Diseños Factoriales

Transcript of Diseños Factoriales

Diseño FactorialesMaestría en Ingeniería

Msc. Julio Hurtado Msc. Roberto Gomez

2011

Acreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 1 / 76

Competencias para esta unidad

Diferenciar los modelos, las hipótesis y la interpretación dediseños factoriales cuando sus factores sean de efectos �jos y/oefectos aleatorios y/o de efectos mixtos y en bloques, construyendoadecuadamente la tabla Anova.

Construir diseños factoriales con factores de efectos �jos y/oefectos aleatorios y/o de efectos mixtos, validarlos experimentalmenteusando las técnicas Anova, comparaciones múltiples y los análisisgrá�cos.

Competencias para esta unidad

Diferenciar los modelos, las hipótesis y la interpretación dediseños factoriales cuando sus factores sean de efectos �jos y/oefectos aleatorios y/o de efectos mixtos y en bloques, construyendoadecuadamente la tabla Anova.

Construir diseños factoriales con factores de efectos �jos y/oefectos aleatorios y/o de efectos mixtos, validarlos experimentalmenteusando las técnicas Anova, comparaciones múltiples y los análisisgrá�cos.

Conceptos básicos en diseños factoriales

En muchos procesos, se estudia la in�uencia varios factoresde manera simultánea sobre una o varias variables de respuesta,donde:

cada factor tiene la misma importancia apriorilos factores interactúan entre sí.

Estos diseños experimentales son los llamados diseñosfactoriales.

cada factor tiene la misma importancia apriori

los factores interactúan entre sí.

El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto devarios factores sobre una o varias respuestas y determinar unacombinación de niveles de los factores en la cual el desempeño delproceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales,encontrando nuevas condiciones de operación del proceso que elimineno disminuyan ciertos problema de calidad en la variable de salida.

Los factores pueden ser de tipo:

cualitativo, p.ej, máquinas, tipos de material, operador, la presencia oausencia de una operación previa, etc.cuantitativo, p.ej, temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.

Para poder estudiar la manera en como in�uye cada factorsobre la variable respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles deprueba para cada uno de ellos, p.ej, tres máquinas, dos operadores,tres velocidades, dos temperaturas, etc

En el diseño factorial completo se corren aleatoriamente en el procesotodas las posibles combinaciones que pueden formarse con los nivelesseleccionados.

Los factores pueden ser de tipo:cualitativo, p.ej, máquinas, tipos de material, operador, la presencia oausencia de una operación previa, etc.

cuantitativo, p.ej, temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.

Los factores pueden ser de tipo:cualitativo, p.ej, máquinas, tipos de material, operador, la presencia oausencia de una operación previa, etc.cuantitativo, p.ej, temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.

Diseños factoriales

Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es elconjunto de puntos experimentales o tratamientos que puedenformarse considerando todas las posibles combinaciones de los nivelesde los factores.

Por ejemplo, con k = 2 factores, ambos con dos niveles de prueba, seforma el diseño factorial 2� 2 = 22, que consiste de cuatrocombinaciones o puntos experimentales.

Con k = 2 factores, uno con tres niveles y otro con dos niveles, sepueden construir 3� 2 combinaciones que dan lugar al diseñofactorial 3� 2.

El nombre del diseño factorial va implícito el número tratamientos quelo componen.El número de total corridas experimentales es el número detratamientos por el número de réplicas.

El nombre del diseño factorial va implícito el número tratamientos quelo componen.

El número de total corridas experimentales es el número detratamientos por el número de réplicas.

Familia de diseños factoriales

La familia de diseños factoriales 2k consiste de k factores,todos con dos niveles de prueba.

La familia de diseños factoriales 3k consiste de k factorescada uno con tres niveles de prueba.

Con k = 3 factores, el primero con cuatro niveles y los dos restantescon dos niveles, se tiene el diseño factorial 4� 2� 2 o 4� 22, queconsiste de 16 combinaciones de niveles diferentes.

Ejemplo de diseños factoriales

Diseño factorial 22. Supongamos que se tienen dos factores A:tiempo y B: velocidad, cada uno con dos niveles (bajo y alto)denotados por A1 = 3 min, A2 = 6 min y B1 = 600 rpm, B2 = 1000rpm, respectivamente. La respuesta de interés (Y ) es la cantidad deaditivo. En la tabla 1 se muestran los cuatro tratamientos o puntosdel diseño factorial 22. En el experimento original cada tratamiento secorrió tres veces (tres réplicas), lo que da un total de 12 corridas delproceso, pero por simplicidad en la última columna de la tabla 1 sólose han anotado los resultados de la primera réplica.

Tabla 1A: Tiempo B: velocidad Y

A1 B1 17.10A2 B1 16.26A1 B2 18.76A2 B2 18.16

Ejemplo de diseños factoriales

Diseño factorial 22. Supongamos que se tienen dos factores A:tiempo y B: velocidad, cada uno con dos niveles (bajo y alto)denotados por A1 = 3 min, A2 = 6 min y B1 = 600 rpm, B2 = 1000rpm, respectivamente. La respuesta de interés (Y ) es la cantidad deaditivo. En la tabla 1 se muestran los cuatro tratamientos o puntosdel diseño factorial 22. En el experimento original cada tratamiento secorrió tres veces (tres réplicas), lo que da un total de 12 corridas delproceso, pero por simplicidad en la última columna de la tabla 1 sólose han anotado los resultados de la primera réplica.

Tabla 1A: Tiempo B: velocidad Y

A1 B1 17.10A2 B1 16.26A1 B2 18.76A2 B2 18.16

Efecto principal y efecto de interacción

El efecto de un factor se de�ne como el cambio observadoen la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor.

El efecto principal de un factor es la diferencia entre larespuesta media observada cuando tal factor estuvo en su nivel alto yla respuesta media observada cuando el factor estuvo en su nivel bajo.

Para los datos de la tabla 1, los efectos principales del tiempo y de lavelocidad están dados por

Efecto A (tiempo) = 16.26+18.162 � 17.10+18.76

2 = �0.72Efecto B (velocidad) = 18.76+18.16

2 � 17.10+16.262 = 1.78.

Efecto A (tiempo) = 16.26+18.162 � 17.10+18.76

2 � 17.10+16.262 = 1.78.

Efecto A (tiempo) = 16.26+18.162 � 17.10+18.76

2 � 17.10+16.262 = 1.78.

Efecto A (tiempo) = 16.26+18.162 � 17.10+18.76

2 = �0.72

Efecto B (velocidad) = 18.76+18.162 � 17.10+16.26

2 = 1.78.

Efecto A (tiempo) = 16.26+18.162 � 17.10+18.76

2 � 17.10+16.262 = 1.78.

Dos factores interactúan entre sí o tienen un efecto deinteracción sobre la respuesta, cuando el efecto de un factor dependedel nivel en que se encuentra el otro.

Por ejemplo: los factores tiempo y velocidad interactúan si el efectodel tiempo es muy diferente en cada nivel de la velocidad, o viceversa.

Por ejemplo, de la tabla 1: el efecto de A cuando B es baja es

Efecto A (con B bajo) = 16.26� 17.10 = �0.84y cuando la velocidad es alta, el efecto de A es:Efecto A (con B alto) = 18.16� 18.76 = �0.6

Efecto A (con B bajo) = 16.26� 17.10 = �0.84

y cuando la velocidad es alta, el efecto de A es:Efecto A (con B alto) = 18.16� 18.76 = �0.6

Efecto A (con B bajo) = 16.26� 17.10 = �0.84y cuando la velocidad es alta, el efecto de A es:

Efecto A (con B alto) = 18.16� 18.76 = �0.6

El efecto de interacción entre A y B, denotado por AB, esla diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores seencuentran en el mismo nivel ((bajo, bajo), (alto, alto)), y larespuesta media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos((bajo, alto), (alto, bajo)).

Para el ejemplo,

AB =17.10+ 18.16

2� 16.26+ 18.76

2= 0.12

El valor absoluto del efecto de un factor es una medida desu in�uencia sobre la respuesta. Se requiere del Anova, para saber siéstos son estadísticamente signi�cativos.

Para el ejemplo,

AB =17.10+ 18.16

2� 16.26+ 18.76

2= 0.12

Para el ejemplo,

AB =17.10+ 18.16

2� 16.26+ 18.76

2= 0.12

Diseños factoriales con dos factores

De dos factores A y B con a y b (a, b � 2) niveles deprueba, respectivamente, se construye el diseño factorial con a� btratamientos. Una réplica es la repetición completa del arreglofactorial.

Los diseños factoriales con menos de cuatro factores secorren replicados para poder tener la potencia necesaria en laspruebas estadísticas sobre los efecto de interés.

Si se hacen n réplicas, el número total de corridasexperimentales es n(a� b).

Modelo estadístico

El modelo para un diseño factorial con k réplicas es:

Yijk = µ+ αi + βj + (αβ)ij + εijk ; (1)

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., n,µ : media global,αi : efecto medio sobre la respuesta Y debido al i-ésimo nivel del factorA,βj :efecto medio sobre la respuesta Y debido al j-ésimo nivel del factorB,(αβ)ij :efecto medio sobre la respuesta Y debido de interacción de losfactores.

εijk :error aleatorio, εijkindependientes

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., n,

µ : media global,αi : efecto medio sobre la respuesta Y debido al i-ésimo nivel del factorA,βj :efecto medio sobre la respuesta Y debido al j-ésimo nivel del factorB,(αβ)ij :efecto medio sobre la respuesta Y debido de interacción de losfactores.

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., n,µ : media global,

αi : efecto medio sobre la respuesta Y debido al i-ésimo nivel del factorA,βj :efecto medio sobre la respuesta Y debido al j-ésimo nivel del factorB,(αβ)ij :efecto medio sobre la respuesta Y debido de interacción de losfactores.

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., n,µ : media global,αi : efecto medio sobre la respuesta Y debido al i-ésimo nivel del factorA,

βj :efecto medio sobre la respuesta Y debido al j-ésimo nivel del factorB,(αβ)ij :efecto medio sobre la respuesta Y debido de interacción de losfactores.

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., n,µ : media global,αi : efecto medio sobre la respuesta Y debido al i-ésimo nivel del factorA,βj :efecto medio sobre la respuesta Y debido al j-ésimo nivel del factorB,

(αβ)ij :efecto medio sobre la respuesta Y debido de interacción de losfactores.

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

� N�0, σ2

�.

Además,a

∑i=1

αi =b

∑j=1

βj =a

∑i=1(αβ)ij =

b

∑j=1(αβ)ij = 0.

Modelo estadístico

Si ambos factores son cuantitativos, se tiene el modelo de regresiónasociado:

Yijk = β0 + β1X1 + β2X2 + β12X1X2 + εijk (2)

β0 representa a la media general,β1 es el efecto del factor X1 = A,β2 el efecto del factor X2 = Bβ12 representa el efecto de interacción X1X2 = AB.

� N�0, σ2

�.

Modelo estadístico

β0 representa a la media general,

β1 es el efecto del factor X1 = A,β2 el efecto del factor X2 = Bβ12 representa el efecto de interacción X1X2 = AB.

� N�0, σ2

�.

Modelo estadístico

β0 representa a la media general,β1 es el efecto del factor X1 = A,

β2 el efecto del factor X2 = Bβ12 representa el efecto de interacción X1X2 = AB.

� N�0, σ2

�.

Modelo estadístico

β0 representa a la media general,β1 es el efecto del factor X1 = A,β2 el efecto del factor X2 = B

β12 representa el efecto de interacción X1X2 = AB.

� N�0, σ2

�.

Modelo estadístico

� N�0, σ2

�.

Modelo estadístico

� N�0, σ2

�.

Modelo estadístico

Los modelos

Yijk = µ+ αi + βj + (αβ)ij + εijk ;

y

Yijk = β0 + β1X1 + β2X2 + β12X1X2 + εijk

con los correspondientes parámetros miden ambos los mismos efectos,pero no lo hacen en la mima escala.

Los βi representan pendientes de la super�cie de respuesta en elmodelo de regresión y no desviaciones respecto a la media globalcomo los αi y βj del modelo lineal.

Modelo estadístico

Los modelos

Yijk = µ+ αi + βj + (αβ)ij + εijk ;

y

Yijk = β0 + β1X1 + β2X2 + β12X1X2 + εijk

con los correspondientes parámetros miden ambos los mismos efectos,pero no lo hacen en la mima escala.

Los βi representan pendientes de la super�cie de respuesta en elmodelo de regresión y no desviaciones respecto a la media globalcomo los αi y βj del modelo lineal.

Hipotesis a evaluar y análisis de varianza

En un diseño factorial a� b interesa estudiar los tresefectos A, B y AB.

Se pide probar las hipótesis siguientes:

H0 : Efecto A = 0HA : Efecto A 6= 0

H0 : Efecto B = 0HA : Efecto B 6= 0,

H0 : Efecto AB = 0HA : Efecto AB 6= 0.

En un diseño factorial a� b interesa estudiar los tresefectos A, B y AB.

Se pide probar las hipótesis siguientes:

H0 : Efecto A = 0HA : Efecto A 6= 0

H0 : Efecto B = 0HA : Efecto B 6= 0,

H0 : Efecto AB = 0HA : Efecto AB 6= 0.

En términos de efectos:

H0 : α1 = α2 = � � � = αa = 0HA : αi 6= 0 para algún i

H0 : β1 = β2 = � � � = βb = 0HA : βj 6= 0 para algún j

H0 : (αβ)ij = 0 para todo ijHA : (αβ)ij 6= 0 para algún ij .

La variación total se descompone como

SCT = SCA+ SCB + SCAB + SCE

y los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son:

nab� 1 = (a� 1) + (b� 1) + (a� 1)(b� 1) + ab(n� 1).

En términos de efectos:

H0 : α1 = α2 = � � � = αa = 0HA : αi 6= 0 para algún i

H0 : β1 = β2 = � � � = βb = 0HA : βj 6= 0 para algún j

H0 : (αβ)ij = 0 para todo ijHA : (αβ)ij 6= 0 para algún ij .

La variación total se descompone como

SCT = SCA+ SCB + SCAB + SCE

y los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son:

nab� 1 = (a� 1) + (b� 1) + (a� 1)(b� 1) + ab(n� 1).Acreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 17 / 76

La tabla Anova es:

Tabla 2Variabilidad SC GL CM F0 valor-p

Efecto A SCA a-1 CMA CMACME P(F> FA0 )

Efecto B SCB b-1 CMB CMBCME P(F> FB0 )

Efecto AB SCAB (a-1)(b-1) CMAB CMABCME P(F> FAB0 )

Error SCE ab(n-1) CMETotal SCT abn-1

Si valor P < α, el efecto del factor correspondiente esestadísticamente signi�cativo y debe tomarse en cuenta en lainterpretación de los resultados.

La tabla Anova es:

Tabla 2Variabilidad SC GL CM F0 valor-p

Si valor P < α, el efecto del factor correspondiente esestadísticamente signi�cativo y debe tomarse en cuenta en lainterpretación de los resultados.

Notación de puntos para sumas y medias

Las notaciones usuales para sumas y totales

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y ��= Y��abn

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

Y��=a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Yi ��=b

∑j=1

n

∑k=1

Yijk

Y�j �=a

∑i=1

n

∑k=1

Yijk

Yij �=n

∑k=1

Yijk

Y i ��=Yi ��bn ; i = 1, 2, ..., a

Y �j �=Y�j �an ; j = 1, 2, ..., b

Y ij �=Yij �n

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

Y 2ijk�Y 2��abn

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

Y 2��abn � SCA� SCB

SCE = SCT � SCA� SCB � SCAB.

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

Ejemplo de un diseño factorial

Consideremos un experimento en el que se quiere estudiarel efecto de los factores velocidad de alimentación y profundidad decorte sobre el acabado de un metal. Aunque los factores son denaturaleza continua, en este proceso sólo se pueden trabajar en 3 y 4niveles, respectivamente. Por ello, se decide correr un factorialcompleto 4� 3 con tres réplicas, que permitirá obtener toda lainformación relevante en relación al efecto de estos factores sobre elacabado. Aleatorizando las 36 pruebas se obtienen los datos en latabla 3 El acabado (Y ) está en unidades de gramos e interesaminimizar su valor.

Los datos aparecen acontinuaciónTabla 3 A: Profundidad (pulg.)B: veloc 0.15 0.18 0.21 0.24

74 79 82 990.20 64 68 88 104

60 73 92 9692 98 99 104

0.25 86 104 108 11088 88 95 9999 104 108 114

0.30 98 99 110 111102 95 99 107

El modelo estadístico efectos para el diseño factorial 4� 3que está en la tabla 2, está dado por:

Yijk = µ+ γi + δj + (γδ)ij + εijki = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3

donde

γi es el efecto medio del nivel i de la profundidadδj es el efecto medio del nivel j de la velocidad(γδ)ij es efecto medio de la interacción del nivel i de la profundidad ydel nivel j de la velocidadεijk es el error aleatorio correspondiente a la medición ij en la k ésimaréplica

Yijk = µ+ γi + δj + (γδ)ij + εijk

i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3

donde

donde

donde

donde

γi es el efecto medio del nivel i de la profundidad

δj es el efecto medio del nivel j de la velocidad(γδ)ij es efecto medio de la interacción del nivel i de la profundidad ydel nivel j de la velocidadεijk es el error aleatorio correspondiente a la medición ij en la k ésimaréplica

donde

γi es el efecto medio del nivel i de la profundidadδj es el efecto medio del nivel j de la velocidad

(γδ)ij es efecto medio de la interacción del nivel i de la profundidad ydel nivel j de la velocidadεijk es el error aleatorio correspondiente a la medición ij en la k ésimaréplica

donde

γi es el efecto medio del nivel i de la profundidadδj es el efecto medio del nivel j de la velocidad(γδ)ij es efecto medio de la interacción del nivel i de la profundidad ydel nivel j de la velocidad

εijk es el error aleatorio correspondiente a la medición ij en la k ésimaréplica

donde

Las hipótesis de interés para los tres factores en el modeloanterior son:

H0 : Efecto de profundidad (A) = 0HA : Efecto de profundidad (A) 6= 0H0 : Efecto de velocidad (B) = 0HA : Efecto de velocidad (B) 6= 0,H0 : Efecto de profundidad� velocidad (AB) = 0HA : Efecto de profundidad� velocidad (AB) 6= 0

H0 : Efecto de profundidad (A) = 0HA : Efecto de profundidad (A) 6= 0

H0 : Efecto de velocidad (B) = 0HA : Efecto de velocidad (B) 6= 0,H0 : Efecto de profundidad� velocidad (AB) = 0HA : Efecto de profundidad� velocidad (AB) 6= 0

H0 : Efecto de profundidad (A) = 0HA : Efecto de profundidad (A) 6= 0H0 : Efecto de velocidad (B) = 0HA : Efecto de velocidad (B) 6= 0,

H0 : Efecto de profundidad� velocidad (AB) = 0HA : Efecto de profundidad� velocidad (AB) 6= 0

H0 : Efecto de profundidad (A) = 0HA : Efecto de profundidad (A) 6= 0H0 : Efecto de velocidad (B) = 0HA : Efecto de velocidad (B) 6= 0,H0 : Efecto de profundidad� velocidad (AB) = 0HA : Efecto de profundidad� velocidad (AB) 6= 0

y los datos aparecen en la siguiente tabla:

Tabla 3 A: Profundidad (pulg.)0.15 0.18 0.21 0.24 Y�j �

B: veloc 74 79 82 990.20 64 198 68 220 88 262 104 299 979

60 73 92 9692 98 99 104

0.25 86 266 104 290 108 302 110 313 117188 88 95 9999 104 108 114

0.30 98 299 99 298 110 317 111 332 1246102 95 99 107

Yi �� 763 808 881 944 Y��=3396

Realice los siguientes càlculos

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

n

∑k=1

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bn �

Y 2��abn

SCB =b

∑j=1

Y 2�j �an �

Y 2��abn

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij �n �

y construya la tabla ANOVA

Tabla 3. ANOVAF.V SC GL CM F0 valor-pB: velocA: profuABErrorTotal

Del ANOVA que se concluye para los tres efectos A : vel , B : prof yAB ¿están activos o in�uyen en el acabado?.

SCT =4

∑i=1

3

∑j=1

3

∑k=1

Y 2ijk� 339624�3�3= 6532.0

SCA = 7632+8082+8812+94423�3 � 33962

4�3�3 = 2125.1

SCB = 9792+11712+124624�3 � 33962

4�3�3 = 3160.5

SCAB = 1982+2202+��+33223 � 33962

4�3�3 � 2125.1� 3160.5 = 557.07

SCE = 6532.0� 2125.1� 3160.5� 557.07 = 689.33

SCT =4

∑i=1

3

∑j=1

3

∑k=1

Y 2ijk� 339624�3�3= 6532.0

SCA = 7632+8082+8812+94423�3 � 33962

4�3�3 = 2125.1

SCB = 9792+11712+124624�3 � 33962

4�3�3 = 3160.5

SCAB = 1982+2202+��+33223 � 33962

4�3�3 � 2125.1� 3160.5 = 557.07

SCE = 6532.0� 2125.1� 3160.5� 557.07 = 689.33

SCT =4

∑i=1

3

∑j=1

3

∑k=1

Y 2ijk� 339624�3�3= 6532.0

SCA = 7632+8082+8812+94423�3 � 33962

4�3�3 = 2125.1

SCB = 9792+11712+124624�3 � 33962

4�3�3 = 3160.5

SCAB = 1982+2202+��+33223 � 33962

4�3�3 � 2125.1� 3160.5 = 557.07

SCE = 6532.0� 2125.1� 3160.5� 557.07 = 689.33

SCT =4

∑i=1

3

∑j=1

3

∑k=1

Y 2ijk� 339624�3�3= 6532.0

SCA = 7632+8082+8812+94423�3 � 33962

4�3�3 = 2125.1

SCB = 9792+11712+124624�3 � 33962

4�3�3 = 3160.5

SCAB = 1982+2202+��+33223 � 33962

4�3�3 � 2125.1� 3160.5 = 557.07

SCE = 6532.0� 2125.1� 3160.5� 557.07 = 689.33

SCT =4

∑i=1

3

∑j=1

3

∑k=1

Y 2ijk� 339624�3�3= 6532.0

SCA = 7632+8082+8812+94423�3 � 33962

4�3�3 = 2125.1

SCB = 9792+11712+124624�3 � 33962

4�3�3 = 3160.5

SCAB = 1982+2202+��+33223 � 33962

4�3�3 � 2125.1� 3160.5 = 557.07

SCE = 6532.0� 2125.1� 3160.5� 557.07 = 689.33

y la tabla ANOVA

Tabla 3. ANOVAF.V SC GL CM F0 valor-pB: veloc 3160.5 2 1580.25 55.02 0.0000A: profu 2125.1 3 708.37 24.66 0.0000AB 557.07 6 92.84 3.23 0.018Error 689.33 24 28.72Total 6532.0 35

Del ANOVA se concluye que los tres efectos A : vel , B : prof y ABestán activos o in�uyen en el acabado.

y la tabla ANOVA

y la tabla ANOVA

Grá�co de interacción

Dado que el efecto de interacción AB resulta signi�cativo,prácticamente toda la información relevante del experimento se puedeapreciar en su representación grá�ca (�gura 4).

Acab

ado

Profundidad0.150.180.210.24

Efecto de InteracciónFigura 4

66

76

86

96

106

116

0.20 0.25 0.30Velocidad

Dado que el efecto de interacción AB resulta signi�cativo,prácticamente toda la información relevante del experimento se puedeapreciar en su representación grá�ca (�gura 4).

Acab

ado

66

76

86

96

106

116

0.20 0.25 0.30Velocidad

La signi�cancia de la interacción detectada por el ANOVA seobserva en el hecho de que las líneas en la �gura 4 no se mantienenparalelas a lo largo de los niveles del factor A (tienen diferentependiente).

Como lo que interesa es minimizar la variable de respuesta, se observaque a mayor velocidad y profundidad hay una tendencia a obtenerpeores acabados,

además se ve que cuando se tiene velocidad alta (A+) el efecto deprofundidad es menor (vease la dispersión de las líneas en la �guracuando la velocidad es alta).

Por tanto, las condiciones de operación o tratamiento que convienenes velocidad y profundidad bajas (A�,B�).

Comparaciones múltiples

Estas técnicas se aplican en diseños factoriales en más de dosniveles en cada factor, para decidir en especí�co cuáles de los nivelesprobados son estadísticamente diferentes entre sí.

Por facilidad, se notan los cuatro niveles de la profundidad (A) comoA1, A2, A3 y A4 y los cuatro niveles de la velocidad (B) como B1, B2,y B3.

Entonces, las de hipótesis para comparar las medias del factorprofundidad y velocidad son:

H0 : µA1 = µA2HA : µA1 6= µA2H0 : µA1 = µA3HA : µA1 6= µA2H0 : µA1 = µA4HA : µA1 6= µA4

Estas técnicas se aplican en diseños factoriales en más de dosniveles en cada factor, para decidir en especí�co cuáles de los nivelesprobados son estadísticamente diferentes entre sí.Por facilidad, se notan los cuatro niveles de la profundidad (A) comoA1, A2, A3 y A4 y los cuatro niveles de la velocidad (B) como B1, B2,y B3.

H0 : µA1 = µA2HA : µA1 6= µA2

H0 : µA1 = µA3HA : µA1 6= µA2H0 : µA1 = µA4HA : µA1 6= µA4

H0 : µA1 = µA4HA : µA1 6= µA4

H0 : µA2 = µA3HA : µA2 6= µA3

H0 : µA3 = µA4HA : µA3 6= µA4

H0 : µB1 = µB2HA : µB1 6= µB2

H0 : µB1 = µB3HA : µB1 6= µB2H0 : µB2 = µB3HA : µB2 6= µB3Usando el método LSD,se prueban las hipótesisdel factor A ignorando porel momento lainteracción.

La diferencia mínimasi�gni�cativa paracomparar los niveles i y ldel factor A, está dadapor

LSD(A) = tα/2,ab(n�1) �r�1nAi+ 1

nAl

�CME

LSD(A) = 2.064 �q� 29

�28.72 = 5.21

H0 : µB1 = µB2HA : µB1 6= µB2H0 : µB1 = µB3HA : µB1 6= µB2

H0 : µB2 = µB3HA : µB2 6= µB3Usando el método LSD,se prueban las hipótesisdel factor A ignorando porel momento lainteracción.

nAl

�CME

LSD(A) = 2.064 �q� 29

�28.72 = 5.21

H0 : µB1 = µB2HA : µB1 6= µB2H0 : µB1 = µB3HA : µB1 6= µB2H0 : µB2 = µB3HA : µB2 6= µB3

Usando el método LSD,se prueban las hipótesisdel factor A ignorando porel momento lainteracción.

nAl

�CME

LSD(A) = 2.064 �q� 29

�28.72 = 5.21

H0 : µB1 = µB2HA : µB1 6= µB2H0 : µB1 = µB3HA : µB1 6= µB2H0 : µB2 = µB3HA : µB2 6= µB3Usando el método LSD,se prueban las hipótesisdel factor A ignorando porel momento lainteracción.

nAl

�CME

LSD(A) = 2.064 �q� 29

�28.72 = 5.21

nAl

�CME

LSD(A) = 2.064 �q� 29

�28.72 = 5.21

nAl

�CME

LSD(A) = 2.064 �q� 29

�28.72 = 5.21

nAl

�CME

LSD(A) = 2.064 �q� 29

�28.72 = 5.21

donde nAi , nAl son el total de observaciones en el nivel i y l del factorA, que se está comparando.

Como el diseño es balanceado con cuatro niveles para el factor A,nAi = nAl = abn�4 = 9

Tabla 4. LSD (sin interacción)Factor A ni LS Mean Grupos0.15 9 84, 7778 X0.18 9 89, 7778 X0.21 9 97, 8889 X0.24 9 104, 889 X

Donde sólo la primera diferencia resulta no signi�cativa, es decir, seacepta

H0 : µA1 = µA2 ;

en las cinco comparaciones restantes se rechaza H0.

H0 : µA1 = µA2 ;

H0 : µA1 = µA2 ;

H0 : µA1 = µA2 ;

H0 : µA1 = µA2 ;

H0 : µA1 = µA2 ;

Comparaciones múltiplesgrá�cas de medias

Las mismas conclusiones para ambos factores se observan enlas grá�cas de medias de la �gura 5a y �gura 5b, donde no se tomaen cuenta el efecto de iteracción detectado en el ANOVA

Profundidad

Acab

ado

Graficas de medias: Factor A

0.15 0.18 0.21 0.2482

87

92

97

102

107

112

Figura 5a

Acab

ado

Grafica de medias: Factor BFigura 5b

0.20 0.25 0.3079

84

89

94

99

104

109

Velocidad

Del análisis que ignora el efecto de interacción se concluyó queµA2 6= µA3 ; µA2 6= µA4 ; µA3 6= µA4

las tres últimas profundidades son diferentes entre si.

Acab

ado

0.20 0.25 0.3079

84

89

94

99

104

109

Velocidad

las tres últimas profundidades son diferentes entre si.

Acab

ado

0.20 0.25 0.3079

84

89

94

99

104

109

Velocidad

las tres últimas profundidades son diferentes entre si.Acreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 36 / 76

Tomando en cuenta la interacción

Esta conclusión cambia al tomar en cuenta que el factorvelocidad interactúa con la profundidad.

Si observamos el efecto de interacción en la �gura 4, es fácil notarque las medias de las tres últimas profundidades están más cercanasentre sí cuando la velocidad está en su nivel intermedio que cuandoestá en su nivel bajo.

Acab

ado

66

76

86

96

106

116

0.20 0.25 0.30Velocidad

Esta conclusión cambia al tomar en cuenta que el factorvelocidad interactúa con la profundidad.

Si observamos el efecto de interacción en la �gura 4, es fácil notarque las medias de las tres últimas profundidades están más cercanasentre sí cuando la velocidad está en su nivel intermedio que cuandoestá en su nivel bajo.

Acab

ado

66

76

86

96

106

116

0.20 0.25 0.30Velocidad

Veámoslo de manera analítica en la velocidad intermedia (B), donde las medias muestrales del factor A : prof en la velocidadintermedia son (Tabla 2)

Y 12� = 2663 = 88.66;

Y 22� = 2903 = 96.66;

Y 32� = 3023 = 100.66;

Y 42� = 3133 = 104.33.

Entonces para comparar estas medias, la diferencia mínimasigni�cativa está dada por

LSDB2(A) = tα/2,ab(n�1) �s�

1n+1n

�CME

= 2.064 �s�

23

�28.72 = 9, 03

donde n es el número de réplicas de los tratamientos a comparar.

Y 12� = 2663 = 88.66;

Y 22� = 2903 = 96.66;

Y 32� = 3023 = 100.66;

Y 42� = 3133 = 104.33.

1n+1n

�CME

= 2.064 �s�

23

�28.72 = 9, 03

Y 12� = 2663 = 88.66;

Y 22� = 2903 = 96.66;

Y 32� = 3023 = 100.66;

Y 42� = 3133 = 104.33.

1n+1n

�CME

= 2.064 �s�

23

�28.72 = 9, 03

Y 12� = 2663 = 88.66;

Y 22� = 2903 = 96.66;

Y 32� = 3023 = 100.66;

Y 42� = 3133 = 104.33.

1n+1n

�CME

= 2.064 �s�

23

�28.72 = 9, 03

Y 12� = 2663 = 88.66;

Y 22� = 2903 = 96.66;

Y 32� = 3023 = 100.66;

Y 42� = 3133 = 104.33.

1n+1n

�CME

= 2.064 �s�

23

�28.72 = 9, 03

Y 12� = 2663 = 88.66;

Y 22� = 2903 = 96.66;

Y 32� = 3023 = 100.66;

Y 42� = 3133 = 104.33.

1n+1n

�CME

= 2.064 �s�

23

�28.72 = 9, 03

donde n es el número de réplicas de los tratamientos a comparar.Acreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 38 / 76

Note que la diferencia entre esta expresión para la LSD y laque no toma en cuenta la interacción, está precisamente en el factordentro de la raíz cuadrada que acompaña al CME, ya que ahí seanota el inverso del número de observaciones con los que seconstruyeron las medias muestrales con las que se calculan lasdiferencias. En el ejemplo n = 3

Tabla 5. LSD (con interacción)Factor A ni LS Mean GruposY 12� 9 88.66 XY 22� 9 96.66 X XY 32� 9 100.66 XY 42� 9 104, 33 X

Note que la diferencia entre esta expresión para la LSD y laque no toma en cuenta la interacción, está precisamente en el factordentro de la raíz cuadrada que acompaña al CME, ya que ahí seanota el inverso del número de observaciones con los que seconstruyeron las medias muestrales con las que se calculan lasdiferencias. En el ejemplo n = 3

Tabla 5. LSD (con interacción)Factor A ni LS Mean GruposY 12� 9 88.66 XY 22� 9 96.66 X XY 32� 9 100.66 XY 42� 9 104, 33 X

Tomando en cuenta el efecto de interacción AB se concluye que lastres profundidades mayores son estadísticamente iguales en nivelintermedio de la velocidad, lo contrario a lo que se había concluido enel análisis que ignora el efecto de interacción.

La grá�ca de interacción con intervalos LSD sobrepuestos se muestraen la �gura 7.

Acab

ado

Efecto de Interacción

Velocidad

61

71

81

91

101

111

121

0.20 0.25 0.30

Figura 7

Tomando en cuenta el efecto de interacción AB se concluye que lastres profundidades mayores son estadísticamente iguales en nivelintermedio de la velocidad, lo contrario a lo que se había concluido enel análisis que ignora el efecto de interacción.La grá�ca de interacción con intervalos LSD sobrepuestos se muestraen la �gura 7.

Acab

ado

Efecto de Interacción

Velocidad

61

71

81

91

101

111

121

0.20 0.25 0.30

Figura 7

Diseños factoriales con tres factores

Cuando se tienen tres factores (A, B y C) y el número deniveles de prueba en cada uno de ellos son a, b y c , se puedeconstruir el arreglo factorial a� b� c que consiste de a� b� ctratamientos o puntos experimentales.

Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia enaplicaciones diversas se encuentran:

el factorial 23,el factorial 33

y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de losfactores,

por ejemplo, el factorial 4� 3� 3 el factorial 4 x 4 x 2, por mencionardos de ellos.

el factorial 23,

el factorial 33

Modelo estadístico:

Yijkl = µ+ αi + βj + γk + (αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijkl

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., nµ es la media general,αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,βj es el efecto del nivel j del factor Bγk es el efecto del nivel k en el factor(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

Todos los efectos son desviaciones respecto a la media general.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., n

µ es la media general,αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,βj es el efecto del nivel j del factor Bγk es el efecto del nivel k en el factor(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., nµ es la media general,

αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,βj es el efecto del nivel j del factor Bγk es el efecto del nivel k en el factor(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., nµ es la media general,αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,

βj es el efecto del nivel j del factor Bγk es el efecto del nivel k en el factor(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., nµ es la media general,αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,βj es el efecto del nivel j del factor B

γk es el efecto del nivel k en el factor(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., nµ es la media general,αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,βj es el efecto del nivel j del factor Bγk es el efecto del nivel k en el factor

(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., nµ es la media general,αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,βj es el efecto del nivel j del factor Bγk es el efecto del nivel k en el factor(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,

(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., c ; l = 1, 2, ..., nµ es la media general,αi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A,βj es el efecto del nivel j del factor Bγk es el efecto del nivel k en el factor(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;

εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

El estudio factorial de tres factores permite investigar losefectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC.

Si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal es lineal,o sea que su efecto individual no se puede descomponer; pero si tuvieratres niveles, su efecto marginal se puede descomponer en una partelineal y otra cuadrática pura.

Las siete hipótesis nulas a probar son

H0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa. ElANOVA para probar estas hipótesis se muestra en la tabla 5.

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,

H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,

H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,

H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,

H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,

H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,

H0 : Efecto ABC = 0,

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

Las siete hipótesis nulas a probar sonH0 : Efecto A = 0,H0 : Efecto B = 0,H0 : Efecto C = 0,H0 : Efecto AB = 0,H0 : Efecto AC = 0,H0 : Efecto BC = 0,H0 : Efecto ABC = 0,

Anova para un diseño de tres factores

Tabla 6. Anova para un diseño de tres factores.variabilidad SC GL CM F0 valor-p

Efecto C SCC c-1 CMC CMCCME P(F> FC0 )

Efecto AC SCAC (a-1)(c-1) CMAC CMACCME P(F> FAC0 )

Efecto BC SCBC (b-1)(c-1) CMBC CMBCCME P(F> FBC0 )

Efecto ABC SCABC (a-1)(b-1)(c-1) CMABC CMABCCME P(F> FABC0 )

Error SCE abc(n-1) CMETotal SCT abcn-1

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

n

∑l=1

Y 2ijkl�Y 2��N

SCB =b

∑j=1

Y 2�j ��acn�

Y 2��N

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bcn�

Y 2��N

SCC =c

∑k=1

Y 2��k �acn �

Y 2��N

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij ��cn �

Y 2��N � SCA� SCB

SCBC =b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2�jk �an �

Y 2��N � SCB � SCC

SCAC =a

∑i=1

c

∑k=1

Y 2i �k �bn �

Y 2��N � SCA� SCC

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

n

∑l=1

SCB =b

∑j=1

Y 2��N

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bcn�

Y 2��N

SCC =c

∑k=1

Y 2��k �acn �

Y 2��N

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij ��cn �

SCBC =b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2�jk �an �

SCAC =a

∑i=1

c

∑k=1

Y 2i �k �bn �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

n

∑l=1

SCB =b

∑j=1

Y 2��N

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bcn�

Y 2��N

SCC =c

∑k=1

Y 2��k �acn �

Y 2��N

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij ��cn �

SCBC =b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2�jk �an �

SCAC =a

∑i=1

c

∑k=1

Y 2i �k �bn �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

n

∑l=1

SCB =b

∑j=1

Y 2��N

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bcn�

Y 2��N

SCC =c

∑k=1

Y 2��k �acn �

Y 2��N

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij ��cn �

SCBC =b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2�jk �an �

SCAC =a

∑i=1

c

∑k=1

Y 2i �k �bn �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

n

∑l=1

SCB =b

∑j=1

Y 2��N

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bcn�

Y 2��N

SCC =c

∑k=1

Y 2��k �acn �

Y 2��N

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij ��cn �

SCBC =b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2�jk �an �

SCAC =a

∑i=1

c

∑k=1

Y 2i �k �bn �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

n

∑l=1

SCB =b

∑j=1

Y 2��N

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bcn�

Y 2��N

SCC =c

∑k=1

Y 2��k �acn �

Y 2��N

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij ��cn �

SCBC =b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2�jk �an �

SCAC =a

∑i=1

c

∑k=1

Y 2i �k �bn �

SCT =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

n

∑l=1

SCB =b

∑j=1

Y 2��N

SCA =a

∑i=1

Y 2i ��bcn�

Y 2��N

SCC =c

∑k=1

Y 2��k �acn �

Y 2��N

SCAB =a

∑i=1

b

∑j=1

Y 2ij ��cn �

SCBC =b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2�jk �an �

SCAC =a

∑i=1

c

∑k=1

Y 2i �k �bn �

SCABC =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2ijk �n�Y

2��N

�SCAB � SCAC � SCBC � SCA� SCB � SCC

SCE =

SCT � SCABC � SCAB�SCAC � SCBC � SCA� SCB � SCC

SCABC =a

∑i=1

b

∑j=1

c

∑k=1

Y 2ijk �n�Y

2��N

�SCAB � SCAC � SCBC � SCA� SCB � SCC

SCE =

SCT � SCABC � SCAB�SCAC � SCBC � SCA� SCB � SCC

El experimento Se desea investigar el efecto del tipo desuspensión (A), abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) enel volumen de sedimentación Y(%) de una suspensión. Para ello sedecide correr un experimento factorial 3� 2� 2 con seis réplicas, ylas observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales semuestran en la siguiente tabla:

Tabla 7 A1 A2B1 B2 B1 B2

C1 60 75 75 67 73 73 62 68 65 71 80 8086 70 70 67 68 68 76 65 65 72 80 8055 53 53 52 52 57 44 44 45 60 60 60

C2 55 55 55 52 54 54 48 48 45 67 67 65A3

B1 B2C1 70 71 75 75 75 75

76 68 73 75 75 7752 51 50 56 55 57

C2 52 48 54 59 50 55

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,µ es la media general,αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensiónβj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Mallaγk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,

µ es la media general,αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensiónβj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Mallaγk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,µ es la media general,

αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensiónβj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Mallaγk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,µ es la media general,αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensión

βj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Mallaγk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,µ es la media general,αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensiónβj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Malla

γk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,µ es la media general,αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensiónβj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Mallaγk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,µ es la media general,αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensiónβj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Mallaγk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,

i = 1, 2; j = 1, 2.; k = 1, 2; l = 1, 2,µ es la media general,αi es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del niveli-ésimo del factor Tipo de suspensiónβj es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel j delfactor Abertura de Mallaγk es el efecto medio sobre el voumen de sedimentación del nivel k enel factor Temperatura de ciclaje(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;

Todos los efectos son desviaciones respecto a la media general.Acreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 49 / 76

Tabla 8. ANOVA Volumen de sedimentaciónvariabilidad SC GL CM F0 valor-pA:Tipo de suspensi 13,8611 2 6.93056 0.49 0.6126B: Abertura de mall 480,5 1 480.5 34.25 0.0000C: Temperatura 6086,72 1 6086.72 433, 90 0.0000Efecto AB 788,25 2 394,125 28,10 0.0000Efecto AC 40,8611 2 20,4306 1,46 0,2412Efecto BC 56,8889 1 56,8889 4,04 0,0485Efecto ABC 31,0278 2 15,5139 1,11 0,3375Error 841,667 60 14,0278Total 8339,78 71

La tabla 8, nos muestra la Anova para el volumen desedimentación, de la cual se puede concluir que los factores B y C sonestadísticamente signi�cativos junto con las interacciones AB y BC.

El factor C no es estadisticamente signi�cativo al igual que lasinteracciones AC y ABC.

Las interacciones cuyos efectos no son signi�cativos se pueden excluirdel Anova

La tabla 9 muestra el mejor Anova para este experimento, elefecto de la interacción BC se muestra poco signi�cativa pero no essu�ciente para excluirla del modelo.

Tabla 9. ANOVA Volumen de sedimentaciónvariabilidad SC GL CM F0 valor-pA:Tipo de suspensi 13,8611 2 6.93056 0.49 0.6176B: Abertura de mall 480,5 1 480.5 34.66 0.0000C: Temperatura 6086,72 1 6086.72 426, 41 0.0000Efecto AB 788,25 2 394,125 27,61 0.0000Efecto BC 56,8889 1 56,8889 3.99 0,0502Error 913,556 64 14,2743Total 8339,78 71

Ejemplo 2 de un diseño de tres factores

El camarón Café de California desova en el mar y los huevosse transforman en larva mientras son transportados a la costa, pasadala etapa larvataria entran en los estuarios, donde crecen con rápidez yse convierten en pre-adultos que emigran de nuevo al mar paraalcanzar ahí su madurez sexual. Como resultado de sus migraciones,el camarón encuentra una amplia variación de la temperatura ysalinidad durante su ciclo de vida, por lo que es de gran importanciaconocer como afectan su crecimiento para entender su vida yecología. Cuando se realizó este experimento había un gran interés enel cultivo comercial del camarón y, desde el punto de vista de laacuacultura, otro factor importante era la densidad dealmacenamiento en los tanques de cultivo, ya que esta afecta lacompetencia entre los ejemplares.

Ejemplo de un diseño de tres factoresObjetivo de la investigación

Los investigadores desean conocer como in�uyen:

la temperatura (T ) ,salinidad del agua (S) ,la densidad de población (D)

en la tasa de crecimiento de los camarones cultivados en acuarios (Y )y si estos factores actúan independientemente sobre la población.

Niveles de los factores:

T : Temperatura (grados) 25oC 35oCS : Salinidad del agua 10% 25% 40%D : Densidad de población (cant/40 litros) 80 160

la temperatura (T ) ,

salinidad del agua (S) ,la densidad de población (D)

la temperatura (T ) ,salinidad del agua (S) ,

la densidad de población (D)

Ejemplo de un diseño de tres factores

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3µ es la media general,αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del aguaγk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3

µ es la media general,αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del aguaγk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3µ es la media general,

αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del aguaγk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3µ es la media general,αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,

βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del aguaγk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3µ es la media general,αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del agua

γk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;εijkl , representa el error aleatorio en la combinación ijkl y l son lasrepeticiones o réplicas del experimento.

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3µ es la media general,αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del aguaγk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3µ es la media general,αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del aguaγk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,

Modelo estadístico

i = 1, 2; j = 1, 2, 3.; k = 1, 2; l = 1, 2, 3µ es la media general,αi es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel i-ésimo delfactor Temperatura,βj es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel j del factorSalinidad del aguaγk es el efecto medio sobre la tasa de crecimiento del nivel k en elfactor Densidad de población(αβ)ij , (αγ)ik , y (βγ)jk representan los efectos de interación dobles(de dos factores) en los niveles ij , ik, jk, respectivamente,(αβγ)ijk es el efecto de interacción triple en la combinación o puntoijk ;

Modelo estadístico

Modelo estadístico

Todos los efectos son desviaciones respecto a la media general.Acreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 55 / 76

Datos

Tabla7 T1=25oC T2=35oCS1=10 S2=25 S3=40 S1=10 S2=25 S3=40

D1=80 86 544 390 439 249 24752 371 290 436 245 27773 482 397 349 330 20553 393 249 324 352 188

D2=160 73 398 265 305 267 22386 208 243 364 316 281

Ejemplo de un diseño de tres factoresTabla Anova

La tabla Anova para la tasa de crecimiento de los camaronescultivados en acuarios se muestra acontinuación

Ejemplo de un diseño de tres factoresInterpretaciones

La tabla Anova revela que los tres factores en estudio:temperatura (T ) , salinidad del agua (S) ,la densidad de población(D) tienen efectos estadísiticamente signi�cativos en la a tasa decrecimiento de los camarones cultivados en acuarios (Y ) ,

Se observa que la interacción de los los tres factores ha resultadosigni�cativo lo cual implica que la interacción entre dos de ellos no esconstante para los niveles del tercer factor.

La interacción TS ha resultado muy signi�cativa y será usada paraelegir el mejor tratamiento, donde se observa que el mayor aumentoen el peso de los camarones corresponde al nivel de temperatura 25o

y de salinidad correspondiente al 25%

Ejemplo de un diseño de tres factoresGrá�co de interacciones

Ejemplo de un diseño de tres factoresGrá�co de medias

En el grá�co de medias para el factor Densidad se observaque para el nivel de 80 camarones/40 litros, se tiene el mayoraumento de peso.

El mejor punto de diseño se obtiene para el aumento de peso se tieneen la combinación

T : Temperatura (grados) 25oCS : Salinidad del agua 25%D : Densidad de población (cant/40 litros) 80

En el grá�co de medias para el factor Densidad se observaque para el nivel de 80 camarones/40 litros, se tiene el mayoraumento de peso.

El mejor punto de diseño se obtiene para el aumento de peso se tieneen la combinación

T : Temperatura (grados) 25oCS : Salinidad del agua 25%D : Densidad de población (cant/40 litros) 80

Ejemplo de un diseño de tres factoresPrueba de independencia

El gra�co no revela complicaciones con la independencia de lasobservaciones

Ejemplo de un diseño de tres factoresPrueba de independencia

El gra�co no revela complicaciones con la independencia de lasobservacionesAcreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 62 / 76

Ejemplo de un diseño de tres factoresPrueba de normalidad

No se observa que se viole el principio de normalidad para los residuos.

Ejemplo de un diseño de tres factoresPrueba de normalidad

No se observa que se viole el principio de normalidad para los residuos.Acreditada Institucionalmente (UTB) Maestria UTB 2011 63 / 76

Modelo con efectos mixtos y aleatorios

En un diseño experimental, cuando los niveles de un factorson elegidos de una gran población de niveles se dice que los efectoscon los que contribuye son aleatorios en vez de �jos.

Si ambos factores contribuyen con efectos aleatorios, elmodelo se denomina de efectos aleatorios, mientras que si un factorestá �jo y el otro es aleatorio, resulta un modelo de efectos mixtos.

En un diseño experimental, cuando los niveles de un factorson elegidos de una gran población de niveles se dice que los efectoscon los que contribuye son aleatorios en vez de �jos.

Si ambos factores contribuyen con efectos aleatorios, elmodelo se denomina de efectos aleatorios, mientras que si un factorestá �jo y el otro es aleatorio, resulta un modelo de efectos mixtos.

Consideremos el diseño de efectos mixtos donde el factor Aes el factor de efectos �jos y B es el factor de efectos aleatorios.

El modelo matemático es el siguiente:

Yijk = µ+ αi + Bj + (αB)ij + εijk

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., nµ : media globalαi : efecto medio debido al i-ésimo tratamientoTambién ∑ αi = 0,las Bj � N

�0, σ2B

�independientes,

(αB)ij � N�0, σ2αB

�independientes,

εijk � N�0, σ2

�independientes.

Este modelo se conoce como modelo �irrestricto�.Un modelo �restringuido� alternativo requiere ∑i (αB)ij = 0 para cadaj de manera que las (αB)ij ya no son independientes.

Consideremos el diseño de efectos mixtos donde el factor Aes el factor de efectos �jos y B es el factor de efectos aleatorios.El modelo matemático es el siguiente:

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., n

µ : media globalαi : efecto medio debido al i-ésimo tratamientoTambién ∑ αi = 0,las Bj � N

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., nµ : media global

αi : efecto medio debido al i-ésimo tratamientoTambién ∑ αi = 0,las Bj � N

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., nµ : media globalαi : efecto medio debido al i-ésimo tratamiento

También ∑ αi = 0,las Bj � N

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

i = 1, 2, ..., a; j = 1, 2, ..., b; k = 1, 2, ..., nµ : media globalαi : efecto medio debido al i-ésimo tratamientoTambién ∑ αi = 0,

las Bj � N�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

Este modelo se conoce como modelo �irrestricto�.

Un modelo �restringuido� alternativo requiere ∑i (αB)ij = 0 para cadaj de manera que las (αB)ij ya no son independientes.

�0, σ2B

�independientes,

�independientes.

Hipótesis de interés en modelos con efectos mixtos yaleatorios

Las hipótesis que se prueban son

H0A : Efecto A = 0 contra H1A : Efecto A 6= 0H0B : σ2B = 0 contra H1B : σ2B > 0H0αB : σ2αB = 0 contra H1αB : σ2αB > 0

Se acostumbra probar H0A y H0B sólo si no se puede rechazarla hipótesis de ninguna interacción H0αB .

H0A : Efecto A = 0 contra H1A : Efecto A 6= 0

H0B : σ2B = 0 contra H1B : σ2B > 0H0αB : σ2αB = 0 contra H1αB : σ2αB > 0

H0A : Efecto A = 0 contra H1A : Efecto A 6= 0H0B : σ2B = 0 contra H1B : σ2B > 0

H0αB : σ2αB = 0 contra H1αB : σ2αB > 0

La suma de los cuadrados importantes y los cuadradosmedios para los procedimientos de prueba se de�nen y calculan delmismo modo que para el caso de efectos �jos.

Los cuadrados medios esperados para el modelo mixto son:

E (CME ) = σ2

E (CMA) = σ2 + nσ2αB +bna�1 ∑a

i=1 α2iE (CMB) = σ2 + nσ2αB + anσ2BE (CMAB) = σ2 + nσ2αB

E (CME ) = σ2

E (CME ) = σ2

E (CME ) = σ2

i=1 α2i

E (CMB) = σ2 + nσ2αB + anσ2BE (CMAB) = σ2 + nσ2αB

E (CME ) = σ2

i=1 α2iE (CMB) = σ2 + nσ2αB + anσ2B

E (CMAB) = σ2 + nσ2αB

E (CME ) = σ2

De los cuadrados medios esperados se tiene que la tablaAnova para el diseño mixto es:

Tabla. Anova para un diseño de efectos mixtos.variabilidad SC GL CM F0 valor-p

Efecto A SCA a-1 CMA CMACMAB P(F> FA0 )

Efecto B SCB b-1 CMB CMBCMAB P(F> FB0 )

Ejemplo de un diseño bifactorial de efectos mixtos

Diseño bifactorial de efectos mixtos. Un ingeniero deprocesos ha identi�cado dos posibles causas de vibración del motoreléctrico: El material usado para la cubierta del motor (factor A) y lafuente de suministro de cojinetes usados en el motor (factor B). Losdatos siguientes acerca de la cantidad de vibración (micras) resultaronde un experimento en el que los motores con cubiertas hechas deacero, aluminio y plástico se construyeron con cojinetes provenientesde cinco fuentes seleccionadas al azar. Sólo tres materiales de lacubierta utilizados en el experimento se consideran para usarlos en laproducción, de modo que el factor A es �jo. Sinembargo, las cincofuentes de suministro se seleccionaron al azar de una poblaciónmucho más grande, por lo tanto el factor B es aleatorio.

Tabla de datos

Fuentes de suministroMaterial 1 2 3 4 5Acero 13.1 16.3 13.7 15.7 13.5

13.2 15.8 14.3 15.8 12.5Aluminio 15.0 15.7 13.9 13.7 13.4

14.8 16.4 14.3 14.2 13.8Plástico 14.0 17.2 12.4 14.4 13.2

14.3 16.7 12.3 13.9 13.1

Variable respuesta: cantidad de vibración, en micras, de unmotor

Factores :

A:=Material usado para la cubierta del motor.

Es un factor de efectos �jos con tres niveles: acero, aluminio y plástico.

Factor B: suministro de cojinetes,

factor de efectos aleatorios con cinco niveles

Modelo

Yijk = µ+ αi + Bj + (αB)ij + εijk , i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 5;

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�independientes, (αB)ij � N

�0, σ2αB

�independientes, εijk � N

�0, σ2

�independientes.

Yijk =: k-ésima cantidad de vibración de la j-ésima fuente desuministro con el i-ésimo material.

Variable respuesta: cantidad de vibración, en micras, de unmotorFactores :

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

Modelo

∑ αi = 0 y las Bj � N�0, σ2B

�0, σ2αB

�0, σ2

�independientes.

La pregunta a responder en este diseño es: ¿Puede la fuentede suministro de un material afectar la vibración de un motor? Lacual se responde resolviendo el siguiente contraste

H0A : Efecto A = 0 contra H1A : Efecto A 6= 0H0B : σ2B = 0 contra H1B : σ2B > 0

H0αB : σ2αB = 0 contra H1αB : σ2αB > 0

La tabla Anova para este diseño

Se concluye con nivel de con�anza de 95% que hay evidenciasu�ciente para a�rmar que la interacción entre el material y la fuentede suministro es estadísticamente signi�cativo.

Aunque los diferentes materiales de la cubierta al parecer no afectanla vibración del motor.