2. Diseño de experimentos 2.1 Diseños Factoriales (dos factores)

2. Diseño de experimentos

Curso 2011-2012

Estadística

2.1 Diseños Factoriales

(dos factores)

3 Diseño Experimentos

Ejemplo

A B C D0.31 0.82 0.43 0.45

0.45 1.10 0.45 0.71

V 0.46 0.88 0.63 0.66

E 0.43 0.72 0.72 0.62

N 0.36 0.92 0.44 0.56

E 0.29 0.61 0.35 1.02

N 0.40 0.49 0.31 0.71

O 0.23 1.24 0.40 0.38

S 0.22 0.30 0.23 0.30

0.21 0.37 0.25 0.36

0.18 0.38 0.24 0.31

0.23 0.29 0.22 0.33

ANTÍDOTO

I

II

III

Se analiza el efecto de tres venenos y cuatro antídotos

en el tiempo de supervivencia de unas ratas.


Modelo

ijkijjiijk uy

IJm

IJ

IJ

Jm

J

J

Jm

J

J

mI

I

I

mm

mI

I

I

mm

y

y

y

y

y

y

y

y

y

J

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

I

2

1

2

22

12

1

21

11

2

22

21

22

222

221

12

122

121

1

12

11

21

212

211

11

112

111

2

1

21Factor 1

Fa

cto

r 2 Normalidad

Independencia

Homocedasticidad

I J tratamientos

m replicaciones

n = m I J

... 1111 2112 11 II

... 1221 2222 22 II

... JJ 11 JJ 22 IJJI

Factor 1 1 2 I

1

2

J

... F

ac

tor

2


Modelo

: Media global

i : Efecto del Factor 1 i, i=1,...,I

j : Efecto del Factor 2 j, j=1,...,J

ij: Interacción de niveles ij

uijk : Componente aleatoria N(0, 2),

Ii i1 0 J

j j1 0

ijkijjiijk uy

jIi ij ,01

iJj ij ,01


Estimación del modelo

1:

)1)(1(:

1:

1:

1:

2

j

i

JI

J

I

ij

n

y

ymI

y

ymJ

y

ym

y

y

I

i

J

j

m

k

ijk

I

i

m

k

ijk

j

J

j

m

k

ijk

i

m

k

ijk

ij

1 1 11 11 11

)1(

222

mIJ

es

yyyy

yy

yy

y

ijk

R

jiijij

jj

ii



ijkijjiijk uy

ijkijjiijk ey

ijijkijjiijkijk yyye )(


Estimación

A B C D0.31 0.82 0.43 0.45

V 0.45 1.10 0.45 0.71

0.46 0.88 0.63 0.66

E 0.43 0.72 0.72 0.62

0.41 0.88 0.56 0.61

N 0.36 0.92 0.44 0.56

0.29 0.61 0.35 1.02

E 0.40 0.49 0.31 0.71

0.23 1.24 0.40 0.38

N 0.32 0.82 0.38 0.67

0.22 0.30 0.23 0.30

O 0.21 0.37 0.25 0.36

0.18 0.38 0.24 0.31

S 0.23 0.29 0.22 0.33

0.21 0.34 0.24 0.33

ANTÍDOTO

I

II

III


Estimación

A B C D Medias0,31 0,82 0,43 0,45

0,45 1,10 0,45 0,71

V 0,46 0,88 0,63 0,66 0,43 0,72 0,72 0,62

E Medias 0,41 0,88 0,56 0,61

-0,038 0,067 0,032 -0,061N 0,36 0,92 0,44 0,56

0,29 0,61 0,35 1,02

E 0,40 0,49 0,31 0,71 0,23 1,24 0,40 0,38

N Medias 0,32 0,82 0,38 0,67

-0,060 0,073 -0,080 0,068O 0,22 0,30 0,23 0,30

0,21 0,37 0,25 0,36

S 0,18 0,38 0,24 0,31

0,23 0,29 0,22 0,33

Medias 0,21 0,34 0,24 0,33

0,098 -0,139 0,048 -0,007

0,314 0,677 0,389 0,534

-0,164 0,198 -0,089 0,056

II 0,544 0,066

III 0,276 -0,202

ANTÍDOTO

I 0,615 0,136

0,479Medias

i

j

ij

ij

ij


Residuos

A B C D-0.103 -0.060 -0.128 -0.160

V 0.038 0.220 -0.108 0.100

0.048 0.000 0.073 0.050

E 0.018 -0.160 0.163 0.010

0.00 0.00 0.00 0.00

N 0.040 0.105 0.065 -0.108

-0.030 -0.205 -0.025 0.353

E 0.080 -0.325 -0.065 0.043

-0.090 0.425 0.025 -0.288

N 0.00 0.00 0.00 0.00

0.010 -0.035 -0.005 -0.025

O 0.000 0.035 0.015 0.035

-0.030 0.045 0.005 -0.015

S 0.020 -0.045 -0.015 0.005

0.00 0.00 0.00 0.00

III

RESIDUOS

ANTÍDOTO

I

II

022,0)1(

222

mIJ

es

ijk

R


Análisis de la varianza

I

i

J

j

m

k

ijk

I

i

J

j

m

k

jiij

I

i

J

j

m

k

j

I

i

J

j

I

i

J

j

m

k

i

m

k

ijk

ijkjiijjiijk

ijijkjiijjiijk

ijkijjiijkijkijjiijk

eyyyy

yyyyyy

eyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyy

eyuy

1 1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

2

1 1 1 1 1

2

1

2

)(

)()()(

)()()(

)()()()(

I

i

J

j

m

k

ijk

I

i

J

j

jiij

J

j

j

I

i

J

j

I

i

i

m

k

ijk

eyyyym

yymIyymJyy

1 1 1

2

1 1

2

1

2

1 1 1

2

1

2

)(

)()()(


Variabilidades

I

i

J

j

m

k

ijijk

I

i

J

j

jiij

J

j

j

I

i

i

I

i

J

j

m

k

ijk

yyVNE

yyyymBAVE

yymIBVE

yymJAVE

yyVT

1 1 1

2

1 1

2

1

2

1

2

1 1 1

2

)(

)()(

)()(

)()(

)(

)1()1)(1()1()1()1(

)()()(

mIJJIJIn

VNEBAVEBVEAVEVT


Contraste de Hipótesis

Si el Veneno no influye, los I niveles son iguales

a efectos de tiempo de supervivencia, entonces

0 de distinto es Algún :

0:

i1

210

H

H I

I21Ii i1 0


Contraste efecto principal de factor A


0:

i1

210

H

H I

222 ][)1( RR sE

mIJ

VNEs

222 ][1

)(AA sE

I

AVEs cierto, es Ho Si

)1(;121

2

2

2 1)(

mIJI

R

I

ii

R

AA F

s

IyymJ

s

sF

Ho rechaza Se Si FFA


Contraste efecto principal de factor B


0:

j1

210

H

H J

222 ][1

)(BB sE

J

BVEs cierto, es Ho Si

)1(;12

1

2

2

2 1)(

mIJJ

R

J

jj

R

BB F

s

JyymI

s

sF

Ho rechaza Se Si FFB


Contraste interacción AxB

0 de distinto es Algún ij:

0:

1

12110

H

H IJ

222 ][)1)(1(

)(ABAB sE

JI

BAVEs cierto, es Ho Si

)1();1)(1(2

2

mIJJI

R

ABAB F

s

sF

naninteraccio BA y

Ho rechaza Se Si FFAB


Tabla de análisis de la varianza

1)(Total

)1(Residual

)1)(1()(BA

1)(B

1)(A

valorpFVarianzaLibertad.CuadradosadVariabilid

de Gradosde SumaFuentes

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

22

nyy

smIJe

ps

s

sJIyyyym

ps

s

sJyymI

ps

s

sIyymJ

ijk

Rijk

ABR

AB

ABjiij

BR

B

Bj

AR

A

Ai



47Total

36Residual

AntVen

Antídoto

Veneno

valorpFVarianzaLibertad.Cuadrados.adVariabilid

Gradosde SumaFuentes

005.3

022.0801.0

1123.87.1041.06250.0

0000.8.13307.03921.0

0000.2.23516.02033.1


Contrastes múltiples: Factor A

ji

ji

H

H

:

:

1

0

)1(2 mIJ

R

jit

mJs

yy

t /2 -t /2

/2

tIJ(m-1) R.R. R.R

R. Acept. H0

1- /2

),(22

mJmJN

yyyy

yy

jiji

jiji

jj

ii

Ho

mJstyy

LSD

Rji

rechaza Se

22/


Contrastes múltiples: Factor B

ji

ji

H

H

:

:

1

0

)1(2 mIJ

R

jit

mIs

yy

t /2 -t /2

/2

tIJ(m-1) R.R. R.R

R. Acept. H0

1- /2

),(22

mImIN

yyyy

yy

jiji

jiji

jj

ii

Ho

mIstyy

LSD

Rji

rechaza Se

22/


Intervalos de confianza

(interacción nula)

mJ

sty R

ii 2/

mI

sty R

ji 2/



veneno

tiem

po

1 2 30.22

0.32

0.42

0.52

0.62

0.72

antidototie

mpo

A B C D0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0.75


Diagnosis: homocedasticidad

resi

duos

antidoto

A B C D-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

veneno

1 2 3-0.6

-0.3

0

0.3

0.6


Heterocedasticidad re

sidu

os

valores previstos

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Normalidad

Residuos

prob

abil

idad

-0.5 -0.25 0 0.25 0.50.1

1

5

20

50

80

95

99

99.9


Diagnosis: homocedasticidad datos transformados z=1/y

veneno

1 2 3-1.1

-0.7

-0.3

0.1

0.5

0.9

1.3

antidoto

A B C D-1.1

-0.7

-0.3

0.1

0.5

0.9

1.3


Datos transformados

resi

duos

valores previstos

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

0 1 2 3 4 5 6


Normalidad (datos transformados)

Residuos

prob

abil

idad

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.20.1

1

5

20

50

80

95

99

99.9


Tabla de análisis de la varianza datos transformados 1/y

47Total

36Residual

AntVen

Antídoto

Veneno

valorpFVarianzaLibertad.Cuadrados.adVariabilid

Gradosde SumaFuentes

50.65

24.068.8

3867.09.126.0657.1

0000.3.2880.6341.20

0000.6.724.17287.34


Comparaciones múltiples intervalos de confianza

antidoto1/

tiem

po

1 2 3 41.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

veneno

1/tiem

po

1 2 31.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

Comandos en R


ARCHIVO TEXTO: venenos.txt

Dos factores con interacción


Intervalos de Confianza


0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

VEN

me

dia

s

I II III

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

ANT

me

dia

s

A B C D

Tabla ANOVA


Comparaciones Múltiples


Comparaciones Múltiples


Interacciones


Diagnosis


Diagnosis (Transformación)


2.2 Bloques Aleatorizados


Ejemplo de introducción

Se desea estudiar el efecto de la Fluorita en la

reducción del coste energético en la fabricación de

cemento. Se emplean 6 mezclas distintas de materias

primas.

0% 1% 2% 3% 4%M 1 15.02 11.86 9.94 12.45 13.23

e 2 8.42 10.15 8.54 6.98 8.93

z 3 18.31 16.84 15.86 14.64 15.96

c 4 10.49 10.52 8.04 10.50 10.34

l 5 9.78 9.59 6.96 8.15 9.24

a 6 9.28 8.84 7.04 6.66 9.46

Fluorita


Modelo

ijjiij uy

: Media global

i : Efecto del tratamiento i, i=1,...,I

j : Efecto del bloque j, j=1,2,...,J

uij : Componente aleatoria N(0, 2)

IJJJ

I

I

yyyJ

yyy

yyy

I

21

22212

12111

2

1

21Tratamientos

Blo

qu

es

Normalidad

Independencia

Homocedasticidad

Ii i1 0Jj j1 0

... 11 12 1I

... 21 22 2I

... J1 J2 JI

Tratamientos 1 2 I

1

2

J

...

Blo

qu

es



1:

1:

1:

1:

:Parámetros

2j

i

J

I

n

y

yI

y

yJ

y

y

I

i

J

jij

I

iij

j

J

jij

i1 111

)1)(1(

:sEstimadore2

22

JI

es

yy

yy

y

ijR

jj

ii

ijjiij

ijjiij

ey

uy

yyyy

ye

jiij

jiijij


Estimación

yyyyyy

yyyy

yyyyyyJ

yyyyyy

yyyyyy

I

Ii

I

JJIJJJ

I

I

j

21

21

21

2222212

1112111

2

1

21


Estimación (ejemplo)

0% 1% 2% 3% 4%M 1 15.02 11.86 9.94 12.45 13.23 12.50 1.77

e 2 8.42 10.15 8.54 6.98 8.93 8.60 -2.13

z 3 18.31 16.84 15.86 14.64 15.96 16.32 5.59

c 4 10.49 10.52 8.04 10.50 10.34 9.98 -0.76

l 5 9.78 9.59 6.96 8.15 9.24 8.74 -1.99

a 6 9.28 8.84 7.04 6.66 9.46 8.26 -2.4811.88 11.30 9.40 9.90 11.19 10.731.15 0.57 -1.34 -0.84 0.46

Fluorita

i

j


Residuos: Varianza residual

0% 1% 2% 3% 4%

M 1 1.37 -1.21 -1.22 0.79 0.27

e 2 -1.33 0.98 1.27 -0.79 -0.13

z 3 0.84 -0.05 0.88 -0.84 -0.82

c 4 -0.64 -0.02 -0.60 1.36 -0.10

l 5 -0.11 0.28 -0.45 0.24 0.04

a 6 -0.13 0.02 0.12 -0.76 0.74

Fluorita

yyyyye jiijjiijij

88.020

51.17

)1)(1(

22

JI

es

ijR


Contraste de Hipótesis

Si la Fluorita no influye, los I tratamientos

son iguales a efectos de coste, entonces


0:

i1

210

H

H I

I21Ii i1 0



I

i

J

j

I

i

J

j

ijj

I

i

J

j

I

i

J

j

iij

jiijjiij

jiijjiij

ijjiijijjiij

eyyyyyy

yyyyyyyyyy

yyyyyyyyyy

eyuy

1 1 1 1

22

1 1 1 1

22 )()()(

)()()(

)()()(

J

j

I

i

J

j

ijj

I

i

J

j

I

i

iij eyyIyyJyy1 1 1

22

1 1 1

22 )()()(


Variabilidades

VNEVEVEVT

eVNE

yyIBVE

yyJTVE

yyVT

I

i

J

j

ij

J

j

j

I

i

i

I

i

J

j

ij

B)(T)()()(

)()(

)(

1 1

2

1

2

1

2

1 1

2

)1)(1()1()1()1( JIJIn


Contraste sobre tratamientos


0:

i1

210

H

H I

222 ][)1)(1( RR sE

JI

VNEs

222 ][1

)osTratamient( cierto, es Ho Si TT sE

I

VEs

)1)(1(;121

2

2

2 1)(

JII

R

I

ii

R

TT F

s

IyyJ

s

sF

Ho rechaza Se Si FFT


Explicación del contraste

),(,...,,

][,

),(0 cierto es Ho Si

2

21

121

2

JNyyy

J

JyE

J

yyyy

Ny

I

Jj j

iiJii

i

jiji

21

2

1

2

221

11

I

)y -y(J

EI

)y -y(J

sI

yyyy

I

ii

I

ii

TI

. quemayor será falso, es Ho Cuando

parecidas.serán y cierto, es Ho Cuando22

22

RT

RT

ss

ss


Contraste de bloques


0:

j1

210

H

H J

222 ][1

)Bloques( cierto, es Ho Si BB sE

J

VEs

)1)(1(;121

2

2

21)(

JIJ

R

J

jj

R

BB F

s

JyyI

s

sF

Ho rechaza Se Si FFB



1-nTotal

Residual

Bloque

oTratamient

valorpFVarianzaLibertad.CuadradosadVariabilid

de Gradosde SumaFuentes

2

22

2

2

22

2

2

22

)(

)1)(1(

1)(

1)(

yy

sJIe

ps

s

sJyyI

ps

s

sIyyJ

ij

Rij

BR

B

Bj

TR

T

Ti




Sin bloques



(ejemplo)

Fluorita Medias L.inf. L.Sup.0% 11.88 11.09 12.681% 11.30 10.50 12.102% 9.40 8.60 10.193% 9.90 9.10 10.694% 11.19 10.40 11.99

J

sty R

ii 2/


Intervalos de Confianza (% Fluorita)

91

01

11

2

FLUO

me

dia

s

0 1 2 3 4


Intervalos de Confianza (Mezcla)

81

01

21

41

6

MEZ

me

dia

s

1 2 3 4 5 6


Contraste multiples: tratamientos

ji

ji

H

H

:

:

1

0

)1)(1(2 JI

R

jit

Js

yy

t /2 -t /2

/2

t(I-1)(J-1) R.R. R.R

R. Acept. H0

1- /2

),(22

JJN

yyyy

yy

jiji

jijijj

ii

02/

2HS

LSD

Jstyy Rji rechaza e


Contraste multiples: bloques

ji

ji

H

H

:

:

1

0

02/ rechaza e2

HS

LSD

Istyy Rji)1)(1(2 JI

R

jit

Is

yy

t /2 -t /2

/2

t(I-1)(J-1) R.R. R.R

R. Acept. H0

1- /2

),(22

IIN

yyyy

yy

jiji

jijijj

ii


Comparación de medias

Fluorita

Mezcla

13.16

293.0085.2

22/

JstLSD R

24.15

293.0085.2

22/

IstLSD R

1 2 3 4 5 61 0,00 3,90 -3,82 2,52 3,76 4,242 0 6,60 -1,37 -0,14 -0,35

3 0 6,34 7,58 8,074 0 1,23 1,72

5 0 0,49

6 0

LSD=1.24

0% 1% 2% 3% 4%0% 0 0,58 2,49 1,99 0,69

1% 0 1,90 1,40 0,11

2% 0 -0,50 -1,803% 0 -1,304% 0

LSD = 1.13


Comparación de medias (Tukey)

-4 -2 0 2

4-3

4-2

3-2

4-1

3-1

2-1

4-0

3-0

2-0

1-0

95% family-wise confidence level

Differences in mean levels of FLUO


Comparación de medias (Tukey)

-10 -5 0 5 10

6-5

5-4

5-3

6-2

4-2

6-1

4-1

2-1

95% family-wise confidence level

Differences in mean levels of MEZ

Diagnosis:

Homocedasticidad

Fluorita0 1 2 3 4

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Mezcla0 1 2 3 4 5 6

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

resi

duos

Valores previstos

-1.6

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

5 10 15 20

Gráfico de residuos


Diagnosis

2.3 Diseños Factoriales

(tres factores)


Diseño con tres factores

Factores A, B y C con NA, NB,

Nc niveles.

Nº de Tratamientos

T=NAxNBxNc

Efectos principales 3 A, B , C

Interacciones de orden dos 3

AxB, AxC, BxC

Interacción de orden tres 1.

AxBxC

Factor A

A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1

C1

B2

B3

B4

B5

C2 C3

Fac

tor B

Tratamiento: Cada combinación de niveles de los factores

6 x 5 x 3 = 90


K factores con N1, N2, ..., NK

niveles

libertad de grados

con k, orden de ninteracció 1K

K

...

libertad de grados

con 3, orden de nesinteraccio 3

K

libertad de

grados con 2, orden de nesinteraccio 2

K

uno cada libertad de grados con sprincipale efectosK

)(N))(N(N

))(N)(N(N

))(N(N

N

K

kji

ji

i

111

111

11

1

21


Datos Factor 1

Fa

cto

r 2

Factor 3 1 2 K ...

IJKMMIJMIJ

IJKIJIJ

IJKIJIJ

JKMMJMJ

JKJJ

JKJJ

JKMMJMJ

JKJJ

JKJJ

KMIMIMI

KIII

KIII

KMMM

K

K

KMMM

K

K

KMIMIMI

KIII

KIII

KMMM

K

K

KMMM

K

K

yyy

yyy

yyy

K

yyy

yyy

yyy

K

yyy

yyy

yyy

K

yyy

yyy

yyy

K

yyy

yyy

yyy

K

yyy

yyy

yyy

K

yyy

yyy

yyy

K

yyy

yyy

yyy

yyy

yyy

yyy

21

22212

12111

22212

22222122

12212112

12111

21221121

11211111

22221

22222212

12221211

22222221

22222222212

12222212211

12122121

21212221212

11212211211

11211

21122112

11121111

11212211

21121222112

11121212111

11112111

21111221112

11111211111

...21...21...21

J

...21...21...21

2

...21K...21K...21

1

I211 2 ... I

1

2

...

J

1 2 K ... 1 2 K ... 1 2 K ...

1 2 K ... 1 2 K ... 1 2 K ...

1 2 K ... 1 2 K ... 1 2 K ...


Ejemplo: Proceso químico

T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-272.2 65.0 74.4 69.2 75.0 70.7 80.0 73.0

74.4 71.6 66.3 71.8 78.9 80.6 65.0 74.4

64.3 61.9 66.5 64.6 64.3 73.4 82.1 78.8

T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-262.5 75.9 70.8 79.2 76.3 83.3 72.3 80.3

65.8 72.9 63.9 80.1 79.1 88.0 72.4 86.9

71.2 77.8 76.6 75.3 89.0 84.7 75.6 86.3

T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-269.0 73.8 69.0 84.5 72.8 94.1 78.4 87.5

70.3 59.2 68.2 93.7 73.7 87.3 79.9 79.7

68.8 80.8 78.7 80.1 80.7 89.0 80.3 79.5

CATALIZADOR

C-1

C-2

C-3

CONCENTRACIÓN1 2 3 4

Tres factores: 1 4%2 6%3 8%4 10%

ConcentraciónT-1 300º C

T-2 320º C

Temperatuta

Variable respuesta: Rendimiento del proceso químico.

C-1 AgC-2 Ag+ZnC-3 Zn

Catalizador


Modelo

ijkmijkjkikijkjiijkm uy

Normalidad

Independencia

Homocedasticidad

I J K tratamientos

M replicaciones

n = I J K M

Ii i1 0

Jj j1 0

Kk k1 0

iKk ik ,01

iJj ij ,01

kJj jk ,01

jIi ij ,01

kIi ik ,01

jKk jk ,01

Kk ijk

Jj ijk

Ii ijk jikikj .,,0;,,0;,,,0

ijkmu


Medias


M

y

y

IM

y

yJM

y

yKM

y

y

IJM

y

yIKM

y

yJKM

y

y

IJKM

y

y

M

mijkm

ijk

I

i

K

kijkm

jk

J

j

M

mijkm

ki

K

k

M

mijkm

ij

I

i

J

j

M

mijkm

k

I

i

K

k

M

mijkm

j

J

j

K

k

M

mijkm

i

I

i

J

j

K

k

M

mijk

1

1 11 11 1

1 1 11 1 11 1 1

1 1 1 1


Medias: Proceso químico

T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2 T-1 T-2C-1 70.30 66.17 69.07 68.53 72.73 74.90 75.70 75.40

C-2 66.50 75.53 70.43 78.20 81.47 85.33 73.43 84.50

C-3 69.37 71.27 71.97 86.10 75.73 90.13 79.53 82.23

1 2 3 4

1 2 3 4C-1 68.2 68.8 73.8 75.6 71.6C-2 71.0 74.3 83.4 79.0 76.9C-3 70.3 79.0 82.9 80.9 78.3

69.9 74.1 80.1 78.5 75.6

Concentración

1 2 3 4T-1 68.72 70.49 76.64 76.22 73.02T-2 70.99 77.61 83.46 80.71 78.19

69.9 74.1 80.1 78.5 75.6

T-1 T-2C-1 71.95 71.25 71.6C-2 72.96 80.89 76.9C-3 74.15 82.43 78.3

73.02 78.19 75.6

Catalizador

Temperatura



ijkijkmijkmijkm

R

kjijkkiijijkijk

kjjkjk

kikiik

jiijij

kk

jj

ii

yyeMIJK

es

KJIyyyyyyyy

KJyyyy

KIyyyy

JIyyyy

Kyy

Jyy

Iyy

y

;)1(

)1)(1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

1

11

222


Modelo estimado

ijkijkm

kjijkkiijijk

kjjk

kiki

jiij

kjiijkm

yy

yyyyyyyy

yyyy

yyyy

yyyy

yyyyyyyy



Descomposición de la

variabilidad

i j k mijkijkm

i j kkjijkkiijijk

j kkjjk

i kkiki

i jjiij

kk

jj

ii

I

i

J

j

K

k

M

mijkm

yy

yyyyyyyyM

yyyyIM

yyyyJM

yyyyKM

yyIJMyyIKMyyJKM

yy

2

2

2

2

2

222

1 1 1 1

2


Variabilidades

i j k mijkijkm

i j kkjijkkiijijk

j kkjjk

i kkiki

i jjiij

kk

jj

ii

I

i

J

j

K

k

M

mijkm

yyVNE

yyyyyyyyMCBAVE

yyyyIMCBVE

yyyyJMCAVE

yyyyKMBAVE

yyIJMCVEyyIKMBVE

yyJKMAVEyyVT

2

2

2

2

2

22

2

1 1 1 1

2

)(

)(

)(

)(

)()(

)(


Grados de libertad

)1()1)(1)(1(

)1)(1()1)(1()1)(1(

)1()1()1()1(

LIBERTAD DE GRADOS

)(

)()()(

)()()(

ADVARIABILIDLA DE CIÓNDESCOMPOSI

MIJKKJI

KJKIJI

KJIn

VNECBAVE

CBVECAVEBAVE

CVEBVEAVEVT


1Total

)1(Residual

)1)(1)(1()...

...(

)1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

1

1

1

..

1 1 1 1

2

22

2

22

2

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

IJKMyy

sMIJKyy

s

ssKJI

yyyy

yyyyM

CBA

s

ssKJyyyyIMCB

s

ssKIyyyyJMCA

s

ssJIyyyyKMBA

s

ssKyyIJMC

s

ssJyyIKMB

s

ssIyyJKMA

FVarianzasLibdeGrADVARIABILIDFUENTE

I

i

J

j

K

k

M

mijkm

Ri j k m

ijkijkm

R

ABCABC

kji

i j kjkkiijijk

R

BCBC

j kkjjk

R

ACAC

i kkiki

R

ABAB

i jjiij

R

CC

kk

R

BB

jj

R

AA

ii

Tabla ANOVA


Contraste efecto principal de factor A


0:

i1

210

H

H I

F

RR

Ho rechaza Se Si FFA

)1(;121

2

2

2 1)(

MIJKI

R

I

ii

R

AA F

s

IyyJKM

s

sF

Ho rechaza se No Si FFA)1(;1 MIJKIF


Contraste interacción AxB


0:

ij1

12110

H

H IJ

)1)(1(

)( cierto, es Ho Si 2

JI

BAVEsAB

)1();1)(1(2

2

MIJKJI

R

ABAB F

s

sF

naninteraccio BA y

Ho rechaza Se Si FFAB


Contraste interacción AxBxC


0:

ijk1

1121110

H

H IJK

cierto es Ho Si

)1();1)(1)(1(2

2

MIJKKJI

R

ABCABC F

s

sF

Ho rechaza Se Si FFABC




Interpretación

El efecto principal del factor concentración influye significativamente (p-valor =0.0000) en el rendimiento. Más adelante se compararán las medias de los cuatro niveles de este factor. Este factor no interacciona con ningún otro.

Los efectos principales de catalizador y de la temperatura son significativos, además es muy significativa la interacción de los dos factores (p-valor 0.0064). La comparación de medias de estos factores debe ser conjunta.


Contrastes múltiples: Factor A

ji

ji

H

H

:

:

1

0

)1(2 MIJK

R

jit

JKMs

yy

t /2 -t /2

/2

tIJK(M-1) R.R. R.R

R. Acept. H0

1- /2

),(22

JKMJKMN

yyyy

yy

jiji

jijijj

ii

Ho

JKMstyy Rji

rechaza se

,2

Si 2/


Intervalos de Confianza

7075

80

con

med

ias

k1 k2 k3 k4

7274

7678

80

temp

med

ias

t1 t2

7072

7476

7880

cat

med

ias

c1 c2 c3


Interacción: Cat. x Temp.

T-1 T-2C-1 71.95 71.25 71.6C-2 72.96 80.89 76.9C-3 74.15 82.43 78.3

73.02 78.19 75.6

Interacción Cat x Temp

70.0072.0074.0076.0078.0080.0082.0084.00

0 1 2 3 4

Catalizador

Med

ias Temp - 1

Temp - 2


Selección de temperatura y catalizador.

Las mejores combinaciones corresponden a la temperatura 2, con el catalizador 2 o el 3.


Diagnosis del modelo

1.0 2.0 3.0 4.0

-10

-50

51

0

con

res

idu

als

(mo

d_

qu

i)

1.0 1.4 1.8

-10

-50

51

0

temp

res

idu

als

(mo

d_

qu

i)

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-10

-50

51

0

cat

res

idu

als

(mo

d_

qu

i)


Instrucciones de R utilizadas

ARCHIVO TEXTO: quimico.txt


Análisis de 3 factores con

menos observaciones

Cuando no existe interacción de orden tres.

No es necesario replicar para analizar el experimento.

La variabilidad explicada por el término A B C se

convierte en Variabilidad Residual con (I-1)(J-1)(K-1)

grados de libertad.

Las expresiones anteriores siguen siendo válidas,

sustituyendo M=1 (sin replicación) y con (I-1)(J-1)(K-1)

como grados de libertad de la varianza residual.

Cuando no existe ninguna interacción

Se puede reducir considerablemente el número de

observaciones si el número de niveles de los tres

factores es el mismo: CUADRADO LATINO


1Total

)1)(1)(1()...

...(

Residual

)1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

1

1

1

..

1 1 1

2

2

2

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

IJKyy

sKJI

yyyy

yyyy

s

ssKJyyyyICB

s

ssKIyyyyJCA

s

ssJIyyyyKBA

s

ssKyyIJC

s

ssJyyIKB

s

ssIyyJKA


I

i

J

j

K

kijk

R

kji

i j kjkkiijijk

R

BCBC

j kkjjk

R

ACAC

i kkiki

R

ABAB

i jjiij

R

CC

kk

R

BB

jj

R

AA

ii

Tabla ANOVA tres factores

(sin replicación)


Ejemplo: Obleas

Horno AS 1 2 31 122.2 103.2 115.8

2 138.4 144.3 159.8

1 131.0 133.4 121.8

2 147.4 138.0 147.5

1 120.5 102.8 120.0

2 140.6 126.6 141.9

1 100.0 105.8 114.7

2 117.0 134.4 131.7

Temperatura

1

2

3

4

Se ha realizado un experimento para analizar la influencia de la

temperatura y el acabado superficial (AS) en el espesor de

óxido conseguido en obleas de silicio. El experimento se repitió

en cuatro hornos diferentes. ( Cada uno de los datos del cuadro

representa la media de los espesores medidos en el centro de

cada una de las 30 obleas que caben en un horno)


ANOVA: Obleas


Comparación de medias

El AS que produce mayor espesor es el 2

El horno que produce media mayor es el

2, aunque no es significativamente distinto

del 1.


Cuadrado latino

Permite analizar

tres factores con K

niveles cada uno,

utilizando sólo K2

observaciones.

Deben ser nulas

las interacciones

de orden 2 y orden

3.

1 2 3 4 5

1 C A D B E

2 D C B E A

3 E B A D C

4 B E C A D

5 A D E C B


Ejemplo: Aditivos gasolina

Una organización de consumidores estudió la eficacia de cinco aditivos que según los fabricantes reducían el consumo de combustible. Se realiza un diseño experimental con cinco conductores, cinco vehículos y cinco aditivos, eligiendo las 25 combinaciones que se muestran en la tabla, junto con una medida del consumo.

C A D B E

71 64 68 78 82D C B E A

65 64 81 82 82E B A D C

63 68 74 77 85B E C A D

66 77 79 88 74A D E C B

73 70 78 80 88

3 4

4

5

Vehículo

Conductor

5

1

2

3

1 2

ABCDE

Aditivo


Modelo: Cuadrado Latino

)()( kijkjikij uy

Normalidad

Independencia

Homocedasticidad

K2 Observaciones

Ki i1 0

Kj j1 0

Kk k1 0

)(kiju

)2(55)3(45)5(35)4(25)1(15

)4(54)1(44)3(34)5(24)2(14

)3(53)4(43)1(33)2(23)5(13

)1(52)5(42)2(32)3(22)4(12

)5(51)2(41)4(31)1(21)3(11

5

4

3

2

1

54321

yyyyy

yyyyy

yyyyy

yyyyy

yyyyy


Estimación

)()( kijkjikij uy

K

y

yK

y

yK

y

yK

y

y

K

kkij

k

K

ikij

j

K

jkij

i

K

i

K

jkij

1)(

)(1

)(

)(1

)(

)(21 1

)(

)(

;)2)(1(

2

1

1

1

2)(22

)()()()()()(

)()(

)()(

)()(

)(

KK

es

yyyyye

Kyy

Kyy

Kyy

y

kij

R

kjikijkij

kk

jj

ii


Descomposición de la

variabilidad

i jkij

kk

jj

ii

K

i

K

jkij

eyyKyyKyyK

yy

2)(

2)()(

2)()(

2)()(

1 1

2)()(

)()( kijkjikij uy

)()()()()()()()()( )()()( kijkjikij eyyyyyyyy

)2)(1()1()1()1()1( 2 KKKKKK

Libertad de Grados


1Total

)2)(1(Residual

1

1

1

..

2

1 1

2

)()(

22)(

2

222

)()(

2

222

)()(

2

222

)()(

Kyy

sKKe

s

ssKyyKC

s

ssKyyKB

s

ssKyyKA


K

i

K

j

kij

R

i j

kij

R

CC

k

k

R

BB

j

j

R

AA

i

i

Tabla ANOVA


Tabla análisis de la varianza


Comparación: vehículos

65

70

75

80

85

VEH

me

dia

s

1 2 3 4 5

Diseno de experimentos

1. En una planta piloto se obtiene un nuevo producto mediante un proceso quımico. Con elfin de mejorar el rendimiento se emplean dos catalizadores distintos y se trabaja con trestemperaturas diferentes. Los resultados del experimento son

TemperaturaCatalizador 200 300 400

A 115 125 130 140 110 120B 115 105 135 145 100 110

(a) Contrastar si los factores Temperatura y Catalizador tienen efectos significativos. (α =0.05)

(b) ¿Que tratamiento se debe utilizar para obtener el mayor rendimiento, si se desea garan-tizar una probabilidad de error tipo I total, αT = 0.03?

2. Se pretende estudiar el efecto que produce los factores (1) Porcentaje de algodon (10%, 20%y 30%) (2) Tipo de confeccion (A y B) en la resistencia al desgaste de ciertos tejidos de fibrasintetica. Se ha realizado el siguiente diseno con tres replicaciones

10% 20% 30%115 120 126

A 112 135 118133 139 142107 110 132

B 114 102 114108 117 125

(a) Construir la tabla de Analisis de la Varianza y contrastar la influencia de los dos factoresy la presencia de la interaccion.

(b) Hacer un contraste de diferencia de medias y decidir el tratamiento mas adecuado paraconseguir la mayor resistencia al desgaste.

3. Cierto Organismo Publico (O.P.) encargado de certificar la composicion de aleaciones demetales preciosos, debe seleccionar entre dos Laboratorios al mas capacitado para la realiza-cion de futuros analisis de gran precision. Para tomar la decision les somete a la siguienteprueba: Prepara tres aleaciones A, B y C que contienen proporciones distintas de oro.De cada una de ellas envıa cuatro muestras a cada uno de los dos laboratorios. Ası pues,cada laboratorio recibe un lote de 12 muestras (codificadas) ordenadas aleatoriamente sinconocer como han sido obtenidas. Los resultados recibidos por el O.P. son (entre parentesislas medias de las casillas):

1

Aleac. A Aleac. B Aleac. C10.96 11.03 10.95 11.00 11.07 11.01

Lab. I 11.08 11.01 11.04 10.97 10.97 11.03(11.02) (10.99) (11.02)

10.97 10.96 10.97 10.96 11.02 11.00Lab. II 10.94 10.95 10.97 10.98 11.01 11.01

(10.955) (10.97) (11.01)

(a) Determinar si existen diferencias entre los resultados de los laboratorios y si estos hanencontrado diferencias entre las aleaciones.

(b) Aceptando que los datos cumplen la hipotesis de normalidad, indicar si podemos aceptarque verifican el resto de las hipotesis del modelo y en caso negativo que medidas se debenadoptar para analizar los datos.

(c) Realizar un test de razon de varianzas para contrastar que las varianzas de los doslaboratorios son iguales, sabiendo que las tres aleaciones tienen composicion distinta.Interpretar el resultado.

(d) El O.P. conoce exactamente el porcentaje en oro de la aleacion A (11 %), de la B(11.02 %) y de la C (11.04 %). Con esta informacion comparar los resultados de loslaboratorios.

4. Complete la tabla ADEVA siguiente y diga de que diseno se trata.

Suma de Cuad. G.L. VarianzasFactor 1 20 2Factor 2 5 1.25Factor 3 10Int. Segundo ordenInt. Tercer orden 0.25TOTAL 44 29

5. Se ha realizado un diseno factorial sin replicacion con tres factores A,B,C con 5, 5 y 4niveles respectivamente. Si la interaccion de tercer orden es nula, obtener la descomposicionde la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada termino.

6. Para estudiar el efecto de tres factores (A,B,C) en el tiempo de fraguado del hormigon se harealizado un experimento factorial completo a dos niveles con tres replicaciones (24 datos entotal). Los resultados de la estimacion han sido:

Media A B AB C AC BC ABC92.5 2.4 3.3 8.5 15.0 -1.4 2.65 0.72

Teniendo en cuenta que la varianza residual obtenida es s2R = 18.8, indicar que efectos sonsignificativos para un nivel de significacion α = 0.05.

2

7. Una caracterıstica de la calidad de la gasolina es su ındice de octanos. Una refinerıa depetroleo tiene cinco formulas que pueden emplearse para la obtencion de gasolina con plomoo sin plomo.

(a) Para determinar que formula proporciona mayor ındice de octanos, con cada una deellas se ha repetido 10 veces en el laboratorio el proceso de fabricacion de gasolina conplomo. Si el coeficiente de determinacion del analisis de la varianza de los resultadoses igual a 0.20, contrastar con α = 0.05 si existen diferencias entre las cinco formulaspara este tipo de gasolina.

(b) Los valores medios (yi•) para cada formula son:

Formula 1 2 3 4 5Media 89.2 90.1 90.7 90.5 89.5

Contrastar con α = 0.05 que formulas proporcionan ındices de octanos significativa-mente distintos y cuales no.

(c) Debido a los problemas medio-ambientales gran parte de la produccion futura debeestar libre de plomo. Para determinar que formula de las anteriores produce mejoresresultados en cuanto al ındice de octanos , se realizo un diseno experimental similaral anterior (cinco formulas, 10 observaciones en cada formula) para la obtencion degasolina sin plomo. El coeficiente de determinacion en este caso es igual a 0.25 y elındice medio para cada formula es,

Formula 1 2 3 4 5Media 88.0 89.5 88.5 90.2 89.8

Contrastar (α = 0.05) si existe interaccion entre los factores tipo de gasolina (con y sinplomo) y formula.

8. Para comprobar las propiedades de rigidez de dos materiales A y B a tres temperaturas seha realizado un experimento con 4 replicaciones. Las medias se proporcionan en la tabla.Teniendo en cuenta que la varianza residual ha sido 1.69 y que el analisis de la varianza haindicado: (1) que existen diferencias significativas entre los dos materiales, (2) que no existendiferencias entre las tres temperaturas y (3) que la interaccion de los dos factores es muysignificativa, calcula y dibuja los intervalos de confianza (α = 0.01) para la comparacion delos dos materiales, de las tres temperaturas y de la interaccion. Interpretar los resultados.

3

9. Para estudiar la influencia de la temperatura y la presion sobre el rendimiento de un procesoquımico se ha realizado un experimento con 5 valores de presion y 4 valores de temperatura.Los resultados se muestran en la tabla siguiente.

Temperatura10 20 30 40 Medias

1 65,58 96,71 124,20 156,63 110,712 66,32 101,5 130,37 161,38 114,89

Presion 3 74,42 99,81 134,63 160,59 117,364 80,24 104,11 138,42 166,96 122,435 79,61 112,14 143,58 170,68 126,50

Medias 73,24 102,85 134,24 163,19 118,38

(a) Considere solamente el efecto de la presion y estudie si es significativo (α = 0, 05),sabiendo que las varianzas muestrales corregidas para los datos correspondientes a cadapresion son s21 = 149, 85; s22 = 164, 62; s23 = 143, 95; s24 = 145, 11; s25 = 154, 94.

(b) Incorpore el efecto de la temperatura en un modelo adecuado para los datos. Interpreteel resultado.

(c) Calcule un intervalo de confianza al 95% para la varianza del error experimental de losmodelos de los dos apartados anteriores. Interprete las diferencias.

10. Se desea estudiar la fuerza de percusion de una perforadora en funcion de la VELOCIDADde giro (baja y alta) y de un coeficiente mecanico que denominaremos RATIO (0.15, 0.30,0.45 y 0.60). Se ha experimentado en las ocho posibles combinaciones de ambos factores,replicando cada experimento dos veces. Los resultados se muestran en la tabla siguiente

0.15 0.30 0.45 0.60 Media

Vel. Baja270278

245249

260272

275286

266.875

Vel. Alta283286

285280

286287

294288

286.125

Media 279.25 264.75 276.25 285.75 276.5

Las variabilidades explicadas por el RATIO, la VELOCIDAD y la interaccion RAT x VELson respectivamente 925, 1482.25 y 418,75 y la Variabilidad Total es 3034.

(a) Completa la tabla de analisis de la varianza e indica que efectos son significativos paraα = 0.05.

(b) Interpreta el resultado, indicando como influye el RATIO y la VELOCIDAD en la fuerzade la perforadora. Dibuja el grafico que permite interpretar la interaccion. Proporcionael intervalo de confianza para la media de la combinacion RATIO 0.30, y VELOCIDADbaja.

4

(c) Cada tratamiento tiene dos observaciones, llamando Dij = |Yij1 − Yij2| , al valor abso-luto de la diferencia de estas observaciones, demuestra que

D2ij

2σ2→ χ2

1

y que S2D =

∑2

i=1

∑4

j=1D2

ij

16es un estimador centrado de la varianza del modelo factorial.

(d) Supon que la varianza de las observaciones a velocidad baja es σ21 y de las observaciones

a velocidad alta es σ22. Utilizando el resultado del apartado 3, realiza el siguiente

contraste con nivel de significacion 0.05,

H0 : σ2

1 = σ2

2

H1 : σ2

1 6= σ2

2

11. Cuando un lenguaje de alto nivel es compilado, el tiempo de ejecucion depende del compi-lador. Un ingeniero de software desea comparar tres compiladores (A, B y C), para ello haseleccionado 5 programas muy distintos, cada uno de los cuales ha sido compilado por lostres compiladores. Los tiempos de CPU se proporcionan a continuacion:

1 2 3 4 5 MediasA 122.9 147.4 189.6 200.9 307.3 193.6B 113.8 135.1 173.8 199.3 296.6 183.7C 131.2 152.8 192.7 219.8 318.9 203.1

Medias 122.7 145.1 185.3 206.7 307.6

La variabilidad total es 62899.2, y las variabilidades explicadas por el tipo de compilador ytipo de programa son 937.2 y 61868.9, respectivamente. Da un intervalo de confianza (95%)para la diferencia de las medias entre los dos compiladores mas rapidos.

12. Se ha realizado el analisis de la varianza de un diseno con un unico factor a 10 niveles con 6observaciones para cada nivel. El nivel crıtico que muestra la tabla ADEVA es p = 0.5832.Los niveles crıticos de los contrastes individuales de igualdad de medias son mayores de 0.05para todas las parejas excepto para la comparacion entre los niveles 3 y 7 que ha sido igual a0.0405. ¿Es posible este resultado? ¿Que se puede concluir del analisis? ¿Que procedimientosugiere para realizar los contrastes individuales?

13. Se ha realizado un diseno factorial sin replicacion con tres factores A,B,C con 5, 5 y 4niveles respectivamente. Si la interaccion de tercer orden es nula, obtener la descomposicionde la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada termino.

14. Sea un diseno factorial con 4 factores a 3, 4, 2 y 5 niveles. Calcular el numero de parametrostotales correspondientes a efectos principales e interacciones de orden 2, 3 y 4.

5

15. Un ingeniero ha estudiado el efecto que tienen 5 niveles de iluminacion en una operacionde ensamblado. El departamento en el que se ha experimentado tiene cuatro estaciones detrabajo, que representan una fuente potencial de variabilidad. Para cada estacion de trabajoy nivel de iluminacion se ejecuto la operacion de ensamblado, midiendo la holgura en micras.Los resultados fueron:

ESTAC. ILUMINACION1 2 3 4 5 yi•

1 131 116 88 75 104 102.82 92 96 97 70 75 86.03 128 129 99 94 105 111.04 121 107 84 89 86 97.4

y•j 118 112 92 82 92.5 y•• = 99.3

(a) Contrastar (α = 0.05) si la iluminacion o la estacion de trabajo influye en los resultadosdel ensamblado.

(b) Comparar los niveles de iluminacion y los niveles de las estaciones de trabajo. Indicaren cada caso cuales se pueden considerar distintos y cuales no.

(c) Calcular la varianza teorica del valor medio previsto para cada observacion.

(d) Explicar por que no se debe contrastar la hipotesis

H0 : µ1 = µ2 = ... = µm

del modelo basico de analisis de la varianza (un factor), mediante contrastes de la t de

Student a cada uno de los

(m2

)pares de muestras.

16. Se realiza un experimento para estudiar la influencia de 2 factores en el rendimiento de unproceso, donde el factor que se encuentra a 3 niveles (Alto, medio y bajo) es la temperatura,el otro factor, catalizador, tiene dos niveles: catalizador I y II. Los datos del experimentose muestran en la siguiente tabla:

Alto Medio BajoCI 279 172 176 174 277 130 397 348 434

(215.6) (193.6) (393)CII 253 238 387 252 367 323 417 427 423

(292.6) (314) (422.3)

(Nota: Los numeros entre parentesis son las medias de las casillas)

(a) Contrastar con α = 0.05 que efectos son significativos. Interprete el resultado.

(b) Determinar el intervalo con el 99% de confianza para la varianza del error experimental.

6

(c) Dar un intervalo para una observacion realizada en condiciones optimas. Si se realizan10 experimentos en estas condiciones, determinar el intervalo que con probabilidadigual al 95% contiene a todas ellas. Utilice la aproximacion

tαg = zα(1−zα + 1

4g)−1

donde g son los grados de libertad de la t y zα el valor de la normal estandar, tal queP (Z ≥ zα) = α

17. Un laboratorio de Analisis Clınicos ha adquirido un nuevo equipo (B) para medir el coles-terol en la sangre de los enfermos. Para evaluar si el nuevo equipo esta ajustado se decideanalizar muestras de 5 enfermos que previamente han sido analizadas con otro equipo (A),dando como resultado

Enfermo 1 2 3 4 5 MediaEquipo A 215 305 247 221 286 254.8Equipo B 224 312 251 232 295 262.8

Contrastar con α = 0.05 existen diferencias entre los dos equipos.

18. Para estudiar el consumo de aceite de un motor se prueban 4 motores distintos con 3 tiposde aceites obteniendo 12 medidas de consumo. Se ha obtenido:

Variabilidad explicada por aceite = 100

Variabilidad explicada por motor = 80

Variabilidad Total = 220

Se pide escribir la tabla ADEVA correspondiente, y obtener conclusiones.

19. Para determinar el consumo de energıa electrica para usos domesticos se ha medido el con-sumo medio por persona en las distintas estaciones del ano en siete comunidades autonomaspara 1989, habiendose obtenido los siguientes resultados:

COMUNIDAD INVIERNO PRIMAVERA VERANO OTONO MEDIAS1 13.1 11.4 10.6 11.5 11.652 13.4 12.1 11.1 12.0 12.153 13.8 12.1 11.4 12.9 12.554 14.0 12.8 11.7 12.6 12.775 14.4 12.6 12.5 13.4 13.226 14.8 13.4 13.0 14.0 13.807 15.6 14.2 14.1 14.4 14.57

MEDIAS 14.16 12.66 12.06 12.97 12.96

(a) Analizar si el factor estacion del ano es influyente, sabiendo que s2y = 1.53.(No consid-erar el factor Comunidad).

7

(b) Razonar estadısticamente cual es la estacion de mayor consumo y la de menor, uti-lizando el analisis anterior. Calcular los intervalos de confianza para el consumo mediode cada estacion del ano.

(c) Sabiendo que la variabilidad explicada por el factor comunidad es 23.62, construir unanueva tabla de la varianza, con dos factores, y decidir que factor es significativo.

(d) Utilizar los resultados del apartado anterior para realizar un contraste de igualdad demedias del efecto estacion y comparar los resultados con los del apartado 2, justificandolas diferencias encontradas.

( NOTA: Utilizar α = 0.05 en todos los contrastes )

20. Se realiza un experimento para estudiar si la presencia de fluorita reduce el coste de fabri-cacion de clinker de cemento en tres tipos diferentes de mezcla. Los resultados del mismo(en miles de pesetas por Tm) se muestran en la siguiente tabla:

FLUORITA MI MII MIII yi•0% 15.4 10.6 17.8 14.61% 10.3 5.5 10.9 8.92% 7.4 1.2 8.1 5.53% 10.7 6.5 9.6 8.94% 13.5 11.6 15.5 13.5y 11.4 7.1 12.4

5∑

i=1

3∑

j=1

e2ij = 10.2 y•• = 10.3

(a) Determinar si el tipo de mezcla y el nivel de fluorita anadido influyen significativamenteen el coste de fabricacion. Se supone que no existe interaccion entre los dos factores.

(b) Contrastar que porcentaje de fluorita produce el menor coste del clinker.

21. El analisis de la varianza de un diseno en bloques aleatorizados proporciona los siguientesresultados: V T = 232, V E(factor) = 156, V E(bloque) = 15 y V NE = 61. El numero deniveles del factor es 5 y el numero de bloques 8. Construir la tabla ADEVA. ¿ Cual serıael resultado del analisis si no se tiene en cuenta el efecto de los bloques ? Indicar en quecircunstancias es preferible cada uno de los modelos.

22. Se ha realizado un experimento con tres factores, (A, B y C), con 4, 3, y 5 niveles, sinreplicaciones. El modelo propuesto no incluye las interacciones de orden 3, por lo que lavariabilidad explicada por estas interacciones se pretende utilizar para estimar la varianzaresidual. Los resultados proporcionan para la variabilidad explicada por las interacciones deorden 3 un valor igual a 234.5; que es muy superior a lo esperado. Debido a esto se repitiopor completo el experimento, obteniendose para este segundo experimento un valor de 158.7

8

(para la variabilidad explicada por la interacciones de orden 3). Proponer un procedimientopara contrastar si se ha producido un cambio significativo en esta variabilidad de uno a otroexperimento, indicando las hipotesis en las que se basa el contraste. (Dejar el resultado delcontraste indicado en funcion de los valores crıticos de la tabla correspondiente.)

23. 8.25. (2-96) En un modelo de analisis de la varianza se ha observado que la desviacion tıpica(si) y la media (yi) de las observaciones de cada tratamiento estan relacionadas linealmente,si = kyi, donde k es una constante. ¿ Cual de las siguientes transformaciones es la masadecuada para corregir la heterocedasticidad ? z = log y, z = y2 o z = ky

24. La oxidacion es una etapa de la fabricacion de chips y consiste en anadir una capa deoxido sobre la placa silicio (oblea). Se esta experimentando con 6 tratamientos (Ti) paraseleccionar el que proporciona un mayor espesor de oxido en un mismo tiempo de proceso.Una caracterıstica que influye en el espesor es el acabado superficial de la oblea, por lo quese tomaron 5 tipos distintos de acabado (Oj). De cada tipo (Oj) se tomaron 6 obleas y seasignaron aleatoriamente a los tratamientos. En la tabla se proporciona el espesor obtenidoen cada oblea y las medias por filas y columnas.

T1 T2 T3 T4 T5 T6

O1 85.60 90.90 93.00 80.50 85.20 88.90 87.35O2 89.30 91.50 93.60 83.20 87.80 91.00 89.40O3 84.70 87.50 90.90 81.00 83.20 86.30 85.60O4 87.60 90.50 95.60 84.60 87.60 91.10 89.50O5 87.30 93.10 94.90 82.70 86.70 88.70 88.90

86.90 90.70 93.60 82.40 86.10 89.20 88.15

VT = 465.1

(a) Contrastar si el tipo de oblea y el tratamiento influyen en el espesor del oxido. Elegir eltipo de oblea y tratamiento mas adecuado, indicando si son significativamente distintosdel resto.

(b) Para fijar los seis tratamientos, se seleccionaron dos temperaturas (t1, t2) y tres presiones(p1, p2, p3) y se combinaron de forma que T1 = (t1, p1), T2 = (t1, p2), T3 = (t1, p3)T4 = (t2, p1), T5 = (t2, p2) y T6 = (t2, p3). Calcular las variabilidades explicadas por latemperatura, la presion y su interaccion (t× p).

(c) Indicar si sus efectos son significativos, suponiendo nulas las interacciones de los factoresO × t, O × p y O × t× p.

25. Demostrar que en un modelo de bloques aleatorizados, µ, αi y βj son independientes.

26. Un centro ha realizado un experimento para mejorar la resistencia a la tension de ciertosmuelles de acero. En una etapa del proceso el muelle caliente se sumerge en aceite templado.Se han estudiado tres factores, A (temperatura del acero antes de la inmersion, con tresniveles), B (temperatura del bano de aceite, dos niveles) y C (concentracion de carbono enel acero, dos niveles). El experimento se ha replicado tres veces. En la tabla se muestra lamedia y la varianza (corregida) para los tres datos de cada tratamiento.

9

A B C yi s2i1 1 1 40.2 0.251 1 2 61.1 2.681 2 1 35.9 2.431 2 2 57.1 4.442 1 1 49.0 3.492 1 2 70.3 7.772 2 1 46.7 5.082 2 2 67.6 1.033 1 1 41.9 4.273 1 2 62.7 11.413 2 1 37.1 1.333 2 2 60.3 6.13

(a) Dar un intervalo del 95 % de confianza para la varianza del error experimental, σ2.

(b) Indicar si los efectos principales de A, B y C son significativamente distintos de cero.

(c) Dado σ2, construir un intervalo que cumpla que la probabilidad de que s2i (la varianzamuestral corregida de un tratamiento) este contenido en el sea igual a 0.95. Sustituir σ2

por su estimador y con ayuda de este intervalo, discutir si se puede rechazar la hipotesisde homocedasticidad de las observaciones.

27. Estimar por maxima verosimilitud los parametros µ, αi y βj del modelo de bloques aleator-izados. Obtener la distribucion de estos estimadores, indicando su media y varianza.

28. Explicar por que en un modelo de dos factores con interaccion es necesario poner las condi-ciones

I∑

i=1

αi = 0,J∑

j=1

βj = 0,I∑

i=1

(αβ)ij = 0 para todo j, yJ∑

j=1

(αβ)ij = 0 para todo i.

¿Se podrıan haber puesto otras condiciones distintas a las anteriores? Justificar la respuesta.

29. La calidad de un producto quımico despues de un largo periodo de almacenamiento dependedel conservante empleado y de las caracterısticas de almacenamiento. Se ha estudiado elefecto de cuatro conservantes distintos (columnas) y cinco almacenamientos (filas) sobre ladegradacion del producto:

1 2 3 4 Medias1 15.1 11.0 18.8 10.3 13.82 8.1 4.3 11.8 3.8 7.03 15.3 11.5 15.6 9.2 12.94 8.0 4.4 11.0 5.8 7.35 13.5 9.3 15.8 18.2 14.2

Medias 12.0 8.1 14.6 9.46 11.04

10

La tabla de analisis de la varianza para los datos anteriores es:

Suma deCuadrados

Grados deLibertad

S. CuadradosMedios

FNivelCrıtico

Almacen. 205.488 4 51.372 10.03 0.0008Conserv. 123.676 3 41.225 8.05 0.0033Residuos 61.484 12 5.123Total 390.648 19

(a) Elegir con α = 0.05 el conservante y el almacenamiento que producen menor degradacion.

(b) El analisis de los residuos muestra como atıpica la observacion y54 = 18.2. Un examenquımico confirma el resultado anomalo por lo que se recomienda eliminar la observacion.Segun el modelo de dos factores sin interaccion, la prediccion de la observacion yIJ(eliminada) es:

yIJ =SI∗

(J − 1)+

S∗J

(I − 1)−

S∗∗

(I − 1)(J − 1)

donde I = 5, J = 4, SI∗ es la suma de las observaciones de la fila I (sin incluir la elimi-nada), S∗J es la suma de las observaciones de la columna J (sin incluir la eliminada), yS∗∗ es la suma de las observaciones restantes no incluidas en la fila I ni en la columnaJ. Obtener la distribucion (media y varianza) del error de prediccion eIJ = yIJ − yIJ .

(c) Cuando, como en el caso anterior, falta una observacion se recomienda el siguiente pro-cedimiento: sustituir la observacion faltante por su prediccion y aplicar los contrasteshabituales teniendo en cuenta que los residuos tienen un grado de libertad menos. Lanueva descomposicion de la variabilidad es: VT=339.63, VE(Conservantes)=166.02,VE(Almacenamiento)=164.02 y VNE=9.59. Contestar al apartado 1 con esta modifi-cacion e interpretar las diferencias.

30. Una instalacion tıpica de almacenamiento de combustible en una Estacion de Servicio (gaso-linera) esta formada por un tanque enterrado de gran capacidad, al que se encuentranconectados distintos surtidores. La cantidad total de gasolina suministrada en un dıa sepuede determinar midiendo directamente la variacion que se ha producido en el tanque dealmacenamiento (Y1j) o por la suma de los suministros de los distintos surtidores (Y2j). Lacomparacion de ambas medidas permite determinar perdidas en la instalacion enterrada yotras anomalıas. En el proceso de comparacion es necesario tener en cuenta que las medidasestan afectadas por errores aleatorios. Durante 20 dıas se han tomado los valores anterioresen un gasolinera:

Dıa→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y1j 4116,2 5627,0 2820,4 2521,8 2973,5 2834,9 2335,7 2590,8 2182,7 2621,4

Y2j 4143,6 5632,0 2868,1 2477,7 2955,4 2851,9 2312,7 2630,6 2208,9 2635,9

Dıa→ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Y1j 4323,6 1880,7 2131,4 3349,6 2545,0 2247,3 1817,5 1461,3 1646,5 1955,4

Y2j 4305,4 1877,9 2159,2 3366,7 2566,1 2281,4 1854,6 1461,5 1607,3 1956,4

11

(a) Llamando Dj = Y1j − Y2j a la diferencia en las medidas de un mismo dıa, contrastarcon α = 0.05

H0 : µD = 0H1 : µD 6= 0

donde Dj tiene distribucion N(µD, σD). Calcular el nivel crıtico del contraste aproxi-mando la distribucion t de Student por la normal.

(b) Los datos anteriores pueden ser analizados mediante un modelo de bloques aleatorizadostomando el tipo de medida (tanque, surtidores) como un factor y los dıas como bloques.Demostrar con caracter general que en el modelo de bloques aleatorizados si el factortiene dos niveles la varianza residual cumple:

s2R =1

2s2D

donde s2D es la estimacion de σ2D del apartado 1.

(c) Teniendo en cuenta lo anterior, demostrar que el contraste correspondiente al factor enel modelo de bloques aleatorizados es equivalente al contraste del apartado 1.

31. Una forma alternativa de la ecuacion del modelo para comparar I tratamientos es

yij = µ+ τ i + uij, i = 1, 2, ..., I; j = 1, 2, ..., m

donde

µ es la media global

τ 1, τ 2, ..., τ I son los parametros que determinan los efectos de cada tratamiento, cumplenque

∑I

i=1τ i = 0

uij son variables aleatorias independientes con identica distribucion normal de media cero yvarianza σ2.

(a) Obtener el estimador maximo verosımil de τ i, indicar su distribucion de probabilidad,media y varianza.

(b) Calcular la esperanza de la variabilidad explicada (V E = m∑I

i=1τ 2

i ) cuando losparametros τ i no son todos nulos.

(c) Calcular la correlacion entre τ i y un residuo eij cualquiera (del mismo o diferentetratamiento). Que implicacion tiene este resultado en el contraste de analisis de lavarianza.

32. Un ingeniero esta estudiando metodos para mejorar ciertas propiedades mecanicas de unaaleacion metalica. Los dos factores que considera mas importantes son la cantidad de Man-ganeso y la temperatura de templado. Se disena un experimento empleando tres nivelespara el factor manganeso y dos para la temperatura, en total 3×2 = 6 tratamientos. Sedispone de 6 hornos diferentes para realizar la fundicion. Cada horno requiere un operadory se disponen de seis operadores cada uno de los cuales es capaz de manejar los seis hornos.Disenar un experimento que con 36 observaciones permita estudiar las diferencias entre los

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seis tratamientos y que tenga en cuenta el tipo de horno y el operador como variables blo-ques. Construir la tabla de analisis de la varianza, indicando los grados de libertadad decada variabilidad, separando en ella el factor manganeso, el factor temperatura y su inter-accion. (Los bloques y los factores no interaccionan). (Nota: no es necesario indicar en latabla como se obtienen las distintas variabilidades).

33. Una asociacion de consumidores para comprobar la utilidad de ciertos compuestos que segunsus fabricantes reducen el consumo de gasolina de los automoviles realizo el siguiente exper-imento: eligio al azar 9 vehıculos nuevos de distintas marcas con cilindrada similar y concada uno de ellos recorrio tres veces un mismo trayecto con conductores distintos. Ademasen cada uno de estos tres trayectos empleo un tratamiento diferente para la gasolina:

Tratamiento

A : Gasolina con Cyber-GasB : Gasolina con ConsuminC : Gasolina sin aditivo

En la tabla siguiente se muestra el consumo en litros de gasolina en cada uno de los recorridosy el tipo de tratamiento (letra latina).

Numero Conductores Media

Vehıculo 1 2 3 fila

1 15,5 (A) 15,6 (B) 16,6 (C) 15,902 13,0 (B) 13,3 (A) 13,0 (C) 13,103 11,8 (B) 13,1 (C) 12,5 (A) 12,474 14,4 (A) 14,8 (C) 15,0 (B) 14,735 12,4 (B) 14,3 (A) 14,1 (C) 13,606 15,6 (C) 15,3 (A) 14,7 (B) 15,207 12,7 (C) 12,0 (B) 12,0 (A) 12,238 14,2 (C) 14,0 (B) 15,1 (A) 14,439 12,6 (A) 13,5 (C) 12,3 (B) 12,80

Media Media Total

Columna 13,58 13,99 13,92 13,83

Media deTratam.

A:13,89B:13,42C:14,18

El analisis de los datos se realiza con el siguiente modelo

yijk = µ+ αi + βj + γk + uijk

donde yijk representa el consumo en litros, µ la media global; αi, i = 1, 2, ..., 9 y βj, j =1, 2, 3 los efectos correspondientes a los vehıculos (filas) y los conductores (columnas). Laestimacion e interpretacion de estos parametros es similar al modelo de bloques aleatorizados.Ademas se incluye los parametros γk, k = 1, 2, 3 que miden el efecto de los tratamientos (tipode aditivo) y cumplen

∑3

k=1γk = 0. Por ultimo, uijk la componente aleatoria son variables

aleatorias independientes con distribucion normal de media cero y varianza σ2 para todaslas observaciones.

(a) Obtener razonadamente los estimadores maximo verosımiles de γk.

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(b) La tabla del analisis de la varianza del modelo anterior es

Suma de Grados deCuadrados Libertad Varianza F p-Valor

Tratamiento 2,67 2 1,31 6,7 0,0091Vehıculo 40,2 8 5,02 25,7 0,0000Conductor 0,876 2 0,438 2,2 0,1428

Residual 2,73 14 0,195Total 46,4 26

¿Reducen los aditivos el consumo de gasolina? ¿ Existen diferencias significativas entreCyber-gas (A) y Consumin (B)? (Realizar los contrastes con nivel de significacion 0.05).

(c) Demostrar que el diseno anterior, independientemente de los valores numericos (yijk)obtenidos, es un diseno ortogonal, es decir que cumple:

VT = VE(Vehıculos) + VE(Conductores) + VE(Tratamientos) + VNE

(Nota.- Es suficiente con demostrar la ortogonalidad del vector correspondiente a lostratamientos con respecto a los otros tres).

34. Un informatico quiere comparar los tiempos de ejecucion de tres programas realizados enlenguajes diferentes que realizan el mismo proceso. Para hacer la comparacion utilizan 4ordenadores con microprocesadores distintos. Los tiempos requeridos por cada programa encada ordenador han sido:

ORDENADOR PROGRAMA↓ A B C yi•1 1,36 2,23 1,54 1,712 0,97 0,70 0,76 0,813 1,79 1,74 1,84 1,794 0,64 0,69 0,74 0,69y•j 1,19 1,34 1,22 1,25

¿Existen diferencias significativas en los tiempos requeridos por los 3 programas?

35. Se ha realizado un experimento con dos factores cada uno de ellos con 3 niveles. El 20%de la variabilidad total esta explicada por la interaccion de los dos factores y el 40% dela variabilidad total es debida a la variabilidad residual. Determinar el numero de replica-ciones necesarias en cada tratamiento para que la interaccion sea significativa con α = 0.01.(Explicar el procedimiento de calculo, dejando el resultado indicado en funcion de las tablas).

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36. Un investigador quiere estudiar el efecto de sexo (hombre, mujer) y tipo de formacion (cien-cias, letras) en el dominio del ingles escrito en profesores universitarios. Para ello analiza elnumero de incorrecciones gramaticales en artıculos cientıficos enviados a publicacion. Paracada combinacion de niveles de los factores se han elegido al azar tres profesores. En la tablase proporciona el numero de fallos detectados en artıculos de 15 paginas

Letras CienciasHombre 8, 6, 13 22, 28, 33Mujer 5, 10, 6 12, 14, 9

Contrastar con nivel de significacion 0.05 si los efectos principales y la interaccion son signi-ficativos. Tener en cuenta que P (F1,8 ≤ 5.32) = 0.95, siendo F1,8 la distribucion F con grados delibertad 1 y 8. Interpretar los resultados.

37. Un alumno, como trabajo de la asignatura de estadıstica, ha comparado tres marcas distintas(A,B,C) de palomitas de maız precocinadas. Cada marca puede prepararse friendolas enuna sarten (metodo 1) o en el horno microondas (metodo 2). El alumno ha realizado undiseno factorial completo 3×2 con cinco replicaciones en cada uno de los seis tratamientos.La variable respuesta medida es el porcentaje de granos de maız que no se han infladoadecuadamente. Los resultados del experimento se muestran en la tabla, en cada tratamientose proporciona la media y entre parentesis la desviacion tıpica corregida para las cincoreplicaciones. Contrastar si la interaccion entre los dos factores es significativa.

A B C

Sarten5.5(1,4)

3.6(1,8)

7.5(2,5)

Horno3.8(1,3)

3.4(0,9)

4.3(1,3)

38. Se ha realizado un experimento con dos factores, A (temperatura con tres niveles), B (con-centracion con cuatro niveles). El experimento se ha replicado 5 veces. En la tabla se

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muestra la media y la varianza (corregida) para los 5 datos de cada tratamiento.

A B yi s2i1 1 240 1.21 2 261 1.61 3 235 1.41 4 257 2.42 1 249 1.42 2 270 5.72 3 246 5.82 4 267 1.73 1 241 4.23 2 262 9.43 3 237 1.33 4 260 6.1

Escribir la tabla de analisis de la varianza.

39. Se desea estudiar la influencia de 2 factores en el error de medida de un equipo de visionartificial. Un factor F es la distancia focal, para el que se han fijado 4 niveles y el otro factorL es el nivel de iluminacion con 2 niveles. Ademas se dispone de 2 equipos diferentes pararealizar las medidas. Se ha tomado un patron y se ha medido en las combinaciones indicadasen la tabla, donde yijk es el error obtenido al situar la distancia focal i, con iluminacion j yel equipo k.

F −→ 1 2 3 4 1 2 3 4L −→ 1 1 1 1 2 2 2 2

Equipo 1 y111 y211 y311 y411 y121 y221 y321 y421Equipo 2 y112 y212 y312 y412 y122 y222 y322 y422

Construir la tabla de analisis de la varianza, que incluya los efectos principales debidos a ladistancia focal (F ), la iluminacion (L) y el equipo, y ademas la interaccion F×L, suponiendoque son nulas el resto de interacciones.

40. Cierta industria de lentes para gafas desea comparar dos tipos de recubrimiento antireflec-tante A, B. Los dos tipos tienen identico aspecto y prestaciones, pero antes de decidirse poruno u otro desean comprobar si el tipo de recubrimiento influye en el desgaste que sufre lalente. Para ello construyen gafas con una lente de cada tipo que distribuyen entre 10 per-sonas seleccionadas al azar que habitualmente utilizan gafas. Al cabo de seis meses midenel desgaste y se obtienen los valores que se indican en la tabla.

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Persona Lente A Lente B1 6.7 6.92 5.0 5.83 3.6 4.14 6.2 7.05 5.9 7.06 4.0 4.67 5.2 5.58 4.5 5.09 4.4 4.310 4.1 4.8

¿Que tipo de recubrimiento recomendarıa a los fabricantes con el criterio de mınimo desgaste?.

41. Demuestre que en un modelo en bloques aleatorizados, con I niveles para el factor y J nivelespara el bloque, con modelo

yij = µ+αi+βj+uij,el valor esperado de la variabilidad explicada por el factor es: E[V E(α)] =

(I − 1)σ2 + J∑J

i=1α2i ,siendo σ2 la varianza del error experimental.

42. Se desea comprobar si el orden en el que aparecen las preguntas de un examen test influyeen resultado obtenido por el alumno. Se han preparado dos examenes, el Test A tienelas preguntas en orden de dificultad creciente y el Test B a la inversa. Se ha elegido unamuestra aleatoria de 20 alumnos y se han emparejado segun su habilidad, de forma que losdos alumnos de cada pareja han demostrado durante el curso una habilidad similar. Decada pareja, un alumno se ha asignado aleatoriamente al Test A y el otro al Test B. Losresultados finales del ejercicio han sido (cada pareja es una columna)

Test A: 83 82 95 92 91 60 89 69 70 72Test B: 76 62 70 74 52 63 48 80 76 74

¿Es evidente que las puntuaciones del Test B son mas bajas que las del Test A?

43. El analisis de la varianza de un diseno en bloques aleatorizados proporciona los si-guientesresultados: V T = 129, V E(factor) = 38, 5 y V E(bloque) = 82, 5. El numero de niveles delfactor es 4 y el numero de bloques 4. Construir la tabla de analisis de la varianza y hacerlos contrastes correspondientes con nivel de significacion 0,05.

44. Se ha estudiado la influencia de la cantidad de cierto aditivo en la opacidad de un materialplastico que se puede fabricar por tres metodos de extrusion. El objetivo es conseguir eltratamiento con opacidad mınima. Cada tratamiento se ha replicado 5 veces, los valoresmedios y las desviaciones tıpicas corregidas para cada caso se proporcionan en la tabla 1.La tabla 2 corresponde al analisis de la varianza. Se ha comprobado que se verifican lascondiciones de normalidad y homocedasticidad.

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Metodo Aditivo Medias Desv. Tıp.1 1 9.5 0.831 2 9.3 0.672 1 10.0 1.532 2 8.1 0.773 1 11.5 0.783 2 6.0 1.23

(TABLA 1)

Suma de

cuadrad. g.l. Var. F p-valor

Extrus. 2.210 2 1.105 1.072 0.358Aditivo 47.636 1 47.636 46.2 0.000Interac. 37.572 2 18.786 18.2 0.000Residual 24.728 24 1.030Total 112.146 29

(TABLA 2)

(a) A la vista de los resultados de las dos tablas indica que metodo de extrusion es acon-sejable para conseguir la opacidad mınima.

(b) Da un intervalo del 95% de confianza para la opacidad media en las condiciones optimas.

(c) Seadi = yi1 − yi2

la diferencia entre las medias observadas en los dos niveles del factor aditivos para elmetodo de extrusion i. Calcula el valor esperado y la varianza de di en terminos de losparametros del modelo factorial.

(d) Si E(di) = 0 para los tres metodos, obten la distribucion de probabilidad de

5

2×

d21 + d22 + d23σ2

.

45. Se ha estudiado el efecto de tres hornos diferentes y dos temperaturas (290 oC y 320 oC)en la duracion de cierto componente. Para cada combinacion de horno y temperatura seha replicado el experimento 3 veces. En la tabla siguiente se proporcionan las medias ydesviaciones tıpicas de los datos de cada tratamiento.

Temperatura oC290 oC 320 oC

Media Desv. T. Media Desv. T.Horno 1 245.6 8.50 180.0 2.65Horno 2 191.0 15.39 144.0 2.65Horno 3 187.0 4.58 134.3 8.62

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Suma GradosFuente Cuadrado Libertad Varianza F p-valorHorno 9646.3 2 4823.2 69.1 0.000Temp. 13667.6 1 13667.6 195.9 0.000H x T 274.8 2 137.4 1.97 0.182

Residual 837.3 12 69.8Total 24426 17

Seleccionar el horno y la temperatura que proporcionan maxima duracion, haciendo los con-trastes de igualdad de medias con nivel de significacion 0.01.

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2. Diseño de experimentos 2.1 Diseños Factoriales (dos factores)

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