Diseños de Experimentos (Bueno Material Diapositivas)

UNIDAD V: DISEO EXPERIMENTAL

14 Ctedra de Clculo Estadstico y Biometra Facultad de Ciencias Agrarias UNCuyo / Ciclo 2013

DDIISSEEOO YY AANNLLIISSIISS DDEE EEXXPPEERRIIMMEENNTTOOSS MMOONNOOFFAACCTTOORRIIAALLEESS

1188..11.. IINNTTRROODDUUCCCCIINN

En la Unidad de Inferencia Estadstica se presentaron problemas que implican el manejo de datos numricos correspondientes a la observacin de una o ms variables aleatorias, y el inters se focaliz en efectuar estimaciones puntuales o intervalares y en la aplicacin de pruebas de hiptesis relacionadas con una o ms poblaciones. En esta unidad se trata el diseo experimental y el anlisis de los datos experimentales.

El diseo experimental comprende un conjunto de procedimientos que se utilizan para obtener datos numricos bajo condiciones controladas. Como ya se sabe slo es posible realizar inferencias vlidas aplicando un diseo que cumpla con los principios bsicos de la experimentacin: repeticin, aleatorizacin y control (por ejemplo, bloqueo). Para esto se requiere planificar la experimentacin y disear un dispositivo experimental (esquema de distribucin de las unidades experimentales y los tratamientos) que llevado a la prctica permita obtener datos empricos apropiados para el anlisis estadstico posterior.

El anlisis de los datos experimentales se centra en realizar comparaciones. A partir de experimentar con diferentes situaciones, los datos correspondientes se analizan mediante los procedimientos del anlisis de la varianza y algunas pruebas complementarias. El concepto fundamental de los experimentos estadsticos es la varianza residual. Esta es la variacin debida al error experimental (variacin dentro) que mide la porcin de la variabilidad total de los datos no explicada por la variacin debida a los tratamientos (variacin entre)

Se ha visto en el anlisis de la varianza que generalmente se utiliza la prueba de F, para tomar una decisin con respecto a si varias muestras proceden de poblaciones que tienen la misma media paramtrica. Adems que se utiliz el nombre genrico de grupos para referirse a las muestras, pero en el contexto experimental los grupos se corresponden con tratamientos (j=1,2,,k) o los bloques (r=1,2,... , n) y, se present la identidad fundamental del ADEVA que hace referencia a la particin como:

SCG = SC entre grupos + SC dentro de grupos

A partir de las sumas de cuadrados entre y dentro, se obtuvieron dos estimaciones independientes de la varianza poblacional 2 asociada al primer trmino de la ecuacin, que fueron el cuadrado medio entre grupos y el cuadrado medio dentro de grupos. Bajo hiptesis nula de que los grupos proceden de poblaciones con idntica media (Ho: 1 = 2 = = k ), los dos cuadrados medios toman el mismo valor, luego la razn

gruposdentroCMgruposentreCMF = , que en el muestreo sigue la distribucin F; 1 , 2 , resulta igual a

1. Pero, si los datos observados aportan suficiente evidencia para rechazar Ho, se concluye a favor de la hiptesis alternativa (H1: al menos existe una media que difiere de las restantes). Evidentemente en este

Contenidos

18.1. Introduccin18.2. Diseos experimentales bsicos 18.2.1.Dispositvo experimental 18.2.1.1. Diseo completamente aleatorizado (DCA) 18.2.1.2. Diseo de bloques completos al azar (DCBA) 18.2.1.3. Diseo cuadrado latino (DCL) 18.2.2. Anlisis comparativo de los diseos bsicos 18.3. Anlisis de los experimentos monofactoriales 18.3.1. Anlisis de la varianza (ADEVA) 18.3.1.1.Diseo completamente aleatorizado (DCA)18.3.1.2.Diseo de bloque completo al azar (DCBA).18.3.1.3.Anlisis de la varianza del cuadrado latino (DCL) 18.3.2. Anlisis a posteriori del ADEVA 18.3.2.1.Caso de un factor cualitativo 18.3.2.2. Caso de un factor cuantitativo.

TEMA



caso el CM del numerador resulta mayor al CM del denominador, F>1, y el valor resulta tanto mayor a la unidad cuanto mayor sea la diferencia entre las medias de los grupos (tratamientos o bloques).

En el contexto del anlisis experimental se presentarn otras expresiones para explicar la particin de la SCG, que reflejarn el tipo de dispositivo experimental utilizado y la naturaleza de los tratamientos. En este captulo particularmente, se ver la aplicacin del ADEVA en el anlisis de datos experimentales (valores observados de una variable respuesta Y) derivados de experimentos monofactoriales, es decir, que se ha experimentado con un nico factor, cuyos tratamientos (tratamientos simples) se han distribuido aleatoriamente, con diferente grado de control experimental (DCA, DBCA y DCL).

No resulta difcil calcular las sumas de cuadrados con una calculadora manual, si se parte de una tabla con datos correctamente organizados y se aplican frmulas operativas de clculo, aunque la tarea puede resultar algo tediosa. Se pueden disear planillas de clculo MS EXCEL, tanto para realizar el anlisis inicial exploratorio de los datos (anlisis descriptivo), que permitir vislumbrar el cumplimiento de los supuestos del ADEVA, como para realizar los clculos que requiere el anlisis inferencial (Pruebas de F y Pruebas de comparaciones mltiples de medias). Tambin se puede recurrir a paquetes estadsticos para computadoras; en este curso se presentarn ejercicios con salidas obtenidas con el INFOSTAT para su interpretacin.

1188..22.. DDIISSEEOOSS EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALLEESS BBSSIICCOOSS

18.2.1. Dispositivo experimental

Existen tres formas bsicas para distribuir aleatoriamente los tratamientos en las unidades experimentales, que se diferencian por el grado en que controlan el error experimental:

Menor control Diseo completamente aleatorizado (DCA) Diseo de bloques al azar (DBA) Diseo de cuadrado latino (DCL)

Mayor control

1188..22..11.. DDiisseeoo ccoommpplleettaammeennttee aalleeaattoorriizzaaddoo ((DDCCAA))

El diseo completamente aleatorio es apropiado cuando se sabe que adems de la variacin aleatoria entre las unidades experimentales, la nica fuente de variacin adicional que existe, es la debida a la aplicacin aleatoria en ellas de diferentes tratamientos.

Caractersticas

Las unidades experimentales deben ser homogneas entre s (sustrato homogneo) Los tratamientos se distribuyen al azar en las unidades experimentales, mediante un procedimiento

fsico (bolillero) o una tabla de nmeros aleatorios o dados de 10 caras (decaedro), sin ninguna restriccin en el sorteo.

El nmero de repeticiones por tratamiento puede ser igual o diferente:

Ejemplo ilustrativo de un DCA con igual nmero de repeticiones por tratamiento: Sea el caso de un ensayo en laboratorio, con cuatro dosis de fertilizante (A, B, C, D), aplicadas a terrinas con plantas de tomate. El dispositivo experimental o plano de distribucin de los tratamientos de la Figura 18.1 puede ser un resultado posible, despus de sortear estos tratamientos en las distintas unidades o terrinas. En el dispositivo se observan las 5 unidades que recibirn cada uno de los tratamientos (repeticiones).

B1 A1 A2 C1 A3 B2 D1 B3 C2 C3 A4 D2 A5 D3 B4 C4 B5 D4 D5 C5

Figura 18.1. Distribucin de un experimento monofactorial en DCA, 4 dosis (A,B,C,D) ; r= 5 repeticiones (i=1,2,3,4,5)



1188..22..22.. DDiisseeoo ddee bbllooqquueess ccoommpplleettooss aall aazzaarr ((DDCCBBAA))

En muchas situaciones se sabe de antemano que las unidades experimentales presentan diferencias y entonces, an cuando se las trate posteriormente de igual modo (con un mismo tratamiento), se debe esperar resultados diferenciados. Por ejemplo, en experimentos con animales, los ejemplares que provienen de diferente cruza o de diferentes camadas tienen diferencias genticas y esto puede determinar que ante una misma dieta alimentaria respondan en forma diferente. Tambin podran encontrarse diferencias en el peso inicial, condicin de salud del animal, raza, sexo o edad, etapa de lactancia, etc. En experimentos con plantas se pueden encontrar diferencias en el estado de desarrollo, la exposicin al sol de los frutos, o bien en el suelo (pendiente, humedad, etc.), en tanto que en experimentos industriales se puede considerar variaciones por la posicin en una cmara frigorfica, la lnea de produccin, el turno laboral, etc.

En experimentos a campo con plantas, a veces no hay suficientes unidades experimentales similares para realizar todas las repeticiones que se desean. Se pueden requerir parcelas grandes, y entonces sucede que las parcelas adyacentes suelen responder de manera ms similar que las que estn distanciadas por diversas razones (gradientes de fertilidad, textura, etc.), de modo que algunos tratamientos pueden resultar favorecidos y otros perjudicados. Tambin ocurre, en experimentos realizados en laboratorio, que las observaciones efectuadas en un da dado o usando cierto equipo pueden parecerse ms que las hechas en das diferentes o con diferentes equipos, respectivamente.

En tales situaciones, se puede proceder de una manera anloga a la vista en el muestreo estratificado. Con las unidades experimentales que presentan condiciones similares, se arman agrupamientos o bloques, que seran equivalentes a los estratos: las unidades son homogneos dentro del bloque, pero hay diferencia entre los bloques. De esta manera, se puede controlar experimentalmente alguna fuente de variabilidad, que de otro modo perturbara los resultados experimentales, porque sus efectos quedaran englobados en el error experimental relacionado con el denominador de la razn F (mayor valor, en detrimento de la significancia de los efectos de los tratamientos).

Existen situaciones en las cuales, de entrada resulta que no es posible tener igual nmero de unidades experimentales homogneas para tener una repeticin de todos los tratamientos por bloque, entonces se recurre al diseo de bloques incompletos (no se estudiarn en este curso).

El objetivo del agrupamiento es lograr unidades en un bloque tan uniformes como sea posible, de modo que las diferencias observadas se deban slo a los efectos de tratamientos.

En promedio, la variabilidad entre unidades de diferentes bloques ser mayor que la variabilidad entre unidades del mismo bloque si no van a aplicarse tratamientos. Idealmente, la variabilidad entre unidades experimentales se controla (recordar muestreo estratificado) de tal forma que, simultneamente:

se maximice la variacin entre bloques se minimice la variacin dentro de ellos

En el DBA, la variacin entre bloques no afecta claramente a las diferencias entre las medias de tratamientos, ya que cada tratamiento aparece el mismo nmero de veces en cada bloque.

Cuatro importantes criterios para el bloqueo Los cuatro criterios que se usan con ms frecuencia para armar bloques o agrupamientos de unidades experimentales son: 1) proximidad en el espacio o en el tiempo (ej.: parcelas vecinas), 2) caractersticas fsicas (ej.: edad o peso), 3) proximidad cronolgica o en el tiempo, 4) administracin de tareas o manejo de las unidades experimentales.

En el diseo de bloques completos al azar, cada tratamiento aparece igual nmero de veces, usualmente una vez, en cada bloque y cada bloque contiene todos los tratamientos. Bloques y tratamientos son ortogonales entre s, esta propiedad matricial lleva a los sencillos clculos aritmticos que entran en el anlisis de los datos resultantes.

Cada observacin se puede clasificar de acuerdo con: a) el bloque del que procede y, b) el tratamiento al que corresponde,

Esto da lugar a una clasificacin doble, de ah que este diseo tambin sea conocido como diseo de clasificacin de dos vas o de dos modos.

El control del gradiente de heterogeneidad en un rea experimental, debe hacerse tal que: los bloques resulten perpendiculares al gradiente las parcelas dentro de un bloque, resulten paralelas respecto al gradiente (Figura 18.2.)



Los bloques se pueden mantener: a) Compactos, disponiendo las parcelas, usualmente de forma larga y estrecha, cercanas a las

de otro bloque b) no compactos (en diferentes lugares, por ejemplo), pero manteniendo la condicin de que sus

unidades experimentales sean homogneas.

El nmero de tratamientos debe ser lo menor posible; debe ser suficiente para lograr los objetivos del experimento. Cuando el tamao del bloque aumenta, se incrementar la variabilidad dentro de ste.

Es necesario que los bloques sean de la misma forma, puesto que las diferencias en las formas de los bloques generalmente incrementan la variabilidad dentro del bloque.

Durante el transcurso del experimento, todas las unidades de un bloque deben tratarse tan uniformemente como sea posible en todo aspecto diferente del tratamiento. Todo cambio en la tcnica u otra condicin, que pueda afectar los resultados deben hacerse en todo en bloque: se trata de que las diferencias que se observen se deban exclusivamente al efecto del tratamiento recibido. Por ejemplo, si la cosecha abarca un perodo de varios das, se harn agrupamientos y los bloques se correspondern con lo cosechado el mismo da o bien si personas diferentes hacen observaciones en el material experimental, en lo posible una persona debe hacer todas las observaciones en un bloque. As, esta variacin reconocida y controlada por bloqueo, quedar excluidas aritmticamente de la variacin debida al error experimental.

N S (a)

I //////////// ////////////

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

OOOOOOOO OOOOOOOO

Bloques incorrectos

II //////////////////////// IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

OOOOOOOO OOOOOOOO

III //////////// ////////////

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

OOOOOOOO OOOOOOOO

(b) - +

////////////////////// /// parte /// /// alta /// //////////////////////

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

IIII parte IIIIIII IIII media IIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

OOOOOOO OOOOOOOO OO parte OO OO baja OO OOOOOOOOOOOOOOOO

Bloques correctos

I II III (c)

Figura 18.2. (a)Seccin transversal de una porcin de terreno: La seccin que va de norte a sur es la que va a utilizarse en el experimento, se supone que la fertilidad y la humedad del suelo aumentan desde la parte alta (norte) a la parte baja (sur). (b) Divisin incorrecta del terreno en bloques. De esta forma, todos los bloques son iguales, pero dentro del bloque cada parcela para los tratamientos es heterognea, lo cual influye sobre la exacta valoracin de los efectos de los tratamientos. (c) Divisin correcta del terreno en bloques. De esta forma, los bloques son todos diferentes pero dentro de un bloque las parcelas son homogneas.

Aleatorizacin.



Cuando se han definido las unidades experimentales de los bloques, se numeran en cierto orden conveniente. Los tratamientos tambin se numeran y luego se asignan aleatoriamente a las unidades dentro de un bloque.

I II III C A A

A C B

B B C Fertilidad

Figura 18.3. Distribucin de un experimento en DBA, 4 variedades (A, B, C, D); n=3 bloques (I, II, III)

Este diseo se usa con mayor frecuencia que cualquier otro, aunque muchas veces se lo aplica dogmticamente, sin hacer un anlisis adecuado del criterio de control de una variable determinada sino porque da ms prestigio a un trabajo.

1188..22..33.. DDiisseeoo ccuuaaddrraaddoo llaattiinnoo ((DDCCLL))

El diseo cuadrado latino es usado con ventaja, cuando hay dos fuentes importantes de variacin a controlar, al realizar un experimento.

El doble control lleva a disponer los tratamientos en las unidades experimentales de dos maneras diferentes, por filas y por columna.

Cada tratamiento se presenta una y slo una vez en cada fila y columna; cada fila as como cada columna, es un bloque completo. Mediante un anlisis apropiado, es posible eliminar del error la variabilidad debida a diferencias tanto en filas como en columnas.

Los trminos filas y columnas son trminos generales que se refieren a criterios de clasificacin. El nmero de tratamientos resulta igual al nmero de filas y al nmero de columnas. El nmero de unidades experimentales ser igual al cuadrado del nmero de tratamientos. El nmero de repeticiones resulta igual al de tratamientos

Para lograr la aleatorizacin en el dispositivo experimental o plano de distribucin de los tratamientos de un cuadrado latino, se pueden utilizar dos procedimientos:

a) Recurrir a cuadrados latinos que estn disponibles en la bibliografa y sortear uno de ellos entre todos los cuadrados latinos posibles. El texto de Fisher y Yates tiene el conjunto completo de cuadrados latinos de tamao 4 x 4 hasta 6 x 6, y muestran cuadrados hasta 12 x 12. Cochran y Cox dan cuadrados latinos de muestra desde 3 x 3 hasta 12 x 12.

b) Disear un cuadrado latino. Supngase un experimento a campo con 5 tratamientos, donde hay que controlar dos fuentes de variacin (humedad del suelo y nivel del terreno). Se debe proceder de la siguiente manera:

Paso 1: el proceso de distribucin de los k tratamientos comienza con el anlisis de las unidades experimentales para su clasificacin o agrupamiento en k bloques horizontales y k verticales. Paso 2: distribuir los tratamientos en forma tal que ningn tratamiento se repita en filas ni en columna. Para lograrlo hay que proceder como sigue: 1) partir de un cuadrado 5x5 con distribucin de los tratamientos en forma sistemtica (Figs. a y b)

A B C D E

A E D C B E A B C D B A E D C D E A B C C B A E D C D E A B D C B A E B C D E A E D C B A

Fig.a. Cuadrado sistemtico Permutaciones horizontales

Fig.b. Cuadrado sistemtico Permutaciones verticales

2) Primer cuadrado reordenado: reordenar, por sorteo, los bloques horizontales o filas (Ih, IIh, IIIh, IVh y Vh) del cuadrado sistemtico elegido (Fig. c y d)



Iv IIv IIIv IVv Vv Iv IIv IIIv IVv Vv Ih A B C D E Vh B C D E A IIh E A B C D IIh E A B C D IIIh D E A B C IVh C D E A B IVh C D E A B Ih A B C D E Vh B C D E A IIIh D E A B C

Fig.c. Cuadrado sistemtico

Fig. d. 1 Cuadrado reordenado

3) Segundo cuadrado reordenado : reordenar, por sorteo, los bloques verticales o columnas (Iv, IIv, IIIv, IVv y Vv) del 1 cuadrado reordenado (Fig.e)

4) Tercer cuadrado reordenado: sortear las filas y trasponerlas como columnas, en el orden obtenido (Fig.f).

IIIv Vv IIv IVv Iv IIv Iv IVv Vv IIIv Vh D A C E B B C E D A IIh B D A C E D E B A C IVh E B D A C A B D C E Ih C E B D A C D A E B IIIh A C E B D E A C B D

Fig.e. 2 Cuadrado reordenado

Fig. f. 3 Cuadrado reordenado

B11

(1/1) C12

(1/2) E13

(1/3) D14

(1/4) A15

(1/5) D21

(2/6)

E22

(2/7) B23

(2/8) A24

(2/9) C25

(2/10) A31

(3/11) B32

(3/12) D33

(3/13) C34

(4/14) E35

(3/15) C41

(4/16) D42

(4/17) A43

(4/18) E44

(4/19) B45

(4/20) E51

(5/21) A52

(5/22) C53

(5/23) B54

(5/24) D55

(5/25) Fig. 18.4. Cuadrado latino 5x5 aleatorizado: a) la letra indica el tratamiento; (b) los subndices ij un ordenamiento matricial (para filas y columnas o bien 1 y 2 variable controlada, respectivamente); (c) la fraccin indica n de repeticin del tratamiento y n de unidad experimental (numerador y denominador, respectivamente).

Llevado al terreno, el dispositivo generalmente adopta una forma compacta cuadrada, pero tambin podra presentarse de otra, como ser la del siguiente DCL:

PI PII PIII PIV PV

CI

CII

CIII

C IV

CV

CI

CII

CIII

C IV

CV

CI

CII

CIII

C IV

CV

CI

CII

CIII

C IV

CV

CI

CII

CIII

C IV

CV

B C E D A D E B A C A B D C E C D A E B E A C B D

En este caso el criterio para el doble bloqueo ha sido porque se experimenta bajo las siguientes condiciones: 5 propiedades del Dpto. de Lujn de Cuyo (PI, PII, PIII, PIV, PV) y 5 cuadros en cada una de ellas que se diferencias por la procedencia de las estacas de vid de la variedad Malbec (CI, CII, CIII, CIV, CV). El factor en estudio es el tipo de fertilizacin (A, B, C, D, E). Ejemplos anlogos podran tenerse al analizar la calidad de k diferentes mtodos (tratamientos) para recuento de microorganismos controlando el laboratorio y el analista; o bien en un experimento con vacas lecheras para determinar si existen diferencias entre las cantidades de leche producidas por el ordee de los cuatro pezones de los cuartos (cuarterones) de sus ubres (tratamientos), controlando una posible variacin de la respuesta (litros diarios) debido a los tiempos de ordee y el momento de ordee o posicin en el tiempo.



18.2.2. Anlisis comparativo de los diseos bsicos

Ventajas y desventajas del DCA. VENTAJAS DESVENTAJAS

a) Es fcil de planear y flexible en cuanto al nmero de tratamientos y repeticiones. Su nica limitacin es el nmero de unidades experimentales disponibles para el experimento. b) El nmero de repeticiones puede variar de tratamiento a tratamiento. c) En el anlisis de varianza permite el mximo de grados de libertad para el error experimental.

a) Es apropiado para pequeo nmero de tratamientos y para un material experimental homogneo.

b) Dado que la aleatorizacin es irrestricta, el error experimental incluye toda la variabilidad entre las unidades del experimento.

Ventajas y desventajas de un DBCA VENTAJAS DESVENTAJAS

a) Al responder todas las unidades experimentales de cada bloque a un nivel diferente de una fuente de variabilidad, se elimina la variabilidad total existente en todas las unidades la debida a dicha fuente. Por esta causa, es ms eficiente que un DCA.

b) Se pueden estimar los datos de algunas unidades experimentales si se pierden a travs de la tcnica de Yates.

a) No es apropiado para un nmero elevado de tratamientos, debido a que ello aumenta el tamao del bloque y, como consecuencia, se incrementa la variabilidad dentro de cada bloque y, por ende, el error experimental. b) Tampoco resulta aconsejable cuando existe gran variabilidad en el material experimental (interacciones). c) La principal desventaja de los bloques completos al azar es que cuando la variacin entre unidades experimentales dentro de un bloque es grande, resulta un trmino de error considerable. Eso ocurre frecuentemente cuando el nmero de tratamientos es grande; as puede no ser posible asegurar grupos de unidades suficientemente uniformes para los bloques. En tales situaciones, se dispone de otros diseos para controlar una mayor proposicin de la variacin: diseo de bloques incompletos.

Ventajas y desventajas del diseo en DCL VENTAJAS DESVENTAJAS

a) Mayor precisin que los diseos DCA y DBA; disminuye el error experimental como consecuencia de considerar dos fuentes de variabilidad.

b) Anlisis numrico sencillo.

c) Si se pierden todas las unidades experimentales de un mismo tratamiento, el resto de los tratamientos siguen ajustados a un DCL. Si se pierden una o varias unidades experimentales del mismo tratamiento, se pueden estimar sus valores.

a) como el nmero de tratamientos depende del de bloques y columnas y, por consiguiente, del de unidades experimentales, esto le resta flexibilidad al diseo. Es por esta razn que no se recomienda para ms de 10 tratamientos. b) A igualdad de nmero de tratamientos y repeticiones, este diseo tiene menos grados de libertad para el error experimental que el de DBA y el DCA, diferencia ms pronunciada a medida que disminuye el nmero de tratamientos. c) Si hay interaccin entre los efectos de las dos fuentes de variacin (filas y columnas), entonces el valor F no se distribuye de acuerdo con el valor tabular de F y como consecuencia no resulta vlida la prueba de significacin.

1188..33.. AANNLLIISSIISS DDEE LLOOSS EEXXPPEERRIIMMEENNTTOOSS MMOONNOOFFAACCTTOORRIIAALLEESS

1188..33..11.. AAnnlliissiiss ddee llaa vvaarriiaannzzaa

1188..33..11..11.. DDiisseeoo ccoommpplleettaammeennttee aalleeaattoorriizzaaddoo ((DDCCAA))

CCrriitteerriioo

Datos con un solo criterio de clasificacin (segn tratamiento). Se considerar el anlisis de la varianza para cualquier nmero de tratamientos con igual nmero de repeticiones, pero no resulta difcil adaptar las frmulas para el caso en que se tenga diferente nmero de repeticiones.

EEccuuaacciinn ffuunnddaammeennttaall ppaarraa llaa ppaarrttiicciinn

a) de las sumas de cuadrados SCG = SC entre tratamientos + SC para el error experimental



b) de los grados de libertad g = t +

MMooddeelloo

donde: Yij : valor de la variable aleatoria respuesta para la unidad experimental que corresponde a la i-sima repeticin del j-simo tratamiento : media general

i : efecto del j-simo tratamiento ij : error aleatorio de la unidad experimental que corresponde a la i-sima repeticin del j-simo

tratamiento

Suposiciones: 1. Las respuestas provienen de nk muestras aleatorias e independientes de las rk respectivas

poblaciones. 2. Las poblaciones se distribuyen normalmente con medias 1 , 2 ,... ... k. 3. Las varianzas poblacionales son iguales 11 = 22 = ... = 2k = e2 .

PPrruueebbaa FF ppaarraa ccoommppaarraarr kk mmeeddiiaass ppoobbllaacciioonnaalleess..

1. Hiptesis estadsticas kH === ...: 210 k1,2,...,j =

otra alguna de difiere lespoblaciona medias las de una menos lopor es, esto iguales, son medias las todasno 1 :H 2. Estadgrafo de prueba:

F= CMT/CME, en donde F se distribuye en el muestreo, bajo el supuesto de que Ho es verdadera, como una distribucin F con grados de libertad ( )11 = k y ( )krk =2

3. Regla de decisin: La regin de rechazo se encuentra en la ( )21;; F y satisface la expresin ( ) => cFFP , donde cF es un percentil que pertenece a la cola superior de la distribucin de probabilidad F. La regla de decisin ser: Si cm FF > , se rechaza 0H

TTaabbllaa ddee AADDEEVVAA ddee uunn DDCCAA

Una tpica tabla ADEVA para un anlisis de varianza para k tratamientos distribuidos segn un DCA, se puede formalizar segn se muestra a continuacin:

Tabla 18.1. Tabla ADEVA para k tratamientos y r repeticiones

Fuente de Variacin

Suma de Cuadrados Grados de libertad

Cuadrados Medios Fm Frmula procedim.

directo (definicin) Frmula procedim.

abreviado (operativa)

Total

= =

=

r

i

k

jij CySCG

1 1

2 1rk

Tratamientos

Cr

ySCT

k

jj

=

=

1

2

1k ! "!# $ CMECMT /

Error

SCTSCGSCE = krk % "%# $

0 6 F

f(F)

F c

f(F)

.

'()(*$



Una forma abreviada es la siguiente:

Fuente de Variacin

Suma de cuadrados

Grados de libertad Cuadrados medios Fm

Total SCG Factor SCT 1k tSCTCMT =

CMECMT

Error SCE eSCECME =

Ejemplo ilustrativo de un DCA

En la tabla 18.2. se da el contenido del nitrgeno (mg) de plantas de trbol rojo que fueron inoculadas al azar, con uno de cinco cultivos de Rhizobium trifolii (tratamientos 3 DOk1 a 3DOk13) y un compuesto de cepas de Rhizobium meliloti + Cepa de R. trifolii. lo que da seis tratamientos en total. El experimento se realiz en un invernadero empleando cinco terrinas por tratamiento.

Tabla 18.2. Contenido de nitrgeno, en mg, de plantas de trbol rojo inoculadas con combinaciones de cultivos de cepas de Rhizobium trifolii y cepas de Rhizobium meliloti + Cepa de R. trifolii.

Tratamientos Total Terrina 3DOk1 3DOk5 3DOk4 3DOk7 3DOk13 Compuest

o 1 19,4 17,7 17,0 20,7 14,3 17,3 2 32,6 24,8 19,4 21,0 14,4 19,4 3 27,0 27,9 9,1 20,5 11,8 19,1 4 32,1 25,2 11,9 18,8 11,6 16,9 5 33,0 24,3 15,8 18,6 14,2 20,8

jy 144,1 119,9 73,2 99,6 66,3 93,5 6,596=

y

2ijy 4.287,53 2.932,27 1.139,42 1.989,14 887,29 1.758,71 =

2

ijy 12,994,36

jy 28,8 24,0 14,6 19,9 13,3 18,7

( )2 jij yy

134,57 57,07 67,77 5,11 8,15 10,26 282,93

Para el clculo de las sumas de cuadrados, grados de libertad y cuadrados medios se procede segn se vi en el captulo donde se present el Anlisis de la Varianza, como una prueba para comparar k grupos. As se llega a:

Tabla 18.3. Anlisis de la varianza de los datos de la tabla 18.2. Fuentes de variacin Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios Fm F0,01; 5, 24

Total 1.129,98 29

Entre los cultivos 847,05 5 169,41 14,37**

3,90

Dentro de los cultivos 282,93 24 11,79

El valor muestral del estadgrafo de prueba (Fm) se obtiene dividiendo el cuadrado medio de los tratamientos por el cuadrado medio del error, esto es, CMT/CME. Estos cuadrados medios son comparables, cada uno estima en forma independiente la variacin entre observaciones individuales. El F muestral, se compara con el F crtico (percentil de la tabla de distribucin F) para grados de libertad t y e , y en base a la comparacin entre los dos valores del estadgrafo (Fm y Fc) se decide si se rechaza o no la hiptesis nula, que plantea la no diferencia entre las medias poblacionales. Si el experimento no aporta suficiente evidencia para sostener la Ho, se pasa a sostener la hiptesis alternativa de que al menos una diferencia de entre dos medias poblacionales resulta estadsticamente significativa (o por lo menos hay una media poblacional de tratamiento que difiere de otra). .

En el ejemplo Fm= 169,4/11,79 = 14,37 y el valor tabulado Fc para 5 y 24 grados de libertad es 3,90, al nivel de probabilidad del 0,01. Dado que Fm > Fc, se rechaza la Ho para el nivel de 01,0= , dejndolo indicado cmo 14,37**, donde el doble asterisco indica que el resultado es altamente significativo. En trminos del problema, los datos experimentales aportan evidencia de que hay diferencia real entre al menos entre dos medias de tratamientos de inoculacin. Esto significa que por ejemplo, el contenido medio de nitrgeno, en mg, de plantas de trbol rojo inoculadas, no es idntico para todas las combinaciones de a pares con las diferentes cepas de Rhizobium trifolii y el complejo de



cepas de Rhizobium meliloti +Cepa de R. Trifolii. Pero esta es solo una de las varias posibilidades que se podran dar.

NOTAR

En trminos estadsticos, o sea, en relacin a las hiptesis estadsticas y el nivel de significancia se concluye como sigue:

Si Fm excede el Fc para un nivel de significancia igual a:

a) = 0,01, se concluye que al menos existe una diferencia altamente significativa entre las medias poblacionales. Sintticamente se dice que el estadgrafo muestral tom un valor altamente significativo, y se lo deja indicado en la tabla de ADEVA, colocndole a la derecha del valor de Fm un doble asterisco (ejemplo 14,37**).

b) = 0,05, se concluye anlogamente con relacin a una diferencia significativa. Sintticamente se dice que el estadgrafo muestral tom un valor significativo, y se lo deja indicado en la tabla de ADEVA, colocndole a la derecha del valor de Fm un asterisco (ejemplo 14,37*).

1188..33..11..22.. DDiisseeoo ddee bbllooqquueess ccoommpplleettooss aall aazzaarr ((DDBBCCAA))

CCrriitteerriioo

Datos con doble criterio de clasificacin (segn bloque y tratamiento). El anlisis estadstico de los datos es simple y, si como resultado de un contratiempo, algunos datos o todos los datos de un bloque no estuvieran disponibles (por ejemplo, por destruccin de una parcela) el bloque puede omitirse para el anlisis con la sola complicacin de haber perdido una repeticin.

MMooddeelloo

Yij = + i + j + ij ; j: 1, ...., k i: 1, ..., r donde

Yij : la respuesta en la unidad experimental del i-simo bloque a la que se le aplic el tratamiento j : media general i : efecto del i-simo bloque j : efecto del j-simo tratamiento ij : error aleatorio de la observacin en la unidad experimental del i-simo bloque a la que se le aplic el tratamiento j

Los supuestos para el modelo que explica los datos de un experimento monofactorial con los tratamientos distribuidos segn un DBA son: a) Distribucin normal de la variable en estudio ( )2,;.~ xnY ; b) Varianzas y medias no relacionadas o independientes; c) Errores con distribucin normal (0 y 2); d) Efectos aditivos en bloques y tratamientos, es decir no hay interaccin y si la hay se acumula en el

error experimental.

Una medida o valor esperado se define en trminos de una media general , una contribucin de tratamiento i , y una contribucin de bloque j ; Esto es, la media de la celda i, j-sima es + i + j . Una observacin est sujeta a un error aleatorio, donde los errores provienen de una sola poblacin con media cero y varianza fija pero desconocida. As

Yij = + j + i + ij Una media estimada de celda se denota porij , donde



PPrruueebbaass FF ppaarraa ccoommppaarraarr kk mmeeddiiaass ppoobbllaacciioonnaalleess ddee ttrraattaammiieennttooss,, yy nn mmeeddiiaass ppoobbllaacciioonnaalleess ddee bbllooqquueess..

1. Hiptesis estadsticas:

Para los tratamientos Para los bloques

H0: k1,...,j 0 ==j H0: n1,..., 0 == ii H1: jalgn para 0j H1: ialgn para 0i

2. Estadgrafo de prueba: Para los tratamientos: CMECMTF = , en donde F se distribuye en el muestreo, bajo el supuesto de que Ho es verdadera, como una distribucin F con grados de libertad ( )11 = k y ( )krk =2 Para los bloques: CMECMBF = , en donde F se distribuye en el muestreo, bajo el supuesto de que Ho es verdadera, como una distribucin F con grados de libertad 1= r y

1+= krrk

4. Regla de decisin: La regin de rechazo se encuentra en la ( )21;; F y satisface la expresin ( ) => cFFP , donde cF es un percentil que pertenece a la cola superior de la distribucin de probabilidad F, y que se establece con los correspondientes grados de libertad para tratamientos y error, y para bloques y error. La regla de decisin ser: Si cm FF > , se rechaza 0H , tanto para los tratamientos y los bloques.

TTaabbllaa ddee AADDEEVVAA ddee uunn DDBBCCAA

Una tpica tabla ADEVA para un anlisis de varianza para k tratamientos distribuidos segn un DBCA, se puede formalizar segn se muestra a continuacin:

Tabla 18.4. Tabla ADEVA para k tratamientos distribuidos segn un diseo de bloque completo al azar, en n bloques.

Fuente de variacin

Suma de cuadrados Grados de Frmula procedimiento

directo (definicin) Frmula procedimiento abreviado (operativa) Libertad

Total ( ) i j

ij yy2

CySCGi j

ij =2

1rk

Bloques ( ) i

i yyk2

Ck

ySCB i

i

=

2

1r

Tratamiento ( )

jj yyn

2

Cr

ySCT j

j=

2

1k

Error ( ) +i j

ijij yyyy2

SCBSCTSCGSCE = ( )( )11 kr

Sea Yij la observacin del i-simo bloque bajo el j-simo tratamiento, donde ri ,...,,21= bloques y, kj ,...,2,1= tratamientos. La notacin de punto se usa siempre que sea posible. As, 2jY quiere decir que se obtiene la suma total de los cuadrados de los totales de los k tratamientos. Luego

0 6 F

f(F)

F c



222

21 ... kYYY +++ indica el cuadrado del total tratamiento 1 + el cuadrado del total tratamiento 2 + + el

cuadrado del total tratamiento k .

La media general para los nk datos se representa comoY.. . La varianza de la distribucin de las medias de muestras de tamao n es 2/n, siendo 2 =e2 .Los cuadrados medios estiman en forma independiente la misma 2 y 2e , cuando no hay efectos de bloques o tratamientos.

Una forma abreviada es la siguiente:

Fuente de variacin

Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios Fm Total SCG rk - 1 Bloques SCB r - 1 CMB = SCB /( r 1) CMB/CME Tratamientos SCT k - 1 CMT = SCT / (k 1 ) CMT/CME Error SCE rk r k + 1 CME= SCE / (rk r k + 1)

En la prctica la suma de cuadrados del error se calcula restando a la suma de cuadrados total, las sumas de cuadrados de bloques y tratamientos. Esto es posible ya que las sumas de cuadrados son aditivas. La suma de cuadrados del error puede obtenerse directamente por

SC E= ( ) +ri

k

jjiij YYYY

2

Esta frmula de definicin proviene del modelo que define las medias de las varias poblaciones muestreadas. Hay n medias en el caso del diseo de bloque completo al azar, uno por celda, con slo una observacin necesariamente hecha en cada poblacin.

Ejemplo ilustrativo de un DBCA

Tabla 18.8. Contenido (%) de aceite de semillas de lino Redwing inoculadas en diferentes estados de crecimiento (A: plntula, B: Florecimiento temprano, C: Florecimiento completo, D: Florecimiento

completo (1/100), E: Maduracin) y sin inocular (F: Control) con S.

Bloques Tratamientos Totales para bloques

A B C D E F iy iy2

I

4,4 3,3 4,4 6,8 6,3 6,4 31,6 998,56 II

5,9 1,9 4,0 6,6 4,9 7,3 30,6 936,36 III

6,0 4,9 4,5 7,0 5,9 7,7 36,0 1296,00 IV

4,1 7,1 3,1 6,4 7,1 6,7 34,5 1190,25

jy 20,4 17,2 16,0 26,8 24,2 28,1 y =132,7

2.iy = 4421,71

jy 2 416,16 295,84 256,00 718,24 586,64 789,61 = 2jy . 3061,49 2y = 17609,29

jy 35,1 34,3 34,0 36,7 36,0 37,0 35,5

=2

ijy 788,23

En la tabla se observan los totales correspondientes: a los tratamientos ( jy = 20,4; 17,2; etc), a los bloques (

iy = 31,6; 30,6; etc) y, el gran total o total general ( y = 132,7). Tambin se observa la suma de los cuadrados de los k totales de tratamientos (3061,49) y de los n bloques (4421,71) as como el cuadrado del total de los nk datos (

2y =17609,29), y finalmente la doble suma de los cuadrados de los nk valores observados ( =

2

ijy 788,23).



Clculo de la sumas de cuadrados (ajustadas por el trmino comn C):

TTrrmmiinnoo ccoommnn == CC == rkY 2

..

SSCC ttoottaall == r

i

k

iij CY

2

SC bloques = Ck

Yi

i

2

.

SC tratamientos = Cr

Yi

j

2

.

SC error = SC total SC tratamientos SC bloques = 54,51 3,14 31,65 = 19,72

Clculo de los cuadrados medios (CM = SC/gl)

Clculo del valor del estadgrafo de prueba (F para bloques y tratamientos)

Tabla 18.9. Anlisis de la varianza de los datos de la tabla 18.8. Fuente de variacin

g.l. SC CM Fm

Total rk 1 =23 54,51 Bloques r 1 = 3 3,14 1,05 Tratamientos k 1 = 5 31,65 6,33 4,83** Error (r - 1)(k 1) = 15 19,72 1,31

a) Prueba de F para bloques. En nuestro ejemplo, no es significativa. Su interpretacin debe hacerse con cuidado. En la mayora de los experimentos, la hiptesis nula de que no hay diferencias entre bloques no es de importancia particular, ya que los bloques son una fuente de variacin reconocida, a menudo, con base en experiencia pasada, que se espera produzca un efecto considerable en la variacin de los datos. En algunos experimentos, los bloques pueden medir diferencia en el orden de ejecucin de su conjunto de operaciones, en pares de un equipo, en personas, etc. en tales casos, la prueba F para bloques en este caso puede tener significado especial.

Si los efectos de los bloques son significativos, ello indica que la precisin del experimento ha aumentado debido al uso del diseo en relacin con el diseo completamente aleatorizado. En efecto, la ganancia en eficiencia puede ser de ms inters que los resultados de una prueba de significancia; la eficiencia se estudia segn lo visto en el apunte anterior. Tambin el alcance de un experimento puede haber aumentado cuando los bloques son significativamente diferentes, ya que los tratamientos han sido probados en condiciones experimentales ms amplias. Una palabra de cautela es pertinente aqu: si las diferencias de bloques son muy grandes, puede haber un problema de heterogeneidad de error.

Si los efectos de bloque son pequeos, ello indica o que el experimentador no tuvo xito en reducir la varianza del error agrupando las unidades individuales o que las unidades experimentales eran

esencialmente homogneas desde un principio.

c) Prueba de F para tratamientos. Para probar la hiptesis nula de que no hay diferencia entre tratamientos es 6,33/ 1,31 = 4,83** con 5 y 15 grados de libertad es significante al 1 por ciento. Esto comprueba que hat diferencias reales entre las medias de los tratamientos. Para determinar donde se encuentran las diferencias, pueden usarse procedimientos generales como los vistos.

AAnnlliissiiss ddee llaa vvaarriiaannzzaa ddeell CCuuaaddrraaddoo LLaattiinnoo ((DDCCLL))

MMooddeelloo lliinneeaall ppaarraa eell ccuuaaddrraaddoo llaattiinnoo.. Sea Yij la observacin en la interseccin de la fila i-sima con la columna j-sima. Esto ubica cualquier observacin, pero no dice nada respecto al tratamiento aplicado. Un tercer subndice puede desorientar, haciendo pensar que se tiene r 3 en vez de r 2 observaciones. Por ejemplo, el tratamiento aparece una vez en cada una de las r filas, una vez en cada una de las r columnas, pero solamente r veces en total; as que t = 1 supone un conjunto de variables i, j, con un nmero r. Lo mismo puede decirse para los otros valores de t.

= 72,73324

)7,132( 2=

= 176,50 + + 213,09 733,72 = 54,51

= 14,372,7336

5,34...6,31 22=

++

65,3172,7334

1,28...4.20 22=

++



Expresamos una observacin mediante , - . , ,

Los grados de libertad y las frmulas para las sumas de cuadrados para un cuadrado latino r x r se dan en la tabla 18.10. Aqu Yij representa la observacin en la interseccin de la fila i-sima (bloques horizontales o 1 variable controlada) y la columna j-sima (bloques verticales o 2 variable controlada). Las sumas de filas y medias se representan como Yi . y Yi . ,para i = 1, ..., k. y las sumas de columnas y medias con Y .j y Yj . , j = 1, ..., k. Si bien esta notacin es adecuada para localizar una observacin, no dice nada respecto al tratamiento recibido, se usa Yijl donde l representa el tratamiento.

Ejemplo ilustrativo

En El anlisis estadstico de un cuadrado latino 4 x 4 se ilustra mediante los datos de rendimiento en una prueba de evaluacin de una variedad de trigo efectuada por Ali A. El Khishen, Escuela de Agricultura. Universidad de Alejandra, Alejandra, Egipto. Los datos, el anlisis y el plan de campo se presentan en la tabla 18.11. Las variedades estn representadas por letras A = Baldi, B = Moktar, C= Giza 139, y D = Thatcher. Los rendimientos estn en kilogramos por parcela de tamao 42 m2. El procedimiento de clculo es como sigue.

Tabla 18.10. Anlisis de la varianza para un experimento monofactorial con tratamiento distribuidos segn un cuadrado latino k x k.

Fuente de variacin

g.l. Sumas de cuadrados Frmulas de definicin Frmulas de

clculo Total

k2 - 1 , ,

/, Filas

k - 1 # $

/ Columnas

k - 1

/ Tratamientos

k - 1

#, $

/, Error

(k 1)(k 2)

, , 1,

Por sustitucin

Paso 1. Calcular: a) los totales de filas Yi .. b) los totales de columna Y.j. c) los totales de tratamientos Y..k d) el total general Y.. . Esta es la suma cuadrados total no ajustada e) simultneamente hallar las sumas de los totales al cuadrado de filas, de columnas y de

tratamientos

Tabla 18.11. Plan de campo con los rendimientos de trigo, en kilogramos por parcela, dispuestos en cuadrado latino 4 x 4.

Columna Totales de fila Fila 1 2 3 4 Yi. Y2ij 1 C= 10,5 D= 7,7 B= 12,0 A= 13,2 43,4 487,78 2 B= 11,1 A= 12.0 C= 10,3 D= 7,5 40,9 429,55 3 D= 5,8 C= 12,2 A= 11,2 B= 13,7 42,9 495,61 4 A= 11,6 B= 12,3 D= 5,9 C= 10,2 40,0 424,70 Totales de / 39,0 44,2 39,4 44,6 162,7 /, 23456 Columna / 401,66 503,42 410,34 522,22

Tabla 18.12. Totales y medias de variedades. A B C D

Totales = /, 48,0 49,1 43,2 26,9 Medias = /, 12,0 12,3 10,8 6,8



Tabla 18.13. Anlisis de la varianza Fuente de variacin g.l. SC CM F

Total

(k2 1)= 15

90,40

Filas (k 1)= 3 1,95 0,65 1,44 Columnas (k 1)= 3 6,80 2,27 5,04

Tratamientos (k 1)= 3 78,93 26,31 58,47** Error (k 1)(k 2)= 6 2,72 0,45

"!7897:; /, 62< = 15>6 46416 42>3

SC error = SC(total) (filas) SC(columnas) SC(tratamientos) = 90,40 (1,95 + 6,80 + 78,93) = 2,72

Las sumas de cuadrados se llevan a una tabla de anlisis de la varianza y luego se encuentra los cuadrados medios. El valor F para las variedades (tratamientos) es igual a 26,31/0,45 = 58,47**, con 3 y 6 grados de libertad; es mucho mayor que el valor tabulado, el 1 por ciento, 9,78. Entonces se dice que hay diferencia altamente significante entre los rendimientos de las variedades. Paso 2: Hallar el trmino de correccin y las sumas de cuadrados (ajustadas)

Factor de ajuste, C = 24.747,14

2,167...2

2

2

2

==

kY

SC Total = 40902474716483712 ,.,., == Cyijl

ijl

SC Filas= 2474714

040443 222

.,,...,

++=

C

k

yi

i

= 1,95

SC Columnas = 2474714

644039 222

.,,...,

++=

C

k

yj

j

El error estndar muestral para una media de tratamientos es sY = s2/r = 0,34 kg., donde s2 es

el cuadrado medio del error y r es el nmero de unidades experimentales por tratamiento. El error estndar de una diferencia entre dos medias de tratamientos es sYr Yr. = 2s2/r = 0,47 kg. Si se sospecha heterogeneidad de error, ste no puede dividirse tan fcilmente como en el caso del diseo de bloques completos al azar.

AAnnlliissiiss ddeessppuuss ddeell AADDEEVVAA

Pruebas de hiptesis: El paso siguiente, dado que se trata de tratamientos de naturaleza cualitativa, es recurrir a una prueba de comparaciones mltiples para determinar cul o cules medias difieren entre s. Ya que F result significativo y a los efectos de brindar ejemplos, se aplicarn, a los efectos demostrativos, las pruebas de Duncan y de Tukey para un 05,0= .

18.1.1.1.1. PPrruueebbaa ddee DDuunnccaann Primero, ordenar las medias de menor a mayor, o a la inversa. Puede ser til espaciarlas de acuerdo a una escala, para reflejar mejor las medias que se aproximan y las que se alejan.

3Dok13 5y (A)

3Dok4 3y (B)

Compuesto 6y ( C)

3Dok7 4y (D)

3Dok5 2y (E)

3Dok1 1y (F)

13,1 14,6 18,7 19,9 24,0 28,8

Se calculan todas las posibles comparaciones Se observa el nmero de medias que entran en la comparacin y se obtienen los valores de DMS en la tabla de Duncan para el fijado y , en este caso sern 24 grados de libertad de la tabla de ADEVA.

Diferencias Mnimas Significativas para p: n de medias que entran en la comparacin

2 3 4 5 6 =0,05 2,92 3,07 3,16 3,23 3,28 =0,01 3,96 4,13 4,24 4,32 4,39



Se establece la significancia (la diferencia observada es mayor al valor DMS) o no entre medias

diferentes ivamentesignificatson 3,28R15,713,128,8yy 651 =>>== diferentes ivamentesignificatson 3,23R14,214,628,8yy 531 =>>== diferentes ivamentesignificatson 3,16R10,118,728,8yy 461 =>>==

diferentes ivamentesignificatson 3,07R9,719,128,8yy 341 =>>== diferentes ivamentesignificatson 92,2R4,80,2428,8yy 221 =>>== diferentes ivamentesignificatson 3,23R10,913,124,0yy 552 =>>==

diferentes ivamentesignificatson 3,16R4,96,140,24yy 432 =>>== diferentes ivamentesignificatson 3,07R3,57,180,24yy 362 =>== diferentes ivamentesignificatson 92,2R9,41,190,24yy 242 =>== diferentes ivamentesignificatson 3,16R0,61,131,19yy 454 =>>==

diferentes ivamentesignificatson 3,07R5,46,141,19yy 334 =>== diferentes ivamentesignificatson no 92,2R4,07,181,19yy 264 ===

diferentes ivamentesignificatson no 92,2R5,11,136,14yy 235 =



Tambin se puede calcular un conjunto de intervalos de confianza para las diferencias entre las medias poblacionales, como se muestra a continuacin:

IInntteerrvvaallooss ddee ccoonnffiiaannzzaa ddee ((11 -- )) 110000%% ppaarraa:: 11)) llaa mmeeddiiaa ddee uunn ssoolloo ttrraattaammiieennttoo yy ppaarraa 22)) llaass ddiiffeerreenncciiaass eennttrree llaass mmeeddiiaass ddee ddooss ttrraattaammiieennttooss aa ppaarrttiirr ddee mmuueessttrraass aalleeaattoorriiaass iinnddeeppeennddiieenntteess

1) La media de un solo tratamiento: / ? 7' ; 2) La diferencia entre dos medias de tratamientos:

/ /B ? 7' ;C B

donde ; D; %

y t/2 se basa en (r k) grados de libertad.

IInntteerrvvaalloo ddee ccoonnffiiaannzzaa ddee ((11 -- ))110000%% ppaarraa llaa ddiiffeerreenncciiaa eennttrree ppaarreejjaass ddee mmeeddiiaass ddee ttrraattaammiieennttooss yy ddee bbllooqquueess

Diferencia entre dos medias de tratamientos :

/ /B ? 7' ;C1 Diferencia entre dos medias de bloques:

#/ /B$ ? 7' ;C1 Donde k = nmero de tratamientos. r = nmero de bloques s = % Y t/2 se basa en (rk r k + 1) grados de libertad.

Diseños de Experimentos (Bueno Material Diapositivas)

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