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Introducción al estudio cualitativo de solucioneselípticas superlineales en dominios simétricos

Hugo Aduén

Departamento de Matemáticas y EstadísticaUniversidad de Córdoba

Bogotá–2010

Hugo Aduén () Introducción al estudio cualitativo Junio de 2010 1 / 25

Contenido

1 Introducción

2 Existencia de Soluciones Radiales

3 Resultados de Unicidad

4 Estimativos tipo Bahri-Lions

5 Soluciones no-radiales

6 Referencias

Introducción

Contenido

1 Introducción

6 Referencias

Introducción

Frecuentemente en varias ramas de la ciencia tales como: Astrofísica,Física Cuántica y Geometría Diferencial encontramos ecuacioneselípticas de la forma

∆u+ f(|x|, u) = 0 (1)

definidas en varios dominios en Rn radialmente simétricos tales como:Rn, B y A, con condiciones de frontera adecuadas; donde B es unabola y A es un anillo.Algunos ejemplos clásicos son:

∆u+ |u|p−1u = 0 Ecuación de Emden-Fowler

∆u+1

1 + |x|2up = 0 Ecuación de Matukuma

Introducción

∆u+ f(|x|, u) = 0 (1)

∆u+1

Introducción

∆u+ f(|x|, u) = 0 (1)

∆u+1

Introducción

∆u+ f(|x|, u) = 0 (1)

∆u+1

Introducción

∆u+K(|x|)un+2n−2 = 0 Ecuación curvatura escalar

∆u+ λu+ up = 0 Ecuación de Brezis-Nirenberg

Si únicamente se consideran soluciones radiales, los problemaselípticos se reducen al análisis de la ecuación diferencial ordinaria desegundo orden

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + f(r, u(r)) = 0 (2)

sobre un intervalo finito o infinito de R con varias condiciones defrontera o condiciones asintóticas.

Introducción

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + f(r, u(r)) = 0 (2)

Introducción

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + f(r, u(r)) = 0 (2)

Introducción

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + f(r, u(r)) = 0 (2)

Existencia de Soluciones Radiales

Contenido

1 Introducción

6 Referencias

En 1972 Joseph y Lundgren demostraron:

TeoremaSean p > 1 y n ≥ 3. Para cada a ∈ R existe una únicau ∈ C2([0,∞); R) tal que:

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + |u(r)|p−1u(r) = 0, r > 0

u(0) = a

u′(0) = 0.

Además1 Si p < (n+ 2)/(n− 2) entonces u tiene infinitos ceros en (0,∞).2 Si p ≥ (n+ 2)/(n− 2) y a > 0 entonces u > 0 en (0,∞).3 Si p = (n+ 2)/(n− 2) y a > 0 entonces

u(r) = a(1 + cr2

) 2−n2 ; c :=

ap−1

n(n− 2).

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + |u(r)|p−1u(r) = 0, r > 0

u(0) = a

u′(0) = 0.

u(r) = a(1 + cr2

) 2−n2 ; c :=

ap−1

n(n− 2).

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + |u(r)|p−1u(r) = 0, r > 0

u(0) = a

u′(0) = 0.

u(r) = a(1 + cr2

) 2−n2 ; c :=

ap−1

n(n− 2).

u′′(r) +n− 1r

u′(r) + |u(r)|p−1u(r) = 0, r > 0

u(0) = a

u′(0) = 0.

u(r) = a(1 + cr2

) 2−n2 ; c :=

ap−1

n(n− 2).

Gráfica 1

Figura: Infinitos ceros

Gráfica 2

Figura: Soluciones positivas

En 1987 Castro y Kurepa (Proc. Amer. Math. Soc.), extendiendo unresultado similar de Struwe (Manuscripta Math, 1980), demuestranque el problema

∆u+ g(u) = p(‖x‖) x ∈ Rn, ‖x‖ < T

u(x) = 0 para ‖x‖ = T

tiene infinitas soluciones radiales.Básicamente las condiciones sobre g y p son:

1 g es superlineal, es decir, lım|u|→∞g(u)u =∞.

2 |g(u)| ≤ A|u|w +B, 1 < w < (n+ 2)/(n− 2)3 p ∈ L∞[0, T ].

Las técnicas usadas por los autores fueron: análisis del problema devalor inicial singular, métodos de energía y análisis de plano de fase.

∆u+ g(u) = p(‖x‖) x ∈ Rn, ‖x‖ < T

u(x) = 0 para ‖x‖ = T

2 |g(u)| ≤ A|u|w +B, 1 < w < (n+ 2)/(n− 2)3 p ∈ L∞[0, T ].

∆u+ g(u) = p(‖x‖) x ∈ Rn, ‖x‖ < T

u(x) = 0 para ‖x‖ = T

2 |g(u)| ≤ A|u|w +B, 1 < w < (n+ 2)/(n− 2)3 p ∈ L∞[0, T ].

Otros autores que han obtenido soluciones radiales nodales son:Jones y Küpper (1986), Grillakis (1990), McLeod, Troy y Weissler(1990), Kajikiya (1991, 1993), Dambrosio (2004).

Resultados de Unicidad

Contenido

1 Introducción

6 Referencias

En 1983, Wei-Ming Ni (J. Differential Equations) considera el siguienteproblema:

∆u+ |u|p−1u = 0 en A := x ∈ Rn : 0 < α < ‖x‖ < βu = 0 sobre ∂A,

donde n ≥ 3 y 1 < p ≤ (n+ 2)/(n− 2). Se demuestra:

TeoremaPara cada k ∈ N, existe una única solución radial de (4) que tieneexactamente k − 1 ceros en (α, β).

Idea clave de la demostración: Para cada a := u′(α) > 0, seconsidera la función i-ésimo cero de la solución u, zi : (0,∞)→ (0,∞)y se demuestra que: z′i(a) < 0, es decir, z′i es estrictamentedecreciente.

En 1996, Yanagida (SIAM J. Math. Anal.), considera el problema (4) entodo R y también demuestra unicidad de soluciones radiales nodales.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1

−0.5

n=3, p=1.5

y(0)=1.5y(0)=2y(0)=2.5

Figura: Los ceros decrecen

En el 2003, Aduén y Castro ( Proc. Amer. Math. Soc.) consideran elproblema:

∆u+ |u+ c|p−1(u+ c) = 0 en B := B(0, 1)u = 0 sobre ∂B,

donde n ≥ 3, 1 < p < (n+ 2)/(n− 2) y c ∈ R. Se demuestra:

TeoremaExiste k0 ∈ N tal que para cada k ≥ k0, existe una única soluciónradial de (5) que tiene exactamente k − 1 ceros en (0, 1).

En el 2003, Aduén y Castro ( Proc. Amer. Math. Soc.) consideran elproblema:

∆u+ |u+ c|p−1(u+ c) = 0 en B := B(0, 1)u = 0 sobre ∂B,

donde n ≥ 3, 1 < p < (n+ 2)/(n− 2) y c ∈ R. Se demuestra:

TeoremaExiste k0 ∈ N tal que para cada k ≥ k0, existe una única soluciónradial de (5) que tiene exactamente k − 1 ceros en (0, 1).

En el 2008, Aduén, Castro y Cossio (J. Math. Anal. Appl.) consideranel problema:

∆u+ |u|p−1u = K‖x‖−

2pp−1 en A := x ∈ Rn : 0 < α < ‖x‖ < β

u = 0 sobre ∂A,(6)

donde n ≥ 3, 1 < p < n/(n− 2) y K ∈ R. Se demuestra:

TeoremaExiste k0 ∈ N tal que para cada k ≥ k0, existe una única soluciónradial de (6) que tiene exactamente k − 1 ceros en (α, β).

Estimativos tipo Bahri-Lions

Contenido

1 Introducción

6 Referencias

Sea Ω una región acotada y suave de Rn con n ≥ 3.Bahri y Lions ( 1988, Comm. Pure Appl. Math.) demuestran que parap ∈ (1, n

n−2) y f ∈ C(Ω) el problema elíptico:−∆u = |u|p−1u+ f en Ω

u = 0 sobre ∂Ω,(7)

tiene una sucesión uk de soluciones que satisface

J(uk) ≥ C1kγ , (8)

donde C1 ∈ R+, γ := 2(p+1)n(p−1) y J : H1

0 (Ω)→ R es el funcional definidopor:

J(u) =∫

(12‖∇u‖2 − 1

p+ 1|u|p+1 − fu

Sea Ω una región acotada y suave de Rn con n ≥ 3.Castro y Clapp (2006, Proc. Amer. Math. Soc.) consideran el problema

−∆u = |u+ u0|p−1(u+ u0) + f en Ωu = 0 sobre ∂Ω,

donde f ∈ C(Ω) y u0 ∈ C2(Ω) es tal que ∆u0 = 0.El funcional J asociado a (9) viene dado por:

J(u) =∫

(12‖∇u‖2 − 1

p+ 1|u+ u0|p+1 − fu

Se demuestra

Teorema

Si u0 = 0 y p < nn−2 o si u0 6= 0 y p < n+1

n−1 , entonces el problema (9)tiene una sucesión uk de soluciones que satisface

C2kγ ≤ J(uk) ≤ C3k

γ , (10)

donde C2, C3 > 0 y γ := 2(p+1)n(p−1) .

Soluciones no-radiales

Contenido

1 Introducción

6 Referencias

Soluciones no-radiales

Teorema

Si Ω es una bola o un anillo, u0 ≡ c, f = 0 y p < n+1n−1 , entonces el

problema (9) tiene infinitas soluciones no radiales.

Referencias

Contenido

1 Introducción

6 Referencias

Referencias

[1] Aduén, Hugo; Castro, Alfonso Infinitely many nonradial solutions toa superlinear Dirichlet problem. Proc. Amer. Math. Soc. 131(2003), no. 3, 835–843

[2] Aduén, Hugo; Castro, Alfonso; Cossio, Jorge, Uniqueness of largeradial solutions and existence of nonradial solutions for asuperlinear Dirichlet problem in annulii. J. Math. Anal. Appl. 337(2008), no. 1, 348–359

[3] A. Bahri and P.-L. Lions, Morse index of some min-max criticalpoints. I. Application to multiplicity results, Comm. Pure Appl. Math.41 (1988), 1027-1037.

[4] Castro, Alfonso; Clapp, Mónica Upper estimates for the energy ofsolutions of nonhomogeneous boundary value problems. Proc.Amer. Math. Soc. 134 (2006), no. 1, 167–175

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