7 arreglos factoriales 2015

Núcleo Monagas, Campus JuanicoPostgrado en Agricultura Tropical

Universidad de Oriente

Renny Barrios M. (M. Sc.)

Ramón Silva-Acuña (Ph. D)

Maturín, Junio 2015

Diseño de Experimentos:Arreglos Factoriales

ARREGLOS FACTORIALES

Fertilidad

Plagas

Precipitación

TemperaturaEnfermedades

Otras

COMPORTAMIENTOPLANTA

COMPORTAMIENTOPLANTA

Arreglos Factoriales• Si conocemos que un hecho es el resultado de una serie

de causas actuando conjuntamente, no podemos establecer el mecanismo por el cual se relacionen las causas con el efecto, que no sea viendo como actúan los factores a un mismo tiempo.

• Cuando dos o mas causas son probadas en todas sus combinaciones posibles, resulta un factorial.

Arreglos Factoriales• El objetivo es investigar, en forma simultánea, los

efectos que tienen varios factores (variables independientes) sobre la variable dependiente.

• Todos los niveles de un factor se combinan con todos los niveles de cualquier otro para formar los tratamientos.

• Es posible evaluar los efectos individuales de los factores sobre la variable dependiente.

• Ademas, se puede determinar el efecto de un factor sobre otro (interacción).

• Cuando el modelo teórico que se desea ajustar suponeque el efecto de una variable explicativa sobre lavariable dependiente es distinto según cuales sean losvalores que toma otra variable independiente debeincluirse en el modelo un término de interacción.

• La forma de materializar dicho término es mediante lainclusión de una nueva variable explicativa que es elproducto de las dos variables explicativas queinteractúan.

Efecto de interacción

Arreglos Factoriales• Si no existe interacción, o sea que los factores actúan

independientemente, los resultados son ampliamenteaplicados.

• Factor: es la causa que provoca el efecto.

• Nivel: son las cantidades del factor que se estudian.

• Tratamientos: son todas las combinaciones posibles quese pueden hacer con los diferentes niveles de los factores.

• El término “experimento factorial” o “arreglo factorial” se refiere a la constitución de los tratamientos que se quieren comparar.

• Diseño de tratamientos es la selección de los factores a estudiar, sus niveles y la combinación de ellos.

• El diseño de tratamientos es independiente del diseño experimental que indica la manera en que los tratamientos se aleatorizan a las diferentes u.e. y las formas de controlar la variabilidad natural de las mismas.

Arreglos Factoriales

• Factores Cualitativos: – Los niveles definen o expresan una modalidad particular de

las características del factor– Cada nivel tiene un interés intrínseco o independiente de

los otros niveles.

• Ejemplos: – Diferentes métodos de riego (surco, aspersión, goteo)– Variedades de un tratamiento cultural: método de poda, de

raleo, forma de aplicación de plaguicidas, etc.– Variedad de una determinada especie incluye V1, V2 y V3

• Factor = Variedad• Niveles = V1, V2, V3


• Factores Cuantitativos: – Sus valores corresponden a cantidades numéricas– Valores inherentes a una variable cuantitativa.

• Ejemplos:– Supongamos que en una experiencia se prueba fertilizar con

diferentes dosis de nitrógeno N: 0-10-20-30 Kg/ha.• Factor = Nitrógeno (N)• Niveles = N0, N1, N2, N3 >>>> 0-10-20 y 30

– Dosis creciente de un fertilizante– Diferentes dosis de un plaguicida– Concentración de diferentes drogas o reactivos– Diferentes Tº de aplicación de tratamientos



• Se estudian simultáneamente dos o más factores.

• Se incluyen como tratamientos todas las combinaciones posibles que surjan de combinar cada nivel de un factor, con los niveles del otro factor.

• ¿Porqué no varios experimentos unifactoriales?

– Eficiencia en el uso de recursos

– Evaluación de las interacciones

Experimentos factoriales

• Dos factores con 3 niveles cada uno.

• Tres repeticiones para cada tratamiento

• Si se hacen 2 experimentos unifactoriales, se necesitan 18 unidades experimentales.

• Si se hace un experimento bifactorial, sólo hacen falta 9 unidades experimentales.

Eficiencia en el uso de recursos

Arreglo factorial de tratamientos

A1 A2 A3

B1

B2

B3

Arreglos Factoriales: Utilidad

• En experimentos exploratorios, donde se conoce muypoco acerca de la acción de los factores.

• En el estudio de las interacciones.

• En experimentos en que las recomendaciones debenaplicarse a una gran variedad de condiciones.

• El objetivo es investigar, en forma simultánea, losefectos que tienen varios factores (variablesindependientes) sobre la variable dependiente.

• Todos los niveles de un factor se combinan con todoslos niveles de cualquier otro para formar lostratamientos.

• Es posible evaluar los efectos individuales de losfactores sobre la variable dependiente y determinar elefecto causado por sus interacciones.

Análisis de Varianza Factorial

• El modelo matemático sería:

Análisis de Varianza Factorial

yijk = + αi + βj + (α β)ij + ijk

donde:yijk = Valor del i-ésimo nivel del factor A, j-ésimo nivel del factor B, y

k-ésimo bloque (repetición). = media general.αi = efecto del i-ésimo nivel del factor A.βj = efecto del i-ésimo nivel del factor B.(α β)ij = efecto de interacción entre ambos factores.ijk = error aleatorio.

• Los datos son una muestra aleatoria de una poblaciónnormal; en la población, todas las varianzas son iguales.

• El análisis de varianza es robusto a las desviaciones de lanormalidad, aunque los datos deberán ser simétricos.

• Para comprobar los supuestos, se puede utilizar la pruebade homogeneidad de varianzas y los gráficos dedispersión por nivel.

• También se puede examinar los residuos y los gráficos deresiduos.

Análisis de Varianza Factorial: Supuestos

Arreglo factorial de tratamientos

A1 A2 A3

B1

B2

B3

Notación y Arreglo de los Datos

Factor A

Factor B

B L O Q U E S Total(Yij *)1 2 3 4 5

a1

b1 a1 b1 a1 b1 a1 b1 a1 b1 a1 b1 a1 b1 *

b2 a1 b2 a1 b2 a1 b2 a1 b2 a1 b2 a1 b2 *

a2

b1 a2 b1 a2 b1 a2 b1 a2 b1 a2 b1 a2 b1 *

b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 *

Total (Y**k) * * r1 * * r2 * * r3 * * r4 * * r5 * * *

Análisis de Varianza

GL SC CM Fc Ft

Repetición

Tratamientos

Factor A

Factor B

A x B

Error

Total

Notación y Arreglo de los Datos

Descomposición de la Suma de Cuadrados

∗∗∗∗

Suma de Cuadrados Repet.Suma de Cuadrados Repet.

∗∗

Suma de Cuadrados Repet.Suma de Cuadrados TotalSuma de Cuadrados TotalSuma de Cuadrados Total


Suma de Cuadrados de TratamientosSuma de Cuadrados de TratamientosSuma de Cuadrados de Tratamientos

Suma de Cuadrados Factor BSuma de Cuadrados Factor BSuma de Cuadrados Factor B

Suma de Cuadrados Factor ASuma de Cuadrados Factor ASuma de Cuadrados Factor A

Descomposición de la Suma de CuadradosA1 A2 Total

B1 A1 B1 A2 B1 A* B1

B2 A1 B2 A2 B2 A* B2

Total A1 B* A2 B* A* B*


A1 A2 Total

B1 A1 B1 A2 B1 A* B1

B2 A1 B2 A2 B2 A* B2

Total A1 B* A2 B* A* B*

Suma de Cuadrados del Error Suma de Cuadrados del Error SCE = SCT – SCRep – SCA – SCB – SCA*BSCE = SCT – SCRep – SCA – SCB – SCA*B

Suma de Cuadrados del Error SCE = SCT – SCRep – SCA – SCB – SCA*B

Suma de Cuadrados Interacción A * BSuma de Cuadrados Interacción A * BSuma de Cuadrados Interacción A * B

Ejemplo 1

DISEÑO DE TRATAMIENTOS

Es la forma o modo de combinar las niveles de cadafactor en estudio.Consideremos dos factores (Fósforo y Nitrógeno), condos niveles cada factor, Un experimento 22,, que resultaen 2 x 2 = 4 tratamientos.

NNN1

N2

N1

N2PP

P1

P2

P1

P2

N1P1N1P2N2P1N2P2

El efecto del N es igual o diferente en presencia oausencia del P.


EFECTO DEL N y P SOBRE EL RENDIMIENTO DEL MAÍZ

Trat Descrip. I II III IV V Total

1 N1P1 1,0 1,6 1,2 1,3 1,3 6,4

2 N1P2 3,2 4,5 5,6 5,5 4,4 23,2

3 N2P1 1,5 2,3 1,1 1,4 1,6 7,9

4 N2P2 3,8 5,0 6,0 6,2 4,8 25,8

Total 9,5 13,4 13,9 14,4 12,1 63,3

2 FACTORES (N Y P)4 TRATAMIENTOS5 REPETICIONES

EFECTO DEL N Y EL P SOBRE EL RENDIMIENTO DEL MAÍZ

ARREGLOS FACTORIALES: Ejemplo

GL SC CM Fc Ft

Rep 4

Trat 3

N=Factor A 1

P=Factor B 1

NxP 1

Error 12

Total 19

200,3420

63,3FC2

68,6934,2008,4......0,1 22 SCtot

11,6134,2005

8,25....4,6 22

SCtrat

85,334,2004

1,12....5,9 22

SCrep


SCerror = SCtot – SCrep – SCtrat = 69,69 – 3,85 – 61,11= 4,72


GL SC CM Fc Ft

Rep 4 3,85

Trat 3 61,11

N=Factor A 1

P=Factor B 1

NxP 1

Error 12 4,72

Total 19 69,68

84,034,20010

7,336,29 22

SCN 2,6034,20010

0,493,14 22

SCP

06,020,6084,011,61 SCPSCNSCTratSCNxP

Trat Descrip, I II III IV V Total1 N1P1 1,0 1,6 1,2 1,3 1,3 6,42 N1P2 3,2 4,5 5,6 5,5 4,4 23,23 N2P1 1,5 2,3 1,1 1,4 1,6 7,94 N2P2 3,8 5,0 6,0 6,2 4,8 25,8

Total 9,5 13,4 13,9 14,4 12,1 63,3

P1 P2 TotalN1 6,4 23,2 29,6N2 7,9 25,8 33,7

Total 14,3 49,0 63,3

GLSCCM /

La interacción no fue significativa, los factores actúanindependientemente

Los resultados se discuten en base a los efectos principales


GL SC CM Fc FtRep 4 3,85 0,96 2,47Trat 3 61,11 20,37 52,23

N=Factor A 1 0,84 0,84 2,15 nsP=Factor B 1 60,20 60,20 154,35 **

NxP 1 0,06 0,06 0,15 nsError 12 4,72

Total 19 69,68

CMeCMF /

El fósforo fue significativo, el aumento de la dosis defósforo favoreció un aumento en el rendimiento de:

49,0 – 14,3 = 34,7

P1 P2 Total

N1 6,4 23,2 29,6

N2 7,9 25,8 33,7

Total 14,3 49,0 63,3

Ejemplo 2

Consideremos dos factores (Fósforo y Nitrógeno), condos niveles cada factor, Un experimento 22,, que resultaen 2 x 2 = 4 tratamientos.

NNN1

N2

N1

N2PP

P1

P2

P1

P2

N1P1N1P2N2P1N2P2




Trat Descrip, I II III IV V Total

1 N1P1 2,1 2,6 2,2 2,3 2,3 11,5

2 N1P2 3,2 3,5 5,6 5,5 4,4 22,2

3 N2P1 5,5 5,3 4,7 5,4 5,6 26,5

4 N2P2 3,8 3,2 4,1 4,2 4,8 20,1

Total 14,6 14,6 16,6 17,4 17,1 80,3




GL SC CM Fc Ft

Rep 4

Trat 3

N=Factor A 1

P=Factor B 1

NxP 1

Error 12

Total 19

4,32220

3,80 2

FC

8,304,3228,4......1,2 22 SCtot

9,234,3225

1,20....5,11 22

SCtrat

86,14,3224

1,17....6,14 22

SCrep


SCerror = SCtot – SCrep – SCtrat = 30,77 – 1,86 – 23,87 = 5,04


GL SC CM Fc Ft

Rep 4 1,86

Trat 3 23,87

N=Factor A 1

P=Factor B 1

NxP 1

Error 12 5,04

Total 19 30,77

32,84,32210

6,467,33 22

SCN

92,04,32210

3,420,38 22

SCP

63,1492,032,887,23 SCPSCNSCtratSCNxP


Total 14,6 14,6 16,6 17,4 17,1 80,3

P1 P2 TotalN1 11,5 22,2 33,7

N2 26,5 20,1 46,6

Total 38,0 42,3 80,3

GLSCCM /

La interacción fue significativa, por lo cual debe ser desglosada y analizada


CMeCMF /

GL SC CM Fc FtRep 4 1,86 0,47 1,11Trat 3 23,87 7,96 18,94 **

N=Factor A 1 8,32 8,32 19,81 **P=Factor B 1 0,92 0,92 2,19 ns

NxP 1 14,63 14,63 34,83 **Error 12 5,04 0,42Total 19 30,77

Ejemplo 3

Consideremos dos factores (Fósforo y Nitrógeno), condos niveles cada factor, Un experimento 22,, que resultaen 2 x 2 = 4 tratamientos.

NNN1

N2

N1

N2PP

P1

P2

P1

P2

N1P1N1P2N2P1N2P2




Trat Descrip, I II III IV V Total

1 N1P1 1,0 1,6 1,2 1,3 1,3 6,4

2 N1P2 3,2 4,5 5,6 5,5 4,4 23,2

3 N2P1 5,5 5,3 4,7 5,4 5,6 26,5

4 N2P2 5,8 5,0 6,0 6,2 6,8 29,8

Total 15,5 16,4 17,5 18,4 18,1 85,9




GL SC CM Fc Ft

Rep 4

Trat 3

N=Factor A 1

P=Factor B 1

NxP 1

Error 12

Total 19

9,36820

9,85 2

FC

17,719,3688,4......0,1 22 SCtot

96,649,3685

8,29....4,6 22

SCtrat

47,19,3684

1,18....5,15 22

SCrep




GL SC CM Fc Ft

Rep 4 1,47

Trat 3 64,96

N=Factor A 1

P=Factor B 1

NxP 1

Error 12 4,75

Total 19 71,17

64,359,36810

3,566,29 22

SCN

20,209,36810

0,539,32 22

SCP

12,920,2064,3596,64 SCPSCNSCtratSCNxP


Total 15,5 16,4 17,5 18,4 18,1 85,9

P1 P2 TotalN1 6,4 23,2 29,6N2 26,5 29,8 56,3

Total 32,9 53,0 85,9

GLSCCM /



CMeCMF /

GL SC CM Fc FtRep 4 1,47 0,37Trat 3 64,96 21,65 54,1 **

N=Factor A 1 35,64 35,64 89,1 **P=Factor B 1 20,20 20,20 50,5 **

NxP 1 9,12 9,12 22,8 **Error 12 4,75 0,40Total 19 71,17

• A través de gráficos

• Por medio de cuadros

• Con la Estadística

¿Como Interpretar una Interacción?

1.– No hay respuesta - No existe interacción

2.– Efecto Simple del Factor A - No existe interacción

3.– Efecto Simple del Factor B - No existe interacción

4.– Efecto Simple de los Factores, No existe interacción

5.- Interacción - Magnitud de la Interacción

Profundidad de muestreo (cm)

Cosecha 0-5 5-10 10-15 15-20

1 3449,7 Aa 2579,5 Ab 771,8 Ac 329,1 Ac

2 2631,0 Ba 1035,4 Bb 176,5 Bc 48,8 Bc

Letras diferentes indican promedios estadísticamente diferentes (p 0,05).Letras mayúsculas para las comparaciones entre cosechas a un mismo nivel de profundidad.Letras minúsculas para las comparaciones entre profundidades a un mismo nivel de cosecha.

Cuadro X. Diferencias de promedios (LSD Fisher, 5% P) para las comparacionesde los datos del rendimiento de frutos en Arachis pintoi según elestrato y la época de cosecha (kg/ ha).



GL SC CM Fc Ft

Rep 4 1,47 0,37

Trat 3 64,96 21,65 54,1 **

N=Factor A 1 35,64 35,64 89,1 **

P=Factor B 1 20,20 20,20 50,5 **

NxP 1 9,12 9,12 22,8 **

Error 12 4,75 0,40

Total 19 71,17

• La presencia de interacción indica que existe algún tipo derelación entre el N y el P, por ello se ignoran los efectosprincipales y se estudia la interacción.

SC N/P= SC N + SC NxP = 35,64 + 9,12 = 44,76

GL N/P = GL N + GL NxP = 1 + 1 = 2


• Si solo uno de los factores hubiese resultado significativo,p.e.: P*, se estudiaría el comportamiento del fósforo dentrode cada nivel de nitrógeno.

• En nuestro caso, resulta indistinto el factor que se tomecomo base.

SC N/P1 = (6,42+26,52)/5 – 32,92/10 = 40,40

SC N/P2 = (23,22 + 29,82)/5 – 53,02/10 = 4,36

P1 P2 Total

N1 6,4 23,2 29,6

N2 26,5 29,8 56,3

Total 32,9 53,0 85,9


GL SC CM Fc Ft

Rep 4 1,47 0,37

Trat 3 64,96 21,65 54,1 **

N=Factor A 1 35,64 35,64 89,1 **

P=Factor B 1 20,20 20,20 50,5 **

NxP 1 9,12 9,12 22,8 **

N/P 2 44,76

N/P1 1 40,40 40,40 101,0 **N/P2 1 4,36 4,36 10,9 **

Error 12 4,75 0,40

Total 19 71,17

0

5

10

15

20

25

30

35

P1 P2

N1N2


Errores comunes en la interpretación de interacciones

Pardo et al., 2007

• No se analiza la interacción, a pesar de que los objetivos explícitos del estudio y/o el diseño experimental lo requieren.

– La interacción se interpreta a partir de un gráfico o de una tabla de medias.

Errores comunes en la interpretaciónde interacciones

• Se analiza la interacción pero no se interpreta

– La interacción se interpreta incorrectamente como un efecto principal.

– Existe una interacción significativa a la que no se le presta atención.


• La interacción se analiza e interpreta recurriendo a los efectos simples.

– Se recurre al análisis de los efectos simples por separado para interpretarla.

– Se recurre directamente al análisis de los efectos simples por separado sin valorar previamente la presencia de una interacción significativa.


Cómo efectuar comparaciones para analizar la interacción

• Definir comparaciones lineales de un grado de libertad para conseguir interpretar una interacción significativa.

• Implica un número de comparaciones elevado– Las comparaciones que más ayudan a los investigadores a

interpretar una interacción significativa suelen ser aquellas que permiten comparar entre sí los efectos simples.

– La necesidad de interpretar una interacción significativa quedará satisfecha, normalmente, comparando entre sí cada efecto de A en cada nivel de B, es decir, comparando entre sí los efectos simples de A.


• Comparando entre sí cada efecto de A en cada nivel de B

Comparar la diferencia entre μ12 y μ22 (o efecto simple de A en B2) con la diferencia entre μ11 y μ21 (o efecto simple de A en B1)

Comparar la diferencia entre μ13 y μ23 (o efecto simple de A en B3) con la diferencia entre μ11 y μ21 (o efecto simple de A en B1)

Comparar la diferencia entre μ13 y μ23 (o efecto simple de A en B3), con la diferencia entre μ12 y μ22 (o efecto simple de A en B2),


El método es importante!!!

Repet A0B0C0 A0B0C1 A0B1C0 A0B1C1 A1B0C0 A1B0C1 A1B1C0 A1B1C1

I 17 30 28 30 35 29 30 27II 14 30 20 35 28 29 32 24III 16 28 27 25 35 32 27 26

EJERCICIO ARREGLOS FACTORIALES

Efecto de concentraciones variables de:A. Agua de coco (10 y 20%)B. Bencil Adenina (5 y 10 mg/L)C. Caseina hidrolizada (1,5 y 3,0 g/L)

sobre el diámetro del callo (mm) de explantes demeristemos de parchita,

3 FACTORES (A B C)8 TRATAMIENTOS3 REPETICIONES

Efecto de agua de coco, bencil adenina y caseina sobre explantes de parchitaARREGLOS FACTORIALES: Ejemplo

GL SC CM Fc FtRep 2Trat 7

Factor A 1Factor B 1Factor C 1

A x B 1A x C 1B x C 1A x B x C 1

Error 14Total 23

17821,524

654FC2

5,7405,1782126......3017SCtot 222

17,5895,178213

77....8847SCtrat222

0,135,178213

216212226SCrep222



GL SC CM Fc FtRep 2 13,00 6,50Trat 7 589,17 84,17 8,52

Factor A 1Factor B 1Factor C 1

A x B 1A x C 1B x C 1A x B x C 1

Error 14 138,33 9,24Total 23 740,50


Efecto de agua de coco, bencil adenina y caseina sobre explantes de parchita

50,12117821,512

354300SCA22

67,217821,512

331323SCB22

SCBSCASCABSCAxB

67,11267,250,12183,236SCAxB

A0 A1 TotalB0 135 188 323B1 165 166 331

Total 300 354 654

17821,56

166165188135SCAB2222

83,236SCAB



Factor A 1 121,50Factor B 1 2,67Factor C 1

A x B 1 112,67A x C 1B x C 1A x B x C 1

Error 14 138,33 9,88Total 23 740,50

00,5417821,512

345309SCC22

SCCSCASCACSCAxC

A0 A1 TotalC0 122 187 309

C1 178 167 345

Total 300 354 654

67,24000,5450,12117,416SCAxC

17821,56

167178187122 2222

SCAC

17,416SCAC



Factor A 1 121,50Factor B 1 2,67Factor C 1 54,00

A x B 1 112,67A x C 1 240,67B x C 1A x B x C 1

Error 14 138,33 9,88Total 23 740,50

SCBxCSCAxCSCAxBSCCSCBSCASCTratSCAxBxC

50,3767,24067,11200,5467,250,12117,589 SCAxBxC

17,20SCAxBxC

94,17 17821,56

167178164145SCBC2222

SCCSCBSCBCSCBxC

50,3700,5467,217,94 SCBxC

B0 B1 TotalC0 145 164 309

C1 178 167 345

Total 323 331 654




A x B 1 112,67A x C 1 240,67B x C 1 37,50A x B x C 1 20,17

Error 14 138,33 9,88Total 23 740,50




A x B 1 112,67A x C 1 240,67B x C 1 37,50A x B x C 1 20,17

Error 14 138,33 9,88Total 23 740,50

GLSCCM / CMeCMF /

121,502,67

54,00112,64240,67

37,5020,17

12,300,275,47

11,4024,36

3,802,04

**ns******nsns

**

08,23412

3236

1881350B/SCA222

A0 A1 Total

B0 135 188 323B1 165 166 331

Total 300 354 654 08,012

3316

1661651B/SCA222

A0 A1 TotalC0 122 187 309

C1 178 167 345

Total 300 354 654

08,35212

3096

1871220C/SCA222

08,1012

3456

1671781C/SCA222

ARREGLOS FACTORIALES: EjemploGL SC CM Fc Ft

Rep 2 13,00 6,50Trat 7 589,17 84,17 8,52 **

Factor A 1 121,50 121,50 12,30 **Factor B 1 2,67 2,67 0,27 nsFactor C 1 54,00 54,00 5,47 **

A x B 1 112,67 112,67 11,40 **A/B0 1 234,08A/B1 1 0,09

A x C 1 240,67 240,67 24,36 **A/C0 1 352,08A/C1 1 10,09

B x C 1 37,50 37,50 3,80 nsA x B x C 1 20,17 20,17 2,04 ns

Error 14 138,33 9,88Total 23 740,50

223,080,09

352,0810,09

23,690,01

35,661,02

**ns

**ns

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

A0A1

B0 B1

Interacción agua de coco - bencil adenina sobre explantes de parchita

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

A0A1

C0 C1

Interacción agua de coco - caseina sobre explantes de parchita

7 arreglos factoriales 2015

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