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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES

Problemas

Curso 2013-2014

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Problemas

1. Sea E un espacio normado. Si a, b son elementos de E, probar:

(a) ‖12(a+ b)‖2 ≤ 1

2‖a‖2 + 1

2‖b‖2.

(b) ‖a‖ ≤ max{‖a+ b‖, ‖a− b‖}.

2. Demostrar que en un espacio normado, la adherencia de B(a, r) es B′(a, r) y el interiorde B′(a, r) es B(a, r). ¿Es cierto el resultado anterior en un espacio metrico cualquiera?

3. Seann E un espacio normado y A ⊆ E numerable. Demostrar que la adherencia delsubespacio lineal generado por A es separable.

4. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) E es separable.

(b) La bola abierta unidad B = B(0, 1) es separable.

(c) La esfera unidad S = {x ∈ E : ‖x‖ = 1} es separable.

5. Sean E un espacio normado y A ⊆ E no vacıo. Demostrar que los enunciados siguientesson equivalentes:

(a) A es un conjunto acotado.

(b) Para cada sucesion {xn}∞n=1 de elementos de A y cada sucesion {λn}∞n=1 de escalaresque converge hacia 0, la sucesion {λnxn}∞n=1 converge hacia el vector 0.

6. Sea E un espacio normado y r > 0. Probar que E y B(0, r) son homeomorfos.

7. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicacion lineal de E enF y B la bola cerrada unidad. Se supone que T (B) es un entorno del origen en F

(a) Probar que T es suprayectiva.

(b) Si {yn}∞n=1 es una sucesion acotada de elementos de F , demostrar que existe unasucesion acotada {xn}∞n=1 de elementos de E tal que T (xn) = yn para cada n ∈ N.

8. Se designa por E al espacio vectorial de las funciones definidas y continuas en R convalores en K y de soporte compacto. Para cada f ∈ E se define

‖f‖ = sup{|f(t)| : t ∈ R}.

Probar que ‖ ‖ es una norma sobre E y que el espacio normado (E, ‖ ‖) no es un espaciode Banach.

9. La aplicacion identidad i de (`1, ‖ ‖1) en (`

1, ‖ ‖∞), ¿es un homeomorfismo?

10. Sea E el espacio vectorial de las funciones f ∈ C([−1, 1],K) tales que f(x) = f(−x) paratodo x ∈ [−1, 1]. Demostrar que E provisto de la norma del superior es un espacio deBanach.

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Problemas

11. Sean B un sistema fundamental de entornos del vector 0 en un espacio normado E y Aun subconjunto de E. Demostrar uw

A =⋂V ∈B

A+ V.

12. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) E es un espacio de Banach.

(b) Toda serie de elementos de E que es absolutamente convergente, es convergente.

13. Sean (E1, ‖ ‖1), (E2, ‖ ‖2), . . . , (En, ‖ ‖n), n espacios normados sobre el mismo cuerpo K.En el espacio producto E = E1 × E2 × . . . En, se considera la noorma:

‖(x1, x2, . . . , xn)‖ = sup{‖xk‖k : k = 1, 2, . . . , n}.

Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es Banach si, y solo si, (Ek, ‖ ‖k) es Banach paracada k = 1, 2, . . . , n.

14. Sean E un espacio normado y F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpoK. Si {an}∞n=1 es una sucesion de Cauchy de elementos de E y {Tn}∞n=1 una sucesion deCauchy de elementos de L(E,F ), demostrar que la sucesion {Tn(an)}∞n=1 es convergenteen F .

15. Sean E un espacio normado, F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpo K yS un subconjunto de E denso en E. Si {Tn}∞n=1 es una sucesion acotada de elementos deL(E,F ) tal que para cada elemento a ∈ S la sucesion {Tn(a)}∞n=1 es convergente en F ,entonces, para cada elemento x ∈ E, la sucesion {Tn(x)}∞n=1 converge en F .

16. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K y T :E → F lineal. Probar quelos enunciados siguientes son equivalentes:

(a) T es continua.

(b) T transforma sucesiones de Cauchy de E en sucesiones de Cauchy de F .

(c) T transforma sucesiones que convergen hacia 0 en E en sucesiones acotadas de F .

17. Sea {αn}∞n=1 una sucesion de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesionesx = {xn}∞n=1 de elementos de K, tales que

∞∑n=1

|αnxn|2 <∞.

(a) Probar que E es un espacio subespacio vectorial del espacio de las sucesiones deelementos de K.

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(b) Si x = {xn}∞n=1 ∈ E, se define

‖x‖ =

( ∞∑n=1

|αnxn|2) 1

2

.

Demostrar que la aplicacion x → ‖x‖ es una norma si, y solo si, αn 6= 0, para cadan ∈ N.

En lo que sigue se supone que la aplicacion anterior es una norma.

(c) Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es de Banach y separable.

(d) Si {αn}∞n=1 es una sucesion acotada y `2

= `2(K), probar:

(i) `2 ⊆ E.

(ii) La inyeccion canonica I: (`2, ‖ ‖2)→ (E, ‖ ‖) es inyectiva y continua. Determinar

su norma.

(iii) Dar un ejemplo de una sucesion {αn}∞n=1 acotada de elementos de K, de forma

que `2 6= E.

(iv) Demostrar que `2

es denso en E.

18. Sean E un espacio normado y A y B subconjuntos de E.

(a) Demostrar que A+B ⊆ A+B.

(b) Dar ejemplos donde no se verifica la contencion en sentido contrario.

(c) Demotrar que si A es compacto, A + B = A+B y decucir que si A es compacto yB cerrado, A+B es cerrado.

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Problemas

19. Sea `∞

= `∞

(K) el espacio vectorial ( sobre K ) de las sucesiones acotadas de elementosde K. Si x = {xn}∞n=1 es un elemento de `

∞se define:

||x||∞ = sup{|xn| : n ∈ N}

Se denotara por c = c(K) al subespacio de `∞

de las sucesiones convergentes de elementosde K, por c0 = c0(K) al subespacio de c de las sucesiones de elementos de K que convergenhacia 0 y por c00 = c00(K) al subespacio de c0 formado por las sucesiones nulas a partirde un termino.

(a) Demostrar que la aplicacion x→ ||x||∞ es una norma en `∞

.

(b) Demostrar que `∞

= (`∞, ‖ ‖∞) es un espacio de Banach.

(c) Estudiar la separabilidad de `∞, c, c0 y c00.

(d) Demostrar que c es cerrado en `∞

.

(e) Demostrar que c0 es cerrado en c.

(f) Demostrar que c00 no es completo.

(g) Demostrar que c00 es denso en c0.

20. Sea 1 ≤ p < ∞. Se define `p

= `p(K) el conjunto de las sucesiones x = {xn}∞n=1 de

elementos de K tales que:∞∑n=1

|xn|p <∞.

(a) Sean p, q > 1 tales que p−1 + q−1 = 1. Si x = {xn}∞n=1 ∈ `p

e y = {yn}∞n=1 ∈ `q,

∞∑k=1

|xkyk| ≤( ∞∑k=1

|xk|p) 1

p( ∞∑k=1

|yk|q) 1

q

.

La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Holder.

(b) Sea 1 ≤ p <∞. Si x = {xn}∞n=1 e y = {yn}∞n=1 ∈ `p, se verifica:( ∞∑

k=0

|xk + yk|p) 1

p

≤( ∞∑k=0

|xk|p) 1

p

+

( ∞∑k=0

|yk|p) 1

p

.

La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Minkowski.

(c) Demostrar que `p

es un espacio vectorial sobre K.

(d) Si x = {xn}∞n=1 ∈ `p, demostrar que la aplicacion x → ‖x‖p =

( ∞∑n=1|xn|p

) 1p

es una

norma sobre `p.

(e) Demostrar que `p

con esta norma es un espacio de Banach.

(f) Demostrar que c00 es denso en `p.

(g) Estudiar la separabilidad de `p.

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Problemas

21. Sea E el espacio de las funciones de clase Cn en [a, b] con valores en K. Demostrar que laigualdad

‖f‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞ + · · ·+ ‖fn)‖∞define una norma en E. Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es un espacio de Banach.

22. Sea E el espacio de las funciones de clase Cn en [a, b] con valores en K. Demostrar que laigualdad

‖f‖∗ = |f(a)|+ |f ′(a)|+ · · ·+ |fn−1)(a) + ‖fn)‖∞define una norma en E. Probar que las normas ‖ ‖ dada en el problema anterior y ‖ ‖∗son equivalentes. Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖∗) es un espacio de Banach.

23. Se designa por X el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientesen el cuerpo K. Si P ∈ X es el polinomio P (t) = a0 + a1t+ . . .+ ant

n, se definen:

‖P‖ = sup{|P (t)| : 0 ≤ t ≤ 1}.

y‖P‖1 = |a0|+ |a1|+ . . .+ |an|.

Probar que ‖ ‖ y ‖ ‖1 son normas sobre X. Demostrar que ‖P‖ ≤ ‖P‖1 para cada P ∈ X.Demostrar que no existe M > 0 tal que ‖P‖1 ≤M‖P‖, para cada P ∈ X.

24. Para cada α ≥ 0 se define el conjunto Cα de las funciones f : [0,∞) → R continuas talesque sup{eαt|f(t)| : t ∈ [0,∞)} <∞.

(a) Probar que Cα es un espacio vectorial para las operaciones de suma y producto porun escalar habituales y que la igualdad

‖f‖α = sup{eαt|f(t)| : t ∈ [0,∞)}

define una norma en Cα.

(b) ¿Es Banach el espacio (Cα, ‖ ‖α)?

(c) Si f ∈ Cα y g ∈ Cβ, probar que g · f ∈ Cα+β.Sea g ∈ Cβ. Se define Tg: (Cα, ‖ ‖α) → (Cα+β, ‖ ‖α+β) por Tg(f) = g · f . Demostrarque Tg es un operador lineal y continuo entre los espacios indicados y calcular sunorma.

(d) Si β > α y f ∈ Cα se define Tβ(f): [0,∞)→ R por

Tβ(f)(x) =∫ x

0e−β(x−t)f(t) dt.

Demostrar que Tβ(f) ∈ Cα. Probar que la aplicacion f → Tβ(f) de (Cα, ‖ ‖α) en(Cα, ‖ ‖α) es lineal y continua. Determinar su norma.

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25. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicacion lineal de E enF y A un subconjunto de E.

(a) Si E es de dimension finita y A acotado, probar que T (A) es un conjunto relativa-mente compacto de F .

(b) Si E es Banach, A cerrado, T continua y ‖T (x)‖ ≥ ‖x‖ para cada x ∈ E, entoncesT (A) es cerrado en F .

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Problemas

26. Sea E un espacio normado y p:E → R verificando:

(a) p(x) ≥ 0, para cada x ∈ E.

(b) p(λx) = |λ|p(x), para cada x ∈ E y para cada λ ∈ K.

(c) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), para cada par de elementos x, y ∈ E.

Demostrar:

(I) p es continua si, y solo si, p es continua en 0.

(II) Si E es de dimension finita, p es continua.

27. Sea E un espacio normado. Se supone que existe una sucesion {bn}∞n=1 de elementos deE y α > 0 tales que

‖bn − bm‖ = α, n,m ∈ N, n 6= m.

(a) Probar que el conjunto {bn : n ∈ N} es un cerrado de E.

(b) ¿Puede ser de dimension finita el espacio E?

28. Sea E un espacio normado. Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) La dimension de E es finita.

(b) Para cada x ∈ E y para cada r > 0, la bola cerrada B′(x, r) es un compacto.

(c) Todo punto de E, admite un sistema fundamental de entornos compactos.

(d) Todo acotado de E es relativamente compacto.

(e) Existen a ∈ E y δ > 0 tales que B′(a, δ) es compacto.

(f) La esfera unidad S = {x ∈ E : ‖x‖ = 1} es compacto.

29. Se designa por P2 al espacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientesreales de grado menor o igual que 2. Sea

A = {P ∈ P2 : |P (0)| ≤ 1, |P ′(0)| ≤ 1, |P ′′(0)| ≤ 1}.

Demostrar que A es un compacto del espacio C([0, 1],R) provisto de la norma del superior.

30. Sean x0, x1, . . . , xm numeros reales distintos y sea {Pn}∞n=1 una sucesion de polinomios degrado no superior a m, tal que para cada j = 0, 1, . . . ,m, la sucesion

{Pn(xj)}∞n=1

converge. Demostrar que {Pn}∞n=1 converge uniformemente en [0, 1].

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31. Sean m ∈ N, {Pn}∞n=1 una sucesion de polinomios con coeficientes reales de grado menoro igual que m y f : [0, 1]→ R integrable y tal que

limn→∞

∫ 1

0|Pn(t)− f(t)| dt = 0.

Probar que existe un polinomio P tal que f(t) = P (t) casi siempre en [0,1].

32. Se designa por E el espaacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientesen K y de grado menor o igual que dos, normado por

‖P‖ = sup{|P (t)| : 0 ≤ t ≤ 1}.

Sea T :E → R dada por :T (P ) = P ′(0).

Probar que T es lineal y continua. Si P es el polinomio

P (x) = 8x2 − 8x+ 1,

determinar ‖P‖ y |P ′(0)|. Calcular ‖T‖.

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Problemas

33. Sean X un espacio topologico y A un subconjunto no vacıo de C(X,K) y equicontinuo encada punto de X. Para cada x ∈ X, se considera el conjunto Ax = {f(x) : f ∈ A}. SeaL = {x ∈ X : Ax es un acotado de K}.

(a) Demostrar que L es un conjunto abierto y cerrado en X.

(b) Si X es conexo y compacto y L es no vacıo, probar que A es un conjunto relativa-mente compacto en (C(X,K), ‖ ‖∞).

34. Sea A un subconjunto no vacıo de C1([0, 1],K). Se supone:

(a) El conjunto {f ′ : f ∈ A} es un acotado del espacio normado (C([0, 1],K), ‖ ‖∞).

(b) Existe a ∈ [0, 1] tal que el conjunto {f(a) : f ∈ A} es un acotado de K.

Demostrar que A es un conjunto relativamente compacto en (C([0, 1],K), ‖ ‖∞).

35. Sea f : [0, 1] → R continua, tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para cada x ∈ [0, 1]. Se considera laaplicacion T : C([0, 1],K)→ C([0, 1],K) dada por: T (g) = g ◦ f.

(a) Demostrar que T es lineal y continua cuando en C([0, 1],K) se considera la normadel superior. Calcular ‖T‖.

(b) Sea H un conjunto compacto del espacio (C([0, 1],K), ‖ ‖∞). Probar que el conjuntoL = {g ◦ f : g ∈ H} es tambien un compacto del citado espacio.

36. (a) Sea n ∈ N. Demostrar que para cada k ∈ Z con 0 ≤ k ≤ n, existe α > 0, quedepende de n y k, tal que para cada polinomio P con coeficientes reales y gradomenor o igual que n, se verifica:

sup{|P k)(x)| : 0 ≤ x ≤ 1} ≤ α sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}.

(b) Se designa por E el espacio vectorial de las funciones reales, definidas y continuasen [0, 1], provisto de la norma del superior. Sea M un subespacio vectorial de E queverifica:

(i) M es cerrado en E.

(ii) Si f ∈M entonces f es de clase C1 en [0, 1].

(iii) Existe L > 0, tal que para cada f ∈M se tiene

sup{|f ′(x)| : 0 ≤ x ≤ 1} ≤ L sup{|f(x)| : 0 ≤ x ≤ 1}.

Probar que M es de dimension finita.

(c) Para cada n ∈ N, dar un ejemplo de un subespacio vectorial de E de dimension n,verificando condiciones (i), (ii) y (iii). del apartado anterior.

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37. Sea E el espacio de las funciones reales definidas y de clase C1 en [0, 1]. Se dota a E dela norma

‖f‖ = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞.

Sea A ⊆ E.

(a) Si existe M > 0 tal que ‖f‖ ≤M para cada f ∈ A, entonces A es equicontinuo.

(b) Probar que A es relativamente compacto en (E, ‖ ‖) si, y solo si, A es acotado en(E, ‖ ‖) y el conjunto {f ′ : f ∈ A} es equicontinuo.

38. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicacion continua de [a, b]× [a, b]en C. Para cada f ∈ C([a, b],C) se define la funcion f ∗ en [a, b] por:

f ∗(x) =∫ b

aK(x, t)f(t) dt.

(a) Si f ∈ C([a, b],C, probar que f ∗ es continua en [a, b].

(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ C([a, b],C), ‖f‖∞ ≤ 1}, es relativamente compactoen C([a, b],C) provisto de la norma del superior.

(c) Se define la aplicacion T : C([a, b],C) → C([a, b],C), por T (f) = f ∗. Demostrar queT es lineal y continua. En C([a, b],C) se considera la norma del supeior.

39. Para cada f ∈ L2([−π, π],C) se define la funcion f ∗: [−π, π]→ C por:

f ∗(x) =∫ π

−πcos (x− t)f(t) dt.

(a) Si f ∈ L2([−π, π],C), probar que f ∗ es continua en [−π, π].

(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([−π, π],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente

compacto en C([−π, π],C) provisto de la norma del supremo.

(c) Se define la aplicacion T :L2([−π, π],C) → L

2([−π, π],C), por T (f) = f ∗. Probar

que T es lineal y continua.

40. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicacion continua de [a, b]× [a, b]

en C. Para cada f ∈ L2([a, b],C) se define la funcion f ∗ en [a, b] por:

f ∗(x) =∫ b

aK(x, t)f(t) dt.

(a) Si f ∈ L2([a, b],C), probar que f ∗ es continua en [a, b].

(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([a, b],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente compacto

en C([a, b],C) provisto de la norma del superior.

(c) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([a, b],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente compacto

en L2([a, b],C).

(d) Se define la aplicacion T :L2([a, b],C)→ L

2([a, b],C), por T (f) = f ∗. Demostrar que

T es lineal y continua.

41. Sea F una funcion continua de R2 en R. Para cada f ∈ C([0, 1],R), se considera la funcionf ∗ definida en [0,1], por

f ∗(x) =∫ x

0F (t, f(t)) dt.

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Demostrar que f ∗ es continua en [0,1]. Se considera el conjunto

A = {f ∗ : f ∈ C([0, 1],R), ‖f‖∞ ≤ 1}.

Probar que A es un conjunto relativamente compacto en C([0, 1],R) provisto de la normadel superior.

42. Sea I un intervalo compacto de R. Demostrar que el espacio C(I,K) es separable.

43. Se considera el conjunto

A = {f ∈ C([0, 1],C) : |f(x)| = 1, para cada x ∈ [0, 1]}.

Probar que el subespacio generado por A, es denso en el espacio (C([0, 1],C), ‖ ‖∞). ¿Siguesiendo valido el resultado si se sustituye C por R?

44. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define la funcion fn: [0, 1]→ R por

fn(t) = e−nt.

(a) Probar que el subespacio lineal generado por el conjunto

{fn : n = 0, 1, 2, . . .}

es denso en el espacio de Banach (C([0, 1],R), ‖ ‖∞).

(b) Demostrar que si h ∈ C([0, 1],R), existe una unica aplicacion lineal continua T deC([0, 1],R) en R, tal que

T (fn) =∫ 1

0e−nth(t) dt

para cada n ≥ 0. Si T (fn) = 0, para cada n ≥ 0, entonces h = 0.

45. Sea X un espacio topologico compacto. Se supone que existe una aplicacion f :X → Rcontinua e inyectiva. Para cada n = 0, 1, 2, . . . se define

gn(x) = enf(x), x ∈ X.

Determinar la adherencia en C(X,R) (dotado de la norma del supremo) del subespaciovectorial generado por {gn : n = 0, 1, 2, . . .}.Sean E un espacio normado real y T : C(X,R)→ E una aplicacion lineal continua tal queT (gn) = 0 para n ≥ 0. ¿Que puede decirse de T?

46. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientesen R, normado por

‖P‖ = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}, P ∈ P .

Si a, b son numeros reales con a < b, se considera la aplicacion Tab de P en R, definidapor

Tab(P ) =∫ b

aP (x) dx.

Si a /∈ [0, 1] o b /∈ [0, 1], probar que la aplicacion Tab no es continua.

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‖P‖ = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}, P ∈ P .

Si a ∈ R, se considera la aplicacion Ta de P en R, definida por

Ta(P ) = P (a).

(a) Si a ∈ [0, 1], probar que Ta es continua. Calcular ‖Ta‖.(b) Si a /∈ [0, 1], probar que Ta no es continua.

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Problemas

48. Sea en = {δnm}∞m=1. Demostrar que si x = {xn}∞n=1 es un elemento de c0 o de `p, con

1 ≤ p <∞, entonces

x =∞∑n=1

xnen

en estos espacios.

49. Sea x = {xn}∞n=1 ∈ `1

y sea ux: c0 → K dada por:

ux(y) =∞∑n=1

xnyn

donde y = {yn}∞n=1.

(a) Demostrar que ux ∈ (c0)′.

(b) Se considera la aplicacion Φ: `1 → (c0)

′ dada por Φ(x) = ux. Demostrar que Φ es unisomorfismo tal que ‖Φ(x)‖ = ‖x‖1.

(Se suelen identificar los espacios normados (c0)′ y `

1y decir que el dual de c0 es `

1).

50. Sea x = {xn}∞n=1 ∈ `∞

y sea ux: `1 → K dada por:

ux(y) =∞∑n=1

xnyn


(a) Demostrar que ux ∈ (`1)′.

(b) Se considera la aplicacion Φ: `∞ → (`

1)′ dada por Φ(x) = ux. Demostrar que Φ es

un isomorfismo tal que ‖Φ(x)‖ = ‖x‖∞.

(Se suelen identificar los espacios normados (`1)′ y `

∞y decir que el dual de `

1es `

∞.

51. Sea 1 < p < ∞ y sea q el conjugado de p. Sea x = {xn}∞n=1 ∈ `q

y sea ux: `p → K dada

por:

ux(y) =∞∑n=1

xnyn


(a) Demostrar que ux ∈ (`p)′.

(b) Se considera la aplicacion Φ: `q → (`

p)′ dada por Φ(x) = ux. Demostrar que Φ es un

isomorfismo tal que ‖Φ(x)‖ = ‖x‖q.

(Se suelen identificar los espacios normados (`p)′ y `

qy decir que el dual de `

pes `

q).

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52. Sean M es un subespacio vectorial cerrado de un espacio normado E y a un elemento deE tal que a /∈M . Demostrar que el subespacio M ⊕ 〈a〉 es cerrado en E.

53. Demostrar que todo subespacio cerrado de un espacio normado E se puede escribir comouna interseccion de hiperplanos cerrados.

54. Sean e1, e2, . . . , en, n vectores linealmente independientes de espacio normado E. Probarque existen n elementos Φ1,Φ2, . . . ,Φn de E ′ tales que

Φi(ej) = δij i, j = 1, 2, . . . , n.

Si

L =n⋂j=1

ker Φj,

demostrar que E = L ⊕ 〈e1, e2, . . . , en〉. Deducir que dado un subespacio lineal de di-mension finita M de E, existe un subespacio cerrado Z de E tal que E = Z ⊕M .

55. Sea E un espacio normado de dimension infinita y separable. Demostrar que existe unasucesion {Φn}∞n=1 de elementos de E ′, con ‖Φn‖ = 1 para cada n ∈ N, y tal que para cadax ∈ E, la sucesion de escalares {Φn(x)}∞n=1 converge hacia 0.

56. Sean E un espacio normado, F un subespacio vectorial de E y T :F → `∞

lineal ycontinua. Demostrar que existe S:E → `

∞lineal y continua tal que:

(a) T (x) = S(x), x ∈ F .

(b) ‖T‖ = ‖S‖.

57. Sea E un espacio normado de dimension infinita numerable. Demostrar que E es unconjunto de primera categorıa (en E).

58. Demostrar que la bola cerrada unidad B′(0, 1) de (`2, ‖ ‖2) es un conjunto raro en el

espacio (c0, ‖ ‖∞).

59. Demostrar que L2([0, 1],K) es un conjunto de primera categorıa en L

1([0, 1],K).

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Problemas

60. Sean 1 < p, q <∞ numeros reales conjugados. Sea y = {yn}∞n=1 una sucesion de elementos

de K tal que∞∑n=1

xnyn converge para cada x = {xn}∞n=1 ∈ `p. Demostrar que y ∈ `q.

61. Sea E un espacio normado. Demostrar que si el espacio dual E ′ es separable, entonces Ees separable.

62. (a) Si 1 < p <∞, el espacio `p

es reflexivo.

(b) Demostrar que `1

no es reflexivo.

(c) Demostrar que c0 con la norma del superior no es reflexivo.

63. Sean {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de un espacio normado E y x un elemento deE. Se dice que {xn}∞n=1 converge debilmente hacia x, si para cada elemento Φ ∈ E ′, lasucesion {Φ(xn)}∞n=1 converge hacia Φ(x). Sea M un subespacio vectorial de E ′ denso enE ′. Probar que las proposiciones siguientes son equivalentes:

(a) La sucesion {xn}∞n=1 converge debilmente hacia x.

(b) La sucesion {xn}∞n=1 es acotada y para cada Φ ∈M , la sucesion {Φ(xn)}∞n=1 convergehacia Φ(x).

64. Sea E un espacio normado y A un subconjunto denso de la abola cerrada unidad de E ′.Probar que para cada x ∈ E, se verifica

‖x‖ = sup{|Φ(x)| : Φ ∈ A}

65. Una funcion f : [0, 1]→ C se dice que es lipschitziana si existe k > 0 tal que

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|

para cada par de puntos x, y ∈ [0, 1].Sea M un subespacio vectorial cerrado de (C([0, 1],C), ‖ ‖∞) formado por funciones lips-chitzianas. Si t, s ∈ [0, 1], t 6= s, se considera la aplicacion Tts:M → C dada por:

Tts(f) =f(t)− f(s)

t− s.

(a) Demostrar que Tts es lineal y continua.

(b) Demostrar que existe C > 0 tal que, ‖Tts‖ ≤ C para todos t, s ∈ [0, 1], t 6= s.

(c) Demostrar que M es de dimension finita.

66. Sea E el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en K dotado de la norma

‖P‖ = Max{|a0|, |a1|, . . . , |an|}

donde P (t) = a0 + a1t+ . . . antn.

Construir una sucesion {Tn}∞n=1 de elementos de E ′ puntualmente acotada pero no aco-tada.

15

67. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sea T :E → F lineal tal queΦ ◦ T ∈ E ′ para cada Φ ∈ F ′. Probar que T es continua.

68. Sea E un espacio normado y sea {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de E. Se supone quepara cada ϕ ∈ E ′, la serie

∞∑n=1

ϕ(xn)

es absolutamente convergente. Demostrar que el conjunto

{∑i∈F

xi : F ⊆ N, F finito y no vacıo }

es un acotado de E.

69. Sean E un espacio vectorial y sean ‖ ‖1 y ‖ ‖2 dos normas sobre E. Se denota por B1 lafamilia de los conjuntos acotados del espacio (E, ‖ ‖1) y por B2 la familia de los conjuntosacotados del espacio (E, ‖ ‖2). Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) B1 = B2

(b) Las normas ‖ ‖1 y ‖ ‖2 son equivalentes.

(c) (E, ‖ ‖1)′ = (E, ‖ ‖2)′.

70. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo K y T una aplicacion lineal ycontinua de E en F . Probar que existe una constante c > 0 tal que c‖x‖ ≤ ‖T (x)‖, paracada x ∈ E si, y solo si, T es inyectiva y T (E) es cerrado en F .

71. Sea (E, ‖ ‖) un espacio de Banach sobre el cuerpo K. Se considera una forma linealf :E → K. Probar que la aplicacion p:E → R definida por:

p(x) = ‖x‖+ |f(x)|

es una norma en E.Demostrar que el espacio (E, p) es de Banach si, y solo si, f es continua en (E, ‖ ‖).

72. Sea ϕ una forma lineal sobre `1. Si a = {an}∞n=1 ∈ `

1, establecer que la igualdad

‖a‖ = |ϕ(a)|+∞∑n=1

|an|

es una norma en `1. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) (`1, ‖‖) es un espacio de Banach.

(b) Existe una sucesion acotada {bn}∞n=1 de escalares tal que

ϕ(a) =∞∑n=1

anbn

para cada a = {an}∞n=1 ∈ `1.

73. Para cada numero natural m se considera la aplicacion lineal φm: `1 → K, definida por

πm({xn}∞n=1) = xm.

Sea ‖ ‖ una norma en `1

tal que (`1, ‖ ‖) es un espacio de Banach. Demostrar que las

proposiciones siguientes son equivalentes:

16

(a) Para cada numero natural m, la aplicacion πm es continua para la norma ‖ ‖.(b) La norma ‖ ‖ es equivalente a la norma ‖ ‖1.

74. Sea X un espacio topologico compacto. Para cada x ∈ X se designa por Tx la aplicacionde C(X,K) en K definida por

Tx(f) = f(x).

Sean A ⊆ X, denso en X y ‖ ‖ una norma en el espacio C(X,K). Se supone que:

(a) El espacio normado (C(X,K), ‖ ‖) es un espacio de Banach.

(b) Para cada x ∈ A, la aplicacion Tx es continua cuando en C(X,K) se considera lanorma ‖ ‖.

Probar que la norma ‖ ‖ es equivalente a la norma del superior en C(X,K).

75. Sea E un espacio normado sobre K y f una aplicacion de [0, 1] en E. Se supone que paracada Φ ∈ E ′ se tiene que Φ◦f ∈ C([0, 1],K). Probar que la aplicacion T :E ′ → C([0, 1],K)definida por T (Φ) = Φ ◦ f es continua. (En C([0, 1],K) se considera la norma de laconvergencia uniforme.)

76. Sean A un subespacio vectorial cerrado del espacio C([a, b],R) dotado de la norma delsuperior y ϕ una funcion de [a, b] en R. Se supone que para cada f ∈ A se tiene quefϕ ∈ A. Demostrar que la aplicacion T :A→ A dada por

T (f) = fϕ

es continua.

77. Sean E, F y G espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sean T una aplicacion lineal deE en F y {Si}i∈I una familia de aplicaciones lineales y continuas de F en G. Se supone:

(a)⋂i∈I

ker Si = {0}.

(b) Si ◦ T es continua para cada i ∈ I.

Probar que T es continua.

78. Sean E un espacio normado y {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de E. Se supone quepara cada elemento f ∈ E ′, la serie numerica

∞∑n=1

f(xn)

es absolutamente convergente. Demostrar que existe M > 0, tal que para cada elementof ∈ E ′ se tiene

∞∑n=1

|f(xn)| ≤M‖f‖.

79. Sea E un espacio normado y {an}∞n=1 una sucesion de elementos de E. Se supone que

para cada Φ ∈ E ′, {Φ(an)}∞n=1 ∈ `2(K). Demostrar que existe M > 0 tal que para cada

Φ ∈ E ′ se tiene‖{Φ(an)}∞n=1‖2 ≤M‖Φ‖.

17

80. Sea E el espacio de las funciones definidas en [0,∞) y valoradas en K, continuas y acotadasen [0,∞) provisto de la norma

‖f‖∞ = sup{|f(t)| : t ≥ 0}.

(a) Probar que el espacio normado definido anteriormente es de Banach.

(b) Sea el conjunto F = {f :E → K : f continua y sup{(1 + t)|f(t)| : t ≥ 0} < ∞}.Probar que F es un subespacio vectorial de E.

Si f ∈ F , se define la funcion f ∗ en [0,∞) por f ∗(t) = tf(t). En lo que sigue se consideraen F la norma ‖ ‖∞.

(c) Probar que para cada f ∈ F , se verifica f ∗ ∈ E. Si T designa la aplicacion de F enE, definida por T (f) = f ∗, entonces T es lineal y no continua.

(d) Demostrar que el grafo de T es cerrado en F × E.

(e) El espacio F , ¿es de Banach?

81. Sean E un espacio de Banach, {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de E y {fn}∞n=1 unasucesion de elementos de E ′. Se supone que para cada x ∈ E, la serie

∞∑n=1

‖fn(x)xn‖

es convergente.

(a) Probar que para cada sucesion acotada {βn}∞n=1 de elementos de K y para cadaelemento x ∈ E, la serie

∞∑n=1

βnfn(x)xn

converge en E.

(b) Para cada sucesion acotada β = {βn}∞n=1 de elementos de K, se considera la aplicacionTβ:E → E, definida por

Tβ(x) =∞∑n=1

βnfn(x)xn.

Demostrar que Tβ es lineal y continua.

(c) Probar que existe M > 0, tal que para cada sucesion acotada β = {βn}∞n=1 deelementos de K, con ‖β‖∞ ≤ 1, se tiene que ‖Tβ‖ ≤M .

18


Problemas

82. Sea H un espacio prehilbertiano complejo. Demostrar que para cada par de elementosx, y ∈ H se verifica la Formula de Polarizacion:

4〈x, y〉 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i ‖x+ iy‖2 − i ‖x− iy‖2.

Si H es real se verifica:4〈x, y〉 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2.

83. Sea E un espacio normado en el que se verifica la ley del paralelogramo. Demostrar queexiste un producto interno 〈 , 〉 tal que

‖x‖2 = 〈x, x〉

para cada x ∈ E.

84. Demostrar que `p, p 6= 2 no es un espacio de Hilbert.

85. Sea H un espacio de Hilbert.

(a) Sean {xn}∞n=1 e {yn}∞n=1 dos sucesiones de la bola unidad de H con limn→∞〈xn, yn〉 = 1.

Entonces limn→∞

‖xn − yn‖ = 0.

(b) Sean a ∈ H y {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de H. Supongamos que se verificalimn→∞〈xn, a〉 = 〈a, a〉 y lim

n→∞‖xn‖ = ‖a‖. Entonces lim

n→∞‖xn − a‖ = 0.

86. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H y T una aplicacion linealde M en H. Sea Z el grafo de T , es decir Z = {(x, Tx) : x ∈M}.

(a) Probar que Z es un subespacio vectorial de H ×H.

(b) Probar que la identidad

‖(x, Tx)‖∗ =√‖x‖2 + ‖Tx‖2

define una norma sobre Z que proviene de un producto interno.

(c) Si T es continua, demostrar que M y (Z, ‖ ‖∗) son homeomorfos.

(d) Si M es cerrado en H y (Z, ‖ ‖∗) es un espacio de Banach, demostrar que T escontinua.

87. Sea I un intervalo y sea w ∈ C(I,R) con w(t) > 0 en I. Se define el espacio L2w(I,K) de

las funciones f : I → K medibles tales que∫I|f(t)|2w(t) dt <∞.

(a) Demostrar que L2w(I,K) es un espacio vectorial.

Se identificaran en L2w(I,K) funciones iguales casi siempre en I.

19

(b) Probar que

〈f, g〉 =∫If(t)g(t)w(t) dt

es un producto interno en L2w(I,K).

(c) Demostrar que L2w(I,K) dotado de este producto interno es un espacio de Hilbert.

88. Demostrar que el conjunto

L = {f ∈ C([0, 1],K) :∫ 1

0f(t) dt+ f(0) = 0}

es un hiperplano cerrado del espacio C([0, 1],K) provisto de la norma del superior.

89. Sea M el conjunto de las f ∈ L1([0, 1]) tales que∫ 1

0f(t) dt = 1.

Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo de L1([0, 1]) que contiene infinitos

elementos de norma mınima.

90. Sea

M = {f ∈ C([0, 1],K) :∫ 1

2

0f(t) dt−

∫ 1

12

f(t) dt = 1}.

Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo del espacio (C([0, 1],K), ‖ ‖∞) queno contiene ningun elemento de norma mınima.

91. (a) Sea a un vector no nulo de un espacio de Hilbert H. Si

M = {x ∈ H : 〈x, a〉 = 0},

probar que para cada elemento y de H se verifica:

d(y,M) =|〈y, a〉|‖a‖

.

(b) Sea L el siguiente subconjunto de L2([0, 1],K):

L = {f ∈ L2([0, 1]) :

∫ 1

0f(t) dt = 0}.

Si g(t) = et, 0 ≤ t ≤ 1, determinar d(g, L).

92. Sea A ⊆ R medible y de medida 1. Probar que la aplicacion T :L2(R)→ C dada por

T (f) =∫Af(x) dx

es lineal y continua. Calcular la norma de T . Determinar la relacion que existe entred(f, ker T ) y T (f), para f ∈ L2

(R,C).

93. Sean H un espacio de Hilbert, a ∈ H y M un subespacio vectorial de H cerrado. De-mostrar que

min{‖a− x‖ : x ∈M} = max{|〈a, y〉| : y ∈M⊥, ‖y‖ = 1}.

20

94. Sean E un espacio de Banach y M un subespacio vectorial de E cerrado.

(a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes:

(i) Existe un subespacio vectorial cerrado L de E tal que E = M ⊕ L.

(ii) Existe una aplicacion P de E en E lineal y continua tal que P (E) = M yP 2 = P .

(b) Sea F un subespacio vectorial cerrado de E tal que M ∩ F = {0}. Demostrar queM ⊕ F es cerrado en E si, y solo si,

inf{d(y, F ) : y ∈M, ‖y‖ = 1} > 0.

(c) Si la dimension algebraica de M es finita, probar que existe un subespacio vectorialcerrado L de E, tal que E = M ⊕ L.

(d) Si E es un espacio de Hilbert y F es un subespacio vectorial de E tal que M ⊥ F ,entonces, M ⊕ F es cerrado en E.

(e) Si E es un espacio de Hilbert y L es un subespacio vectorial de E tal que M ⊥ L yE = M ⊕ L, entonces L = M⊥.

95. Se designa por πn la n-esima proyeccion de `2

sobre K. Determinar el unico elementob ∈ `2, tal que πn(a) = 〈a, b〉 para cada a ∈ `2.

96. Se designa por πn la n-esima proyeccion de `2

sobre K. Determinar el unico elementob ∈ `2, tal que (π1 + π2 + · · ·+ πn)(a) = 〈a, b〉 para cada a ∈ `2.

97. Sea b ∈ C con |b| < 1. Probar que si a = {an}∞n=1 ∈ `2

entonces la sucesion {anbn}∞n=0

esta en `1. Demostrar que la aplicacion T : `

2 → C dada por

T (a) =∞∑n=1

anbn

es lineal continua. Calcular ‖T‖.

98. (a) Sea H un espacio de Hilbert y Φ ∈ H ′. Probar que existe a ∈ H con ‖a‖ ≤ 1 y talque ‖Φ‖ = |Φ(a)|.

(b) Demostrar que para cada elemento a = {an}∞n=1 ∈ c0, la serie numerica

∞∑n=1

an2n

es absolutamente convergente. Se define la aplicacion T : c0 → K, por

T (a) =∞∑n=1

an2n.

Probar que T es lineal y continua. Determinar ‖T‖. ¿Existe algun elemento a ∈ c0con ‖a‖ ≤ 1 y tal que ‖T‖ = |T (a)|?

99. Sea H un espacio de Hilbert y T :H → H lineal, tal que

〈T (x), y〉 = 〈x, T (y)〉

para cada par de elementos x, y ∈ H. Demostrar que T es continua.

100. Sea {ei}i∈I un sistema ortonormal de un espacio de Hilbert H. Si β > 0 y x ∈ H, probarque

Card {i ∈ I : |〈x, ei〉| > β} ≤ β−2‖x‖2.

21


Problemas

101. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial cerrado de H, P la proyeccionortogonal de H sobre M y x ∈ H.

(a) Probar que x ∈M si, y solo si, ‖Px‖ = ‖x‖.(b) Demostrar las igualdades

〈Px, x〉 = 〈x, Px〉 = ‖Px‖2.

Sean M1 y M2 dos subespacios vectoriales cerrados de H. Se denotan por P1 y P2 lasproyecciones ortogonales de H sobre M1 y M2 respectivamente. Demostrar la equivalenciade los siguientes enunciados:

(i) 〈P1x, x〉 ≤ 〈P2x, x〉, para cada x ∈ H.

(ii) ‖P1x‖ ≤ ‖P2x‖, para cada x ∈ H.

(iii) M1 ⊆M2.

(iv) P2P1 = P1.

(v) M⊥2 ⊆M⊥

1 .

(vi) P1P2 = P1.

102. Sea M un subespacio vectorial cerrado de L2([0, 1],K) tal que M ⊆ C([0, 1],K).

(a) Demostrar que existe una constante L > 0, tal que para cada f ∈M se tiene

‖f‖∞ ≤ L‖f‖2.

(b) Probar que para cada t ∈ [0, 1], existe ht ∈ L2([0, 1],K) tal que

(i) ‖ht‖2 ≤ L.

(ii) Para cada f ∈M se verifica

f(t) =∫ 1

0f(s)ht(s) ds.

(c) Decucir que M es de dimension finita.

103. Sean H un espacio de Hilbert y M un subespacio vectorial cerrado de H. Sean A yB bases hilbertianas de M y M⊥ respectivamente. Demostrar que A ∪ B es una basehilbertiana de H.

104. Sea Ln el subespacio de `2

= `2(K) definido por:

Ln = {x = {xn}∞n=1 ∈ `2

:n∑k=1

xk = 0}.

Si a = (1, 0, 0, . . .), determinar d(a, Ln). La sucesion {d(a, Ln)}∞n=1, ¿es convergente?

22

105. Sean H un espacio de Hilbert, {en}∞n=1 un sistema ortonormal completo de H y {λn}∞n=1

una sucesion de elementos de K. Se supone que para cada x ∈ H, la serie

∞∑n=1

λn〈x, en〉

converge. Demostrar que existe un unico elemento y ∈ H, tal que, para cada n ∈ N, severifica:

〈y, en〉 = λn.

23


Problemas

106. Sean x1, x2, . . . , xn n vectores de un espacio de Hilbert H. Se define el determinante deGramm por:

G(x1, x2, . . . , xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈x1, x1〉〈x1, x2〉 . . . 〈x1, xn〉〈x2, x1〉〈x2, x2〉 . . . 〈x2, xn〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .〈xn, x1〉〈xn, x2〉 . . . 〈xn, xn〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a) Probar que G(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0.

(b) Supongamos que los vectores x1, x2, . . . , xn son linealmente independientes. Sean Mes el subespacio vectorial generado por {x1, x2, . . . , xn} y P la proyecion de H sobreM . Demostrar que si x ∈ H se tiene

P (x) =n∑k=1

Gk(x1, x2, . . . , xn)

G(x1, x2, . . . , xn)xk,

donde Gk(x1, x2, . . . , xn) es el determinante obtenido al sustituir en G(x1, x2, . . . , xn)la columna k-esima por el vector columna (〈x1, x〉, 〈x2, x〉, . . . , 〈xn, x〉)t.

(c) Con las mismas hipotesis del apartado anterior, demostrar que si x ∈ H,

d(x,M) =

√√√√G(x, x1, x2, . . . , xn)

G(x1, x2, . . . , xn)·

107. Calculese

mina,b,c

∫ 1

−1|x3 − a− bx− cx2|2 dx.

108. Hallese

max |∫ 1

−1x3g(x) dx|,

donde g esta sujeta a las condiciones∫ 1

−1g(x) dx =

∫ 1

−1xg(x) dx =

∫ 1

−1x2g(x) dx = 0;

∫ 1

−1|g(x)|2 dx = 1.

Indicacion: Aplıquese el resultado del problema 92 al ejercicio anterior.

24


Problemas

109. Sea el conjunto

c0(Z,K) = {a = {an}n∈Z : an ∈ K y limn→∞

an = limn→∞

a−n = 0}.

(a) Demostrar que c0(Z,K) dotado de la norma ‖a‖∞ = sup{|an| : n ∈ Z}, es un espaciode Banach.

(b) Sea T :L1([−π, π],C) → c0(Z,C) dada por T (f) = {f(n)}n∈Z, es lineal, continua,

inyectiva y no suprayectiva.

110. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo y T :E → F lineal continua.Demostrar que si

∑n∈Z

an converge en E, entonces∑n∈Z

Tan converge en F . Ademas

T (∑n∈Z

an) =∑n∈Z

Tan.

Sea {hn}n∈Z con hn ∈ L2([−π, π],K) tal que

∑n∈Z

hn = h en L2([−π, π],K). Demostrar que

si p ∈ Z se verifica: ∑n∈Z

hn(p) = h(p).

111. Se considera el conjunto PK de las funciones P : R→ K del tipo

P (t) = a0 +n∑k=1

ak cos (kt) +n∑k=1

bk sen (kt)

donde n ∈ N y a0, a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ K.

(a) Demostrar que PK es un subespacio vectorial de CP ([−π, π],K).

(b) Demostrar que PK es denso en CP ([−π, π],K), cuando en CP ([−π, π],K) se considerala norma del superior.

(c) Si 1 ≤ p <∞, probar que PK es denso en Lp([−π, π],K)

Se considera el conjunto de funciones de R en K

B =

{1√2π

}∪{

cos (nt)√π

: n ∈ N}∪{

sen (nt)√π

: n ∈ N}.

(d) Demostrar que B es un sistema ortonormal maximal del espacio L2([−π, π],K)

Si f ∈ L1([−π, π],K), se consideran los elementos de K siguientes

an(f) =1

π

∫ π

−πf(t) cos (nt) dt, n = 0, 1, . . .

25

y

bn(f) =1

π

∫ π

−πf(t) sen (nt) dt, n = 1, 2, . . .

La serie funcionala0(f)

2+∞∑n=1

[an(f) cos (nt) + bn(f) sen (nt)],

recibe el nombre de serie de Fourier de f en el sistema B. Los elementos del conjunto

{a0(f), a1(f), a2(f), . . . , b1(f), b2(f), . . .}se llaman los coeficientes de Fourier de f en el sistema B.Sea f ∈ L2

([−π, π],K)

(e) Demostrar que la serie de Fourier de f en el sistema B converge hacia f en el espacio

de Hilbert L2([−π, π],K).

(f) Demostrar que1

π‖f‖22 =

|a0(f)|2

2+∞∑n=1

(|an(f)|2 + |bn(f)|2).

112. Sea [a, b] un intervalo compacto de la recta real. Determinar un sistema ortonormal

maximal de L2([a, b],K).

113. Para cada f ∈ L2([−π, π],C) se define f ∗: [−π, π]→ C por:

f ∗(x) =∫ π

−πcos (x− t)f(t) dt.

(a) Probar que f ∗ es continua.

(b) Probar que el conjunto {f ∗ : f ∈ L2([−π, π],C), ‖f‖2 ≤ 1}, es relativamente

compacto en C([−π, π],C) provisto de la norma del supremo.

(c) Se define T :L2([−π, π],C) → L

2([−π, π],C) por T (f) = f ∗. Probar que T es lineal

y continua.

(d) Para cada n ∈ Z se define

en(t) =1√2πeint, t ∈ R.

Calcular T (en).

(e) Si f ∈ L2([−π, π],C) determinar la serie de Fourier de T (f).

114. Se designa por Dn el nucleo de Dirichlet. Probar que para cada t ∈ [−π, π], t 6= 0, setiene la igualdad

Dn(t) = cos (nt) +

(cos (t/2)

sen (t/2)− 2

t

)sen (nt) +

2 sen (nt)

t.

(a) Sea f una funcion continua en [−π, π] con f(0) = 0 y tal que la funcion t−1f(t) esta

en L1([−π, π]). Demostrar que la serie de Fourier de f converge puntualmente en

t = 0 hacia f(0) = 0.

(b) Sea f una funcion continua en [−π, π] tal que

(i) f(−π) = f(π).

(ii) Existe α con 0 < α ≤ 1 tal que f ∈ Lip(α) en el intervalo [−π, π].

Probar que para cada x ∈ [−π, π] la serie de Fourier de f converge puntualmentehacia f(x).

26


1. Sean A y B dos subconjuntos de un espacio normado.

(a) Si A es relativamente compacto, entonces A+B = A+B.

(b) Si A y B son relativamente compactos, probar que A+B es relativamente compacto.

(c) Si A y B son compactos, probar que A+B es compacto.

2. Sean E un espacio normado sobre K y a1, a2, . . . , an, n vectores de E.

(a) Probar que existe una constante M > 0, tal que

‖λ1a1 + λ2a2 + . . .+ λnan‖ ≤M

√√√√ n∑k=1

|λk|2,

para cada (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Kn.

(b) Si los vectores a1, a2, . . . , an son linealmente independientes, demostrar que existeuna constante L > 0, tal que para cada (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Kn, se tiene:

L

√√√√ n∑k=1

|λk|2 ≤ ‖λ1a1 + λ2a2 + . . .+ λnan‖.

3. Sea {αn}∞n=1 una sucesion de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesionesx = {xn}∞n=1 de elementos de K, tales que

sup{|αnxn| : n ∈ N} <∞.

Para cada elemento x = {xn}∞n=1 ∈ E, se define

‖x‖ = sup{|αnxn| : n ∈ N}

(a) Demostrar que la aplicacion x→ ‖x‖ de E en R es una norma si, y solo si, αn 6= 0,para cada n ∈ N.

En lo que sigue se supone que la aplicacion anterior es una norma.

(b) Probar que el espacio normado (E, ‖ ‖) es de Banach y no separable.

(c) `∞

(K) ⊆ E si, y solo si, {αn}∞n=1 ∈ `∞

(K).

(d) Si `∞

(K) ⊆ E, probar que la inyeccion canonica I: (`∞

(K), ‖ ‖∞)→ (E, ‖ ‖), es linealy continua. Determinar su norma.

(e) `∞

(K) = E si, y solo si, existen constantes M > 0 y K > 0, tales que

K ≤ |αn| ≤M, para cada n ∈ N.

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4. Sean K una aplicacion continua de [0, 1] × [0, 1] en R y L una aplicacion continua de[0, 1]× R en R. Para cada f ∈ C([0, 1],R), se define la aplicacion f ∗ por

f ∗(x) =∫ 1

0K(x, t)L(t, f(t)) dt, x ∈ [0, 1].

(a) Probar que f ∗ es continua en [0,1].

(b) Demostrar que el conjunto

{f ∗ : f ∈ C([0, 1],R), ‖f‖∞ ≤ 1},

es relativamente compacto en (C([0, 1],R), ‖ ‖∞)


‖P‖ = sup{|P (x)| : 0 ≤ x ≤ 1}, P ∈ P .

Si a ∈ R, se considera la aplicacion Ta de P en R, definida por

Ta(P ) = P (a).

(a) Si a ∈ [0, 1], probar que Ta es continua. Calcular ‖Ta‖.(b) Si a /∈ [0, 1], probar que Ta no es continua.

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1. Sean x0, x1, . . . , xn, n+ 1 elementos de un espacio normado E. Se supone que para cadaϕ ∈ E ′ se verifica

|ϕ(x0)| ≤n∑k=0

|ϕ(xk)|.

Demostrar que x0 pertenece al subespacio generado por los vectores x1, x2, . . . , xn.

2. Sean E y F espacios normados sobre el cuerpo K con E Banach y sea {Ti}i∈I una familiade aplicaciones lineales y continuas de E en F . Se supone que existe un abierto no vacıoV de E, tal que para cada x ∈ V se verifica

sup{‖Ti(x)‖ : i ∈ I} <∞.

Demostrar que existe M > 0, tal que para cada i ∈ I se tiene ‖Ti‖ ≤M.

3. Sean (H, ‖ ‖) un espacio de Hilbert sobre K, {en}∞n=1 una base hilbertiana de H y α =

{αn}∞n=1 ∈ `2(K) con αn 6= 0 para n = 1, 2, . . ..

(a) Demostrar que para cada x ∈ H, la serie

∞∑n=1

αn〈x, en〉

converge absolutamente.

(b) Probar que la igualdad

‖x‖α =∞∑n=1

|αn〈x, en〉|, x ∈ H,

define una norma en H.

(c) Demostrar que la sucesion {en}∞n=1 converge en el espacio normado (H, ‖ ‖α). Lasucesion {en}∞n=1, ¿converge en el espacio de Hilbert (H, ‖ ‖)?

(d) Demostrar que la identidad I: (H, ‖ ‖) → (H, ‖ ‖α) es continua. ¿Es continua laidentidad I: (H, ‖ ‖α)→ (H, ‖ ‖)?

(e) Probar que (H, ‖ ‖α) no es un espacio de Banach.

(f) Sea β = {βn}∞n=1 una nueva sucesion de elementos de `2(K) con βn 6= 0 para n =

1, 2, . . .. Demostrar que la identidad I: (H, ‖ ‖β)→ (H, ‖ ‖α) es continua si, y solo si,existe M > 0, tal que

|αn| ≤M |βn|, para cada n ∈ N.

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4. Un espacio normado (E, ‖ ‖) sobre K se dice que es un espacio de Banach de sucesionessi:

(i) (E, ‖ ‖) es un espacio de Banach.

(ii) E es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las sucesiones de elementos deK.

(iii) Para cada numero natural m, la aplicacion πm: (E, ‖ ‖)→ K, definida por

πm({an}∞n=1) = am

es continua.

Sean (E, ‖ ‖) y (F, ‖ ‖∗) dos espacios de Banach de sucesiones sobre el mismo cuerpoK y {bn}∞n=1 una sucesion de elementos de K. Se supone que para cada {an}∞n=1 ∈ E,la sucesion {bnan}∞n=1 pertenece a F . Probar que la aplicacion T : (E, ‖ ‖) → (F, ‖ ‖∗),definida por

T ({an}∞n=1) = {bnan}∞n=1

es continua.

5. Sea M un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert H. Se designa por P laproyeccion ortogonal de H sobre M y por Q la proyeccion ortogonal de H sobre M⊥. SeaT una aplicacion lineal de H en H.

(a) Probar que son equivalentes los enunciados siguientes:

(i) T (M) ⊆M y T (M⊥) ⊆M⊥.

(ii) PT = TP .

(iii) QT=TQ.

Se supone que T verifica la siguiente propiedad:

〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 para cada par de elementos x, y ∈ H.

Demostrar la equivalencia de los enunciados siguientes:

(I) T (M) ⊆M .

(II) T (M⊥) ⊆M⊥.

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1. Sea g: [−π, π] → C continua. Probar que para cada f ∈ L2([−π, π],C) se tiene que

gf ∈ L2([−π, π],C). Sea M la aplicacion de L

2([−π, π],C) en L

2([−π, π],C) definida por

M(f) = gf .

(a) Probar que M es lineal y continua.

(b) Para cada p ∈ Z, se considera la funcion ep: R→ C definida por

ep(t) = eipt.

Si p, n ∈ Z, determinar M(ep)(n).

(c) Si f ∈ L2([−π, π],C) y n ∈ Z, determinar M(f)(n) en funcion de los coeficientes de

Fourier de f y de g.

2. Sean H un espacio de Hilbert separable de dimension infinita, {en}∞n=1 una base hilber-tiana de elementos de H y {an}∞n=1 una sucesion ortogonal de elementos de H. Probarque los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) Existe T :H → H lineal continua con T (en) = an, n ∈ N.

(b) La sucesion {an}∞n=1 es acotada en H.

(c) Para cada y ∈ H, la sucesion {〈an, y〉}∞n=1 es acotada en K.

Si la sucesion {an}∞n=1 esta acotada en H, probar que existe una unica aplicacion lineal ycontinua T :H → H con T (en) = an, n ∈ N. Determinar ‖T‖.

3. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H cerrado y P la proyeccionortogonal de H sobre M . Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) La dimension algebraica de M es finita.

(b) P ({x ∈ H : ‖x‖ ≤ 1}) es un compacto de H.

4. Sea A el conjunto de las funciones f ∈ L2([−π, π],C) tales que existe n = n(f) ∈ N con

f(m) = 0, para cada m ∈ Z con |m| > n. Probar que A es un conjunto de primera

categorıa en L2([−π, π],C).

5. Sea M el subespacio vectorial de L2([0, 1],R) generado por las funciones 1, t y t2. Si

g(t) = senπt en [0,1], calcular d(g,M).

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1. Sea {xn}∞n=1 una sucesion de elementos de un espacio de Hilbert H tal que, para cada

y ∈ H, la sucesion numerica {〈xn, y〉}∞n=1 pertenece a `2(K). Probar que la aplicacion T

de H en `2(K) definida por

T (y) = {〈xn, y〉}∞n=1

es continua.

2. Sean E un espacio normado y T una aplicacion lineal de E en E.

(a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes.

(i) T es continua y dimT (E ) = 1.

(ii) Existen ϕ ∈ E ′ no nulo y a ∈ E, a 6= 0, tales que

T (x) = ϕ(x)a

para cada x ∈ E.

(b) Sean H un espacio de Hilbert y a, b ∈ H. Se considera la aplicacion Tab de H en Hdefinida por

Tab(x) = 〈x, a〉b.(iii) Probar que Tab es lineal continua y calcular ‖Tab‖(iv) Demostrar que Tab 6= 0 si, y solo si, a 6= 0 y b 6= 0.

(v) Si T es una aplicacion lineal y continua de H en H tal que dimT (H) = 1, probarque existen elementos a, b ∈ H con a 6= 0 y b 6= 0, tales que

T (x) = 〈x, a〉b

para cada x ∈ H.

3. Dar un ejemplo de un subespacio vectorial A de C([0, 1],R) que verifique las siguientespropiedades:

(a) A es un conjunto de primera categorıa en (C([0, 1],R), ‖ ‖∞).

(b) A es un conjunto denso en (C([0, 1],R), ‖ ‖∞).

4. Sea n un numero natural. Se designa por Pn al espacio vectorial de los polinomios en unavariable con coeficientes reales y de grado menor o igual que n.

(a) Demostrar que el conjunto

Mn = {P ∈ Pn :∫ 1

0P (t) dt = 0}

es un subespacio vectorial cerrado de L2([0, 1],R). ¿ Cual es su dimension?

(b) Si g(t) = t3, t ∈ [0, 1], determinar el unico polinomio P ∈M2 tal que

‖g − P‖2 ≤ ‖g −Q‖2

para cada Q ∈ P2.

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INTRODUCCION A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES Problemas … · 2013. 9. 23. · INTRODUCCION A LOS...

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