INVENTIVAY CREATIVIDAD EN MATEMÁTICAS Y EN … · INVENTIVAY CREATIVIDAD EN MATEMÁTICAS Y EN...

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 103, Nº. 1, pp 183-205, 2009X Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

INVENTIVA Y CREATIVIDAD EN MATEMÁTICAS Y EN FÍSICA.LOS FRACTALES Y EL CÁLCULO FRACCIONARIODARÍO MARAVALL CASESNOVES *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.

Mi experiencia en esta materia arranca de hará unoscuarenta años en que fui nombrado miembro delComité de Inventiva y Creatividad del Instituto deIngeniería de España; allí trabajamos en el área de laTecnología y de la Ingeniería, y esta conferencia es unintento de extender este trabajo al campo de la Ciencia,en concreto de la Matemática y de la Física.

Existen leyes científicas que han nacido en unmomento determinado, y en circunstancias, para seraplicadas a hechos o fenómenos muy concretos, peroque son también aplicables en momentos y circuns-tancias muy distintos y a fenómenos muy diferentes.Por ejemplo existe una ley de la Economía que afirmaque “las primeras aplicaciones del capital al trabajoson enormemente productivas”, pues bien, también sepuede afirmar que “las primeras aplicaciones de lasMatemáticas a otras Ciencias, son enormemente pro-ductivas”.

En la Biogenética hay una ley enunciada porLamarck, según la cual “la función crea el órgano”,pues bien, también se puede afirmar que “las necesi-dades humanas crean la Ciencia y la Tecnología”, en laque hay que tomar la palabra necesidad, en un sentidomás amplio que el habitual, que en su forma más pri-mitiva sería el de las necesidades asociadas a la super-vivencia del individuo y de la especie, y a la modifi-cación del medio ambiente para hacerlo más adecuado,para que pueda vivir en él, el hombre, esto sucede enlas sociedades más primitivas, y en las más modernas,están asociadas a conseguir un mayor bienestar; en unafase más adelantada, se incluiría la satisfacción de lasinquietudes culturales de los hombres; y en los casos

más extremos se llegaría a la Ciencia por la Ciencia.Esta satisfacción de las inquietudes culturales comomotor del progreso científico, es una constantehistórica, que se viene manifestando en todos lossiglos, con tanta mayor intensidad, cuanto mayor es elnivel intelectual de un pueblo. Nace seguramente conTales de Mileto en el siglo VII a.d.C., padre de laFilosofía y de las Matemáticas griegas.

Como ya he dicho anteriormente, en otras oca-siones, me parece que se puede enunciar un principiodel placer intelectual o de la gratificación propor-cionada a la mente humana, por la satisfacción de susinquietudes culturales, como uno de los estímulos másimportantes para el progreso científico. He propuestodar a este principio el nombre de principio de Atenea(la diosa griega de la sabiduría, la Minerva de losromanos). Haciendo de contrapeso a este principio,existe otro que es también motor de la investigacióncientífica, según el cual, el progreso surge como unarespuesta al reto que lanza el hombre, unenfrentamiento con una nueva necesidad. He pro-puesto llamarle principio de Hefesto (Vulcano para losromanos), que es el dios de los herreros y de la inci-piente industria de griegos y romanos. La elección deestos dos nombres me ha sido sugerida por el uso queFreud primero, y Marcuse después, han hecho de losprincipios de Eros y Tanatos, como base de su Cienciael primero, y de su Filosofía el segundo.

En esta conferencia hacemos un análisis históricode cómo se han ido desarrollando la creatividad y lainventiva en las Matemáticas y en la Física.Terminamos con una exposición detallada de los

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recientes objetos matemáticos que son los fractales,que aparecen con fuerza en la segunda mitad del sigloXX y de lo que se acostumbra llamar MatemáticasPatológicas. Explicamos como puede extenderse aellos, la integración, la teoría de series, las probabili-dades, la geometría de masas, y las leyes de laMecánica. Insisto en la importancia que pueden llegara tener los fractales en la Física, debido a unasextrañas propiedades, como se explica en el texto deesta conferencia.

La Ciencia y la Tecnología que dan su nombre aeste programa de promoción de la cultura de la RealAcademia de Ciencias, son dos actividades intelec-tuales, muy próximas, que se ayudan entre sí, y que senecesitan una a la otra. En 1984 se celebró enBarcelona el VII Congreso Internacional de Minería yMetalurgia, en donde me invitaron a escribir unaponencia, cuyo título era “Las repercusiones de losavances de la Técnica sobre la Ciencia. El cambio dela unidad de longitud y la Teoría de la Relatividad”. Loque hice en realidad fue una autentica promoción de laCultura Científica y Tecnológica, como muchos añosdespués, ya en pleno siglo XXI viene realizando laReal Academia de Ciencias. No trataba de estableceruna teoría de como los cambios tecnológicos puedeninfluir en los cambios de las teorías científicas opueden modificar la manera de pensar de los hombresde ciencia. Lo que pretendía era exponer como estefenómeno es posible, y dar algunos ejemplos ilustra-tivos de esta fuerte correlación que existe entreCiencia y Tecnología (o Ingeniería), de cómo sepueden ayudar una y otra. Todo avance de laTecnología provoca un avance de la Ciencia, y todoavance de ésta, por intermedio de los Inventores, haceposible no sólo avanzar a la Ciencia sino inclusopuede hacerla cambiar de rumbo.

El avance de la Tecnología repercute siempre sobrela Ciencia experimental, porque el científico experi-mental utiliza para sus experiencias de laboratorio opara las observaciones astronómicas del Universo o dela Naturaleza y del mundo animal, vegetal o mineral,tecnologías muy diferentes entre sí. Por ejemplo elprogreso y perfeccionamiento de la microscopia ópticay electrónica, ha contribuido y contribuye al adelantode la Física, la Medicina o la Biología de maneradirecta, e incluso de manera indirecta al de las propiasMatemáticas.

Unas veces el disponer de mejores y más perfectostelescopios, satélites artificiales y de nuevos aparatos,ordenadores, etc, se aumenta considerablemente losconocimientos sobre lo infinitamente grande elUniverso y sobre lo infinitamente pequeño laspartículas elementales. Así se ha llegado a conocerentes tan extraños como son la materia obscura deluniverso, la expansión del mismo en lo infinitamentegrande y la de los invisibles quarks en el interior departículas que antiguamente se creían elementales yque hoy se sabe que no lo son, que son compuestascomo el protón y el neutrón por ejemplo.

En la literatura científica nos encontramos conpalabras como paradojas, experimentos cruciales,experimentos imaginarios, que tienen un significadomuy preciso y concreto, que aunque parecido al quetienen en el lenguaje coloquial, no es lo mismo, ysobre todo es muy preciso. La paradoja es un hechofísico real en el que se cree, se está seguro de que escierto y que sin embargo a pesar de la evidencia de suverdad, está en oposición con los resultados o los cál-culos de la teoría universalmente aceptada y que estáen vigor, y sin embargo los científicos siguen admi-tiendo como verdadera la teoría científica vigente,aunque esta no explique el hecho real implícito en laparadoja, o más aun esté en total y absoluta con-tradicción con la realidad en el ámbito, por otra partereducido, afectado por la paradoja. En la Física clásicaexistían muchas paradojas o enigmas, que no podríanser explicadas dentro del marco conceptual clásico,pero que podríamos decir que no tenían suficienteimportancia, o no se las concedía, para tratar decambiar por esta falta de explicabilidad la Físicaclásica por una nueva Física. Entre estas paradojas unamuy importante es la de Olbers (1758-1840)astrónomo alemán que en 1820 enunció la paradojaque lleva su nombre, según la cual la densidad deradiación recibida en cualquier punto del universo esinfinita, lo que viene a significar la negación de laoscuridad de la noche. Se debe ello a que en unespacio euclídeo infinito, con distribución uniforme delas fuentes de intensidad luminosa, la cantidad de estascubre un estrato esférico de radio r y espesor dr, esproporcional a 4r2dr, y teniendo en cuenta la ley dedecrecimiento proporcional con el cuadrado de la dis-tancia el flujo luminoso que incidiría sobre el centrode la esfera, debido a todo el universo es proporcionala la integral:

La paradoja de Olbers en la Física clásica se puedeeliminar, a mi juicio de dos modos distintos, admi-tiendo una ley de decrecimiento exponencial que si elexponente negativo es muy grande, para distanciaspequeñas coincide con el inversamente proporcional alcuadrado de la distancia. La otra solución dentro delmarco clásico, es admitir que el espacio euclídeo esinfinito, pero existe desde un tiempo finito (existe uninstante de creación, que se puede tomar como origendel tiempo) de modo que tomando este origen, en uninstante T (tiempo de existencia del universo) al viajarla luz con una velocidad finita c, en el límite superiorde la integral (1) hay que sustituir por cT, de modo que(1) no es infinito o sino proporcional a cT.

La Teoría de la Relatividad entre otras muchasparadojas, resuelve la de Olbers al suponer el universode tamaño finito. Puede consultarse mi folleto“Cosmología y Espacios abstractos” publicado por laEST de Ingenieros Agrónomos de Madrid.

También hay un tipo de paradojas muy importantesen la Mecánica Cuántica como son la de Einstein,Podolsky y Rosen (E.P.R.) publicada en PhysicalReview en 1935, rebatida por Bohr en el mismo año yen la misma revista; la del “gato” de Schrödinger pu-blicada también en 1935 en Natürwissenschaften, y ladel “amigo” de Wigner publicada en 1962 en TheScienticist Speculates. Estas tres paradojas han hechocorrer ríos de tinta, y no van contra el carácter ver-dadero de la Mecánica Cuántica sino contra uncarácter de teoría completa o consistente. Recordamosque una teoría es completa si toda proposición de lamisma es o verdadera o falsa y es consistente si dosproposiciones contradictorias de la misma no puedenser verdaderas las dos. En una teoría completa secumple el principio del tercero excluido y en una con-sistente se cumple el principio de contradicción.

Las paradojas de Schrödinger y Winger introducenelementos no físicos como son la muerte o super-vivencia de un ser vivo la primera y la conciencia delobservador la segunda. La E.P.R. parece ser másimportante y solamente hace referencia a considera-ciones estrictamente físicas.

La paradoja de Schrödinger consiste en que un gatose encierra en una cámara de gas, con la indicación deque debe ser protegido contra su propia interferencia;en un contador Geiger se introduce una cantidad muypequeña de sustancia radioactiva, de modo que al cabode cierto tiempo haya iguales probabilidades de que sedesintegre un átomo o no, si al cabo de este tiempo sedesintegra un átomo se pone en funcionamiento lacámara de gas y el gato muere, la función de onda delsistema se expresa por partes iguales de gato vivo omuerto. Lo que realmente se persigue es que un sucesocuántico (microfísica) desencadene un proceso clásico(macrofísico) directamente observable, y de aquí porobservación de lo macrofísico, sin perturbar el sistemamicrofísico, se obtiene información sobre el mismo,pero en mi opinión lo que se está haciendo, es unaobservación, una medida sobre el sistema microfísico,indirecta como todas ellas, porque la acción ejercidapor el sistema cuántico, si tiene lugar sobre el sistemamacrofísico, perturba al sistema microfísico, la puestaen marcha de la cámara de gas desempeña el papel deun aparato de medida. La visión de la muerte o super-vivencia del gato es como la lectura de un aparato demedida, no es nunca la lectura lo que perturba , que endefinitiva es la entrada en la conciencia del observadorde la información, la adquisición de un conocimientopor la mente urbana, sino que lo que perturba el objetoobservado, es el medio que se utiliza para que elaparato de medida señale esa lectura, para adquirir eseconocimiento o información.

Respecto a la E.P.R., Einstein, Podolsky y Rosencomienzan por afirmar su creencia en una realidadfísica que no depende de nuestra observación, que apriori nos es desconocida y que precisamente la misiónde la ciencia es averiguar cuales son sus propiedades,reconocen que no es fácil dar una definición signi-ficativa (operacional) de la realidad física, pero que sinembargo si se pueden reconocer sin ambigüedadalgunos elementos de la realidad física, y para ello pro-ponen el siguiente criterio “Si sin perturbar de ningunamanera un sistema se puede predecir con certidumbreel valor de una magnitud física del mismo, entoncesexiste verdaderamente un elemento de la realidadfísica, que corresponde a esta magnitud”. Criterio queaplican al siguiente caso concreto:

Sea una partícula de spin 0, que en un instante dadose desintegra en dos partículas U y V con conservacióndel spin, entonces si una de ellas tiene el spin , la

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otra tendrá , transcurrido suficiente tiempo paraque las dos partículas estén suficientemente alejadasen el espacio, y por tanto puedan ser consideradascomo independientes (sin interacciones) entonces si unobservador mide el spin de V y halla por ejemplo elvalor , con su medida perturba el estado de V, perono el de U que es independiente de V, pero por la con-servación del spin, puede predecir con toda exactitudque el resultado de la medida del spin de U ha de sernecesariamente el valor , con lo que se puedeafirmar que existe un sustrato real para el spin de laspartículas, antes de toda medida y deducen el carácterincompleto de la Mecánica Cuántica, la cual no pro-porciona una descripción completa de la realidad físicade los sistemas individuales, sino que solamentedescribe las propiedades estadísticas de los conjuntosde sistemas.

La refutación que de lo anterior hizo Bohr, es unamodificación de los conceptos fundamentales de laFilosofía Natural, basada más bien en una preferenciapor unos puntos de vista dotados de posibilidad lógica,pero en modo alguno es totalmente convincente, yEinstein aun admitiendo la posibilidad lógica y lacoherencia interna de la actitud de Bohr, se reafirma ensus propias creencias en la realidad física opuestas a laEscuela de Copenhague; hasta la E.P.R. los experi-mentos imaginarios sobre una partícula habían llevadoa la necesidad de soldar entre sí, formando un todoindiviso observador y sistema observado, dandorealidad a este todo y negándosela a sus partes sepa-radas, pero la E.P.R. es un experimento imaginariosobre dos partículas en vez de una, y no basta con laanterior actitud, sino que la Escuela de Copenhague seve obligada a radicalizar aun más su actitud, ya nosolamente hay que soldar observador y sistemaobservado, ya no basta con considerar que la obser-vación vuelve borroso a lo observado, sino quetambién vuelve borroso (desenfocada la imagen) elmarco de referencia o sistema de coordenadas en queel observador encaje la representación que él se hacede la realidad física, o si no se quiere emplear estapalabra, de los fenómenos. Bohr refiriéndose a laE.P.R. en la revista antes citada reconoce que no hayperturbación mecánica del sistema, de la partícula U,cuando se efectúa la medición sobre V, pero que hay“una influencia sobre las condiciones mismas quedefinen los tipos posibles de predicciones relativas alcomportamiento futuro del sistema” y prosigue

“...estas condiciones constituyen un elementoinherente a la descripción de todo el fenómeno, al cualel término de “realidad física” pueda ser dado”, y deaquí deduce que el argumento de los autores de laE.P.R. no justifica su conclusión. Obsérvese puescomo Bohr tiende a formar la realidad física a base defenómenos y soldar en un todo observador, sistemaobservado y el marco en que se encuadra todo ello, yque estos últimos (no sólo el objeto observado comoocurre en el experimento del microscopio deHeisenberg) se vuelven borrosos por el acto de laobservación. Algunos físicos y filósofos creen queBohr escamotea los problemas.

La E.P.R. ha sido planteada también cuando lo quese mide no es el spin, sino otra variable física como porejemplo la posición o el momento, es tema sobre elque he insistido varias veces. Einstein escribió variascartas a Popper en noviembre de 1935 y a Born enabril de 1948, hechas públicas, en la última le incluyeun artículo sobre “Mecánica cuántica y realidad”, laargumentación es más o menos en los siguientes tér-minos: se considera un sistema que consta de dos sub-sistemas U y V, los cuales interactúan entre si duranteun tiempo limitado, después se separan y se indepen-dizan. La ecuación de Schrödinger da la función deonda total del sistema antes y después de la inter-acción, y si después de la interacción se efectúa unamedida de la posición o del momento del subsistemaV, la ecuación de Schrödinger nos da la función deonda del subsistema V, la cual será distinta según quehayamos medido la posición o el momento de V,supone Einstein, como por lo que el llama “principiode contigüidad” el estado físico de U ha de ser inde-pendiente de la elección hecha de la variable física deV que ha sido medida, se sigue que al mismo estadofísico de U pertenecen dos funciones de onda distintas,y puesto que para que una descripción de un estadofísico sea completa debe de ser única, se sigue que lafunción de onda no es una descripción concreta.Einstein considera incompatibles el principio de con-tigüidad que para el es un axioma, porque su negaciónequivale a negar la existencia de sistemas cerrados ocasi cerrados, y en consecuencia la postulación deleyes físicas verificables por la experiencia, con latesis de la Mecánica cuántica de que una partícula notiene ni posición ni momento bien definidas antes de lamedida, y que los valores exactos de estas variablesfísicas se producen en el acto de su medida como con-


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secuencia de la interacción desconocida entre lapartícula y el aparato de medida; Einstein se sienteinclinado a creer que la descripción de la realidad porla Mecánica cuántica es incompleta e indirecta yproclama su esperanza de que algún día será reem-plazada por otra explicación completa y directa.

Born ha rebatido el razonamiento de Einstein, porcarta también publicada, negando el principio de con-tigüidad como verdad evidente, definiendo lacoherencia como la propiedad que tienen los objetosseparados en el espacio de no ser independientes si hantenido un origen común y aduce un ejemplo claro yconvincente extraído de la Óptica clásica, relativo aque cuando un rayo de luz se divide en dos (porreflexión doble refracción, etc) que siguen distintoscaminos, se puede deducir que las direcciones depolarización de ambos rayos son perpendiculares entresi, y por tanto de una medición efectuada en una partedel espacio, se puede deducir el estado físico en otraparte muy alejada de la primera.

El principio de contigüidad expresa la indepen-dencia entre los objetos físicos muy alejados en elespacio, o lo que s lo mismo, que la influencia externade uno de ellos no tiene influencia directa sobre el otro.

En las notas puede verse la solución mía de unproblema de la Teoría de Probabilidades aplicable a laE.P.R.

En mi opinión existe una diferencia entre medir elspin, o medir la posición o el momento; en el primercaso (el spin es un operador de espectro discreto consólo dos valores propios), se aclara la E.P.R., mediantela introducción de funciones de onda o vectores deestado (v.e.) como he explicado en mi libro“Fundamentos de Mecánica Cuántica” edit. E.T.S. deIngenieros Agrónomos (1979), véanse las notas; en elsegundo caso (operadores de espectro continuo) el cri-terio de independencia entre dos sistemas microscó-picos no se basa en la distancia que los separa en elespacio, ni en el tiempo transcurrido desde la desinte-gración del sistema total primitivo, o de cualquierinteracción entre los subsistemas parciales, porejemplo un choque del que los actuales son los frag-mentos en que se desintegró, sino de la estructura delv.e. que describe el sistema total (conjunto de los dossubsistemas), siempre que una medida sobre el uno de

información sobre el otro, es que sigue subsistiendo lainteracción, por separados que estén en el espacio. Lainteracción entre sistemas en la Mecánica Cuántica esconsecuencia del v.e. que describe el estado físico; porejemplo el principio de exclusión de Pauli, según elcual es imposible que dos partículas de spin impar(fermiones) tengan los mismos números cuánticos, esconsecuencia de la interacción entre ellas, expresadaen este caso por la antisimetría de la función de onda,es la forma que en la Mecánica Cuántica se expresa.

Muy ligado a la paradoja está el experimentocrucial, que es lo diametralmente opuesto. Un experi-mento crucial es aquel por cuyos resultados hay queabandonar una teoría científica en vigor en esemomento, por estar en contradicción con dichos resul-tados y se hace preciso sustituir la teoría antigua porotra moderna, que explique el comportamiento de lanaturaleza de acuerdo con los resultados del experi-mento crucial. Todo experimento es una pregunta quese hace a la naturaleza y de la respuesta que esta dé,depende el camino que va a seguir la Ciencia Teórica.Las respuestas negativas a los experimentos crucialesprovocan las crisis científicas.

Un ejemplo muy típico de experimento crucial, esel de Michelson para tratar de medir la influencia de lavelocidad del observador sobre la velocidad de la luzmedida por éste, y al encontrar que esta influencia noexistía, pudo probar la invarianza de la velocidad de laluz en el vacío; es decir que la luz se propaga con lamisma velocidad respecto a dos observadores cua-lesquiera, estén en reposo o en movimiento el unorespecto al otro. El progreso técnico fue lo que per-mitió a Michelson realizar un experimento crucial queobligó a sustituir la Mecánica clásica por laRelatividad, si no hubiera sido por ello, la Relatividadno hubiera sido desarrollada ni aceptada.

La mejora de la espectroscopia técnica, permitiócomprobar la veracidad de la Mecánica Cuántica en suaplicación al átomo, porque al aumentar el poder sepa-rador de los espectroscopios se pudieron separar líneasespectrales simples (singuletes) en múltiples (dobletes,tripletes, multipletes).

También el progreso técnico permitió en su día aMillikan no solamente medir con exactitud y precisiónla carga eléctrica del electrón, sino probar o mejor


dicho poder asegurar casi ciertamente, la no existenciade cargas eléctricas inferiores a la del electrón. En lasegunda mitad del siglo XX surgió unas nuevaspartículas los quarks fundamentales en la Cromodiná-mica Cuántica y en la Física de las partículas, loscuales tienen cargas eléctricas que son inferiores a lasdel electrón, pero hasta el momento los quarks no hansido encontrados libres en la naturaleza, solamente seadmite que existen en el interior de partículas com-puestas (protón, neutrón, mesones, etc), porque suexistencia es necesaria para poder construir una Físicade las partículas coherente, sin ellos no se podríanexplicar lo que hoy conocemos y manejamos. La laborconjunta de los Físicos experimentales y de losteóricos, ha permitido construir la Física actual en laque la Tecnología por una parte, las Matemáticas porotra como ciencia auxiliar y la Física conjuntamentehan conseguido hasta el momento y conseguirán en elfuturo avances fabulosos e inimaginables.

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto larepercusión de la Técnica sobre la Ciencia, perosucede lo mismo con la repercusión del progreso de laCiencia sobre la Técnica, se pueden citar muchosejemplos: la Electrónica y la Informática, que hoy endía son artículos de primera necesidad en la industria,la agricultura, la administración pública y de empresas,que han revolucionado la vida cotidiana, han sidoposibles gracias al alto estado de perfección que hanconseguido las Matemáticas, la más abstracta, pura yexacta de las ciencias, y la Física que es la ciencia queviene inmediatamente detrás de la anterior en la escalade exactitud.

Normalmente al menos desde los orígenes de laciencia moderna en el siglo XVII, Ciencia y Técnicahan ido más o menos de la mano, no así en tiemposanteriores, y así los griegos se caracterizaron por unpredominio muy grande de la Ciencia sobre la Técnica,lo que en una interpretación dialéctica de la Historia alestilo de Farrington, llamaríamos un predominio delcerebro sobre la mano; este rasgo diferencia notable-mente la civilización helénica de la prehelénica.Durante la larga edad media sucede justamente lo con-trario, tiene lugar una lenta revolución industrial, en laque sin apenas progreso científico existe un progresomuy grande, porque aunque poco rápido, por losmuchos siglos que dura la edad media acaba siendoimportante, por ser todo progreso una variable

monótona no decreciente. La larga y lenta revoluciónindustrial de la edad media, de características muy dis-tintas a las revoluciones industriales de los siglos XIXy XX, termina haciendo estallar los moldes culturalesde su época, y provoca un cambio brusco, pero noinesperado, de las formas del pensamiento y del modode producción intelectual, que marca el nacimiento dela época moderna. En otros lugares me he ocupado dela teoría de las crisis científicas y de las revolucionesculturales.

Creo que hoy podemos hablar no solamente deCiencia y Técnica, como actividades del pensamientohumano, distintas pero correlacionadas, sino quetambién se puede distinguir Ciencia pura y aplicadacomo campos distintos, frente a los que opinan queesta división de la Ciencia no tiene razón de ser, y quesolamente existe la Ciencia sin adjetivos. A mi meparece que existen solapes entre Ciencia pura yaplicada, que las fronteras entre ambas son difusas yborrosas, pero que sin embargo son realidades muydiferenciadas, al igual que puede suceder con la Físicay la Química, que son ciencias bien diferenciadas,aunque en sus fronteras la Fisicoquímica y la QuímicaFísica son una mezcla de ambas.

Lo que quisiera dejar claro aquí, es el hechoseñalado anteriormente de que como los cambios tec-nológicos producen cambios científicos y pueden con-seguir que los científicos, de manera natural y sin bus-carlo, se vean arrastrados a mirar las cosas antiguascon ojos nuevos, como decía el gran matemáticoLebesgue. De paso quizás quedará patente la conve-niencia de que el científico conozca bien y con profun-didad la historia de su ciencia; recordando a Cicerónpodríamos decir que la historia de la ciencia es maestrade los científicos.

Al hablar de cambio tecnológico estamos tomandoeste concepto tanto en un sentido restringido decambios en los procesos técnicos ordinarios, como enel más amplio de cambios en la metodología científica,entendido el método como una técnica del pen-samiento. Ilustraremos estas ideas con ejemplosextraídos de nuestras propias investigaciones, sobre larepercusión de los últimos cambios de la metrología yde la metrotecnia en los fundamentos de la Teoría de laRelatividad (cambio tecnológico ordinario), y de lanueva problemática y avances científicos que surgen


del empleo convenientemente modificado y adaptadoa la nueva situación, de los métodos de la Mecánicaclásica en la Teoría de la Relatividad (cambio en la tec-nología del pensamiento).

Al establecerse la teoría de la Relatividadrestringida a principios del siglo XX, Einstein (1879-1955) realizó un análisis muy profundo, crítico y sutilde las operaciones de medida de tiempos y longitudes,y este análisis está impregnado de la manera como enaquel tiempo se concebía la metrología y se definíanlas unidades de longitud y de tiempo. Este conceptoestá muy ligado al de sólido rígido (aquel en el que ladistancia entre dos puntos cualesquiera permanececonstante en reposo y en movimiento) y del metrocomo una variable rígida. Se pusieron de manifiestodos fenómenos físicos importantes que son la marchamás lenta de un reloj en movimiento respecto a unreloj en reposo, y la contracción de la longitud de Fitz-Gerald (1851-1901) como consecuencia del movi-miento, efecto opuesto al de la dilatación del tiempoantes descrita. En un principio se creyó que la con-tracción de Fitz-Gerald era una contracción real, peroello no puede ser, porque no existe el movimientoabsoluto sino el relativo solamente. A cada uno de losobservadores en movimiento el uno respecto al otro,les parece que es el reloj del otro el que marcha máslentamente y que la varilla rígida que lleva el otro laque se contrae. Entonces el metro se definiría como lalongitud de una varilla rígida de un cierto material con-servado en un cierto lugar de la tierra y esta era launidad de longitud. Así mismo la unidad de tiempo sedefiniría como la duración de un cierto fenómenoastronómico. Ambas unidades de medida estabandefinidas sin relación entre sí. Por el contrario poste-riormente las unidades de longitud y de tiempo (laprimera hasta hace muy poco) eran definidas enfunción de la longitud de onda y de la frecuencia deuna cierta radiación, y por tanto aun cuando no se tratede la misma radiación, ambas unidades de longitud ytiempo están relacionadas entre sí a través de lavelocidad de la luz en el vacío.

La adopción actual de la unidad de longitud por laConferencia General de Pesos y Medida está basada enel recorrido de la luz en el vacío, en una cierta fracciónde segundo. Por tanto la definición actual depende dela unidad de tiempo que se adopte y de la velocidad dela luz en el vacío, por lo que está en línea con lo que yo

propuse y razoné ya en 1979. Véase la nota en que sereproduce lo que ya escribí en aquella fecha muyanterior a la fecha en que se adoptó la actual definiciónde la unidad de longitud.

En el nacimiento de la teoría de la Relatividad, seusa como método de medición de distancias el basadoen el metro rígido, de modo que la contracción de ésteen el movimiento lleva a pensar en la contracción realde Fitz-Gerald todo ello debido a la definición deunidad de longitud vigente en aquellos tiempos. Laintroducción de una medida de distancias basada en lamedida de tiempos y en la constancia de la velocidadde la luz en el vacío, influida no solamente por laactual unidad de longitud, si no incluso por la vigentehasta hace poco tiempo, basada en la radiación y no enla rigidez de los sólidos elimina las discusiones rela-tivas a si la contracción de Fitz-Gerald es real oaparente. En mi opinión, lo que sucede es que dosobservadores A y B en movimiento uno respecto delotro, y coincidentes en el espacio, ven la luz emitidapor un foco luminoso ligado a A de distinto valor, A vela luz más azul que la ve B o lo que es lo mismo B vela luz más roja que A. Por eso he escrito que el viejoadagio “todo es del color del cristal con que se mira”se puede cambiar por todo es del color de la velocidadcon que se mueve el observador.

He de señalar que aun cuando la ConferenciaGeneral de Pesos y Medidas pretende conservar comounidad fundamental la longitud, al definirla como lohace, en realidad la ha transformado, se quiera o no sequiera, en unidad derivada, y de hecho ha pasado a serunidad fundamental la velocidad, tal como proponíayo en 1979. Véase la nota.

El ejemplo anterior sirve para ilustrar la tesis antesenunciada, de que un cambio tecnológico produce uncambio ideológico. En ese caso al cambiar técnica-mente la metrología, se cambia la óptica con la que hayque mirar la teoría, en este caso concreto los funda-mentos de la Relatividad restringida.

Ahora vamos a exponer otro ejemplo, en que elcambio ideológico científico viene como consecuenciade una manera radicalmente distinta de enfocar unavieja teoría, aquí el cambio de ideas se produce comoconsecuencia de un cambio en el método científico, enlo que hemos llamado un cambio en la tecnología del


pensamiento, a diferencia de lo sucedido en el casoanterior que el cambio ha sido en una tecnología ordi-naria, dando el sustantivo con el adjetivo ordinario, elsentido que vulgar y cotidianamente se da a la palabratecnología.

Los métodos matemáticos que se emplean en lateoría de la Relatividad general son los propios delCálculo Tensorial y del Cálculo Diferencial absoluto,yo mismo los utilicé en mis investigaciones de los añoscincuenta, pero posteriormente a partir de 1978, utilicélos mismos métodos de la Mecánica clásica, conve-nientemente modificados y adaptados a la pro-blemática de la Teoría de la Relatividad. Esto suponeun cambio tecnológico, si admitimos que el métodocientífico es tecnología del pensamiento, y como talproduce o puede producir cambios tecnológicos en laCiencia, a veces importantes, como son los siguientes:la conocida fusión relativista del espacio y del tiempo,puede volverse a romper, y considerar las trayectoriasde las partículas materiales como las geodésicas olíneas que hacen mínima (estacionaria) una ciertaintegral en el espacio, en vez de ser las geodésicas delespacio-tiempo, y al mismo tiempo distinguir entre untiempo ordinario y un tiempo distinto (propio).

Este cambio de óptica en el enfoque de laRelatividad, permite desarrollar una dinámica de lossistemas materiales, relativista, a partir de principiosvariacionales e incluso ecuaciones de Lagrange modi-ficadas, partiendo del postulado de que todos losrelojes ligados a todos los puntos que forman unsistema material, marchan al unísono. Se introducenconceptos nuevos como son el de percusión temporal,el de invariantes integrales espacio-temporales.

Las ecuaciones de esta nueva dinámica relativistade los sistemas materiales, cuando el sistema se reducea un solo punto material, coincide con la ordinaria.

En un problema de Mecánica relativista ordinario,su solución depende de hacer estacionaria una integralde una forma diferencial cuadrática, que no es definidapositiva porque a veces puede ser negativa, que es ds2

de un espacio pseudoriemanniano; así llamado porqueen un espacio de Riemann el ds2 es siempre positivo. Aesta propiedad matemática está íntimamente asociadala posibilidad de que exista la luz, porque los rayos

luminosos son de “longitud nula”. Lo anterior en elcaso de la Relatividad restringida el espacio-tiempo esforzosamente pseudoeuclidiano.

He utilizado en vez de espacios riemannianos,también espacios de Finsler mejor dicho pseudofinsle-rianos en el que el ds es la suma de una forma dife-rencial lineal y de la raíz cuadrada de una forma dife-rencial cuadrática no definida positiva. Véase nota. Loanterior es extensible a la Electrodinámica.

Es difícil condensar en breves líneas la totalidad deideas implícitas en los ejemplos anteriores, pero laconsecuencia de todo ello es que los cambios tec-nológicos producen o pueden producir en la Cienciacambios ideológicos.

Obsérvese como toda realidad física está íntima-mente asociada a una teoría matemática concreta quese adapta a ella perfectamente y que todo cambio ennuestro conocimiento de la realidad física llevaconsigo un cambio en la metodología matemática aso-ciada. Cuando estos cambios son muy grandes seproduce una revolución científica. Ha habido variasrevoluciones científicas, una de las primeras, por nodecir la primera tuvo lugar en el siglo VII a.d.C. conTales de Mileto, con él nacen el pensamiento filosóficoy los primeros descubrimientos de los matemáticosgriegos, de Pitágoras siglo VI a.d.C., Euclides siglo IIIa.d.C., Arquímedes siglo II a.d.C. Hacia el siglo XII seproduce el despertar intelectual de Europa, debido a lainfluencia árabe y a la influencia de la Escuela deTraductores de Toledo creada por Alfonso VI y poten-ciada por Alfonso X el Sabio. Los árabes nos aportanel álgebra y el sistema de numeración decimal, quenosotros utilizamos.

En los siglos XVI y XVII nace la Ciencia moderna,nos llegan como consecuencia de la expansión delimperio otomano en Europa, los números decimales,en un principio llamados turcos, con la coma quesepara a la izquierda los números enteros y a laderecha los números decimales menores que uno.

Si comparamos esta revolución científica con la delcomienzo del siglo XX que da origen a la Mecánicarelativista y a la cuántica, observamos importantesdiferencias. Hoy se puede decir que coexisten tres


Físicas: la clásica, la relativista y la cuántica, la imagendel mundo físico que en tiempos de Aristóteles esdoble, la Física celestial y la terrestre, se unifica en unasola imagen unitaria con Galileo y Newton, y hoy estriple: la Física clásica, la relativista y la cuántica; laimagen unitaria se ha roto en tres distintas, con fron-teras que las separan, y con validez cada una de ellasen su campo; podemos decir que las tres se hanrepartido el mundo de la Física en tres esferas de influ-encia, que casi se excluyen mutuamente. La Físicaclásica sigue siendo válida a nuestra escala, para todosaquellos fenómenos para los que la constante h dePlanck es un infinitamente pequeño y la velocidad dela luz infinitamente grande; los aparatos de medida queutiliza el físico cuántico pertenecen a la Física clásica,los resultados de las observaciones que realiza tieneque describirlos en el lenguaje de la Física clásica. Auncuando en amplias zonas la Física cuántica hadesplazado a la clásica, esta última no está muerta,sino que por el contrario está viva y bien viva. Porejemplo el lenguaje y los métodos de la Matemáticamoderna han remodelado gran parte de la Mecánicaanalítica clásica que se creía casi ultimada, que habíallegado a sus límites. Por ejemplo la Mecánica nolineal que es de arquitectura moderna, es muy reciente,es más moderna que la Mecánica cuántica, su grandesarrollo data de los años cuarenta (los de la últimagran guerra). La Rheología es también una rama muymoderna de la Física clásica, su bautismo lo recibió en1928 y hoy es materia de obligado estudio paramuchos ingenieros. La Robótica, que se puede con-siderar como la versión moderna de la antigua Teoríade Mecanismos se apoya también en la Física clásica.

La Física relativista es válida para los fenómenosen los que intervienen velocidades próximas a la de laluz, y la Física cuántica es para aquellos en los que nopuede despreciarse la constante de Planck. Es obvio delo que acabamos de decir que las fronteras entre lastres Físicas no están trazadas ni delimitadas con enteraclaridad, desde el momento en que hemos recurrido atérminos tan ambiguos como lo son muy grande y muypequeño, incluso llegan a solaparse como en el caso dela Mecánica cuántica relativista.

Los físicos cuánticos tienen a su disposición unacantidad enorme de conocimientos que no tenían losfísicos clásicos, pero no sólo de conocimiento sinotambién de nuevos problemas planteados, de aquí que

su filosofía sea mucho más rica tanto en cuestiones defondo como de detalle que lo era la filosofía clásica.Pero hay cuestiones que ya preocupaban al físicoclásico, que siguen todavía preocupando al físicocuántico, porque son pudiéramos decir eternas; entreellas las relativas al significado que hay que atribuir apalabras tales como existencia, realidad, comprender,etc. Vamos a hacer dos comparaciones entre un granfísico cuántico Jordan y otro clásico Ostwald, premioNobel de Química en 1909.

Jordan en su libro “Der Naturwissenschaften vorder religiösen Frage“ de 1968, contiene un capítuloque lleva por título “Existen los átomos en realidad?que cierra unos problemas pero que abre otros rela-tivos a ¿qué es existir”. Arranca de la polémica quehacia 1900 enfrentó a importantes científicos sobre laexistencia real de los átomos y concluye diciendo“…tenemos hoy día la posibilidad de demostrar quelos átomos existen realmente”.

Pero fijémonos en los electrones, unos son libres yotros intraatómicos, los primeros tienen carga eléc-trica, masa, spin siempre los mismos, unas vecessiguen las leyes de la Mecánica clásica como loprueban las fotografías de sus trayectorias en la cámarade Wilson, otros los de la Mecánica cuántica y ondula-toria, como prueban las fotografías de difracción elec-trónica por los cristales. Pero en cuanto a los elec-trones intraatómicos parece que nunca siguen las leyesde la Mecánica clásica, que a estos sólo se les puedeasignar niveles de energía, solamente son susceptiblesde saltos cuánticos, pero carecen de trayectorias, notiene sentido atribuirles velocidad ni posición. Cabríapreguntarse si es que realmente los electronesintraatómicos son iguales que los libres o no lo son,qué sentido hay que dar a la palabra igualdad, si en elelectrón intraatómico no existen muchas propiedadesque existen en el electrón libre, se puede decir que soniguales, en el momento en que un electrón libre escaptado por un átomo ionizado, aquel pierde suspropiedades físicas, o al menos varias de ellas, sepuede decir que sigue siendo un electrón. La preguntaque se nos echa encima es que si la igualdad entre loselectrones libres e interatómicos es una realidad o essolamente una hipótesis de trabajo. La intuición, fa-cultad humana a nivel macroscópico, nos dice que siun individuo sale de un sitio, es porque antes de salirestaba en ese sitio, y así cuando el personaje bíblico


Jonás sale vivo de dentro de la ballena, ello llevaimplícito que se supone, o mejor dicho que se admite,que antes de salir estaba dentro de la ballena y vivo. Silos electrones salen del interior del átomo, al ionizarseeste, se supone que es que antes de salir estaban comotales electrones dentro del átomo. Pero el físicocuántico no admite este razonamiento intuitivo basadoen lo que sucede a nivel macroscópico, cuando con-sidera que el electrón que abandona un núcleo atómicoen el momento de desintegración radioactiva, aquí yano se admite que el electrón estaba en el interior delnúcleo antes de su desintegración. Aparentementeparece lo anterior un problema filosófico, sin reper-cusión directa sobre la ciencia propiamente dicha, perono es así, la aceptación de la existencia de electronesen el interior del núcleo atómico, es ni más ni menosaceptar la hipótesis abandonada, por contradictoria, dela constitución protoelectrónica de los núcleos, quehace tiempo fue sustituida por la constitución pro-toneutrónica. Pero hay más, vamos a ver como sepuede llegar a una contradicción lógica, independien-temente de la física, con esta manera de razonar. Si unneutrón se transforma en un protón mediante laemisión de un electrón, no se admite que sea razónsuficiente para que el electrón existiese en el neutrónantes de una emisión, porque entonces por razón desimetría si un protón se transforma en un neutrónmediante la emisión de un positrón, el positrón exis-tiría en el protón antes de su emisión, tendríamos puesque el neutrón estaría formado por un protón y unelectrón, pero a su vez este protón estaría formado porsu neutrón y un positrón, el cual neutrón estaríaformado por un protón y un electrón, y así sucesiva-mente hasta el infinito, lo que pone de manifiesto elabsurdo lógico a que nos llevaría en lo cuánticoadmitir como un axioma que si un individuo sale de unsitio es porque previamente estaba en ese sitio antes desu salida. El absurdo lógico está basado en la realidaddel doble fenómeno de la transformación de un protónen un neutrón, o de un neutrón en un protón conemisión de un positrón o de un electrón respectiva-mente.

Hay partículas que se han descubierto y que se hanadmitido como tales, son ejemplos el electrón, elprotón, el neutrón, etc., otras se ha admitido su exis-tencia, aun antes de que se descubrieran tal es el casodel mentimo. Cuando se admite la existencia de unapartícula que no se ha descubierto se dice que se trata

de una hipótesis de trabajo, por ejemplo no se admitióla existencia del electrón hasta que se midió la cargaeléctrica y la masa, antes solamente se conocía elcociente de dividir la masa por la carga. Antes se con-sideraban el protón y el neutrón partículas simples,hoy se las considera compuestas formadas por quarks,y estos últimos no solamente no han sido descubiertas,sino que se admite que no pueden estar libres en lanaturaleza y que por tanto están condenadas a serhipótesis de trabajo. Son absolutamente necesarias hoypor hoy para entender y poder explicar la Física de laspartículas. Si se pudieran descubrir, como tienen laparticularidad de que su carga eléctrica es una fracciónde la carga del electrón (o del positrón), dejaría de serverdad que el electrón es la carga eléctrica máspequeña que existe en la naturaleza y el laboratoriocomo consiguió demostrar Millikan.

Contrariamente a lo anterior los físicos clásicosacostumbran a admitir, de acuerdo con nuestra intui-ción, que si un sistema se descompone en dos subsis-temas, estos existían previamente en el sistema antesde su descomposición, creencia muy reforzada siademás el sistema primitivo se podría recomponer apartir de la unión de los dos sistemas en que se habíadescompuesto. Esta era al menos la forma de razonarde la Química clásica. Sin embargo el ilustre físico-químico Ostwald a fines del siglo XIX, antes de que sesupiera ni una palabra de Mecánica cuántica, expusoen forma muy clara sus dudas sobre esto, planteandoesta cuestión trascendental, que a mi juicio quedaresuelta con el ejemplo del protón y del neutrón antesexpuesto, que niega la veracidad de lo que era evidentepara los clásicos. Ostwald plantea la siguiente cuestiónel oxígeno y el hierro que se combinan para formar elóxido férrico, todavía existen como tal oxígeno yhierro en el compuesto químico, después de perdertodas sus propiedades organolépticas y textualmenteescribe: “¿No resulta pues un contrasentido, o pocomenos, pretender que una sustancia definida todavíaexiste, sin poseer ninguna de sus propiedades?”Compárese esta pregunta con las anteriores reflexionessobre la identidad de los electrones libres y de losintraatómicos a que hacía referencia Jordan.

Observamos que cada realidad física requiere parasu desarrollo y buen entendimiento de un determinadoaparato matemático y va asociada a un sistemafilosófico concreto.


Lo anteriormente expuesto muestra la granpotencia de la inventiva y de la creatividad en lasMatemáticas y en la Física.

A veces las Matemáticas y la Física vanestrechamente unidas; como ejemplos podemos citarlos siguientes: la existencia de la noche exige que eluniverso sea finito y cerrado, y no abierto e infinito(paradoja de Olbers). El desplazamiento hacia el rojode la luz procedente de las galaxias (fuga de lasgalaxias) exige que el universo esté en expansión. Laexistencia de la luz exige que el espacio-tiempo seapseudométrico (existencia de líneas geodésicas de lon-gitud nula) y no métrico. La no existencia de cargaseléctricas inferiores a las del electrón y el positrón enla naturaleza y en el laboratorio, exige que los quarksestén encerrados dentro de las partículas (protón,neutrón, etc). Las anteriores exigencias requieren quela estructura geométrica del mundo físico sea de unamanera y no de otra, lo que muestra la estrecha uniónentre las Matemáticas y la Física.

A veces la aplicación de una teoría matemáticaconcreta ayuda sobremanera a hacer avanzar ciertaspartes de la Física. Por ejemplo la aplicación de losnúmeros complejos al estudio de la corriente eléctrica,resultó extraordinariamente útil para el desarrollo ymejor entendimiento de la corriente alterna y de la co-rriente trifásica. Esto lo realizaron de manera indepen-diente a principios del siglo XX Heaviside y Kennellyen Inglaterra y en Estados Unidos respectivamente,ambos eran ingleses.

Heaviside es a su ver el inventor del CálculoSimbólico, extraña herramienta matemática en susprincipios, porque no era matemáticamente una teoríarigurosa, pero que era muy útil para que los Ingenierosdesarrollasen y mejoraran el diseño de los circuitoseléctricos primero y que después se extendió a otrasramas de la Física Industrial como la Hidráulica (golpede ariete) y a las percusiones mecánicas (choque). ElCálculo Simbólico fue posteriormente aceptado comouna teoría matemática rigurosa y perfecta, cuandoCarson demostró la equivalencia del mismo con lateoría de la transformada integral de Laplace.

En mi libro anteriormente citado “Fundamentos deMecánica Cuántica” he formulado matemáticamenteuna doble interpretación de las relaciones de incer-

tidumbre o indeterminación de Heisenberg (R.I.H.),basada la primera en la Teoría de errores y la segundaen la de las probabilidades, y como consecuenciaexiste un nuevo tipo de dependencia y de conver-gencias estocásticas distintas de las de las probabili-dades clásicas, así como un fallo en el teorema deBayes de las probabilidades de las causas y de lashipótesis en la nueva Física.

El hecho fundamental que distingue el uso de lasprobabilidades en la Física Cuántica no solo de laFísica Clásica sino de todas las restantes Ciencias quehacen uso de la Estadística: Economía, Sociología,Biología, etc., es el denominado de las interferenciasde las probabilidades (I.P.); el fenómeno de interfe-rencia es propio de las ondas, pero no exclusivo deellas. Vamos a aclararlo con un ejemplo sencillo, en lomacroscópico si se tienen dos urnas A y B, con n1bolas blancas y bolas negras la primera y n2 y

la segunda; si se vierte el contenido de ambasurnas en una tercera C que estaba vacía, el númerototal de bolas en C es evidentemente 2n, siendoblancas y negras ; entonces se puedeplantear y resolver problemas relativos a que al extraerde C una o más bolas, ¿cuál es la probabilidad de queuna o alguna de dichas bolas hubieran estado en A o enB, antes de verter los contenidos de A y B en C, seanblancas o negras? Por el contrario en la Microfísica lascosas suceden de otra manera, es como si al verter elcontenido de A y B en C, el número total de bolas en Ces efectivamente 2n, pero los números de bolasblancas y negras en C ya no son y ,sino otros números que se pueden calcular a partir delos anteriores. Pero aun hay más, es como si las bolasvertidas en C perdieran la memoria de en cual de lasdos A y B habían estado antes de vaciar A y B en C.Este extraño comportamiento, que impide resolverproblemas relativos a la probabilidad de que una bolaextraída de C haya estado antes en A o B, porque talcuestión carece de sentido, desde el momento en quepor el mero hecho de haber sido mezcladas en C todaslas bolas de A y B se ha perdido la memoria de unaprocedencia. Este nuevo y extraño comportamiento dela mezcla de bolas es totalmente desconocido no sola-mente en la Física clásica sino que lo era también enlas Ciencias tanto del comportamiento humano comode los seres vivos.

Parecido, pero distinto, es el fenómeno de las inter-ferencias en las mezclas de poblaciones, como pueden


1n n2n n

1 2n n 1 22n n n

1 2n n 1 22n n n

ser fotones, el caso de que luz más luz de oscuridad.En mi libro “Fundamentos de Mecánica Cuántica” setratan ampliamente estas cuestiones.

Dirac al establecer la Mecánica Cuántica que llevasu nombre, introdujo la función que hoy llamamosdelta de Dirac ; en realidad Heaviside laintrodujo con otro nombre al crear su CálculoSimbólico, al que antes hicimos referencia, pero sinembargo se le conoce con el nombre de Dirac.

Esta función no es una función propia del AnálisisMatemático ordinario, por lo que se la llama funciónimpropia o generalizada, y se define de la siguientemanera:

Posteriormente con objeto de dar rigor matemáticoa la delta de Dirac utilizando la Teoría de la Medida yla de las Distribuciones se han dado dos definicionesperfecta y exactamente rigurosas que son:

1º) Medida de Dirac:

Siendo E el espacio de las aplicaciones de Rk en R,la medida de Dirac en el punto a de Rk es la aplicación

de E en R definida por:

2º) Distribución de Dirac: es la definida por

Estas dos definiciones son inatacables desde elpunto de vista del rigor matemático, pero para ciertasoperaciones no son útiles, por ejemplo no puedendefinirse a partir de ellas las que he denominado raícescuadradas internas de la delta de Dirac (r.l.c.). Véasenotas.

He introducido una nueva función generalizada quehe denominado de la siguiente manera:

La es la función de densidad de probabilidadde una variable cierta y la lo es de una variable

aleatoria repartida uniformemente sobre todos lospuntos de una recta.

LOS FRACTALES

Los fractales son uno de los objetos matemáticosmás modernos, fueron introducidos por Mandelbrot en1975. Este matemático polaco nació en Varsovia en1924 y emigró con su familia a Francia en 1936. Allívivía un tío suyo de su mismo apellido que era ya unmatemático ilustre, Profesor en el Colegio de Francia.Este le aconsejó que estudiase la obra de Juliá enespecial la relativa a las figuras geométricas en elplano complejo generadas por iteraciones sucesivas defunciones racionales. Juliá, que había sido consideradouno de los matemáticos más grandes de su tiempo,estaba casi olvidado después de la segunda guerramundial.

El consejo que recibió Mandelbrot de su tíomatemático le fue de una utilidad fabulosa, porqueinspirado y estimulado por la obra de Juliá siguiendométodos muy diferentes y valiéndose del ordenadorpara dibujar las figuras, desarrolló la teoría de losFractales, una de las más importantes de nuestros días.

No obstante, matemáticos anteriores habíanobtenido ejemplos de fractales pero sin iniciar el desa-rrollo de una teoría general. El italiano Peano (1858-1932) descubrió una curva que hoy lleva su nombre,que es un fractal. El sueco Von Koch (1870-1924) en1906 descubrió una curva que lleva su nombre,cerrada, no diferenciable, de perímetro infinito, queencierra un dominio acotado de área finita; la distanciaentre dos puntos cualesquiera de la curva es infinita; sele llama también copo de nieve.

Es característico de los fractales que tienen dimen-siones fraccionarias en vez de enteras. Se puedenobtener en el ordenador, pero también se encuentran enla naturaleza como por ejemplo esponjas, nubes,quesos con agujeros como el gruyer, etc.

En mi libro y en mis artículos citados en la biblio-grafía he expuesto mis investigaciones sobre los quehe llamado fractales numéricos y sobre los geomé-tricos en 1 a N dimensiones y he introducido los frac-tales mecánicos (físicos) que obedecen a las leyes de la


(2)

(3)

(4)

(5)

Mecánica y que requieren la existencia de una quintainteracción.

Para desarrollar la teoría de los fractales numéricoshe necesitado desarrollar una nueva teoría del númeroreal basada en los sistemas de numeración posicionaldistinta de la de Dedekind de las cortaduras en elcampo de los números racionales y de Cantor de lacompletitud del espacio métrico de los númerosracionales.

En el sistema de los numeración decimal, losnúmeros enteros son los que se escriben con unnúmero finito de cifras a la izquierda de la coma (sinningún decimal), incluido el cero. Los númerosracionales son los que resultan de sumar a cualquiernúmero entero (incluido el cero), un número menorque uno con un número finito de cifras decimales (a laderecha de la coma), o un número infinito de cifrasdecimales con periodo (grupo de cifras que se repiteindefinidamente). Los restantes números son los irra-cionales. Los números reales son los que se escribencon un número finito de cifras a la izquierda de lacoma, y un número finito o infinito de cifras a laderecha de la coma (decimales). Para unificar la teoríaconsideramos que todos los números que se escribencon un número finito de cifras decimales, se escribencon infinitas cifras decimales, siendo todas cero apartir de una última cifra decimal distinta de cero.

Lo anterior se extiende sin más a cualquier sistemade numeración de base p. He propuesto llamar binales,ternales, cuaternales y en generales pales a todas lascifras que se escriben a la derecha de la coma en lossistemas de numeración de base 2, 3, 4 y en general p.En el sistema decimal son los decimales.

He llamado fractal numérico al conjunto de todoslos números reales que se escriben con sólo q cifras enel sistema de base p. Se cumple que

Los fractales numéricos tienen la potencia del con-tinuo y su dimensión es menor que uno (que es la delos números reales). La dimensión del antecitadofractal es

Los fractales numéricos no son conjuntos cerradospara la adición, sustracción, multiplicación o división,porque la suma, diferencia o producto de dos númerosde un mismo fractal numérico pueden no pertenecer almismo.

El uno es igual al número formado por cero seguidode una coma y de infinitas cifras iguales a , si p esla base del sistema de numeración.

Vamos a considerar fractales numéricos con sólocifras a la derecha de la coma (decimales si p 10).

He llamado C(1,p),C(2,p),...,C(n,p),..., a los con-juntos de números reales menores o iguales que uno,que se escriben con sólo una cifra, dos cifras o n cifras.Entonces C( ,p) que es el conjunto de los númerosreales menores o iguales que 1 es tal que

C(1,p),C(2,p),...,C(n,p) contienen p, p2,......, pn

números.

He extendido las probabilidades y las integrales alos fractales numéricos y para ello he necesitadosustituir la integración ordinaria por una nueva inte-gración ramificada o arborescente, que he llamadointegración sobre un árbol que vamos a describir. Elconcepto de integral está basado sobre el de serie,como vamos a explicar.

En la teoría ordinaria de series, una serie es un con-junto numerable de términos, y la suma de la serie es ellímite de una sucesión de sumas parciales de los nprimeros términos cuando n tiende a infinito.

Se puede ampliar el concepto anterior de serie al deserie arborescente o ramificada (figuras 1 y 2) en lasque el conjunto de sus términos tiene la potencia delcontinuo, en la que las sumas parciales son la suma deuno, dos, cuatro, ocho, ..., y en general de 2n sumandosy el límite de esta suma cuando n tiende a infinito es lasuma de las series (figura 1). La serie se define dandola ley de formación de las sumas parciales, que son:

ln 12;lnq q pp p p p

2 1 ; 2q p p


(6)

(7)

1p

(8)

(9)

Mientras que la suma de una serie ordinaria no esextensible a los fractales numéricos, sí lo es la nuevadefinición de serie arborescente o ramificada, y ladefinición de sucesión sobre un árbol como el límite(10):

Lo anterior permite extender el concepto de seriesde Fourier a los fractales numéricos, lo que permiteextender a ellos las probabilidades y el cálculo de fun-ciones características.

En la figura 1 hemos representado un árboldicotómico, como el que acabamos de describir, perotambién se puede concebir con ramificación triple,cuádruple o múltiple. En la figura 2 se ha representadoun árbol triple:

cuya suma es el límite del último (11) cuando n tiendea infinito.

Las figuras 1 y 2 se repiten hasta el infinito.

A veces en las aplicaciones las sumas anteriores sepueden dividir por 2n, 3n,.., pn, según que el número deramas del árbol sea 2, 3 o p.

Al igual que se puede concebir una teoría de seriesmás ampliada que la de las series ordinarias, yextender esta teoría a los fractales numéricos, tambiénse pueden definir integrales más generales que lasordinarias, así como extender las probabilidades a losfractales numéricos.

Si en las figuras 1 y 2 sustituimos la letra a por la x,si es una función de x, si formamos las series:

el término general de esta sucesión de sumas es:

si esta sucesión es convergente, el límite de (13)cuando n tiende a infinito le llamo integral ramificadao arborescente, o sobre un árbol de ;

Esta integral es extensible a los fractalesnuméricos, mientras que la integral ordinaria no lo es.

En (13) si está acotada, existe un límite yexiste por tanto la integral ramificada.


(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Si hacemos

entonces se define la integral de Fourier y se puedencalcular las funciones características de las probabili-dades sobre fractales.

Así por ejemplo hemos podido obtener las fun-ciones características de una variable aleatoriarepartida uniformemente al azar sobre el conjunto delos números reales menores o iguales que 1, que en elsistema de numeración de base 2 vale:

cuyo valor medio es y su varianza es .

También hemos calculado el caso en que la base delsistema de numeración es p, siendo p cualquier enterosuperior a 1. en las notas viene expuesto el caso delsistema decimal.

Se puede demostrar que (16) es igual a (17):

que es la función característica de un punto repartidouniformemente al azar sobre un segmento de longitud1. La (16) es también igual a la (16) de la nota 3º,porque siempre representan la distribución uniformede probabilidad de un número real igual o menor que1, escogido al azar, cualquiera que sea el sistema denumeración empleado. De modo que por medio de lasprobabilidades se puede demostrar la equivalencia delos puntos geométricos de una recta y de los númerosreales.

Lo anterior se extiende a los fractales numéricos yel problema anterior para el fractal numérico queresulta de utilizar solamente las cifras 2 y 0 en elsistema de numeración de base 3 (conjunto triádico deCantor), la (16) se transforma en la

a la que corresponden el valor medio y la varianza. La figura 3 representa el árbol que conduce a la

integral (18) a través de la (14).

En el sistema de numeración de base 3 he calculadoque existen

fractales numéricos que se pueden obtener utilizandosolamente 2,3,...,p 1 cifras. La (19) para p 2,3,4vale 0,3 y 10. Por tanto el conjunto de fractalesnuméricos tiene la potencia del continuo.

A todo fractal numérico se le puede asociar unfractal geométrico, del modo que vamos a explicar; seaG un fractal numérico que en el sistema de numeraciónde base p se escribe con q cifras ( y S0 unsegmento de longitud L; a partir de S0 vamos a cons-truir el fractal geométrico F asociado a G. Para ellodividimos S0 en p segmentos iguales, de los cualessolamente conservamos q, los p segmentos estánnumerados de 0 a p 1, y los que conservamos son losque llevan las mismas cifras que se utilizan en G yestán dispuestos en el mismo orden; se obtiene así S1formado por q segmentos de longitud y el resto deS0 queda vacío, la longitud L1 de S1 es igual a . Acontinuación efectuamos la misma operación con cadauno de los segmentos que forman S1 y se obtiene S2formado por q2 segmentos de longitud y de lon-gitud L2 de S2 es . Se continua indefinidamenteesta operación; al efectuarla n veces se obtiene Snformada por qn segmentos de longitud . La lon-gitud total de Sn es . El fractal F es el límite:

2 2p p


(15)

(16)

1 2 1 12

(17)

(18)

1 21 8

L pLq p

2L p2 2Lq p

nL p

(19)

está formado por un número infinito de segmentos y sulongitud total es cero, debido a que:

El proceso mediante el cual se pasa del segmento S0a los S1, S2, ..., Sn,... y en el límite al fractal F le llamoproceso de fractalización. La integral ordinaria no sepuede extender a F1 porque su longitud es nula, pero síse le puede aplicar la nueva integral ramificada anteri-ormente expuesta. La diferencia está en que la ordi-naria es el límite de una suma de sumandos cuando ntiende a infinito, y la ramificada es la suma de 2n

sumandos cuando n tiende a infinito.

La teoría de las Probabilidades ordinarias no sepuede aplicar a F porque las variables aleatorias que sedefinen no cumplen la axiomática de Kolmogorov,pero se les puede aplicar una nueva axiomática que heformado basándome en la integración sobre un árbol.Por tanto se pueden obtener las funciones caracterís-ticas de las distribuciones de probabilidad que resultanser iguales que para los fractales numéricos asociados,debido a que las funciones características de las varia-bles aleatorias repartidas uniformemente al azar sobrelos segmentos S1, S2,...., Sn,.... del proceso de fractali-zación que conducen a S es el producto de los subcon-juntos C(1,p),C(2,p),…,C(n,p) usados en la (8) por lafunción característica de un punto repartido uniforme-mente al azar sobre los segmentos de longitudes l1,l2,..., ln del proceso de fractalización que vale para ntendiendo a infinito

Una vez establecidos y construidos los fractalesgeométricos a partir de los numéricos, se pueden cons-truir fractales físicos (o mecánicos) de la siguientemanera: se sustituye el segmento S0 por una barrahomogénea B0 de masa M y longitud L, y se van obte-niendo conjuntos de barras homogéneas B1, B2,...,Bn,... cuyos soportes son los segmentos S1, S2,....,Sn,...., se conserva la masa M que se reparte uniforme-mente sobre todas las barras que se han ido formando,

de modo que Bn es un conjunto de n barras máspequeñas con espacios vacíos. El fractal físico B aso-ciado a G numérico y al F geométrico es

las longitudes de las barras que forman Bn tienen todasla misma longitud ln que los segmentos que forman Sn,y las mismas masas mn y densidades n que valen:

por tanto cuando n tiende a infinito, mn tiende a cero yn a infinito:

Debido a la proporcionalidad entre el momento deinercia I de la Mecánica y la varianza 2 de la dis-tribución homogénea de probabilidad es

que para el caso del conjunto triádico de Cantor seobtendría para la que he propuesto llamar barra fractalde Cantor, debido a la varianza de la (8) y que

que es mayor que la que corresponde a una barrahomogénea continua que es

Lo anterior se puede extender de una dimensión a2,3, y a cualquier número de dimensiones como puedeverse en mis publicaciones citadas en la bibliografíadonde se ha realizado un estudio profundo y detalladode la Teoría físico matemática de los Fractales, asícomo la extensión a la misma del Cálculo Fraccio-nario.

Vamos a incluir unas notas extraídas de mis propiasinvestigaciones que van destinadas a aquellos lectoresespecialmente interesados en esta materia, que por lagran dificultad del aparato matemático utilizados,separamos del resto de la conferencia.

2

12MlI

2

8MlI

2I M

lim 0;limn n n nm

limn nB B

2lim 1;lim 0

2

n

n n nn

tlsenltl

lim 0;lim 0n

n n n nn nLqLl L

p p

limn nF S


(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

Nota 1ª. Las funciones ff y fc de densidad de proba-bilidad y característica de dos variables aleatorias,cuya suma es constante.

La ff es la siguiente

donde a (constante) es la suma de las dos v.a. x e y; es la Delta de Dirac. El papel de x e y es simétrico.

La fc correspondiente a la primera ff de (1) es:

que es la fc de la distribución conjunta de las dos v.a. xe y ; (t) es la fc de f(x).

La función característica de la suma de x e y seobtiene haciendo s t en (2) y es:

como tenía que suceder.

La densidad de la distribución marginal de y, g(y)su función característica es el resultado de hacer t 0en (2), es

el papel de x e y es simétrico; el mismo resultado seobtiene si en vez de la primera (2) utilizamos laexpresión

Conocida f(x) o queda resuelto el problema.

Nota 2ª. La nueva definición de la unidad de lon-gitud.

En 1979 la Conferencia de Pesos y Medidascambió la definición de la unidad de longitud y laenunció así:

“La longitud recorrida en el vacío por un rayo deluz en 1/299.792.458 segundos equivaldrá, de ahora enadelante, a un metro”.

He de hacer las siguientes puntualizaciones: en unaconferencia que di en la Real Academia de Ciencias enMayo de 1979 titulada “El espacio y el tiempo en lateoría de la Relatividad y los principios de mínimo”publicada por dicha Corporación en el curso conme-morativo del centenario de Einstein, expuse entre otrascosas una revisión de los fundamentos de la relatividadrestringida relacionada con la sustitución de lasantiguas unidades de longitud y tiempo vigentes en1905, proponía introducir como unidad fundamental lade velocidad, basada en la velocidad de la luz en elvacío, conservar como fundamental la unidad detiempo, basada en la definición actual o en la constantede desintegración de alguna sustancia radiactiva, y quela unidad de longitud pasase a ser derivada en vez defundamental (páginas 121 y 122 de dicha publicación).En mi libro “Introducción a la Investigación en Físicay Matemáticas” comentaba lo mismo (páginas 31 y 32en particular).

Nota 3ª. La función característica de un número realmenor o igual que 1 repartido uniformemente al azaren el sistema de numeración decimal o de cualquierotra base.

La fc de un número real que se puede escribir conuna sola cifra decimal repartido uniformemente alazar, por una v.a. que puede tomar con la misma pro-babilidad 1/10 los diez valores de 0 a 1 es:

Su valor medio m1 es

La varianza es

en virtud del desarrollo en potencias de t de loscosenos de (1). La varianza es la mitad del coeficientede t2 en el desarrollo en serie de la (2).

2 2 221

9 7 5 1 3315 100.4 100.4

19

2.10m


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(1)

(2)

21

(3)

Un número real que se puede escribir con 2,3...,ncifras decimales es la suma de una v.a. 1, 2,...., n(siendo 1 la anterior), cada una de las cuales puedetomar con probabilidad igual a un décimo cada uno delos valores:

que por ser independientes las , la fc de vale

siendo la (1). Por tanto la fc de los númerosreales menores o iguales que 1 escogidos al azar con lamisma probabilidad, en el sistema de numeracióndecimal es

cuyo valor medio m vale:

m1 es (2). La varianza 2 vale

1 es la (3).

De esta manera se puede resolver este problema encualquier sistema de numeración, cualquiera que seasu base. Se obtiene siempre la misma solución,cualquiera que sea la base. En el caso del sistema denumeración binario (base 2) que es el más sencillo,con la misma notación que en el caso anterior es paralos números reales que se escriben con una sola cifra ala izquierda (llamamos a estas cifras binales) la fcigual a:

cuyo valor medio m1 y varianza 1 son

La fc de un número real menor o igual que 1, en elsistema de numeración de base 2, es igual a

el valor medio m y la varianza de (11) valen:

Los valores (12) y (13) son iguales a los (7) y (8)como era de esperar; y son los mismo cualesquiera quesea la base del sistema de numeración. Teniendo encuenta que el seno del ángulo doble vale:

y que se cumple que

a partir del último producto infinito de (11) se obtienela igualdad:

en la que el segundo miembro de (16) es la función dedensidad de probabilidad de un punto repartido al azaruniformemente sobre un segmento de longitud igual auno. Lo que demuestra la equivalencia entre losnúmeros reales y los puntos geométricos.

En mis trabajos hay un estudio muy extenso ydetallado de estas cuestiones, así como su extensión alos fractales y a una generalización de la teoría de laintegral y de las probabilidades.

El segundo miembro de (16) forzosamente es igualtambién a (6) por ser tanto (16) como el primermiembro de (6) las soluciones de un mismo problema,que es el cálculo de la fc de un número real menor oigual que uno en los distintos sistemas de numeración,cualquiera que sea la base Estas igualdades nos per-miten descubrir propiedades de las funciones trascen-

11

2cos 22nn

tsentt

2lim 12

n

nn

tsent

2 cos2 4 4t t tsen sen

21 1 2

1 1;4 4m


(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

dentes, que encontramos gracias al “azar”, que sonmuy difíciles de demostrar directamente, excepto en elcaso de (16); nos dan infinitas expresiones en forma deproductos infinitos del seno dividido por su ángulo.

En estos problemas, como intervienen muchos cál-culos largos y difíciles es conveniente efectuar com-probaciones y así por ejemplo podemos comprobarque

que da el mismo valor (3) para la varianza cal-culada como la diferencia entre el valor mediocuadrático y el cuadrado del valor medio.

Nota 4ª. Ecuación diferencial fraccionaria trans-formada de la ecuación diferencial ordinaria de Euler.

Se conoce con el nombre de ecuación diferencial deEuler a la:

la cual he generalizado transformándola en un nuevotipo de ecuaciones diferenciales fraccionarias, siendola derivación fraccionaria de orden 1/2, 1/3, ..., 1/p conp entero. Nos vamos a limitar al primer caso con (semientero), cuya teoría he desarrollado amplia-mente, utilizando para ello la función gamma, que es laeuleriana de primera especie.

Sea la ecuación diferencial fraccionaria:

ensayamos la solución

la transformada de Laplace TL de x(t), siendo lafunción gamma es:

La TL de la derivada 1/2 de x (3) es:

Por tanto

y llevando este valor a (2) se obtiene que

es la condición para que (3) sea una integral de (2) ytambién

lo sea, siendo C una constante arbitraria y r una raíz dela (7).

Sea ahora la ecuación

ensayamos la solución (3), se cumple que:

y llevando estos valores (10) a (9), para que (3) y portanto (8) sea una integral de (9) se ha de cumplir quesea cero:

para que (8) sea una integral, es decir que r sea una raízde la ecuación (11) que es la ecuación característica dela (2). Asimismo:

equivalente a la (7), es la ecuación característica de la(2).

El caso más general es el de la ecuación diferencialfraccionaria:

Teniendo en cuanta que x(t) dado por (3) es paracualquier entero:

1 21 21 2 0d xt ax

dt

2 2 2 21 2 ... 9 9 331 .5 4.100 4.100 4.100


(17)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

1 2

la (14) es válida para todas las derivadas enteras. En(6) hemos calculado la derivada fraccionaria de la(3) y por un método similar al anterior podemos cal-cular la derivada de para cualquier valor enterode n se puede hallando la TL de esta derivada y a con-tinuación se calcula la de la misma. En virtud de(4) es:

y la del segundo miembro de (15) es

y llevando estos valores (16) desde 1 hasta n se obtienepara el primer miembro

y para que (3) sea una integral de (13), (17) ha de valercero; se tiene que el valor de es:

La integral general de (13) es la suma de los pro-ductos por constantes arbitrarias de las potencias de r,cuyos exponentes son raíces de (18) que es la ecuacióncaracterística de (13).

Cuando r es una raíz doble de (18), además de la (8)es también una integral su derivada respecto a r, es portanto una integral la

Si el segundo miembro de (18) en vez de ser cerovale:

Ats

siendo A una constante, es solución de la (13) la y(t)dada por:

siendo la (18) cuando se cambia r por s, y eldenominador es en lo que se transforma la (13) cuando

se sustituye tr por .

Si s es una raíz de (18), entonces (21) vale infinito,existe un fenómeno de resonancia y es solución de estanueva ecuación diferencial fraccionaria, la que resultade derivar respecto a s el numerador y el denominadorde (21).

El resultado anterior nos permite resolver la (13)cuando el segundo miembro es un polinomio o unaserie de potencias enteras o fraccionarias de t.

La (13) si los subíndices de los coeficientesimpares son todos nulos coincide con la ecuacióndiferencial ordinaria de Euler y también la ecuacióncaracterística (18) coincide con la de Euler.

Si son nulos todos los coeficientes pares, sihacemos

la (13) es una ecuación diferencial en ordinaria deEuler, y por tanto la solución ordinaria de la (13) es laintegral de orden es la solución de una ecuacióndiferencial ordinaria de Euler.

También hemos resuelto el caso en el que lasderivadas fraccionarias son de índice o múltiplosuyo, y en general o múltiple, siendo q un númeroentero cualquiera.

Véase mis publicaciones citadas en la bibliografía.

Asimismo hemos resuelto los sistemas de ecua-ciones diferenciales fraccionarias de este tipo.

Nota 5ª. Sobre mi nueva integral y su extensión a losfractales.

Sean A y B dos números escritos en el sistema denumeración de base p, mediante la sucesión infinita decifras

en donde la coma que separa las cifras enteras de lasotras puede ocupar cualquier posición. Hacemos el

1 logtCr C r t


1 2n

1TL

(15)

1TL

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

st

(22)

1 2

1 31 q

(1)

1 2

convenio de que si A o B no tienen infinitas cifras a laderecha de la coma (cifras pales, decimales en el casodel sistema decimal) se completan con infinitos ceros ala derecha de la última cifra no nula (a la derecha de lacoma).

Llamamos A1, A2,..., An,... y B1, B2,..., Bn a losnúmeros que resultan de escribir la primera, las dosprimeras o las n primeras cifras de A o de B. Se tieneque

Dada una función f(x) formamos la sucesión desumas:

en las que los sumandos de las anteriores sumas sonlos valores que toma f(x) para todos los valores de xcomprendidos entre cero y A1 la primera, A2 la segun-da, An la enésima y así sucesivamente M1, M2, ..., Mnson los números de sumandos de las sumas de la (3).

En todos estos números, el número de cifras a laizquierda de la coma es siempre el mismo, agregandosi hace falta el número de ceros a la izquierda que noafecte al valor del número. Como los dos conjuntosson finitos se pueden calcular las sumas anteriores yobtener el límite de la sucesión de sumas. Los cálculosmás sencillos son cuando el sistema de numeraciónusado es el binario, y como los resultados obtenidosson independientes del sistema de numeración usado,lo más sencillo es pasar el número A del sistema debase p al binario.

Definimos la nueva integral por el límite:

el cual existe si f(x) está acotado.

Análogamente definimos la integral cuando losextremos son cero y B, y de aquí se sigue que

El límite (4) es lo que hemos llamado una sumacontinua, es decir, una suma cuyo número de

sumandos tiene la potencia del continuo porque en estasucesión de sumas el número de sumandos crece expo-nencialmente en vez de uno en uno, como sucede en laintegral ordinaria, en la que el número de sumandos dela suma límite es el que corresponde a un conjuntonumerable infinito.

La (5) es el límite de sumas de todos los valores quetoma f(x) cuando x está comprendida entre A1 y B1 enla primera suma, entre A2 y B2 en la segunda y así suce-sivamente entre An y Bn cuando n tiende a infinito.

Estas integrales son las que he llamado ramificadaspor ser la integración sobre un árbol.

Lo anterior se extiende a las integrales dobles,triples y múltiples.

Esta integral se extiende de inmediato a los frac-tales numéricos, por ser estos subconjuntos de losnúmeros reales, que se escriben utilizando un ciertonúmero de cifras, siempre el mismo, entre las p cifrasdel sistema de numeración.

Como ya hemos dicho el número de cifras a laderecha de la coma es infinito, porque si no lo es, seagregan infinitos ceros a la derecha de la última que noes cero.

Vamos a calcular los números de sumandos M1,M2,..., Mn,... de las sumas (3), son menores que laspotencias sucesivas de p, base del sistema denumeración. Se tiene que

M1 vale:

porque este es el número de cifras que van desde 0hasta x1.

El M2 vale:

porque este es el número de números de dos cifras quevan desde cero hasta . El primer sumando co-rresponde a los números de dos cifras que comienzancon la cifra que va desde cero hasta , y los otros

2 1 2 1pM x x

1 1 1M x

; limnn n nn M p M M

lim ; limn n n nA A B B


(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1 2 2x x A

1 1x

dos sumandos corresponden a los números quecomienzan con la cifra x1, y las siguientes dos cifrasdesde cero hasta x2.

M3 vale:

por un razonamiento similar al anterior, porque este esel número de tres cifras que van desde cero hasta

En general Mn vale:

porque por un razonamiento similar es el número denúmeros de n cifras que van desde cero hasta

Se puede llegar a la (10) mediante el principio deinducción completo.

De (10) se sigue que el número de números que vandesde cero hasta uno se obtiene haciendo en (10) todasla x iguales a porque 1 se escribe cero, la coma einfinitos :

entonces (10) se escribe

El resultado (12) se obtiene también porque sontodos los números de n cifras que se pueden escribir enel sistema de numeración de base p ya que cualquieraque sea el número de orden de una cifra esta puedetomar p valores desde cero hasta .

Nota 6ª. La función delta mayúscula.

Lo dicho en la nota anterior permite definir las inte-grales paramétricas sobre un árbol. Se obtiene la trans-formada de Laplace de f(x) efectuando la sustitución

Lo mismo puede decirse de la transformación deFourier, entonces hay que hacer la sustitución:

lo que nos da para la (13) de la nota 5ª la funcióncaracterística de un número aleatorio escogido al azarcon la misma probabilidad en el conjunto dela nota 5ª.

Si en vez de (2) efectuamos la sustitución

donde la función de la derecha es la delta de Dirac, seobtiene la que he propuesto llamar función deltamayúscula , que es la función de densidad de proba-bilidad de un número escogido al azar con la mismaprobabilidad del conjunto .

La transformada de Fourier de la es la ante citadafunción característica.

La es una suma continua de deltas de Dirac. Esextensible a los fractales.

Nota 7ª. Una nueva definición de derivada extensiblea los fractales.

Dada una función f(x) como la definida en la nota5ª, se puede definir su derivada:

de la siguiente manera: Los conjuntos C definidos enla Nota 5ª son finitos y ordenados de mayor a menor.Si llamamos al número siguiente al

de la nota 5ª y formamos la sucesión

si existe el límite de esta sucesión, a este límite le lla-mamos derivada a la derecha de f(x) en A. La mismaoperación podemos hacer con la sucesión de la inme-diatamente anterior de la sucesión de A, y si existe ellímite, le llamamos derivada a la izquierda. Si amboslímites son iguales le llamamos derivada. Estadefinición es extensible a los fractales.

En conferencias posteriores que serán publicadashe extendido la teoría de las circunferencias y esferascompletas, que había desarrollado anteriormente en

2

3 1 2 3 1pM x x p x


1p1p

(11)

(12)

1p

(1)

(2)

(3)

(1)

1 2, ,..., ,...nB b b b1 2, ,..., ,...na a a A

(2)

1 2 3 3x x x A

1 2... n nx x x A

(9)

(10)

varias publicaciones, a las cónicas y las cuádricascompletas. Pertenecen estas teorías a lo que hellamado Geometría y Trigonometría imaginarias.

Asimismo he extendido los procesos de fractali-zación de círculos y esferas, que ya había desarrolladoen anteriores publicaciones a las elipses y elipsoides.

BIBLIOGRAFÍA

1. Mandelbrot: Los objetos fractales. Edit Tusquets,1987.

2. Mandelbrot: La Geometría Fractal. Edit Tusquets,1997.

3. Bonilla, Kilbas y Trujillo: Cálculo Fraccionario yEcuaciones Diferenciales Fraccionarias. Edit Uned,2003.

4. Podlubuy: Fractional Differential Equations. EditAcademic Press, 1999.

5. Kilbas, Srivastava y Trujillo: Theory andApplications of Fractional Differential Equations.Edit Elsevier, 2006.

6. Darío Maravall. En la Revista de la Real Academiade Ciencias: Nuevos tipos de ecuaciones diferencia-les e integrodiferenciales, 1956.

7. Las ecuaciones diferenciales no enteras y las oscila-

ciones fraccionarias, 1971.8. Las funciones fractales y los objetos fractales en

Mecánica y en probabilidad,1988.9. Ecuaciones Diferenciales e Integrales Fraccionarias.

Relaciones entre el Cálculo Simbólico y elFraccionario, 2004.

10. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias.Ecuaciones con infinitas soluciones. Funciones frac-cionarias. Ecuaciones Integrodiferenciales Fraccio-narias, 2005.

11. Fractales numéricos geométricos y físicos.Probabilidades, Integrales y Mecánica de los fracta-les y su continuación: Fractales físicos y geométricossobre el cuadrado y el cubo. Integrales dobles y tri-ples, y probabilidades sobre fractales. Nuevas ecua-ciones fraccionarias 2009. Una nueva Teoría delnúmero real, 2008.

12. La importancia de la Filosofía para Matemáticos,Físicos e Ingenieros, 2007.

13. Darío Maravall. Los libros: Ingeniería de lasOscilaciones. Edit Dossat, 1959.

14. Teoría e Apliçao das oscilaóes. Tomo 1º del Volumen5º do Engenheiro. Edit Globo. Porto Alegre (Brasil),1964.

15. Fundamentos de Mecánica Cuántica. Edit. EscuelaT.S de Ingenieros Agrónomos, 1979.

16. Mecánica y Cálculo Tensorial (2ª edición). EditorialDossat, 1965.

17. Ecuaciones Diferenciales y Matrices (2ª edición).Editorial Dossat 1965.


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