INTRODUCCIÓN A LAS VIBRACIONES LUZ DEL … · universidad central del ecuador facultad de...

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO (IIP)

INTRODUCCIÓN A LAS VIBRACIONES

LUZ DEL CARMEN CELI CARRIÓN

TUTOR:

MAT. BENJAMÍN VALAREZO PALACIOS

Trabajo presentado como requisito parcial para la obtención del grado de:

MAGÍSTER EN DOCENCIA MATEMÁTICA

Quito-Ecuador

2015

ii

DEDICATORIA

A mi familia por su apoyo y paciencia

Luz del Carmen Celi Carrión

iii

AGRADECIMIENTO

A los docentes de la Universidad Central del Ecuador en

especial al Mat. Benjamín Valarezo por su apoyo en la

culminación de este trabajo.

Luz del Carmen Celi Carrión

vi

CONTENIDO

CAPÍTULO 1 ....................................................................................................................... 1

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 1

1.1 JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO .................................................................... 1

1.2 OBJETIVOS ........................................................................................................... 1

1.3 METODOLOGÍA ................................................................................................... 1

CAPÍTULO 2 ....................................................................................................................... 3

2 ESPACIOS VECTORIALES ...................................................................................... 3

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS ....................................................................................... 3

2.1.1 FUNCIONES ................................................................................................... 3

2.1.2 OPERACIONES .............................................................................................. 5

2.1.3 OPERACIONES EN LOS REALES ............................................................... 6

2.1.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ................................................................ 7

2.1.5 OPERACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS ............................................... 8

2.1.6 MATRICES (Benalcazar, 2012)...................................................................... 8

2.2 DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL ........................................................ 10

2.2.1 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES ............................................. 11

2.2.1.1 ESPACIO VECTORIAL DE LOS REALES Rn. .................................. 11

2.2.1.2 ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES Mmxn[R] ........................... 12

2.2.1.3 ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES F(Ω, V) ............................. 13

2.3 SUBESPACIOS VECTORIALES ....................................................................... 14

2.4 COMBINACIONES LINEALES ......................................................................... 15

2.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL (Grossman, 2008; Lay, 2006)

17

2.6 ESPACIO GENERADO (Castro, 2008) ............................................................... 18

2.6.1 CONJUNTO GENERADOR ........................................................................ 18

2.6.2 ESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES (Grossman,

2008) 18

2.7 BASE Y DIMENSIÓN ......................................................................................... 19

2.8 PRODUCTO ESCALAR ...................................................................................... 20

2.8.1 LONGITUD Y NORMA DE UN VECTOR (Benalcazar, 2012) ................. 21

vii

2.9 APLICACIONES LINEALES DE Rn en Rm (Grossman, 2008) ........................ 22

2.9.1 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL (Grossman,

2008) 23

2.10 VALORES Y VECTORES PROPIOS (Benalcazar, 2012) .................................. 23

2.10.1 PROPIEDADES DE LOS VALORES PROPIOS (Castro, 2008) (Lay, 2006)

25

2.10.2 CÁLCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS(Castro, 2008) (Lay,

2006) 25

2.10.3 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES, POTENCIAS Y RAÍCES DE

MATRICES (Lay, 2006) .............................................................................................. 28

CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................... 30

3 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ........................ 30

3.1 ECUACIONES DIFERENCIALES (Edwards & Penney, 2001) ......................... 30

3.2 SOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN ..................................... 32

3.2.1 INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER

ORDEN 32

3.2.2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN POR VARIABLES

SEPARABLES (Spiegel, 1994) ................................................................................... 33

3.2.3 TRANSFORMACION DE VARIABLES .................................................... 34

3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ................................................. 35

3.3.1 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN (SAFF & SNIDER, 2005) .............. 35

3.3.2 ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN (SAFF & SNIDER, 2005)

(EDWARDS & PENNEY, 2001) ................................................................................ 35

3.3.3 ECUACIONES HOMOGÉNEAS (Edwards & Penney, 2001) .................... 35

3.3.4 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS .......................................................... 37

3.3.4.1 MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS (LARA, 2007)

(ESPINOZA, 2007) .................................................................................................. 38

3.3.4.2 MÉTODO DEL ANULADOR O COEFICIENTES

INDETERMINADOS (ESPINOZA, 2007) ............................................................. 38

3.4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEOS

DE PRIMER ORDEN (Lara, J. 2007) ............................................................................. 41

viii

3.4.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEOS .......... 43

3.4.1.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR VALORES Y

VECTORES PROPIOS ............................................................................................ 44

3.4.1.2 SOLUCIÓN POR MÉTODO DE ELIMINACIÓN(Edwards & Penney,

2001) 48

3.5 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO

HOMOGÉNEOS DE PRIMER ORDEN ........................................................................ 49

CAPÍTULO 4 ..................................................................................................................... 51

4 SISTEMAS FÍSICOS DE UNO Y DOS GRADOS DE LIBERTAD ..................... 51

4.1 CONCEPTOS BÁSICOS (Serway & Jewett, 2008) ............................................ 51

4.2 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA MECÁNICA (Serway & Jewett, 2008) ........... 52

4.2.1 SISTEMA DE REFERENCIA ESPACIO - TIEMPO .................................. 52

4.2.2 PRIMERA LEY DE NEWTON .................................................................... 53

4.2.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON ................................................................... 54

4.2.4 TERCERA LEY DE NEWTON ................................................................... 55

4.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA MASA -

RESORTE HORIZONTAL Y VERTICAL (Nagle & Saff, s. f.; Rao, 2011) ................. 55

4.3.1 COMBINACIÓN DE RESORTES ( Rao, 2011) .......................................... 58

4.4 PÉNDULOS (Serway & Jewett, 2008; Spiegel, 1994; Zill & Cullen, 2006) ....... 60

4.5 EFECTO DE FRICCIÓN EN LOS SISTEMAS MASA – RESORTE Y

PÉNDULOS (Serway & Jewett, 2008) ............................................................................ 62

4.6 CONSERVACIÓN DE ENERGÍA (RESNICK, HALLIDAY, & KRANE, 2006)

(NAGLE & SAFF, S. F.) ................................................................................................. 63

4.7 PLANO FASE DE OSCILADORES LINEALES(RESNICK, HALLIDAY, &

KRANE, 2006) (NAGLE & SAFF, S. F.) ....................................................................... 64

4.8 PERIODO DE UN PÉNDULO NO LINEAL (Spiegel, 1994) ............................ 65

4.9 CARACTERÍSTICAS DE VIBRACIONES LIBRES DE SISTEMAS DE DOS

GRADOS DE LIBERTAD (Rao, 2011) .......................................................................... 66

4.10 APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ................................. 67

4.10.1 INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 67

4.10.2 CAÍDA LIBRE .............................................................................................. 68

ix

4.10.3 RESORTE VIBRANTE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ............... 72

4.10.3.1 Problema 1.............................................................................................. 72

4.10.3.2 Problema 2.............................................................................................. 78

4.10.3.3 Problema 3.............................................................................................. 84

4.10.3.4 Problema 4.............................................................................................. 88

4.10.3.5 Problema 5.............................................................................................. 95

CAPÍTULO 5 ..................................................................................................................... 97

5 METODOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA DE TEORÍA DE VIBRACIONES 97

5.1 GENERALIDADES EN EL PROCESO EDUCATIVO (me) ............................. 97

5.2 MODELO PEDAGÓGICO .................................................................................. 99

5.2.1 BASES PEDAGÓGICAS DEL DISEÑO CURRICULAR ........................ 100

Figura 5.2 Aprendizajes productivos y significativos ......................................... 101

5.2.2 ELEMENTOS DEL CURRÍCULO: ........................................................... 102

5.2.3 CRITERIOS DEL AREA DE MATEMÁTICA ......................................... 103

5.2.3.1 ENFOQUE E IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA .................. 103

5.2.3.2 OBJETIVOS DEL ÁREA DE MATEMÁTICA ................................. 104

5.3 MODELACIÓN MATEMÁTICA COMO METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE

105

5.3.1 MODELACIÓN MATEMÁTICA .............................................................. 105

5.3.2 PROCESO DE ENSEÑANAZA APRENDIZAJE PLANTEADO ............ 106

5.4 MODELO de GUÍA TALLER DE APRENDIZAJE para modelamiento

matematico de vibraciones ............................................................................................. 109

5.4.1 MODELO MATEMÁTICO DE VIBRACIONES – GUÍA TALLER DE

APRENDIZAJE ......................................................................................................... 111

6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................................... 125

6.1 CONCLUSIONES .............................................................................................. 125

6.2 RECOMENDACIONES ..................................................................................... 126

7 GLOSARIO DE TERMINOS ................................................................................. 128

8 8. BIBLIOGRÁFIA ................................................................................................. 130

9 ANEXOS ................................................................................................................... 132

x

9.1 ANEXO I ............................................................................................................ 133

9.1.1 Problema 1 - CAÍDA LIBRE POSICIÓN ................................................... 133

9.1.2 Problema 2 – RESORTES .......................................................................... 133

9.2 ANEXO II ........................................................................................................... 135

9.2.1 GUÍA DE TRABAJO PARA APRENDER ECUACIONES

DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Y COEFICIENTES

CONSTANTES. ......................................................................................................... 135

9.2.2 GUÍA DE TRABAJO PARA APRENDER A RESOLVER PROBLEMAS DE

VIBRACIONES DE UN SISTEMA MASA RESORTE. ......................................... 142

10 BIOGRAFÍA ............................................................................................................. 147

xi

RESUMEN

INTRODUCCIÓN A LAS VIBRACIONES

El presente trabajo se enmarca en la modelación de vibraciones mediante

ecuaciones diferenciales ordinarias para lo cual se introduce al lector en breves

referencias al Algebra lineal y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

En la parte medular se hace referencia a los fenómenos vibratorios básicos y a la

enseñanza a nivel de bachillerato de los mismos.

En el proceso de análisis de las vibraciones se incluyen problemas resueltos de

aplicaciones del sistema masa resorte, en los cuales se detalla el planteamiento del

problema, su resolución, además de las gráficas representativas del movimiento de

los cuerpos que se generan en el software Matlab de las cuáles se detalla su

análisis de acuerdo a los cambios que se proponen en los valores de los

componentes que intervienen en el movimiento.

El ámbito de enseñanza aprendizaje se aborda desde la propuesta educativa del

Ministerio de Educación del Ecuador y se expone un sistema de trabajo para que

sea trabajado en la enseñanza del proceso de modelamiento del fenómeno físico a

partir del experimento.

ALGEBRA LINEAL/ ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS/ LEYES DE

NEWTON/ VIBRACIONES EN UN SISTEMA MASA-RESORTE/ APLICACIONES

DE SEGUNDA LEY DE NEWTON/ MODELAMIENTO MATEMATICO/ PROCESO

ENSEÑANZA APRENDIZAJE/ GUIA DE TALLER SOBRE VIBRACIONES.

xii

SUMMARY

INTRODUCTION TO VIBRATIONS

In this document vibration modeling using ordinary differential equations is studied,

for which the reader is introduced at some references about Linear Algebra and

Ordinary Differential Equations. The main part of the project consist of basic

vibrational phenomena and teaching at the undergraduate level this topics. In

addition, vibrations are analyzed by solving problems about mass – spring system

applications, in these problems are contained the detailed statement of the problem,

resolution, and a graph representing the movement of the system. The graphs are

generated in Matlab software. Also, for each graphic the changes that occur in the

components involved in the movement are analyzed. In the field of teaching and

learning is approached from the educational proposal of the Education Ministry of

Ecuador, so this project presents a working system to be used on teaching the

process of modeling a physical phenomenon from an experiment.

LINEAR ALGEBRA / ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS / NEWTON’S

LAWS / VIBRATIONS OF MASS-SPRING SYSTEM / APPLICATIONS OF

NEWTON'S SECOND LAW / MATHEMATICAL MODELING / TEACHING -

LEARNING PROCESS / WORKSHOP VIBRATIONS GUIDE.

1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1 JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO

Relevar la importancia de la matemática y especialmente de las Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias para el modelamiento dinámico de fenómenos vibratorios

mecánicos.

1.2 OBJETIVOS

- Identificar ecuaciones diferenciales ordinarias que permitan modelar

fenómenos dinámicos.

- Modelar matemáticamente vibraciones mecánicas mediante ecuaciones

diferenciales ordinarias.

- Determinar una guía de enseñanza aprendizaje de modelamiento de

vibraciones y ecuaciones diferenciales.

1.3 METODOLOGÍA

Se propone el desarrollo de cuatro capítulos en el que se incluye una propuesta de

elaboración de una metodología de estudio y la construcción de material didáctico

que ayude a comprender algunos problemas físicos como péndulos, sistemas

masa-resorte.

En el presente trabajo se utilizará un conjunto de métodos de acuerdo a las fases

del proyecto.

En primer lugar se realizará una investigación bibliográfica para documentar los

fundamentos científicos de la temática a desarrollar en los 2 primeros capítulos,

con ello se establecerán los prerrequisitos en Algebra Lineal y Ecuaciones

Diferenciales.

2

Una vez que se establecen los prerrequisitos en Matemática se abordan los

conocimientos de los fenómenos físicos relacionados con las vibraciones y

oscilaciones mediante investigación bibliográfica.

A continuación se establecerá una etapa de experimentación del

comportamiento de los fenómenos físicos con sus respectivos resultados ante

los diferentes estímulos y cambios de elementos, los cuales serán llevados a

una modelación matemática.

Finalmente se realizará una propuesta del desarrollo de la temática para llevarla

al aula y sea trabajada por estudiantes de bachillerato y universitarios.

3

CAPÍTULO 2

2 ESPACIOS VECTORIALES

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS

En espacios vectoriales se define función y operación como conceptos

fundamentales de la matemática.

2.1.1 FUNCIONES

Definición 1

Sean 𝐴, 𝐵 dos conjuntos no vacíos cualquiera. Una función 𝑓 de 𝐴 en 𝐵 es una regla

de asignación que hace corresponder a cada elemento 𝑥 de 𝐴 un único elemento 𝑦

de 𝐵, tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥)

A la función 𝑓 se nota 𝑓: 𝐴 → 𝐵

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Donde:

𝐴 Conjunto de salida

B Conjunto de llegada

x Elementos del Dominio (Dom), 𝐷𝑜𝑚 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 en

donde 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⊂ 𝐴

𝑦 Imagen de 𝑥 por 𝑓 que conforma el conjunto

Recorrido (𝑅𝑒𝑐)

El conjunto 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = 𝑓(𝑥) / 𝑥 ∈ 𝐴 se llama recorrido de f, se tiene

además que. 𝑅𝑒𝑐(𝑓) ⊂ 𝐵.

4

Sean A y B conjuntos no vacíos, el producto cartesiano de 𝐴 con 𝐵 se escribe 𝐴 ×

𝐵 = (𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵, pero si particularmente 𝐴 = 𝐵, Se tendrá 𝐴2 en lugar de

𝐴 × 𝐴, esto es 𝐴2 = (𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴.

Definición 2

Sea 𝐴 un conjunto no vacío, se define la igualdad de pares ordenados como: Para

todo (𝑎, 𝑏), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2, (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦) si y solo si 𝑎 = 𝑥 𝑦 y 𝑏 = 𝑦.

Una función puede ser de diferente tipo como:

Definición 3

Sean 𝐴, 𝐵 conjuntos no vacíos, 𝑓 una función de 𝐴 en 𝐵

i. Se dice que 𝑓 es inyectiva si y solo si se verifica:

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 ≠ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦).

ii. Se dice que 𝑓 es sobreyectiva si y solo si se tiene: 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = 𝐵

iii. Se dice que 𝑓 es biyectiva si 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 y 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

Las funciones que cumplen con la característica de ser biyectiva permite encontrar

una función inversa que se define a continuación:

Definición 4

Sean 𝐴, 𝐵 conjuntos no vacíos, 𝑓 una función de 𝐴 en 𝐵 biyectiva. La función 𝑓−1

de 𝐵 en 𝐴 definida como:

𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇔ 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵,

Se llama función inversa.

5

Definición 5

Sea 𝐴 un conjunto no vacío cualquiera. Toda función 𝑓 de 𝐴 𝑥 𝐴 en 𝐴 se llama

operación en 𝐴.

2.1.2 OPERACIONES

A una operación 𝑓, se nota con ∗ y se escribe 𝑥 ∗ 𝑦 cuyo resultado se obtiene al

realizar la operación *,

∗: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝑥 ∗ 𝑦

Sea * una operación en 𝐴.

i. Se dice que * es asociativa si y solo si se satisface la propiedad:

𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴.

ii. Se dice que * es conmutativa si y solo si se verifica:

𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴.

iii. Se dice que en la operación * existe un elemento neutro de 𝐴 si y solo si se

verifica:

𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝐴.

iv. Al existir un elemento neutro 𝑒, se dice que la operación ∗ admite un

elemento inverso, si y solo si se verifica la siguiente condición: para cada 𝑥 ∈

𝐴, existe 𝑦 ∈ 𝐴 tal que:

𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑒 = 𝑦 ∗ 𝑥 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴.

Si una operación * es conmutativa y asociativa se escribe 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 en vez de 𝑥 ∗

(𝑦 ∗ 𝑧). Note que * tiene varias formas de operar estos tres elementos, así por

ejemplo:

𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑧 ∗ (𝑦 ∗ 𝑥) = 𝑦 ∗ (𝑧 ∗ 𝑥) =x*y*z

Las operaciones entre funciones más importantes son: la adición “+”, producto “x”

y la composición de funciones “o”.

6

Así, si V es un conjunto no vacío, la adición está definida como

+: 𝑉 × 𝑉 → 𝑉

(𝑥, 𝑦) → 𝑥 + 𝑦, donde 𝑥 + 𝑦 es la suma de 𝑥 con 𝑦.

Los conjuntos importantes relacionados con las operaciones de adición son: los

naturales ℕ, los enteros ℤ, los racionales ℚ, los números reales ℝ y los complejos ℂ.

Es necesario definir el término subconjunto en el conjunto de los números, lo que

implica que los conjuntos como los naturales, enteros, racionales, irracionales están

incluidos o son parte de otro conjunto más grande, así se tiene que: ℕ ℤ ℚ ℝ

ℂ. Los ℝ también cuentan con dos operaciones de adición + y producto ×.

2.1.3 OPERACIONES EN LOS REALES

Adición

La operación de adición está definida como +: ℝ × ℝ → ℝ(𝑥, 𝑦) → 𝑥 + 𝑦

, donde se verifican

las siguientes propiedades:

i. Se dice que * es asociativa si y solo si se satisface la propiedad:

𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ.

ii. Se dice que * es conmutativa si y solo si se verifica:

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

iii. Se dice que en la operación * existe un elemento neutro de ℝ si y solo si se

verifica:

𝑥 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

iv. Al existir un elemento neutro 𝑒, se dice que la operación ∗ admite un elemento

inverso, si y solo si se verifica la siguiente condición: para cada 𝑥 ∈ 𝐴, existe 𝑦 ∈ 𝐴

tal que

𝑥 + 𝑦 = 𝑒 = 𝑦 + 𝑥 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

7

Producto

La operación producto está definida como ×: ℝ × ℝ → ℝ(𝑥, 𝑦) → 𝑥 × 𝑦

, donde se verifican las

siguientes propiedades:

i. Se dice que ∗ es asociativa si y solo si se satisface la propiedad:

𝑥 × (𝑦 × 𝑧) = (𝑥 × 𝑦) × 𝑧 ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ.

ii. Se dice que ∗ es conmutativa si y solo si se verifica:

𝑥 × 𝑦 = 𝑦 × 𝑥 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

iii. Se dice que en la operación ∗ existe un elemento neutro de ℝ si y solo si se

verifica:

𝑥 × 𝑒 = 𝑒 × 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

iv. Al existir un elemento neutro 𝑒, se dice que la operación ∗ admite un elemento

inverso, si y solo si se verifica que para cada 𝑥 ∈ ℝ, existe 𝑦 ∈ ℝ,

𝑥 × 𝑦 = 𝑒 = 𝑦 × 𝑥 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

Con estas dos operaciones en ℝ que satisfacen las propiedades enumeradas

anteriormente se dice que tiene estructura de cuerpo o campo y se lo llama cuerpo

de los números reales.

2.1.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Se denota con 𝐹(𝐴) al conjunto de funciones de 𝐴 en 𝐴, la operación composición

está definida como:

𝜊 ∶ 𝐹(𝐴) × 𝐹(𝐴) → 𝐹(𝐴)

(𝑓, 𝑔) → 𝑓𝜊𝑔 ,

Donde f o g es la función en A definida como:

(𝑓 𝜊 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥) ) ∀𝑥 ∈ 𝐴.

8

La composición entre una función y su inversa genera las siguientes propiedades:

𝑓 𝑜 𝑓−1 = 𝐼𝐵,

𝑓−1 𝑜 𝑓 = 𝐼𝐴,

Si 𝑓 , 𝑔 son biyectivas,

(𝑓 𝑜 𝑔)−1 = 𝑔−1 𝑜 𝑓−1

2.1.5 OPERACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Otro conjunto importante son los números complejos (ℂ). Toda expresión en la

forma 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎 y 𝑏 son números reales e 𝑖 es la unidad imaginaria es un

número complejo.

Se verifican las operaciones de igualdad, adición y multiplicación.

Dados 𝑢, 𝑣 ∈ ℂ se tiene:

Igualdad: para todo 𝑢 = 𝑎 + 𝑖𝑏; 𝑣 = 𝑐 + 𝑖𝑑, donde se dice que

𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑐 + 𝑖𝑑 ⇔ 𝑎 = 𝑐^𝑏 = 𝑑

Adición: para todo 𝑢 = 𝑎 + 𝑖𝑏; 𝑣 = 𝑐 + 𝑖𝑑, se dice que

𝑢 + 𝑣 = 𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑐 + 𝑖𝑑 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑖(𝑏 + 𝑑)

Producto: para todo 𝑢 = 𝑎 + 𝑖𝑏; 𝑣 = 𝑐 + 𝑖𝑑, se dice que

𝑢𝑣 = (𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)

Un elemento importante a incluir es el conjugado de un número complejo, que es

otro número complejo que tiene sus afijos simétricos con respecto al eje imaginario,

por lo tanto, si se tiene 𝑠 = 𝑎 + 𝑖𝑏 entonces = 𝑎 − 𝑖𝑏 es su conjugado.

2.1.6 MATRICES (BENALCAZAR, 2012)

Definición 6

Es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de

este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos.

9

En este proyecto únicamente se trabajará con matrices cuyos elementos son

números reales y estas son designadas por letras mayúsculas. En una matriz

existen 𝑚 filas y 𝑛 columnas, es decir, de dimensión 𝑚 × 𝑛, se puede representar

de la forma siguiente: 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗𝑚×𝑛

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

Como se observa en la matriz 𝐴 de 3 × 3, cada uno de los elementos de ésta se los

nota como 𝑎𝑖𝑗 donde se tienen dos subíndices. El primero i indica la fila a la que

pertenece y el segundo j indica la columna. Por ejemplo:

𝐴 = (1 2 3−2 1 21 4 7

) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎11 = 1, 𝑎12 = 2,… , 𝑎23 = 2,…𝑎33 = 7

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide cada valor de los

elementos que ocupan la misma posición en ambas.

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

𝑚𝑥𝑛

𝐵 = (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

)

𝑚𝑥𝑛

La matriz 𝐴 es igual a la matriz 𝐵 puesto que: 𝐴𝑚×𝑛 = 𝐵𝑚×𝑛 y para cada elemento

𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗.

Adición:

Dadas las matrices 𝐴 y 𝐵 de orden 𝑚𝑥𝑛, se tiene:

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

𝑚𝑥𝑛

𝐵 = (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

)

𝑚𝑥𝑛

𝐴 + 𝐵 = (

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 𝑎13 + 𝑏13𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 𝑎23 + 𝑏23𝑎31 + 𝑏31 𝑎32 + 𝑏32 𝑎33 + 𝑏33

)

𝑚𝑥𝑛

Para sumar matrices es necesario que sean del mismo orden

10

Producto:

Dadas las matrices 𝐴 de orden 𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 de orden 𝑛𝑥𝑝, se tiene:

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

𝑚𝑥𝑛

𝐵 = (

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

)

𝑛𝑥𝑝

𝐴𝑥𝐵 = (

𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 + 𝑎13𝑏31 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22 + 𝑎13𝑏32 𝑎11𝑏13 + 𝑎12𝑏23 + 𝑎13𝑏33𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 + 𝑎23𝑏31 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22 + 𝑎23𝑏32 𝑎21𝑏13 + 𝑎22𝑏23 + 𝑎23𝑏33𝑎31𝑏11 + 𝑎32𝑏21 + 𝑎33𝑏31 𝑎31𝑏12 + 𝑎32𝑏22 + 𝑎33𝑏32 𝑎31𝑏13 + 𝑎32𝑏23 + 𝑎33𝑏33

)

Se multiplican matrices si y solo sí cumple con lo siguiente:

La primera matriz debe ser del orden 𝑚𝑥𝑛

La segunda matriz debe ser orden 𝑛𝑥𝑝

Se procede a sumar los productos de cada elemento de un renglón de la

primera matriz con cada elemento de las columnas de la segunda matriz.

La matriz resultado del producto es de orden 𝑚𝑥𝑝.

2.2 DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

Los espacios vectoriales permiten expresar algunas leyes de la naturaleza por esta

razón es importante el estudio de los mismos. En esta sección se utiliza los cuerpos

tanto de números reales ℝ y de los complejos ℂ; indistintamente como el cuerpo 𝕂.

Definición 6

Un espacio vectorial 𝑉 sobre 𝕂 es un conjunto no vacío en el que está definida la

adición “+” y el producto de escalares con elementos de 𝑉, que satisfacen:

a. Ser grupo abeliano o conmutativo (𝑉,+), esto es, 𝑉 con la operación de adición

en 𝑉 tal que satisface las siguientes propiedades:

i. Asociativa: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉, (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧).

iii. Existencia del elemento neutro: existe un elemento 0 ∈ 𝑉 tal que

para todo 𝑥 ∈ 𝑉, 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥.

11

iv. Existencia de inverso aditivos: para cada x ϵ V existe un

elemento – 𝑥 ∈ 𝑉 tal que 𝑥 + (−𝑥) = − 𝑥 + 𝑥 = 0.

v. Conmutativa: para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.

b. Producto de escalares por elementos de 𝑉 o sea una operación 𝕂 × 𝑉 en 𝑉

i. Para todo 𝑥 ∈ 𝑉, existe 𝒆 ∈ 𝕂 tal que, 𝒆. 𝑥 = 𝑥

ii. ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂, 𝑥 ∈ 𝑉, 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥.

iii. Para todo 𝛼 ∈ 𝕂, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦.

iv. Para todo 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂, 𝑥 ∈ 𝑉, (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥.

2.2.1 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES

Se tienen tres tipos de espacios vectoriales que son ampliamente utilizados: ℝ𝐧,

ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] y ℱ(Ω,𝑉) que se tratan a continuación.

2.2.1.1 ESPACIO VECTORIAL DE LOS REALES ℝ𝐧.

Este se define como el producto cartesiano de ℝ× ℝ ×… × ℝ, 𝑛 veces, donde sus

elementos se definen como: ∈ ℝ𝑛 si y solo si existen 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 tales que =

(𝑥1, … , 𝑥𝑛). Para demostrar que ℝn es un espacio vectorial debe cumplirse las

propiedades mencionadas en la definición 6.

Igualdad: Sean ∧ ∈ ℝ𝑛 se tiene que = si y solo si 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 para todo 𝑖 =

1,… , 𝑛.

Adición: Sean = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), = (𝑦1, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛, + = (𝑥1 + 𝑦1, … , 𝑥𝑛 +

𝑦𝑛).

Se verifica que si , ∈ ℝ𝑛 , + ∈ ℝ𝑛.

Producto por escalares: Sea ∈ ℝ𝑛 y 𝛼 ∈ ℝ, se nota con 𝛼 al elemento de ℝ

que se define como sigue a continuación:

𝛼 = 𝛼(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (𝛼𝑥1, … , 𝛼𝑥𝑛).

Existe el elemento neutro 0 = (01, … , 0n) y el inverso aditivo = − tal que +

(−) = 0 , donde − = (−𝑥1 , … , −𝑥𝑛).

12

Por lo expuesto anteriormente se puede concluir que (ℝn, +) es un grupo

conmutativo.

Las propiedades del producto de escalares por elementos de ℝ𝑛 son las siguientes:

i) Sea 1 ∈ 𝕂 , para todo = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 se tiene que

1 = 1(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (1. 𝑥1, … ,1. 𝑥𝑛) = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) = .

ii) Para todo 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 y para todo = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 se tiene que

𝛼(𝛽) = 𝛼[𝛽(𝑥,… , 𝑥𝑛)] = 𝛼(𝛽𝑥1, … , 𝛽𝑥𝑛) = 𝛼𝛽𝑥1, … , 𝛼𝛽𝑥𝑛

= (𝛼𝛽)((𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (𝛼𝛽).

iii) Para todo 𝛼 ∈ 𝕂, para todo = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), = (𝑦1, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛 se

tiene que + = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, … , 𝑦𝑛) = ( 𝑥1 + 𝑦1, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) luego

𝛼( + ) = 𝛼(𝑥1 + 𝑦1, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = (𝛼 (𝑥1 + 𝑦1), … , 𝛼(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛))

= (𝛼𝑥1 + 𝑎𝑦1 , … , 𝛼𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛) = (𝛼𝑥1, … , 𝛼𝑥𝑛 ) + (𝛼𝑦1, … , 𝛼𝑦𝑛)

= 𝛼 (𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝛼(𝑦1, … , 𝑦𝑛) = 𝛼 + 𝛼.

iv) Para todo 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂, para todo = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛se tiene que

(𝛼 + 𝛽) = ( (𝛼 + 𝛽)𝑥1, … , (𝛼 + 𝛽)𝑥𝑛 ) = (𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1, … , 𝛼𝑥𝑛 + 𝛽𝑥𝑛 )

= (𝛼𝑥1, … , 𝛼𝑥𝑛) + (𝛽𝑥1, … , 𝛽𝑥𝑛)

= 𝛼(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝛽(𝑥1+,… ,+𝑥𝑛)

= 𝛼 + 𝛽.

Demostradas las propiedades se concluye que ℝn es un espacio vectorial.

2.2.1.2 ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES 𝓜𝒎𝒙𝒏[ℝ]

Se definen las matrices 𝐴𝑚×𝑛 y 𝐵𝑚×𝑛

A = [

𝒂𝟏𝟏 … 𝒂𝟏𝒏⋮ … ⋮𝒂𝒎𝟏 … 𝒂𝒎𝒏

]

𝒎𝐱𝒏

𝑩 = [𝒃𝟏𝟏 … 𝒃𝟏𝒏⋮ … ⋮𝒃𝒎𝟏 … 𝒃𝒎𝒏

]

𝒎𝐱𝒏

Igualdad: Se define como sigue: sean 𝐴 , 𝐵 ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ], se tiene que 𝐴 = 𝐵 si y

solo si

(𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛.

13

Adición: Se define a continuación: sean 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] entonces

𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 + (𝑏𝑖𝑗)𝒎×𝒏 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)𝒎×𝒏.

Producto por escalar: Sean 𝐴 ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] y 𝛼 ∈ 𝕂

𝛼𝐴 = 𝛼(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 = (𝛼𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏.

Existe el elemento neutro O = (0,… , 0) ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] en donde, si 𝐴 = 0 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛

entonces

(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 = 0.

Además existe el opuesto aditivo 𝐵 ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] tal que 𝐵 = − 𝐴 .

(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 + (−𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 = O ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ].

Las propiedades del producto de escalares por elementos de ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] se

mostraran a continuación:

i) Sea 1 ∈ 𝕂 , para todo 𝐴 ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] , tal que 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝒎×𝒏 se tiene que:

1(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏= (𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏

.

ii) Para todo 𝛼 ∈ 𝕂, para todo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝒎×𝒏 ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] , se tiene que:

𝛼((𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 + )(𝑏𝑖𝑗)𝒎×𝒏 = 𝛼(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 + 𝛽(𝑏𝑖𝑗)𝒎×𝒏.

iii) Para todo 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂, para todo 𝐴 ∈ ℳ𝒎𝒙𝒏[ℝ] , tal que 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝒎×𝒏 se tiene que:

(𝛼 + 𝛽)(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 = α(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏 + 𝛽(𝑎𝑖𝑗)𝒎×𝒏.

Demostradas las propiedades se concluye que ℳmxn[ℝ] es un espacio vectorial.

2.2.1.3 ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES 𝑭(Ω,𝑽)

Sean 𝕂1, 𝕂2 dos cuerpos, 𝐺 un grupo abeliano o un espacio vectorial sobre 𝕂, Ω ⊂

G con Ω ≠ 0, 𝑉 un espacio vectorial sobre 𝕂, se designará

ℱ(Ω,𝑉) = 𝑓: Ω → 𝑉 |∀𝑥 ∈ Ω, 𝑓(𝑥) ∈ 𝑉 ,

Se lee: conjunto de todas las funciones de Ω en V.

14

En ℱ(Ω,𝑉), se define la igualdad, adición y producto por escalares como a

continuación se indica.

Igualdad: Se define como sigue: Sean 𝑓 y 𝑔 ∈ 𝐹(Ω, 𝑉), se tiene que 𝑓 = 𝑔 si y

solo si, para todo 𝑥 ∈ Ω,

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Adición: Se define como sigue 𝑓 , 𝑔 es el conjunto de 𝐹(Ω, 𝑉) definido por:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ Ω.

De las operaciones heredadas del espacio vectorial V, resulta que (𝐹(Ω, 𝑉), +)

es un grupo conmutativo, se tiene que para cada 𝑥 Ω,

𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ V, en consecuencia 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∈ 𝑉.

Por otro lado, si 𝛼 ∈ 𝕂 y 𝑓 ∈ 𝐹(Ω, 𝑉); para cada 𝑥 ∈ Ω, 𝑓(𝑥) ∈ 𝑉 y 𝛼𝑓(𝑥) ∈ 𝑉, ya

que 𝑉 es un espacio vectorial sobre 𝕂.

El elemento nulo 𝐹(Ω, 𝑉) es la función 𝑓0 definida por

𝑓0(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ Ω, donde 0 ∈ 𝑉.

El opuesto aditivo de 𝑓 ∈ 𝐹(Ω, 𝑉) se denota con – 𝑓, esto es,

(−𝑓 )(𝑥) = −𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ Ω, donde −𝑓(𝑥) es el opuesto aditivo de 𝑓(𝑥).

2.3 SUBESPACIOS VECTORIALES

Definición 7

Dado el espacio vectorial 𝑉, y el conjunto 𝑊 ⊂ 𝑉, se dice que 𝑊 es un subespacio

de 𝑉 si y solo si 𝑊 es un espacio vectorial.

Es condición suficiente para que el subconjunto 𝑊, sea un subespacio de 𝑉, que

cumpla con las siguientes propiedades.

i. Existe el 0 vector en el subconjunto 𝑊.

15

ii. 𝑊 es cerrado respecto de la suma en 𝑉, esto es para

𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑊 se tiene que 𝑤1 + 𝑤2 ∈ 𝑊.

iii. 𝑊 es cerrado respecto a la multiplicación por escalares, esto es, para

𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝑊 y 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ se tiene que 𝛼𝑤1 , 𝛼𝑤2 ∈ 𝑊, con lo que se cumple

que 𝛼 𝑤1 + 𝛽𝑤2 ∈ 𝑊.

Cualquiera que sea el espacio vectorial, se tienen dos subespacios llamados

triviales que son el vector 0 y el mismo espacio vectorial, de existir otros

subespacios se denominan subespacios propios. Se verifican varios casos

ejemplos de subespacios como son:

1. Subespacio en ℝ𝟐 es una recta que pase por el origen

2. Subespacio en ℳ𝑚𝑥𝑛[ℝ] es el conjunto de las matrices simétricas ℳ𝑚𝑥𝑛[ℝ]

3. Subespacio en las funciones 𝐹(Ω, 𝑉), es la función impar 𝑓 𝜖 ([−𝑎, 𝑎], ℝ), de

forma que se cumple 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).

2.4 COMBINACIONES LINEALES

Definición 8

Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre 𝕂, 𝐴 un subconjunto de 𝑉.

Se dice que 𝑥 ∈ 𝑉 y es una combinación lineal de elementos de 𝐴 si existen un

número finito 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ∈ 𝕂 tales que:

𝑥 =∑𝛼𝑖𝑥𝑖 = 𝛼𝑖𝑥𝑖 + …+ 𝛼𝑛𝑥𝑛.

𝑛

𝑖=1

Sea 𝑉 = 𝑉(𝐾), 𝐴 un subconjunto de 𝑉. Con 𝐴 ≠ ∅ . 𝑊 contiene todas las

combinaciones lineales de 𝐴, entonces 𝑊 es un subespacio de 𝑉

Demostración:

16

Por la definición de 𝑊 se sigue que: 𝑥 ∈ 𝑊 si y solo si existen 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 y

α1, … , αn ∈ 𝕂 tal que

𝑥 =∑𝛼𝑖𝑥𝑖 .

𝑛

𝑖=1

Entonces se verifica el cumplimiento de las tres propiedades que son suficientes

para determinar un subespacio.

i. 0 ∈ W ya que 0x = 0 ∀x ∈ A

ii. Sean 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑊, existen 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛, 𝑦1 , . . . , 𝑦𝑚 ∈ 𝐴 y 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛, 𝛽1 ,

. . . , 𝛽𝑚 ∈ 𝕂 tales que 𝑥 = ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗 𝑛𝑗=1 , 𝑦 = ∑ 𝛽𝑘𝑦𝑘

𝑚𝑘=1 ,consecuentemente

𝑥 + 𝑦 = ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗 𝑛𝑗=1 + ∑ 𝛽𝑘𝑦𝑘

𝑚𝑘=1 ∈ W.

iii. Sean 𝑥 ∈ 𝑊, 𝛼 ∈ 𝐾 tal que 𝑥 = ∑ 𝛼𝑗𝑥𝑗 𝑛𝑗=1 , entonces

𝛼𝑥 =∑(𝛼𝛼𝑗)𝑥𝑗 ∈

𝑛

𝑗=1

𝑊.

Luego se concluye que 𝑊 es subespacio de 𝑉.

Definición 9

i. El subespacio 𝑊 de 𝑉 de todas las combinaciones lineales de elementos de 𝐴

se llama subespacio generado por 𝐴 y el conjunto 𝐴 se llama generador de 𝑊.

Se escribirá 𝑊 = 𝐿(𝐴).

ii. Si 𝐿(𝐴) = 𝑉, se dirá que 𝐴 genera a 𝑉.

En el literal ii) de la definición 9 anterior se debe tener presente que: 𝐿(𝐴) = 𝑉 ⇔ 𝐿(𝐴)⊂ 𝑉 ∧ 𝑉 ⊂ 𝐿(𝐴). Como se demostró anteriormente si 𝑊 es un

subespacio de 𝑉 y 𝐿(𝐴) son las combinaciones lineales de 𝐴 que generan 𝑊 se

tiene que 𝐿(𝐴) ⊂ 𝑉.

Para 𝑉 ⊂ 𝐿(𝐴) se debe demostrar que la implicación 𝑥 ∈ 𝑉 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐿(𝐴) es

verdadera. Además,

17

𝑥 ∈ 𝐿(𝐴) ⟺ ∃𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 y 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ∈ 𝕂 tales que ∑ 𝛼𝑖𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑥

Por lo tanto, la implicación 𝑥 ∈ 𝑉 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐿(𝐴) es equivalente a la siguiente

𝑥 ∈ 𝑉 ⟹ ∃𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 y 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ∈ 𝕂 tales que ∑ 𝛼𝑖𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑥

Consecuentemente de la igualdad 𝐿(𝐴) = 𝑉 se deduce la siguiente equivalencia:

𝑉 ⇔ ∃𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴, 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ∈ 𝕂 tales que ∑ 𝛼𝑖

𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑥

2.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL (GROSSMAN,

2008; LAY, 2006)

Definición 10

Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre 𝕂, 𝐴 un subconjunto no vacío de 𝑉.

i. Se dice que 𝐴 es linealmente independiente si satisface la condición:

𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ∈ 𝐾, ∀ 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴,

∑𝛼𝑘𝑥𝑘 = 0 ⟹ 𝛼𝑘 = 0

𝑛

𝑘=1

∀ 𝑘 = 1 , . . . , 𝑛.

ii. Se dice que 𝐴 es linealmente dependiente, si 𝐴 no es linealmente independiente.

Sean 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛, 𝑛 vectores en un espacio vectorial 𝑉, entonces se dice que

los vectores son linealmente dependientes si existen 𝑛 escalares, 𝛽1, … , 𝛽𝑛 no todos

cero tales que 𝛽1𝑥1 +⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑛 = 0. Es decir que si existe un escalar diferente de

cero se tendrá que 𝑣1, … , 𝑣𝑛 son linealmente dependientes si y solamente si alguno

de dichos vectores puede expresarse como combinación lineal de los demás.

Sean 𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑛 vectores en un espacio vectorial 𝑉, se dice que los vectores son

linealmente independientes si la ecuación

𝛼1𝑥1 +⋯+ 𝛼𝑛𝑥𝑛 = 0 se cumple únicamente para 𝛼𝑖 = 0 𝑖 = 1,… , 𝑛.

Estos son algunos resultados con respecto a la dependencia e independencia

lineal.

18

1. Tres vectores en ℝ𝟑 son linealmente dependientes si y solo sí están en el

mismo plano.

2. Un conjunto de n vectores en ℝm es siempre linealmente dependiente si 𝑛 >

𝑚.

3. Un conjunto de vectores linealmente independientes en ℝn contiene a lo más n

vectores.

4. En una matriz 𝐴 se consideran las columnas como vectores, y son linealmente

dependientes si y solo el sistema que se puede escribir como 𝐴𝑐 = 0, tiene

soluciones no triviales, donde 𝑐 es vector de soluciones y son infinitas.

5. Sean 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 , 𝑛 vectores en ℝn y sea 𝐴 una matriz 𝑛 𝑥 𝑛 cuyas columnas

son 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛. Entonces 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 son linealmente independientes si y

solo si la única solución al sistema homogéneo 𝐴𝑥 = 0 es la solución trivial

𝑥 = 0.

6. Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 𝑥 𝑛. Entonces 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0 si y solo sí las columnas de 𝐴

son linealmente independientes.

7. Cualquier conjunto de 𝑛 vectores linealmente independiente en ℝn genera a ℝn

2.6 ESPACIO GENERADO (CASTRO, 2008)

2.6.1 CONJUNTO GENERADOR

Definición 11

Se dice que los vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝐴 generan al espacio 𝑉, si todo vector en 𝑉 se

puede escribir como una combinación lineal de los vectores de 𝐴, es decir que para

todo 𝑣 ∈ 𝑉, existen escalares 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ∈ 𝕂 tales que: 𝑣 = 𝛼1𝑣1 +∙∙∙ +𝛼𝑛𝑣𝑛.

2.6.2 ESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES

(GROSSMAN, 2008)

Definición 12

Sean 𝑛 ϵ ℤ+, 𝑣1, … , 𝑣𝑛 vectores de un espacio vectorial 𝑉. El espacio generado por

𝑣1, … , 𝑣𝑛 es el conjunto de combinaciones lineales 𝑣1, … , 𝑣𝑛, es decir

19

𝐺𝑒𝑛𝑣1, … , 𝑣𝑛 = |∑𝛼𝑖𝑣𝑖

𝑛

𝑖=1

| 𝛼 ∈ ℝ , 𝑖 = 1, … , 𝑛

Es el espacio generado por 𝑣1, … , 𝑣𝑛 se lo puede notar como 𝐺(𝑣1, … , 𝑣𝑛) a este

espacio.

2.7 BASE Y DIMENSIÓN

Definición 13

Un conjunto finito de vectores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 es una base para un espacio vectorial

𝑉 si:

𝑖. 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 son linealmente independientes, y

𝑖𝑖. 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 genera a 𝑉.

Los vectores 𝑖 = (1,0), 𝑗 = (0.1) de ℝ2 forman una base de ℝ2 conocida como

𝐵 = 𝑖 , , Esta base se conoce como base canónica que en otros textos aparece

como 𝑒1 , 𝑒2. Así los vectores 𝑒1 = (1, 0, 0), 𝑒2 = (0, 1, 0), 𝑒3 = (0, 0, 1) forman

una base para ℝ3, por lo tanto el conjunto de vectores 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 se llama base

natural, base estándar o base canónica ℝ3.

La dimensión de un espacio vectorial no nulo 𝑉 es el número de vectores

independientes en una base para 𝑉 y es un espacio vectorial de dimensión finita.

Si 𝑉 = 0 es de dimensión cero, caso contrario de tener un número infinito de

vectores independientes se tiene un espacio vectorial de dimensión infinita.

Ejemplos:

1. La dimensión de ℝ𝐧

Toda base de ℝn tiene exactamente 𝑛 vectores independientes por lo tanto

𝐝𝐢𝐦(ℝ𝐧) = 𝒏

2. La dimensión de M2x2

El conjunto de matrices

,10

00,

01

00,

00

10,

00

01

20

genera a ℳ2𝑥2[ℝ] Por ejemplo la matriz

𝐴 = (

2 −13 5

) = 2 (1 00 0

) − 1 (0 10 0

) + 3 (0 01 0

) + 5 (0 00 1

)

Entonces se tiene que dim M2x2 = 2 x 2 de manera general 𝑑𝑖𝑚 𝑀𝑚𝑥𝑛 = 𝑚 𝑥 𝑛.

2.8 PRODUCTO ESCALAR

Definición 14

Sea 𝑉 un espacio vectorial real.

Un producto escalar es una función de 𝑉 × 𝑉 en ℝ que se nota , y que satisface

las propiedades siguientes:

i. ⟨𝑋, 𝑌⟩ =

⟨𝑌, 𝑋⟩ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉,

ii. ⟨𝑋, 𝑌 + 𝑍⟩ =

⟨𝑋, 𝑌⟩ + ⟨𝑋, 𝑍⟩ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉,

iii. 𝛼⟨, ⟩ = ⟨𝛼, ⟩

⟨, 𝛼⟩ 𝛼 ∈ ℝ, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉,

iv. ⟨𝑋, 𝑋⟩ = 0

si y solo si 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ 𝑉,

⟨𝑋, 𝑋⟩ > 0

si y solo si 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝑉.

Si 𝑉 es un espacio vectorial complejo, la propiedad i. se describe como sigue

⟨, ⟩ = ⟨, ⟩

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉,

Siendo el lado derecho de la igualdad, el conjugado de un número complejo se

tiene

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂ se tiene 𝑧 = 𝑎 – 𝑏𝑖.

Las demás propiedades se cumplen en el conjunto de los números complejos de

igual forma que en ℝ.

En el caso 𝑉 = ℝ2 el producto escalar de dos elementos = (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) se

designa como ∙ y se define como:

∙ = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 .

De manera similar En el caso 𝑉 = ℝ3 el producto escalar de dos elementos

= (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)se designa como ∙ y se define como:

∙ = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2.

21

Un espacio vectorial 𝑉 provisto de un producto escalar se llama espacio vectorial

euclideo o espacio con producto escalar o espacio con producto punto o espacio

prehilbertiano.

Ejemplos:

1. En ℝ𝑛 , sean = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), = (𝑦1, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛 , un producto escalar está

definido como:

⟨, ⟩ = 𝑥1𝑦1 + …+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 =∑𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛

𝑖

2. En el espacio de matrices 𝑀𝑚𝑥𝑛[ℝ], se define el producto escalar como sigue:

se define como traza de la matriz el resultado de sumar los elementos de la

diagonal principal y se denota 𝑡𝑟(𝐴).

𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎11 + 𝑎22 + 𝑎33

Se define como la traspuesta de la matriz al resultado de intercambiar las filas

a columnas en la matriz y se nota 𝐴𝑇 . Así el elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz se traslada

a ser el elemento 𝑎𝑗𝑖

Sean 𝐴, 𝐵 matrices 𝑀𝒎𝒙𝒏[ℝ]; su

producto escalar está dado por:

⟨𝐴, 𝐵⟩ = 𝑡𝑟(𝐵𝑇. 𝐴)

3. En el espacio vectorial de funciones continuas 𝐶([𝑎; 𝑏]), se define el producto

escalar como:

⟨𝑓, 𝑔⟩ = ∫𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

∀ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶([𝑎, 𝑏])

2.8.1 LONGITUD Y NORMA DE UN VECTOR (BENALCAZAR, 2012)

Definición 15

Sea 𝑋 ∈ 𝑉, la longitud o norma se designa con ‖𝑋‖ , que se lee “norma del vector

𝑋” está dada por:

‖𝑋‖ = √⟨𝑋, 𝑋⟩

,

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B ,

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

22

El resultado del cálculo de la norma de un vector es un número real no negativo.

Para todo par de vectores 𝑋 y 𝑌 en 𝑉 y para todo 𝛼 ∈ ℝ se cumplen las siguientes

propiedades:

1. ‖𝑋‖ = 0 ⟺ 𝑋 = 0

2. ‖𝑋‖ > 0 ⟺ 𝑋 ≠ 0

3. ‖𝛼𝑋‖ = |𝛼|‖𝑋‖

4. ‖𝑋 ∙ 𝑌‖ ≤ ‖𝑋‖‖𝑌‖ Desigualdad de Cauchy – Schwartz

5. ‖𝑋 + 𝑌‖ ≤ ‖𝑋‖ + ‖𝑌‖ Desigualdad Triangular

2.9 APLICACIONES LINEALES DE ℝ𝐧 EN ℝ𝐦 (GROSSMAN, 2008)

Definición 16

Sea 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales reales. Una transformación lineal 𝑇 de 𝑉 en 𝑊 es

una función que asigna a cada vector 𝑣 ∈ 𝑉 un vector único 𝑇𝑣 ∈ 𝑊 y que satisface,

para cada 𝑢 y 𝑣 en 𝑉 y cada escalar 𝛼.

i. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇𝑢 + 𝑇𝑣.

ii. 𝑇(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇𝑣

Ejemplos

Transformación de reflexión

Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 definida por 𝑇 (𝑥𝑦) = (

−𝑥𝑦 )

Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 definida por 𝑇 (𝑥𝑦) = (

𝑥−𝑦)

Transformación de rotación

Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 definida por 𝑇𝑣 = 𝐴𝜃 (𝑥𝑦) = (

𝑥′𝑦′) siendo 𝐴𝜃 la matriz definida como

𝐴𝜃 = (𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

), con 𝜃 ∈ ℝ.

23

2.9.1 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

(GROSSMAN, 2008)

Definición 17

Se denomina núcleo de una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 que se notara como

𝑁𝑢𝑐(𝑇) al conjunto de todos los elementos de 𝑉 cuya imagen es el vector nulo de

𝑊; es decir

𝑁𝑢𝑐(𝑇) = 𝑥 ∈ 𝑉: 𝑇(𝑥) = 0

El conjunto constituido por todas las imágenes de los elementos de V se denomina

imagen por 𝑇 y se notara como 𝐼𝑚 (𝑇); es decir que:

𝐼𝑚(𝑇) = 𝑦 ∈ 𝑊 𝑦 = 𝑇(𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑥 ∈ 𝑉.

2.10 VALORES Y VECTORES PROPIOS (BENALCAZAR, 2012)

Los valores y vectores característicos tienen muchas aplicaciones tanto en la rama

de las matemáticas como física, algunos temas en donde también se pueden

emplear: orbitales moleculares, análisis factorial, tensor de inercia, tensor de

tensión y valores propios de un grafo, En ecuaciones lineales, matrices, etc.

Algunos de estos campos de aplicación son:

1. Ecuaciones diferenciales

2. Estabilidad de sistemas lineales

3. Sistemas eléctricos (componentes simétricas)

4. Polos y ceros de funciones transferencia

5. Diagonalización de matrices

Para tratar los valores y vectores propios se definen diferentes elementos que

intervienen en su cálculo.

24

Definición 18

Se define el polinomio característico de una matriz como sigue: Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 y

𝜆𝜖 ℝ tal que

𝑃(𝑥) = det(𝐴 − 𝜆𝐼) 𝜆 ∈ ℝ

Se llama polinomio característico de 𝐴.

Definición 19

Se define la ecuación característica de la matriz A como sigue:

Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑛 y 𝜆 ∈ ℝ tal que

det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Definición 20

El escalar se llama valor propio de 𝐴 si 𝜆 es la raíz del polinomio característico

de 𝐴. Existen tantos valores propios como la dimensión de la matriz.

Definición 21

Un vector propio de una matriz 𝐴 de 𝑛 𝑥 𝑛 es un vector diferente de cero en ℝ𝑛 tal

que 𝐴 = 𝜆, donde 𝜆 es valor propio de 𝐴. Los vectores propios también se llaman

vectores característicos, autovectores, vectores latentes o eigenvectores.

Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios

con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio como la rotación, la reflexión, el

ensanchamiento y otras transformaciones pueden interpretarse mediante el efecto

que producen en los vectores.

Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente

manera:

25

Definición 22

Si 𝐴: 𝑉 → 𝑉 es un operador lineal en un cierto espacio vectorial 𝑉, 𝑣 es un vector

diferente de cero en 𝑉 y 𝑐 es un escalar (posiblemente cero) tales que 𝐴𝑣 = 𝑐𝑣

entonces se dice que 𝑣 es un vector propio del operador 𝐴, y su valor propio

asociado es 𝑐.

2.10.1 PROPIEDADES DE LOS VALORES PROPIOS (CASTRO, 2008) (LAY,

2006)

1. Dos matrices 𝑛 × 𝑛, 𝐴 ∧ 𝐵, se dicen semejantes si existe una matriz invertible

𝑃 tal que 𝐴 = 𝑃−1𝐵𝑃.

2. Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por

consiguiente, los mismos valores propios.

3. Una matriz 𝐴 se dice diagonalizable (por semejanza), si es semejante a una

matriz diagonal.

4. Una matriz 𝐴, 𝑛 × 𝑛 es diagonalizable si y sólo si tiene 𝑛 vectores propios

linealmente independientes.

5. La suma de los valores propios de una matriz 𝐴 es igual a la traza de la

matriz, es decir ∑ 𝜆𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑡𝑟(𝐴)

6. El producto de los valores propios de una matriz 𝐴 es igual al determinante

de la matriz.

7. Los valores propios de una matriz triangular son los coeficientes de su

diagonal principal.

8. Una matriz 𝐴 es singular si y solo si tiene un valor propio igual a cero.

9. Los valores propios de las potencias de una matriz 𝐴 son las

correspondientes potencias de sus valores propios.

10. Si 𝑝(𝑥) es un polinomio con coeficientes reales y 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es una raíz,

entonces 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 también es raíz de 𝑝(𝑥).

2.10.2 CÁLCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS(CASTRO, 2008)

(LAY, 2006)

26

Para realizar el cálculo de valores propios de una matriz de dimensiones pequeñas,

se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo,

a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar

un método numérico.

Para encontrar valores propios de matrices cuadradas se debe iniciar con encontrar

los valores propios del polinomio característico, decir que es un valor propio de 𝐴

es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales (𝐴 − 𝜆𝐼) 𝑣 = 0

(donde 𝐼 es la matriz identidad) tiene una solución no nula 𝑣 (un vector propio), y

de esta forma es equivalente al determinante: 𝑑𝑒𝑡(𝐴 – 𝜆𝐼𝑛) = 0

La función 𝑝(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) es un polinomio de 𝐴 pues los determinantes se

definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de 𝐴: los

valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico. Todos

los valores propios de una matriz 𝐴 pueden calcularse resolviendo la ecuación

𝑝(𝐴) = 0.

Si 𝐴 es una matriz 𝑛 × 𝑛, entonces 𝑝(𝐴) tiene grado 𝑛 y 𝐴 tiene al menos 𝑛 valores

propios.

El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente 𝑛

raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de

grado impar tienen un número real como raíz, así que para 𝑛 impar toda matriz real

tiene al menos un valor propio real. En el caso de las matrices reales, para 𝑛 par e

impar, los valores propios no reales son pares conjugados.

Matemáticamente, 𝑣 es un vector propio y 𝜆 el valor propio correspondiente de una

transformación 𝑇 si verifica la ecuación: 𝑇(v𝜆) = 𝜆𝑣𝜆 donde 𝑇(𝑣) es el vector

obtenido al aplicar la transformación 𝑇 a 𝑣.

Supóngase que 𝑇 es una transformación lineal lo que significa que:

𝑇(𝑎𝑣 + 𝑏𝑤) = 𝑎𝑇(𝑣) + 𝑏𝑇(𝑤),

para todos los escalares 𝑎 ∧ 𝑏 y los vectores 𝑣 ∧ 𝑤. Considérese una base en ese

espacio vectorial. Entonces, 𝑇 y 𝑣 pueden representarse en relación a esa base

mediante una matriz 𝐴𝑇 y un vector columna 𝑣 que es un vector vertical

27

unidimensional. La ecuación de valor propio en esta matriz es de la siguiente forma:

𝐴𝑇𝑣𝜆 = 𝜆𝑣𝜆 donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta

circunstancia la transformación 𝑇 y su representación matricial 𝐴𝑇 son equivalentes,

a menudo se puede emplear sólo 𝑇 para la representación matricial y la

transformación. Esto es equivalente a un conjunto de 𝑛 combinaciones lineales,

donde 𝑛 es el número de vectores de la base. En esta ecuación, tanto el valor propio

y las 𝑛 componentes de 𝑣 son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural

o incluso imposible escribir la ecuación de vector propio en forma matricial. Esto

ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita.

El procedimiento a seguir para obtener los vectores propios se resume en:

1. Se encuentra 𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 – 𝜆𝐼).

2. Se encuentran las raíces 𝜆1 , 𝜆1, . . . , 𝜆1 𝑑𝑒 𝑝(𝜆) = 0

3. Se resuelve el sistema homogéneo (𝐴 – 𝜆𝑖𝐼)𝑣 = 0, correspondiente a cada

valor característico 𝜆𝑖.

Dependiendo de la naturaleza de la transformación 𝑇 y el espacio al que se aplica,

puede ser ventajoso representar la ecuación de valor propio como un conjunto de

ecuaciones diferenciales, donde los vectores propios reciben a menudo el nombre

de funciones propias del operador diferencial que representa a 𝑇. Por ejemplo, la

derivación misma es una transformación lineal, ya que si 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) son funciones

derivables y 𝑎 ∧ 𝑏 son constantes

𝑑

𝑑𝑡(𝑎𝑓 + 𝑏𝑔) = 𝑎

𝑑𝑓

𝑑𝑡+ 𝑏

𝑑𝑔

𝑑𝑡

En la práctica, los valores propios de las matrices extensas no se calculan usando

el polinomio característico. Calcular el polinomio resulta muy costoso, y extraer las

raíces exactas de un polinomio de grado alto puede ser difícil de calcular y expresar:

el teorema de Abel-Ruffini implica que las raíces de los polinomios de grado alto (5

o superior) no pueden expresarse usándose simplemente raíces enésimas. Existen

algoritmos eficientes para aproximar raíces de polinomios, pero pequeños errores

en la estimación de los valores propios pueden dar lugar a errores grandes en los

vectores propios. En consecuencia, los algoritmos generales para encontrar

vectores propios y valores propios son iterativos. La manera más fácil es el método

28

de las potencias, que escoge un vector aleatorio 𝑣 y se calcula una secuencia de

vectores unitarios:

𝐴𝑣‖𝐴𝑣‖

,𝐴𝑣2

‖𝐴𝑣2‖,𝐴𝑣3

‖𝐴𝑣3‖,… ,

𝐴𝑣𝑛

‖𝐴𝑣𝑛‖.

Esta secuencia casi siempre convergerá a un vector propio correspondiente al

mayor valor propio.

2.10.3 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES, POTENCIAS Y

RAÍCES DE MATRICES (LAY, 2006)

Para expresar una matriz de una forma sencilla se debe realizar la diagonalización

que consiste en encontrar una matriz invertible 𝑃 y una diagonal 𝐷 tales que:

𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 (1)

La relación anterior entre las matrices 𝐴 y 𝐷 es importante y aparece en muchos

contextos, donde la matriz 𝑃 se llama matriz de paso.

Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la

expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación

representada por 𝐴; entonces al escribirla de la forma (1) significa que hay una

base en la que la aplicación lineal 𝐴 tiene una forma diagonal, en la que puede ser

explicada.

Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus

propiedades. Las matrices se usan para representar otro tipo de aplicaciones como

cónicas, cuadráticas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil

expresarla de la forma (1).

Cuando dos matrices cuadradas 𝐴 y 𝐷 verifican que 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 para cierta, matriz

cuadrada 𝑃 (invertible) se dice que 𝐴 y 𝐷 son semejantes.

Una matriz es diagonalizable cuando se puede encontrar una matriz diagonal y una

invertible de manera que se pueda expresar de la forma (1). Dicho de otra forma,

una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal.

29

Si se escribe una matriz 𝐴 como 𝐴 = 𝑃 𝐷 𝑃−1, entonces también 𝐴 𝑃 = 𝑃 𝐷. Si 𝐷

es diagonal y la columna 𝑖 de esta última igualdad se tiene que 𝐴 𝑥𝑖 = λ𝑖 𝑥𝑖 (donde

𝑥𝑖 es la columna 𝑖 de 𝐴 y λ𝑖 es el número en el lugar 𝑖 de la diagonal de 𝐷.

Diagonalizar una matriz 𝐴 de tamaño 𝑛 × 𝑛 es lo mismo que encontrar 𝑛 vectores

propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, entonces

se colocan por columnas y conseguir así la matriz 𝑃. Para diagonalizar una matriz

se buscar 𝑛 vectores propios linealmente independientes asociados a valores

propios reales.

Sea 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] una matriz de orden 𝑛 ≥ 1. Se dice que 𝐴 es una matriz diagonal si

𝑎𝑖𝑗𝑖,𝑗=1,…,𝑛 = 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗.

Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal de un espacio 𝑉 de dimensión finita 𝑛 ≥ 1.

Se dice que 𝑇 es diagonalizable si existe una base 𝑋 en 𝑉 tal que 𝑚𝑋(𝑇) es una

matriz diagonal. Una matriz 𝐴 de orden 𝑛 ≥ 1 se dice que es diagonalizable si 𝐴 es

similar a una matriz diagonal. Teniendo en cuenta que matrices que representen la

misma transformación lineal son similares, se tiene el siguiente resultado.

Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal de un espacio 𝑉 de dimensión finita 𝑛 ≥ 1 y

sea 𝑋 una base cualquiera de 𝑉. Entonces, 𝑇 es diagonalizable si y sólo si 𝑚𝑋(𝑇)

es diagonalizable.

En términos de vectores propios se tiene el siguiente criterio obvio de

diagonalización.

Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal de un espacio 𝑉 de dimensión finita 𝑛 ≥ 1. 𝑇

es diagonalizable si y sólo si 𝑉 tiene una base constituida por vectores propios

linealmente independientes, así como también se cumple que si 𝐴 tiene 𝑛 valores

propios diferentes, entonces 𝐴 es diagonalizable.

30

CAPÍTULO 3

3 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

LINEALES

3.1 ECUACIONES DIFERENCIALES (EDWARDS & PENNEY, 2001)

Las ecuaciones diferenciales sirven para describir una variedad de problemas de

física, economía, ingeniería, ciencias sociales, entre otros, y aparecieron como una

herramienta para describir fenómenos naturales que implican cambios los cuales

se dan por medio de las relaciones entre las cantidades que cambian, siendo ésta

la principal diferencia con el álgebra cuyas ecuaciones se utiliza para resolver

problemas estáticos, esto implica que las ecuaciones diferenciales al describir una

situación física, tienen una solución apropiada la misma que debe ser interpretada.

Los parámetros encontrados al solucionar ecuaciones diferenciales permiten

encontrar una familia de curvas 𝑛_paramétricas, para las cuales existe una

ecuación diferencial de orden 𝑛 de la cual es solución, en general, esta ecuación

diferencial se dice que representa a la familia dada.

Hay que tener en cuenta que las constantes arbitrarias o parámetros están

presentes en la ecuación de la familia, pero la correspondiente ecuación diferencial

no tiene constantes arbitrarias.

Es necesario definir una ecuación diferencial para continuar con lo desarrollando

en este capítulo. (Zill & Cullen, 2006)

Definición 1

Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una variable

dependiente, se denomina ecuación diferencial.

Se escribe

𝑓(𝑡, 𝑢(𝑡), 𝑢’(𝑡)) = 0

Una ecuación diferencial se denomina ordinaria si depende de una sola variable y

si su dependencia es de más de una variable independiente se denomina ecuación

31

diferencial parcial. En adelante se nota como: 𝑥 variable independiente, y variable

dependiente y se usarán los dos tipos de notaciones para las derivadas ordinarias.

En una ecuación de orden n se tendrá la forma genérica:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛)) = 0

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

No. Notación de Leibniz Notación de Lagrange Notación de Newton

1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 5𝑦 = 0 𝑦’ + 5𝑦 = 0 + 5𝑦 = 0

2. 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 5 = 0 𝑦’’ + 5𝑦’ + 5 = 0 + 5 + 5 = 0

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

1. 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0 2.

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 2

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 𝑢 3.

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 4

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕𝑢

𝜕𝑦

En los ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias se tiene que el primero es

de primer orden, el segundo de segundo orden; así mismo en los ejemplos de

derivadas parciales los tres ejemplos son de segundo orden.

Definición 3

El orden de la más alta derivada que aparece en una ecuación diferencial se

llama el orden de la ecuación diferencial.

Definición 4

Si una ecuación diferencial ordinaria 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛)) = 0 puede escribirse

en la forma:

𝑎𝑛(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦

(𝑛−1) +⋯+ 𝑎1(𝑥)𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥)

Se dice que es lineal, siendo 𝑎0, … , 𝑎𝑛 funciones conocidas y definidas en 𝐼.

32

De acuerdo a esta definición se tiene que, para que la ecuación diferencial sea

lineal, la variable dependiente y todas sus derivadas deben ser de grado uno y los

coeficientes deben depender solo de la variable independiente.

3.2 SOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

3.2.1 INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER

ORDEN

Solucionar ecuaciones diferenciales significa encontrar la función que verifica la

igualdad, sin embargo no siempre se la obtendrá sino que se tendrá una relación o

expresión que implique una solución, así tendremos soluciones explícitas e

implícitas:

Definición 5

Sean una función 𝑦 = 𝑦(𝑥) definida en algún intervalo 𝐼. Se dice que es solución

explicita de la ecuación diferencial en el intervalo 𝐼, si sustituida en la ecuación,

la transforma en una identidad, es decir:

𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥),… , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼

Definición 6

Se dice que una relación 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 es solución implícita de la ecuación

diferencial 𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥),… , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 0en el intervalo 𝐼, si define una o

más soluciones explicitas en 𝐼

Para ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden deducir establecer una

solución general la misma que corresponde a la solución de cuando la ecuación es

homogénea y agregada una solución particular que surge a partir de seleccionar

valores para las constantes arbitrarias.

En la mayoría de las aplicaciones con ecuaciones diferenciales no es de interés la

solución general, sino una solución particular que satisfaga ciertas condiciones

33

dadas, es lo que da origen a los problemas de valor inicial o de frontera, que se

definen a continuación:

Definición 7

Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de

orden 𝑛 y de 𝑛 condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus

𝑛 − 1 primeras derivadas en un valor específico de la variable independiente,

llamadas condiciones iniciales, es decir, es de la forma: hallar 𝑦 = 𝑦(𝑥) tal que

satisfaga:

𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦(𝑛−1)),

𝑦(𝑥0) = 𝑦0,

𝑦′(𝑥0) = 𝑦1,

…

𝑦(𝑛−1)(𝑥0) = 𝑦𝑛−1.

Definición 8

Un problema de valores de frontera o de Dirichlet consta de una ecuación

diferencial de orden 𝑛 definida en ]𝑎, 𝑏[ y de 𝑛 condiciones de frontera impuestas

sobre la función desconocida en 𝑛 valores de la variable independiente, es decir:

𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦(𝑛−1)),

𝑦(𝑎) = 𝑦𝑎,

𝑦(𝑏) = 𝑦𝑏 .

3.2.2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN POR VARIABLES

SEPARABLES (SPIEGEL, 1994)

Las ecuaciones de primer orden de la forma 𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑓(𝑥, 𝑦) que se puede

escribir de forma separada de tal forma que antes del igual deben estar todos

los términos que corresponde a una variable y la expresión de la deriva y

luego del igual de manera debe estar lo que corresponde a la segunda

variable, de tal forma que

34

𝑝(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Es decir la ecuación será separable cuando 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)𝑝(𝑦).

El procedimiento para resolver estas ecuaciones es el siguiente:

Separar 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑝(𝑦)𝑑𝑦

Integrar cada lado ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑝(𝑦)𝑑𝑦

Se obtiene 𝐺(𝑥) + 𝐶 = 𝑃(𝑦) + 𝐶

Como existen 2 constantes se puede las puede juntar en una sola C.

Se obtiene la solución implícita: 𝐺(𝑥) = 𝑃(𝑦) + 𝐶

3.2.3 TRANSFORMACION DE VARIABLES

Transformar variables es un artificio algebraico que se usa con el fin de transformar

una ecuación diferencial a otro tipo de ecuación que permita solucionarlo por un

método conocido, en este caso se trata del cambio de la ecuación de manera que

se obtenga la ecuación de variables separables.

Un caso que se presenta es

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 (

𝑦

𝑥)

Se usa la variable 𝑣 =𝑦

𝑥, ó 𝑦 = 𝑣𝑥 luego al reemplazar en la ecuación dada se

obtiene

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥

Que se convierte en

𝑓(𝑣) = 𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥

De donde se obtiene

𝑓(𝑣) − 𝑣 = 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑥=

𝑑𝑣

𝑓(𝑣) − 𝑣

Lo que significa que se tiene la ecuación diferencial por variables separables y una

vez resulta la ecuación se procede con el reemplazo de la equivalencia original.

35

3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

3.3.1 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN (SAFF & SNIDER, 2005)

Para resolver ecuaciones de diferenciales lineales de primer orden se utilizará el

método estándar que consisten en:

a. Escribir la ecuación en su forma canónica

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)

b. Calcular el factor integrante 𝑢(𝑥) = 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥

c. Multiplicar los dos miembros de la ecuación diferencial por 𝑢(𝑥) cuyo lado

izquierdo queda 𝑑

𝑑𝑥[𝑢(𝑥)𝑦] y se obtiene:

𝑑

𝑑𝑥[𝑢(𝑥)𝑦] = 𝑢(𝑥)𝑄(𝑥)

d. Integrar la última ecuación y determine 𝑦 dividiendo entre 𝑢(𝑥) la ecuación.

3.3.2 ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN (SAFF & SNIDER, 2005)

(EDWARDS & PENNEY, 2001)

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos es la función y(x) de la forma

𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′), que se dice lineal si lo es en la variable independiente de 𝑦 y en sus

derivadas 𝑦′ y 𝑦′′ cuya forma es

𝐴(𝑥)𝑦′′ + 𝐵(𝑥)𝑦′ + 𝐶(𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥),

Donde 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥), 𝐶(𝑥), 𝐹(𝑥) son funciones dadas y continuas en el intervalo I,

con 𝐴(𝑥) ≠ 0 así que se puede dividir la ecuación para 𝐴(𝑥).

En el caso que 𝐹(𝑥) = 0 la ecuación es homogénea y cuando 𝐹(𝑥) ≠ 0 la ecuación

no es homogénea.

3.3.3 ECUACIONES HOMOGÉNEAS (EDWARDS & PENNEY, 2001)

Si las funciones 𝑦1 y 𝑦2 son soluciones de la ecuación diferencial y son linealmente

independientes si existen constantes 𝑐1 , 𝑐2 arbitrarias se tiene que la combinación

lineal de las soluciones individuales también se constituye en una solución.

𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦1(𝑥) + 𝑐2𝑦2(𝑥)

36

Con las funciones 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 que son continuas en I, al diferenciarlas

sucesivamente y calcular su determinante permite establecer la dependencia o

independencias de sus funciones, este determinante se denomina Wronskiano que

se nota por 𝑊[𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛] que se generaliza para ecuaciones de grado superior.

𝑊[𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥), … , 𝑦𝑛(𝑥)] == |

|

𝑦1(𝑥) 𝑦2(𝑥) ⋯ 𝑦𝑛(𝑥)

𝑦1′(𝑥) 𝑦2

′(𝑥) ⋯ 𝑦𝑛′ (𝑥)

𝑦1′′(𝑥) 𝑦2

′′(𝑥) ⋯ 𝑦𝑛′′(𝑥)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑦1(𝑛−1)

(𝑥) 𝑦2(𝑛−1)

(𝑥) … 𝑦𝑛(𝑛−1)

(𝑥)

|

|

De acuerdo al resultado del determinante se tiene que si:

1. Si el resultado del determinante del 𝑊[𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛] ≠ 0 las funciones son

linealmente independientes y es una base para el espacio solución.

2. Si el resultado de 𝑊[𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛] = 0 las funciones son linealmente

dependientes.

Para solucionar las ecuaciones lineales homogéneas, se considera el polinomio

característico, así en la ecuación diferencial

𝐴(𝑥)𝑦𝑛 + 𝐵(𝑥)𝑦𝑛−1 +⋯+ 𝐶(𝑥)𝑦 = 0

El polinomio característico o ecuación característica es 𝑃(𝑥) = 𝐷𝑛 +

𝑎𝑛−1𝐷𝑛−1+ . . . 𝑎1𝐷 + 𝑎0 = 0, para cuya solución se procede como en el álgebra

elemental, con sus raíces 𝜆1, 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 las cuales pueden ser: reales y distintas,

reales con multiplicidad y complejas.

En el caso que las raíces sean reales y distintas 𝜆1 ≠ 𝜆1 ≠ ⋯ . 𝜆𝑛 entonces

𝑦1(𝑡) = 𝑒𝜆1𝑡 y 𝑦2(𝑡) = 𝑒

𝜆2𝑡 son soluciones por lo tanto se tiene que la solución

general de la ecuación diferencial está dada por:

𝑦𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒𝜆1𝑥 + 𝑐2𝑒

𝜆2𝑥 +⋯+ 𝑐𝑛𝑒𝜆𝑛𝑥 =∑𝑐𝑘𝑒

𝜆𝑘𝑥

𝑛

𝑘=1

En el caso que las raíces sean reales y algunas de multiplicidad 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ 𝜆𝑛

con soluciones 𝑦1(𝑡) = 𝑒𝜆1𝑡 , 𝑦2(𝑡) = 𝑡𝑒

𝜆2𝑡 cuya solución general de la ecuación

37

diferencial está dada por:

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒𝜆1𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

𝜆2𝑥 +⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛𝑒𝜆𝑛𝑥

Las raíces también pueden ser en el conjunto de los números complejos 𝜆1 =

𝛼 + 𝑖𝛽, 𝜆2 = 𝛼 − 𝑖𝛽, con 𝑦1(𝑥) = 𝑐1𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥 y 𝑦2(𝑥) = 𝑐2𝑒

(𝛼+𝑖𝛽)𝑥, cuando se tiene

una ecuación diferencial de orden dos por lo cual se tiene la solución general.

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥 + 𝑐2𝑒

(𝛼−𝑖𝛽)𝑥

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑐2𝑒

𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥

𝑦𝑔 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥)

Los tipos de raíces no siempre serán únicos cuando se soluciona una ecuación

diferencial, sino que se podrán obtener al mismo tiempo por lo menos dos de ellas

en cuyo caso se deben establecer de acuerdo a los tipos de soluciones antes

tratadas.

En los problemas de valor inicial, de la forma.

𝑦′′ + 𝐵(𝑥)𝑦′ + 𝐶(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥)

𝑦(𝑥0) = 𝑡0𝑦′(𝑥0) = 𝑡0

′

Al tratar de ecuaciones con coeficientes constantes se toma a 𝑎1(𝑥) = 𝛼 y 𝑎0(𝑥) =

𝛽, entonces se considerará la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes

de la forma:

𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 𝐹(𝑥). (1)

Junto con las condiciones iniciales:

𝑦(𝑥0) = 𝑡0 y 𝑦′(𝑥0) = 𝑡0′ .

Las ecuaciones que se utilizarán en la práctica son las de segundo orden y de

coeficientes constantes.

3.3.4 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS

La solución general (𝑦𝑔) de una ecuación diferencial no homogénea está dada por

la solución cuando dicha ecuación es homogénea (𝑦ℎ) y la solución particular para

la ecuación no homogénea (𝑦𝑝).

38

𝑦𝑔 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

Para el caso de la ecuación homogénea, se conoce como proceder para encontrar

las soluciones y en el caso de la solución particular de la ecuación no homogénea

se procederá por dos métodos: Variación de parámetros y el del anulador o

coeficientes indeterminados.

3.3.4.1 MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS (LARA, 2007)

(ESPINOZA, 2007)

Para detallar el método de variación de parámetros se considera una ecuación

diferencial de segundo orden para explicar el proceso de encontrar las soluciones

de las ecuaciones diferenciales no homogéneas que consiste en:

1. Encontrar la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada (𝑦ℎ)

𝑦ℎ = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2…𝑐𝑛𝑦𝑛

2. Reemplazar 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 por funciones incógnitas 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛

obteniendo la solución particular (𝑦𝑝)

𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2…𝑢𝑛𝑦𝑛

3. Formar el sistema

𝑢1′𝑦1 + 𝑢2

′ 𝑦2…𝑢𝑛′ 𝑦𝑛 = 0

𝑢1′𝑦1′ + 𝑢2

′ 𝑦2′ …𝑢𝑛

′ 𝑦𝑛′ = 0

𝑢1′𝑦1′′ + 𝑢2

′ 𝑦2′′…𝑢𝑛

′ 𝑦𝑛′′ = 0

⋮

𝑢1′𝑦1𝑛−1 + 𝑢2

′ 𝑦2𝑛−1…𝑢𝑛

′ 𝑦𝑛𝑛−1 = 𝐹(𝑥)

Resolver el sistema para encontrar los valores de 𝑢1′ , 𝑢2

′ , … , 𝑢𝑛′

4. Obtener 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 por medio de integración.

3.3.4.2 MÉTODO DEL ANULADOR O COEFICIENTES INDETERMINADOS

(ESPINOZA, 2007)

Si 𝐿(𝑦) se asocia a una ecuación diferencial se tiene es homogénea cuando 𝐿(𝑦) =

0 y no homogénea cuando 𝐿(𝑦) = 𝐹(𝑥).

El método del anulador consiste en buscar un operador diferencial a coeficiente

constantes que anule la función 𝐹(𝑥), en caso de existir, así si 𝐿1 es el anulador se

tendría 𝐿1(𝐹(𝑥)) = 0.

39

Así si se aplica el operador anulador a la ecuación inicial se tendría una igualdad a

cero.

𝐿1𝐿(𝑦) = 0

Como 𝐿(𝑦) = 𝐹(𝑥) se tiene 𝐿1(𝐹(𝑥)) = 0

Partiendo de lo anterior se procede a resolver de la siguiente manera:

1. Se extrae la solución para la ecuación diferencial homogénea (𝑦ℎ)

2. Se aplica el operador que anulará 𝐹(𝑥) con lo que se obtiene una solución

particular (𝑦𝑝).

3. Se determinan los coeficientes 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 de 𝑦𝑝 a partir de

𝐿(𝑦𝑝) = 𝐹(𝑥)

4. Se establece la solución general 𝑦𝑔 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

Mayor detalle de este procedimiento se encuentra en el texto [Lara]

Este método permite optar por otras alternativas teniendo en cuenta la forma de la

función 𝐹(𝑥) como lo muestra en el texto (Espinoza, 2007) en este documento se

utilizará 𝐹(𝑥) en lugar de 𝑅(𝑥) que utiliza el autor.

Caso 1: Cuando 𝐹(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥)

a. Si ninguna de las raíces de la ecuación característica asociada a la ecuación

diferencial homogénea es igual a cero (𝜆 ≠ 0) la solución particular tiene la

siguiente forma:

𝑦𝑝 = 𝑃(𝑥).

b. Si alguna de las raíces de la ecuación característica asociada a la ecuación

diferencial homogénea es igual a cero, (𝜆 = 0) la solución particular tiene la

siguiente forma:

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠𝑃(𝑥)

donde 𝑠 es la multiplicidad de la raíz 𝜆 = 0.

Caso 2: Cuando 𝐹(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑛(𝑥)


diferencial homogénea es igual a 𝛼, (𝜆 ≠ 𝛼) la solución particular tiene la

siguiente forma:

40

𝑦𝑝 = 𝑒𝛼𝑥𝑃(𝑥)


diferencial homogénea es igual a 𝛼, (𝜆 ≠ 𝛼) la solución particular tiene la

siguiente forma:

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥𝑃(𝑥)

donde 𝑠 es la multiplicidad de la raíz 𝜆 = 𝛼.

Caso 3: Cuando 𝐹(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 donde 𝑃𝑛(𝑥) y 𝑄𝑚(𝑥) son

funciones polinómicas de grado n y m respectivamente.


diferencial homogénea es igual a ±𝑖𝛽, (𝜆 ≠ ±𝑖𝛽) la solución particular tiene

la siguiente forma:

𝑦𝑝 = 𝑃(𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥

donde los valores máximos de 𝑘 son 𝑛,𝑚.


diferencial homogénea es igual a ±𝑖𝛽, (𝜆 = ±𝑖𝛽) la solución particular tiene

la forma:

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠[𝑃(𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥]

donde los valores máximos de 𝑘 son 𝑛,𝑚 y 𝑠 es la multiplicidad de 𝜆.

Caso 4: Cuando 𝐹(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥[𝑃𝑛(𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑚(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥] donde 𝑃𝑛(𝑥) y 𝑄𝑚(𝑥) son

funciones polinómicas de grado n y m respectivamente.


diferencial homogénea es igual a 𝛼 ± 𝑖𝛽, (𝜆 ≠ 𝛼 ± 𝑖𝛽) la solución particular

tiene la siguiente forma:

𝑦𝑝 = 𝑒𝛼𝑥[𝑃(𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥]

donde los valores máximos de 𝑘 son 𝑛,𝑚.


diferencial homogénea es igual a 𝛼 ± 𝑖𝛽, (𝜆 = 𝛼 ± 𝑖𝛽) la solución particular

tiene la forma:

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥[𝑃(𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥]

donde los valores máximos de 𝑘 son 𝑛,𝑚 y 𝑠 es la multiplicidad de 𝜆.

41

3.4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

HOMOGÉNEOS DE PRIMER ORDEN (LARA, J. 2007)

Un sistema de 𝑛 ecuaciones diferenciales de primer orden se expresa de la forma

𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥)) = 0 y se denomina lineal cuando la función 𝐹 es una función lineal

respecto a 𝑦(𝑥) y 𝑦′(𝑥).

Se tiene un sistema en el cual es fácil despejar 𝑦′, el sistema se escribe de la forma:

𝑦1′(𝑥) = 𝐹1(𝑥, 𝑦1, … , 𝑦𝑛)

…𝑦𝑛′(𝑥) = 𝐹𝑛(𝑥, 𝑦1, … , 𝑦𝑛)

donde 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛 son funciones lineales respecto a las variables 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛, es

decir, que también se puede expresar como: (Edwards & Penney, 2001)

𝑦1′(𝑥) = 𝑎11(𝑥)𝑦1 +⋯+ 𝑎1𝑛(𝑥)𝑦𝑛 = 𝑓1(𝑥)

…𝑦𝑛′ (𝑥) = 𝑎𝑛1(𝑥)𝑦1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛(𝑥)𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥)

, (1)

donde se tiene que 𝑎𝑖𝑗(𝑥) y 𝑏𝑖(𝑥) son funciones definidas sobre el intervalo 𝐼, para

todo 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

El sistema de la forma (1) se puede expresar de la forma vectorial:

𝒀′(𝑥) = 𝑨(𝑥)𝒀(𝑥) + 𝑭(𝑥),

siendo 𝑨(𝑥) una matriz cuadrada de orden 𝑛, formada por las funciones 𝑎𝑖𝑗(𝑥) y

𝑭(𝑥), 𝒀′(𝑥), 𝒀(𝑥) funciones vectoriales de dimensión 𝑛 definidas en el intervalo 𝐼.

Proposición 1

Si una ecuación diferencial de orden 𝑛 es lineal también es lineal el sistema

asociado de 𝑛 ecuaciones diferenciales de primer orden y recíprocamente si el

sistema es lineal también lo es su ecuación diferencial asociada.

Ahora se define el caso cuando el sistema de ecuaciones diferenciales lineales

tiene coeficientes constantes.

42

El caso del sistema mencionado anteriormente si para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, se tiene

𝑓𝑖(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ ℝ, se dice que el sistema es homogéneo. Las equivalentes

ecuaciones matriciales son:

Para el sistema no homogéneo 𝒀′(𝑥) = 𝑨𝒚(𝑥) + 𝑭(𝑥), y

Para el sistema homogéneo 𝒀′(𝑥) = 𝑨𝒚(𝑥)

Un sistema lineal con Y, A(x) y F(x) que representan las matrices, se escribe de la

siguiente forma.

𝑌 = (𝑦1(𝑥)⋮

𝑦𝑛(𝑥)), 𝐴(𝑥) = (

𝑎11(𝑥) ⋯ 𝑎11(𝑥)⋮ ⋯ ⋮

𝑎11(𝑥) ⋯ 𝑎11(𝑥)), 𝐹(𝑥) = (

𝑓1(𝑥)⋮

𝑓𝑛(𝑥)).

El sistema de ecuaciones diferenciales se expresa como sigue:

𝑑

𝑑𝑥(𝑦1(𝑥)⋮

𝑦𝑛(𝑥)) = (

𝑎11(𝑥) ⋯ 𝑎11(𝑥)⋮ ⋯ ⋮

𝑎11(𝑥) ⋯ 𝑎11(𝑥))(𝑦1(𝑥)⋮

𝑦𝑛(𝑥)) + (

𝑓1(𝑥)⋮

𝑓𝑛(𝑥))

Para un sistema homogéneo se escribe

𝑑


𝑦𝑛(𝑥)) = (

𝑎11(𝑥) ⋯ 𝑎11(𝑥)⋮ ⋯ ⋮

𝑎11(𝑥) ⋯ 𝑎11(𝑥))(𝑦1(𝑥)⋮

𝑦𝑛(𝑥))

La solución de un sistema es una matriz columna cuyos elementos son funciones

diferenciales que satisfacen a 𝒀′ = 𝑨𝒚(𝑥) + 𝐹(𝑥) en un intervalo 𝐼.

𝑌 =𝑑


𝑦𝑛(𝑥)),

que se escribe como:

𝑌 = (𝑘1⋮𝑘𝑛

) 𝑒𝜆𝑡 = 𝐾𝑒𝜆𝑡

43

3.4.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

HOMOGÉNEOS

Para el estudio de éste tipo de soluciones, se supone un sistema de 𝑛

ecuaciones diferenciales lineales de primer orden expresado en forma vectorial

𝒚′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥) siendo 𝐴(𝑥) una función matricial cuadrada de orden 𝑛,

continua en el intervalo 𝐼, y donde 𝒚′(𝑥), 𝒚(𝑥) funciones vectoriales de ℝ𝑛 en ℝ.

Teorema 3.-

Sean 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 soluciones linealmente independientes del sistema 𝒚′(𝑥) =

𝐴(𝑥)𝒚(𝑥) en el intervalo 𝐼. Entonces, dadas 𝑛 constantes 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛, la función:

∑𝑐𝑘𝑦𝑘

𝑛

𝑘=1

,

es también solución del sistema en el intervalo 𝐼.

Observación: Si las funciones 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 son soluciones linealmente

independientes, en el intervalo 𝐼, del sistema 𝒚′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥) entonces su

wronskiano no se anula en ningún punto de ese intervalo.

Corolario 1.-

Si las funciones 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 son soluciones del sistema lineal homogéneo de

ecuaciones diferenciales 𝒚′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥) en el intervalo 𝐼, las tres condiciones

siguientes son equivalentes:

a) Las funciones 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 son linealmente independientes en 𝐼.

b) Existe un 𝑥 ∈ 𝐼 tal que 𝑊[𝑦1, … , 𝑦𝑛](𝑥) es distinto de cero.

c) Para todo 𝑥 ∈ 𝐼 se verifica que 𝑊[𝑦1, … , 𝑦𝑛](𝑥) es distinto de cero.

Ahora se tiene que definir el sistema fundamental de soluciones del sistema lineal

homogéneo a cualquier conjunto de 𝑛 soluciones linealmente independientes. Y

además siempre existe un sistema fundamental de soluciones del sistema lineal

homogéneo de primer orden 𝒚′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥), en el intervalo 𝐼.

44

Teorema 4.-

Si 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 es un sistema fundamental de soluciones del sistema lineal

homogéneo de primer orden 𝒚′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥), en el intervalo 𝐼, entonces toda

solución 𝝋(𝑥) = (𝜑1(𝑥),… , 𝜑𝑛(𝑥)) del sistema se puede expresar de la forma

𝝋(𝑥) = ∑𝑐𝑘𝑦𝑘(𝑥)

𝑛

𝑘=1

,

donde 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 son constantes.

Del teorema anterior se tiene que si φ es el conjunto de soluciones del sistema

lineal homogéneo de primer orden 𝒚′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥) en el intervalo 𝐼. Entonces φ

tiene estructura de espacio vectorial de dimensión 𝑛.

Si 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 un sistema fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo

𝒚′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥) en el intervalo 𝐼. La solución general de este sistema se puede

expresar de la forma:

𝝋(𝑥) = ∑𝑐𝑘𝑦𝑘(𝑥) = 𝑐1(𝑦11(𝑥)⋮

𝑦1𝑛(𝑥)

) +⋯+ 𝑐𝑛 (𝑦𝑛1(𝑥)⋮

𝑦𝑛𝑛(𝑥)

)

𝑛

𝑘=1

.

Teorema 2 (Existencia y Unicidad).-

Sea 𝐴(𝑥) una función matricial cuadrada de orden 𝑛, 𝑭(𝑥) una función vectorial,

continua en un intervalo 𝐼 ∈ ℝ, y sea 𝒀′(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝒚(𝑥) + 𝑭(𝑥) un sistema lineal de

ecuaciones diferenciales de primer orden. Sean 𝑥0 ∈ 𝐼, si se impone la condición

inicial 𝒚(𝑥0) = (𝑦1(𝑥0), … , 𝑦𝑛(𝑥0)) = (𝑦01, … , 𝑦0𝑛), entonces existe una única función

vectorial 𝝋(𝑥) = (𝜑1(𝑥),… , 𝜑𝑛(𝑥)) que es solución del sistema y verifica las

condiciones iniciales.

3.4.1.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR VALORES Y

VECTORES PROPIOS

Para la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo 𝑌′ = 𝐴𝑌

se procede de la siguiente manera: (Spiegel, 1994)

45

Encontrar una solución complementaria para ello se asume 𝑌 = 𝐾𝑒𝜆𝑡,

donde 𝑌 es un vector columna de las variables dependientes, v es un vector

columna constante, y 𝜆 es una constante.

Se tiene que 𝐾𝜆𝑒𝜆𝑡 = 𝐴𝐾𝑒𝜆𝑡 si se divide para 𝑒𝜆𝑡 se obtiene 𝐾𝜆 = 𝐴𝐾 o 𝐴𝐾 −

𝐾𝜆 = 0 como 𝐾 = 𝐾𝐼 que es 𝐾(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, esta ecuación es la ecuación

característica de la matriz A.

Se resuelve 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) y se encuentran los valores propios o

eigenvalores(𝜆),

Se encontrar los vectores propios (𝐾) diferentes de cero para cada valor de

𝜆.

Al resolver la ecuación característica se pueden tener diferentes resultados que

pueden ser: valores propios distintos, valores propios repetidos y valores propios

complejos y por lo que las soluciones se detallan a continuación.

Valores propios reales distintos.- en una matriz A de orden nxn, se pueden

obtener n vectores propios linealmente independientes 𝐾1, … , 𝐾𝑛 para los valores

propios 𝜆1, … , 𝜆𝑛, que permite obtener n soluciones linealmente independientes

𝑌1(𝑡) = 𝑐1𝐾1𝑒𝜆1𝑡

𝑌2(𝑡) = 𝑐2𝐾2𝑒𝜆2𝑡

…

𝑌𝑛(𝑡) = 𝑐𝑛𝐾𝑛𝑒𝜆𝑛𝑡

lo que permite obtener la solución general en el intervalo ]-∞,∞[ que es:

𝑌(𝑡) = 𝑐1𝐾1𝑒𝜆1𝑡, +⋯+ 𝑐𝑛𝐾𝑛𝑒

𝜆𝑛𝑡.

Valores propios reales repetidos.- En una matriz A de orden 𝑛𝑥𝑛, sus valores

propios no siempre son distintos, por lo tanto se puede obtener como solución un

solo valor propio repetido (multiplicidad m) o por lo menos uno de ellos repetido, lo

que significa que:

46

i. Se pueden obtener n vectores propios linealmente independientes a partir

de valores propios de multiplicidad m, denominado valor propio completo, en

cuyo caso se obtiene la solución general:

𝑌 = 𝑐1𝐾1𝑒𝜆1𝑡, … , 𝑐𝑛𝐾𝑛𝑒

𝜆𝑛𝑡.

ii. En caso de no existir n vectores propios a partir de un valor propio, es decir

es un valor propio defectuoso, se debe proceder a encontrar los vectores

propios generalizados linealmente independientes.

Para determinar el número de vectores propios linealmente independientes se

aplica la siguiente expresión n - s en donde n es el orden de la matriz A y s es el

número de vectores columna linealmente independientes de 𝐴 − 𝜆𝐼 para cada valor

propio

Iniciar con un vector propio 𝑢 diferente de 0, multiplicar de manera sucesiva por la

matriz 𝐴 − 𝜆𝐼 hasta obtener un vector 0.

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑢1 = 𝑢2 ≠ 0

…

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑢𝑚−1 = 𝑢𝑚 ≠ 0

Pero (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑢𝑚 = 0 entonces los vectores

𝐾1, 𝐾2, … , 𝐾𝑚 = 𝑢𝑚, 𝑢𝑚−1, … , 𝑢2, 𝑢1

Cada cadena de longitud 𝑚(𝐾1, 𝐾2, … , 𝐾𝑚)de vectores propios generalizados

determina un conjunto de m soluciones independientes de 𝑌′ =

𝐴𝑌 correspondientes al valor propio 𝜆.

𝑌1(𝑡) = 𝐾1𝑒𝜆𝑡 ,

𝑌2(𝑡) = (𝐾1𝑡 + 𝐾2)𝑒𝜆𝑡,

𝑌3(𝑡) = (1

2𝐾1𝑡

2 + 𝐾2𝑡 + 𝐾3) 𝑒𝜆𝑡 ,

…

𝑌𝑚(𝑡) = (𝐾1𝑡

𝑚−1

(𝑚 − 1)!+⋯+

𝐾𝑚 − 2𝑡2

2!+ 𝐾𝑚−1𝑡 + 𝐾𝑚) 𝑒

𝜆𝑡 ,

47

Valores propios complejos.- Otra solución de la ecuación característica se puede

dar en el conjunto de los números complejos cuyos valores propios se dan en

parejas complejas conjugadas.

Entonces 𝜆1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 y 𝜆2 = 𝜆1 = 𝛼 − 𝛽𝑖 , 𝛽 > 0, 𝑖2 = −1, de esto se espera que

los vectores propios correspondientes a los valores propios contengan elementos

complejos.

Si 𝑣 es un vector propio asociado con 𝜆 de modo que

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝐾 = 0

Aplicando los conjugados complejos en la ecuación anterior se tiene:

(𝐴 − 𝐼) = 0

El conjugado de 𝐾 𝑒𝑠 para el valor propio , así

𝐾 =

[ 𝑎1 + 𝑏1𝑖𝑎2 + 𝑏2𝑖

.

.

.𝑎𝑛 + 𝑏𝑛𝑖

]

=

[ 𝑎1𝑎2...𝑎𝑛

]

+

[ 𝑏1𝑏2...𝑏𝑛

]

𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖

El conjugado

𝐾 =

[ 𝑎1 + 𝑏1𝑖𝑎2 + 𝑏2𝑖

.

.

.𝑎𝑛 + 𝑏𝑛𝑖

]

=

[ 𝑎1𝑎2...𝑎𝑛

]

−

[ 𝑏1𝑏2...𝑏𝑛

]

𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖

La solución asociada a los números complejos es:

𝑌(𝑡) = 𝐾𝑒𝜆𝑡 = 𝐾𝑒(𝛼+𝛽𝑖)𝑡 = (𝑎 + 𝑏𝑖)𝑒𝛼𝑡(cos 𝛽𝑡 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡)

𝑌(𝑡) = 𝑒𝛼𝑡(𝑎 cos 𝛽𝑡 − 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡) + 𝑖𝑒𝛼𝑡(𝑏 cos 𝛽𝑡 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡)

La parte real e imaginaria también son soluciones, se obtiene dos soluciones con

valores reales.

𝑦1(𝑡) = 𝑅𝑒(𝑦(𝑡) = 𝑒𝑝𝑡(𝑎 cos 𝑞𝑡 − 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑞𝑡)

𝑦2(𝑡) = 𝐼𝑚(𝑦(𝑡) = 𝑒𝑝𝑡(𝑏 cos 𝑞𝑡 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑞𝑡)

48

3.4.1.2 SOLUCIÓN POR MÉTODO DE ELIMINACIÓN(Edwards & Penney,

2001)

Este método consiste en despejar la variable 𝑦 en una de las ecuaciones, a este

valor se lo reemplaza en la otra ecuación y al simplificar se obtiene una ecuación

de orden 𝑛 que se resuelve por los métodos antes expuestos, tiene un proceso

similar al de los sistemas de ecuaciones de primer grado del álgebra elemental cuyo

principio es la eliminación de variables, en este caso es muy útil recurrir al uso del

Operador diferencial 𝐷.

Se define al operador 𝐷 como una aplicación que está definida sobre 𝐹 en 𝐹 tal que

∀𝑓 ∈ 𝐹, 𝐷(𝑓) =𝑑𝑓

𝑑𝑥, siendo 𝐹 la familia de funciones reales de variable real

infinitamente derivables en un intervalo 𝐼.

Si se toma el sistema:

𝑏11𝑦1

′(𝑥) + ⋯+ 𝑏1𝑛𝑦𝑛′(𝑥) = 𝑎11𝑦1(𝑥) + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑦𝑛(𝑥)

…𝑏𝑛1𝑦1

′(𝑥) + ⋯+ 𝑏𝑛𝑛𝑦𝑛′(𝑥) = 𝑎𝑛1𝑦1(𝑥) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑦𝑛(𝑥)

Si se aplica el operador 𝐷(𝑦) = 𝑦′ se puede expresar:

(𝑎11 − 𝑏11𝐷)𝑦1(𝑥) + ⋯+ (𝑎1𝑛 − 𝑏1𝑛𝐷)𝑦𝑛(𝑥) = 0

…(𝑎𝑛1 − 𝑏𝑛1𝐷)𝑦1(𝑥) + ⋯+ (𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑛𝑛𝐷)𝑦𝑛(𝑥) = 0

o también se puede expresar de la forma:

(𝑎11 − 𝑏11𝐷 ⋯ 𝑎1𝑛 − 𝑏1𝑛𝐷

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 − 𝑏𝑛1𝐷 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑛𝑛𝐷

)(𝑦1(𝑥)…

𝑦𝑛(𝑥)) = (

0…0).

Donde el operador ∆(𝐷) = (𝑎11 − 𝑏11𝐷 ⋯ 𝑎1𝑛 − 𝑏1𝑛𝐷

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 − 𝑏𝑛1𝐷 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑛𝑛𝐷

), que se supone esta

función distinta de cero, además se tiene que el operador ∆(𝐷) es polinómico de

grado 𝑛.

Si se considera ∆(𝐷) = 𝑟0 + 𝑟1𝐷 +⋯+ 𝑟𝑛𝐷𝑛, entonces

49

∆(𝐷)(𝑦𝑘(𝑥)) = 𝑟0𝑦𝑘(𝑥) + 𝑟1𝑦𝑘′ (𝑥) + ⋯+ 𝑟𝑛𝑦𝑘

(𝑛)(𝑥)

para todo 𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 se resuelve la ecuación diferencial homogénea de grado 𝑛:

𝑟0𝑦𝑘(𝑥) + 𝑟1𝑦𝑘′ (𝑥) + ⋯+ 𝑟𝑛𝑦𝑘

(𝑛)(𝑥) = 0.

Una vez obtenidas cada una de las funciones 𝑦𝑘(𝑥) en función de 𝑛 constantes, se

tienen en total 𝑛2 constantes que se eliminan hasta dejar sólo 𝑛 sustituyéndolas en

el sistema.

3.5 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO

HOMOGÉNEOS DE PRIMER ORDEN

Se estudian distintos métodos de resolver los sistemas lineales no homogéneos,

como por ejemplo: el método de variación de constantes, el método de coeficientes

indeterminados y utilizando el operador diferencial 𝐷. Éstos métodos son válidos

en ciertas condiciones, como el método de variación de constantes que es válido

para cualquier sistema lineal completo y también el operador diferencial 𝐷 que

únicamente pueden utilizarse cuando el sistema lineal homogéneo asociado tiene

los coeficientes constantes y la función 𝑏(𝑥) adopta determinadas formas.

Se tiene un sistema lineal no homogéneo de primer orden de la forma

𝑥′(𝑡) = 𝐴𝑥 + 𝑓(𝑡)

Donde 𝐴 es una matriz de orden 𝑛 𝑥 𝑛 y el término no homogéneo es 𝑓(𝑥), la

solución general está dada por:

𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡)

Con 𝑥ℎ(𝑡) solución general asociada al sistema homogéneo y 𝑥𝑝(𝑡) solución

particular del sistema original.

Los métodos para solucionar sistemas diferenciales lineales no homogéneos tienen

relación con los métodos expuestos anteriormente es así que cualquiera sea el

caso la solución se procede con las soluciones de la ecuación diferencial

50

homogénea asociada y luego se obtiene la solución particular por el método de

coeficientes indeterminados o variación de parámetros.

51

CAPÍTULO 4

4 SISTEMAS FÍSICOS DE UNO Y DOS GRADOS DE

LIBERTAD

4.1 CONCEPTOS BÁSICOS (SERWAY & JEWETT, 2008)

Definición 12.-

La mecánica se encarga del estudio de los cuerpos en su estado de equilibrio, así

como en movimiento y de las causas que producen el mismo.

Las tres teorías principales de la mecánica existentes en la actualidad son: la

mecánica clásica, la mecánica relativista y la mecánica cuántica, que permiten

desde siglos anteriores interpretar los diferentes aspectos que actúan en el

movimiento de los cuerpos que se encuentran en nuestro entorno, a grandes

distancia como también de partículas minúsculas que responden a algún fenómeno

físico.

Los fenómenos físicos que se dan en la naturaleza permiten apreciar un sinnúmero

de situaciones que suceden sobre objetos o cuerpos.

Al hablar de objetos o cuerpos físicos se trata de manifestar lo que nuestros ojos

son capaces de ver o lo que nuestras manos pueden tocar sin embargo en la

naturaleza y en el universo existen infinidad de objetos que no pueden ser

apreciados por el ojo humano y si embargo están allí. A continuación se incluye la

concepción expresada en el diccionario de la academia.

Definición 13.-

Cuerpo u objeto es “todo lo que puede ser materia de conocimiento o sensibilidad

de parte del sujeto

Los objetos se encuentran en constante relación con otros o son sometidos a

acciones que actúan sobre el para producir cambios, en un cuerpo pueden

interactuar diferentes factores que permiten predecir resultados como es el caso de

52

la mecánica clásica que si un cuerpo está en movimiento se puede predecir su

posición o velocidad en cualquier instante.

Los cuerpos u objetos están formados de materia y puede presentarse de distintas

maneras o estados. Además dependiendo de las condiciones, los cuerpos pueden

cambiar de estado o manera en que se presentan, en la materia se pueden

identificar propiedades generales como volumen, tamaño y peso que no permiten

diferenciar una substancia de otra y las propiedades específicas que permiten

diferenciarlas.

El concepto básico sobre el cual gira la mecánica es el movimiento

Definición 14.-

Movimiento es el fenómeno por el cual un cuerpo cambia de posición con respecto

a otros luego de transcurrir un tiempo.

4.2 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA MECÁNICA (SERWAY &

JEWETT, 2008)

4.2.1 SISTEMA DE REFERENCIA ESPACIO - TIEMPO

Los fenómenos mecánicos se describen mediante _sistemas de referencia, _

basados en los conceptos de espacio y tiempo. Por su importancia conviene

enunciar los postulados que asume la mecánica clásica para estos conceptos.

El espacio, y por tanto su métrica, tiene las propiedades siguientes.

1. Independencia de los objetos en él inmersos. (La métrica del espacio no se

ve afectada por los mismos.)

2. Constancia a lo largo del tiempo.

3. Homogeneidad: es igual en todos los puntos, no existiendo puntos

privilegiados.

4. Isotropía: es igual en todas las direcciones, no existiendo direcciones

privilegiadas.

53

El espacio se caracteriza por una métrica Euclídea, lo que lo convierte en un

espacio puntual Euclídeo en 3 dimensiones, R3.

El tiempo se caracteriza a su vez por las siguientes propiedades.

1. Homogeneidad, al no existir instantes privilegiados.

2. Fluye constantemente en un sentido, por lo que no se puede retroceder ni

volver al pasado (desgraciadamente para algunos). Asimismo, los

fenómenos futuros no pueden condicionar los presentes. No se cumple por

tanto la isotropía, existiendo un único sentido en el que puede discurrir el

tiempo.

3. Simultaneidad absoluta: Los fenómenos considerados simultáneos para

dos observadores en sendos sistemas de referencia, lo son así mismo para

cualquier otro observador ligado a cualquier otro sistema de referencia.

En mecánica clásica, el tiempo se considera una variable de naturaleza distinta de

las variables espaciales y la métrica elucídela no está influenciada por él.

Las magnitudes de tiempo, espacio, masa, volumen, entre otras, se expresan

mediante cantidades, las mismas son las mediciones del comportamiento de un

cuerpo en determinadas circunstancias que pueden cambiar si cambian las

propiedades. Las medidas son expresiones matemáticas que expresan un atributo

físico en forma numérica.

La mecánica tiene como uno de sus aspectos importantes las leyes de Newton que

se enuncian a continuación.

4.2.2 PRIMERA LEY DE NEWTON

Esta ley constituye el llamado principio de la inercia. Admitiendo también el principio

de Galileo, nos permite definir los llamados sistemas inerciales, como aquellos en

los que se cumple dicho principio. Las leyes de la mecánica se formulan en un

sistema inercial de referencia. Por el principio de Galileo, admitiendo que existe al

menos un tal sistema inercial, existirán infinitos sistemas inerciales en los que se

cumplen las mismas leyes mecánicas y en concreto la ley primera de Newton.

54

Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento rectilíneo y uniforme

a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.’

Este principio nos permite también definir, como condiciones iniciales del

movimiento, las que caracterizan a un movimiento estacionario o constante: la

posición 𝑟 y la velocidad 𝑣 constante.

Conviene observar también que Newton emplea el término _cuerpo_para referirse

en realidad a una partícula, o punto material, caracterizada por la posición y

velocidad de un solo punto.

4.2.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON

Esta ley indica claramente una relación lineal (_proporcional_) entre fuerzas y

variaciones de la cantidad de movimiento, de tipo vectorial (_según la línea recta_).

Se denomina en ocasiones ley fundamental de la dinámica, permitiendo obtener las

ecuaciones básicas de la misma. Expresada como ecuación, equivale a:

Este principio permite aclarar que sucede con un cuerpo cuando actúan sobre él

diferentes fuerzas visto desde un marco de referencia inercial.

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa

sobre él e inversamente proporcional a su masa.

𝛼 ∑

𝑚

Relacionar masa, fuerza y aceleración cuando la constante de proporcionalidad se

elige en uno se llega al enunciado matemático de la Ley de Newton ∑ = 𝑚

siempre y cuando la rapidez del objeto sea bastante menor que la rapidez de la luz.

Observaciones:

La aceleración, derivada segunda del vector posición, es asimismo un vector.

La ecuación tiene por tanto carácter vectorial, lo que identifica a las fuerzas

impulsiónmovdecan

tFvm

..

55

como vectores, e implícitamente supone la actividad vectorial para las

mismas (ley del paralelogramo de fuerzas).

La expresión da lugar a ecuaciones diferenciales de segundo orden, ya que

intervienen derivadas segundas de la incógnita 𝑟 respecto al tiempo.

4.2.4 TERCERA LEY DE NEWTON

Se trata del llamado principio de acción y reacción. Todas las fuerzas deben de

tener contrapartida, siendo imposible ejercer una fuerza desde el vacío, sin apoyo.

Es siempre necesario apoyarse en algún cuerpo o medio material que absorba la

reacción (modificando a su vez el movimiento de este otro cuerpo, según la

segunda ley).

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria. O sea, las acciones

mutuas de los cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.

Las leyes de Newton son de interés cuando se aplican fuerzas a un objeto,

permiten solucionar muchos problemas sin embargo en algunos casos son muy

complejos en la práctica por lo que se realizan planteamientos diferentes como es

la energía, que en la vida cotidiana se asocia con combustible, calor, electricidad,

alimentos entre otros y sin embargo no es fácil definirla.

4.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA MASA

-RESORTE HORIZONTAL Y VERTICAL (NAGLE & SAFF, S. F.;

RAO, 2011)

Movimiento oscilatorio es el movimiento que se repite parcial o totalmente cerca de

la posición de equilibrio estable de un cuerpo. Si la oscilación se caracteriza por el

cambio de magnitudes mecánicas, como el desplazamiento, la velocidad, la

aceleración, la presión, etc., dicho movimiento se denomina oscilación mecánica.

Si cada valor de la magnitud que cambia durante la oscilación se repite a iguales

intervalos de tiempo, tal oscilación se denomina periódica. El intervalo de tiempo T

necesario para la realización de una oscilación completa se denomina período de

la oscilación y la magnitud inversa al período, se denomina frecuencia de la

56

oscilación periódica. Un ejemplo de movimiento oscilatorio periódico se tiene

cuando se suspende verticalmente un cuerpo del extremo de un resorte.

Figura 4.1 Sistema masa resorte

Un oscilador masa-resorte está formado por una masa m unida a un resorte fijo en

un extremo, como se muestra en la figura, se considera el peso del resorte

despreciable y para este estudio se analiza la ecuación diferencial que gobierna el

movimiento de este oscilador, considerando las fuerzas externas que actúan sobre

la masa en movimiento.

Si el resorte está estirado y la masa inercial m está en reposo, el sistema está en

equilibrio, por la experiencia que podemos visualizar en la naturaleza de este

fenómeno al momento de ejercer una fuerza sobre la masa y sacarla de la posición

de equilibrio, se produce el estiramiento o compresión del resorte y luego de soltar

el sistema, éste queda vibrando y se ve que actúa una fuerza que lleva al sistema

hacia una posición sobre la posición de equilibrio bajo la misma que se nota que

intenta volver al resorte con la masa a la posición de equilibrio.

Figura 4.2. Sistema masa resorte vertical en equilibrio

s

x

Posición de Equilibrio

57

De acuerdo a la segunda Ley de Newton –fuerza igual a masa por aceleración (𝐹 =

𝑚𝑎) se tiene la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden para la

aceleración, ésta es la segunda derivada de la posición 𝒚 con respecto del tiempo.

𝑎 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

Al desplazar la masa 𝒎 con respecto del equilibrio, el resorte se estira o se

comprime y aparece la fuerza restauradora que resiste al desplazamiento. Para la

mayor parte de resortes, esta fuerza es directamente proporcional al

desplazamiento 𝒚, por lo que está dada por

𝐹𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 = − 𝑘𝑥 (𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒)

En donde:

𝑘 Rigidez, es constante positiva llamada constante del resorte.

− Signo negativo, Indica la naturaleza de oposición de la

fuerza.

Al colocar una masa en el extremo del resorte ésta lo estira una longitud 𝑥 y llega

a una posición en la que permanece estática o en equilibrio en la que el peso

(P=mg) es igual al estiramiento por la constante de elasticidad (𝑘𝑥), así 𝑚𝑔 = 𝑘𝑥

que es 𝑚𝑔 – 𝑘𝑥 = 0. Cuando se produce el estiramiento luego de la posición de

equilibrio existe un recorrido del resorte fuera de la posición de equilibrio de longitud

𝑥, el mismo que responde a la fuerza de restitución del resorte 𝑘(𝑠 + 𝑥).

Figura 4.3. Sistema masa resorte vertical con estiramiento del resorte

s

58

Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y la masa

está libre de fuerzas externas se puede igualar la segunda ley de Newton con la

fuerza neta, fuerza de restitución y el peso:

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑠 + 𝑥) + 𝑚𝑔 = −𝑘𝑥 +𝑚𝑔 − 𝑘𝑦⏟

𝑐𝑒𝑟𝑜

= −𝑘𝑥.

En un sistema masa resorte ubicado en forma horizontal como se observa en la

figura se tiene que:

Figura 4.4. Sistema masa resorte horizontal

La mayoría de resortes que se utilizan en sistemas prácticos presentan una relación

no lineal, en particular cuando las deflexiones son grandes.

4.3.1 COMBINACIÓN DE RESORTES ( RAO, 2011)

Resortes en paralelo: Si se tiene n resortes con constantes 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3,... 𝑘𝑛 la

constante del resorte equivalente es:

𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 +⋯+ 𝑘𝑛

Resortes en serie: Si se tiene n resortes con constantes 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3,... 𝑘𝑛 en serie la

constante del resorte equivalente es:

1

𝑘𝑒𝑞= 1

𝑘1+1

𝑘2+⋯+

1

𝑘𝑛

59

Las vibraciones libres de una masa m que satisface la función de posición 𝑥(𝑡) está

dada por la ecuación diferencial 𝑚𝑥´´ + 𝑏𝑥´ + 𝑘𝑥 = 0, que puede ser no amortiguado

si 𝑏 = 0 y amortiguado si 𝑏 > 0.

Las vibraciones forzadas de una masa 𝑚 que está influenciada por una fuerza

externa 𝐹(𝑡) está dada por la ecuación diferencial lineal no homogénea siguiente

𝑚𝑥´´ + 𝑏𝑥´ + 𝑘𝑥 = 0 = 𝐹(𝑡).

Una masa se puede sostener en un resorte que se encuentra en forma vertical

desde un soporte fijo, en este caso el peso 𝑊 = 𝑚𝑔 de la masa que alargaría el

resorte una longitud 𝑠0 determinada por 𝐹𝑆 = −𝑊 y 𝑥 = 𝑠0. Es decir 𝑚𝑔 = 𝑘𝑠0, y

𝑠0 =𝑚𝑔

𝑘 define la posición de equilibrio estático de la masa. La ecuación que define

el movimiento de la masa es

𝑚𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑘𝑦 = 0 = 𝐹(𝑡)

Donde 𝑦 denota el desplazamiento de la masa.

En las maquinas con componentes giratorios por lo común incluyen sistemas masa

- resorte cuya fuerza externa es armónica simple:

𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos 𝑤𝑡 ó 𝐹(𝑡) = 𝐹0 sen 𝑤𝑡.

En la que la constante 𝐹0 es la amplitud de la fuerza periódica y 𝑤 es su frecuencia

angular.

Las oscilaciones forzadas no amortiguadas bajo la influencia de fuerzas externas

𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos 𝑤𝑡 se tiene que 𝑏 = 0 por lo que la ecuación queda

𝑚𝑥′′ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos 𝑤𝑡

La solución general 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑝 + 𝑥𝑐

𝑥𝑐 = 𝐶 cos(𝑤0𝑡 − 𝛼)

𝑥𝑝 = 𝐴 cos𝑤𝑡

Donde 𝐴 =𝐹0𝑚

𝑤02−𝑤2

por lo tanto

60

𝑥𝑝 =

𝐹0𝑚

𝑤02 − 𝑤2

cos𝑤𝑡.

Por lo tanto la solución general es

𝑥(𝑡) = 𝐶 cos(𝑤0𝑡 − 𝛼) +

𝐹0𝑚

𝑤02 − 𝑤2

cos𝑤𝑡

Donde la resultante está dado por dos tipos de oscilaciones una con frecuencia

angular natural 𝑤0 y otra frecuencia angular 𝑤 de la fuerza externa.

𝐴 = ±𝜌𝐹0𝑘.

𝜌 =1

|1 − (𝑤 𝑤0⁄ )2|.

Las oscilaciones cuando 𝑤0 → 𝑤 y su 𝜌 →∞ se produce el fenómeno de resonancia

cuya amplitud crece sin límite cuando sus frecuencias son muy cercanas y en el

caso de ser iguales se tienen una resonancia pura.

Existen algunos antecedentes de catástrofes que se relaciona con resonancia pura

debido al muy poco amortiguamiento y al haber logrado que la frecuencia de

vibración externa coincida con una de las frecuencias naturales de vibración.

4.4 PÉNDULOS (SERWAY & JEWETT, 2008; SPIEGEL, 1994; ZILL

& CULLEN, 2006)

Un péndulo simple consiste de una cuerda de largo 𝑙 soportada en un punto fijo en

un extremo y en el otro una partícula con una masa 𝑚. La cuerda cuya masa se

considera despreciable y se encuentra libre para vibrar.

Si la partícula se desplaza a una posición 𝑣 (ángulo que hace el hilo con la vertical)

y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

61

El péndulo describe una trayectoria circular,

un arco de una circunferencia de radio l. Se

estudia el movimiento en la dirección

tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de

masa m son dos

el peso mg

La tensión T del hilo

Figura 4.5. Péndulo

Se descompone el peso en la acción simultánea de dos componentes, 𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 en

la dirección tangencial y 𝑚𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 en la dirección radial.

Cuando 𝜃 > 0, la fuerza resultante está a la izquierda, y cuando 𝜃 < 0, la fuerza

resultante está a la derecha. La fuerza neta en magnitud y dirección está así dada

por –𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃. Puesto que la longitud del arco está dado por 𝑠 = 𝑙. 𝜃, de modo

que la velocidad de la masa es 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑙(

𝑑𝜃

𝑑𝑡) y por lo tanto su energía cinética es:

𝑇 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝑚(

𝑑𝑠

𝑑𝑡)2

=1

2𝑚𝑙2 (

𝑑𝜃

𝑑𝑡)2

.

Con el movimiento de la masa llega al punto de referencia más bajo en 0. La

energía potencial 𝑉 es el producto de su peso 𝑚𝑔 y su altura vertical

ℎ = 𝑙(1 − cos 𝜃) por arriba de 0, así 𝑉 = 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃). Si se suma 𝑇 y 𝑉 se tiene

una constante

1

2𝑚𝑙2 (

𝑑𝜃

𝑑𝑡)2

+𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝐶

Al derivar con respecto a 𝑡

𝑚𝑙2 (𝑑𝜃

𝑑𝑡) (

𝑑𝜃

𝑑𝑡)2

+𝑚𝑔𝑙(𝑠𝑒𝑛 𝜃)𝑑𝜃

𝑑𝑡= 0;

Se divide para el factor común 𝑚𝑙2𝑑𝜃

𝑑𝑡 y se obtiene la ecuación

l

0

62

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+𝑔

𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.

Cuando el ángulo 𝜃 es pequeño, no mayor a 15o se tiene que 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜃 y 𝑘 = 𝑔/𝑙

la igualdad anterior queda 𝜃′′ + 𝑘𝜃 = 0.

Al tener en cuenta el medio circundante se inserta el término 𝑐𝜃′ en la ecuación

anterior por la resistencia de fricción y se expresa de la siguiente manera:

𝜃′′ + 𝑏𝜃′ + 𝑘𝜃 = 0.

Dada la igualdad que se asume 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜃 es previsible que la ecuación anterior

no sea efectiva para periodos largos de oscilación.

4.5 EFECTO DE FRICCIÓN EN LOS SISTEMAS MASA – RESORTE

Y PÉNDULOS (SERWAY & JEWETT, 2008)

Prácticamente todos los sistemas mecánicos experimentan la fuerza de fricción;

por lo general, para el movimiento de vibración, esta fuerza se modela mediante un

término proporcional a la velocidad:

𝐹𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = −𝑏𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑏𝑦´

En donde:

b ≥ 0 Coeficiente de amortiguamiento

− Signo negativo, Indica la naturaleza de oposición de la

fuerza.

Las otras fuerzas que actúan sobre el oscilador se consideran por lo general como

externas al sistema, que pueden ser gravitacionales, eléctricas o magnéticas. Se

reúnen todas las fuerzas externas en una sola función conocida

𝐹𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎(𝑡) = 𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡)

La Ley de Newton proporciona entonces la ecuación diferencial para el oscilador

masa-resorte:

𝑚𝑦′′ = −𝑘𝑦 − 𝑏𝑦′ + 𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡)

63

𝑚𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑘𝑦 = 𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡)

𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡) = [𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎]𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ [𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜]

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ [𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧]𝑦

4.6 CONSERVACIÓN DE ENERGÍA (RESNICK, HALLIDAY, &

KRANE, 2006) (NAGLE & SAFF, S. F.)

El principio de la conservación de energía es útil cuando se realiza el diseño de

estructuras especialmente para el caso de vibraciones de resonancia destructiva.

Sea anotan las siguientes fórmulas:

1. Energía cinética: 𝐾 =1

2𝑚𝑣2 para la traslación de una masa con velocidad 𝑣.

2. Energía cinética: 𝐾 =1

2𝐼𝑤2 para rotación de un cuerpo con momento de

inercia 𝐼 y velocidad angular 𝑤.

3. Energía potencial: 𝑈 =1

2𝑘𝑥2 para un resorte con constante 𝑘 y que esta

estirado o comprimido una distancia 𝑥.

4. Energía potencial: 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ para la energía potencial gravitacional de una

masa 𝑚, que está a una altura h por encima del nivel de referencia (el nivel

en el que 𝑉 = 0), con tal que 𝑔 puede ser considerada esencialmente como

constante.

5. 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 representación matemática del teorema trabajo

energía.

6. La energía mecánica total se logra uniendo los literales1 y 3 y queda:

𝐸 =1

2𝑚𝑣2 +

1

2𝑘𝑥2

Es necesario tomar en cuenta el siguiente teorema:

Teorema 3

El trabajo neto realizado por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual al

cambio de su energía cinética.

64

La ley de la conservación de la energía mecánica está dada por la siguiente

expresión.

𝐸𝑖 = 𝐸𝑓 𝑜 𝐾𝑖 +𝑈𝑖 = 𝐸𝑓 + 𝑈𝑓

Definición 1

La energía mecánica total permanece constante en un sistema aislado donde solo

intervienen fuerzas conservativas.

Las fuerzas que operan dentro del sistema masa resorte pueden transformar la

energía cinética en potencial y viceversa, pero la energía potencial permanece

constante, en caso de actuar otras fuerzas como la fricción que es no conservativa

la energía total no permanece constante.

4.7 PLANO FASE DE OSCILADORES LINEALES(RESNICK,

HALLIDAY, & KRANE, 2006) (NAGLE & SAFF, S. F.)

Un vector solución de la ecuación 𝑋′ = 𝐴𝑋 + 𝐹 equivale a 𝑛 ecuaciones escalares

𝑋1 = ∅1(𝑡), … , 𝑋𝑛 = ∅𝑛(𝑡) y tiene la interpretación geométrica de un conjunto de

ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. Para 𝑛 = 2, las ecuaciones

𝑋1 = ∅1(𝑡), 𝑋2 = ∅2(𝑡) representan una curva en el plano 𝑥1𝑥2. Se acostumbra

llamar trayectoria a una curva en el plano y plano fase al plano 𝑋1𝑋2.

El plano fase es el plano 𝑥𝑦 en donde hipotéticamente se mueve una partícula.

El plano fase posición velocidad de un sistema mecánico no lineal resultado de un

sistema masa resorte en donde los resortes no son lineales, el modelo matemático

a considerar es el siguiente:

𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 + 𝛽𝑥3

La ecuación del movimiento de masa es

𝑚𝑥′ = −𝑘𝑥 + 𝛽𝑥3

Se introduce La velocidad

𝑦(𝑡) = 𝑥′(𝑡)

65

De la masa con posición 𝑥(𝑡),

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑦

𝑚𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑘𝑥 + 𝛽𝑥3

Una trayectoria en este sistema en el plano fase es una gráfica posición-velocidad

que ilustra el movimiento de la masa con el resorte.

La ecuación de una trayectoria típica es

1

2𝑚𝑦2 +

1

2𝑘𝑥2 −

1

4𝛽𝑥4 = 𝐸

El comportamiento de la masa depende del signo del término no lineal. El resorte

es

Duro si 𝛽 < 0

Blando si 𝛽 > 0.

Si 𝛽 < 0 entonces el punto crítico es (0,0). Cada trayectoria es

1

2𝑚𝑦2 +

1

2𝑘𝑥2 +

1

4|𝛽|𝑥4 = 𝐸 > 0

Sus gráficas de retrato fase y curvas solución.

Si 𝛽 > 0 entonces los puntos críticos son: (0,0) y (±√𝑘

𝛽 , 0) . Cada trayectoria es

1

2𝑚𝑦2 +

1

2𝑘𝑥2 −

1

4𝛽𝑥4 = 𝐸 < 0

4.8 PERIODO DE UN PÉNDULO NO LINEAL (SPIEGEL, 1994)

Los movimientos del péndulo para ángulos de valores grandes de 𝜃 y el movimiento

del péndulo por arriba así como la posibilidad de la resistencia proporcional a la

velocidad se consideran en la ecuación general del péndulo no lineal.

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 𝑐

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 𝑤2𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

66

El periodo de oscilación no amortiguada para cuando el péndulo se libera desde el

reposo con las condiciones iniciales 𝑥(0) = 𝜃(0) = 𝛼, 𝑦(0) = 𝜃′(0) = 0 está dado

por la siguiente fórmula

𝑇 =2𝜋

𝑤[1 +∑(

1.3… (2𝑛 − 1)

2.4… (2𝑛))

2

𝑘2𝑛∞

𝑛=1

]

= 𝑇0 [1 + (1

2)2

𝑘2 + (1.3

2.4)2

𝑘4 + … ]

Para el periodo T del péndulo no lineal en términos del periodo linealizado 𝑇0 =2𝜋

𝑤

y 𝑘 = 𝑠𝑒𝑛𝛼

2. La serie infinita proporciona el factor

𝑇

𝑇0 mediante el cual el periodo no

lineal T es mayor que el periodo linealizado.

4.9 CARACTERÍSTICAS DE VIBRACIONES LIBRES DE SISTEMAS

DE DOS GRADOS DE LIBERTAD (RAO, 2011)

La teoría de la vibración incluye los movimientos vibratorios y las fuerzas asociadas

con ellos.

En los sistemas vibratorios los grados de libertad se determinan de acuerdo al

número de coordenadas independientes que participan en el movimiento siendo así

se tiene que:

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎

Se tendrá una ecuación por cada grado de libertad que generalmente son de la

forma acoplada, al tratarse de un sistema de dos grados de libertad con vibración

libre sin amortiguamiento y sin fuerza externa, se tiene que sus ecuaciones son:

𝑚1𝑑2𝑡

𝑑𝑡2+ (𝑘1 + 𝑘2)𝑥1(𝑡) − 𝑘2𝑥2(𝑡) = 0

𝑚2𝑑2𝑡

𝑑𝑡2− 𝑘2𝑥1(𝑡)(𝑘2 + 𝑘3)𝑥2(𝑡)−= 0

Al igual que en los sistemas de un grado de libertad se tienen los elementos:

a. Resorte es un medio para almacenar energía potencial es decir es el medio

que posee elasticidad.

b. Masa e inercia es un medio que conserva la energía cinética.

67

c. Amortiguador que es el medio por el cual la energía vibratoria se convierte

gradualmente en calor o sonido y luego se pierde.

Amortiguamiento viscoso.- Es el mecanismo de amortiguamiento

que es ofrecido por un medio fluido como aire, agua, gas o aceite al

movimiento de un cuerpo en vibración.

Amortiguamiento e Coulomb o de fricción en seco.- La fuerza de

amortiguamiento está dada por una constante pero en dirección

contraria a la del movimiento del cuerpo vibratorio. No es otra cosa

que la fricción entre superficies.

Amortiguamiento debido a un material o sólido.- Se produce

cuando un cuerpo se deforma por efecto de la fricción entre los planos

internos.

4.10 APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

4.10.1 INTRODUCCIÓN

Antes de iniciar con la aplicación se recuerda que cuando se libera un cuerpo desde

una altura sobre el suelo, éste cae por la fuerza gravitacional que es la que atrae

todo cuerpo hacia la superficie terrestre. De

acuerdo a la segunda Ley de Newton

establece que la masa de un cuerpo

multiplicado por su aceleración es igual a la

Fuerza que actúa sobre él.

𝐹 = 𝑚𝑎,

en este caso como la aceleración que actúa

es la gravedad y se tiene:

𝐹 = 𝑚𝑔

Figura 4.6. Caída Libre

Si la función de posición de una partícula en un determinado tiempo está dada por

𝑥 = 𝑓(𝑡) y su velocidad se define 𝑣(𝑡) = 𝑓′(𝑡).

68

(1)

(2)

Entonces 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣, y su aceleración es 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= 𝑔, así se tiene

𝐹 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑

𝑑𝑡(𝑑𝑥

𝑑𝑡) = 𝑚

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

4.10.2 CAÍDA LIBRE

Problema:

Una masa de 25 g cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad. a)

Establezca el modelo matemático y condiciones para el movimiento, b) utilizando

el modelo establecido encuentre la distancia viajada y la velocidad conseguida 3 s

después de empezar su movimiento.

Modelo Matemático

Para modelar una solución al problema se analizan las condiciones del problema

así:

El cuerpo parte del reposo se tiene que su 𝑣 = 𝑣0 = 0, 𝑡 = 0

𝑔 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

Integrando ∫𝑔 𝑑𝑡 = ∫𝑑𝑣

𝑑𝑡 se tiene 𝑣 = 𝑣(𝑡) = 𝑔𝑡 + 𝐶1, dado que 𝑣 = 0 y 𝑡 = 0 se

tendrá que 𝐶1 = 𝑣0, lo que significa que 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑔𝑡 + 𝑣0 y al integrar nuevamente se

tiene ∫𝑣 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫(𝑔𝑡 + 𝑣0)𝑑𝑡 que resulta 𝑥(𝑡) =1

2𝑔𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝐶2, así mismo

considerando que 𝑡 = 0 y 𝑣0 = 0 y reemplazando se tiene 𝑥0 = 𝐶2. Por lo tanto

𝑥(𝑡) =1

2𝑔𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0.

Planteamiento del problema

Datos:

m =25g

69

𝑚 = 25 𝑔 𝑚 → masa

𝑔 = 9.8 𝑚

𝑠

𝑔 → aceleración de la

gravedad

𝑡 = 3 𝑠 𝑡 → tiempo

Determinar:

Literal a)

La ecuación del desplazamiento de la masa

Las condiciones del movimiento

Literal b)

Luego de 3 seg de empezar el movimiento

o Cuál es la velocidad 𝑣(3) = ?

o Cuál es el desplazamiento 𝑥(3) = ?

Solución:

Literal a)

Se utiliza la ecuación (2) para determinar la ecuación

𝑥(𝑡) =1

2𝑔𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0

Condiciones iniciales 𝑣0 = 0 y 𝑡 = 0

Literal b)

𝑥(𝑡) =1

2𝑔𝑡2

𝑥(𝑡) =1

2(9.8

𝑚

𝑠2(3𝑠)2

𝑥(𝑡) =1

2(9.8

𝑚

𝑠2(9𝑠2))

𝑥(𝑡) = 44.1𝑚.

𝑣(𝑡) = 𝑔𝑡 + 𝑣0

𝑣(𝑡) = 9,8𝑚

𝑠2(3𝑠)

𝑣(𝑡) = 29,4𝑚

𝑠

70

Interpretación de la Solución:

La ecuación que modela el movimiento del cuerpo que cae partiendo del reposo

se utiliza para calcular el recorrido luego de haber transcurrido 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

(𝑡 = 3𝑠) el resultado es que se encuentra a 𝑥(𝑡) = 44,1 𝑚 y cae con una

velocidad de 𝑣(𝑡) = 29,4 𝑚/𝑠.

A continuación se grafican el fenómeno físico con cambios en las condiciones

tanto de posición inicial como de velocidad inicial.

Figura 4.8. Caída libre de un cuerpo cuando cambia la posición inicial.

Conclusión

La Figura 4.8 ilustra el desplazamiento del cuerpo en caída libre cuando se deja

caer desde tres posiciones iniciales diferentes (𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 2), con

variaciones de tiempo de 1 [s]. Como se puede observar en la gráfica las tres

curvaturas son iguales. En la Tabla 4.1 se observan los valores de desplazamiento

con respecto a la variación del tiempo.

71

Tabla 4.1. Resultados de caída libre de un cuerpo

CAÍDA LIBRE POSICIÓN

Tiempo [s]

Desplazamiento [m]

𝒙𝟏 (azul)

𝒙𝟐 (rojo)

𝒙𝟑 (amarillo)

0 0 1 2

0,5 1,225 2,225 3,225

1 4,9 5,9 6,9

1,5 11,025 12,025 13,025

2 19,6 20,6 21,6

2,5 30,625 31,625 32,625

3 44,1 45,1 46,1

Figura 4.9. Caída libre de un cuerpo cuando cambia la velocidad inicial.

Conclusión

La Figura 4.9 ilustra el cambio de velocidad del cuerpo en caída libre cuando se

deja caer en tres condiciones iniciales de velocidad diferentes (𝑣1 = 0, 𝑣2 = 10, 𝑣3 =

−10), con variaciones de tiempo de 1 [s]. Como se puede observar en la gráfica las

tres rectas son paralelas. En la Tabla 4.2 se observan los valores de velocidad con

respecto a la variación del tiempo.

72

(1)

(2)

Tabla 4.2. Resultados de velocidad de caída libre de un cuerpo

Caída libre –Velocidad

Tiempo [s]

Velocidad [m/s]

𝒗𝟏 (azul)

𝒗𝟐 (rojo)

𝒗𝟑 (amarillo)

0 0 10 -10

1 9,8 19,8 -0,2

2 19,6 29,6 9,6

3 29,4 39,4 19,4

4 39,2 49,2 29,2

5 49 59 39

6 58,8 68,8 48,8

4.10.3 RESORTE VIBRANTE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

4.10.3.1 Problema 1

Un cuerpo cuya masa es de 2 kg suspendido de un resorte lo estira 5 centímetros,

si el peso se estira 25 centímetros hacia abajo de su posición de equilibrio y se

suelta: a) Establezca el modelo matemático y condiciones que describan el

movimiento b) Utilizando el modelo matemático del literal anterior encuentre la

velocidad y posición del cuerpo como una función del tiempo c) Encuentre la

amplitud, periodo, frecuencia del movimiento d) Determine la posición, velocidad,

aceleración, 𝜋

64𝑠𝑒𝑔 después de soltar el peso.

Modelo Matemático

|𝐹| = 𝑘|𝑥|

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥


Datos:

𝑠 = 10 𝑐𝑚 𝑠 → desplazamiento del resorte debido

a la masa

𝑚 = 2 𝑘𝑔 𝑚 → masa 𝑥 s

x

73

𝑥 = 25 𝑐𝑚 𝑥 → desplazamiento del resorte debido

al estiramiento.

Determinar:

Literal a)


Las condiciones del movimiento

Literal b)

Velocidad, y

Posición en un instante

Literal c)

Amplitud

Frecuencia

Periodo

Literal d)

En el instante 𝜋

6

Cuál es la posición 𝑥 (𝜋

6) = ?

Cuál es el velocidad 𝑣 (𝜋

6) = ?

Cuál es el aceleración 𝑣 (𝜋

6) = ?

Solución

Literal a)

Para determinar el valor de 𝑘 elasticidad del resorte con (1).

|𝐹| = 𝑘|𝑥|

2 = 𝑘1

0,1

𝑘 =2

10

Se aplica (2), se tiene la ecuación diferencial en su forma:

74

(3)

𝑚𝑑2𝑥


2 ∙𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −

2

10𝑥

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+4

10𝑥 = 0

Las condiciones iniciales son que 𝑡 = 0, 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0, 𝑥 =

1

4𝑚

Literal b)

Dado que la ecuación auxiliar es 𝑟2 +4

10= 0, al solucionarla se tiene que 𝑟

tiene raíces ±√10

5𝑖, que al ser números complejos la solución es de la

siguiente forma, por lo tanto la posición en un instante 𝑡 es:

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos√10

5𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛

√10

5𝑡

Así mismo en las condiciones iniciales se determinó que 𝑣 = 0 cuando 𝑡 =

0 por lo tanto se calcula el valor de 𝑣 en 𝑑𝑥

𝑑𝑡.

𝑥 = 𝐴 cos√10

5𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛

√10

5𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐴(

√10

5) 𝑠𝑒𝑛

√10

5𝑡 +√10

5𝐵 cos

√10

5𝑡

0 = −𝐴(√10

5) 𝑠𝑒𝑛

√10

5(0) + (

√10

5)𝐵 cos

√10

5(0)

𝐵 = 0

Quedando la solución para encontrar la distancia en un tiempo 𝑡:

𝑥 =1

4cos√10

5𝑡

Para determinar la velocidad se tiene que 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

75

𝑥 =1

4cos√10

5𝑡

𝑣(𝑡) =𝑑𝑥

𝑑𝑡= −

1

4(√10

5) 𝑠𝑒𝑛

√10

5𝑡

𝑣(𝑡) = −√10

20𝑠𝑒𝑛

√10

5𝑡

Literal c)

Dadas las condiciones iniciales 𝑡 = 0 se calcula el valor de A en la ecuación

de 𝑥 así:

1

4= 𝐴𝑐𝑜𝑠

√10

5(0) + 𝐵𝑠𝑒𝑛

√10

5(0)

𝐴 =1

4

La amplitud es el máximo desplazamiento que tiene la masa a partir de la

posición de equilibrio, por lo tanto en este problema se tiene que 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =

25 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, correspondiente al valor de A.

El periodo es el tiempo que tarda en dar un ciclo completo, este tiene relación

con la frecuencia angular, así:

Frecuencia angular:

𝑤 = √𝑘

𝑚=√2102= √

1

10

Frecuencia:

𝑓 =𝑤

2𝜋=

√ 110

6.28= 0,4967 𝑐/𝑠

Periodo:

𝑇 =2𝜋

𝑤=6,28

√ 110

= 2,013 𝑠

Literal d)

Cuando ha pasado el tiempo 𝑡 =𝜋

16 se aplica (3) y se tiene que la masa se

encuentra a:

(4)

76

𝑥(𝑡) =1

4cos√10

5(𝜋

16) =

1

4cos(7,12°)

𝑥(𝑡) =1

4(0.9923) = 0,2481 𝑚

Cuando ha pasado el tiempo 𝑡 =𝜋

16 se aplica (4) y se tiene que la velocidad

en ese instante encuentra a:

𝑣(𝑡) =𝑑𝑥

𝑑𝑡= −(

√10

20) sen

√10

5𝑡 = −(

√10

20) sen

√10

5(𝜋

64) = −(

√10

20) sen (1,779°)

𝑣(𝑡) = −(√10

20) (0.031) = −0,0498 𝑚 𝑠⁄

Para el cálculo de la aceleración se realiza a partir de la velocidad:

𝑎(𝑡) =𝑑𝑣

𝑑𝑡=1

10𝑐𝑜𝑠

√10

5𝑡

𝑎(𝑡) =1

10𝑐𝑜𝑠

√10

5𝑡 =

1

10𝑐𝑜𝑠

√10

5(𝜋

64) =

1

10cos(1,779°)

𝑎(𝑡) = 0.0999 𝑚 𝑠2⁄

Interpretación de resultados

Los resultados anteriores indican que cuando ha transcurrido 𝜋

16 la masa se

encuentra a 24,8 centímetros hacia abajo del punto de equilibrio y de regreso

viajando hacia arriba a una velocidad de 0,0498𝑚

𝑠 con aceleración de 0,099

𝑚

𝑠2.

A continuación se muestran las gráficas correspondientes a las condiciones

iniciales del problema y cambios en las mismas.

77

Figura 4.10. Curvas en donde varía el desplazamiento inicial.

Conclusión:

La Figura 4.10 ilustra las soluciones de la EDO para diferentes condiciones iniciales

en distintos puntos de partida (𝑥1 = 1/4, 𝑥2 = 0, 𝑥3 = −1/4), las posiciones

𝑥1, 𝑥3 son por debajo y sobre la posición de equilibrio respectivamente. En la Tabla

4.3 se observan los valores de velocidad con respecto a la variación del tiempo de

2,5 [s].

Las oscilaciones en los dos casos tienen la misma amplitud y continúan oscilando

debido a que se asume un estado ideal sin considerar amortiguamiento.

Tabla 4.3. Resultados de desplazamiento de acuerdo a distintas valores de

posición inicial.

Tiempo

[s]

Desplazamiento [m]

𝒙𝟏 (azul)

𝒙𝟐 (rojo)

𝒙𝟑 (amarillo)

0,00 0,250 0,000 -0,250

2,50 -0,003 0,000 0,003

5,00 -0,250 0,000 0,250

7,50 0,008 0,000 -0,008

10,00 0,250 0,000 -0,250

12,50 -0,013 0,000 0,013

15,00 -0,250 0,000 0,250

78

(1)

(3)

(2)

(5)

(4)

(6)

(7)

4.10.3.2 Problema 2

Una masa de 3 𝑘𝑔. está unida a un resorte con rigidez 𝑘 = 48𝑁/𝑚. La masa se

desplaza ½ 𝑚 a la izquierda del punto de equilibrio y recibe una velocidad de

2𝑚/𝑠𝑒𝑔 hacia la derecha. La fuerza de amortiguamiento es despreciable.

Determine el modelo matemático para el movimiento de la masa, junto con su

amplitud, periodo y frecuencia. ¿Cuánto tiempo después de la liberación del resorte

pasa la masa por la posición de equilibrio?

Modelo Matemático

Como se ha venido trabajando en los ejercicios anteriores se tiene que la

ecuación para vibraciones libres sin amortiguamiento es:

𝑃

𝑔

𝑑2𝑥


O lo que es lo mismo

𝑚𝑑2𝑥


Si se divide la ecuación para 𝑚 nos queda

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑥

Dado que 𝑤 = √𝑘

𝑚, se tiene

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑤2𝑥

Solución de ecuaciones diferenciales: Raíces en los números complejos

𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos𝑤𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

Que se puede expresar de forma alternativa

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜙)

79


Datos:

𝑘 = 48𝑁

𝑚 𝑘 → elasticidad del resorte

𝑚 = 3 𝑘𝑔 𝑚 → masa

𝑥 =1

2 𝑚 𝑥 → desplazamiento

𝑣 = 2𝑚

𝑠 𝑣 → velocidad

Determinar

Literal a)


Amplitud

Frecuencia

Periodo

Literal b)

En el instante 𝑡 cuando 𝑥(𝑡) = 0 luego de liberar el resorte

𝑡 = ?

Solución:

Literal a)

Con (4) se encuentra el valor de la frecuencia angular

𝑤 = √𝑘

𝑚= √

48

3= 4

𝑟𝑎𝑑

𝑠

Entonces según (5) la ecuación del movimiento queda de la siguiente

manera:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −42𝑥

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 16𝑥 = 0

80

En este caso la ecuación auxiliar es de la forma 𝑟2 + 𝑤2 = 0 se tendrá raíces

±𝑤𝑖 que implica la solución de ±4𝑖, cuya solución es de acuerdo a (6)

𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos 4𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 4𝑡

Ahora se calculan los valores de 𝐶1 y 𝐶2.

Las condiciones iniciales son 𝑥(0) = −0,5𝑚 puesto se desplaza a la

izquierda del punto de equilibrio.

Con 𝑥(0) = −0,5

𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos 4𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 4𝑡

−0,5 = 𝐶1 cos 4(0) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 4(0)

−0,5 = 𝐶1

Si se tiene 𝑣(𝑡) = 𝑥’ =𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2𝑚/𝑠, cuando 𝑡 = 0

𝑣(𝑡) = −𝐶1(4) sen 4𝑡 + 𝐶2(4) 𝑐𝑜𝑠 4𝑡

2 = −𝐶1(4) sen 4(0) + 𝐶2(4) 𝑐𝑜𝑠 4(0)

2 = 𝐶2(4) 𝑐𝑜𝑠 4(0)

4𝐶2 = 2

𝐶2 =1

2

Por lo tanto la ecuación del movimiento en un instante 𝑡 es la siguiente:

𝑥(𝑡) = −1

2cos 4𝑡 +

1

2 𝑠𝑒𝑛 4𝑡

Según (7), se puede expresar de forma alternativa

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜙)

En donde 𝐴 = √𝐶12 + 𝐶2

2 = √(−1

2)2

+ (1

2)2

= √2

4=√2

2

81

𝜙 Corresponde al ángulo fase y se calcula:

tan𝜙 =𝐶1𝐶2=−1212

= −1

Dado que 𝐶1 es negativo y 𝐶2 es positivo se tiene que 𝜙 está en el segundo

cuadrante, por lo tanto 𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1(−1) = −45°, en radianes sería 𝜙 = −𝜋

4 y

como corresponde al segundo cuadrante se tiene 135° que en radianes

significa 𝜙 =3

4𝜋

Quedando

𝑥(𝑡) =√2

2 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡 −

𝜋

4) =

√2

2 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡 +

3𝜋

4)

𝐴 Representa la Amplitud que tiene ya se calculó y su valores 𝐴 =√2

2

El periodo es igual a

𝑇 =2𝜋

𝑤=2𝜋

4=𝜋

2

La frecuencia es:

𝑓 =1

𝑇=1𝜋2

=2

𝜋

Literal b)

Para saber cuándo pasa por la posición de equilibrio se tiene que 𝑥(𝑡) = 0

𝑥(𝑡) =√2

2 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡 +

3𝜋

4)

Resolviendo en términos de t se tiene que esta ecuación siempre se

satisface cuando

4𝑡 + 𝜙 = 𝑛𝜋

82

Por lo tanto

4𝑡 +3𝜋

4= 𝑛𝜋

4𝑡 = 𝑛𝜋 −3𝜋

4

4𝑡 =4𝑛𝜋 − 3𝜋

4

𝑡 =4𝑛𝜋 − 3𝜋

16

Haciendo n = 1 que sería la primera vez que pasa por la posición de equilibrio

se tiene:

𝑡 =4𝜋 − 3𝜋

16=𝜋

16


La ecuación para calcular el desplazamiento está dado por 𝑥(𝑡) =

𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜙) la amplitud es de √2

2, la frecuencia

2

𝜋, el periodo

𝜋

2 para las

condiciones iniciales dadas.

Luego de liberar el resorte cuando 𝑡 =𝜋

16𝑠𝑒𝑔 el cuerpo pasa por la posición

de equilibrio.

A continuación se presentan las gráficas correspondientes al problema y

cambios en la posición inicial.

83

Figura 4.11. Curvas con variación en la posición inicial

Conclusión

La Figura 4.11 ilustra las soluciones de la EDO de un sistema masa-resorte para

diferentes condiciones con y sin amortiguamiento (𝑥1 = 0, 𝑥2 = −0.5, 𝑥3 = −1, 𝑥4 =

−2), en la condición 𝑥4 no se considera amortiguamiento como corresponde al

problema planteado. Los casos 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 son ejemplos de casos con

amortiguamiento a diferentes posiciones. En la Tabla 4.4 se muestra los valores de

posición del sistema con respecto a la variación del tiempo de 1 [s].

Tabla 4.4. Resultados de desplazamiento con distintos valores de posiciones

iniciales

Tiempo

[s]

Desplazamiento [m] Amort. 𝒃

𝒙𝟏 (azul)

𝒙𝟐 (rojo)

𝒙𝟑 (amarillo)

𝒙𝟒 (lila)

0 -0,500 0,000 -1,000 -2,000 2

1 -0,052 -0,378 0,275 1,307 2

2 0,567 0,495 0,640 0,291 2

3 -0,690 -0,268 -1,112 -1,688 2

4 0,335 -0,144 0,814 1,915 2

5 0,252 0,456 0,048 -0,816 2

6 -0,665 -0,453 -0,877 -0,848 2

84

(1)

(2)

4.10.3.3 Problema 3

Del siguiente modelo de un resorte en vibración con amortiguamiento. Determine

la ecuación que modela el movimiento para el resorte en vibración considerando

amortiguamiento. Además, de acuerdo a los siguientes datos calcule la frecuencia

de oscilación para el sistema masa – resorte.

Modelo Matemático

Ecuación diferencial que modela el sistema masa resorte

𝑚𝑥’’ + 𝑏𝑥′ + 𝑘𝑦 = 01

Solución a la ecuación diferencial

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 + 𝐶2𝑒

𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛𝐵𝑡|


Datos:

𝑘 = 250𝑘𝑔

𝑠2 𝑘 → elasticidad del resorte


𝑏 = 60 𝑘𝑔

𝑠𝑒𝑔 𝑏 → amortiguamiento

𝑥(0) = 0,3𝑚 𝑥(0) → desplazamiento inicial

𝑥′(0) = −0,1𝑚

𝑠 𝑥′(0) → velocidad inicial

Determinar:

𝒂) 𝑥(𝑡): ?

𝒃) 𝑓: ?

Solución

Literal a)

La ecuación que modela este caso de sistema según (1) es:

10𝑥’’ + 60𝑥′ + 250𝑦 = 0

𝑥’’ + 6𝑥′ + 25𝑦 = 0

1 Notación de Leibetz

85

El polinomio característico equivalente es 𝑟2 + 6𝑟 + 25 = 0, cuya solución es

𝑟1 = −3 + 4𝑖 y 𝑟2 = −3 − 4𝑖, luego al remitirnos nuevamente a la ecuación

diferencial tiene como solución:

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝐶2𝑒

−3𝑡𝑠𝑒𝑛4𝑡

Se determinar la ecuación del movimiento para los valores iniciales

𝑥(0) = 0,3𝑚 y luego con 𝑥’(0) = 0,1 𝑚/𝑠.

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝐶1𝑒


𝑥(0) = 0,3 𝑚

0,3 = 𝐶1𝑒−3(0)𝑐𝑜𝑠4(0) + 𝐶1𝑒

−3(0)𝑠𝑒𝑛4(0)

0,3 = 𝐶1

𝑥′(𝑡) = −3𝐶1𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 4𝐶1𝑒

−3𝑡𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 3𝐶2𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 4𝐶2𝑒


= 𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡(−3𝐶1 + 4𝐶2) + 𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛4𝑡(−4𝐶1 − 3𝐶2)

Como 𝑥′(𝑡) = −0,1 cuando 𝑡 = 0 entonces se tiene

𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡(−3𝐶1 + 4𝐶2) + 𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛4𝑡(−4𝐶1 − 3𝐶2) = 0,1

𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡(−3𝐶1 + 4𝐶2) = 0,1

Reemplazando 𝐶1 se tiene que:

−3(0,3) + 4𝐶2 = −0,1

−0,9 + 4𝐶2 = −0,1

4𝐶2 = −0,1 + 0,9

𝐶2 = 0,4

Por lo tanto la ecuación de 𝑥(𝑡) para las condiciones iniciales dadas es:

𝑥(𝑡) = 0,3𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 0,2𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛4𝑡

Literal b)

Para calcular la frecuencia de oscilación se aplica la fórmula

𝑓 =𝐵

2𝜋

Se calcula el valor de B y se obtiene:

𝐵 =√4𝑚𝑘 − 𝑏2

2𝑚=√4(10)(250) − (602)

2(10)=√10000 − 3600

20

86

𝐵 =√6400

20=80

20= 4

𝑓 =4

2𝜋=2

𝜋


La ecuación para calcular el desplazamiento está dado por

𝑥(𝑡) = 0,3𝑒−3𝑡𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 0,2𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛4𝑡 y la frecuencia de oscilación es de 2

𝜋.

A continuación se presentas las gráficas que corresponden a las condiciones del

problema y cambios en el amortiguamiento, así como las gráficas que muestran el

comportamiento cuando varía la elasticidad.

Figura 4.12. Curvas en donde varía el amortiguamiento

Conclusión

La Figura 4.12. ilustra las soluciones de la EDO de un sistema masa-resorte para

diferentes valores de amortiguamiento (𝑏1 = 6, 𝑏2 = 3, 𝑏3 = 0, 𝑏4 = 12), en la

condición 𝑥1 se considera amortiguamiento 𝑏 = 6 como corresponde al problema

planteado, en las demás gráficas se observa que las curvas excepto la que 𝑏 = 0

87

decaen hasta que llegan a cero. En la Tabla 4.5 se muestra los valores de posición

del sistema con respecto a la variación del tiempo de 1 [s].

Tabla 4.5. Resultados de desplazamiento con distintas valores de

amortiguamiento.

Tiempo [s]

Desplazamiento 𝒙(𝒕) [m]

𝒙𝟏para 𝑏 = 6 (azul)

𝒙𝟐 para 𝑏 = 3 (rojo)

𝒙𝟑 para 𝑏 = 0 (amarillo)

𝒙𝟒para 𝑏 = 12 (violeta)

0 0,3 0,3 0,3 0,3

1 -0,0172987 -0,01251242 0,10427714 0,02775274

2 0,00038228 -0,01525594 -0,24084104 0,00189706

3 1,80E-05 0,00023302 -0,24091213 0,00012963

4 -2,12E-06 0,0007655 0,10416571 8,86E-06

5 9,33E-08 7,96E-06 0,30000788 6,05E-07

6 -8,20E-10 -3,79E-05 0,06603607 4,14E-08

Figura 4.13. Curvas en donde varía la constante de elasticidad

Conclusión

La Figura 4.13 ilustra las soluciones de la EDO de un sistema masa-resorte para

diferentes valores de elasticidad (𝑘1 = 25, 𝑘2 = 10, 𝑘3 = 5, 𝑘4 = 50), con una misma

condición de amortiguamiento b=6 para todos los casos. Para una elasticidad

mayor el resorte oscila más antes de llegar nuevamente a su posición equilibrio. En

88

(1)

(3)

(2)

(4)

(5)

(6)

la Tabla 4.6 se muestra los valores de posición del sistema con respecto a la

variación del tiempo de 1 [s].

Tabla 4.6. Resultados de desplazamiento con distintas elasticidades del resorte

Tiempo [s]

Desplazamiento

𝒙𝟏para 𝑘 = 25 (azul)

𝒙𝟐 para 𝑘 = 10 (rojo)

𝒙𝟑 para 𝑘 = 5

(amarillo)

𝒙𝟒para 𝑘 = 50 (violeta)

0 0,3 0,3 0,3 0,3

1 -0,0172987 0,04158552 0,12842091 0,01557309

2 3,82E-04 0,00149368 0,04736508 0,00079591

3 1,80E-05 -2,27E-05 0,01742546 4,01E-05

4 -2,12E-06 -4,92E-06 0,00641047 1,99E-06

5 9,33E-08 -2,09E-07 0,00235828 9,73E-08

6 -8,20E-10 9,83E-10 0,00086756 4,69E-09

4.10.3.4 Problema 4

Considere el sistema masa resorte con dos masas como se muestra en la figura,

Modelo Matemático

𝒎𝟏𝒙𝟏

′′ = −𝒌𝟏𝒙𝟏 + 𝒌𝟐(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)

𝒎𝟐𝒙𝟏′′ = −𝒌𝟐(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)

𝑀𝑥′′ = 𝐾𝑥

𝐴 = 𝑀−1𝐾

𝑥′′ = 𝐴𝑥

Ecuación de la solución general:

𝑥(𝑡) = (𝑎1 cos𝑤1𝑡 + 𝑏1 sen𝑤1𝑡)𝑣1 + (𝑎2 cos𝑤2𝑡 + 𝑏2 sen𝑤2𝑡)𝑣2

89

Planteamiento del Problema

Datos:

𝑘1 = 100𝑁

𝑚 𝑘1 → elasticidad del resorte 1

𝑚1 = 2 𝑘𝑔 𝑚1 → masa del cuerpo 1

𝑘2 = 50 𝑁

𝑚 𝑘2 → elasticidad del resorte 1

𝑚2 = 1 𝑘𝑔 𝑚2 → masa del cuerpo 1

Determinar:

Las ecuaciones soluciones del sistema planteado

𝑥(𝑡): ?

Solución

A partir de (1) y (2) se obtiene la matriz 𝑀 y la Matriz 𝐾:

𝑀 = [2 00 1

], 𝐾 = [−150 5050 −50

]

De acuerdo al modelo en (3) se tiene

[2 00 1

] 𝑥′′ = [−150 5050 −50

] 𝑥

Para determinar 𝐴 se trabaja con (4)

𝑀−1 =𝐴𝑑𝑗(𝑀)

|𝑀|=[1 00 2

]

2= [1

20

0 1

]

Por lo tanto:𝐴 = [1

20

0 1] [−150 5050 −50

] = [−75 2550 −50

]

Por (5) se tiene:

𝑥′′ = [−75 2550 −50

] 𝑥

90

𝐴 − 𝜆𝐼 = [−75 2550 −50

] − [𝜆 00 𝜆

] = [−75 − 𝜆 2550 −50 − 𝜆

]

Resolviendo

|𝐴 − 𝜆𝐼| = |−75 − 𝜆 2550 −50 − 𝜆

| = (−75 − 𝜆)(−50 − 𝜆) − 50(25)

= 𝜆2 + 125𝜆 + 2500

= (𝜆 + 25)(𝜆 + 100) = 0

Los valores propios son: 𝜆1 = −25 , 𝜆2 = −100

Dado que los valores propios son negativos se tienen soluciones con frecuencias

circulares.

Para 𝜆1 = −25 se calcula el vector propio (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣1 = 0

[−75 + 25 2550 −50 + 25

] [𝑥1𝑦1] = [

00]

[−50 2550 −25

] [𝑥1𝑦1] = [

00]

Se tiene

−50𝑥1 + 25𝑦1 = 0 50𝑥1 − 25𝑦1 = 0

Las ecuaciones del sistema son dependientes lo que permite asignar un valor a 𝑥1,

en este caso 𝑥1 = 1, calculando 𝑦1 en la primera ecuación se tiene:

−50𝑥1 + 25𝑦1 = 0

−50(1) + 25𝑦1 = 0

25𝑦1 = 50

𝑦1 = 2

Por lo tanto el vector propio asociado al valor propio 𝜆 = −25 es

𝑣1 = [1,2]

Para 𝜆1 = −100 se calcula el vector propio (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣2 = 0

[−75 + 100 25

50 −50 + 100] [𝑥2𝑦2] = [

00]

[25 2550 50

] [𝑥2𝑦2] = [

00]

91

Se tiene

25𝑥2 + 25𝑦2 = 0 50𝑥2 − 25𝑦2 = 0

Las ecuaciones del sistema son dependientes lo que permite asignar un valor a 𝑥,

en éste caso 𝑥2 = 1, calculando 𝑦 en la primera ecuación se tiene:

25𝑥2 + 25𝑦2 = 0

25(1) + 25𝑦2 = 0

25𝑦2 = −25

𝑦2 = −1

Por lo tanto el vector propio asociado al valor propio 𝜆 = −100 es

𝑣2 = [1,−1]

La solución general está dada por:

𝑥(𝑡) = (𝑎1 cos 5𝑡 + 𝑏1 sen 5𝑡)𝑣1 + (𝑎2 cos 10𝑡 + 𝑏2 sen 10𝑡)𝑣2

𝑥(𝑡) = (𝑎1 cos 5𝑡 + 𝑏1 sen 5𝑡) [12] + (𝑎2 cos 10𝑡 + 𝑏2 sen 10𝑡) [

1,−1]

Si 𝐶1 = √𝑎12 + 𝑏1

2 y cos 𝛼1 =𝑎1

𝐶1 y sen𝛼1 =

𝑏1

𝐶1

𝑥1(𝑡) = (𝑎1 cos 5𝑡 + 𝑏1 sen 5𝑡) [12] = 𝐶1𝑐𝑜𝑠(5𝑡 − 𝛼1) [

12]

𝑥2(𝑡) = (𝑎2 cos 5𝑡 + 𝑏2 sen 10𝑡) [1−1] = 𝐶2𝑐𝑜𝑠(10𝑡 − 𝛼2) [

1−1]

Interpretación de los resultados:

La oscilación con frecuencia 𝑤 = 5 es en el mismo sentido y la amplitud del

movimiento de la segunda masa es el doble de la primera.

La oscilación con frecuencia 𝑤 = 10 es en sentido contrario y la amplitud del

movimiento de la segunda masa es el mismo de la primera.

A continuación se muestra las gráficas generadas por el sistema del problema y

con cambios en posición inicial

92

Figura 4.14. Curvas en donde varía la posición inicial de las masas

Conclusión

La Figura 4.14 ilustra las soluciones de la EDO de un sistema de dos masas-

resortes acoplados para diferentes condiciones de posición inicial (𝑥1 = 10, 𝑥2 =

20). La oscilación con frecuencia 𝑤 = 5 es en el mismo sentido y la amplitud del

movimiento de la segunda masa es el doble de la primera.

En la Tabla 4.7 se muestra los valores de posición del sistema con respecto a la


Tabla 4.7. Resultados de sistema masas acopladas con condiciones de

desplazamiento diferentes

Tiempo [s]

Desplazamiento Sistema

𝒙𝟏 Masa 1 (azul)

𝒙𝟏 Masa 2 (rojo)

0 10 20

1 -8,01143616 -16,0228723

2 2,83662185 5,67324371

3 3,46635318 6,93270636

4 -8,39071529 -16,7814306

5 9,97798279 19,9559656

6 -7,59687913 -15,1937583

93

Para 𝑥2(𝑡) = (𝑎2 cos 5𝑡 + 𝑏2 sen 10𝑡) [1−1] = 𝐶2𝑐𝑜𝑠(10𝑡 − 𝛼2) [

1−1]

Figura 4.15. Curvas en donde varía las posiciones de las masas

Conclusión

La Figura 4.15 ilustra las soluciones de la EDO de un sistema de dos masas-

resortes acoplados para diferentes condiciones de posición inicial (𝑥1 = 10), y

(𝑥2 = −10). La oscilación con frecuencia 𝑤 = 10 es en sentido contrario y la

amplitud del movimiento de la segunda masa es el mismo de la primera.

En la Tabla 4.8 se muestra los valores de posición del sistema con respecto a la


Tabla 4.8. Resultados de sistema masas acopladas con condiciones de

desplazamiento diferentes

Tiempo [s]




0 10 -10

1 2,83662185 -2,83662185

2 -8,39071529 8,39071529

3 -7,59687913 7,59687913

4 4,08082062 -4,08082062

5 9,91202812 -9,91202812

6 1,5425145 -1,5425145

94

Figura 4.16. Curvas en donde varía las velocidades de las masas

Conclusión

La Figura 4.16 ilustra las soluciones de un sistema acoplado de dos resortes donde

el primer sistema masa-resorte oscila con mayor amplitud en comparación al otro

sistema masa-resorte debido a que al resorte 1 se le aplica diferente velocidad y

opuesta al otro. En la Tabla 4.9 se muestra los valores de posición del sistema ante

diferentes condiciones iniciales de velocidad con respecto a la variación del tiempo

de 1 [s].

Tabla 4.9. Resultados de desplazamiento de masas acopladas

Tiempo [s]




0 0,3 0,300

1 -9,393 7,475

2 4,327 -5,415

3 1,317 -0,017

4 -5,564 7,390

5 9,387 -9,651

6 -10,386 8,410

95

4.10.3.5 Problema 5

Un objeto de 10 𝑘𝑔 está suspendido por dos muelles idénticos de constante elástica

𝐾 = 500 𝑁/𝑚 asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante

𝑏 = 90 𝑁 · 𝑠/𝑚.

Modelo Matemático

𝑤𝑛′ = 𝑤𝑛√1 − (

𝑐

𝑐𝑐𝑟)2

Datos:

𝑘 = 500𝑁

𝑚 𝑘 → elasticidad del resorte


𝑏 = 90 𝑁𝑠

𝑚 𝑏 → amortiguamiento

Determinar:

a. Coeficiente de amortiguamiento crítico

b. Factor de frecuencias (Ω)

c. Valor del pseudoperiodo justificando su existencia

d. Si, inicialmente, se separa de su posición de equilibrio estable 5𝑐𝑚,

calcular la energía total en ese instante

e. Indicar el principio de conservación de la energía que cumple

Solución

a. Calculo del coeficiente de amortiguamiento. Como los resortes están

acoplados en serie se tiene que,

1

𝐾𝑒𝑞=1

𝐾1+1

𝐾2=

1

500𝑁 𝑚⁄+

1

500𝑁 𝑚⁄=

2

500𝑁 𝑚⁄=

1

250𝑁 𝑚⁄

Por lo tanto la 𝑲𝒆𝒒 = 𝟐𝟓𝟎 𝑵/𝒎

b. Para calcular el factor de frecuencias se calcula el coeficiente de

amortiguamiento crítico y frecuencia natural.

𝑐𝑐𝑟 = 2√𝑘𝑚 = 2√2500 = 100𝑁.𝑠

𝑚,

96

𝑤𝑛 = √𝐾𝑒𝑞

𝑚= 5

𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑓 =𝑐

𝑐𝑐𝑟=90

100= 0.9

c. El Pseudoperiodo se calcula puesto que existe un amortiguamiento subcritico,

siendo necesario el cálculo de la frecuencia libre amortiguada.

𝑤𝑛′ = 𝑤𝑛√1 − (

𝑐

𝑐𝑐𝑟)2

= 5√1 − (90

100)2

= 2,18𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑇´ =2𝜋

𝑤′=2𝜋

2,18= 2,88 𝑠

d. El principio de la conservación de la energía total no se cumple puesto que

existe una fuerza amortiguadora que disipa la energía.


Se pueden acoplar varios resortes y según su forma se opera con los valores de la

elasticidad para obtener la del sistema completo.

97

CAPÍTULO 5

5 METODOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA DE TEORÍA

DE VIBRACIONES

5.1 GENERALIDADES EN EL PROCESO EDUCATIVO (ME)

La educación es una actividad compleja, donde intervienen actores y factores de

variada índole; sociales, económicos políticos, tecnológicos y fundamentalmente

de aprendizaje y conocimiento.

Para impartir conocimientos no solo se requiere de la destreza científica sino del

adiestramiento pedagógico del docente.

En el proceso de enseñanza aprendizaje o interaprendizaje al momento no se

puede decir que se sigue una corriente pedagógica pura puesto que es necesario

recurrir a diferentes propuestas pedagógicas que incentiven al estudiante y

enlazar con la realidad en la que se desenvuelve, es necesario partir con ese

conocimiento base para avanzar con los nuevos y se vaya produciendo ese

enlace o conexión que por mucho tiempo ha sido la principal problemática

educativa, la falta de secuencia y constante rompimiento de lo que se aprende;

también es necesario que el estudiante sea partícipe de la construcción de su

propio conocimiento, de manera que sea significativo y perdure, es cuando el

docente cambia su rol y se convierte en un ente que dinamiza el proceso de

aprendizaje, deja ser el que enseña conocimientos sino que impulsa al

estudiante a ser quien trabaje en el logro y desarrollo de sus capacidades, que

le permitirá aprender a aprender, lo hace un ente autónomo, indagador, curioso

y propositivo, si el estudiante debe alcanzar esos niveles implica que el docente

adapte su trabajo del aula de tal manera que lleve al logro de los estudiantes de

disponer conocimientos y destrezas que le permitan desempeñarse eficiente y

eficazmente fuera de las aulas por lo tanto es necesario un trabajo

interdisciplinario y que las instituciones educativas promuevan la adquisición y

pongan a disposición de docentes y estudiantes los materiales, instrumentos y

equipamiento necesario para el planteamiento y logro de desempeños

auténticos.

98

Lo anterior es muy significativo, sin embargo el estudiante debido al sistema

debe recibir diariamente parcelas de conocimiento puesto que el sistema

ecuatoriano al igual que otros en el mundo intenta llenar de muchísimo

conocimiento dividido en no menos de 12 asignaturas semanales con un

máximo de 4 periodos para las asignaturas de formación en ciencias, siendo el

idioma extranjero la única asignatura que dispone de 5 horas a la semana en el

bachillerato, situación que no permite un proceso coherente con lo propuesto,

sin embargo el docente al igual que el estudiante debe responder a éste sistema

y recurrir a muchas propuestas de otros docentes y a su ingenio para el trabajo

diario, es necesario trabajar de forma coherente desde que el niño inicia su

proceso educativo para al final lograr los perfiles en cada uno, es necesario

repensar la inclusión, es necesaria la convivencia sin embargo en grupos

numerosos con conflictos individuales y de grupo se ve interferido, sin embargo

se obligan a los docentes a realizar un trabajo diferenciado que sin la

capacitación adecuada es dificultoso puesto que atender capacidades diferentes

al mismo tiempo no hace posible un trabajo efectivo.

Los sistemas de enseñanza responden a las formas de gobierno y a las

tendencias políticas del momento que se vive, nuestro país no es ajeno a las

influencias externas y ha tenido varios intentos de implementar una política que

represente nuestra realidad sin embargo siempre se ha visto una marcada

influencia de países y realidades externas que no tuvieron resultados positivos.

Actualmente se cumple con el plan decenal de educación 2008 y al incluir en la

nueva constitución el buen vivir entre otros elementos que guían el proceso

educativo se ha dado un impulso por mejorar la infraestructura educativa,

proveer a las instituciones de equipamiento básico, promover un sistema de

capacitación para los docentes, sin embargo el nuevo modelo de gestión hasta

el momento no se concreta claramente las responsabilidades de las autoridades

de las instituciones educativas con sus responsabilidades y ofertas lo que implica

que no todos los establecimientos educativos han sido intervenidos para su

mejoramiento.

En nuevo sistema educativo está en marcha y apunta al cambio de la educación

en función de las potencialidades e identidad de quienes somos. Ecuador, un

99

país mega diverso con características climáticas, hidrográficas y orográficas

significativas y diferentes en sus pueblos, con tradiciones ancestrales que se

deben respetar y conservar, con recursos naturales que permiten el desarrollo

de nuestro país, con una lucha por cambiar nuestra historia de ser un país

exportador de materia prima y talentos a ser generadores de cambio y evidenciar

que es posible exportar productos elaborados con valor agregado y sello

ecuatoriano gracias a que nuestro compromiso es evidenciar propuestas que

generen la aplicación y aprovechamiento del talento y potencial natural que se

posee.

La matemática recibe un abordaje en los tres años de bachillerato dividida en

cuatro bloques: Numérico y funciones, algebra y geometría, matemática discreta

y estadística; en cada bloque se plantean las destrezas con criterio de

desempeño su mapa de conocimiento y sus indicadores de evaluación, lo que

permite al docente y estudiantes saber cuál es el camino y hacia dónde vamos.

En cuanto a la física que implica el estudio de los fenómenos naturales la nueva

propuesta enfatiza en un año el estudio de los fenómenos físicos y en el segundo

año se plantea como físico química para visualizar y comprender la relación entre

fenómenos físicos que responden a fenómenos químicos y éstos a su vez que

responden a fenómenos físicos.

Así mismo se plantea en el tercer año la opción para especializarse y fortalecer

la capacidad de deducción y abstracción de los estudiantes al profundizar en los

estudios en la matemática y en la física con las optativas de especialidad que se

les ha dado la categoría de superior. En Matemática Superior se contempla los

bloques de Números y Funciones y Algebra y Geometría.

5.2 MODELO PEDAGÓGICO

El país a través del Ministerio de Educación ha planteado los cambios en el

sistema educativo el mismo que se encuentra en los documentos legales y

pedagógicos que son la directriz de todo el accionar educativo, a continuación

se transcribe la información base que se encuentra en la página web del

ministerio.

100

5.2.1 BASES PEDAGÓGICAS DEL DISEÑO CURRICULAR2

Se sustenta en diversas concepciones teóricas y metodológicas del quehacer

educativo, en especial, se han considerado algunos de los principios de la

Pedagogía Crítica, que ubica al estudiantado como protagonista principal del

aprendizaje, dentro de diferentes estructuras metodológicas, con predominio de

las vías cognitivas y constructivistas, con predominio de las vías cognitivistas y

constructivistas. Estos referentes de orden teórico se integran de la siguiente

forma:

El desarrollo de la condición humana y la preparación para la

comprensión por lo que se orienta a la formación de ciudadanos que

practiquen valores que les permiten interactuar con la sociedad con respeto,

responsabilidad, honestidad y solidaridad, aplicando los principios del buen

vivir.

Figura 5.1 Proyección epistemológica según Ministerio de Educación del Ecuador

Proceso epistemológico: un pensamiento y modo de actuar lógico, crítico y

creativo a través del cumplimiento de los objetivos educativos que se evidencian

en el planteamiento de habilidades y conocimientos. El currículo propone la

ejecución de actividades extraídas de situaciones y problemas de la vida y el

2 Bases Pedagógicas del diseño curricular. (s.f.). Recuperado el 30 octubre de 2015, de http://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2012/08/Bases_Pedagogicas.pdf

http://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2012/08/Bases_Pedagogicas.pdf

101

empleo de métodos participativos de aprendizaje para ayudar al estudiantado a

alcanzar los logros de desempeño que propone el perfil de salida. Esto implica

Observar, analizar, comparar, ordenar y graficar las ideas esenciales y

secundarias interrelacionadas, buscando aspectos comunes relaciones

lógicas y generalizaciones de ideas.

Reflexionar, valorar, criticar y argumentar acerca de conceptos, hechos y

procesos de estudio.

Indagar y producir soluciones novedosas y diversas a los problemas, desde

los diferentes niveles de pensamiento.

Una visión crítica de la Pedagogía: aprendizaje productivo y significativo. Esta

visión epistemológica tiene sustento teórico en ciertas visiones de la Pedagogía

Crítica, que se fundamenta en lo esencial, en el incremento del protagonismo de

los estudiantes en el proceso educativo, en la interpretación y solución de

problemas, participando activamente en la transformación de la sociedad. En

esta perspectiva pedagógica el aprendizaje debe desarrollarse esencialmente

por vías productivas y significativas que dinamicen la metodología de estudio,

para llegar a la metacognición por procesos tales como:

Figura 5.2 Aprendizajes productivos y significativos3

3 http://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2012/08/Bases_Pedagogicas.pdf


102

5.2.2 ELEMENTOS DEL CURRÍCULO4:

Conocimientos.- El proceso educativo en el aula también ha sido influenciado

por los cambios, se deja de trabajar contenidos y se propone un avance en

trabajar destrezas se enfoca en el desarrollo de capacidades, que los estudiantes

dejen de ser receptores de contenidos sino que sean partícipes de la

construcción del conocimiento y los contenidos se convierten en el medio para

logro de su aprendizaje.

El empleo de las tecnologías de la información y la comunicación es otro

referente significativo dentro del proceso educativo es el uso de videos,

televisión, computadoras, internet, aulas virtuales y otras alternativas para

apoyar la enseñanza y aprendizaje.

Evaluación integradora de los resultados de aprendizajes: los docentes

deben evaluar de forma sistemática el desempeño de los estudiantes mediante

diferentes técnicas que permitan determinar en qué medida hay avances en el

dominio de las destrezas con criterios de desempeño en la evaluación se debe

incluir indicadores esenciales como la producción escrita de los estudiantes, la

argumentación de sus opiniones, la expresión oral y escrita de sus ideas, la

interpretación de lo estudiado, las relaciones que establecen con la vida cotidiana

y otras disciplinas afines de la manera como solucionan problemas reales a partir

de lo aprendido.

Se recomienda que en todo momento se aplique una evaluación integradora

de la formación intelectual con la formación de valores humanos, lo que debe

expresarse en las calificaciones o resultados que se registran oficialmente y que

se deben dar a conocer a los estudiantes durante el desarrollo de las actividades

y al final del proceso.

Como se puede evidenciar el proceso educativo está integrado que permite al

docente y estudiante mantener una interacción continua y en este punto es vital

trabajar y acercarse a la propuesta para que se haga realidad y se puedan

evidenciar los cambios.

4 Bases Pedagógicas del diseño curricular. (s.f.). Recuperado el 30 octubre de 2015, de http://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2012/08/Bases_Pedagogicas.pdf


103

Con respecto a la Matemática hay que puntualizar algunos elementos que guían

el trabajo del docente para el aprendizaje de los estudiantes.

5.2.3 CRITERIOS DEL AREA DE MATEMÁTICA5

5.2.3.1 ENFOQUE E IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA

La sociedad tecnológica que está cambiando constantemente, requiere de

personas que puedan pensar de manera cuantitativa para resolver problemas

creativa y eficientemente.

Los estudiantes requieren desarrollar su habilidad matemática, obtener

conocimientos fundamentales y contar con destrezas que les servirán para

comprender analíticamente el mundo y ser capaces de resolver los problemas

que surgirán en sus ámbitos profesional y personal. Por ello, la tarea

fundamental del docente es proveer un ambiente que integre objetivos,

conocimientos, aplicaciones, perspectivas, alternativas metodológicas y

evaluación significativa para que el estudiante desarrolle, a más de confianza en

su propia potencialidad matemática, gusto por la Matemática.

La Matemática es una de las asignaturas que, por su esencia

misma(estructura, lógica, formalidad, la demostración como su método, lenguaje

cuantitativo preciso y herramienta de todas las ciencias), facilita el desarrollo

del pensamiento y posibilita al sujeto conocedor integrarse a equipos de

trabajo interdisciplinario para resolver los problemas de la vida real, los

mismos que, actualmente, no pueden ser enfrentados a través de una sola

ciencia. Además, la sociedad tecnológica e informática en que se vive

requiere de individuos capaces de adaptarse a los cambios que ésta

fomenta; así, las destrezas matemáticas son capacidades fundamentales

sobre las cuales se cimientan otras destrezas requeridas en el mundo

laboral.

Eje curricular integrador del área.- Adquirir conceptos e instrumentos

matemáticos que desarrollen el pensamiento lógico, matemático y crítico para

5 Lineamientos Curriculares para el Bachillerato <General Unificado (s.f.). Recuperado el 30 octubre de 2015, de http://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2013/09/Lineamientos_Curriculares_Matematica_3_300913.pdf

104

resolver problemas mediante la elaboración de modelos.

Ejes de aprendizaje.- Incluye las siguientes macrodestrezas:

Abstracción, generalización, conjetura y demostración;

integración de conocimientos;

Comunicación de las ideas matemáticas; y

Uso de las tecnologías en la solución de los problemas.

El área de Matemática propone la elaboración de modelos como el mecanismo

para resolver problemas. Esta labor puede ser desarrollada por el docente en

algunas fases.

1. El problema.- Se plantearán problemas o situaciones cuya representación

matemática utilizará los conceptos matemáticos principales que se quieran

estudiar en dicho tema.

2. Experimentación. El docente propondrá diversas actividades a los

estudiantes para que se familiaricen con el problema o la situación. A partir

de estas representaciones, los estudiantes podrán conjeturar soluciones o

descubrir algunas “no soluciones”. El docente, en cambio, contará con el

material y el vocabulario suficientes para introducir los conceptos objetos de

estudio, y que serán indispensables para resolver el problema o explicar la

situación.

3. Modelar.- De los datos se pasa a una representación de los elementos del

problema y de las relaciones existentes entre ellos mediante conceptos

matemáticos; en otras palabras, se elabora un modelo del problema, con lo

cual se obtiene, a su vez, un problema matemático.

4. Interpretación y Generalización.- Una vez obtenido el modelo, se resuelve

el problema matemático, se interpreta la solución matemática para dar

solución al problema original.

5.2.3.2 OBJETIVOS DEL ÁREA DE MATEMÁTICA

1. Comprender la modelización y utilizarla para la resolución de problemas.

2. Desarrollar una compresión integral de las funciones elementales: su

concepto, sus representaciones y sus propiedades. Adicionalmente,

identificar y resolver problemas que pueden ser modelados a través de las

funciones elementales.

105

3. Dominar las operaciones básicas en el conjunto de números reales: suma,

resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.

4. Realizar cálculos mentales, con papel y lápiz y con ayuda de tecnología.

5. Estimar el orden de magnitud del resultado de operaciones entre números.

6. Usar conocimientos geométricos como herramientas para

comprender problemas en otras áreas de la matemática y otras disciplinas.

7. Reconocer si una cantidad o expresión algebraica se adecúa

razonablemente a la solución de un problema.

8. Decidir qué unidades y escalas son apropiadas en la solución de un

problema.

9. Desarrollar exactitud en la toma de datos y estimar los errores de

aproximación.

10. Reconocer los diferentes métodos de demostración y aplicarlos

adecuadamente.

11. Contextualizar la solución matemática en las condiciones reales o hipotéticas

del problema

5.3 MODELACIÓN MATEMÁTICA COMO METODOLOGÍA DE

APRENDIZAJE

5.3.1 MODELACIÓN MATEMÁTICA

Un modelo matemático surge a partir de la interpretación de situaciones del

mundo real, cuyos detalles se representan mediante lenguaje matemático.

El proceso de la modelación matemática se observa en la gráfica:

Figura 5.3 Modelación matemática6

6 http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/modelos-fasciculo17.pdf

106

Un modelo matemático consiste en una lista de variables que describe la

situación dada, junto con una o más ecuaciones que relacione estas variables

que son conocidas o se supone son válidas.

Un modelo matemático satisfactorio está sujeto a dos requisitos contradictorios.

Debe ser suficientemente detallado para representar la situación del

mundo real con relativa exactitud.

Debe ser sencillo para hacer práctico el análisis matemático.7

Los modelos matemáticos se consolidan gradualmente por lo que permite

obtener resultados precisos.

5.3.2 PROCESO DE ENSEÑANAZA APRENDIZAJE PLANTEADO

El proceso de aprendizaje propuesto tiene un acercamiento al modelo

constructivista con énfasis en el desarrollo del pensamiento crítico, es necesario

que el estudiante sea el gestor de su nuevo conocimiento y basado en

desempeños auténticos, no se trata de un conocimiento por el conocimiento sino

de dotar al estudiante de las herramientas para que pueda utilizar estas

capacidades en las actividades de su vida estudiantil o profesional.

Al tener un carácter integrador, formación personal y en las ciencias debe

considerarse todos los aspectos que promuevan el Buen Vivir en todos los

aspectos de la vida de los estudiantes.

La propuesta de trabajo para el aula implica tres momentos básicos:

1. Anticipación

2. Construcción del conocimiento

3. Consolidación

El trabajo en el aula se complementa con las tareas extraclase que tiene la

finalidad de reforzar lo aprendido.

Anticipación.- Es el primer momento que involucra el espacio de impacto para

generar las expectativas en los estudiantes, de establecer las pautas para el

trabajo colaborativo, en sí de abrir el camino para el nuevo conocimiento porque

7 EDWARS, PENNEY, Ecuaciones Diferenciales, Cuarta Edición, Página 5

107

en este momento es cuando se debe recurrir a la memoria selectiva del

estudiante o como explica Vygotsky es en la zona de desarrollo potencial en

donde se encuentra los conocimientos significativos y se deben activar para el

trabajo inmediato.

Durante este proceso se tendrá aspectos que son considerados como

elementos de la didáctica en el proceso de aprendizaje como son:

Motivación

Conocimientos previos

Experiencia concreta

Construcción del Conocimiento.- Luego que el estudiante se ha “enganchado”

con el nuevo tema y tiene la expectativa por el nuevo aprendizaje es necesario

que el docente facilite el andamiaje para que el estudiante vaya construyendo el

nuevo aprendizaje a partir de la comprensión, del análisis, síntesis, aplicación y

evaluación que se deben realizar cuando se desarrollan estrategias como la

lectura de documentos, elaboración de resúmenes, estudios de casos,

elaboración de organizadores gráficos, proyectos y la resolución de

problemas, siendo en este momento en el que al estudiante le surgen dudas,

inquietudes que propicia el nuevo conocimiento y que al ser compartidas entre

pares y con el docente se va desarrollando el nuevo conocimiento y es cuando

el docente debe fortalecer los aspectos que son necesarios abordar.

Durante este momento se desarrollan procesos o más bien actividades de

acuerdo al tema que generalmente debe incluir un momento de:

Lectura

Extraer ideas principales

Plantearse inquietudes

Recurrir a los conocimientos previos

Validar el nuevo conocimiento

Graficar el nuevo conocimiento

Aplicar el nuevo conocimiento

108

Consolidación.- Esta etapa es muy importante puesto que es la etapa en donde

se consolida el aprendizaje y es el momento en que el estudiante debe hacerse

una autoevaluación de ¿qué aprendí?, ¿cómo aprendí? ¿con qué aprendi? y

¿para qué aprendí?, en este momento se considera el apropiado para realizar

trabajos en grupos con la finalidad de que entre pares puedan aportar de acuerdo

a su nivel y conocimiento y se aproveche para hacer aplicaciones y generar

problemas e interrogantes que permitan que este nuevo conocimiento no se

quede en la zona de desarrollo próximo.

En este momento se deben tomar aspectos como:

Retomar el conocimiento y realizar una estructura

Evaluación

Autoevaluación

Trabajo Extraclase.- Consiste en actividades que permitan al estudiante

retomar lo aprendido, hacer una retrospección a que conocimientos son parte de

si y como debe actuar con ellos, que debe hacer y cómo hacerlo, generalmente

en este espacio se dejara trabajos para que sean realizados fuera del aula y se

encontrarán los siguientes elementos:

Elaborar un informe del trabajo en el aula

Plantearse interrogantes del tema

Plantearse ejercicios

Resolver ejercicios planteados de tarea.

109

5.4 MODELO DE GUÍA TALLER DE APRENDIZAJE PARA

MODELAMIENTO MATEMATICO DE VIBRACIONES

La estructura del modelo de guía se realiza con finalidad de que se puedan

presentar ejemplificaciones de cómo trabajar cualquier tema:

1. RESUMEN

Se establece una metodología de aprendizaje que contempla:

palabras claves que hacen referencia al experimento de vibraciones y

las ecuaciones diferenciales ordinarias que se utilizan para la

modelación y sus soluciones.

las ecuaciones diferenciales que modelan el problema

Planteamiento de un problema específico de vibraciones

La solución del problema.

2. PROBLEMA

Se plantea un problema específico que permita desarrollar todo el

proceso de modelamiento matemático mediante EDOs8.

3. TEORIA

i. Solución Analítica

Se debe hacer referencia a los conceptos y fórmulas que se utilizan para

dar solución, en este caso EDOS.

4. MODELAMIENTO

i. Experimento.- En este punto se dará las instrucciones básicas para que

el estudiante sea quien realice el proceso de experimentación y registro

de datos de la experiencia.

ii. Gráfico del fenómeno vibratorio

Una vez realizado el experimento, el estudiante realizará un diagrama

que muestre el proceso de experimentación.

iii. Planteamiento del problema

Es necesario identificar los datos que se dispone y que es lo que se

8 EDOs: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

110

quiere determinar para dar solución al problema y organizar el proceso

de solución del problema.

iv. Solución del Problema

Partiendo del planteamiento del problema con los datos e incógnitas

identificadas se procede a dar solución al problema, se detalla el proceso

de cómo se desarrolla la obtención, en este caso, del modelo matemático

y luego como se lo aplica para dar la solución al problema específico

planteado.

v. Representación gráfica

En este apartado se debe plantear el uso de software de aplicaciones

matemáticas para graficar el comportamiento que tiene el fenómeno

físico en este caso las vibraciones y realizar análisis y comparaciones de

acuerdo a condiciones iniciales.

vi. Interpretación de la Solución

Se debe dar respuesta al problema planteado y es necesario explicar

cuáles son los valores significativos y que representan en el fenómeno

estudiado de las vibraciones.

5. CONCLUSIONES

Es necesario realizar una autoevaluación del trabajo realizado y los

resultados obtenidos con los que se puede concretar las ventajas del mismo

y hacia donde lleva los conocimientos adquiridos.

6. RECOMENDACIONES.

Se dará a conocer los cambios que serán necesarios hacer para mejorar o

reforzar el proceso de trabajo o el tratamiento del problema y buscar logros

significativos que permitan obtener resultados positivos del trabajo realizado.

7. EVALUACION

Las instituciones educativas deben incluir en su organización de clase el

proceso de evaluación y acreditación por lo que en este apartado deben

constar las técnicas e instrumentos que utilice para este fin.

111

5.4.1 MODELO MATEMÁTICO DE VIBRACIONES – GUÍA TALLER DE

APRENDIZAJE

1. RESUMEN

La guía detalla el procedimiento que usted debe realizar para lograr el

aprendizaje de modelar sistemas masa resorte. Se toma en cuenta las

siguientes palabras clave:

Experimento.- Es una acción que consiste en provocar un fenómeno en

unas condiciones determinadas que permite determinar

cualidades o verificar resultados, tiene la particularidad que

se puede repetir en condiciones similares y específicas.

Oscilación o Vibración.- Movimiento oscilatorio es el movimiento que se

repite parcial o totalmente cerca de la posición de equilibrio

estable. Si la oscilación se caracteriza por el cambio de

magnitudes mecánicas, como el desplazamiento, la

velocidad, la aceleración, la presión, etc., dicho movimiento

se denomina oscilación mecánica. Si cada valor de la

magnitud que cambia durante la oscilación se repite a

iguales intervalos de tiempo, tal oscilación se denomina

periódica. El intervalo de tiempo T necesario para la

realización de una oscilación completa se denomina período

de la oscilación y la magnitud inversa al período, se

denomina frecuencia de la oscilación periódica. Un ejemplo

de movimiento oscilatorio periódico se tiene cuando se

suspende verticalmente un cuerpo del extremo de un

resorte.

Ecuación diferencial ordinaria Una ecuación que contiene las derivadas o

diferenciales de una variable dependiente, se denomina

ecuación diferencial. 𝑓(𝑡, 𝑢(𝑡), 𝑢’(𝑡)) = 0

Una ecuación diferencial se denomina ordinaria si depende

de una sola variable y si su dependencia es de más de una

variable independiente se denomina ecuación diferencial

112

parcial. En adelante notaremos como: 𝑥 variable

independiente, y variable dependiente y se usarán los dos

tipos de notaciones para las derivadas ordinarias.9

Solución de Ecuaciones Diferenciales:

𝑦 = 𝑘 𝑒−∫ 𝑎(𝑠)𝑑𝑠𝑡0 + 𝑒−∫ 𝑎(𝑠)𝑑𝑠

𝑡0 ∫ 𝑒∫ 𝑎(𝑠)𝑑𝑠

𝑡0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑡

0

2. PROBLEMA

Una masa de 100 𝑔𝑟 estira un resorte 10cm, determine la ecuación que

modele el movimiento si se estira 5 cm por debajo de la posición de equilibrio

y luego se suelta, considere el medio en que oscila el resorte en su estado

ideal.

3. TEORIA

a) Solución Analítica

𝑚𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑘𝑦 = 𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡)

𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡) = [𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎]𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ [𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜]

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ [𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧]𝑦

En el caso que 𝐹(𝑥) = 0 la ecuación es homogénea y cuando 𝐹(𝑥) ≠ 0 la

ecuación no es homogénea.

𝑚𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑘𝑦 = 0 Homogénea

𝑚𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑘𝑦 = 𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡) No homogénea

Soluciones de EDOs homogeneas cuando el polinomio característico es:

En el caso que las raíces sean reales y distintas 𝜆1 ≠ 𝜆1 ≠ ⋯ . 𝜆𝑛

entonces 𝑦1(𝑡) = 𝑒𝜆1𝑡 y 𝑦2(𝑡) = 𝑒

𝜆2𝑡 son soluciones por lo tanto se tiene

que la solución general de la ecuación diferencial está dada por:

𝑦𝑔 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒𝜆1𝑥 + 𝑐2𝑒

𝜆2𝑥 +⋯+ 𝑐𝑛𝑒𝜆𝑛𝑥 =∑𝑐𝑘𝑒

𝜆𝑘𝑥

𝑛

𝑘=1

9 MURRAY, R. SPIEGEL, Ecuaciones diferenciales aplicadas, Tercera edición (1994), Página 3.

113

En el caso que las raíces sean reales y algunas de multiplicidad 𝜆1 =

𝜆2 = ⋯ 𝜆𝑛 con soluciones 𝑦1(𝑡) = 𝑒𝜆1𝑡 , 𝑦2(𝑡) = 𝑡𝑒

𝜆2𝑡 cuya solución

general de la ecuación diferencial está dada por:

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒𝜆1𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

𝜆2𝑥 +⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛𝑒𝜆𝑛𝑥

Las raíces también pueden ser en el conjunto de los números

complejos 𝜆1 = 𝛼 + 𝑖𝛽, 𝜆2 = 𝛼 − 𝑖𝛽, con 𝑦1(𝑥) = 𝑐1𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥 y 𝑦2(𝑥) =

𝑐2𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥, cuando se tiene una ecuación diferencial de orden dos por lo

cual se tiene la solución general.

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥 + 𝑐2𝑒

(𝛼−𝑖𝛽)𝑥

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑒𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑐2𝑒

𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥

𝑦𝑔 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥)

Los tipos de raíces no siempre serán únicos cuando se soluciona una

ecuación diferencial, sino que se podrán obtener al mismo tiempo por lo

menos dos de ellas en cuyo caso será necesario integrar las mismas de

acuerdo a las características de cada solución como se establecen en los

tipos de soluciones antes tratadas.

4. MODELAMIENTO

a) Experimento.- Gráfico del fenómeno vibratorio

Conforme realice los experimentos registre la información obtenida en la

tabla dispuesta para el registro de datos:

Figura 1.- Sistema con resortes y masas físicas.

114

Se identifican las variables que intervienen en el experimento como son:

la masa que se coloca en el extremo del resorte, el desplazamiento que

sufre el resorte cuando éste es afectado por la masa.

En esta guía se registran los datos de la simulación realizada en

https://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-

lab_es.html.

Figura 2.- Captura de pantalla de la simulación con resortes

Además el estudiante puede realizar el experimento físicamente en el

siguiente material didáctico.

https://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_es.html

https://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_es.html

115

Figura 3.- Material didáctico para experimento de vibraciones

En esta guía se realizarán experimentos en la aplicación multimedia en la página

web antes menciona. Se realizan las siguientes mediciones:

Tabla 1: Mediciones de la longitud del sistema masa-resorte luego de

colocar una masa en el extremo del resorte.

Experimento 1 Experimento 2 Experimento 3

Masa 1 Long. Masa 2 Long. Masa 3 Long.

3

Resorte 1 50 36 100 41 250 56

Resorte 2 50 38 100 44,5 250 67

Resorte 3 50 33,5 100 36 250 44

Resorte 4 50 34,5 100 38 250 49

Al realizar el experimento se observa que los resortes sufren diferentes

estiramientos

Por cada experimento realice la operación que considere que permite

obtener un resultado significativo.

Se resta el valor de la longitud alcanzada luego del estiramiento

disminuyendo la longitud en la que se encuentra la posición de

equilibrio.

116

Tabla 2: Estiramiento con cada masa


Masa 1 Estiramiento Masa 2 Estiramiento Masa 3 Estiramiento

Resorte 1 50 5 100 10 250 25

Resorte 2 50 7 100 13,5 250 36

Resorte 3 50 2,5 100 5 250 13

Resorte 4 50 3,5 100 7 250 18

Se realiza la operación de la división entre la masa y el

desplazamiento.

Tabla 3: Cuadro del resultado de dividir masa/estiramiento


Resorte 1 10 10 10

Resorte 2 7 7 7

Resorte 3 20 20 19

Resorte 4 14 14 14

Mediciones del desplazamiento teniendo en cuenta cambios en el medio en

que se produce el desplazamiento, las mediciones anteriores se hacen en el

aire ahora se probarán los cambios cuando se simula el vacío y cuando se

simula un medio muy denso.

Tabla 4: Mediciones del desplazamiento teniendo en cuenta cambio en el amortiguamiento.


Masa

1

Long.

1

Masa

2

Long.

2

Masa

3

Long.

3

Resorte 1 50 36 100 41 250 55

Resorte 2 50 38 100 45 250 66

Resorte 3 50 33,5 100 36 250 49

Resorte 4 50 34,5 100 38 250 43

Al observar el comportamiento del sistema en las nuevas condiciones se

extrae las siguientes características:

117

En un medio denso se puede observar que el desplazamiento varía

muy poco en algunos casos sin embargo al visualizar la simulación se

puede notar que el tiempo de vibración es corto.

En un medio que no existe amortiguamiento se puede observar que

la vibración es indefinida independiente de la masa que se ubique en

el resorte, lo que sí se puede observar es que cambia el tamaño del

estiramiento

La dureza del resorte incide en el desplazamiento y vibración del

sistema.

b) Planteamiento del problema

Datos:

𝑚𝑎𝑠𝑎: 𝑚 = 100𝑔𝑟

𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑏 = 0

𝑥(0) = 5 𝑐𝑚

Condiciones iniciales:

𝑡(0) = 0

𝑣(0) = 0

Determinar:

La ecuación que modela el espacio en cualquier instante 𝑡.

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑘

𝑥(𝑡) =?

c) Solución del Problema

La posición de la masa luego de cada medición es igual a 𝑙𝑜 +

𝛿𝑒𝑠𝑡donde 𝑙𝑜 es la longitud del resorte y 𝛿𝑒𝑠𝑡 es el alargamiento

producido por el peso de la masa y que produce el desplazamiento.

Los resultados muestran que al realizar la división entre la masa y el

desplazamiento existe un valor constante que se repite en los

experimentos realizados con el mismo resorte y diferentes masas.

118

Por lo que se puede decir que cuando se coloca una masa en el extremo

de un resorte el valor de la masa es igual al producto del desplazamiento

por una constante:

𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

Por lo anterior se deduce que el valor de la constante (𝑘) cambia de

acuerdo al resorte, así se puede observar con la misma masa que cuanto

más se estira un resorte el valor de la constante es menor y cuando

menos se estira la constante es mayor.

Por lo tanto se tiene que si un peso actúa sobre un resorte, se produce

una vibración hasta el momento que la masa queda en un equilibrio

estático que no es otra cosa que existen dos fuerzas una que atrae hacia

abajo que corresponde a la gravedad (𝑃 = 𝑚𝑔) y la otra que corresponde

al resorte que actúa en forma contraria (𝑘𝑥).

𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝑘𝜹𝒆𝒔𝒕

Según la segunda ley de Newton se tiene que en un cuerpo la suma

algebraica de las fuerzas que actúan sobre él y es igual a la masa por el

vector aceleración, 𝐹 = 𝑚𝑎 que al considerar la igualdad del peso se

tiene 𝑎 = 𝑔

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑚𝑎 = 𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑣)

Donde 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 es la aceleración del cuerpo en el instante t, como 𝑣 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

se tiene que 𝑎 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

Si la masa deflexiona una distancia +𝑥 con respecto a la posición de

equilibrio estático, entonces la fuerza del resorte es – 𝑘(𝑥 + 𝛿𝑒𝑠𝑡). Ahora

se tiene

𝑚𝑎 = −𝑘(𝑥 + 𝜹𝒆𝒔𝒕) +𝑊

Como se dijo antes 𝑊 = −𝑘𝜹𝒆𝒔𝒕 por lo tanto

𝑚𝑎 = −𝑘𝑥

119

Reemplazando el valor de 𝑎 se tiene:

𝑚𝑑2𝑥


Que se escribirá 𝑚𝑥′′ = −𝑘𝑥 y se obtiene el modelo matemático:

𝑚𝑥′′ + 𝑘𝑥 = 0

Otra fuerza que interviene en el experimento es la del medio en donde

se da el movimiento, generalmente se hace con el aire en la simulación

se pudo observar que el cambio entre la oscilación en un medio al vacío

continua oscilando permanentemente y en el caso de un medio denso

se estira de igual forma que la anterior con cambio en el tiempo de

vibración por lo que la resistencia que se presenta es otra fuerza

presente:

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑏𝑣(𝑡)

Por lo anterior se tiene que las fuerzas que actúan durante el

experimento al colocar un peso en el extremo de un resorte son:

𝐹 = 𝑃 = 𝑚𝑔

𝐹 = 𝑘𝑥

𝐹 = 𝑏𝑣(𝑡)

Al establecer las relaciones entre las fuerzas se tiene que para que el

sistema esté en equilibrio existe una fuerza que mueve el objeto hacia

abajo y otras fuerzas que hacen que el objeto recupere la posición de

equilibrio por lo tanto la fuerza del resorte es contraria por lo tanto – 𝑘𝑥 y

la resistencia del medio (aire) también actúa en sentido contrario – 𝑏𝑣(𝑡),

por lo tanto

𝑚𝑔 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣(𝑡)

que se escribe

𝑚𝑎 + 𝑘𝑥 + 𝑏𝑣(𝑡) = 0

120

Por lo tanto la ecuación que modela el movimiento de un sistema masa

resorte es:

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0

Escrito en otra notación:

𝑚𝑥′′ + 𝑏𝑥′ + 𝑘𝑥 = 0

Siendo la anterior una ecuación diferencial, se debe recurrir a los

procedimientos conocidos para resolver las ecuaciones diferenciales

homogéneas de segundo orden, para ello se puede recurrir al

polinomio característico: 𝑟2 + 𝑟𝑥 + 𝑞 = 0

Ahora se utiliza el modelo matemático desarrollado para solucionar el

problema planteado:

Como no se conoce el valor de la constante 𝑘 se debe calcular su valor:

𝐹 = 𝑘𝑥

100

10= 𝑘

𝑘 = 10

Reemplazando los valores se tiene:

𝑚𝑥′′ + 𝑏𝑥′ + 𝑘𝑥 = 0

100𝑥′′ + 0𝑥′ + 10𝑥 = 0

10𝑥′′ + 𝑥 = 0

10𝑟2 + 1 = 0

Resolviendo se tiene que la solución es 𝑟 = ±√−1

10= ±

√10

10𝑖

Como las raíces son elementos de los números complejos se tiene que

la solución de la ecuación diferencial es:

121

𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos√10

10𝑡 +𝐶2 sen

√10

10𝑡

De acuerdo a las condiciones iniciales: 𝑥(𝑡) = 5 y 𝑡 = 0 se tiene:

5 = 𝐶1 cos√10

10(0) +𝐶2 sen

√10

10(0)

5 = 𝐶1 cos√10

10(0)

𝐶1 = 5𝑐𝑚.

Además la 𝑣 = 0 cuando 𝑡 = 0

𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos√10

10𝑡 +𝐶2 sen

√10

10𝑡

𝑥′(𝑡) = −𝐶1√10

10sen

√10

10𝑡 +𝐶2

√10

10cos√10

10𝑡

𝑥′(0) = 𝐶2√10

10cos√10

10(0)

0 = 𝐶2√10

10(1)

𝐶2 = 0

d) Representación gráfica

Figura guia_3.- Vibración del sistema en condiciones iniciales a diferentes distancias

122

e) Interpretación de la Solución

La ecuación diferencial producto de la modelación de un sistema

masa-resorte vertical permite calcular el desplazamiento en un

instante 𝑡.

La solución del problema anterior demuestra que es correcto el valor

de la constante, el valor calculado coincide con el valor medido.

En la gráfica se puede observar que la vibración se muestra de forma

simétrica y permanece en el tiempo de la misma forma, esto debido a

que se considera en un medio sin amortiguamiento.

Adicionalmente se observará las gráficas cuando se cambia la condición del

estiramiento inicial con desplazamientos diferentes.

Figura guia_4.- Vibración del sistema en condiciones iniciales

La gráfica muestra que si cambia las condiciones iniciales en cuanto al

estiramiento inicial la gráfica de la oscilación tiene la misma forma cambiando la

amplitud y el sentido para los casos de estiramiento y contracción del resorte.

123

8. CONCLUSIONES

La realización de un experimento permite al estudiante simular el

fenómeno real de vibraciones.

La utilización de software que simule el fenómeno muestra su

comportamiento.

El modelo matemático del fenómeno de vibraciones permite analizar el

problema ya que la Matemática es el soporte base de la física.

El fenómeno de vibraciones representado matemáticamente, puede ser

resuelto en forma directa, mediante métodos numéricos o recurriendo a

un software específico disponible en la academia.

9. RECOMENDACIONES.

Identificar el fenómeno vibratorio

Modelar Matemáticamente

Resolver problemas mediante software

Ilustrar gráficamente el fenómeno, su comportamiento y su solución

Revisar el tema en textos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de

Nagle, Edwards, Lara, entre otros.

10. EVALUACION

La rúbrica para valorar el trabajo en el aula es la siguiente:

Estudiantes

TRABAJO DE GRUPO TRABAJO EN CLASE

PA

RTI

CIP

A C

ON

IDEA

S

DEM

UES

TRA

C

ON

OC

IMIE

NTO

SE IN

TEG

RA

AL

EQU

IPO

TRA

BA

JA E

N S

U R

EPO

RTE

PR

OM

UEV

E EL

TRA

BA

JO

REA

LIZA

AC

TIV

IDA

D

PR

OP

UES

TA

ENTR

EGA

AC

TIV

IDA

D

REA

LIZA

PR

EGU

NTA

S

AP

OYA

A S

US

CO

MP

AÑ

ERO

S

2 2 2 2 2 3 3 2

XX

YY

ZZ

124

Una vez entregado el trabajo grupal los estudiantes deben realizar una

autoevaluación del trabajo en clase, la misma que constará en lo siguiente:

Preguntas de autoevaluación de la clase: 1. Luego del trabajo realizado en clase usted está en capacidad de:

Identificar: ____________________________________________________________ Operar : ____________________________________________________________ Proponer: ____________________________________________________________ Realizar: ____________________________________________________________ Cambiar: ____________________________________________________________ Otros: ____________________________________________________________

2. El tiempo dedicado para aprender es suficiente o cuánto cree que le hace falta ____________________________________________________________

3. Como hizo hoy en la clase para aprender. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

4. Considera que hizo falta algo para que usted aprenda mejor ____________________________________________________________

El estudiante debe hacer un trabajo extraclase para afianzar sus conocimientos,

el mismo se plantea de la siguiente forma:

Proceso de Refuerzo:

1. Para completar el estudio realice un informe de su trabajo en clase.

2. Plantee interrogantes del tema y dé sus respuestas.

3. De ser el caso plantee ejemplos, revise| notas y analice qué

características tienen y si está de acuerdo a lo aprendido.

4. Resuelva ejercicios propuestos por el docente

5. Recuerde la pregunta de la final de la clase y respóndala nuevamente y

haga un análisis de la respuesta dada por usted durante la clase.

125

CAPÍTULO 6

6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 CONCLUSIONES

En el trabajo se evidencia que es necesario conocer los fundamentos de

la matemática en temas como el Algebra Lineal, Derivadas, Integrales,

Ecuaciones Diferenciales y Vibraciones.

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta matemática muy

significativa para representar fenómenos físicos que se presentan en la

naturaleza.

Los textos en su gran mayoría desarrollan los procesos de solución a las

diferentes tipos de ecuaciones y sistemas, dando al lector una variedad

de ejercicios modelos, sin embargo el desarrollo de problemas en

determinados temas como la aplicación en sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales es limitado.

En el presente documento se desarrolla los temas elementales de

ecuaciones diferenciales para que se puedan resolver aplicaciones

sencillas del sistema masa resorte.

El uso de las herramientas tecnológicas facilitan encontrar las soluciones

a ecuaciones diferenciales y la demostración de cómo actúa un sistema

masa resorte.

Plantear un proceso de clase implica un proceso que permita al estudiante

ser el actor principal de su aprendizaje.

El docente es un ente principal, responsable de generar el andamiaje

necesario para que el proceso de aprendizaje de los estudiantes sea de

calidad, promoviendo el desarrollo de pensamiento crítico cuando se

incentiva el aprendizaje autónomo.

126

En la actualidad es necesario involucrar la tecnología en el aula para

generar espacios atractivos y que despierten la curiosidad de los

estudiantes haciendo referencias.

6.2 RECOMENDACIONES

Los docentes de bachillerato deben trabajar Algebra Lineal para que los

estudiantes aprendan el manejo de valores y vectores propios, los temas

de derivada, integrales y avanzar a ecuaciones diferenciales sencillas.

Incentivar a los estudiantes que durante el proceso de su formación tienen

como prioridad aprender para la vida y uno de los campos en los que se

debe formar es el conocimiento de la naturaleza, en este caso destacan

las vibraciones, sus aplicaciones y comportamiento básico.

Los docentes de Física y Matemática deberían coordinar el trabajo para

que los estudiantes dispongan de los conocimientos Matemáticos que es

la herramienta basé, para la solución de problemas de la Física luego de

conocer el fenómeno físico.

Los textos que se preparan para trabajar con los estudiantes de

bachillerato deben incluir sistemas sencillos y detallados para su

comprensión.

Debe incentivarse a los docentes para su preparación y capacitación en el

manejo de software con herramientas matemáticas que proveen de

procesos para: solucionar ecuaciones diferenciales como Scientific,

MatLab y Geogebra entre otros; simular fenómenos físicos como los

expuestos en https://phet.colorado.edu/es/simulation.

Que los estudiantes dispongan de forma anticipada del material necesario

para realizar el proceso de aprendizaje de forma que el proceso de

anticipación sea dinámico y cumpla con los objetivos de preparar al

estudiante para el nuevo conocimiento.

https://phet.colorado.edu/es/simulation

127

Para el proceso de modelación se debe realizar en lo posible los

experimentos en forma directa o por simuladores con la finalidad de

conectar el aprendizaje con la vida real, es decir que el nuevo aprendizaje

tenga sentido y transcendencia para el estudiante.

La guía general propuesta sea utilizada para trabajar modelación

matemática y en caso específico para vibraciones la guía desarrollada en

el presente documento.

128

7 GLOSARIO DE TERMINOS

Diagonalización.- Consiste en el proceso de encontrar una matriz

diagonal a partir de los valores propios de tal forma que se cumpla la

igualdad A=PDP-1.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).- Son igualdades en las que

aparecen derivadas o diferenciales.

Currículo.- Es la integración de diferentes elementos que forman parte del

proceso educativo, como metodología, planes, contenidos, evaluación que

promueven la formación integral de un estudiante que cursa dicho proceso.

Destreza con criterio de desempeño.- Es un elemento del currículo

Nacional de Educación que integra: destreza + conocimiento + nivel de

complejidad.

Epistemología. La epistemología en general es una rama filosófica que estudia el

conocimiento científico, en cuanto a los conceptos y métodos que usa, y las leyes

que formula10.

Evaluación.- Proceso por el cual se tiene herramientas para verificar el

avance o resultados de un acto, en educación permite monitorear el

desarrollo del aprendizaje del estudiante con la finalidad de intervenir de

forma oportuna y llegar al aprendizaje.

Experimentar.- Proceso que permite acercarse a la realidad de un

fenómeno y que se puede repetir con diferentes condiciones para obtener

conclusiones.

10 Epistemología de la Educación.9 de noviembre de 2011. Hilda Firgenman. Recuerado de http://educacion.laguia2000.com/general/epistemologia-de-la-educacion#ixzz3uOA5pyUz

http://educacion.laguia2000.com/general/epistemologia-de-la-educacion#ixzz3uOA5pyUz

129

Modelamiento.- Es traducir a código matemático una situación o

fenómeno que se produce en la vida real, para ello es necesario someterlo

a pruebas, validar e interpretar los resultados.

Operación.- En matemática es la relación básica que se da entre dos

conjuntos.

Orden en EDO.- Es l número de derivada a la que se encuentra una

variable en la ecuación diferencial

Pedagogía Crítica.- Es una forma de enseñanza aprendizaje que

promueve en el estudiante la criticidad a través del cuestionamiento de las

situaciones tratadas.

Valor Propio.- Es un valor que corresponde a una raíz de la ecuación

característica. El mismo puede ser un número real o complejo y permite

una transformación a un vector sin cambiar su dirección.

Vector Propio.- Es el vector no nulo de una matriz asociado a un valor

propio que verifica la igualdad:

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜. 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 .

130

8 8. BIBLIOGRÁFIA

1. Benalcazar, H. (2012). Algebra Lineal y aplicaciones (Primera). Quito.

2. Castro, A. (2008). Algebra lineal con hoja de cálculo/ Linear Algebra with

Calculus Sheet. Editorial Trillas Sa De Cv.

3. Edwards, C. H., & Penney, D. E. (2001). Ecuaciones diferenciales. Pearson

Educación.

4. Espinoza, E. (2007). Análisis Matemático (Primera, Vol. IV). Lima, Perú.

5. Grossman, S. I. (2008). Álgebra lineal. McGraw-Hill Interamericana de

España S.L.

6. Lara, J. (2007). Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Tercera). Quito.

7. Lay, D. C. (2006). Álgebra Lineal y sus aplicaciones. Pearson/Addison-

Wesley.

8. Nagle, K., & Saff. (s. f.). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores

en la frontera.

9. Rao, S. S. (2011). Vibraciones Mecánicas. Prentice Hall.

10. Saff, E. B., & Snider, A. D. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas

con valores en la frontera. Pearson Educación.

11. Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2008). Fisica Para Ciencias e Ingenieria

(Séptima, Vol. I). Cengage Learning.

12. Spiegel, M. (1994). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas (Cuarta). México:

Prentice Hall Hispanoamerica.

13. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2006). Ecuaciones diferenciales con problemas

de valores en la frontera. International Thomson.

131

14. Ministerio de Educación: http://educacion.gob.ec/wp-

content/uploads/downloads/2012/08/Bases_Pedagogicas.pdf.

15. Ministerio de Educación, http://educacion.gob.ec/wp-

content/uploads/downloads/2013/09/Lineamientos_Matematica_090913.p

df.pdf. 2015.

16. Ministerio de Educación, http://educacion.gob.ec/wp-

content/uploads/downloads/2014/10/Matematica-Guia.pdf,2015.

132

9 ANEXOS

133

9.1 ANEXO I

CÓDIGOS PARA GRÁFICAS DE VIBRACIONES EN

MATLAB

9.1.1 PROBLEMA 1 - CAÍDA LIBRE POSICIÓN

clc, clear all, close all syms t

y1(t)=1/2*9.8*t^2 y2(t)=1/2*9.8*t^2+1 y3(t)=1/2*9.8*t^2+2 figure hold on grid on ezplot(y1(t)) ezplot(y2(t)) ezplot(y3(t)) legend('x(t)=1/2*9.8*t^2 x(0)=0 Condición

inicial','x(t)=1/2*9.8*t^2+1 x(0)=1',... 'x(t)=1/2*9.8*t^2+2 x(0)=2','Location','Best')

xlabel('t (s)') ylabel('x (m)') title('')

ax=gca ax.YLim=[0,50]; ax.XLim=[0,3]; ax.FontSize=12; ax.LineWidth=0.5;

9.1.2 PROBLEMA 2 – RESORTES

clc, clear all, close all syms x(t) Dx=diff(x); x1(t)=dsolve(diff(x,2)==-16*x, x(0)==-0.5, Dx(0)==2); x2(t)=dsolve(diff(x,2)==-16*x, x(0)==0, Dx(0)==2); x3(t)=dsolve(diff(x,2)==-16*x, x(0)==-1, Dx(0)==2); x4(t)=dsolve(diff(x,2)==-16*x, x(0)==-2, Dx(0)==0);

figure hold on grid on ezplot(x1(t)) ezplot(x2(t)) ezplot(x3(t))

134

ezplot(x4(t)) legend('d^2x/dt^2+16x=0 x(0)=-0.5 dx/dt(0)=2 Condiciones

iniciales',... 'd^2x/dt^2+16x=0 x(0)=0 dx/dt(0)=2','d^2x/dt^2+16x=0

x(0)=-1 dx/dt(0)=2',... 'd^2x/dt^2+16x=0 x(0)=-2 dx/dt(0)=0','Location','Best')

xlabel('t (s)') ylabel('x (m)') title('')

ax=gca ax.XLim=[0,10]; ax.FontSize=12;

135

9.2 ANEXO II

PLANIFICACIONES DE CLASE PARA ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS Y VIBRACIONES

9.2.1 GUÍA DE TRABAJO PARA APRENDER ECUACIONES

DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Y COEFICIENTES

CONSTANTES.

Objetivo: Resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

ANTICIPACION

Para iniciar con el tema se plantea establecer las características y diferencias que

existen entre el grupo de expresiones planteadas

1) 𝑥 + 3 = 0 2)𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 3) 𝑥(𝑥 − 6) = 9 4) 4𝑥 = 7

Es importante recordar las características de las ecuaciones tratadas con

anterioridad entre ellas, las ecuaciones lineales, donde se destaca su variable de

primer grado.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias que como se trabajó antes son igualdades

que contienen derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una

sola variable independiente.

A partir de este momento se establece que el tema de estudio son las Ecuaciones

diferenciales lineales de primer orden.

Una vez que los estudiantes conocen el tema ahora tienen la inquietud de cómo

resuelven estas nuevas ecuaciones.

136

CONSTRUCCION DEL CONOCIMIENTO

Se presenta un documento con la información básica de ecuaciones diferenciales

lineales.

Conforme realizan la lectura del documento los estudiantes en primer lugar

diferencian e identifican las ecuaciones diferenciales lineales.

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+⋯+ 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑎0(𝑥)

𝑦

𝑥= 𝑔(𝑥)

Según la forma general los estudiantes deben determinar las características:

Y es la variable dependiente

Todas las derivadas tienen exponente uno

Los coeficientes 𝑎0(𝑥), 𝑎𝑛−1(𝑥),… 𝑎𝑛(𝑥), 𝑔(𝑥) dependen solo de x

Para aclarar el tema se presentan ejemplos para que determinen si son lineales

o no lo son.

Ejemplos:

i. 𝑥2𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥2𝑦 = 𝑐2

ii. 𝑦2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 𝑥

iii. 𝑎1(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥)

Luego se procederá a trabajar con la ecuación diferencial lineal homogénea

𝐴(𝑥)𝑦𝑛 + 𝐵(𝑥)𝑦𝑛−1 +⋯+ 𝐶(𝑥)𝑦 = 0

Se solicita a los estudiantes escribir la ecuación como en el álgebra elemental

teniendo en cuenta las características de la variable independiente que se tiene

y a partir de allí se observa la cualidad de polinomio característico al polinomio

obtenido de la forma de escritura.

Como al inicio de la clase se refresco estas ideas de las ecuaciones de diferentes

grados, los estudiantes recurrirán a cualquier método para la resolución de la

137

ecuación y determinar las soluciones y se hará hincapié en los tipos de

soluciones que solíamos encontrar y lo que significaban.

Caso 1.- Dos números reales (Raíces reales y diferentes)

Caso 2.- Un número real (Raíces reales e iguales)

Caso 3.- Dos número complejos conjugados (Raíces imaginarias.)

Ahora es necesario el desarrollo de un ejercicio práctico que se plantea y se

procede a su solución con el aporte de los estudiantes.

Ejercicio:

1) Hallar la solución general de 𝟐𝒚’’ − 𝟓𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟎

Los estudiantes deben plantear el polinomio característico que queda

2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 y luego se procede a resolver quedando las soluciones son:

𝑥1 = 3 y 𝑥2 = −1

2

Al analizar las soluciones se observa que son del primer caso raíces reales, el

estudiante con el apoyo del documento analizarán el tipo de solución que

corresponde a este caso y procederán a escribir la solución, en este caso es:

𝑦 = 𝐶1𝑒3𝑥 + 𝐶2𝑒

−1

2𝑥

2) Hallar la solución general de 𝟒𝒚’’ − 𝟒𝒚′ + 𝒚 = 𝟎

Como en el caso anterior los estudiantes proceden a encontrar el polinomio

característico y resolverlo.

En este caso el polinomio tiene como solución (2𝑥 − 1)2 lo que significa que se

tiene una raíz que se encuentra repetida dos veces, así:

𝑥1 =1

2, 𝑥2 =

1

2 entonces se tiene que 𝑥 =

1

2 con 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2

Al analizar las soluciones se observa que son del segundo caso raíces reales, el


138


𝑦 = 𝐶1𝑒1

2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

1

2𝑥

3) Hallar la solución general de 𝒚’’ − 2𝑦′ + 3𝑦 = 𝟎

Como en el caso anterior los estudiantes proceden a encontrar el polinomio

característico y resolverlo.

En este caso el polinomio tiene como solución 𝑥1 = 1 + √2𝑖 y 𝑥1 = 1 − √2𝑖 lo que

significa que se tiene como raíz un número complejo y su conjugado.

Al analizar las soluciones se observa que son del tercer caso raíces reales, el



𝑦 = 𝐶1 cos √2𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 √2𝑥

Se planteará un nuevo problema al que los estudiantes propondrán una solución de

acuerdo a las condiciones solicitadas.

Hallar la solución general de: 𝒚’’ − 𝟔𝑦′ + 9𝑦 = 𝟎

CONSOLIDACIÓN

Con la finalidad de consolidar el trabajo y con fines de acreditación, se propone a

los estudiantes:

Realizar un trabajo grupal, los grupos estarán integrados hasta por 3 estudiantes

reunidos por afinidad, el mismo consiste en explicar los casos que se pueden

presentar en la solución de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y la

resolución de 3 ejercicios prácticos.

Uso de la tecnología

Con el uso de software matemático podemos diagramar los resultados de las

ecuaciones diferenciales haciendo la gráfica teniendo en cuenta los posibles

cambios que se den y como varía la gráfica y por ende su ecuación con nuevos

valores por lo que se puede generalizar que al resolver este tipo de ecuaciones

139

conocidos los valores de amortiguamiento, constante de elasticidad se pueden

cambiar y en forma inmediata vemos el comportamiento en la gráfica respectiva,

luego se procede con escritura de las ecuaciones.

Figuras 8.1 Familia de curvas de la solución de ecuaciones diferenciales

140

En la gráfica se puede observar la familia de curvas para las ecuaciones trabajadas

en clase, en las mismas hay variación de los valores de 𝐶1 𝑦 𝐶2.


Estudiantes


PA

RTI

CIP

A C

ON

IDEA

S

DEM

UES

TRA

CO

NO

CIM

IEN

TO

SE IN

TEG

RA

AL

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D

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AC

TIV

IDA

D

REA

LIZA

PR

EGU

NTA

S

AP

OYA

A S

US

CO

MP

AÑ

ERO

S

2 2 2 2 2 3 3 2

XX

YY

ZZ



Preguntas de autoevaluación de la clase:

1. Luego del trabajo realizado en clase usted está en capacidad de: Identificar: ____________________________________________________________ Operar : ____________________________________________________________ Proponer: ____________________________________________________________ Realizar: ____________________________________________________________ Cambiar: ____________________________________________________________ Otros: ____________________________________________________________


3. Como hizo hoy en la clase para aprender. ____________________________________________________________

141

____________________________________________________________ ____________________________________________________________

4. Considera que hizo falta hoy algo para que usted aprenda mejor ____________________________________________________________

El estudiante debe hacer un trabajo extraclase para afianzar sus conocimientos, el

mismo se plantea de la siguiente forma:



2. Plantee interrogantes del tema y dé sus respuestas.

3. De ser el caso plantee ejemplos, revise| notas y analice qué características

tienen y si está de acuerdo a lo aprendido.


5. Recuerde la pregunta de la final de la clase y respóndala nuevamente y haga

un análisis de la respuesta dada por usted durante la clase.

142

9.2.2 GUÍA DE TRABAJO PARA APRENDER A RESOLVER PROBLEMAS DE

VIBRACIONES DE UN SISTEMA MASA RESORTE.

Objetivo: Aplicar la segunda ley de Newton para determinar la ecuación diferencial

que solucione un ejemplo de sistema masa-resorte.

ANTICIPACION

Se muestra a los estudiantes el siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=UdMRgTF6IxY

Una vez concluido el video se plantean un interrogatorio y conversatorio sobre de

las características que pudieron observar en el video y que parte de la matemática

será objeto de estudio, como se relacionan con objetos que están en su entorno.

A partir de este momento se establece que el tema de estudio son las Ecuaciones

Diferenciales y sus aplicaciones en sistemas masas-resortes.

Una vez que los estudiantes conocen el tema ahora tienen la inquietud de cómo

realizar los cálculos que corresponden a los movimientos de los resortes.

CONSTRUCCION DEL CONOCIMIENTO

Se presenta un documento con la información básica de las vibraciones, que son,

que tipos se puede encontrar, sus características, como se estructura un sistema

143

resorte, como se transforma al diagrama plano, cuál es el modelo matemático que

rige el movimiento.

Conforme realizan la lectura del documento los estudiantes realizarán un

organizador gráfico que incluya los temas tratados y trasladarán a una forma de

expresión diferente de lo que se ha comprendido.

Por ejemplo

Una vez identificado los elementos de un sistema masa-resorte se relaciona con el

gráfico de idealización.

Enseguida el estudiante identificará la ecuación para calcular las soluciones al

sistema, para este caso debe relacionar la ecuación diferencial con lo que conoce

para solucionar las ecuaciones de segundo grado, puesto que se verificará que la

ecuación auxiliar tiene dicha forma.

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑥2= −𝑘𝑥

A continuación se aplicará la metodología del estudio de casos en donde los

estudiantes analizarán el ejemplo resuelto, en el mismo el estudiante detallará el

Resorte

Puede comprimirse

Puede expandirse

Tiene una Ctte. de

elasticidad (k)

Suave (k<0)

Lineal (k=0)

Duro (k>0) Masa

Soporte Idealización

144

proceso de solución, determinará el tipo de solución que responde a los valores

complejos de las raíces, luego estarán operando y verificando operaciones para

encontrar la ecuación del movimiento en instante 𝑡 de tiempo, además identificará

los procesos de cálculo de la frecuencia angular, frecuencia natural, periodo y

amplitud.

En este punto el docente debe interactuar con los estudiantes mediante

interrogatorios sobre la temática y de acuerdo a las inquietudes se aclararán dudas

y reforzarán las temáticas.

Se planteará un nuevo problema al que los estudiantes propondrán una solución de

acuerdo a las condiciones solicitadas.

CONSOLIDACIÓN

Con la finalidad de consolidar el trabajo y con fines de acreditación, se propone a

los estudiantes:

Realizar un trabajo grupal con grupos de 3 estudiantes, el mismo consiste en

explicar de una manera diferente el sistema masa resorte y la resolución de 2

ejercicios prácticos.


Estudiantes


PA

RTI

CIP

A C

ON

IDEA

S

DEM

UES

TRA

CO

NO

CIM

IEN

TO

SE IN

TEG

RA

AL

EQU

IPO

TRA

BA

JA E

N S

U R

EPO

RTE

PR

OM

UEV

E EL

TRA

BA

JO

REA

LIZA

AC

TIV

IDA

D

PR

OP

UES

TA

ENTR

EGA

AC

TIV

IDA

D

REA

LIZA

PR

EGU

NTA

S

AP

OYA

A S

US

CO

MP

AÑ

ERO

S

2 2 2 2 2 3 3 2

XX

YY

ZZ

145



Preguntas de autoevaluación de la clase: Luego del trabajo realizado en clase usted está en capacidad de:

Identificar: ____________________________________________________________ Operar : ____________________________________________________________ Proponer: ____________________________________________________________ Realizar: ____________________________________________________________ Cambiar: ____________________________________________________________ Otros:_______________________________________________________ ____________________________________________________________


6. Como hizo hoy en la clase para aprender. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

7. Considera que hizo falta hoy algo para que usted aprenda mejor ____________________________________________________________

El estudiante debe hacer un trabajo extraclase para afianzar sus conocimientos, el

mismo se plantea de la siguiente forma:



7. Plantee interrogantes del tema a las que usted pueda dar respuesta

8. De ser el caso plantee ejemplos, revise notas y analice qué características

tienen y si está de acuerdo a lo aprendido.


10. Recuerde la pregunta de la final de la clase y respóndala nuevamente y haga

un análisis de la respuesta dada por usted durante la clase.

146

En el proceso enseñanza aprendizaje el docente requiere de la elaboración de

guías que:

1. Proporcione la información conceptual básica del experimento

2. Proporcione la metodología del experimento

3. Registrar la información del experimento

4. Realizar la ilustración

5. Modelar matemáticamente

6. Resolución del modelo matemático

7. Interpretación del resultado

8. Evaluación de resultados

9. Conclusiones

10. Recomendaciones.

147

10 BIOGRAFÍA

Luz del Carmen Celi Carrión, nace el 29 de mayo de 1967 en la parroquia Malacatos

Cantón y provincia de Loja, su formación básica ocurre en la Escuela María

Montesori y Colegio Manuel José Rodríguez de su parroquia natal, culmina el

bachillerato en el colegio Beatriz Cueva de Ayora de la ciudad de Loja.

Los estudios Universitarios realiza en la Universidad Nacional de Loja obteniendo el

título de Profesora de Segunda Educación y posteriormente la Licenciatura en la

Especialidad de Físico Matemática.

Otro interés profesional le permite obtener el título de Técnico Superior en Análisis

de Sistemas que posteriormente amplia al obtener el título de pregrado de Doctora

en Ciencias de la Educación mención Informática Educativa en la Escuela

Politécnica del Chimborazo.

Siempre interesada en el ámbito educativo obtiene el Diploma Superior en Currículo

y Didáctica en la Universidad Tecnológica América y actualmente concluyendo la

Maestría en Docencia Matemática en la Universidad Central del Ecuador.

Adicionalmente participa en cursos de formación continua en diferentes ámbitos

entre los que se menciona: Formación de docentes de Matemática ofertado por la

Organización de Estados Iberoamericanos, Formación de Directivos, Formación de

Asesores y Auditores Educativos, Pedagogía y Didáctica de la Enseñanza,

Formación en TICs, Competencias Laborales del Bachillerato Técnico promovidos

por el Ministerio de Educación del Ecuador.

En el ámbito laboral ha sido diversa como: Docente de Computación en el Colegio

Emiliano Ortega y en el Colegio de Bachillerato 27 de Febrero; Docente de

Matemática en el Colegio Beatriz Cueva de Ayora, Colegio Particular Juan

Montalvo, Colegio de Bachillerato 27 de Febrero, Instituto Tecnológico Superior

Juan Montalvo; Gerente y Presidente de la Cooperativa de Servicios Educacionales

Juan Montalvo en la ciudad de Loja.

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