IntroduccionALosMecanismos

7/23/2019 IntroduccionALosMecanismos

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Introduccion a la Cinematica de las Maquinas.

Jose Mara Rico MartnezDepartamento de Ingeniera Mecanica

Division de Ingenieras, Campus Irapuato-Salamanca

Universidad de Guanajuato

Salamanca, Gto. 36885, Mexico

August 20, 2015

Objetivo: El objetivo de estas notas es proporcionar al interesado una recopilaci on de las definiciones yresultados mas importantes acerca de los fundamentos de la teora de las maquinas y mecanismos. Ademaspermite realizar algunas puntualizaciones necesarias ausentes en algunos libros de texto.

1 Generalidades

La cinematica de las maquinas, tambien llamada mecanismos, es una disciplina que enlaza ciencias mas basicas,como dinamica, con otras mas ingenieriles o de aplicacion, tales como el diseno de maquinas. Durante el estudiode la dinamica se aprendio el calculo de velocidades y aceleraciones de cuerpos rgidos y agrupaciones de cuerposrgidos; ademas, se analizaron las fuerzas necesarias para producir determinadas aceleraciones en los cuerpos.Mucho de ese material sera nuevamente estudiado en la cinematica de las maquinas; sin embargo, ahora elestudio se concentrara en agrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos.

Por otro lado, la cinematica de las maquinas concede especial atencion a las distintas posiciones que loscuerpos que forman parte de un mecanismo adquieren durante el movimiento del mecanismo. Este analisis deposicion es requerido en el diseno de maquinas. Cronologicamente, la primera consideracion en un diseno, es

el movimiento que es necesario producir a fn de cumplir con el objetivo deseado; en un segundo termino, seencuentran las consideraciones de resistencia y rigidez. En cuanto a predominancia, en algunos casos, como en eldiseno del mecanismo de impresion de una maquina de escribir manual, el punto de vista mas importante es aquelque se relaciona con el movimiento requerido; mientras que en otros, como el diseno de trascabos y maquinaria deconstruccion, los argumentos de resistencia y rigidez predominan sobre los argumentos puramente cinematicos.En ultimo caso, el diseno final debe obtenerse despues de un compromiso entre ambas consideraciones. Despuesde estos comentarios preliminares, es posible intentar una definicion de la cinematica de las maquinas.

1.1 Definicion de la Cinematica de las Maquinas.

Definicion: La cinematica de las maquinas se define como aquella division del diseno de maquinas queconcierne con el diseno cinematico de eslabonamientos, levas, engranes, etc. A fn de precisar el significado dela cinematica de las maquinas se requiere de dos definiciones adicionales.

Definicion: Diseno de maquinas: Es la creacion de un plan para la construccion de una maquina odispositivo para realizar una funcion.

Definicion: Diseno cinematico: Es diseno sobre la base de requerimientos de movimiento, en contrastecon el diseno en base a requerimientos de resistencia y rigidez. As pues, es posible redefinir la cinematica delas maquinas como: Aquella parte del diseno de maquinas que concierne con el diseno, en base arequerimientos de movimiento, de eslabonamientos, levas, engranes, etc.

1.2 Mecanismo y Maquina.

Haremos ahora una distincion conceptual entre mecanismos y maquinas.

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Definicion: Mecanismo. Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro.

Definicion: Maquina1: Es un mecanismo o una combinacion de mecanismos que trasmiten fuerza, desdela fuente de potencia hasta la resistencia a vencer. Si las fuerzas estan asociadas con la conversion de la energade fluidos a alta temperatura, entonces podemos hablar de unamaquina termica2.

Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el movimiento, dejando en un plano

secundario la transmision de fuerza necesaria para vencer la friccion o una fuerza exterior; en la idea de maquina,la mente asocia la transmision de fuerzas substanciales. Debe reconocerse que las partes que constituyen unmecanismo deben ser resistentes a la deformacion; es decir, cuerpos rgidos aproximados.3

Ademas, puesto que en la cinematica de las maquinas no interesa la resistencia y la rigidez, supondremos quelas partes de un mecanismo son completamente rgidas y sin peso. A la luz de la anterior discusion, podemosdefinir un mecanismo como un conjunto de cuerpos conectados de tal manera que cada uno semueve respecto a los demas y transmiten movimiento.

2 Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rgido.

El concepto de grados de libertad proviene de la teora de sistemas y es de aplicacion muy general, en estasnotas adoptaremos la siguiente definicion.

Definicion: Grado de libertad de un sistema. Se define como el numero mnimo y suficiente devariables que es necesario conocer para determinar el estado de un sistema.

En la cinematica, donde no nos interesan las fuerzas que producen el movimiento, el estado de un sistema,cinematico, es sinonimo con posicion. Si se conoce la posicion de un sistema cinematico se conoce todo acercadel sistema. As pues, es posible iniciar explorando el concepto de grados de libertad del movimiento de uncuerpo rgido.

Definicion: Grado de libertad de un cuerpo rgido es el numero mnimo y suficiente de variablesnecesarias para especificar completamente la posicion del cuerpo. Si el cuerpo esta libre de moverse en elespacio su movimiento tiene seis grados de libertad, vea la figura 1.

Figure 1: Grados de Libertad de un Cuerpo Rgido Libre de Moverse en el Espacio.

Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posicion del cuerpo: Tres variables

para especificar las coordenadas de un punto cualquiera del cuerpo, respecto a un sistema de referencia dado, ytres variables para especificar la orientacion de un sistema coordenado formado por tres lneas perpendicularesunidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una de esas variables se le asocia un grado de libertad.

Al ponerse en contacto, con otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados de libertad, porejemplo

1En idioma ingles Machine.2En idioma ingles Engine.3Este requisito es necesario debido a la gran dificultad para analizar elementos flexibles en movimiento. Sin embargo, desde

hace unos veinte anos, se han dado los primeros pasos en esa direcci on.

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1. Un trompo que gira manteniendo contacto con un plano pierde un grado de libertad, el de translacion alo largo del eje perpendicular al plano de movimiento.

2. Si el trompo gira de manera tal que la punta permanece fija en un punto, pierde los tres grados de libertadasociados a la translacion.

3. Un cuerpo sujeto a rotacion alrededor de un eje fijo pierde cinco grados de libertad, restandole tan soloaquel asociado a la rotacion alrededor del eje fijo.

4. Un cuerpo sujeto a translacion rectilnea, pierde todos sus grados de libertad excepto aquel asociado a latranslacion a lo largo del eje de desplazamiento.

5. Un cuerpo sujeto a movimiento plano, un movimiento tal que todas las partculas del cuerpo se mueven enplanos paralelos, tiene tres grados de libertad. Dos de ellos estan asociados a las translaciones a lo largode ejes linealmente independientes contenidos en el plano de movimiento y el grado de libertad restanteesta asociado a la rotacion alrededor de un eje fijo perpendicular al plano, vea la figura 2.

Figure 2: Grados de Libertad de un Cuerpo Rgido Sujeto a Movimiento Plano General.

Este ultimo tipo de movimiento reviste especial importancia en virtud de que en una gran parte de losmecanismos industriales los cuerpos que forman el mecanismo se mueven de esta manera. Mas aun, la mayorparte del curso se centra sobre esta clase de mecanismos llamados planos

El movimiento plano general tiene como casos especiales la traslacion bidimensional y la rotacion alrededorde un eje fijo.

Una vez establecidos estos conceptos fundamentales, se analizaran los elementos que constituyen los mecan-ismos.

3 Elementos Constitutivos de un Mecanismo.

Los elementos constitutivos de un mecanismo son, por un lado, los cuerpos que forman el mecanismo y, por elotro lado, las conecciones entres estos cuerpos que les permiten permanecer en contacto y transmitir movimiento.Los cuerpos se denominan eslabones o barras y las conecciones se denominan pares cinematicos, en estasseccion ambos se definiran de manera puntual y se clasificaran en diferentes tipos o clases.

3.1 Eslabon o Barra.

Definicion: Eslabon o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de acuerdo con loexplicado, se suponen que son rgidos y no tienen peso.

La condicion de rigidez de los eslabones no es necesariamente total, sino unicamente implica que sea rgidorespecto a las fuerzas a las que se somete el eslabon.

Esta consideracion da lugar a una clasificacion de los eslabones de acuerdo a su rigidez:

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1. Rgido en ambos sentidos, cuando el eslabon tiene rigidez a tension y compresion. Ejemplos: La bielade un compresor, un engrane, el piston de una maquina de combustion interna, etc.

2. Rgido en un unico sentido.

(a) Rgido cuando se sujeta a compresion. Ejemplo: Fluidos hidraulicos.

(b) Rgido cuando se sujeta a tension. Ejemplo: Correas, bandas y cadenas.

A fn de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros. Esas conexiones se realizan atraves de ciertas partes de sus cuerpos que reciben el nombre de elementos. La siguiente subseccion examinala relacion entre elementos y pares.

3.2 Eslabones y Pares.

Definicion: Par cinematico. Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones, mantenidospermanentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre ellos, recibe el nombre de parcinematico.

Esta definicion da lugar a una nueva clasificacion de los eslabones, esta clasificacion depende del numero deelementos que contiene un eslabon; en otra palabras, la clasificacion indica el numero maximo de pares, quepuede formar el eslabon.

Es logico que si los eslabones tienen como funcion la transmision de movimiento, el numero mnimo de paresque deben formar es dos; as pues, los eslabones se clasifican en:

1. Eslabon o barra binaria, vea la figura 3.4

Figure 3: Eslabon o Barra Binaria.

2. Eslabon o barra poligonal.5

(a) Barra ternaria, vea la figura 4.

Figure 4: Dos Posibles Representaciones de una Barra Ternaria.

(b) Barra cuaternaria.

(c) Barra quinaria, etcetera.

Una vez que se han completado las clasificaciones de eslabones, es necesario proceder con el estudio y clasificaci onde pares cinematicos.

4Es importante senalar que esta clasificacion se desarrollo antes de la aparicion de manipuladores seriales, en los cuales, eleslabon terminal y el eslabon que une al manipulador con la tierra, unicamente tiene un elemento y son, por lo tanto, eslabonesunarios.

5A fn de indicar que se trata de un unico cuerpo, y no de tres o mas cuerpos unidos mediante pares cinem aticos, los eslabonespoligonales se anchuran.

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3.3 Clasificacion de Pares Cinematicos.

La clasificacion de pares cinematicos puede realizarse en base a tres diferentes criterios.

1. El numero de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones que estan conectados por el par.

2. El tipo de contacto entre los elementos.

3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto.

Clasificacion de pares cinematicos en cuanto al numero de grados de libertad del movimientorelativo entre los elementos.6

En esta clasificacion, existen dos condiciones que imponen un lmite superior e inferior al numero de gradosde libertad, esas condiciones son:

El par cinematico debe permitir movimiento relativo entre los elementos. Por lo tanto, debeexistir al menos un grado de libertad en el movimiento relativo.

Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben permanecer encontacto. De aqui que deba existir como maximo cinco grados de libertad en el movimiento relativo entrelos eslabones. Una vez que se han determinado los lmites superior e inferior del numero de grados de

libertad del movimiento relativo que permite un par cinematico, es posible clasificarlos de forma exhaustiva.

En base a estos fundamentos es posible clasificar a los pares cinem aticos en base al numero de grados delibertad del movimiento relativo que permiten entre los eslabones.

6Esta clasificacion esta basada en las diferentes formas en que el movimiento relativo entre los dos cuerpos puede restringirse.Existe otro criterio mas estricto para la definicion de un par cinematico; este criterio requiere que el conjunto de movimientos relativosque permite un par sea un subgrupo del grupo de los movimientos de un cuerpo rgido junto con la operacion de composicion. Estegrupo se conoce como grupo euclidiano.

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3.3.1 Clasificacion de Pares Cinematicos en Base a los Grados de Libertad del MovimientoPermitido Entre los Eslabones.

Pares Cinematicos de Clase I. Numero de grados de libertad del movimiento 1. Numero de grados delibertad perdidos 5. Posibles casos:

1. Revoluta (R), permite un movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo.

Figure 5: Par de Revoluta.

2. Prismatico (P), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje, o una curva dada.

Figure 6: Par Prismatico.

3. Helicoidal o de tornillo (H), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje y simultaneamenteun movimiento de rotacion, dependiente de la translacion, alrededor del mismo eje.

Figure 7: Par de Tornillo o Helicoidal.

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Pares cinematicos de la clase II. Numero de grados de libertad del movimiento 2. Numero de grados delibertad perdidos 4. Posibles casos:

1. Esfera ranurada (Sl), permite un movimiento de rotacion alrededor de dos ejes linealmente independi-entes.

Figure 8: Par Constituido por un Esfera con Mango en Contacto con un Soporte Ranurado.

2. Cilndrico (C), permite un movimiento de traslacion a lo largo de un eje y un movimiento de rotacionindependiente alrededor del mismo eje.

Figure 9: Par Cilndrico.

3. Leva (Ca), permite traslacion a lo largo de un eje y rotacion alrededor de un eje perpendicular al primero.

Figure 10: Par de Leva.

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Pares Cinematicos de la clase III. Numero de grados de libertad del movimiento 3. Numero de gradosde libertad perdidos 3. Posibles casos:

1. Esferico o globular (S), permite rotacion alrededor de tres ejes . Es decir permite rotacion alrededorde un punto fijo.

Figure 11: Par Esferico o Globular.

2. Esfera sobre cilindro acanalado (Ss), permite rotacion alrededor de dos ejes linealmente independi-entes y traslacion a lo largo de un tercer eje.

Figure 12: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilndro Acanalado.

3. Plano (Pl), permite traslacion a lo largo de dos ejes y rotacion alrededor de otro eje perpendicular a losotros dos.

Figure 13: Par Plano.

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Pares Cinematicos de la clase IV. Numero de grados de libertad del movimiento 4. Numero de gradosde libertad perdidos 2. Posibles casos:

1. Esfera sobre acanaladura (Sg), permite rotacion alrededor de tres ejes y translacion a lo largo de otro.

Figure 14: Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un Cilindro Ranurado.

2. Cilindro sobre plano (Cp), permite rotacion alrededor de dos ejes y traslacion a lo largo de otros dos.

Figure 15: Par Constituido por un Cilindro en Contacto con un Plano.

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Pares Cinematicos de la clase V. Numero de grados de libertad del movimiento 5. Numero de gradosde libertad perdidos 1. Posibles casos:

1. Esfera sobre plano (Sp), permite translacion a lo largo de dos ejes y rotacion alrededor de tres ejes.

Figure 16: Par Constituido por una Esfera en Contacto con un Plano.

Existen otras dos clasificaciones que aun cuando no son de importancia en el an alisis de mecanismos sonaltamente importantes en el contexto mas amplio del diseno de maquinas.

3.3.2 Clasificacion de pares cinematicos de acuerdo al tipo de contacto entre elementos

. En base a esta clasificacion, los pares cinematicos se clasifican en

1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a traves de una superficie. Ejemplos, Piston-camisade un compresor, par globular de un portaplumas.

2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos idealmente, a traves de un punto o unalnea. Ejemplos, Contacto entre una leva y su seguidor de rodillo.

Para la transmision de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los pares inferiores; pues los

superiores estaran sujetos a esfuerzos de contacto muy elevados.

3.3.3 Clasificacion de pares cinematicos en cuanto a la forma en que se mantienen los elementosen contacto

. En base a esta clasificacion, los pares cinematicos se clasifican en

1. Pares abiertos o cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en contacto mediante el concursode una fuerza externa tal como la gravedad o la fuerza de un resorte deformado. Ejemplo, El par formadopor una leva y su seguidor en una maquina de combustion interna.

2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto por la forma misma de construcci ondel par. Ejemplo, El par prismatico formado por el piston y camara de un compresor.

Debe observarse que los pares cinematicos cerrados por forma son mas confiables que los cerrados por fuerza.7

7Es importante notar que estas dos ultimas clasificaciones son mas importantes en el ambito del diseno mecanico que en eldiseno cinematico de maquinas. La razon de estas clasificaciones esta en su generador, el ingeniero aleman Franz Reuleaux, quienen la segunda mitad del siglo XIX fue el impulsor de la ensenanza sistematica de la cinematica de las maquinas y se autodefinacomo un constructor de maquinas.

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3.4 Mecanismos Planos y Pares Cinematicos.

Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos; su construccion es sencilla y suestudio relativamente simple, estas caractersticas, aunadas a su gran versatilidad de aplicacion, son suficientespara que nuestro curso se concentre en su estudio.

Definicion: Mecanismos planos.Los mecanismos planos se definen como aquellos mecanismos tales que

todos sus eslabones estan sujetos a movimiento plano general y los planos de movimiento son paralelos.La pregunta que surge de inmediato es: Que tipos de pares cinematicos pueden formar parte de un meca-nismo plano?

Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo analisis. Un cuerpo sujeto a movimiento plano generaltiene tres grados de libertad; si ademas el cuerpo esta conectado a otros eslabones a fn de formar parte deun mecanismo, entonces los pares que pueden formar parte de mecanismos planos deben perder como mnimocuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posibles pares a aquellos de las clases I y II.

Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecanismos planos ser an aquellos quepermitan uno o varios de los movimientos que constituyen el movimiento plano. De forma mas correcta, debedecirse que esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos en el grupo de los movimientos formadospor todos los movimientos planos generales. Translacion a lo largo de dos ejes linealmente independientescontenidos en el plano, o rotacion alrededor de un eje perpendicular al plano. Un sencillo analisis muestra quelos pares que pueden formar parte de un mecanismo plano son: los pares de revoluta, los pares prismaticos y

los pares de leva.Esta restriccion sobre los tipos de pares cinematicos que pueden formar parte de mecanismos planos se

basa exclusivamente en consideraciones del numero de grados de libertad en el movimiento relativo as comodel movimiento asociado a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos formados exclusivamente por lospares antes mencionados que no son planos: Transmisiones mediante engranes c onicos, la junta de cardan, levascilndricas, etc. Por lo tanto, deben existir otras restricciones que conciernen a la disposicion u orientacion delos ejes de los pares cinematicos y que en conjunto con las anteriores, aseguran que el mecanismo formado esplano. Estas restricciones se indican a continuacion.

1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes de rotacion deben ser paralelos.

2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismatico, el eje de desplazamiento del par prismatico debeser perpendicular a los ejes de rotacion de los restantes pares de revoluta.

3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotaci on del par de leva debe ser paraleloa los ejes de los restantes pares de revoluta y el eje de la traslacion debe ser perpendicular a los ejes derotacion de los restantes pares de revoluta.

Hasta aqu, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes constitutivas de los mecanismos,toca ahora unirlas o conjuntarlas para obtener eventualmente mecanismos, ese es el tema de la siguiente seccion.

4 Cadena Cinematica, Eslabonamiento e Inversion.

La entidad basica, a partir de la cual se generan todos los mecanismos se llama cadena cinem atica.

Definicion: Cadena Cinematica. Una cadena cinematica es la union de pares cinematicos y eslabones

de modo que formen uno o varios circuitos o lazos8

cerrados.Las cadenas cinematicas se clasifican en:

1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinematica son binarios.

2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligonales.

Ejemplo. La cadena mostrada en la figura 17 tiene un unico lazo y cinco eslabones binarios, por lo tantoes simple.

8En lenguaje ingles lo ops.

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Figure 17: Cadena Cinematica Simple.

La cadena mostrada en la figura 18 tiene dos lazos. Existe ademas otro lazo que comprende parte de los otros

dos lazos; sin embargo, puede probarse que las ecuaciones escalares que genera este tercer lazo son combinacionesde las ecuaciones escalares que generan los dos primeros lazos. En esta cadena cinematica, los eslabones 2, 5, y7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 son ternarios, por lo tanto, la cadena es compleja.

Figure 18: Cadena Cinematica Compleja.

El siguiente paso en la generacion de mecanismos es la generacion de eslabonamientos.

Definicion: Eslabonamiento. Un eslabonamiento9 es una cadena cinematica en la cual se ha fijado unode sus eslabones a un marco de referencia, este eslabon fijo se denomina marco o eslabon fijo.

Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con un sentido mas especfico, para nombrar mecanismos

formados exclusivamente por pares inferiores.Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en la figura 19 se han formado fijando respectivamente los

eslabones 1 y 5 de la cadena cinematica de la figura 17.Estos dos ejemplos permiten introducir el ultimo concepto de esta seccion.

Definicion: Inversion. A partir de una cadena cinematica formada porn-eslabones, puede generarse comomaximon eslabonamientos diferentes. Dado un eslabonamiento, los diferentes eslabonamientos que se producenal fijar alternativamente uno de los restantes eslabones de la cadena, se llamaninversionesdel eslabonamientoinicial.

9En lenguaje ingles linkage.

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Figure 19: Dos Eslabonamientos Generados a Partir de la Cadena Cinematica Simple de la Figura 5.

Es importante reconocer que en una inversion, el movimiento relativo entre los eslabones no se altera y solocambia su movimiento absoluto. Un ejemplo importante del concepto de inversion se encuentra en la sntesisgrafica de levas.

Una de las aplicaciones mas importantes del concepto de inversion cinematica consiste en la busquedaexhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta parte del estudio de los mecanismos es conocida como sntesis denumero o sistematica.

Figure 20: Cadena Cinematica de Watt.

Por ejemplo, la sistematica nos indica que a partir de la cadena cinem atica de Watt, figura 20, los unicoseslabonamientos diferentes sin importar las dimensiones de los eslabones son los mostrados en la figura 21.

Figure 21: Dos Eslabonamientos Obtenido a Partir de la Cadena Cinematica de Watt.

Comentarios historicos: En la literatura actual, en particular en artculos cientficos, los terminos: Cadena,eslabonamiento y mecanismos se consideran sinonimos. Sin embargo, debe recordarse que estos terminos seoriginaron durante la sistematizacion de la cinematicas de las maquinas en Alemania, notorio por la rigidez de

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su forma de pensar. Por otro lado, el desarrollo de la tecnologa moderna ha hecho obsoletos algunos de estosconceptos; por ejemplo, los manipuladores seriales se generan a partir de cadenas abiertas. Estas cadenasabiertas estan formadas por pares cinematicas y eslabones que no forman un lazo cerrado.

5 Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de Grubler

.Definicion: Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el numero mnimo y suficiente

de variables requeridas para determinar completamente la posicion del eslabonamiento. Es decir, conociendoesas variables debe ser posible conocer la posici on de cualesquiera de los eslabones que forman parte del es-labonamiento.

Ejemplos. A continuacion se presentan dos ejemplos de eslabonamientos que incluyen un conteo de susgrados de libertad o movilidad.

1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento plano con cuatro barras y cuatropares de revoluta. Todos los ejes de los pares de revoluta son paralelos. El eslabonamiento tiene un gradode libertad o movilidad igual a 1.

Figure 22: Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y tres pares, un par cilndrico entreel marco y la leva, un par de leva entre la leva y el seguidor y un par prism atico entre el seguidor y elmarco. El eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual a 2.

Figure 23: Leva Espacial.

Una forma de determinar el numero de grados de libertad de un eslabonamiento consiste en observar sumovimiento si lo hay, y determinar empiricamente ese numero mnimo y suficiente de variables.

Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad de eslabonamientos que no hansido construidos; para solucionar este problema, desde el siglo pasado se formularon diferentes criterios demovilidad, uno de los mas sencillos es el criterio de Grubler.

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A continuacion se deducira el criterio de Grubler para eslabonamientos planos. Es decir, para aquelloseslabonamientos cuyos eslabones se mueven en planos paralelos. La secuencia del razonamiento es la siguiente

1. Imagine la formacion de un eslabonamiento constituido por Neslabones, vea la figura 24. Originalmenteel sistema tiene 3Ngrados de libertad 3 grados de libertad por cada uno de los cuerpos que se conectaranpara construir el eslabonamiento.

Figure 24: Cuerpos Rgidos Aislados que Formaran un Eslabonamiento.

2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se fije al sistema referencia, vea lafigura 25. Por lo tanto, el conjunto tiene ahora 3 (N1) grados de libertad.

Figure 25: Cuerpos Rgidos Aislados que Formaran un Eslabonamiento, con uno de Ellos Fijo.

3. Por ultimo, a fn de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse mediante pares cinematicos, veala figura 26. Puesto que los eslabones estan originalmente obligados a tener movimiento plano general,entonces un par de la clase Iprismatico o de revoluta elimina 2 grados de libertad y un par de leva, dela clase IIelimina un grado de libertad.

Figure 26: Eslabonamiento Formado a Partir de los Cuerpos Rgidos Inicialmente Aislados.

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As pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la ecuacion

F= 3 (N1) 2 P1 P2 (1)

DondeFes el numero de grados de libertad del eslabonamiento, Nes el numero de eslabones que formanel eslabonamiento, P1 es el numero de pares de la clase Ique forman parte del eslabonamiento y P2 es el

numero de pares de la clase IIque forman parte del eslabonamiento. La ecuacion (1) se conoce como elcriterio de Grubler.10

Dependiendo del numero de grados de libertad, un eslabonamiento se clasifica en

1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una estructura estaticamenteindeterminada.

2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una estructura estaticamentedeterminada.

3. F > 0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un mecanismo de 1, 2, 3, etc.grados de libertad, segun sea el caso.

5.1 Aplicacion del Criterio de Grubler.

En esta seccion se determinaran los grados de libertad de diferentes eslabonamientos aplicando el criterio deGrubler.

1. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 26, el eslabonamiento contiene 5 eslabones, y 6 parescinematicos, indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 6, que es un par de leva, entre loseslabones 2 y 5, son pares de la clase I, de manera que aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F= 3 (N 1) 2 P1 P2 = 3 (5 1) 2 (5) 1 = 12 10 1 = 1. (2)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad.

2. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 27, el eslabonamiento contiene 4 eslabones, y 4 pares

de revoluta, indicados en italica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera que aplicando elcriterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N1) 2 P1 P2= 3 (4 1) 2 (4) 0 = 9 8 0 = 1. (3)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad, como era de esperarse. Este mecanismo sele conoce como un mecanismo plano de cuatro barras.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 28, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 paresde revoluta, indicados en italica, todos estos pares pertenecen a la clase I, de manera que aplicando elcriterio de Grubler, se tiene que

F = 3 (N1) 2 P1 P2= 3 (3 1) 2 (3) 0 = 6 6 0 = 0. (4)

El eslabonamiento es una estructura estaticamente determinada, como era de esperarse pues, del estudiode la Estatica, se sabe bien que un triangulo es la celula basica de las estructuras.

10Existe una modificacion del criterio de Grubler, conocido como criterio de Kutzbach-Grubler, aplicable a eslabonamientosespaciales. La formula de este criterio esta dada por

F = 6(N 1) 5P1 4P2 3P3 2P4 1P5

dondeNes el numero de eslabones yP1, P2, P3, P4 y P5 son el numero de pares de las clases I, II, III, IV y V, respectivamente. Sinembargo, el numero de excepciones es en el caso espacial enorme, de manera que este criterio se estudia p or razones principalmentehistoricas.

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Figure 27: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones y Cuatro Pares de Revoluta. Mecanismo Plano deCuatro Barras.

Figure 28: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones y Tres Pares de Revoluta. Estructura estaticamenteDeterminada.

4. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 29, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 parescinematicos indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 3, que es un par de leva, entre los

eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que aplicando el criterio de Grubler,se tiene queF = 3 (N1) 2 P1 P2= 3 (3 1) 2 (2) 1 = 6 4 1 = 1. (5)

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad. Este mecanismo se conoce como un mecan-ismo de leva de disco con seguidor de cara plana.

Figure 29: Eslabonamiento Formado por Tres Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva. Leva deDisco con Seguidor de Cara Plana .

5. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 30, el eslabonamiento contiene 4 eslabones,y 4 pares cinematicos indicados en italica, todos estos pares, excepto el par 4, que es un par de leva,

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entre los eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que aplicando el criterio deGrubler, se tiene que

F = 3 (N1) 2 P1 P2= 3 (4 1) 2 (3) 1 = 9 6 1 = 2. (6)

El eslabonamiento es un mecanismo de dos grado de libertad. Este mecanismo se conoce como un mecan-

ismo de leva de disco con seguidor de rodillo. A primera vista, este resultado parece erroneo, pues unaleva de disco con seguidor de rodillo puede sustituirse, sin problema alguno, por una leva de disco conseguidor de cara plana, un mecanismo que tiene unicamente un grado de libertad. Sin embargo, debenotarse que la leva de disco con seguidor de rodillo presenta un grado de libertad pasivo que consiste enun movimiento de rotacion del rodillo, cuando el resto de los eslabones del mecanismo permanecen fijos.

Figure 30: Eslabonamiento Formado por Cuatro Eslabones, Dos Pares de Revoluta y un Par de Leva. Leva deDisco con Seguidor de Rodillo.

5.1.1 Analisis de Revolutas Multiples.

En esta pequena seccion, se estudia un problema especfico: Si en un eslabonamiento dado aparece una revolutaen la que se conectan varios eslabones, desde el punto de vista cinem atico Cuantas revolutas deben considerarsepara propositos de aplicacion del criterio de Grubler?

Figure 31: Revoluta en la que se Conectan tres eslabones.

La solucion a este problema se basa en la idea misma de movimientos relativos entre los eslabones. En larevoluta mostrada en la figura 31 se conectan 3 eslabones, y por lo tanto, existen tres movimientos relativosentre los eslabones

2/1 = 2 1 3/1= 3 1 3/2= 3 2

Sin embargo, solo dos de esos movimientos son independientes. Es decir, si se conocen dos de esos tres movimien-tos relativos, digamos 2/1 y 3/1, entonces

3/2 = 3 2 = (3 1) (2 1) = 3/1 2/1

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De manera que esta revoluta representa dos movimientos relativos independientes y para efectos del empleo delcriterio de Grubler, esta revoluta multiple cuenta como 2 revolutas. No es muy difcil generalizar este resultadoy mostrar que si en una revoluta en la que se conectan n eslabones, esta revoluta cuenta como n 1 revolutaspara efectos del empleo del criterio de Grubler.

5.2 Excepciones al Criterio de Grubler.

Un criterio de movilidad, como el de Grubler, basado exclusivamente en consideraciones del numero de eslabonesy de pares necesariamente debe tener excepciones; es decir eslabonamientos para los cuales el n umero de gradosde libertad determinado mediante el criterio de Grubler no es el correcto. Algunas de ellas se ilustran acontinuacion.

1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal como el mostrado en la figura32.

Figure 32: Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una Excepcion del Criterio de Grubler.

Aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F= 3(4 1) 4(2) 0(1) = 9 8 = 1 (7)

Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras son a1 = 4 u.l.,a2 = 2 u.l., a3 = 7 u.l. y a4 = 1 u.l.. y se trata de ensamblar el mecanismo, se encuentra que la unicamanera en que los eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura 15. Consecuentemente, estemecanismo plano de cuatro barras tiene 0 grados de libertad y es en realidad una estructura.

2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura 33.

Figure 33: Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinematicos que Constituye una Excepcion del Criterio deGrubler.


F= 3(5 1) 2(6) 0 = 12 12 0 = 0. (8)

Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3, y 4 son paralelos, adem as loseslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y permiten que el eslabonamiento gire en el sentido indicado,por lo tanto F = 1.

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Figure 34: Eslabonamiento de Dos Lazos con Pares Prismaticos y de Revoluta que Constituye una Excepciondel Criterio de Grubler.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 34.


F= 3(5 1) 2(6) 0 = 12 12 0 = 0. (9)

Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un lazo, aquel formado por loseslabones conectados por los pares prismaticos esta asociado a las traslacionales planas, mientras quecualquiera de los dos restantes lazos esta asociado al movimiento plano general. Puede probarse que eleslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.

4. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 35. El eslabonamiento tiene 23 eslabones,33 pares cinematicos de la clase I y no tiene pares cinem aticos de la clase II. Por lo tanto, aplicando elcriterio de Grubler, se tiene que

F= 3 (N 1) 2 PI1 PII= 3 (23 1) 33 (2) 1 (0) = 66 66 0 = 0. (10)

El resultado, correcto en este caso, indica que el eslabonamiento es un estructura. Estas estructuras seemplean frecuentemente en techos y puentes.

Figure 35: Un eslabonamiento con cero grados de libertad: Estructura reticular para un puente.

De manera similar, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 36. Este eslabonamiento tiene elmismo numero de eslabones y pares cinematicos que el eslabonamiento de la figura 35. Por lo tanto,aplicando el criterio de Grubler, se tiene que

F= 3 (N 1) 2 PI1 PII= 3 (23 1) 33 (2) 1 (0) = 66 66 0 = 0. (11)

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Sin embargo, en este caso, el resultado es incorrecto. Ninguna persona precavida le gustara pasar cami-nando o manejando un automovil por un puente disenado de esa manera.

Figure 36: Un eslabonamiento con un grados de libertad: Un puente peligroso.

Es facil darse cuenta que el eslabonamiento mostrado en la figura 36 se obtuvo del eslabonamiento mostrado

en la figura 35 simplemente cambiando de localizacion el eslabon o barra numero 14. Este cambio conducea que el cuadrilatero formado por las barras 16, 17, 18, 19 y 20 forma una subestructura estaticamente inde-terminada, de manera que el comportamiento cinematico del eslabonamiento no se altera si el cuadrilaterose sustituye por un cuerpo rgido como se muestra en la figura 37. Este eslabonamiento tiene 18 eslabones

Figure 37: Un eslabonamiento equivalente al mostrado en la figura 36.

o barras, 25 pares cinematicos de la clase I y no tiene pares cinem aticos de la clase II. Aplicando, el criteriode Grubler se tiene

F= 3 (N 1) 2 PI1 PII= 3 (18 1) 25 (2) 1 (0) = 51 50 0 = 1. (12)

Este calculo correcto, indica que el eslabonamiento tiene un grado de libertad y en un mecanismo, confir-mando las sospechas que habiamos indicado en el parrafo anterior.

6 Movilidad Mediante Ecuaciones de Clausura, Criterio de Paul.

Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, se basa en el numero de variables necesarias paradeterminar la posicion del eslabonamiento as como las ecuaciones que restringen esas variables, es debido aPaul y se estudia a continuacion. El metodo requiere de formular las ecuaciones vectoriales de clausura deleslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponer las ecuaciones vectoriales de clausura ensus componentes escalares, que se convierten en las ecuaciones escalares de clausura, y determinar cuantas de

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ellas son linealmente independientes. Puesto que las ecuaciones escalares de clausura son, tambien, el puntode partida para resolver el analisis de posicion de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenascinematicas mediante ecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del an alisis de posicion de mecanismosplanos.

6.1 Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La posici on del eslabonamiento quedaunicamente determinada si se conocen los angulos 2, 3, 4. Estas variables cinematicas se conocen tambiencomo coordenadas Lagrangianas, o coordenadas generalizadas. Es importante reconocer que estas variablesno son independientes sino que estan obligadas a satisfacer las ecuaciones de clausura del lazo o lazos deleslabonamiento.

Figure 38: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuacion de clausura en forma vectorial es

a2+ a3 = a1+ a4 (13)

y las ecuaciones escalares resultantes son

a2Cos 2+a3Cos 3 = a1Cos 1+a4Cos 4

a2Sen 2+a3Sen 3 = a1Sen 1+a4Sen 4 (14)

sustituyendo1 = 0, y reagrupando los terminos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como

f1( 2, 3, 4) = a2Cos 2+a3Cos 3 a1 a4Cos 4= 0

f2( 2, 3, 4) = a2Sen 2+a3Sen 3

a4Sen 4 = 0 (15)

Entonces, el numero de grados de libertad, F, sera el numero de coordenadas Lagrangianas o generalizadas, C,menos el numero de ecuaciones independientes E. Es decir

F=CE (16)

En particular, para el mecanismo plano de cuatro barras,

F= 3 2 = 1. (17)

Este resultado comprueba el resultado obtenido previamente mediante el criterio de Grubler.

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6.2 Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 39. La posici on del eslabonamiento queda unicamentedeterminada si se conocen los angulos2, 3, y la coordenada s. Debe notarse que las dimensiones a2, a3, e, e,s son parametros constantes.

Figure 39: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo de Biela Manivela Corredera.

Las ecuacion de clausura, en forma vectorial, esta dada por

a2 = e+ s+ a3. (18)

Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son

f1(2, 3, s) = a2Cos 2 s a3Cos 3 = 0

f2(2, 3, s) = a2Sen 2 e a3Sen 3 = 0 (19)

Entonces, el numero de grados de libertad sera

F =CE= 3 2 = 1 (20)

De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grubler corrobora el resultado.

6.3 Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 40. La posici on del eslabonamiento queda unicamentedeterminada si se conocen los angulos2, 3, 4, 5, 6. Debe notarse que las dimensionesa1,a2, a3, a4, a5,a6,b1, b2, 1, y son parametros constantes.

Las ecuaciones de clausura, en forma vectorial, son

a2+ a3 = a1+ a4

a2+ b2+ a6 = a1+ b1+ a5 (21)

Las correspondientes ecuaciones escalares de clausura son

f1(2, 3, 4, 5, 6) = a2Cos 2+a3Cos 3 a1Cos 1 a4Cos 4 = 0

f2(2, 3, 4, 5, 6) = a2Sen 2+a3Sen 3 a1Sen 1 a4Sen 4 = 0

f3(2, 3, 4, 5, 6) = a2Cos 2+b2Cos( 3+) +a6Cos 6 a1Cos 1 b1Cos( 4 ) a5Cos 5 = 0

f4(2, 3, 4, 5, 6) = a2Sen 2+b2Sen( 3+) +a6Sen 6 a1Sen 1 b1Sen( 4 ) a5Sen 5 = 0

(22)

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Figure 40: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos.

Entonces, el numero de grados de libertad esta dado por

F =CE= 5 4 = 1 (23)

De nueva cuenta, el empleo del criterio de Grubler corrobora el resultado. Sin embargo, una revision de la figura40, revela que existen otros posibles lazos que conducen a otras ecuaciones vectoriales, por ejemplo

a4+ b3+ a6 = b1+ a5 (24)

No obstante, puede probarse que esta ecuacion vectorial, al igual que cualquier otra ecuacion que se puedaobtener, son linealmente dependientes de las dos ecuaciones vectoriales que ya se han obtenido. En particular,si se resta la primera ecuacion (21) de la segunda ecuacion (21), se tiene que

a2+ b2+ a6 a2 a3 = a1+ b1+ a5 a1 a4 (25)

ob2 a3+ a6+ a4 = b1+ a5 (26)

Sin embargo, de la figura 40, es evidente que

b2 a3 = b3 (27)

Por lo tanto, la ecuacion puede escribirse como

a4+b3+ a6 =

b1+ a5 (28)

Es claro, pues, que la aplicacion de este criterio requiere de la determinacion de un conjunto de ecuaciones vec-toriales linealmente independientes y que representen totalmente las ecuaciones de clausura del eslabonamiento.Informacion completa acerca de este problema puede encontrarse en el libro de Paul, vea [1].

6.4 Ejemplo 4. Mecanismo Plano de Dos Lazos, que Clarifica Porque Falla el

Criterio de Grubler.

En este ejemplo se usara el criterio de Paul para dar una nueva interpretacion a algunos de los casos en los queel criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 41.

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Figure 41: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos que Permite Ilustrar Porque Falla elCriterio de Grubler.

La posicion del eslabonamiento queda unicamente definida si se conocen los angulos2, 3, 4, 5. Existendos ecuaciones vectoriales de clausura, que estan dadas por

a2+ a3 = a1+ a4b2+ a5 = a3+ b4 (29)

Las ecuaciones escalares son


a2Sen 2+a3Sen 3 = a4Sen 4+a1Sen 1

b2Cos 2+a5Cos 5 = a3Cos 3+b4Cos 4

b2Sen 2+a5Sen 5 = a3Sen 3+b4Sen 4 (30)

Debe notarse que a1, a2, a3, a4, b2, b4, y1 son parametros cuyo valor no cambia durante el movimiento deleslabonamiento. Por lo tanto, el numero de grados de libertad o movilidad del eslabonamiento sera

F =CE= 4 4 = 0 (31)

De aqu que, en general, el eslabonamiento sea una estructura.Considere, sin embargo, el caso particular del eslabonamiento que satisface las siguientes condiciones

a1 = a3 = a5, a2= a4 y b2 = b4. (32)

Analize, por el momento, las ecuaciones escalares de clausura correspondientes al lazo inferior, vea las dosprimeras ecuaciones de las de la ecuacion (30), donde se han sustituido las igualdades indicadas en la ecuacion(32).

a2Cos 2+a1Cos 3 = a1Cos 1+a2Cos 4a2Sen 2+a1Sen 3 = a2Sen 4+a1Sen 1 (33)

Elevando al cuadrado ambos lados de las dos ecuaciones anteriores y sumando los terminos correspondientes,se tiene que

a2(C22+S

22) +a1(C23+S

23) + 2 a1a2(C 2C 3+S 2S 3) =

a2(C24+S

24) +a1(C21+S

21) + 2 a1a2(C 1C 4+S 1S 4)

o, reduciendo aun mas,C(3 2) = C(1 4). (34)

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Figure 42: Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Determinacion de la Longitud AN.

Por otro lado, para cualquier mecanismo de cuatro barras, vea figura 42, la determinacion de la longitudANconduce a la ecuacion

a21

+a222 a1a2C(2 1) = a

2

3+a2

42 a3a4C(4 3),

sustituyendo las igualdades dadas por (32), la ecuacion se reduce a

a21+a

2

22 a1a2C(2 1) = a

2

1+a2

22 a1a2C(4 3),

o, finalmente,C(2 1) = C(4 3). (35)

Las ecuaciones (34) y (35), conducen a las siguientes posibilidades

3 2 = 1 4 o 3 2 = (1 4) (36)

2 1 = 4 3 o 2 1 = (4 3) (37)

Si se toma la primera posibilidad de ambas ecuaciones (36) y (37), se obtiene que 11

3 = 1 y 4 = 2. (38)

Puesto que 4 = 2, un analisis mucho mas simple para el lazo superior conduce a

5= 3 = 1. (39)

El eslabonamiento que se obtiene bajo estas restricciones se muestra en la Figura 43.Bajo estas circunstancias, las ecuaciones de restriccion se reducen a


a2Sen 2+a1Sen 1 = a1Sen 1+a2Sen 2

b2Cos 2+a1Cos 1 = a1Cos 1+b2Cos 2

b2Sen 2+a1Sen 1 = a1Sen 1+b2Sen 2 (40)

Es facil notar que estas ecuaciones se satisfacen identicamente. Por lo tanto,

F =CE= 1 0 = 1 (41)

El grado de libertad, indicado por la ecuacion anterior, es evidente cuando se observa que el conjunto puederotar alrededor de un eje perpendicular al plano del papel.

11Un analisis de las restantes posibilidades conduce a soluciones en las que las condiciones solo se satisfacen momentaneamente.

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Figure 43: Caso Especial del Mecanismo Mostrado en la Figura 41.

6.5 Ejemplo 5. Mecanismo Plano de Dos Lazos Independientes, que ClarificaPorque Falla el Criterio de Grubler.

En este ejemplo se usara el criterio de Paul para dar una nueva interpretacion a algunos de los casos en los queel criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura 44, que se emplea en mecanismosde prensas mecanicas e hidraulicas. En particular, debe notarse la simetra de la geometra y de la topologa.Esta simetra se emplea para aplicar de manera mas uniforme la fuerza de prensado mediante el dado superiorrepresentado por el eslabon 6.

El mecanismo de la figura 44, tiene 9 eslabones y 12 pares de la clase I, 10 pares de revoluta y 2 prismaticos,si se aplica el criterio de Grubler, se tiene que

F = 3(N1) 2 PIPII= 3(9 1) 2(12) 0 = 24 24 = 0. (42)

De manera semejante, si se emplea el criterio de Paul, debe notarse que

1 = 180 2 = 270

3 = 90 +3

4 = 90 +4 5 = 270

6 = 180

7 = 907 11 = 0

12 = 270

13 = 903 14 = 90

4 16 = 0

17 = 90 +7

Ademas, las siguientes magnitudes son constantes a1 = a11, a3 =a13, a4 =a14, a6 = a16, a7 = a17. Por lo que,las unicas coordenadas generalizadas son a2, a12, a5, junto con 3, 4, 7.

Las ecuaciones vectoriales de clausura, estan dadas por

a1+ a2 = a3+ a4a5+ a6+ a7 = a3

a11+ a12 = a13+ a14

a5+ a16+ a17 = a13 (43)

Puesto que, en general, cada ecuacion vectorial genera 2 ecuaciones escalares, a primera vista el criterio de Paulconduce a

F =CE= 6 8 = 2 (44)

Ambos resultados, nos indican que el eslabonamiento es una estructura, aun cuando el criterio de Paul, nosindica que la estructura es estaticamente indeterminada.

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Figure 44: Ecuaciones Vectoriales en otro Mecanismo Plano de Dos Lazos Que Permite Ilustrar Porque Falla elCriterio de Grubler.

En la parte final de este ejemplo, se analizaran, con mas detalle, las ecuaciones escalares que resultande las ecuaciones vectoriales (43), para de esa forma descubrir el numero correcto de grados de libertad deleslabonamiento. Las ecuaciones vectoriales estan dadas por

a1i a2j = a3C(90 +3)i+a3S(90

+3)j+a4C(90 +4)i+a4S(90

+4)j

a5j a6i+a7C(907)i+a7S(90

7)j = a3C(90

+3)i+a3S(90 +3)j

a11i a12j = a13C(903)i+a13S(90

3)j+a14C(90

4)i+a14S(90

4)j

a5j+a16i+a17C(90 +7)i+a17S(90

+7)j = a13C(903)i+a13S(90

3)j (45)

Sustituyendo las condiciones de igualdad entre los eslabones, las ecuaciones escalares son

a1 = a3S 3 a4S 4 (46)

a2 = a3C 3+a4C 4 (47)

a6+a7S 7 = a3S 3 (48)

a5+a7C 7 = a3C 3 (49)

a1 = a3S 3+a4S 4 (50)

a12 = a3C 3+a4C 4 (51)

a6 a7S 7 = a3S 3 (52)

a5+a7C 7 = a3C 3 (53)

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Un analisis muy simple de las ecuaciones revela que las siguientes parejas de ecuaciones, la (46) y la (50), la(48) y la (52), la (49) y la (53) son redundantes por lo tanto, el sistema de ecuaciones se reduce a

a1 = a3S 3 a4S 4 (54)

a2 = a3C 3+a4C 4 (55)

a6+a7S 7 = a3S 3 (56)

a5+a7C 7 = a3C 3 (57)

a12 = a3C 3+a4C 4 (58)

De esa manera, se tiene que el numero de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul, est a dado por

F =CE= 6 5 = 1 (59)

Ademas es interesante notar que las ecuaciones (55) y (58) conducen a

a2 = a12 (60)

Este resultado permite verificar la completa simetra del mecanismo, que es la causante de los errores inicialesen el calculo de los grados de libertad del mecanismo.

6.6 Ejemplo 6. Mecanismo Plano Complejo, Que Constituye Una Excepcion del

Criterio de Grubler.

Considere el mecanismo plano mostrado en la figura 45, el mecanismo esta formado por cinco eslabones y seispares de la clase I, cuatro pares prism aticos y dos pares de revoluta. Si se aplica el criterio de Grubler, elresultado es

F = 3 (N1) 2 PIPII= 3 (5 1) 2 6 0 = 12 12 0 = 0. (61)

De acuerdo con este resultado el eslabonamiento parece ser una estructura. Si se consideran las ecuacionesde clausura dadas por

s1+ s2 = a2+ b3

a2+ a3 = s3+ s4 (62)

y las ecuaciones escalares correspondientes son

s1C s1+s2C 2 = a2C2+b3C(3+)

s1S s1+s2S 2 = a2S2+b3S(3+)

a2C2+a3C 3 = s3C s3+s4C 4

a2S2+a3S 3 = s3S s3+s4S 4 (63)

Ademas, las siguientes magnitudes son constantes a2, a3, b3, 2, 4, , s1, s3. Por lo que, las unicascoordenadas generalizadas son, a primera vista, 2, 3, s1, s2, s3 y s4.

De esa manera, se tiene que el numero de grados de libertad, de acuerdo al criterio de Paul, est a dado por

F=CE= 6 4 = 2. (64)

Sin embargo, debe notarse que el eslabon triangular esta conectado al eslabon fijo mediante dos pares prismaticosde modo que el movimiento relativo del eslabon triangular respecto al eslabon fijo es unicamentede traslacion, por lo tanto la variable 3 es en realidad un parametro.

Por lo tanto, volviendo a aplicar el criterio de Paul, se tiene que la movilidad est a dada por

F=CE= 5 4 = 1. (65)

El mecanismo tiene un grado de libertad.

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Figure 45: Mecanismo Plano Complejo que Constituye una Excepcion del Criterio de Grubler.

6.7 Ejemplo 7. Mecanismo Plano Que Incluye Pares Superiores.

En los tres ejemplos anteriores se mostro que la movilidad de mecanismos planos puede determinarse sub-strayendo al numero de variables necesarias,para determinar la posicion de todos los eslabones del mecanismo,el numero de ecuaciones independientes obtenidas a partir de las ecuaciones de clausura de los lazos. Sin em-bargo, todos los ejemplos ilustrados contienen exclusivamente pares de revoluta y prismaticos. En esta pequenanota, se muestra como se puede determinar, empleando este mismo metodo, la movilidad de mecanismos planosque contienen pares de leva, en particular una pareja de engranes.

Considere el mecanismo mostrado en la figura 46, el mecanismo est a formado por un eslabon fijo, una pareja

de engranes y dos bielas. Por lo tanto, el numero total de eslabones del mecanismo es N = 5, ademas elmecanismo tiene PI= 5 pares de la clase I, todos ellos de revoluta, finalmente el mecanismo tiene un par deleva, representado por la pareja de engranes, por lo tanto, PII= 1. Aplicando el criterio de Grubler, se tieneque

F = 3 (N1) 2 PIPII= 3 (5 1) 2 5 1 = 12 10 1 = 1. (66)

Figure 46: Mecanismo Plano con un Par de Leva, Formado por una Pareja de Engranes.

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Considere ahora la ecuacion vectorial mostrada en la figura 46. La ecuacion esta dada por

a1+ a2+ a3 = a5+ a4 (67)

las componentes escalares de esta ecuacion estan dadas por

a1C1+

a2C2+

a3C3=

a5C5+

a4C4 (68)

a1S1+a2S2+a3S3 = a5S5+a4S4 (69)

los parametros de estas ecuaciones son a1, a2, a3, a4, a5, r2 y r5 donde estos dos ultimos parametros son losradios de los engranes. Ademas 1 = 0

, las variables son 2, 3, 4 y 5.

Figure 47: Relacion Entre los Angulos de Giro de los Engranes.

Sin embargo, los engranes introducen una nueva ecuacion, sean 20 y 50 las posiciones iniciales, o deensamble, de los eslabones 2 y 5. Entonces, las angulos2 y 5, vea la figura 47, estan relacionados por

2 20

5 50=

r5

r2. (70)

o(2 20) r2 = (5 50) r5. (71)

En algunos libros, esta ecuacion se denomina ecuacion auxiliar.Concluyendo, el numero de variables necesarias para determinar la posicion del mecanismo es V = 4,

mientras que las ecuaciones escalares independientes son las ecuaciones (68,69,71). Es decir, E= 3, por lo tanto

F =V E= 4 3 = 1. (72)

El mismo numero de grados de libertad que el determinado empleando el criterio de Grubler.

Bibliografa

[1] Paul, B. [1979], Kinematics and Dynamics of Planar Machinery, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.

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