/-*\

L$vestigagiónlde

l -o

i OperacionesLíneas de espe raLicda. Patr ic ia de León

=f,

-C

Nr1.f

r - 1

. DescriPciónEn la vida diaria de todas las personas es común esperar por algún servicio.Algunos ejemplos: esperamos para entrar a un restaurante, hacemos cola enla caja de algún supermercado y nos formamos para recibir un servicio en labiblioteca de la universidad. Este fenómeno no es una experiencia que se l imitesólo a los humanos: los trabajos esperan a ser procesados por una máquina,los automóviles se detienen ante una luz roja de los semáforos, No se puedeneliminar las colas o filas sin incurrir en altos costos, lo que se quiere lograr esreducir el impacto desfavorable a niveles tolerables tanto de espera como decostos para la empresa.

Se conoce como fila de espera (línea o cola) una hilera formada por uno ovarios clientes que aguardan para recibir un servicio. Los clientes puedenser personas u objetos inanimados, como máquinas que requierenmantenimiento o pedidos de mercancías en espera de ser embarcados.

El análisis de filas de espera es de interés para los gerentes porqueafecta principalmente el servicio al cliente, pero al mismo tiempo

afecta el diseñ0, la planificación de la capacidad, la planificaciónde la distribución de espacios, la administración de inventarios y

la programación.

ObjetivosAI finalizar el estudio de esta unidad y luego de haber profun-dizado en los contenidos mediante las lecturas recomendadas,rssolución de casos y ejercicios, usted estará en capacidad de:1. ldentificar si la linea de espera tiene problemas y saber el: por:qué es importante estudiar estos problemas.

0onocer la diferencia entre líneas de espera de un solo canaly de múltiples canales.'Entender cómo la distribución de Poisson se utiliza para des-cribir llegadas y cómo lá distribución exponencial se utilizapara describir tiempos dé:servicio.

4, Aprender a utilizar las fórmulas para identificar caracterís-

rnodelos: r,,. Modelo M/M/1. Modelo M/Gl1. Modelo M/M/1 con u. Modelo M/M/kl,nccrpora r cons ideracionesde,decisiones refürcntes apera (análisis econórnico).

3. Conten idosA continuación se presentan los contenidos de laguía de líneas de espera:

. ¿Por qué se forman las líneas de espera?

. Características de operación2,.

3.

. Estructura del sistema de líneas de espera

. Simbología de líneas de espera

Modelo M/M/1

Modelo M/G/1

Modelo M/M/1 con una población de solici-tantes finita

Modelo M/M/k

5.:nÉGa.

icas paLffi,llegar a la tomaión de=üiha línea oe es-

. Análisis Económico de las líneas de espera

F. i : " : . : : ,+ t

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4' Resurnen y ej emplos

4.1 ¿Por qué se forman las Iíneas de espera?Las líneas o filas de espera se forman a causa de un desequilibrio temporal entre la demanda de un servicio yla capacidad del sistema para suministrarlo. En la mayoría de los problemas de fila de espera que se presentanen la vida real, la tasa de demanda varía; es decir, los clientes llegan a intervalos imprevisibles. Lo más comúnes que también haya variaciones en el r itmo de producción del servicio, dependiendo de las necesidades delcliente.

Supongamos que en la Agencia Banrural deZacapa los clientes llegan a una tasa promedio de 15 por hora,durante todo el día, y que el banco tiene capacidad para atender a20 clientes por hora, en promedio.Antes de continuar con la lectura, conteste la siguiente pregunta ¿por qué podría formarse alguna vez una fila deespera en dicha agencia?

(Piense un momento, antes de continuar con la lectura...)

Las respuestas son que la tasa de llegada de los clientes varía en el curso del día y que el tiempo necesariopara atender a cada uno de ellos suele ser diferente. A mediodía, es factible que lleguen 30 clientes al banco.Algunos desearán realizar quizá transacciones complicadas que requieran tiempos de procesamiento superioresal promedio, La fila de espera puede aumentar a 15 clientes durante ciertos períodos, antes de desaparecerfinalmente. A pesar de que el Jefe de Agencia provea una capacidad más que suficiente, considerada enpromedio, es posible que se sigan formando fi las de espera,

El estudio de líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de esperar formando colas, mediante medidasrepresentativas de eficiencia o características de operación.

A continuación se presenta la simbología básica que se necesitará para poder calcular las características deoperación (medidas de desempeño):

t Í)

*, Y

l*

i.J

r. :'J

.F,.r!

t

*'..¡

í * i

4.2 Simbologíai li E* ee ir ¡1 ?::;.rírr ¿H

f ¡' = tasa media de llegadas (lambda)íit r

i l l - l : tasa media de servic ios (mu)

rlI o = desviación estándar del t iempo de servicio

:tr

á I : t iempo promecl io o medio del servic ioiP1:

¡ ttt : tamaño de la población

iÍ k : número de canales:¡¡tiXi cw = costo de espera por período de cada unidadt

i , c, : costo de servicio por período de cada canaliirl

i9:

i CT = costo total por período

4.3 Características de Op"raciónA continuaciÓn se presentan las características operativas o medidas de desempeño que se pueden encontrar,cuando se realiza un estudio de líneas de espera:

Po = Probabilidad de que no existan unidades en el sistema.

L^ = Número promedio de unidades en la línea de espera.q

L = Número promedio de unidades en el sistema.

Wo = Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera.

W = Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema.

P* = Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio.

Pn = Probabilidad de n unidades en el sistema.

! ir::r1:l : ::ir: :: ;l;:: r:i.¡it! 11+!t!1:;ii ljriii:iíii4,¡¡¡1i

ails$trl

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¡ia!

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i i :] 1 :

i

i!1

4.4 Modelos de línea de esperaExiste una amplia diversidad de modelos de líneas de espera que se han desarrollado, una notación cómod aparuclasif icar dichos modelos es la de D.G. Kendall: AJB/k

ff = distribución de probabil idad para las l legadas.

i B = distribución de probabil idad para el t iempo de servicio.. :

, k = cantidad de servidores o canales en paralelo. (se supone los servidores idénticos en su rapidez de servicio).

Las notaciones normales o estándar para representar las distribuciones de llegadas y tiempos de servicio(símbolosAy B) son:

: M = distribución de probabil idad de Poisson para las l legadas o distribución de :

i p ' obab i | i dadeXponenC ia |pa rae l t i empodese rv i c i o

, G - designa que las l legadas o el t iempo de servicio t ienen una distribución de, pfobabilidad general con una media y varianza conocidas,

Dentro de los modelos de líneas de espera que existen podemos mencionar los siguientes, aunque para efectosdel curso sólo se examinarán los primeros cuatro:

1. De un solo canal, con l legadas Poisson ytiempos de servicio exponencial.

2. De múltiples canales con l legadas Poisson y t iempos de servicio exponenciales.

3. De un solo canal, con llegadas tipo Poisson y tiempos de Servicio arbitrarios.

4. Con poblaciones de solicitantes finitas.

5, De canal múltiple con l legadas Poisson, t iempos de servicio arbitrarios y sin línea de espera,

6. De un solo canal, con llegadas Poisson y tiempos de servicio constante o determínisticos.

7. De canales ilimitados, con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial.

\\

\IIl\(9

üi

f

;

;)C

U

f,

;

( l ;

üt

3l

)

i . r i :t : t : : !

1 : . r

M*dsfi* M{/[Wl$

El primer modelo sigue una distribución de probabil idad de Poisson para las l legadas, distribución de probabil idadexponencial para el tiempo de servicio y un solo canal (servidor o instalación de servicio),

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:

Po:t- i

Número promedio de unidades en la línea de espera:

r - r t-q p(p - r )

Número promedio de unidades en el sistema:

Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:

L : Lo * Ip

*o =*

w=*r . ;

Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio:

Probabilidad de n unidades en el sistema:

P n = ( ; ) " ' "

P*: t rtr

Caso

Videos El Arco ubicado en el centro de Antigua Guatemala, es un establecimiento típico de renta devideos y DVD para clientes que ven películas en su casa. Durante las noches entre semana, los

clientes llegan a Videos ElArco a una tasa promedio de 1.25 clientes por minuto. El dependiente del

mostrador puede atender un promedio de 2 clientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson y tiempos

de servicio exponenciales.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?

b. ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio?

c. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio?

e. ¿Las características operativas indican que el sistema de mostrador con un solo dependienteproporciona un nivel de servicio aceptable?

RESOLUCION:

Antes de poder empezar a contestar las preguntas,

debemos identificar adecuadamente lambda y mu.

) , " :1.25 cl ientes/ minuto

W =2 c l ien tes /minu to

k : I dependiente

a. ¿Cuáles la probabil idad de que no haya clientes

en el sistema?

c. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un

cliente para que comience el servicio?

Wo : ! : ]+ = 0.832 minutos= 50 segundos' { } " 1.25

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que

llega tenga que esperar por el servicio? \

p* : r - l'25 : 0.625 : 62.50/op2

e. ¿Las características operativas indican que el

sistema de mostrador con un solo dependiente

proporciona un nivel de servicio aceptable?

Se puede apreciar que el sistema con el que cuenta

actualmente el establecimiento Videos El Arco

proporciona un nivel de servicio aceptable, debido

a que en promedio está esperando únicamente

un cliente y espera un promedio de 50 segundos

antes de ser atendido por el dependiente.

1 1 ? 5 tP o = l - ' u : l - ' ' 1 , ' : 0 . 3 7 5 : 3 7 . 5 o A" i r 2

b. ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que

esperan por el servicio?

L^ : ,X ' , - l ' 252 =1 .o4c l i en tes

" ¡ r f u - I ) 2 (2 -1 .2s )

V\f , a )

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4':l

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1 l

(

Mcdelo MlGlt

Elsegundo modelo sigue una distribución de probabilidad de Poisson para las llegadas, distribución de probabilidadgeneral para el tiempo de servicio y un solo canal (servidor o instalación de servicio).

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:

Po: l - t rIr

Número promedio de unidades en la línea de espera:

Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera.

L : Lo . ;

*o : *

w =*, . ;

Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio:

P*:Irr

Caso

Xela, Soldaduras, S.A. opera un servicio de soldadura para trabajos de construcción y reparaciones

en general. Suponga que la l legada de trabajos a la oficina de la compañÍa puede describirse con una

distribución de probabilidad de Poisson con una tasa media de llegada de dos trabajos por día (jornada

de B horas diarias). El t iempo requerido para completar los trabajos sigue una distribución de probabil idad

normal con un tiempo de 3.2 horas y una desviación estándar de dos horas. Responda las siguientes

preguntas, asumiendo que únicamente usa un soldador para completar todos los trabajos.

a. ¿Cuál es la tasa media de llegada en trabajos por hora?

b. ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora?

c, ¿Cuál es la cantidad promedio de trabajos esperando por servicio?

d. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un trabajo antes de que el soldador pueda comenzar a

trabajar en él?

e. ¿Cuál es la cantidad promedio de horas entre el momento en que se recibe un trabajo y el momento

en que se completa?

f. ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el soldador de Xela?

\ "\

\

\i

\

iI'9

RESOLUCIÓN:En este ejercicio no debemos identificar adecua-

damente lambda y mu antes de empezar a resolver

las preguntas, debido a que el inciso a y b nos piden

estos dos datos,

a. ¿Cuál es la tasa media de llegada en trabajos por

hora?

2t raba jos - Shoras l . , ,

f = + = 0.25 trabajos / horat 8

x - t h o r a j

b, ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por

hora?

3 .2ho ra - l t r aba jo

I hora x

c. ¿Cuál es la cantidad promedio de trabajos

esperando por servicio?

d. ¿Cuál es el t iempo promedio que espera

un trabajo antes de que el soldador pueda

comenzar a trabajar en él?

L q 2 . 2 2 5 o nwq : i : ,^

: 8.9 horas

e. ¿Cuál es la cantidad promedio de horas entreel momento en que se recibe un trabajo y elmomento en que se completa?

W:W^* 1 :8 .9+ 1 : l 2 . l ho ras' u 0 .3125f. ¿Qué porceniaje del tiempo está ocupado el

soldador de Xela?

En esta pregunta podemos utilizar la formula deprobabil idad de que una unidad que l lega tenga queesperar por el servicio, puesto que si un trabajo quellega tiene que esperar servicio, eso indica que elsoldador está ocupado.

P* = ̂ : ^ ' ^ ' . ? - :0 .8 = 8oo /o" u 0.3125

a*a\

ü

i,-c

'11 :.;:eF r l.;O

r'\l

-)l - i

,_" : ̂ t? r ' * j ^ t f _ ozsr? : +(o .zs ,o lL?ü=l .2 ls t raba jos-q

z(r - l, ¡, ) z(t - o.zsto.: t zs)

M*dets lVllM[/t

El tercer modelo sigue una distribución de probabilidad de Poisson para las llegadas, distribución de probabilidadexponencial para el tiempo de servicio y un solo canal (servidor o instalación de servicio). A diferencia del primermodelo en este se conoce el máximo número de unidades, es decir de clientes, que pueden solicitar servicio (sesupone finito).

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:

P o :

¿uh(l)"

tle. ?.: : r.,,:ti

i ! t : t r t t i I i i :$ .M¡ : i r i l t , i i r i

.q)!,! r rii ;i i i

Lt:l..ttr,t 1r.: ti i ,

l Í * ¡ : i r i i r ; r .

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qii

!¡l!tt

Número promedio de unidades en la línea de espera:

Número promedio de unidades en el sistema:

L :Lo * ( l -P " )

Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:

Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

Lq:--+(r-p")

wq:NS^

W : * , . ;

Probabilidad de n unidades en el sistema:

CON UNA POBLACIÓru OE SOLICITANTES FINITA

Pn:Nh(; ) " t " Para n=o'1 ' 'N

Caso

Cinco diseñadores gráficos usan un scanner en la oficina Cuchumatanes, Creatividad y más. El tiempopromedio entre llegadas para cada asistente es de 40 minutos, siguiendo una distribución de Poisson. Eltiempo medio que pasa cada diseñador en el scanner es de cinco minutos. Determine lo siguiente:

a. Probabilidad de que el scanner esté ocioso. I

b, Cantidad de diseñadores promedio en la línea de espera.

c. Cantidad de diseñadores promedio en el scanner,

d. Tiempo promedio que pasa un diseñador esperando el scanner.e, Tiempo promedio que pasa un diseñador en el scanner.f. Durante una jornada de trabajo (8 horas). ¿Cuántos minutos pasa un diseñador en el scanner?g. ¿Cuánto de este tiempo (inciso f) es tiempo de espera?h. ¿Debería la administración considerar la compra de un segundo scanner? Explique.

:t:t;

¡t::

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j l l l . ' lr i t l ; i 1 :: : : r f I t í 1

. ' i I i r j ; j. r i ' . 1 , : ' l. r r r l ' ; 1 . . I- : . - l i ; ¡ r : l

1 : t . i l i l i

', ',1'l, : , ' t '1-. . . . : r 1 i . i , ,, , , , l l l

l . ' : r . r '

40 minutoslI l x60140

60 minutosJ

ld iseñao" tJ -60x1 : r2d iseñadores rhora

*

f - 5XJ

RESOLUCIÓN:

Antes de poder empezar a contestar las preguntas, debemos identificar adecuadamente lambda, mu, número decanales y el tamaño de la población.

Tasa media de llegadr (1.)

I d iseñador

diseñadores I horaX

Tasa media de servicio (p)

5 minutos -

L

60 minutos

). = 1.5 diseñadores I hora

!-r = 12 diseñadores I hora

k = l l

N : 5

a. Probabilidad de que el scanner esté ocioso

P o :

¿+r(:)"

n Procedimiento ¿u+(l)"0

sr 1, 1rr )o(s -o ) t \ r z /

1.0000

1st ( l .s ) '

(s - r ) t \ rz l 0.6250

2s t ( r . 5 \ '

(s-z) t l rz /0 .3125

3 s! r l .s \ '(s - ¡ ) t \ rz l

4fi72

4A

s ! / 1 . 5 \_ t _ t

(s-+) t t , rz /0.0293

5s ! 11 .5 \ '

GrillrJ 0.0037

Sumatoria 2.0877

$ *, lL'"á(ru - r,)r t* ,l

:0 .4790 = 47.90o/o2.0877

b. Cantidad de diseñadores promedio en la línea de espera \

l , + u t . 5 +12 ,- ñ : N - ' u . ' * ( t - p . ) : s - ' ' ' . - - " ( t - 0 .+ t90 ) : 0 .3110 d i señado resY ¡ ,

\ v ' 1 . 5

\

c. Cantidad de diseñadores promedio en el scanner

Una forma de realizar fácilmente la fórmula anterior es elaborar una tabla para calcular el denominador

(sumatoria de cada valor de n, o sea de 0 hasta 5).

ii;,,l ! i i

) a a

.a ; ,4!lat,j

t . l :

I !lj:

ii:),:'

Po

L : Lo + ( r - po ) : 0.3110 + ( t -0.4790): o.s:z d iseñadores

d. Tiempo promedio que pasa un diseñador esperando er scanner

wq : N]': 511ffi

:0.04e7 horas :2.e8minutos

e. Tiempo promedio que pasa un diseñador en el scanner

w = Wo + I : 0 .0497 .+ : 0 .1330 hora s :7 .98minu tos-u12

f. Durante una jornada de trabajo (8 horas). ¿Cuánto tiempo pasa un diseñador en el scanner?

I d iseñador 40 minutos IL : lf+ : 12 veces llega un diseñador en 8 horas140x 480 minutosl

Si cada 40 minutos llega un diseñador al scanner, en 8 horas llega 12 veces al scanner.

Tiempo en el scanner

12 veces * 0.1330 horas = 1.60 horas al día = 95.76 minutos al día

g. ¿Cuánto de este tiempo (inciso f) es tiempo de espera?;

12 veces - 0.0497 horas = 0.60 horas al día = 35.78 minutos al día

h. ¿Debería la administración considerar la compra de un segundo scanner? Explique.

0.60 horas al día por 5 diseñadores = 3 horas al día

Sí, la administraciÓn debe considerar la compra de otro scanner, puesto que en total los cinco diseñadores pierdenaproximadamente 3 horas al día esperando para usar el scanner, lo que es demasiado tiempo perdido.

(^¡ l la*al'ü

5*

CIalf l r

C-, :E . :- i

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h ^ :

. j J :t.ft ll

v ;

2 : ,

- : ,

c..] :.f t:. \ . :* i :

l - l

Mndelo MIMIK

El último modelo sigue una distribución de probabilidad de Poisson para las llegadas, distribución de probabilidadexponencial para el tiempo de servicio y múltiples canales (servidores o instalaciones de servicio),

. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:

$ (r/p)" * (r./p,)n f _iE_)?u n ! k ! \kp- I i

. Número promedio de unidades en la línea de espera.

| : ( r /p)nrp o-q

( t - r ) r ( t r r - ¡ , f "

*o : *

IW :*o *

u

1 / a t k ,P*=*(;) (#h)'"

Pn:90" para nsk

Pn:##t. Para n>k

. Número promedio de unidades en el sistema:

L: Lo.l. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:

. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio:

i ; i : : 1:t :r t i i

i !.::

i;¿,;::i i : i ¡ i :!l: :t ,':': a)at:

i i , i ;i l r ¿ : P o :

. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

I

. Probabilidad de n unidades en el sistema:

Caso

Xincas Market es una pequeña tienda de abarrotes con dos cajas registradoras. Suponga que loscompradores se forman en una sola fila y pasan ala caja que se encuentre desocupada. De acuerdocon una distribución de probabilidad de Poisson, cuentan con una tasa media de llegada de 15

clientes por hora. Los tiempos de servicio en la caja siguen una distribución de probabilidad exponencial,con una tasa media de servicio de 20 clientes por hora para cada canal,

a. Calcule las características operativas de esta línea de espera,

b. Si la meta de servicio del gerente es limitar el tiempo de espera antes de comenzar el proceso

de cobro a no más de 1 minuto, ¿qué recomendaciones le proporcionaría respecto al sistemaactual?

RESOLUGIÓN:

Antes de empezar a contestar las preguntas, debemos identificar adecuadamente lambda, mu y el númerode canales.

l . : 15 cl ientes/ hora

W : 20 cl ientes/ hora por cada canal

k :2 ca jas o cana les

a. Calcule las características operativas de esta línea de espera.

Para calcular el Po en un modelo M/M/k se puede tomar cualquiera de los siguientes caminos:

Primer camino:

Utilizando la fórmula Po

S@fuI* (r/i')k I kp )" : t ^

n ! k ! \ kp - f /

af¿ r:l:

11 i i i i a

l'\ ;; lii' ; : : ; if, ara

- i : r : :^ t i i i : i

: i i r i :

a ' ' , '-7-1 t:i!:rl

v ,¡ , i ,rr ;¡ i j i- : ; t i t l

. Y , ; ; r ¡

R a'a !:t:r v :u,;tii:¡- n.

. * : a : .P . : : i ' ; i;f) .:,;j::

U ¡ t t : .

- a : i ; . : , : :! : : ; l i r

t ' : : : i

,i l ii]

a . ¡ , ! i :

< r.¡ij i i . : : r '

¿ . : i : ,

\ J I : : :

i! tt:ti ril

Una forma de realizar fácilmente la fórmula anterior es elaborar una tabla para calcular la parte deldenominador para la sumatoria (de cada valor de n, o sea de 0 hasta 1).

Procedimiento k' (r/p )n3u n!

Sumatoria

1.0000

0.7500

1.7500

Po : 0.45452.2

Segundo camino:

Utilizando la tabla 14.4 de Anderson, Sweeney y Williams (200a):

1. Se calcula la relación ¡ ' - 15 :0.75tr 20

2. Se busca la intercepción entre la relación 6lw) y rl número de canales, que para este caso en particular

es: 0.4545

(x t w)n rp (ts¡zof rs* zo0.4545 : 0.1227 cl ientes

(¡. - r)t(¡.p - rF Q -r)tQ" zo -rsY

r .75 +QslzoY ( 2" zo ) t .75 + o.4s

2t \2 * 20 -15 )

L : Lo * t r :0 .1227 +- : 0 .8727 c l ien tesY u 2 0

w^ = !9-: 0'1227 : 0.0082 horas : 0.49minutosY I 15

L q Po

0s ¡ zo)o0!

(rs ¡ zo)1 !

w :wq * ; :0 .082 . *=

0 .0582 horas :3 .49 minu tos

1 / 1 t k ,

p.^, : r l l . | f kt , )o^ = r f 11)t ¡

z" zo )o.oro, :0.204s :20.45o/ow rulu/ [ , rw-r / ' " 2! \20)\z*20-ts)

b. Si la meta de servicio del gerente es limitar el tiempo de espera antes de comenzar el proceso de cobro

a no más de 1 minuto, ¿qué recomendaciones le proporcionaría respecto al sistema actual?

Si se cumple con la meta de servicio, pues el cliente sólo está esperando aproximadamente % minuto

antes de ser atendido, considero que la única recomendación que se puede realizar es que verifique si

realmente necesita las dos cajas puesto que el porcentaje de ocupación es del200/0,lo que realmente

es bajo.

4.5 Análisis Económico de las Líneas de Espera

Normalmente el análisis de líneas de espera se basa en una evaluación subjetiva de sus características de

operación, Para completar el análisis podemos realizar un análisis económico.

El costo total es la suma del costo tanto de espera como de servicio; esto es,

CT :c *L+c rk

Generalmente es más fácil estimar cs que cw. La razón es que el costo de la espera del cliente, cul, es

más subjetiva porque a menudo incluye el costo de oportunidad debido al tiempo de espera del cliente, Esta

dificultad es análoga ala de estimar los costos de los pedidos pendientes de surtir en un modelote inventarios

con faltantes planeados,

Caso

Maya's lnterior Design proporciona asistencia decorativa para restaurantes y hoteles, En operaciónnormal, llegan a un promedio de 2.5 clientes por hora. Un asesor de diseño está disponible pararesponder las preguntas del cliente y hacer recomendaciones de productos. A la administración de

la empresa le gustaría evaluar dos alternativas:

Usar un asesor con un tiempo de servicio promedio de B minutos por cliente.Expandirse a dos asesores, cada uno de los cuales tiene un tiempo de servicio promedio de 10minutos por cliente.

Si a los asesores se les paga Q. 20.00 por hora y el tiempo de espera del cliente se valora en Q. 40.00por hora para el tiempo que el cliente espera antes del servicio. ¿Maya's debería expandirse al sistemade dos asesores? Explique.

Resolución:

Para poder comparar las alternativas utilizamos el análisis económico con la siguiente formula:

' \ !" ^"-' " '"

"I''--' Para la misma, necesitamos calcular el valor de L (número de clientes en el sistema) de ambasalternativas.

a .

b.

I cl iente

X

1 cl iente

8 minutos I| - l x60 : T .5c l ientes / hora

oo minutosJ 8

l0 minutos l

| - 1x 60 : 6 c l ientes/ hora

oo minutosJ l o

OPCION B

2.5 clientes/hora

OPCÉN A

6 clienteslhora

Alternativ ^ (o)

2 .52

w(e,-r) 7.s0.s-2.s): 0 .16 c l ientes

t'"-l -L q -

L : Lo * I :0 .16 .#:0.5 c l ientes

$ (r¡p)" * (r/F)k

I kp )"_ " *

n ! k ! \ kp - I /

\l (r/p )") -

Ío n!

1.0000{-r

0.4166, Y

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1 . 5 2 6 2e o :

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, . 0166+Qs lo l ¡ t - u ' )

2 t \ 2 * 6 - 2 . 5 1

Segundo camino:

Utilizando la tabla 14.4 de Anderson, Sweeney y Williams (200a):

1, Se calcula la relación x - 2 '5 : 0.416u6

Afternativ ^ (b)Como vimos anteriormente, para calcular el Pnen un modelo M/M/k se puede tomar cualquiera de lossiguientes caminos:

Primer camino:Utilizando la fórmula Po

Una forma de realizar fácilmente la fórmula anterior es elaborar una tabla para calcular la parte deldenominador para la sumatoria (de cada valor de n, o sea de 0 hasta 1).

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2. Se busca la intercepción entre la relación 6lw) y .l número de canales, que para este caso enparticular no aparece, por lo que tenemos que interpolar para encontrar el dato.

Po

0.6667

0,6327

Diferencia entre los dos datos anteriores:

Diferencia entre el dato que nos interesa y uno de los datos de la tabla,

Diferencia Procedimiento

0,016

0.016 x 0.0340

0,4166-0.4000

0.05 0.0340

0.016 x

: 0 .011330.05

Como tomamos el dato de 0.4000 que corresponde a un Po=0.6667, a este le restamos el datoque encontramos anteriormente 0.01133 y nos da el dato de P6 : 0.66554 que necesitamos para

realizar los cálculos.

Para calcular el L, podemos utilizar cualquiera de los dos datos encontrados.

L q(xl,,)n rp Q.sloY 2.s* 6

(t-r) ' ( t¡ , -)rY Q-r)r(2. 6-z.sYPo

\

0.6552 : 0.01 89 cl ientes

Relación (f f ¡, )

Retación ( r ¡p)

L : L, . :

: o.ot89 + T

: o.43s6ctientes

Teniendo los datos de "1" de ambas opciones podemos efectuar el análisis económico, para efectuar elcomparativo y saber cuál nos conviene más.

cw : Q .25 .00

cs : Q . 16 .00

Alternativ a @)

CT : cwL + c rk :25 (0 .5 ) * l6 ( l ) : e .28 .50

Afternativ a @) t"<l !

v

CT : c*L + c rk :25(0 .$ 56)+ t6 (2) : e .42 .89

Después de haber realizado el análisis, la opción que más le conviene a la empresa es la alternatiua (o)

ü, :ñüiJn

i-1-$

:, :tff1

ñr,.;{)iJ;>**

3¡¿- l

5. Actividades

.TEXTO PARALELO. Es unaopción didáctica para que elestudiante vaya archivandoordenadamente los materialescomplementarios y de apoyo aesta guia conforme se va desar-rollando el curso. Puede incluirlos ejercicios y correcciones,recortes de prensa relaciona-dos con el tema de estudio,anotar dudas y las respuestasa las autoevaluaciones, fotoco-pias de lecturas recomendadas,ilustraciones, etc.

Después de la lectura y estudio de los contenidos anteriores, se sugiere que realice las siguientes actividades,las cuales tienen como finalidad ampliar ylo afianzar los elementos principales de esta guía de estudio. *Anote

en su texto paralelo.

1. Busque en su localidad 5 diferentes lugares donde se formen líneas de

espera o colas, identif ique aspectos similares y diferentes entre los lu-

gares, elabore un cuadro comparativo con la información obtenida an-

teriormente.

De la investigación del inciso 1, eli ja a dos o tres grupos para que rea-

l icen un^a ponencia sobre sus cuadros comparativos y de esta formaI

poder retroal imentar sobre los diferentes modelos de l íneas de espera.

3. En la cabecera de su departamento, ubique una inst i tución bancaria,

solicite autorización para realizar la observación del número de clientes

que ingresan para trámites en las ventani l las (no incluir personas que

ingresan a servicio al cl iente). ldentif ique cuántas personas entran por

hora al banco. Real ice por lo menos unas cinco vis i tas en dist intos días

y a distintas horas.

4, En la misma inst i tución bancaria observe el t iempo que se tarda cada

cajero en atender a un cl iente (desde que éste pasa a la caja, hasta que

se ret i ra de la misma), l leve un l is tado con la in formación. Real ice e l

mismo número de observaciones del inciso anterior.

Con Ios datos obtenidos anteriormente (actividad 3 y 4), calcule el )", ¡r y las característ icas

de ooerac ión de la inst i tuc ión bancar ia.

[ 6. Consulte con expertos sobre el s iguiente di lema: la teoría de colas resuelve directa-\*"/-

mente los problemas o la teoría de colas contr ibuye con la información vi ta l que se

requiere para tomar las decis iones concernientes a la l ínea de espera.

7. lnvestiue a lgunaempresa que cuente con estándares de servic io (o metas de servi-

s iguientes preguntas:cio), y

a

a

a

conteste las

¿Cuáles son estos estándares de servicio?

¿Con base en qué elaboran estos estándares de servic io?

¿Cómo controlan que la empresa esté cumpl iendo con esos estándares de

servic io?

¿Quién es la persona o departamento encargado de velar porque se cumplan

estos estándares de servicio?

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6. Casosldentifique al cliente y al servidor en cada uno de los casos siguientes:

I' . Aviones que llegan a un aeropuerto.. Base de taxis donde éstos esperan a que lleguen pasajeros. '

' Verificación de las herramientas en un almacén de un taller de maquinado.. Cartas procesadas en una oficina de correos. Inscripción a las clases en una universidad.. Juicios en la corte.

' . Funcionamiento de las cajas de un supermercado..' . Funcionamiento de un estacionamiento.

El vivero "Siempre Verde" en Cobán es una empresa que se dedica a surtir pedidos por correo yse especializa en cuatro diferentes tipos de flores. Los nuevos pedidos llegan cada 10 minutos, que

|NTR0DUCToR|0 procesa un solo oficinista de embarques, el oficinista puede atender hasta 4 pedidos en media hora.Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de serviciosiguen una distribución de probabil idad exponencial,

Análisis del caso:ldent i f iqueel modeloycalcule I y F .

En el restaurante de comida rápida McDonald's en laAntigua Guatemala tiene 3 cajeros, Los clientesllegan siguiendo una distribución de Poisson cada 3 minutos, y se forman en una cola para ser servidospor el primer cajero disponible. El tiempo para llenar un pedido se distribuye exponencialmente, con

5 minutos de promedio.

Análisis del caso:

Encuentre las características de operación.

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i ,l -ll lIl .l .t :\

' 5 5 ) i\___/ '

En Zacapa, Cervecería Río productor de cerveza Brahva, cuenta con un operador que atiende a 5

máquinas automáticas, Cuando una máquina termina un lote, el operador la debe reestablecer para

iniciar el siguiente lote. El tiempo para terminar un procesamiento de lote es exponencial, con 45

minutos en promedio. El t iempo de preparación de la máquina también es exponencial con un promedio de

B minutos.

Análisis del caso:

a. Calcule la cantidad promedio de máquinas que esperan su reestablecimiento, o que están siendo

reestablecidas,

b. Calcule la probabilidad de que todas las máquinas estén trabajando.

c. Determine el tiempo promedio que una máquina está sin trabajar.

Lavado "Huehue" es una empresa para l impieza de automóviles, funciona sólo con un lugar de lavado.

Los autos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con 4 autos por hora, que pueden esperar

en el estacionamiento de la instalación, si el lugar está ocupado. El tiempo para lavar y limpiar un

automóvil es exponencial, con 10 minutos de promedio. Los automóviles que no se pueden estacionar en la

instalación pueden esperar en el arroyo junto al lavado. Eso quiere decir que para todo fin práctico no hay

límite del tamaño del sistema.I

Análisis del caso:

Encuentre las características de operación.

El lngenio Pantaleón emplea un grupo de 6 máquinas idénticas; cada una opera un promedio de20 horas entre descomposturas las cuales ocurren alazar, se usa la distribución de probabilidad dePoisson para describir el proceso de llegadas de las descomposturas de las máquinas. Una sola

persona del departamento de mantenimiento proporciona el servicio de reparación para las seis máquinas.Los tiempos de servicio distribuidos de manera exponencial tienen una media de dos horas por máquina.

Análisis del caso:Calcule las características de operación para este modelo,

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il- trn rc tJniversidad Rafael Landívar se ofrece tutoría a los estudiantes en el área de investigación dem z-- r-il rct LA I I

lnes, los alumnos llegan a una tasa media de 3 estudiantes por hora. El docente se lleva unr¡¡¡iirco Operacl(

promedio de 15 minutos por alumno. Un estudio de los tiempos de espera de los estudiantes muestra que,en promedio, un alumno tiene que esperar 25 minutos antes de pasar con el docente.

Análisis del caso:

a. ¿Cuál es la tasa media de l legadas por minuto?

b. ¿Cuál es la tasa media de servicio en función de los estudiantes por minuto?c. ¿Cuál es el número promedio de estudiantes en la recepción del salón de docentes?d. Si el estudiante l lega a las 11.20 a.m,, ¿a qué hora se espera que el estudiante salga con sus dudas

resueltas?

King trabaja con canales múltiples, en un estudio reciente se muestra que el tiempo promediowf f i Dutuu t I@ f f i '

llegada de un cliente al restaurante y su partida de las cajas con un pedido surtido es de 12ÁH¡rjrrco entre la

minutos, Normalmente, los clientes llegan a una tasa promedio de dos por minuto. La operación del serviciode comida requiere un promedio de cuatro minutos por pedido de cliente.

Análisis del caso:

a. ¿Cuál es la tasa media de servicio por canal en función de clientes por minuto?b. ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en la línea antes de colocar un pedido?

c, En promedio, ¿cuántos clientes hay en el sistema de Burger King?

" González en Quetzaltenango opera un servicio de reparación de radiadores. El taller cuentantI lalleres

mffi con 8 empleados, sin embargo, solamente uno es el encargado del área de radiadores, el resto deempleados trabajan en otro tipo de reparaciones. Suponga que la llegada de trabajos de reparación

de radiadores puede describirse con una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa media dellegada de 1 trabajo cada 3 horas. El tiempo requerido para completar los trabajos sigue una distribución deprobabilidad normal con un tiempo medio de 2,5 horas y una desviación estándar de 2 horas.

Análisis del caso:

a. Calcule las características de operación.

b. ¿Cuál es la cantidad promedio de horas entre el momento en que se recibe un trabajo y el momentoen que se completa?

c. ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el soldador de Talleres González?

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Rebecana S,A. abrió una sucursal en Huehuetenango, cuenta solamente con una estilista. Los clientes

llegan a una tasa de 2 por hora, y los cortes de pelo ocurren a una tasa promedio de 1 cada 12 minutos.

Utilice el modelo de llegadas Poisson y tiempo de servicio exponencial para resolver las siguientes

preguntas:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que esté 1 cliente cortándose el pelo y ninguno esperando?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que esté 1 cliente cortándose el pelo y 1 cliente esperando?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que estén más de 2 clientes en el sistema?

e. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que lo atiendan?

Blancos de Jutiapa, S.A., una empresa dedicada al servicio de lavado ha decidido contratar una nueva

empleada para manejar todos los servicios de lavado de edredones que requieran sus clientes. Dos

personas han ingresado su solicitud al proceso de selección. Una de ellas tiene poca experiencia,

puede contratarse por Q,15.00 la hora y darle servicio a un promedio de tres clientes en ese lapso. La otra

tiene varios años de experiencia, puede dar servicio a un promedio de cinco clientes por hora, pero se le

tendría qüe pagar Q.25.00 la hora. Suponga que los clientes llegan a la lavandería aproximadamente cada

30 minutos,

Análisis del caso:

a. Calcule las características de la línea de espera de cada señorita (yyo, W, Lo. ¡ ) suponiendo

llegadas Poisson y tiempo de servicio exponencial.

b. Si la empresa asigna un costo de espera por cliente de Q. 20.00 la hora, ¿con cuál de las dos

señoritas o empleadas hay un costo menor de operación?

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t.: .;: ii,:: tiiiili¡lsjinri,i ftl

Es muy importante que después de una lectura comprensiva deesta guía de estudio, usted se autoevalúe para comprobar hastaqué punto ha asimilado los principales aspectos, Lea con aten-ción cada uno de los siguientes cuestionamientos elija y justifiquela respuesta que considere correcta. Ahora, adelante,,,

h$1. En Supermercados La Torre de Retalhuleu las' llegadas de los clientes ocurren cada 20

minutos stguiendo una Distribución de Poisson,indique cuál de los siguientes datos no es cierto:

á. l" : 20 cl ientes por hora r.

b . l , :3 c l ientes por hora

c . h : l / 2 0 c l i e n t e s p o r m i n u t o

d. l . = 0.05 c l ientes por minutoII

82. En la empresa Aspectos Mayas, S.A. cuentan con un scanner que solamente pueden utilizar losF '' seis diseñadores gráficos de la empresa, no está permitido el uso del mismo por otras personas, si

queremos realizar un estudio de líneas de espera para determinar las características de operación,el modelo a utilizar sería:

a. M/M/k con 6 canalesb. M/M/1c. M/M/1 con población finitad. M/G/1

laB 3. Si Burger King Antigua desea realizar un estudio de líneas de espera. La forma más rápida, segura' y confiable de realizarlo sería a través de:

a. Uso de modelos matemáticos desarrollados especialmente para la solución de esosproblemas

b, Uso de programas de computadora desarrollados especialmente para la solución de esosproblemas

c. Ay B son correctas

/ ' Auroevaluación

d. Ninguna de las anteriores

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¡-: i

t

t94. Usted como especialista de Investigación de Operaciones debe llevar a cabo un análisis,

económico de la línea de espera, Su objetivo sería intentar encontrar el número de canalesque minimizaría los costos totales al equilibrar,

a. Costo de espera por cada unidad

b. Costos fijos y variables

c. Costo de espera y costo de servicio

d. Costo de servicio por cada canal

il$ 5. Al calcular las características de operación del Banco Industrial de Xela, una "1" igual a 4 me!f

dice:

a. Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema es de 4 horas,b, Número promedio de clientes en el sistema es de 4.c. Número promedio de clientes en la línea de espera es de 4,d. Tiempo promedio que utiliza un cliente en la línea de espera es de 4 horas.

l

*ff6. Próximamente vendrá a Guatemala Shakira a dar un concierto en Casa Santo Domingo, por¡

lo que deseo comprar los boletos en una taquilla de preventa. La probabilidad de que cuandollegue a adquirir los tickets tenga que esperar por el servicio está dada por:

a ' Po

b . P r

c .P

d. Ay B son correctas

&#7. En una reunión con la Junta Directiva de cerveza Brava, para convencerlos de realizar unI

estudio de líneas de espera, me preguntan ¿para qué sirven los modelos de líneas de espera?,mi respuesta fue:

a. Mejorar el servicio al cliente.

b, Medir la capacidad de respuesta de un servidorc. Ay B son correctas.

d. Ninguna de las anteriores

L&9.Ff

&g. La fotocopiadora Xaculeu, S.A,, dese a realizar un estudio de teoría de colas pero está indeciso#' en el modelo que debe uti l izar. Las l legadas se describen con una distribución de probabil idad

de Poisson y la distribución de probabilidad para los tiempos de servicio es general o no

especificada. Indique a la empresa qué modelo debe uti l izar:

a. M/M/k

b. M/M/1

c. M/M/1 con población finita

d. M/G/1

En Xetulul, en el área de juegos para niños, se dieron cuenta que una caja no es suficiente para

cobrar a los clientes a la hora pico, por lo que a partir de hoy utilizarán dos cajas para cobrar, sin

embargo, mantendrán una sola fila y los clientes pasarán a la caja que se desocupe primero. El

modelo utilizado por la cafetería es:

a. M/M/k

b M/M/1

c, M/M/1 con población finita

d. M/G/1

I

n10. En Pollo Campero de Jutiapa la l legada de los clientes ocurre cada 10 minutos y 10 clientesI' pueden ser recibidos y atendidos cada hora. ¿Cuál es la ¡ y la p ?

a .

b .

c.

l " : 1 0 , F = 1 0

l . : 6 , P : 6

l , : 6 , [ r = 1 0d . ) , : 1 0 , [ r : 6

Cola: fila o línea de espera para recibir servicio,

si la instalación está ocupada.

Características operativas: medidas de

desempeño para una línea de espera. Es la

cuantificación med iante med idas representativas

de eficiencia.

Distribución de probabil idad de Poisson:

es usada para describir el patrón de llegadas

para algunos modelos de línea de espera.

Distribución que describe la probabilidad de que

se presente un número dado de llegadas en un

intervalo dado de tiempo, cuando el tiempo entre

llegadas sigue una distribución exponencial.

Distribución de probabilidad exponencial: es

usada para describir el tiempo de servicio para

algunos modelos de línea de espera. La forma

cuantitativa de describir los tiempos aleatorios

entre llegadas. Aleatoriedad quiere decir que

la ocurrencia de un evento no está influida

por el tiempo que haya transcurrido desde laocurrencia del evento anterior.

Línea de espera con un solo canal: es cuandola cola o línea de espera únicamente cuenta conuna instalación de servicio.

Línea de espera de canales múltiples: escuando la cola o línea de espera cuenta con doso más instalaciones de servicio paralelas (dos omás canales)

Operación de estado estable: es la operaciónnormal de la línea de espera, después dehaber pasado por el período transitorio. Lascaracterísticas operativas se calculan paracondiciones de estado estable.

PEPS: (primero en entrar, primero en salir) esuna disciplina de cola, el canal va sirviendo conbase en que el primero que llega es el primero alque se atiende.

Período transitorio: es el período previo antesde que la línea de espera alcance una operaciónnormal o de estado estable.

Población finita: es cuando la población declientes o unidades que buscan servicio tienendefinido un límite superior, en otras palabras esun valor fijo y finito.

Población infinita: es cuando la población declientes o unidades que buscan servicio no tienendefinido un límite suoerior,

Tasa media de llegada: cantidad promedio declientes o unidades que llegan en un períododado ( ),).

Tasa media de servicio. cantidad promedio declientes o unidades que pueden ser atendidos enuna instalación de servicio (canal) en un períododado (p),

qrca)

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a )-c=' ;

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9 . Ref erenci as B\b\\ogr at\cas

Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T. (2004).Métodos Cuantitativos para los negocios. (g'.Edición). México: Thomson Editores, S.A.

Anderson, D., Sweeney, D. y Will iams, T. (1ggg).Métodos Cuantitativos para los negocios. (l^.Edición). México: Thomson Editores, S,A.

Eppen, G., Gould, F., Schmidth, C., Moore, J. yWeatherford L. (2000). Investigación de operacionesen la ciencia administrativa. (5a. Edición). México:Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.

Krajewski, L. y Ritzman, L. (2000). Administraciónde Operaciones, Estrategia yAnálisis. (5'. Edición).México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.

Mathur, K. y Solow, D. (1996). Investigaciónde Operaciones, México: Prentice HallHispanoamericana, S.A.

Taha, H. (2004). lnvestigación de Operaciones.(7'. Edición). México: Pearson Educación.

formulario:

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Guía de lectura

La lectura es la más poderosa herramienta cognitiva que el estudiante tiene para aprender, De su correcto de-sarrollo y ejercitación depende en mucho su éxito profesional. Por su parte, la escritura es un excelente ejerciciocognitivo que incide en el pensamiento y permite explorar ideas convirtiéndose en una excelente herramientacognitiva para el aprendizaje.

Desarrolle la siguiente lectura siguiendo los pasos que se le sugieren. Los pasos esenciales a realizar son.

1. Antes de la lectura

¿Se siente usted motivado a realizar la lectura? Vea el título y los subtítulos y trate de anticiparsea lo que tratará. ¿Qué expectativas desarrolla en usted el saber de qué trata? ¿Cuál es su obje-tivo antes de iniciar la lectura? Esto dará mejor resultado si usted anota las respuestas. Si tienealguna duda, consulte con el facilitador del curso.

Es conveniente, que usted trate de adelantarse prediciendo de qué tratará la lectura. Un temanunca es totalmente nuevo para el lector. Sus conocimientos previos le ayudarán a comprobarloso desmentirlos con el proceso de lectura.

2. Durante la lectura

Realice una lectura activa, por ejemplo, haciendo anotaciones o preguntas sobre lo que no entien-de o como reacción a lo que lea. Subraye lo esencial y destaque las palabras que desconozca,

Posterior a la lectura

ldentifique: el tema de la lectura, la idea principal de la misma y haga un resumen de lo leído,

P!\

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Lectu ra

Biografía deAgner Krarup ErlangTomado de http ://es. w i k i ped i a. orglw i k i/Agner_Kra ru p_E r I an g

Agner Krarup Erlang (1 de enero, 1878 - 3 defebrero, 1929) fue un matemático, estadístico,e ingeniero Danés, quien inventó los camposde ingeniería de tráfico y teoría de colas.

Erlang nació en Lonborg, en Dinamarca. Erahijo de un maestro de escuela y era descen-diente del matemático Thomas Fincke por ellado de su madre.

Erlang aprobó con distinción el examen de in-greso para la Universidad de Copenhague en1896. Obtuvo una beca para la universidad yse graduó en matemáticas en 1901. Durantelos siguientes años sería profesor, pero man-tuvo su interés en las matemáticas y recibióun premio por un artículo que remitió a la Uni-versidad de Copenhague.

Fue miembro de la asociación danesa dematemáticas, por medio de la cual conoció aJohan Jensen, el ingeniero jefe de la Copen-hagen Telephone Company (CTC), la cual erauna subsidiaria de International Bell Telepho-ne Company. Erlang trabajó por casi 20 añospara CTC, desde 1908 hasta su muefte enCopenhague en 1928.

Mientras trabajó para la CTC, a Erlang se lepresentó el problema clásico de la determina-ción de cuántos circuitos eran necesarios paraproveer un servicio telefónico aceptable,

Erlang puso manos a la obra investigandodirectamente el problema. El realizó medidasen terreno y era un experto en la historia yel cálculo de las tablas numéricas de algunasfunciones matemáticas, particularmente loga-rítmicas.

Erlang desarrolló su teoría del tráfico telefóni-co a través de varios años, Entre sus publica-ciones más importantes sobre la materia, seencuentran:

En 1909, "La teoría de las probabil idades y lasconversaciones telefónicas", la cual demostróque la Distribución de Poisson se aplica paratráfico telefón ico aleatorio.

En 1917, "Solución de algunos problemas enla teoría de probabilidades de importancia encentrales telefónicas automáticas", el cualcontiene su fórmula clásica para el cálculo depérdidas y tiempos de espera.

Un compendio de sus trabajos fue publicadoposteriormente por la Copenhaguen Telepho-ne Company en 1948.

El interés por su trabajo continuó después desu muerte y hacia 1944 el "Erlang" era usadoen los países escandinavos para denotar launidad de tráfico telefónico. Esta unidad demedida fue reconocida internacionalmente alf inal de la segunda guerra mundial.

También una distribución estadística y un len-guaje de programación, han sido nombradosen su honor.

Agner Krarup Erlang

Lectu ra

La teo rÁ de las fi las

Tomado de www.tuobra.unam.mx/publ icadas/05091 5224923.pcl f(Un ivers idad Nac iona l Autónoma de Méx ico . c iudad de Méx ico .México. Elaborado por Maquita Esquivel Senj i ) .

De los muchos temas que conforman elquehacer de una sociedad, resalta uno, y esque en estos tiempos de modernidad el tiempoes sumamente preciado y su desperdicio, uncrimen. Para entender este tema hay queentender los tiempos, nuestra vida se viveen segundos/día, minutos/mes y horas/año;donde el tráfico no da a lugar más que a prisasy eltrabajo no permite nada más que retrasos,es en medio de estos que el t iempo que sobradebe dedicársele a actividades variadas, sinun fin primordial más que el de justif icar unaausencia de cualquiera de estos dos puntos,que para la mayoría de las personas indica susalida y su l legada. Sin embargo, no somos losúnicos con el deseo de llevar a cabo nuestrasactividades y en uno de los más puros y noblesmecanismos que el pacto social, que planteóRousseau, pudo haber desarrollado creamos"Las Filas."

Definir a "La Fila" es un tema difíciI y complicado,los muchos años de su existencia no hangenerado otra cosa que no sean diversascorrientes que tratan de definirla, explicarlay por supuesto, de hacer cumplir su opiniónsobre la de los demás. Desde el individuoque se coloca detrás del otro, hasta sistemasbizarros, ambiguos y sumamente mafufosque nuestra escuela es capaz de generarerogando una enorme partida presupuestalpara procurar el mejor desempeño del trámitede inscripción. No ha sido posible conformaruna definición uniforme sobre la fila.

Una Fila no es sino un sistema de ordenjerárquico y de preferencia para hacer válidoun derecho y obtener hasta cierto punto unbeneficio (ganar t iempo). Esta definición noentrará en ideas como la justicia, la igualdad o la

fraternidad, valores legados por la RevoluciónFrancesa. Para individuos de formacióncontractualista la Fila no es sino un acuerdotácito entre 2 o más personas por medio delcual aceptan respetar al individuo que seencuentra antes que ellos, siempre y cuandoaquellos que están después de él respetenasí mismo su lugar, por ello, el mecanismoes intrínsecamente justo para aquellos queintervienen en é1, posiblemente no así paralos demás pero como más adelante veremosel número es un factor primordial en una Fila.

Factores de las filasDejando atrás los elementos y segmentos,hay otra parte vital que auxiliará, y recálquesebien en lo anteriormente dicho, sólo auxil iaráal desempeño de la fila. Son los factoresreales y personales. ¿Entonces tenemos queuna fi la depende de elementos, segmento yfactores? Claro que sí, para la concepción deun ser humano hay muchísimas más partesinvolucradas y aun asíes concebido, inclusivede manera accidental, no es de extrañarnosque un fenómeno tan primitivo como es la filarecurra a factores reales y personales paraconformarse.

Para empezat, un factor es una situación, unacircunstancia, un objeto, cualquier cosa que deuna u otra manera facilite la conformación deuna fila, con esto entraremos al estudio másserio de la psiquis del "hombre-en-la-fi la".

Los hay reales, los cuales son objetosmateriales tangibles, situaciones obviasque sugieren que hay una fi la o que estáa punto de conformarse una fila. El serhumano se maravil la de los animales quepueden prever un terremoto o un fenómeno

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catastrófico, el hombre puede hacer lo mismo conlas instituciones que él mismo ha creado, sabemoscuando un "suicidio" fue un homicidio polít ico, ypor supuesto que sabemos cuándo una fila estáa punto de conformarse, hay señales inequívocasen el ambiente que nos van dando la indicación dedónde, cuándo y cómo se formará la siguiente fila,y lo mejor es estar cerca.

Los factores personales son los que reinan en lapsiquis del individuo y que le permiten identif icarestas pautas. Un hombre que se para al frente deuna bola, se sube en una sil la, se voltea hacia lamasa de gente y con la mano señala una dirección,no los está corriendo, está organizando una fila,sin embargo, esto es demasiado obvio, pasemos alas cosas complicadas del ser humano.

La clasificación que a continuación presento no esexhaustiva ya que dejo lugar a la existencia de unmayor número de factores que en este momentodesconozco o que aún no ha hecho su apariciónen el mundo de las filas, pero conforme la sociedadevoluciona así lo harán sus instituciones y es deesperarse que nuevos factores aparezcan enescena:

l. Factores Reales:a. Señales: Cualquier tipo de señalización o aviso

previo de que en un determinado lugara determinadahora, dará por sentada la conformación de una fila.Como ejemplo tenemos una taquilla,

b, Indicación Expresa:Algo que indique claramente lainstrucción de formarse.

c. Rumores. Son palabras que se transmiten depersona en persona, existe el riesgo de que la filanunca se forme debido a que la información seafalsa.

d. El tiempo: La gente sólo estará formada el tiempoque considere conveniente, ya que desde unprincipio hemos planteado su importancia entiempos modernos y dependiendo de la necesidadserá que la gente guste o no permanecerformada.

f.

Factores Personales:Una persona con un servicio: Es la que sedistingue del resto ya que ella será la queprovea el servicio y suele venir acompañadopor factores reales como las señales que nodan lugar a duda de que habrá un servicio,estos pueden ser una caja, una canasta, uncarrito, un fólder, etc.La aglomeración: Donde hay mucha gente esporque hay o habrá algo y no tardará alguienen tratar de poner orden mediante una fila.El número: El ser humano, como todo animal,se protege en el número y se formará, en casode duda, en donde haya más individuos, noimporta que en el otro lugar no haya nadie,si no hay nada seguro y no hay gente es poralgo.El oportunismo: Es el factor líder que lleva auna persona a encabezar una fila, ya seaorganizándola para asegurar su beneficio, osimple y sencil lamente iniciado una donde nolo hay.Puede darse el caso de que el número dePrestadores aumente y el individuo oportunistaquerrá irse a esa fila, el problema radica en quecuando hay muchos oportunistas, la nueva filatiende a hacerse más extensa que la anterior.El miedo: Nadie quiere perder su lugarasegurado, aqu í radica la seguridad del número,la constancia de una fi la, y el oportunismo.La tradición: Toda persona actuará hacia una filay dentro de una fila de la manera en que siemprelo ha hecho, se formará en el mismo lugar dondesiempre se ha formado y habrá una fila en elmismo lugar donde siempre la ha habido.La necesidad: No hay fila sin objetivo y personascon necesidad de ese objetivo (servicio).Este puede ser un factor decisivo para la fila,dependiendo del tipo de servicio, la necesidadque tenga el individuo, el número de individuosque tengan necesidad del mismo y el númerode prestadores que haya será la longitud de lafila, es decir, el cuerpo.

e, El Espacio: El lugar donde se mnforme una filadeterminará en algunos casos su extensión, Hay una pregunta que resalta a todo esto, ¿cómodependiendodecircunstanciascomosiestechado actúa una persona en una fila? Por ejemplo, suo al aire libre (el clima en este caso jugará un permanencia dependerá de:papel primordial), la posibilidad de extensión, las 1. Su necesidad: Qué tanto requiere del serviciofacilidades (aire acondicionado), etc. por el cual se ha formado.

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2. Su tiempo: Qué tanta prisa tiene, cuánto tiempopiensa dedicarle a estar formado en relación asus otras actividades,

3, Su lugar: En qué lugar se encuentra dentro dela fi la

4. El t iempo de recorrido: Cuánto tiempo llevaformado.

5. El tiempo restante aproximado: Cuánto tiempocree que le falte,

6, Sus otras necesidades: Qué otras cosas ouiereo tiene que hacer, Aquí puede inclusive contarnecesidades físicas.

7. Su actividad siguiente: Qué tiene planeadohacer después, dónde, cómo, cuánto tiempole piensa dedicar y qué tan prioritaria es estasiguiente actividad en relación al servicio por elque se ha formado.

B. El espacio: Qué tan cómodo es el lugar y quétan cómodo se siente él en ese lugar.

Sin embargo, el acto de formarse dependerá delos mismos factores interpretados y jerarquizadosde manera distinta:1. Su lugar: Qué tan atrás se encuentra.2. Su tiempo: Qué tanta prisa tiene, cuánto tiempo

piensa dedicarle a estar formado en relación asus otras actividades

3. El t iempo aproximado de recorrido: Cuántotiempo cree que le tome recorrer toda la fila

4. Su necesidad: Qué tanto requiere de el serviciopor el cual se ha formado.

5, El t iempo invertido: Cuánto tiempo invirt ió parallegar a formarse ¿podrá invertirlo en buscarotro lugar más ágil?

6. Sus otras necesidades: Qué otras cosas quiereo tiene que hacer. Aquí puede inclusive contarnecesidades físicas.

7. Su actividad siguiente: Qué tiene planeadohacer después, dónde, cómo, cuánto tiempole piensa dedicar y qué tan prioritaria es estasiguiente actividad en relación al servicio por elque se ha formado,

B. El espacio: Qué tan cómodo es el lugar y quétan cómodo se siente él en ese luoar.

Y otra pregunta también salta a la vista ¿Qué llevaa una persona a actuar en contra de la fila?1. Su tiempo: Qué tanta prisa tiene, cuánto tiempo

piensa dedicarle a estar formado en relación asus otras actividades.

2. Sus otras necesidades: Qué otras cosas quiereo tiene que hacer. Aquí puede inclusive contarnecesidades físicas.

3. Su actividad siguiente: Qué tiene planeadohacer después, dónde, cómo, cuánto tiempole piensa dedicar y qué tan prioritaria es estasiguiente actividad en relación al servicio por elque se ha formado.

4. El tiempo restante aproximado: Cuánto tiempocree que le falte.

5. Su necesidad: Qué tanto reouiere del serviciopor el cual se ha formado o piensa formarse

6, Su lugar: En qué lugar se encuentra dentro dela fi la o cuantos individuos falta para que a él letoque el servicio.

7. El tiempo de recorrido: Cuánto tiempo llevaformado o invirtió para llegar a formarse

B. El espacio: Qué tan cómodo es el lugar y quetan cómodo se siente él en ese lugar,

Como podemos ver, cada circunstancia aplicad i sti n tos fa cto res pa ra d ete rm i n a rel co m porta m ientode una persona en una fi la, puede inclusive quela jerarquía tenga un orden distinto para algunaspersonas pero las variaciones serán mínimas. Aunasí hay cuestiones más particulares que moldeanel comportamiento en sociedad, y por ende enla fi la, que l levarán a definir el comportamientodel hombre en la f i la. Por ejemplo: Es o no unapersona egoísta, es o no una persona que tienerespeto por la autoridad, la ley o las normas detrato social, es una persona altanera o introvertida,es una persona segura de sí misma o temerosa,es un delincuente o un hombre común, es unapersona con autoridad en la sociedad o un hombrecivil, es una persona educada o flo, inclusivehay que pensar si la persona sufre de algunaalteración psicológica paru determinar mejor sucomportamiento.

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