0.270 0.1000 0.1300 0.265 0.0700 0.1650 0.285 0.0850 0.1300 0.235 0.1000 0.1650 0.215 0.0850 0.2000 0.250 0.0850 0.1650 0.225 0.0925 0.1825 0.275 0.0775 0.1475 0.240 0.0775 0.1825 0.260 0.0925 0.1475

GRUPO M


A

0.2

0.3

B0.17

0.07

C0.23

0.13


A

0

1

B1

0

C1

0

Simplex Design Plot in Pseudocomponents


103

GRUPO M

Experimentos para Mezclas con restricciones en los componentes

¨  El algoritmo XVERT utiliza el principio de diseño de que los puntos deben estar lo más “desparramados” posibles sobre la región experimental. Al utilizarse este principio lo hacemos reconociendo que los estimados de coeficientes para el modelo de primer orden tendrán menor varianza y covarianza que si los puntos se posicionaran “juntitos” en la región experimental.


104

GRUPO M


Ejemplo:

0.40 < x1 < 0.80

0.10 < x2 < 0.50

0.10 < x3 < 0.30

Trataremos de localizar los vértices extremos de la región restringida para estimar el modelo:

εβββ +++= 332211 xxxy


105

GRUPO M


Pasos algoritmo de XVERT 1.  Ordene los componentes en orden ascendente de rangos: Ui

– Li

para el componente 1: 0.80 – 0.40 = 0.40

para el componente 2: 0.50 – 0.10 = 0.40

para el componente 3: 0.30 – 0.10 = 0.20 2.  Haga una lista ordenada de los componentes x1 , x2 , x3

donde x1 es el componente con el rango menor.

231231 xXxXxX ===∴


106

GRUPO M


3.  Establezca un diseño usando los límites de los q – 1 = 2 componentes que tengan los rangos más pequeños. Existen 2q-1 = 22 = 4 combinaciones.

L3 , L1 0.10, 0.40, 0.50

L3 , U1 0.10, 0.80, 0.50

U3 , L1 0.30, 0.40, 0.30

U3 , U1 0.30, 0.80, -0.10

donde X3 = 1 – (X1 + X2)


107

GRUPO M


4.  Si el valor de X3 obtenido en el paso anterior está contenido dentro de los límites aceptables entonces la combinación es un vértice extremo de la región restringida. Si el valor de X3 obtenido en el paso anterior radica fuera de los límites aceptables, entonces se ajusta X3 igual al límite inferior o superior, el que sea más cercano al valor calculado.


108

GRUPO M

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas ¨  Las variables de proceso son factores en un experimento que

no forman parte de la mezcla pero cuyos niveles, cuando son alterados, pueden afectar las propiedades de mezclado de los ingredientes.

¨  Al definir la región de interés deben considerarse tanto los componentes de la mezcla así como las variables de proceso.


109

GRUPO M

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas ¨  Uno de los enfoques más utilizados para trabajar con esta

situación es el de conducir un diseño de mezcla para cada tratamiento del experimento factorial utilizado para las variables de proceso.

¨  De forma alternativa esto se puede visualizar como generar un experimento factorial en cada punto de diseño del experimento de mezcla.


110

GRUPO M

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas

(1)

A

0

1

B1

0

C1

0

(2)

A

0

1

B1

0

C1

0

(3)

A

0

1

B1

0

C1

0

(4)

A

0

1

B1

0

C1

0

Hold Values

X2 1

(3)

X1 -1X2 -1

(4)

X1 1

(1)

X2 -1

X1 -1X2 1

(2)

X1 1

Multiple Simplex Design Plot in Amounts


111

GRUPO M

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas Ejemplo

¤  Tres tipos de pescado fueron mezclados para formar un emparedado. Siete combinaciones de pescado fueron preparadas y cada combinación fue procesada usando dos temperaturas de horno.

¤  La variable respuesta utilizada fue la fuerza requerida para partir el emparedado.


112


X1 X2 X3 Temperatura Fuerza

1 0 0 375 1.84

1 0 0 425 2.86

0 1 0 375 1.51

0 1 0 425 1.60

0 0 1 375 0.67

0 0 1 425 1.10

½ ½ 0 375 1.29

½ ½ 0 425 1.53

½ 0 ½ 375 1.42

½ 0 ½ 425 1.81

0 ½ ½ 375 1.16

0 ½ ½ 425 1.50

1/3 1/3 1/3 375 1.59

1/3 1/3 1/3 425 1.68

Ejemplo

GRUPO M


(1)

A

0

1

B1

0

C1

0

(2)

A

0

1

B1

0

C1

0

Hold Values

(1)

X1 -1

(2)

X1 1

Multiple Simplex Design Plot in Amounts


114

GRUPO M


Regression for Mixtures: Fuerza versus A, B, C, X1 Estimated Regression Coefficients for Fuerza) Term Coef SE Coef T P VIF A 2.334 0.1362 * * 1.599 B 1.539 0.1362 * * 1.599 C 0.869 0.1362 * * 1.599 A*B -1.854 0.6259 -2.96 0.098 1.569 A*C 0.306 0.6259 0.49 0.673 1.569 B*C 0.756 0.6259 1.21 0.351 1.569 A*X1 0.516 0.1362 3.79 0.063 1.599 B*X1 0.051 0.1362 0.37 0.745 1.599 C*X1 0.221 0.1362 1.62 0.246 1.599 A*B*X1 -0.746 0.6259 -1.19 0.356 1.569 A*C*X1 -0.786 0.6259 -1.26 0.336 1.569 B*C*X1 0.044 0.6259 0.07 0.950 1.569 • NOTE * Coefficients are calculated for coded • process variables. S = 0.193306 PRESS = 31.5662 R-Sq = 97.59% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 84.36%

Analysis of Variance for Fuerza (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 11 3.03067 3.03067 0.27552 7.37 0.125 Component Only Linear 2 1.84853 2.15143 1.07572 28.79 0.034 Quadratic 3 0.40761 0.40761 0.13587 3.64 0.223 Component* X1 Linear 3 0.66630 0.64436 0.21479 5.75 0.152 Quadratic 3 0.10823 0.10823 0.03608 0.97 0.545 Residual Error 2 0.07473 0.07473 0.03737 Total 13 3.10540


115

GRUPO M


(1)

A

0

1

B1

0

C1

0

(2)

A

0

1

B1

0

C1

0

Hold Values

(1)

X1 -1

(2)

X1 1

Fuerza

1.5 - 2.02.0 - 2.5

> 2.5

< 1.01.0 - 1.5

Multiple Mixture Contour Plot for Fuerza(component amounts)


116

GRUPO M



Fitt

ed F

uerz

a

0.750.500.250.00-0.25-0.50

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

X1: -1 ComponentABC



117

GRUPO M



Per

cent

210-1-2

99

90

50

10

1

Fitted Value

Stan

dard

ized

Res

idua

l

3.02.52.01.51.0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0


Freq

uenc

y

1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

4

3

2

1

0

Observation Order

Stan

dard

ized

Res

idua

l

1413121110987654321

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0



Residual Plots for Fuerza


118

GRUPO M

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

X1

X2

X3

56 Tratamientos

Totales = 7 * 23


119


z1 z2 z3 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0)

(1/2,1/2,0)

(1/3,1/3,1/3)

-1 -1 -1 1.84 0.67 1.51 1.29 1.42 1.16 1.59

1 -1 -1 2.86 1.10 1.60 1.53 1.81 1.50 1.68

-1 1 -1 3.01 1.21 2.32 1.93 2.57 1.83 1.94

1 1 -1 4.13 1.67 2.57 2.26 3.15 2.22 2.60

-1 -1 1 1.65 0.58 1.21 1.18 1.45 1.07 1.41

1 -1 1 2.32 0.97 2.12 1.45 1.93 1.28 1.54

-1 1 1 3.04 1.16 2.00 1.85 2.39 1.60 2.05

1 1 1 4.13 1.30 2.75 2.06 2.82 2.10 2.32

GRUPO M

Estimated Regression Coefficients for C11 (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 2.8645 0.05203 * * 1.599 B 1.0745 0.05203 * * 1.599 C 2.0020 0.05203 * * 1.599 A*B -0.9742 0.23914 -4.07 0.000 1.569 A*C -0.8342 0.23914 -3.49 0.001 1.569 B*C 0.3558 0.23914 1.49 0.147 1.569 A*X1 0.4873 0.05203 9.37 0.000 1.599 B*X1 0.1773 0.05203 3.41 0.002 1.599 C*X1 0.2498 0.05203 4.80 0.000 1.599 A*B*X1 -0.8014 0.23914 -3.35 0.002 1.569 A*C*X1 -0.5314 0.23914 -2.22 0.033 1.569 B*C*X1 -0.1314 0.23914 -0.55 0.587 1.569 A*X2 0.7086 0.05203 13.62 0.000 1.599 B*X2 0.2561 0.05203 4.92 0.000 1.599 C*X2 0.4036 0.05203 7.76 0.000 1.599 A*B*X2 -0.6614 0.23914 -2.77 0.009 1.569 A*C*X2 -0.1214 0.23914 -0.51 0.615 1.569 B*C*X2 -0.0064 0.23914 -0.03 0.979 1.569 A*X3 -0.0878 0.05203 -1.69 0.101 1.599 B*X3 -0.0803 0.05203 -1.54 0.133 1.599 C*X3 0.0097 0.05203 0.19 0.853 1.599 A*B*X3 0.1055 0.23914 0.44 0.662 1.569 A*C*X3 -0.0195 0.23914 -0.08 0.935 1.569 B*C*X3 -0.1845 0.23914 -0.77 0.446 1.569 * NOTE * Coefficients are calculated for coded process variables. S = 0.147710 PRESS = 2.28771 R-Sq = 97.68% R-Sq(pred) = 92.40% R-Sq(adj) = 96.01%



121

GRUPO M


A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

C11

1.29 - 2.002.00 - 2.712.71 - 3.423.42 - 4.13

> 4.13

< 0.580.58 - 1.29

X1

X2

X3


122

GRUPO M



Fit

ted

C1

1

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: 1X2: 1X3: 1

ComponentABC


Fit

ted

C1

1

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: -1X2: -1X3: -1

ComponentABC




123

GRUPO M


Me

an

of

C1

1

1-1

2.1

1.8

1.5

1-1

1-1

2.1

1.8

1.5

X1 X2

X3

1

-1

1

-11-1

X3

X2

X1

2.49714

1.658571.22143

2.01286

2.65714

1.725711.35429

2.11571


124

GRUPO M

Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario

¨  Como notamos en el ejemplo anterior a medida que el número de variables de proceso aumenta el número de condiciones experimentales aumenta en ocasiones a niveles prohibitivos.

¨  Cuando esto sucede se considera ejecutar experimentos que consideren solo una fracción de estas condiciones experimentales.

¨  Existen múltiples formas de efectuar estos experimentos fraccionarios con mezclas. Una de las mas utilizadas se basa en los conceptos estudiados para efectuar experimentos factoriales fraccionarios 2k.


125

GRUPO M


¨  El ejemplo de la página siguiente considera el experimento con 3 componentes y tres variables de proceso, cuando se establece solo una fracción de las condiciones experimentales efectuadas.

¨  Fundamentalmente se toma un fraccionario del 2k y se ejecutan los experimentos de mezclas en cada uno de esos puntos experimentales, según se muestra en la figura de siguiente página.


126

GRUPO M


A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

X1

X2

X3

28 Tratamientos

Totales = 7 * 23-1


127


z1 z2 z3 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0)

(1/2,1/2,0)

(1/3,1/3,1/3)

1 -1 -1 2.86 1.10 1.60 1.53 1.81 1.50 1.68

-1 1 -1 3.01 1.21 2.32 1.93 2.57 1.83 1.94

-1 -1 1 1.65 0.58 1.21 1.18 1.45 1.07 1.41

1 1 1 4.13 1.30 2.75 2.06 2.82 2.10 2.32

GRUPO M


Estimated Regression Coefficients for y (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 2.908 0.05549 * * 1.599 B 1.043 0.05549 * * 1.599 C 1.965 0.05549 * * 1.599 A*B -1.126 0.25508 -4.42 0.012 1.569 A*C -1.021 0.25508 -4.00 0.016 1.569 B*C 0.559 0.25508 2.19 0.094 1.569 A*X1 0.578 0.05549 10.41 0.000 1.599 B*X1 0.148 0.05549 2.66 0.056 1.599 C*X1 0.200 0.05549 3.61 0.023 1.599 A*B*X1 -0.897 0.25508 -3.52 0.025 1.569 A*C*X1 -0.872 0.25508 -3.42 0.027 1.569 B*C*X1 0.078 0.25508 0.31 0.776 1.569 A*X2 0.663 0.05549 11.95 0.000 1.599 B*X2 0.213 0.05549 3.84 0.019 1.599 C*X2 0.570 0.05549 10.28 0.001 1.599 A*B*X2 -0.557 0.25508 -2.18 0.094 1.569 A*C*X2 -0.422 0.25508 -1.66 0.173 1.569 B*C*X2 -0.292 0.25508 -1.15 0.316 1.569 A*X3 -0.027 0.05549 -0.49 0.650 1.599 B*X3 -0.112 0.05549 -2.02 0.113 1.599 C*X3 0.005 0.05549 0.10 0.928 1.599 A*B*X3 0.134 0.25508 0.52 0.628 1.569 A*C*X3 0.009 0.25508 0.03 0.975 1.569 B*C*X3 0.129 0.25508 0.50 0.641 1.569 S = 0.111407 PRESS = 20.9695 R-Sq = 99.68% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 97.83%


129

GRUPO M


A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

A

0

1

B1

0

C1

0

y

1.29 - 2.002.00 - 2.712.71 - 3.423.42 - 4.13

> 4.13

< 0.580.58 - 1.29

X1

X2

X3


130

GRUPO M



Fit

ted

y

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: 1X2: 1X3: 1

ComponentABC


Fit

ted

y

0.750.500.250.00-0.25-0.50

4

3

2

1

X1: -1X2: -1X3: -1

ComponentABC




131

GRUPO M


Residual

Per

cent

0.100.050.00-0.05-0.10

99

90

50

10

1

Fitted Value

Res

idua

l

4321

0.10

0.05

0.00

-0.05

-0.10

Residual

Freq

uenc

y

0.100.050.00-0.05-0.10

12

9

6

3

0

Observation Order

Res

idua

l

282624222018161412108642

0.10

0.05

0.00

-0.05

-0.10





132

EXPERIMENTOS FACTORIALES Y CON MEZCLAS: …academic.uprm.edu/dgonzalez/INTRO_EXP_MEZCLAS... ·...

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