Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. , Nº. , pp , 200Monográfico: Cálculo fraccionario

TEORÍA DE CONTROL Y CÁLCULO FRACCIONARIO(cálculo fraccionario/teoría de control/realización de controladores/discretización/aproximación numérica)

BLAS M. VINAGRE JARA * ANTONIO J. CALDERÓN GODOY * JOSÉ I. SUÁREZ MARCELO * CONCEPCIÓN A. MONJE MICHARET *

* Departamento de Electrónica e Ingeniería Electromecánica, Escuela de Ingenierías Industriales, Universidad de Extremadura, Badajoz.

RESUMEN

Este trabajo pretende ser una introducción y unainvitación al Control Fraccionario, entendido éstecomo el conjunto de aplicaciones del Cálculo Fraccio-nario en Teoría de Control. Al mismo tiempo, quiereservir para que los miembros de la comunidad decontrol perciban cómo el cálculo fraccionario puedeampliar los horizontes de su disciplina, y para queinvestigadores y docentes de otras disciplinasentiendan por qué el cálculo fraccionario es útil enteoría de control. Por ello, el trabajo se ha estructuradocomo un libro de texto que recorre desde los funda-mentos y definiciones básicas del cálculo fraccionariohasta las estrategias de implantación de controladoresy filtros fraccionarios, pasando por el análisis de sis-temas y el diseño de controladores. Finalmente, sehace un breve esbozo de la actualidad del control frac-cionario.

ABSTRACT

This work aims to introduce the reader to the essen-tials of Fractional Order Control, on the understandingthat it refers to the set of applications of FractionalCalculus in Control Theory. At the same time, it aimsto motivate the control community members to con-sider fractional calculus as a way to expand their disci-pline horizons, as well as the researchers andacademics from other disciplines to understand whyfractional calculus is useful in control theory.Consequently, the contents of this work have beenorganized following a book structure that covers from

the fundamentals and basic definitions of fractionalcalculus, to the strategies for the implementation offractional controllers and filters, going through theanalysis and design of this type of systems and contro-llers. Finally, a short review of the state of the art offractional order control is outlined.

1. INTRODUCCIÓN

“Las criaturas más peculiares siempre están en la frontera.”(G. C. Lichtenberg, Aforismos)

Este trabajo pretende ser una introducción al mode-lado y control de sistemas lineales de orden frac-cionario. Por una parte, los modelos fraccionarios per-miten caracterizar mejor aquellos sistemas donde sedan fenómenos de memoria, tales como la difusión, laviscoelasticidad, el transporte de masa, etc. Tambiénpueden caracterizar a sistemas de parámetros dis-tribuidos en un determinado rango de frecuencias. Porotra, el uso de controladores fraccionarios permitetanto ampliar las posibles acciones de control que sepueden ejercer sobre cualquier sistema, comoacometer el problema del control de sistemas frac-cionarios sin utilizar aproximaciones de orden enteropara los mismos. Entre las ventajas de utilizar contro-ladores fraccionarios, es especialmente importante laposibilidad de diseñar fácilmente en el dominio de lafrecuencia sistemas de control robustos.

La herramienta matemática utilizada es el cálculofraccionario, denominación acuñada para la extensióndel cálculo que permite considerar la integración y la

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derivación de cualquier orden, no necesariamenteentero. En el dominio del tiempo, los operadoresderivada e integral fraccionarios vienen definidos porla operación de convolución, por lo que están especial-mente indicados para describir fenómenos de memo-ria. En el dominio de Laplace dichos operadores secorresponden con el operador , y en eldominio de la frecuencia por , .

El cálculo fraccionario, que cuenta con una historiatan larga como la del propio cálculo, pues la primeramención a la posibilidad de extender el sentido de laexpresión para el caso de n no entero se encuentraya en la correspondencia entre Leibnitz y L’Hôpital,fue hasta el siglo XIX un asunto que sólo trataronalgunos eminentes científicos, como Euler, Laplace,Fourier, Liouville, Riemann o Abel. Fue este últimoquien por primera vez lo aplicó en Física al solucionaruna ecuación integral surgida en la formulación delllamado problema de la tautócrona.

A partir de entonces, y con especial énfasis en lasúltimas cuatro décadas, el cálculo fraccionario se haempleado con éxito en el modelado de fenómenos ysistemas físicos estudiados en multitud de campos dela ciencia y la ingeniería. Entre ellos se puedendestacar la ciencia de materiales, la teoría del caos ylos fractales, la electrónica de dispositivos, la físicateórica y la mecánica, etc. Un amplio espectro de apli-caciones en estos u otros campos de la ciencia sepuede encontrar en los textos [1,2,3].

En cierta forma, las aplicaciones del cálculo frac-cionario han experimentado una evolución análoga ala experimentada por la propia teoría de control, si-guiendo dos caminos separados según que el punto departida fuera el dominio del tiempo o el de la fre-cuencia. Mientras que las aplicaciones del cálculofraccionario al modelado de sistemas físicos han uti-lizado, salvo en el caso de algunas aplicaciones enelectroquímica, el dominio del tiempo, las aplica-ciones en control han utilizado, mayoritariamente ydesde el principio, el dominio de la frecuencia.

Las primeras aplicaciones del cálculo fraccionarioen control se dieron a principios de los años 60. Estasprimeras aplicaciones hacían uso del operador integralde orden no entero para el control de servos y de sis-temas con saturación. Estos trabajos, probablementesin conocimiento de los autores, hacían uso de las

propiedades de la que Bode denominó función detransferencia ideal en lazo abierto, cuya forma era

, , es decir, la de un integrador frac-cionario. La principal propiedad de esta función esque, cuando se conecta en lazo cerrado, da sistemasrobustos a cambios en la carga o ganancia del proceso(A); es decir, los cambios en la carga se reflejan encambios en el ancho de banda del sistema en lazocerrado, pero se mantiene constante el margen de faseo, lo que es equivalente, la sobreoscilación máxima.Esta propiedad es la que marcó las aplicaciones encontrol que a partir de los años 70 se han venido desa-rrollando en la Universidad de Burdeos dando comoresultado el sistema CRONE (Control Robusto deOrden No Entero [4]). A partir de entonces, aunque deforma aislada, han venido apareciendo trabajos queaplicaban los operadores fraccionarios a problemas decontrol, tanto explotando su robustez y su capacidadpara tratar el control de sistemas de orden fraccionario,como para el control de sistemas de parámetros dis-tribuidos. Así mismo, han aparecido artículos sobreaspectos más generales del uso de controladores frac-cionarios, o sobre el uso del cálculo fraccionario endisciplinas íntimamente relacionadas con la teoría decontrol, como son el tratamiento de señales, el ajustede curvas y la estimación de parámetros, o el diseño yrealización de filtros.

Este trabajo, que pretende ser una introducción a lateoría de control fraccionario, sigue la estructura de untexto típico de control. Así, en la sección 2 se dan lasdefiniciones básicas del cálculo fraccionario comun-mente utilizadas; en la sección 3 se estudian losmodelos y representaciones de los sistemas frac-cionarios, así como sus principales característicasdinámicas; en la sección 4 se justifica el uso delcálculo fraccionario en control, y la sección 5 está de-dicada al problema de la realización o implantación deoperadores y controladores fraccionarios, última yfundamental etapa de toda aplicación práctica.Finalmente, en la sección 6 se esboza el estado actualy las perspectivas futuras de la disciplina objeto deltrabajo.

2. FUNDAMENTOS DE CÁLCULOFRACCIONARIO

Un amplio estudio de las definiciones y conceptosincluidos en esta sección puede encontrarse en [1,2].

sα Rα ∈

n

nd ydx

( ) AF ssα= Rα ∈

( )j αω Rα ∈

2.1. La integración fraccionaria

De acuerdo con la concepción de Riemann-Liouville, la noción de integral fraccionaria de ordenα, Re(α)>0, es una consecuencia natural de la fórmulaatribuida a Cauchy, que reduce el cálculo de la primiti-va correspondiente a la integración de multiplicidad nde una función f(t) a una integración simple de tipoconvolución. La fórmula de Cauchy puede expresarsecomo

(1)

De una forma natural, se puede extender la validezde la fórmula anterior de valores del índice enterospositivos a valores reales positivos utilizando la fun-ción Gamma. Teniendo en cuenta que , eintroduciendo el número real positivo α, se define laintegral fraccionaria de orden como

(2)

donde es el conjunto de los números reales posi-tivos. Su transformada de Laplace viene dada por laexpresión

(3)

2.2. La derivada fraccionaria

Llamando con al operador derivada deorden n, e introduciendo el entero positivo m tal que

, se obtiene la definición de Riemann-Liouville para la derivada fraccionaria de orden

(4)

cuya transformada de Laplace puede expresarse como

(5)

Una definición alternativa de la derivada frac-cionaria es la introducida por Caputo

(6)

Esta definición para la derivada fraccionaria incorporalos valores iniciales de la función y sus derivadas deorden entero menor, es decir, condiciones iniciales queson físicamente interpretables de la manera tradi-cional. Así, su transformada de Laplace es de la forma

(7)

De gran interés para la implantación de contro-ladores y filtros de orden fraccionario es la definiciónde Gründwald-Letnikov para la derivada fraccionaria.Dicha definición se basa en la generalización de labien conocida fórmula de las diferencias de orden

, para el caso de , y supone el uso de lasdiferencias regresivas, es decir

(8)

siendo su transformada de Laplace de la forma

(9)

2.3. Ecuaciones diferenciales de ordenfraccionario

Se sabe que los problemas clásicos de relajación yoscilación vienen gobernados por ecuaciones diferen-ciales lineales ordinarias de orden uno y dos respecti-vamente. En esta sección se estudiarán las ecuacionesdiferenciales que resultan de generalizar el orden. Así,se puede reformular el problema considerando la si-guiente expresión general para la ecuación diferencialfraccionaria de orden α > 0

(10)

siendo m un entero positivo definido porque determina el número de valores ini-

1( )

0( ) ( ) ( ) (0 ) ( )!

( ), 0

m ka kC R

k

tD u t u t D u t u u tk

q t t

α−

+

=

⎛ ⎞+ = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

>

∑

{ }( ) ( )GLD f t s F sα α=£

) ( )0

0 0

( ) lim ( ) ( )

lim ( 1) ( )

a aGL t kh h

ka j

h j

D f t h f kh f kh h

h f kh jhj

α

α

−

= →

−

→ =

= − − =

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

{ }1

1 ( )

0( ) ( ) (0)

mk k

Ck

D f t s F s s fα α α−

− −

=

= − ∑£

{ }1

1

00

( ) ( ) ( )m

k kR t

kD f t s F s s D f tα α α

−− −

==

⎡ ⎤= − ⎣ ⎦∑£

1m mα− < <

{ }( ) ( )I f t s F sα α−=£

Blas M. Vinagre Jara et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99 3

( 1)! ( )n n− = Γ

Rα +∈

R+

nD n N∈

Rα +∈

n N +∈ Rα +∈

1 ,m mα− < <

ciales . Los casos particu-lares de relajación y oscilación se obtienen haciendoα 1 y α 2, respectivamente.

Introduciendo la función de Mittag-Leffler,definida mediante la expresión [1]

(11)

se obtiene la solución en la forma

(12)

Como se puede ver, la función de Mittag-Lefflerdesempeña en este tipo de ecuaciones diferenciales unpapel análogo al que desempeña la función exponen-cial en las ecuaciones diferenciales ordinarias. Enefecto:

cuando α no es entero, es decir, pararepresenta la parte entera

de α y m el número de condicionesiniciales necesarias y suficientes para asegurarla unicidad de la solución, u(t);las m funciones , con son las soluciones particulares de la ecuaciónhomogénea que satisfacen las condiciones ini-ciales, y, por ello, son las soluciones fundamen-tales de la ecuación diferencial fraccionaria;la función , que es la primera derivadade la función , es la respuesta impulsiva.

Es claro que para conocer la forma de la solución espreciso conocer ciertas propiedades de la función bási-ca . Dicha función empieza por tener unaevolución correspondiente a una relajación anómala

pasa por una evolución exponencial yalcanza una oscilatoria que se hace noamortiguada para α 2.

3. SISTEMAS DINÁMICOS DE ORDENFRACCIONARIO

3.1. Introducción

Una vez establecidas las definiciones fundamen-tales del cálculo fraccionario y determinados los tipos

de soluciones de las ecuaciones diferenciales de ordenfraccionario, la presente sección se dedicará al análisisde los sistemas descritos por este tipo de ecuaciones.Dicho análisis, tal como es habitual para los sistemasde orden entero, partirá de los modelos o representa-ciones de dichos sistemas en los diferentes dominiospara el estudio de su comportamiento, tanto en régi-men transitorio como en régimen estacionario, dis-cutiendo las condiciones y criterios de estabilidad,controlabilidad y observabilidad, y determinando loscoeficientes estáticos de error.

3.2. Modelos y representaciones

Partiendo de lo establecido en la sección anterior,se pueden formular las ecuaciones constitutivas de unsistema dinámico de orden fraccionario, lineal, mono-variable e invariante en el tiempo, de la forma

(13)

En la ecuación anterior, pueden considerarse doscasos particulares que dan lugar a dos tipos de sistemasde gran interés: los sistemas de orden conmensurable ylos sistemas de orden racional. Se definirán estos sis-temas como sigue:

Definición 1 Un sistema es de orden conmensurable siqueda descrito por una ecuación diferencial dondetodos los órdenes de derivación son múltiplos enterosde un orden base, α. Es decir

(14)

Así, la ecuación diferencial (13) se puede poner dela forma

(15)

Definición 2 Un sistema es de orden racional si es deorden conmensurable y además se cumple que

Utilizando la definición de Gründwald-Letnikovpara la derivada fraccionaria, se pueden obtener mode-los discretos de los sistemas fraccionarios en forma deecuaciones en diferencias generalizadas.

0 0( ) ( )

n mk k

k kk k

a D y t b D u tα α

= =

=∑ ∑

, , ,k k k R k Zα β α α + += ∈ ∈

=

1m −

0( ) ( 1)

k

ak

zE z ak∞

=

= Γ +∑

==

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( )(0 ) , 0,1,2,..., 1kku b k m+ = = −

( ),E tαα −

1 ,m mα− < <

( )kI E tαα − 0,1,..., 1k m= −

( )E tαα′ −

( )E tαα −

( )E tαα −

( 1),α < ( 1)α =(1 2)α< <

1 , .q Zqα += ∈

3.2.1 Representaciones entrada-salida

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación(13) bajo condiciones iniciales nulas, o la transforma-da Z a la ecuación en diferencias equivalente, sepueden obtener las representaciones entrada-salida(externas) de los sistemas fraccionarios. En el caso delos modelos continuos, un sistema fraccionario vendrárepresentado por una función de transferencia de laforma

(16)

Para el caso de sistemas discretos, la función detransferencia será

(17)

donde es la transformada Z del operador o,en otras palabras, el equivalente discreto del operadorde Laplace s.

Como puede verse en las expresiones anteriores, unsistema de orden fraccionario tiene una función detransferencia no racional en el dominio de Laplace, o,en el dominio de Z, una función de transferencia dis-creta de orden ilimitado respecto de z, ya que sólo en elcaso de habrá un número limitado de coefi-cientes distintos de cero. En vista de ello, sepuede decir que un sistema de orden fraccionario tieneuna memoria ilimitada, siendo los sistemas de ordenentero un caso particular de los mismos.

En el caso de que el sistema sea de orden conmen-surable, la función de transferencia continua tendrá laforma

(18)

3.2.2 Representaciones espacio-estado

En el caso general de sistemas multivariables,puede obtenerse una representación espacio-estado dela forma

(19)

donde es el vector deentradas, es el vector de estados, es elvector de salidas, es la matriz de estado,

es la matriz de entrada, es la matrizde salida, y es la matriz de transmisión direc-ta.

Para el caso particular de sistemas de orden con-mensurable, se pueden obtener representaciones deestado equivalentes a las usuales para sistemas deorden entero, sin más que utilizar el operador , ydefinir

Uno de los problemas que plantea la representaciónde estados de los sistemas fraccionarios es la falta deuna definición físicamente consistente de las variablesde estado. Si bien hay representaciones de estado paralos sistemas de orden entero en las cuales las variablesde estado no tienen correspondencia con magnitudesfísicas definidas y medibles, cualquiera de ellas puedereducirse a otra en la cual sí la tengan. Así, vemos queel problema de la interpretación de las variables deestado está relacionado con la posibilidad de medir lasmagnitudes físicas asociadas, y hasta el momento nose han dado soluciones satisfactorias para los sistemasfraccionarios. Lo mismo podríamos decir para el casode las condiciones iniciales generalizadas.

3.2.3 Relación entre las representaciones ymatriz de transición de estados para sistemasde orden conmensurable

Si se tiene un sistema monovariable de orden con-mensurable, cuya representación de estado es de la for-ma

(20)

y se toman transformadas de Laplace, suponiendo quese utiliza la definición de Caputo para la derivada frac-cionaria, se obtiene

(21)

1

1 1 1

( ) (0) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (0)

Y( ) ( ) U(s)

a a

s s s s U ss s U s s ss s

α α

α

−

− − −

− = +

= − + −= +

X x AX BX I A B I A x

CX D

D uy u

α = += +x Ax BCx D

Dα = += +x Ax Bu

y Cx Du

0

0

( )( )

( )

mk

kk

nk

kk

b sG s

a s

α

α

=

=

=∑

∑

1 0

1 0

1 1 11 0

1 1 11 0

( ( )) ( ( )) ...... ( ( ))( )( ( )) ( ( )) ...... ( ( ))

m m

n n

m m

n n

b w z b w z b w zG za w z a w z a w z

β β β

α α α

−

−

− − −−

− − −−

+ + +=+ + +

1 0

1 0

1 0

1 0

.....( )( ) ( ) ......m m

n n

m m

n n

b s b s b sY sG s U s a s a s a s

β β β

α α α

−

−

−

−

+ + += =+ + +

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1( ( ))w z− 1h∆

( 1) kl al

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

nR∈x pR∈ynxnR∈A

nxlR∈B pxnR∈CpxlR∈D

Dα

1, 1,2,..., 1.k kD x x k nα+= = −

,k k Zα β ∈

[ ]1 2 3......... , ln Rα α α α α= ∈u

En el caso de condiciones iniciales nulas, se puedeobtener la función de transferencia del sistema a partirde las matrices de su representación de estado como

(22)

Por otra parte, los estados se pueden obtener a par-tir de la expresión

(23)

Definiendo yaplicando las propiedades de la transformada deLaplace, se llega a la expresión

(24)

Como se puede ver, ΦΦ(t) es la matriz que habitual-mente se conoce como matriz de transición de estados.

Siguiendo un procedimiento análogo al utilizadopara los sistemas lineales de orden entero, se puededeterminar la forma de la matriz de transición de esta-dos. Para ello, partiendo de la expresión

(25)

suponiendo que la solución admite el desarrollo

(26)

y utilizando la definición de Caputo para la derivadafraccionaria, la solución puede expresarse como

(27)

Es claro, pues, que la función de Mittag-Lefflerdesempeña el mismo papel para este tipo de sistemasque el desempeñado por la función exponencial paralos sistemas de orden entero. La bien conocida matrizexponencial, , no es más que un caso particular de

la matriz exponencial generalizada, , a la quepodríamos llamar función matricial de Mittag-Leffler.

3.3. Controlabilidad y observabilidad parasistemas de orden conmensurable

En Teoría Moderna de Control (la basada en la re-presentación de estados) dos conceptos fundamentales,tanto para el análisis de sistemas como para el diseñode controladores, son los de controlabilidad y observa-bilidad. Para lo que sigue adoptaremos para ellos lassiguientes definiciones:

Definición 3 Se dice que un sistema es controlable sies posible construir un vector de control no restringidoque pueda llevarlo desde cualquier estado inicial,

, a cualquier estado final, , en un tiempo fini-to

Definición 4 Un sistema es observable si cualquierestado, , se puede determinar a partir de la obser-vación de y(t) en un intervalo de tiempo finito

Siguiendo un método análogo al utilizado para sis-temas de orden entero, se pueden obtener las condi-ciones de controlabilidad y observabilidad para sis-temas de orden conmensurable.

Se puede demostrar que para que el sistema seacontrolable debe existir solución única para laecuación matricial

(28)

donde

(29)

Para que la ecuación (28) tenga una solución única,ha de cumplirse que el rango de ζ sea n. A la matriz ζ

22(0) (0) (0)( ) ..... .....(1 ) (1 2 ) (1 )

(0) ( ) (0) ( ) (0)(1 )

kk

k k

t t t tk

t E t tk

α α α

α αα

α α α

α

⎡ ⎤= + + + + + =⎢ ⎥Γ + Γ + Γ +⎣ ⎦⎛ ⎞ = =⎜ ⎟Γ +⎝ ⎠∑

Ax A x A xx I

A x A x xΦΦ

20 1 2( ) .... .....k

kt t t tα α α= + + + + +x A A A A

0( ) ( ), (0) ,D t tα = =x Ax x x

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )a

Y s s s U s U sG s U s U s U ss

α −

−

− += = = =

− +

CX C I A B D

C I A B D

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teA

( )E tαα A

0( )tx ( )ftx0 .ft t t≤ ≤

0( )x t

0 .ft t t< <

se le denomina matriz de controlabilidad. Así pues, esclaro que las condiciones de controlabilidad para unsistema de orden conmensurable son las mismas quepara un sistema de orden entero, sin más que construirsu descripción de estado en base al operador o,equivalentemente, . Lo mismo se puede decir encuanto a las condiciones de observabilidad.

3.4. Estabilidad

3.4.1. Consideraciones previas

De una manera general, el estudio de la estabilidadde los sistemas fraccionarios puede realizarse estu-diando las soluciones de las ecuaciones diferencialesque los caracterizan, y se ha visto que la función deMittag-Leffler representa la solución fundamental,dependiendo la forma de las soluciones de los argu-mentos y parámetros de esta función, o, en otras pala-bras, de los coeficientes y órdenes de derivación de laecuación diferencial fraccionaria.

Una manera alternativa es partir de la función detransferencia del sistema (16). Para hacer este estudio,es preciso recordar que una función del tipo

(30)

con , es una función multivaluada de la variablecompleja s cuyo dominio puede verse como una super-

ficie de Riemann de un número de hojas que será fini-to sólo en el caso de que , siendo la hojaprincipal la definida por Si,

, es decir, entero positivo, las qhojas de la superficie de Riemann correspondientevienen determinadas por

(31)

siendo la correspondiente a la denominada hojaprincipal. Para estas hojas se transformarán enlas regiones del plano w definidas por

(32)

En las figuras 1 y 2 se ilustra esta transformaciónpara el caso En la figura 1 se puede ver lasuperficie de Riemann correspondiente a la transfor-mación, mientras que en la figura 2 se muestran lasregiones del plano complejo w correspondientes a cadauna de las hojas de la superficie de Riemann.

Así, una ecuación del tipo

(33)

que, como puede verse, no es en general un polinomio,tendrá un número infinito de raíces, de las cuales sóloun número finito estará en la hoja principal de la super-ficie de Riemann. Se puede decir que las raíces queestán en hojas secundarias de la superficie deRiemann dan lugar a soluciones que son siempre fun-

1 01 0.... 0n n

n na s a s a sα α α−−+ + + =

1k = −1 01 0( ) ....n n

n nf s a s a s a sα α α−−= + + +

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Dα

sαλ =

Figura 1. Superficie de Riemann correspondiente a la transfor-mación .1 3w s=

i Rα +∈

, ii Qα +∀ ∈arg( ) .sπ π− < <

, ii Qα +∀ ∈ 1 ,q qα =

w sα=

1 3.w s=

Figura 2. Regiones del plano complejo w correspondiente a latransformación .1 3w s=

ciones monótonamente decrecientes (tienden a cerosin oscilaciones cuando ) y sólo las raíces queestán en la hoja principal de Riemann pueden pro-ducir una dinámica distinta: oscilación amortiguada,oscilación de amplitud constante, oscilación de ampli-tud creciente o crecimiento monótono.

Esta definición de la hoja principal de Riemann,que supone un corte a lo largo de , preserva laspropiedades hermíticas de las raíces y se correspondecon el valor principal de Cauchy de la integral corres-pondiente a la transformación inversa de Laplace, esdecir, aquél que se obtiene directamente aplicando elteorema de residuos. A las raíces que están en dichahoja se las puede denominar raíces estructurales o re-levantes.

3.4.2 Condiciones de estabilidad

Hechas las consideraciones previas del apartadoanterior, se pueden establecer las condiciones de esta-bilidad de los sistemas fraccionarios.

En el caso más general, se puede decir que un sis-tema fraccionario con función de transferencia noracional, , es estable para entrada ysalida limitadas (BIBO estable) si y sólo si se cumple

(34)

La condición anterior se cumplirá si todas lasraíces de la función Q(s) que están localizadas en lahoja principal de Riemann y no son raíces de P(s)tienen parte real negativa.

Para los sistemas de orden conmensurable, quetienen una ecuación característica que es un polinomioen la variable compleja la condición de estabili-dad se puede expresar como

(35)

siendo las raíces del polinomio característico. Parael caso particular de se obtiene la condición deestabilidad conocida para los sistemas lineales

(36)

3.4.3 Criterios de estabilidad

A la vista de todo lo expuesto anteriormente sepuede establecer lo siguiente:

El hecho de que todos los coeficientes de laecuación característica sean del mismo signo noes condición necesaria ni suficiente para garan-tizar la estabilidad.

El número de raíces de la ecuación característicaen la hoja principal de Riemann no depende dela mayor potencia de la variable compleja en laecuación característica.

En la actualidad no se dispone de técnicaspolinómicas, tipo Routh o Jury, para analizar la esta-bilidad de los sistemas fraccionarios. Sólo las técnicasgeométricas de análisis complejo basadas en el prin-cipio del argumento son aplicables, por ser técnicasque dan cuenta del número de singularidades de lafunción dentro de una curva rectificable observando laevolución del argumento de la función a lo largo dedicha curva.

Así, aplicando el principio del argumento sobre lacurva generalmente conocida como camino de Nyquist(una curva que encierra todo el semiplano derecho dela hoja principal de Riemann), se puede determinar laestabilidad del sistema en lazo cerrado sin más quedeterminar el número de revoluciones de la curvaresultante de la evaluación alrededor del punto crítico( 1,j0)

Por otra parte, es fácil entender que la técnica dellugar de las raíces se puede aplicar a los sistemas deorden conmensurable con la misma facilidad que a lossistemas de orden entero. Lo único que cambia es lainterpretación, es decir, la relación de los puntos delplano complejo con las característicasdinámicas del sistema.

3.5 Análisis de la respuesta

3.5.1 Respuesta en el dominio del tiempo

Como ya se ha comentado en los apartados anterio-res, la forma de la respuesta dependerá de la locali-zación de las raíces de la ecuación característica, deforma que se pueden presentar varios casos:

−

arg( ) , ( ) 02i i iQπλ λ λ> ∀ =

1α =

arg( ) 2iπλ α>

, ( ) , Re( ) 0M G s M s s∃ ≤ ∀ ≥

R−

t → ∞

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( ) ( ) ( )G s P s Q s=

sαλ =

iλ

sαλ =

No hay raíces en la hoja principal de Riemann.En este caso, la respuesta será una funciónmonótonamente decreciente.

Hay raíces en la hoja principal de Riemann,localizadas en . En este caso,la respuesta será una función monótonamentedecreciente.

Hay raíces en la hoja principal de Riemann,localizadas en . En este caso,la respuesta será una función con oscilacionesamortiguadas.

Hay raíces en la hoja principal de Riemann,localizadas en . En este casola respuesta será una función con oscilacionesde amplitud constante.

Hay raíces en la hoja principal de Riemann,localizadas en . En este casola respuesta será una función con oscilacionesde amplitud creciente.

Hay raíces en la hoja principal de Riemann,localizadas en . En este casola respuesta será una función monótonamentecreciente.

Para el caso particular de los sistemas de orden con-mensurable, la respuesta impulsiva podrá expresarsecomo

(37)

siendo los polos de la ecuación característica, y(.) la función de Mittag-Leffler de dos parámetros

definida como

(38)

La respuesta al escalón responde a la expresión

(39)

La forma de estas respuestas será: 1) monótonadecreciente si ; 2) oscilatoria de amplituddecreciente si ; 3) oscilatoria deamplitud constante si ; 4) oscilatoria de

amplitud creciente si ; 5)monótona creciente si

3.5.2 Respuesta en el dominio de la frecuencia

En el caso más general, la respuesta en frecuenciahabrá de construirse mediante la evaluación directa dela función de transferencia no racional a lo largo deleje imaginario, Sin embargo, paralos sistemas de orden conmensurable, a la hora de con-struir su respuesta en frecuencia se pueden seguir pau-tas similares a las seguidas para los sistemas de ordenentero. Esto es, se puede construir la respuesta en fre-cuencia mediante la adición de las contribuciones indi-viduales de los términos de orden α, resultantes de lafactorización de la función. Para cada uno de los fac-tores resultantes, que de una forma general podemosponer como la curva de magnitud tendrá unapendiente que, partiendo de cero para bajas frecuen-cias, tenderá a para altas frecuencias, y lacurva de fase evolucionará desde 0º hasta Además, se producirá resonancia para α >1.

3.5.3 Respuesta en régimen permanente:coeficientes estáticos de error

Se puede demostrar que los sistemas de orden frac-cionario siempre tienen coeficientes de error estáticoque son 0 ó , lo que muestra que su comportamiento,también en régimen permanente, participa de las car-acterísticas del comportamiento de los sistemas deórdenes enteros menores y mayores que su orden frac-cionario. Estos sistemas sólo tendrán coeficientes fini-tos para entradas cuya dependencia temporal sea deltipo cuya transformada de Laplace respondea la expresión

(40)

donde γ es el orden de multiplicidad del polo en el ori-gen del sistema.

4. CONTROL FRACCIONARIO

4.1 Introducción

En esta sección se pretende justificar de forma sim-ple el uso de los operadores fraccionarios en los sis-

∞

, 10

( ) ( )n

k kk

y t r t E tα αα α λ+

=

= ∑

,0

( ) , 0, 0( )k

k

zE z kα β α βα β∞

=

= > >Γ +∑

1,

0( ) ( )

n

k kk

g t r t E tα αα α λ−

=

= ∑

Blas M. Vinagre Jara et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99 9

Re( ) 0, Im( ) 0s s< =

Re( ) 0,Im( ) 0s s< ≠

Re( ) 0,Im( ) 0s s= ≠

Re( ) 0,Im( ) 0s s> ≠

Re( ) 0,Im( ) 0s s> =

kλ,Eα α

arg( )kλ απ≥arg( )2 k

πα λ απ<arg( ) 2k

πλ α=

arg( ) , arg( ) 02k kπλ α λ< ≠

arg( ) 0.kλ =

1( ) ,sα γ ±+

20db decα±.2

πα±

( )r t Atγ=

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99Blas M. Vinagre Jara et al.10

temas de control, para lo cual quizás sea útil recordaralgunas cuestiones básicas.

En los sistemas de control nuestro propósito es ha-llar un dispositivo, físico o matemático, que haga quecierto sistema cumpla unas especificaciones de fun-cionamiento dentro de una estructura con reali-mentación. A dicho dispositivo se le denomina contro-lador y al sistema inicial sobre el que opera planta oproceso. Las salidas de la planta son las magnitudes ovariables medibles cuyo valor o evolución preten-demos regular, mientras que se denominan entradas alas magnitudes o variables sobre las que podemosactuar para conseguir el funcionamiento deseado, aveces proporcionado en forma de referencia. Otrasvariables pueden influir en el sistema de control pro-duciendo desviaciones en los parámetros de la planta,y por tanto en las salidas, o en los valores medidos.Estas son denominadas perturbaciones, incertidumbresy ruidos. El objetivo del controlador es que las salidasse mantengan dentro de las especificaciones a pesar delos ruidos, las perturbaciones y las incertidumbres. Asípues, para modificar adecuadamente la dinámica de laplanta y que las salidas sean las deseadas se precisandos cosas: una referencia de funcionamiento, modela-da por medio de las especificaciones, y un controladorque haga que ese objetivo se consiga.

El control fraccionario propone el uso de opera-dores y sistemas fraccionarios en ambos cometidos, esdecir, como sistemas de referencia y como contro-ladores. Como ejemplo de ello y por tratar en este tra-bajo sólo los aspectos fundamentales, en lo que siguese hablará del integrador fraccionario como sistemade referencia, y de los controladores Proporcionales,Integrales y Derivativos Fraccionarios (FOPID), porincluir este controlador de tres términos todas lasacciones básicas de control.

4.2 El integrador fraccionario como sistema dereferencia

En las secciones anteriores se ha podido comprobarque el sistema con función de transferencia

(41)

que corresponde a la ecuación (10) bajo condicionesiniciales nulas, puede exhibir dinámicas que van desde

la relajación hasta la oscilación, incluyendo lasdinámicas correspondientes a los sistemas de primerorden y segundo orden como casos particulares.Resulta por tanto interesante tomar este sistema comosistema de referencia. Esto se propuso por primera vezen [5] y constituye también el punto de partida para elcontrol CRONE [4], así como el criterio adoptado enun trabajo reciente [6] para sintonizar controladoresPID tradicionales. Tal función se puede considerarcomo el resultado de conectar en lazo cerrado un inte-grador fraccionario de ganancia A y orden α (ver figu-ra 3), es decir, un sistema cuya función de transferen-cia tiene la forma

(42)

La función de transferencia F(s) es la que Bodedenominó función de transferencia ideal u óptima [7],cuyas características principales son un margen de faseconstante que depende sólo delorden de integración α, y una frecuencia de cruce porcero decibelios que depende de la ganancia A. En eldominio del tiempo esto equivale a una respuestaescalón de la forma

(43)que tiene una sobreoscilación o máximo que dependesólo de α, siendo A el factor que modula la rapidez.

Un estudio completo de este sistema de referenciase puede encontrar en [8].

4.3 Controladores fraccionarios

4.3.1 Introducción

Las primeras aportaciones en este campo fueron losartículos que a finales de los años cincuenta y princi-

, 1( ) ( )ky t Ar t E Atα αα α += −

( ) ,0 2AG ss Aα α= < <

+

Figura 3. Integrador fraccionario como sistema de referencia.Estructura en lazo cerrado con realimentación unitaria.

( )( )1 2mφ π α= −

pios de los sesenta publicaron Tustin [9], Carlson yHalijak [10] y S. Manabe [5]. El primero de ellos, altratar del control de posición de un servomecanismohablaba de la conveniencia de un controlador que pro-porcionase un margen de fase constante sobre un inter-valo de frecuencias, lo que equivale a tomar como re-ferencia para el sistema controlado una aproximacióndel integrador fraccionario comentado en la secciónanterior. En los otros dos trabajos se estudiaba la apli-cación del integrador fraccionario para el control de unservomecanismo, y el uso de controladores fracciona-rios en sistemas con saturación. Tras estas aporta-ciones pioneras y aisladas hubo que esperar una déca-da para que aparecieran las primeras aportaciones sis-temáticas del uso de controladores fraccionarios en lostrabajos de Oustaloup y sus colaboradores [4]. A partirde los años ochenta han ido apareciendo algunos otrostrabajos que consideran la posibilidad de utilizar con-troladores fraccionarios, la mayoría de ellos dedicadosal control de sistemas de parámetros distribuidos o vis-coelásticos. Los métodos y técnicas utilizados endichos trabajos para diseñar el controlador frac-cionario o para llegar a la conclusión de que la solu-ción óptima del problema planteado es un controladorde tal tipo, son varios, desde el lugar de las raíces has-ta la optimización .

4.3.2 Acciones básicas de control

Partiendo del diagrama de bloques de la figura 4, secomentarán en esta sección los efectos de las accionesbásicas de control del tipo para Lasacciones básicas de control tradicionalmente conside-radas serán casos particulares de este caso general, enlos que para se ejercerá una acción proporcional,para se ejercerá una acción integral, y para

una acción derivativa.

Como es sabido, los principales efectos de la acciónintegral son hacer más lenta la respuesta del sistema,disminuir la estabilidad relativa del mismo, y eliminarel error estacionario del sistema ante entradas para lasque antes tenía un error finito. Dichos efectos sepueden ver en los distintos dominios de análisis. En eldominio del tiempo, los efectos sobre la respuesta tran-sitoria se manifiestan en un decrecimiento del tiempode subida y un aumento del tiempo de establecimientoy la sobreoscilación. En el plano complejo, los efectosde la acción integral se traducen en un desplazamientodel lugar de las raíces del sistema hacia el semiplanoderecho. Por último, en el dominio de la frecuenciadichos efectos se manifiestan en un incremento de db/dec en las pendientes de la curva de magnitud y undescenso de en la curva de fase. En el caso de quese tenga un orden de integración fraccionario, es decir,

, la selección del valor de µ se traduce enuna determinada ponderación de los efectos arribacomentados.

En el dominio del tiempo, los efectos de la acciónde control pueden inducirse de la manera en que dichaacción trata a una señal error que es una onda cuadrada(ver figura 5). Como puede observarse, los efectos dela acción de control sobre la señal error asumida,varían entre los efectos de una acción proporcional( , onda cuadrada) y los de una acción integral( , curva a tramos rectos), mientras que para va-lores intermedios de µ la acción de control es creciente

20−

Blas M. Vinagre Jara et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99 11

H∞

Ksµ [ ]1,1 .µ ∈ −

0µ =1µ = −

1µ =

Figura 4. Acciones básicas de control. El tipo de acción ejerci-da depende del valor del parámetro [ ]1,1 .µ ∈ −

2π

( 1,0)µ ∈ −

Figura 5. Efectos de la acción integral sobre una onda cuadra-da según el orden de integración.

0µ =1µ = −

para un error constante, lo que resulta en la elimi-nación del error estacionario, y decrece cuando el errorse hace cero, lo que resulta en una menor inestabilidaddel sistema.

En el plano complejo, se puede ver que la selec-ción de un valor de µ se traduce en la elección de enqué medida se desplaza el lugar de las raíces hacia elsemiplano derecho, y de los valores de K que hacenque se cumpla la condición de módulo.

En el dominio de la frecuencia, el hecho de variarµ entre y 0, supone la posibilidad de introducir unincremento constante en las pendientes de la curva demagnitud que variará entre db/dec y 0 db/dec,y/oun retraso constante en la curva de fase que variaráentre π /2 y 0.

La acción derivativa, por su parte, aumenta la esta-bilidad del sistema y tiende a enfatizar los efectos delos ruidos y perturbaciones de alta frecuencia. En eldominio del tiempo, esto se manifiesta, principal-mente, por una disminución tanto de la sobreoscilacióncomo del tiempo de establecimiento. En el plano com-plejo, como un desplazamiento del lugar de las raícesdel sistema hacia el semiplano izquierdo. En eldominio de la frecuencia, como un adelanto constantede fase de π /2 y un aumento de 20 db/dec en las pendi-

entes de la curva de magnitud. Siguiendo un razon-amiento paralelo al realizado para la acción integral, esfácil admitir que todos estos efectos pueden ser pon-derados mediante la elección del orden de la derivada(ver figura 6).

4.3.3 Controladores PID fraccionarios

El controlador PID, que engloba las tres accionesbásicas de control, es todavía el más utilizado en laindustria de control de procesos debido, fundamental-mente, a su simplicidad funcional y a la robustez queproporciona a los sistemas de control, y ha recibidouna atención constante desde que Ziegler y Nicholspresentaron sus métodos de sintonía en 1942 [11]. A lavista de lo expuesto en el apartado anterior, en esteapartado se pretende mostrar cómo, utilizando losoperadores fraccionarios, es posible obtener unaestructura más general para el PID clásico que, mante-niendo la simplicidad del concepto y su formulacióncompacta, hace posible tratar con una clase más gene-ral de problemas de control en los cuales la naturalezafraccionaria del controlador puede venir impuesta,bien por la naturaleza fraccionaria del propio sistema acontrolar o bien por la especial naturaleza de lasrespuestas temporales o frecuenciales requeridas.

El controlador PID clásico puede considerarsecomo una forma particular de compensación atraso-adelanto en el dominio de la frecuencia. Su función detransferencia puede expresarse como

(44)

o bien

(45)

con

Por tanto, las aportaciones del controlador puedenverse como dependientes de: a) las ganancias , ,

; b) la ganancia k y los parámetros . En larespuesta en frecuencia del controlador, la elección deestas ganancias o parámetros es equivalente a la selec-ción de la posición, suavidad y valor del mínimo en lacurva de magnitud, y la pendiente de la curva de fase a

2( ) 2 1( ) c c cs d sC s k sω ω+ +=

20−

1−

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99Blas M. Vinagre Jara et al.12

Figura 6. Efectos de la acción derivativa sobre una funcióntrapezoidal según el orden de derivación.

pK iKdK ,c cw d

la frecuencia en que se produce tal mínimo. Sin embar-go, para altas y bajas frecuencias, los valores de laspendientes en la curva de magnitud y de las aporta-ciones de fase son fijos.

La ecuación íntegro-diferencial que define laacción de control del FOPID es

(46)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuaciónanterior con condiciones iniciales nulas, se obtiene lafunción de transferencia del controlador, que puedeexpresarse de la forma

(46)

Como puede observarse, el uso del FOPID permiteseleccionar, además de lo que permitía el PID clásico,bien las pendientes de la curva de magnitud, bien lasaportaciones de fase a bajas y altas frecuencias. De unaforma gráfica, se pueden ver las posibilidades ofreci-das por el FOPID en la figura 7. En ella, estas nuevasposibilidades se presentan gráficamente como la posi-bilidad de ocupar toda la superfice del cuadradodefinido por los vértices que representan las únicasposibilidades del PID clásico.

Desde los trabajos de Ziegler y Nichols [11], se hanpropuesto muchos métodos de diseño y procedimien-tos de sintonía para los controladores PID. Teniendo encuenta la posibilidad de seleccionar no sólo las cons-tantes del controlador, sino también los órdenes de lasacciones integral y derivativa, se pueden generalizar

estos métodos y procedimientos de forma que puedanhacerse más flexibles y potentes, y permitan resolveruna clase más amplia de problemas de control. A modode ilustración, podemos referirnos al trabajo expuestoen [12], en el que se muestra cómo, resolviendo unproblema de optimización no lineal, se pueden sin-tonizar los parámetros de un FOPID para que el sis-tema controlado cumpla cinco especificaciones de di-seño, incluyendo entre ellas especificaciones de errorestacionario, márgenes de fase y ganancia, frecuenciasde cruce, fase plana alrededor de la frecuencia de crucede ganancia, atenuación de ruido de alta frecuencia,limitación de los efectos de las perturbaciones, y limi-tación del esfuerzo de control.

En la literatura técnica se pueden encontrar otroscriterios y métodos para sintonizar controladoresFOPID (ver [12] para referencias adicionales).

5. REALIZACIÓN DECONTROLADORES FRACCIONARIOS

“Toda idea pierde algo de su pureza desde el momento en queaspira a realizarse.”

(E. Renan,.Vida de Jesús)

5.1 Introducción

Utilizando las definiciones de Riemann-Liouvillepara los operadores fraccionarios, un controlador frac-cionario vendrá caracterizado por una función detransferencia continua como (16), o por una función detransferencia discreta de la forma (17). Un controladorfraccionario, por tanto, como sistema fraccionario quees, tiene una función de transferencia no racional en eldominio de Laplace, o una función de transferencia deorden ilimitado en el dominio de z. Por una parte, esobvio que sólo en el caso de orden entero es posiblerealizar exactamente una función de transferencia con-tinua utilizando elementos circuitales convencionales,tales como resistencias, condensadores o inductancias.Por otra, sólo en el caso de orden entero el desarrollode tendrán un número finito de términos, esdecir, podrá ser realizado exactamente utilizando losprocedimientos habituales para la realización de con-troladores discretos (ecuaciones en diferencias deorden finito o filtros digitales de orden finito). Así, loque en el modelado suponía una ventaja —la memoria

( ) 2 1( ) f f fi

f p ds d sKC s K K s k

s s

λ µ λµ

λ πω ω+ + +

= + + =

( ) ( ) ( ) ( )p i du t K e t K D e t K D e tλ µ−= + +

Blas M. Vinagre Jara et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99 13

Figura 7. Ilustración gráfica de las aportaciones de un PIDtradicional y uno fraccionario (FOPID).

1( ( ))w z γ−

ilimitada— se convierte en un inconveniente a la horade la implantación, y hace imposible, al menos con losconocimientos actuales, utilizar plenamente las ven-tajas de los controladores fraccionarios. Por ello, yteniendo en cuenta que el paso final para la aplicaciónde los controladores fraccionarios exige la obtenciónde una forma realizable de los mismos, será necesarioobtener aproximaciones realizables de las funciones detransferencia que los caracterizan.

Al menos desde los años sesenta, algunos investi-gadores han estado interesados en obtener modelosaproximados de orden entero de sistemas de ordenfraccionario, o modelos de dimensión finita de sis-temas de dimensión infinita o de parámetros dis-tribuidos. La mayoría de estos investigadores traba-jaban en electroquímica, donde el problema es, gene-ralmente, construir un circuito eléctrico equivalente deun proceso en el que hay fenómenos de difusión. Mástarde, el uso de estos circuitos equivalentes se extendióal estudio de sistemas o materiales viscoelásticos. Conlos trabajos que aplican el cálculo fraccionario encontrol, surge la necesidad de buscar modelos que per-mitan la realización eficaz de controladores y filtrosfraccionarios, es decir, de dispositivos cuyo compor-tamiento dinámico venga caracterizado por los opera-dores del cálculo fraccionario. Con una realizacióneficaz queremos decir que las aproximaciones debenreproducir con suficiente fidelidad el comportamientoideal de los operadores, tanto en el dominio del tiempocomo en el de la frecuencia, y además ser de una com-plejidad aceptable de forma que los recursos exigidospermitan y aconsejen su utilización práctica, lo quevendrá reflejado, fundamentalmente, en el número ydistribución de polos y ceros de la aproximación.

A continuación, resumiremos brevemente el estadodel arte en este asunto, hablando de aproximacionescontinuas y aproximaciones discretas.

5.2 Aproximaciones continuas

Obtener un modelo continuo realizable de un con-trolador fraccionario supone la obtención de unaaproximación racional de la función de transferenciano racional que lo caracteriza. Dicha aproximaciónracional puede entenderse como el resultado de

aproximar el comportamiento del operador ,en el plano complejo. Teniendo en cuenta

que dicho operador tiene un corte de rama a lo largodel eje real negativo para pero está librede polos y ceros , y que un denso entrelazado de polosy ceros simples a lo largo de una línea en el plano s es,en cierto sentido, equivalente a un corte de rama, unabuena aproximación continua a los operadores frac-cionarios debe dar como resultado una funciónracional con polos y ceros entrelazados a lo largo deleje real negativo. Esto asegurará, además, que lasaproximaciones resultantes correspondan a sistemasestables y de fase mínima. Entre otros métodosmatemáticos, dos son particularmente interesantespara este propósito desde un punto de vista de control:el método de expasión en fracciones continuadas,habitualmente utilizado para la evaluación aproximadade funciones, y el método de aproximación racional,habitualmente utilizado para la interpolación de fun-ciones. Por otra parte, se han utilizado métodos deajuste de curvas para la obtención de aproximacionesracionales de las respuestas en frecuencia caracterís-ticas de los sistemas fraccionarios.

Es bien sabido que el método de expansión en frac-ciones continuadas para la evaluación aproximada defunciones frecuentemente converge más rápidamenteque la expansión en serie de potencias y en un dominiomás amplio del plano complejo. El resultado de talaproximación puede expresarse de la forma

(47)

siendo los y los funciones racionales de lavariable s o constantes. La expresión anterior da lugara una función que es una aproximación racional de lafunción original G(s).

Por otra parte, para la interpolación de funciones,las funciones racionales son frecuentemente mejoresque las polinómicas por su capacidad de modelar fun-ciones con polos y ceros. Estas técnicas están basadasen la aproximación de una función, G(s), mediante unafunción racional definida por un cociente de poli-nomios en la variable s y que pasa por los puntos

, es decir

10

21

32

3

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) .....

b sG s a s b sa s b sa s a s

++

+ +

≈

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99Blas M. Vinagre Jara et al.14

sα

0 1,α< <

arg ( , )s π π∈ −

ia ib

( , ( ))....( , ( ))i i i m i ms G s s G s+ +

(48)

Otros métodos se basan directamente en la dis-tribución alternada sistemática de ceros y polos (fac-tores de adelanto y atraso) para ajustar las curvas origi-nales de magnitud y fase de los operadores frac-cionarios en el dominio de la frecuencia, tal como semuestra en la figura 8. Las localizaciones de los cerosy polos de esta distribución suelen obtenerse de unaforma recursiva.

Además, cualquier método de identificación de sis-temas o ajuste de curvas en el dominio de la frecuenciapuede emplearse con objeto de obtener un modeloracional cuya respuesta en frecuencia se ajuste a la delsistema de forma que se haga mínima, utilizando gen-eralmente mínimos cuadrados, una determinadafunción de coste, que suele ser de la forma

(49)

siendo W(ω) una función de ponderación, H(ω) larespuesta en frecuencia original, y la respuestaen frecuencia del modelo aproximado.

Una revisión de todos estos métodos puede verseen [8,13].

5.3 Aproximaciones discretas

De forma general, si una función continua f(t) seaproxima mediante una función discreta, f(nh), quecoincide con ella en los puntos k 0,1,...,n,siendo h el espaciado constante entre puntos o paso, laaproximación para su integral o derivada de orden αpuede expresarse como:

(50)

donde es el operador de traslación y es lafunción generadora que, junto a su método de expan-sión, determinan tanto la forma como los coeficientesde la aproximación.

Es preciso tener en cuenta que el caso de la reali-zación discreta de controladores o filtros fraccionariosno es equivalente a los casos de simulación o evalua-ción numérica de los operadores íntegro-diferencialesfraccionarios. En el caso de la aproximación numérica,útil para la integración numérica de ecuaciones y lasimulación dinámica de sistemas, debemos tener encuenta el coste computacional y la convergencia delalgoritmo, lo que nos llevará a elegir el método y elpaso a utilizar. En el caso de realización de contro-ladores es necesario, sin embargo, tener en cuentaalgunas otras consideraciones importantes.

En primer lugar, el valor de h, el paso o separaciónentre puntos cuando tratamos de evaluación numéricao simulación, es el valor del periodo de muestreo, T; ensegundo lugar, todo el proceso requerido por la ley decontrol debe realizarse en un intervalo de tiempo sensi-blemente inferior al periodo de muestreo. Por otraparte, el número de términos del desarrollo de la fun-ción generadora considerados para la aproximacióndetermina el tamaño de la memoria requerida para lle-var a cabo la ley de control. Así, en este caso, el sis-tema microprocesador empleado impondrá restric-ciones en base a sus limitaciones de velocidad demuestreo, potencia de cálculo y memoria. Ello hace

1( ) ( ( )) ( )y nh h w z f nhα α± −= m

=

0 1( 1)....( )

0 1

( ) ......( ) ( ) ......

1 1

i i i mP s p p s p s

G s R Q s q q s q sm

µµ µ

νν ν

µ ν

+ +

+ + += =

+ + ++ = + +

≈

Blas M. Vinagre Jara et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99 15

Figura 8. Factores atraso/adelanto, correspondientes a polos yceros entrelazados, para aproximar el comportamiento fre-cuencial de los operadores fraccionarios.

ˆ( )H ω

,kt kh=

1z− 1( )w z−

que tengamos que decidir no sólo el paso (periodo demuestreo) y el método (función generadora), sino eltipo de expansión y el orden del filtro.

Por otra parte, las aproximaciones discretas puedenverse como el resultado de discretizar el operador ,

mediante el operador discreto Teniendo en cuenta las relaciones entre los planos s yz, el hecho de que sea deseable que las aproximacionescontinuas del operador continuo sean funcionesracionales en s con polos y ceros entrelazados a lolargo del eje real negativo, equivale a que las buenasaproximaciones discretas de dicho operador sean fun-ciones racionales en z con ceros y polos entrelazados alo largo de . Por último, se ha de tener encuenta que obtener una determinada respuesta frecuen-cial, exige muchos menos coeficientes si se utiliza unfiltro IIR (Respuesta Impulsiva Infinita) que si se uti-liza uno FIR (Respuesta Impulsiva Finita), es decir,una función racional en en lugar de un polinomio.

Son muchos los métodos propuestos en la literaturatécnica para la aproximación discreta de operadoresfraccionarios con propósitos de control o filtrado, y unexcelente análisis de los mismos se puede encontrar en[14]. En su mayor parte estos métodos están basadosen fórmulas de cuadratura de la integral fraccionaria

(51)

o en formas de aproximación numérica de lasderivadas. En ambos casos se utilizan diferentes fun-ciones generadoras correspondientes a diferentes tiposde aproximación, siendo las más usuales la regla rec-tangular regresiva (método de Euler) y la regla trape-zoidal. La primera, con una función

(52)

da como resultado, cuando se expande en serie depotencias, el filtro FIR equivalente a la fórmula deGründwald-Letnikov para la derivada fraccionaria (8).Si utilizamos cualquiera de estas funciones generado-ras y hacemos una expansión en fracciones continua-das, o una expansión en serie de potencias separadapara numerador y denominador en caso de la reglatrapezoidal, obtendremos como derivadores o inte-gradores fraccionarios aproximados filtros IIR. Estoes, filtros digitales de la forma

(53)

donde y son polinomios de grado p y q respecti-vamente, y T es el periodo de muestreo.

5.4 Consideraciones generales sobre larealización de los controladores

En general, hay dos maneras de realizar los contro-ladores: una hardware basada en el uso de un disposi-tivo físico, y una software o digital basada en un pro-grama que se ejecuta en un microprocesador. En elec-trónica, único caso aquí considerado, realizaciónhardware equivaldrá a realización analógica, eimplicará el uso de dispositivos o circuitos elec-trónicos analógicos que sinteticen la función de trans-ferencia requerida como admitancia o impedancia.

Para las realizaciones hardware electrónicas elpunto de partida es la función impedancia o admi-tancia. Para realizar tal función se pueden considerar almenos dos posibilidades: la fabricación de un disposi-tivo microelectrónico que, por construcción, tenga laimpedancia o admitancia requerida (ver figura 9); obien realizar una de las aproximaciones racionalesestudiadas utilizando redes de resistencias, conden-sadores e inductancias con una determinada topología(escalera, cascada, árbol o celosía).

1 1( ) (1 )w z z− −= −

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99Blas M. Vinagre Jara et al.16

sα

0 1,α< < 1( ( )) .w z α−

( 1,1)z ∈ −

1z−

pP qQ

Figura 9. Dispositivo fractal para la realización de impedanciasfraccionarias: .1 ,0 1V I Csα α= < <

Es preciso tener en cuenta que para ser realizablecomo impedancia o admitancia en la forma arribacomentada, la aproximación racional de partida debeser una función real positiva. Es posible demostrar quecualquiera de las buenas aproximaciones racionalesobtenidas es una función real positiva por tener polos yceros entrelazados a lo largo del eje real negativo.Además, estas realizaciones pueden ser mejoradas uti-lizando elementos activos en los circuitos, principal-mente amplificadores operacionales. Es decir, puedeobtenerse mayor flexibilidad en las realizaciones si lassintetizamos como filtros activos (ver figura 10).

Para cualquier realización digital es precisodisponer de una ecuación en diferencias. Dichaecuación en diferencias puede obtenerse mediante laaproximación numérica de una ecuación diferencial omediante la transformación Z inversa de numerador ydenominador en una función de transferencia discreta.Para este último caso es posible utilizar cualquiera delas aproximaciones discretas estudiadas o la versióndiscreta de cualquiera de las aproximaciones con-tinuas. Por otra parte, considerando el sistema descritopor una función de transferencia discreta como unfiltro digital, pueden tenerse en cuenta consideracionesútiles bien conocidas en la teoría de filtros digitalescon objeto de elegir la mejor estructura para la reali-zación.

6. ACTUALIDAD DEL CONTROLFRACCIONARIO

Como signos de la creciente actividad en ControlFraccionario, diremos que, además de las cada vez más

numerosas contribuciones individuales, desde el año2002 se han ido sucediendo workshops, sesiones espe-ciales, sesiones invitadas y números especiales en con-gresos y revistas internacionales: IEEE Conference onDecision and Control (Las Vegas, USA 2002), ASMEConference on Mechanical Vibration and Noise(Chicago, USA 2003, Long Beach, USA 2005),Nonlinear Dynamics (Vol. 29, Nos. 1-4 2002, Vol. 38,Nos. 1-4 2004), Signal Processing (Vol. 83, No. 11,2003, en prensa 2006). Además, se empiezan a cele-brar, bajo el patrocinio de importantes organismosinternacionales ligados al control automático, con-gresos específicos sobre cálculo fraccionario con granrepresentación de la comunidad de control (IFACWorkshop on Fractional Differentiation and itsApplications, Bordeaux 2004, Oporto 2006), y a publi-carse libros recogiendo los últimos avances en cálculofraccionario, con gran número de trabajos relativos alas aplicaciones en teoría de control.

Todo ello no es más que el resultado de la actua-lidad del cálculo fraccionario, siendo las aplicacionesen teoría control de aquéllas que, en buena medida,han contribuído a dicha actualidad. Hoy en día, y talcomo se puede ver en los eventos y publicaciones ante-riormente citados (ver, e.g. [15,16,17,18]), las aplica-ciones del cálculo fraccionario en control se extienden,entre otros, a los siguientes campos:

Teoría de sistemas: Modelado, teoría de esta-bilidad, sensibilidad y robustez.

Diseño de controladores: Control adaptativo,control de aprendizaje iterativo (ILC), controldeslizante (SMC), Control óptimo.

Aplicaciones en: control y supresión de vibra-ciones, supresión de ruido, control de posición yvelocidad, amortiguación activa, sistemas elec-trónicos de potencia, sistemas hidráulicos,robótica flexible, robótica móvil.

Queda, sin embargo —y sirva esto como con-clusión— la formulación clara de una Teoría deControl para Sistemas de Orden Generalizado, esdecir, queda reformular la actual teoría de control (almenos de sistemas lineales invariantes en el tiempo)tomando los sistemas de orden entero como casos par-ticulares.

Blas M. Vinagre Jara et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99 17

Figura 10. Filtro activo con impedancia fraccionaria en larealimentación: .

( )FZOUT IN F IV V Z R−≈

BIBLIOGRAFÍA

1. Podlubny, I. (1999) Fractional DifferentialEquations. Academic Press, San Diego.

2. Miller, K. S. & Ross, B. (1993) An Introduction tothe Fractional Calculus and Fractional DifferentialEquations. John Wiley & Sons, New York.

3. Hilfer, R. (Ed.) (2000) Fractional Calculus inPhysics. World Scientific, Singapore.

4. Oustaloup, A. (1995) La dérivation non entière.Hermès, Paris.

5. Manabe, S. (1963) The non-integer integral and itsapplication to control systems. ETJ of Japan, Vol. 6,Nº. 3.

6. Barbosa, R. S., Tenreiro Machado, J. A. & Ferreira I.M. (2004) Tuning of PID Controllers Based onBode’s Ideal Transfer Function. NonlinearDynamics, Vol. 38, Nº. 1-4, 305-321.

7. Bode, H. W. (1945) Network Analysis and FeedbackAmplifier Design. D. Van Nostrand, Boston.

8. Vinagre, B. M. (2001) Modelado y Control deSistemas Dinámicos caracterizados por EcuacionesÍntegro-Diferenciales de Orden Fraccionario. TesisDoctoral, UNED, Madrid.

9. Tustin, A., Allansson, J. T.,Layton, J. M. &Jakeways, R. J. (1958) The Design of Systems forAutomatic Control of the Position of MassiveObjects. Proceedings of the Institution of ElectricalEngineers, Vol. 105, Part C, Supp. 1, 1-57.

10. Carlson, G. E. & Halijak, C. A. (1961) Simulation ofthe fractional derivative operator and the fractionalintegral operator. Proc. of the CSSCM Kansas State

U.B. Vol. 45.11. Ziegler, J. G. & Nichols, N. B. (1942) Optimum set-

tings for automatic controllers. Transactions of theASME, Vol. 64, 759-768.

12. Monje, C. A., Vinagre, B. M., Chen, Y. Q., Feliu, V.,Lanusse, P. & Sabatier J. (2005) Optimal tunings forfractional PIλDµ controllers. En: Fractional differen-tiation and its Applications. Ed: Le Mehauté, A.,Tenreiro Machado, J. A., Trigeassou, J. C. &Sabatier, J. Ubooks, Germany.

13. Petras, I., Podlubny, I., O’Leary P., Dorcak, L. &Vinagre, B. M. (2002) Analogue Realization ofFractional Order Controllers. Fakulta Berg, TUKosice, Kosice.

14. Valério, D. (2005) Fractional Robust SystemControl. PhD Thesis, Universidade Técnica deLisboa, Lisboa.

15. Agrawal, O. P., Tenreiro Machado, J. A. & Sabatier J.Eds. (2004) Special Issue: Fractional Derivatives andtheir Applications. Nonlinear Dynamics, Vol. 38,Nos. 1-4. Kluwer Academic Publishers, Netherlands.

16. Tenreiro Machado, J. A. Ed. (2002) Special Issue ofFractional Order Calculus and its Applications.Nonlinear Dynamics, Vol. 29, Nos. 1-4. KluwerAcademic Publishers, Netherlands.

17. Ortigueira, M. D. & Tenreiro Machado, J. A. Eds.(2003) Special Issue Fractional Signal Processingand Applications. Signal Processing, Vol. 83, Nº. 11.Elsevier, Netherlands.

18. Le Mehauté, A., Tenreiro Machado, J. A.,Trigeassou, J. C. & Sabatier, J Eds. (2005)Fractional differentiation and its Applications.Ubooks, Germany.

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2005; 99Blas M. Vinagre Jara et al.18