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Investigación de Operaciones I Programación lineal

Programación Lineal

1. Introducción. 2. Definición. 3. Supuestos y limitaciones. 4. Modelo matemático. 5. Transformaciones. 6. Formatos Canónico y Estándar. 7. Construcción de modelos de PL.

Introducción.

"Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen 'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones."

George B. Dantzig , el creador de la programación lineal, en una entrevista publicada en The College Mathematical Journal, marzo de 1986.

Se presenta a continuación, parte de esta entrevista:

"Considere el problema de asignar 70 hombres a 70

empleos. Una 'actividad' consiste en asignar el iésimo hombre al j-ésimo empleo. Las restricciones son dos: en primer lugar hay 70 hombres, cada uno de los cuales debe asignarse a un puesto, y en segundo lugar, cada uno de los 70 puestos existentes debe estar ocupado. El nivel de una actividad puede ser 1, lo cual indica que está siendo usada, o 0, lo cual significa que no. En consecuencia hay 2 x 70 =140 restricciones y 70 x 70

= 4900 actividades con 4900 variables

correspondientes de decisión uno-cero. Por desgracia

también hay factorial de 70 permutaciones o formas de hacer las asignaciones. El problema consiste en comparar éste factorial de 70 formas y elegir la que sea la óptima o 'mejor' según algún criterio previamente establecido."

"En el ejemplo anterior, factorial de 70 es un número muy grande. A fin de tener una idea de qué tan grande es, supóngase que se hubiese tenido una computadora IBM del tipo main-frame en el instante en el que ocurrió el Big Bang hace quince millones de años. ¿Habría podido, entre ese entonces y ahora, examinar

37 MCIA. Jaime Delgado Ochoa


todas las soluciones posibles? ¡No! No obstante, supóngase que se hubiese tenido una computadora aun más poderosa, una que pudiese examinar mil millones de asignaciones por segundo. La respuesta seguiría siendo negativa. Aun si la Tierra se llenase con computadoras cuyas rapideces fueran de nanosegundos, todas ellas trabajando en paralelo, la respuesta aun sería no. Sin embargo, si existiesen diez Tierras, todas llenas con computadoras del tipo mencionado, todas programadas en paralelo desde el instante del Big Bang hasta que el Sol fuese una esfera fría, entonces quizás la respuesta podría ser sí. Lo notable es que el método Simplex, con la ayuda de una computadora moderna, puede resolver este problema en una fracción de segundo" .

"Cuando el problema de la planeación fue formulado inicialmente para la Fuerza Aérea, no existía la noción exacta de una función objetivo, la idea de una meta claramente definida. Por supuesto, teníamos sólo un falso respeto hacia el concepto de objetivo. En el discurso de los militares escuché a menudo decir, 'nuestro objetivo es ganar la guerra'. En el mundo de

los negocios se escucharía quizás 'nuestro objetivo es

obtener ganancias'. Sin embargo, era imposible hallar

alguna relación directa entre la meta establecida y las

acciones emprendidas para tal fin."

"Si se estudiaba con cuidado el paso siguiente, se podía ver que algún líder había promulgado un montón de reglas básicas que, en su concepto, llevarían a la meta. Esto distaba mucho de lo que sería honestamente estudiar todas las combinaciones alternativas de las acciones a seguir para elegir la mejor combinación. Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen

'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es

casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. Antes de

1947 era inconcebible pensar en la existencia de una

herramienta como la programación lineal que permitiese examinar millones de combinaciones. No había algoritmo o herramienta computacional que pudiera hacer eso".

"No descubrí el modelo de la programación lineal en un instante, sino que tuvo un proceso de evolución. Se dedicó casi un año completo a la tarea de decidir si mi modelo podría ser utilizado en la formulación de problemas prácticos de distribución de tiempos. Como usted sabe, la planeación y la distribución de tiempos se llevaron a una escala inmensa durante la guerra. El



funcionamiento de la Fuerza Aérea fue equivalente al funcionamiento de la economía de toda una nación. En el proceso intervinieron cientos de miles de personas. La logística tuvo una magnitud difícil de entender para alguien que no haya estado allí. Mi colega Marshall Wood y yo revisamos miles de situaciones tomadas de nuestra experiencia durante la guerra."

"Las reglas básicas empleadas en la planeación se expresaban en un formato completamente distinto del que se emplea en la actualidad para formular un programa lineal. Lo que hicimos fue revisar estas reglas una por una y demostrar que casi todas ellas podían reformularse aceptablemente en un formato de programación lineal. Pero no todas. En algunos casos era necesario tomar en cuenta el carácter discreto de las variables y las no convexidades."

"Cuando formulé por primera vez mi modelo de programación lineal, lo hice sin una función objetivo. Estuve luchando por algún tiempo con la adición de reglas básicas para elegir de entre las soluciones factibles la que en algún sentido fuese 'óptima'. Pero pronto abandoné esta idea y la sustituí por la de una función objetivo a ser maximizada. El modelo que formulé no estaba hecho específicamente para fines

militares. Podía aplicarse a toda clase de problemas de

planeación; todo lo que tenía que hacerse era cambiar los nombres de las columnas y los renglones, y entonces era aplicable a un problema de planeación económica lo mismo que a un problema de planeación industrial."

Definición Una de las técnicas más difundidas de la (IO) es

la programación lineal (PL). El éxito de está

herramienta se debe al hecho de que es muy flexible

para describir un gran número de situaciones reales en

áreas tales como: militar, industrial, agrícola,

transporte, de la economía, de sistemas de salud, e

incluso en las ciencias sociales y de la conducta. Un

factor que ha ayudado a su amplio uso es la

disponibilidad de programas de computadora muy

eficientes para resolver problemas de grandes

magnitudes de PL.

De hecho, la PL debería considerarse como una

base importantes del desarrollo de otras técnicas de

la IO, incluidas la programación entera, la estocástica

la de flujo de redes y la cuadrática. Desde este punto



de vista, el conocimiento de la PL es fundamental para

implementar estas técnicas adicionales.

Por lo que resulta interesante saber que

programación lineal y que no lo es, a continuación se

mencionan algunas definiciones.

“... trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.”

Frederick S. Hiller

“... abarca los métodos de solución de una gran variedad de problemas de la siguiente naturaleza: se tiene alguna cantidad (tal como un costo o un tiempo)que es una función lineal de cierto número de variables lineales. Se requiere, a su vez, que estas variables satisfagan un sistema de igualdades o desigualdades lineales. Es necesario hallar aquellos valores no negativos de las variables que hagan máxima o bien mínima a la cantidad dada.”

A. S. Basarov

“... es un problema de minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo de desigualdad, igualdad o ambas.”

o más variables, una relación que es directa y precisamente proporcional. El término programación se refiere al uso de ciertas técnicas matemáticas para obtener la mejor solución posible a un problema que involucra recursos limitados.”

Richad I. Levin

Supuestos y limitaciones

Debe recordarse que un modelo es una

abstracción de la realidad y no la realidad misma. Por

tanto, en cierto sentido es una representación

incompleta de la realidad, en donde se pretende ganar

entendimiento y definición de la estructura del

sistema en el cual se tiene el problema, cediendo a

cambio cierta cantidad de realidad. El modelo general

de la P.L., tiene entonces ciertas suposiciones y

limitaciones implícitas, de las cuales se debe estar

consciente. Una descripción breve de las más

importantes se presenta a continuación.

Suposiciones:

Mokhtar S. Bazaraa

“... es una técnica matemática para encontrar los mejores usos de la

organización. El adjetivo lineal se usa para describir la relación en dos

1.- Proporcionalidad.

La contribución individual que una variable Xj

aporta a la función objetivo es CjXj y al consumo del



recurso en la "i-ésima" restricción es aijXj. La

proporcionalidad implica que, si por ejemplo, Xj es

duplicada en su valor, también se duplicarán en la

misma proporción sus contribuciones tanto al objetivo

como a las restricciones. Por tanto se supone que no

existe ahorros o costos extra por el uso adicional de la

variable Xj.

Cabe mencionar, que cuando se trabaje con un

problema en donde se tienen economías de escala, sólo

es necesario agregar algunas restricciones adicionales

al modelo general para cumplir con la suposición de

proporcionalidad.

2.- Aditividad.

Establece que la entrad y la salida de un recurso

en particular al conjunto de actividades, deben ser la

misma cantidad; o sea, que las actividades transforman

los recursos y no los crean o destruyen. Por ejemplo,

suponga que en un departamento de ensamblado se

disponen de 40 horas-hombre, mediante está

suposición se debe poder explicar mediante los niveles

de fabricación de X producto el consumo de este

tiempo, incluyendo la posibilidad de horas en ocio.

Esta suposición garantiza que la contribución

total tanto a la función objetivo como a las

restricciones, es igual a la suma de las contribuciones

individuales. Cuando en un problema dado no se tenga

la aditividad debe recurrirse a otra técnica de

programación matemática, dependiendo de cada caso

en particular.

3.- Divisibilidad.

Significa que las variables de decisión pueden

ser divididas a cualquier nivel fraccionario, de tal

manera que puedan tomarse valores no-enteros.

Si en un problema dado las variables sólo pueden

tomar valores enteros, es necesario aplicar una

herramienta más sofisticada que la P.L., llamada

programación lineal entera.

Si las suposiciones de proporcionalidad y

aditividad son combinadas se llega a la linealidad. Por

tanto puede decirse que la linealidad y la divisibilidad

son las suposiciones más importantes del modelo

general de P.L.

Cuando no sea posible construir un modelo lineal,

debe recurrirse a otra técnica llamada programación



no-lineal, cuyo enfoque está fundamentado en la P.L. a

tal grado, que ésta ha sido aplicad con gran éxito en la

obtención de soluciones aproximadas a problemas de

programación no-lineal.

Limitaciones:

1.- Es un Modelo Determinístico.

El modelo de P.L. involucra únicamente tres tipos

de parámetros: cj, aij y bj; de ahí su sencillez y gran

aplicación. Sin embrago, el valor de dichos parámetros

debe ser conocido y constante.

Cuando el valor de los parámetros tiene un

cierto grado de riesgo o incertidumbre, puede

utilizarse la programación parámetrica, la

programación estocástica, o realizarse un análisis de

sensibilidad.

2.- Es un Modelo Estático.

En algunos modelos matemáticos se han

empleado con éxito las ecuaciones diferenciales, para

inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido,

puede decirse que la P.L. utiliza un modelo estático, ya

que la variable tiempo no se involucra formalmente.

Adquiriendo un poco de experiencia en la

formulación de modelos de P.L., puede imbuirse la

temporabilidad mencionada, con el uso de subíndices en

las variables.

3.- Es un Modelo que no Suboptimiza.

Debido a la forma en que se plantea el modelos

de P.L., o encuentra una solución óptima o declara que

ésta no existe. Cuando no es posible obtener una

solución óptima y se debe de obtener alguna, se

recurre a otra técnica más avanzada que la P.L., la cual

se denomina programación lineal por metas.

Modelo matemático

Para facilitar el planteamiento del modelo

matemático general de P.L., se hará uso de un ejemplo

sencillo.

Supóngase que una compañía maderera, fabrica

tres tipos de triplay, a los que llamaremos A, B y X. En

la tabla siguiente se resumen las horas de producción



por unidad en cada una de las tres operaciones de

producción, además de información adicional para

resolver el problema.

Operaciones (horas)

Triplay

Utilidades

por unidad

I

II

III

Grado A

Grado B

Grado X

N$40

30

20

2

5

10

2

5

3

4

2

2

Máximo

tiempo

disponible

900

400

600

Finalmente, la compañía estima que puede

vender cuando mucho 13, 15 y 14 respectivamente.

¿Cuantas unidades se deben producir de cada

grado de madera?

El problema de la compañía puede plantearse de

la siguiente forma:

Variables (actividades) ======> fabricar triplay grado

A, B y X.

Es decir , se desea asignar sus recursos a las

posibles actividades de tal forma que su utilidad por

hora sea máxima (enfoque dual); o alternativamente,

desea determinar una programación de actividades

para máximizar la utilidad por hora, tomando

encuentra los recursos disponibles (enfoque primo).

Para facilitar la solución a este problema es

posible construir un modelo matemático. Sean

X1 = unidades de triplay grado A a fabricar.

X2 = unidades de triplay grado B a fabricar.

X3 = unidades de triplay grado X a fabricar.

entonces el objetivo de la compañía puede plantearse

como

máximizar:

Objetivo ======> maximizar la utilidad / hora

Restricciones (recursos) ===> a) tiempo disponible

donde

X0 = 40X1 + 30X2 + 20X3

b) demanda X0 = utilidad por hora.



De la misma forma las restricciones pueden formularse como

2X1 + 5X2 + 10X3 < 900 (horas)

2X1 + 5X2 + 3X3 < 400

4X1 + 2X2 + 2X3 < 600

X1 < 13 (unidades de triplay)

X2 < 15

X3 < 14

optimizar: Xo = C1 X1 + C2X2 + .............+CnXn

sujeto a:

a11 X1 + a12 X2 + .......................a1nXn ( <, = , > ) b1

a21 X1 + a22X2 + .......................a2nXn ( <, = , > ) b2

. . . .

. . . .

. . . .

am1 X1 + am2 X2 + .....................amnXn ( <, = , > ) bm

Por lo que el modelo matemático es

máximizar:

donde,

X1 , X2, ............Xn > 0

Xo = función objetivo, la cual puede maximizarse

sujeto a: X0 = 40X1 + 30X2 + 20X3 o minimizarse

Xj = variable de decisión (actividad), j = 1, 2,

2X1 + 5X2 + 10X3 < 900 (horas)

2X1 + 5X2 + 3X3 < 400 ......,n

cj = coeficiente de la variable Xj en la función

4X1 + 2X2 + 2X3 < 600

X1 < 13 (unidades de triplay)

X2 < 15

X3 < 14

X1 , X2, X3 > 0

Del ejemplo anterior, puede inducirse el

siguiente modelo matemático general de la P.L.

objetivo, o más brevemente

coeficiente objetivo de Xj.

aij = consumo del recurso " i" por unidad de

actividad "j", o alternativamente, coeficiente

tecnológico de Xj en la restricción " i ".

bj = constante del lado derecho (generalmente

recurso disponible) en la restricción "j", llamada

también coeficiente recurso.



El modelo matemático general de la P.L.

establecido anteriormente, suele dividirse en el

objetivo, las restricciones tecnológicas o

estructurales, las cuales pueden ser de los tipos

" < ", " = ", " > "; y las condiciones técnicas o de no-

negatividad.

negativo de tal función, -f(x); complementariamente, la

maximización una función g(x), es matemáticamente

equivalente a la minimización del negativo de la misma,

-g(x). Por ejemp lo,

Máx: Xo = 8X1 + 14X2 - 5X3

es matemáticamente equivalente a

Transformaciones

Dado que el objetivo fundamental de la PL es el

de optimizar una función lineal sujeta a una serie de

restricciones lineales y variables no-negativas.

Dependiendo de la situación, resulta ventajoso

efectuar ciertas manipulaciones al modelo general para

expresarlo en formas equivalentes que sean más

fáciles de comprender, solucionar o analizar. A

continuación se presentan las transformaciones de

mayor utilidad.

1.- El objetivo puede cambiarse de maximización a

minimización, y viceversa.

La minimización de una función f(x), es

matemáticamente equivalente a la maximización del

Min: X'o = - Xo = -8X1 -14X2 +5X3

Nótese que lo importante es que se mantiene el

gradiente de la función.

2.- El sentido de una desigualdad puede invertirse.

Cuando una desigualdad se multiplica por (-1), su

sentido puede invertirse. Si es "<" cambia a ">", si es

" >" cambia a "<". Por ejemplo,

2X1 + 9X2 - 4X3 > 9

se convierte en

-2X1 - 9X2 + 4X3 < -9



al multiplicarla por (-1).

3.- Una ecuación puede transformarse a desigualdades.

Esto se basa en el hecho de que toda ecuación

puede reemplazarse por dos desigualdades en sentidos

opuestos. Por ejemplo,

3X1 + 5X2 - 8X3 = 10

es matemáticamente equivalente a las dos siguientes

desigualdades

3X1 + 5X2 - 8X3 < 10 y 3X1 + 5X2 - 8X3 > 10

4.- Una desigualdad "<" del tipo valor absoluto puede substituirse por dos desigualdades normales.

Este tipo de desigualdad define un espacio

cerrado y por tanto puede intercambiarse por

desigualdades por dos normales que definan dicho

espacio. Por ejemplo,

| 6X1 - 8X2 + 3X3 | < 15

puede reformularse como dos desigualdades

6X1 - 8X2 + 3X3 < 15 y 6X1 - 8X2 + 3X3 > -15

La restricción " <" y del tipo valor absoluto, se

presenta muy comúnmente en problemas que involucran

la secuenciación de máquinas y procesos; el "desfase" o

diferencia entre los tiempos de una máquina y la otra,

debe ser menor o igual a una constante estipulada. El

caso de una desigualdad ">"del tipo valor absoluto no es

de interés en PL, puesto que no define un espacio

cerrado sino dos semiespacios, y por ende no sigue un

comportamiento lineal.

5.- Una desigualdad del tipo "<", puede convertirse a ecuación.

Cuando se tiene una desigualdad " <", puede

transformarse a una ecuación, si se le suma al lado

izquierdo una nueva variable, no-negativa, llamada

variable de faltante dado que solamente tomará

valores positivos cuando el lado izquierdo sea menor al

lado derecho. Por ejemplo,

9X1 + 7X2 - 3 X3 < 5



puede reemplazarse por

9 X1 + 7X2 - 3X3 + X4 = 5 , X4 > 0

Es práctica común considerar como cero al

coeficiente objetivo de la variable de faltante.

6.- Una desigualdad del tipo " > " puede

convertirse a ecuación.

Procedimiento de una manera similar a la del

inciso anterior, una desigualdad ">" puede cambiarse a

ecuación, si se le resta al lado izquierdo una nueva

variable no-negativa, llamada variable de sobrante; tal

nombre obedece a que dicha variable tomará un valor

positivo, sólo cuando el lado izquierdo sea mayor que el

derecho. Por ejemplo,

-5X1 + 7X2- 2X3 > 15

puede reordenarse como

-5X1 + 7X2 - 2X3 -X4 = 15 , X4 > 0

También es usual asignar un valor de cero al

coeficiente objetivo de la variable de sobrante.

Como se verá posteriormente, la introducción

del concepto de variables de faltante y de sobrante,

representó un factor clave en el desarrollo de la PL. En

adelante ambos tipos de variables se referirán como

de holgura.

7.- Una variable irrestricta en signo puede

redefinirse en función de variables no-negativas.

El modelo general de la PL presentado en (1-6),

considera a todas las variables como no-negativas. En

ciertos problemas se involucran variables irrestrictas

en signo, es decir que pueden tomar valores positivos,

negativos o cero; generalmente dichas variables están

asociadas a temperaturas, saldos financieros, niveles

de inventario, etc. Cuando en un problema se presenten

variables irrestrictas, también llamadas variables

libres, deben subtituirse por la diferencia de dos

variables no-negativas. Por ejemplo, si la variable X7 es

irrestricta, entonces puede reemplazarse por

X7 = X7+ - X7

- , X7+ y X7

- > 0



El uso de X7+ y X7

-, es sólo una convención, dado

que pueden utilizarse otras variables. Por ejemplo,

alternativamente X7 podría expresarse como.

X7 = A - B , A y B > 0

o como

X7 = Z1 - Z2 , Z1 y Z 2 > 0

Formatos Canónico y Estandár

De la discusión presentada en la sección

anterior, se puede concluir que un modelo de PL puede

plantearse en un número considerable de formas

equivalentes. Dos formatos en particular son los más

utilizados: el canónico y el estándar.

1.- El formato Canónico

Un modelo de PL está en formato canónico si

todas las variables son no-negativas y todas las

restricciones son del tipo " < " para un objeto de

maximización, o si todas las restricciones son del tipo

" > " para un objetivo de minimización. Este formato es

de gran utilidad en el análisis del modelo de PL.

2.- El formato Estándar

Un modelo de PL está en formato estándar si

todas las variables son no-negativas y todas las

restricciones son igualdades, tanto en maximización

como minimización. Este formato será siempre en la

solución de problemas de PL.

A continuación se presentan los modelos

generales de PL planteados mediante los formatos

canónicos y estándar.


Formato Estándar

Caso de minimización

Minimizar: n

X0 = cj xj

j = 1

Sujeto a: n

aijxj = bi i = 1, 2, 3, ...., m

j = 1

xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m

Caso de maximización

Maximizar: n

X0 = cj xj

j = 1

Sujeto a: n

aijxj = bi i = 1, 2, 3, ...., m

j = 1

xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m


Formato Canónico

Caso de minimización

Minimizar n

X0 = cj xj

j = 1

sujeto a: n

aijxj > bi i = 1, 2, 3, ...., m

j = 1

xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m

Caso de maximización

Maximizar: n

X0 = cj xj

j = 1

sujeto a: n

aijxj < bi i = 1, 2, 3, ...., m

j = 1

xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m



Construcción de modelos de PL Introducción.

En esta unidad se hace énfasis en la modelación

como la parte central de la investigación de

operaciones y por lógica de la programación lineal, así

mismo se define como un mezcla de ciencia y de arte.

Sin embargo, aunque la modelación no puede

"enseñarse", sí puede motivarse. Es por esta razón por

la que se mecionan diez principios básicos que no deben

olvidarse al momento de construir un modelo, de estos,

el más importante es sin duda, que los modelos no

pueden reemplazar al tomador de decisiones.

Aunque la modelación no puede enseñarse tal

cual, sino aprenderse en la propia experimentación, si

puede dividirse arbitrariamente en dos fases: la

subjetiva y la objetiva. En la parte subjetiva se

involucra la definición del sistema asumido, mientras

que en la objetiva se incluye la construcción del modelo

a partir del sistema asumido. Como se menciono al

principio la parte subjetiva no puede tratarse en esta

unidad. Por el contrario, la parte objetiva es

denominada formulación.

La formulación se plantea bajo dos enfoques:

directo e indirecto. El primero de ellos se pretende ir

directamente del sistema asumido al modelo de PL. Por

otra parte, el segundo se plasma de forma

esquemática, de acuerdo a cierta filosofía, y luego a

partir de dicho esquema se llega al modelo de PL.

Para que el estudiante se familiarice con la

formulación de modelos, se presentaran aplicaciones

reales al finalizar el presente capitulo, para

posteriormente solucionarlos mediante alguna de las

técnicas que se emplean para su solución.

La modelación.

Recordando un poco de lo que se vio en el

capitulo II, la modelación en la IO se puede definir

como el proceso de abstracción del sistema real al

modelo cuantitativo. Básicamente es la construcción

del modelo matemático del sistema real bajo estudio.

Mismo que involucra desde la definición del sistema

real y la determinación de sus fronteras, incluyendo la

conceptualización del sistema asumido, hasta llegar a

la elaboración del modelo en sí.



Como se menciono en la introducción la

modelación es una combinación de arte y de ciencia, sin

embargo hay que reconocer que es más arte que

ciencia. De hecho no existe un algoritmo o un receta

que nos lleve a la concepción de un buen modelo, por lo

que se concluye que la modelación se aprende con la

práctica.

Sin embargo la experiencia de muchos

investigadores de operaciones, es posible elaborar una

serie de principios para la construcción de modelos. Se

debe estar consciente de la limitaciones inherentes al

proceso de modelación y no caer en la trampas más

comunes señaladas en tales principios.

A continuación se presenta una lista, no

4. Los modelos deben validarse antes de su

implantación.

5. Nunca debe pensarse que modelo es el

sistema real.

6. Un modelo nunca debe criticarse por algo para

lo que no fue hecho.

7. No venda el modelo como la perfección

máxima.

8. Uno de los primeros beneficios de la

modelación reside en el desarrollo del mismo.

9. Un modelo es tan bueno o tan malo como la

información con la que trabaja.

10.Los modelos no pueden reemplazar al tomador

de decisiones.

Finalmente, cabe recordar que los modelos de

exhaustiva de los principios generales de la IO, nos llevan a tomar mejores decisiones y no ha

modelación: simplificar la toma de las mismas.

1. No debe elaborarse un modelo complicado cuando uno simple es suficiente.

2. El problema no debe ajustarse al modelo o

método de solución.

3. La fase deductiva de la modelación debe

realizarse rigurosamente.

La formulación.

La PL al ser una técnica de IO, se basa en el

diseño, solución y análisis de modelos de sistemas

reales. Sin embargo la PL trabaja a partir de un modelo

general bien definido y no así otras técnicas de IO.

Por lo que puede decirse que la PL es el proceso de



reducción del sistema real y su problema, a un objetivo

y a un conjunto de restricciones, donde todas sus

funciones son lineales.

Al inicio de este capitulo se menciono que la

modelación no puede enseñarse de manera formal, sin

embargo, en la PL si puede ahondarse en una parte

importante de la modelación llamada formulación. La

formulación consiste en convertir al sistema asumido

en el modelo general de PL. Note que se parte del

sistema asumido, el cual tiene la información más

relevante del sistema real. El establecimiento del

sistema asumido del sistema real es la parte subjetiva

de la modelación, y la formulación es la parte objetiva.

La formulación puede llevarse a cabo mediante

las alternativas directa e indirecta. A continuación se

describe la formulación directa.

La formulación directa.

Esta consiste en pasar de forma directa del

sistema asumido al modelo de PL. Por tal razón se

sugiere trabajar el orden siguiente: definir la variable

de decisión, luego el objetivo, enseguida las

restricciones estructurales y finalmente establecer

las condiciones técnicas. Para comprender mejor lo

anterior se comentará lo antes citado.

Variables de decisición.

Son las incógnitas del problema y básicamente

consisten en todos los niveles de las actividades que

pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

El objetivo.

Consiste en optimizar el valor de la función

objetivo, el cual es una función lineal de las diferentes

actividades del problema.

Las restricciones estructurales.

Son los diferentes requisitos que debe cumplir

la solución para que pueda llevarse a cabo. Las

restricciones más comunes son:

Restricciones de capacidad, limitan el valor de las

variables debido a la disponibilidad de horas-hombre,

horas-máquina, espacio, etc.



Restricciones de mercado, surgen de los valores

máximos y mínimos en las ventas o uso de un producto

o actividad a realizar.

Restricciones de entrada, son las limitantes debido a

la escasez de materia prima, mano de obra, dinero, etc.

Restricciones de calidad, son las que limitan las

mezclas de ingredientes, definiendo usualmente la

calidad de los artículos a manufacturar.

Restricciones de balance de materiales, estas

definen las salidas de un proceso en función de sus

entradas, tomando en cuenta cierto porcentaje de

merma o desperdicio.

Restricciones internas, son las que definen a una

variable dada, en la formulación interna del problema,

un ejemplo típico es el inventario.

Sin embargo puede ser que un problema dado no

los tenga a todos o tenga otros tipos diferentes a los

listados.

Las condiciones técnicas.

Este establece que todas las variables deberán

tomar valores no negativos.

Ejemplo No.1

La Cía., Agroind., S.A. de C. V., está tratando de

determinar la mezcla de producción de fertilizantes,

de los siguientes tipos F-1A, F-2AC y F-4BH. El

fertilizante se estabiliza con un material de relleno

como podría ser el barro. El tipo F-1A está elaborado

con 5% de nitrato, 5% de fosfato, 10% de potasio y el

resto es barro. El tipo F-2AC contiene 5% de nitrato,

10% de fosfato, 5% de potasio y el restante 80% es

barro. El tipo F-4BH se fabrica con 10% de nitrato, 5%

de fosfato, 5% de potasio y el resto es barro. El

mayorista comprará cualquier cantidad de los

fertilizantes que la compañía pueda fabricar. Este

mes, la disponibilidad y costos de materia prima son

1100 ton de nitrato a $200.00 por ton., 1800 ton de

fosfato a $ 80.00 cada una y 2000 ton de potasio a

$160.00 cada una. El relleno está disponible en

cantidades ilimitadas al precio de $10.00 la ton., pero

para los otros tres ingredientes solo se dispone de las

cantidades anteriormente citadas. No hay



restricciones para el uso de mano de obra ni tampoco

para el empleo de maquinaría durante el mes, pero se

tiene un costo de $15.00 por ton., por concepto de

mezclado de fertilizante. Además el mayorista está

dispuesto a pagar $71.50 por ton., $69.00 por ton y

$66.50 por ton. respectivamente. La compañía desea

optimizar sus recursos escasos, para lo cual le ha

pedido al jefe de producción que le elabore un

programa de producción para el próximo mes.

Ejemplo No. 2.

Una compañía fabrica tres tipos de bolsas de

plástico de uso doméstico: una de 10 Kilos, una bolsa de

15 Kilos y una de 20 Kilos, para hojas y pasto, cada una

con un cordón de sellado fácil. Utilizando material

plástico que adquiere de en el corredor industrial

Tampico-Altamira, la compañía realiza tres

operaciones para fabricar cada producto final: corte,

sellado y empaque. Se muestran enseguida el tiempo de

producción que se requiere para procesar cada tipo de

bolsa en cada tipo de operación, y el tiempo máximo

disponible para cada tipo de operación. Observe que

las cifras de producción de esta tabla están dados en

unidad por caja para cada tipo de bolsa.

Tiempo disponible (segundos por caja).

Tipo de bolsa Corte Sellado Empaque

10 kilos

15 kilos

20 kilos

2

3

3

2

2

3

3

4

5

Tiempo

disponible

en horas

2

3

4

Si la compañía tiene una utilidad de $10 por cada

caja de bolsas de 10 kilos que fabrica, $15 por cada

caja de bolsas 15 kilos y $20 por cada caja de bolsas

de 20 kilos. ¿Cuál es la mezcla óptima de productos?

Ejemplo No. 3.

La compañía Computación del Noreste, S. A. se

dedica a la fabricación de artículo de computación en

la actualidad, está distribuyendo diskettes, cassettes

de cinta y cartuchos para limpiar unidades de disco

(drives). La contribución unitaria a las utilidades para

cada producto es como se muestra a continuación



Producto Contribución a las utilidades

Diskette

Cassette

Paquete de limpieza

$ 2.00

1.50

3.50

Cada uno de esos tres productos pasa a través

de tres centros de manufactura y prueba como parte

del proceso de producción. Los tiempos que se

requieren en cada uno de los centros para fabricar una

unidad de cada uno de los tres productos, así como el

tiempo disponible para la siguiente semana y los costos

fijos para cada uno de los centros, se muestran en la

tabla siguiente: Horas por unidad

Producto Centro 1 Centro 2 Centro 3 Diskette

Cassette

Pqte. de lpza.

3

4

2

2

1

2

1

3

2

Tiempo (horas) 60 40 80

Plantee un programa lineal para programar

la producción próximo mes.

Ejemplo No. 4.

Manufacturas del Sur, S.A de C.V. fabrica un

producto que tiene una demanda que aumenta y

disminuye. Por ejemplo la demanda que se ha

pronosticado para los próximos cuatro meses es de

1800, 2200, 3400 y 2800, respectivamente. Debido a

las variaciones de la demanda, los administradores de

la Compañía han encontrado que en algunos meses

existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes

costos de manejo y almacenamiento, en tanto que en

otros meses la compañía no esta en posibilidades de

cubrir la demanda. La Compañía puede fabricar 2400

artículos por mes en sus turnos normales. Utilizando

tiempo extra, es posible fabricar 800 artículos

mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de

mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento

de $7.00 por cualquier artículo que no se fabrique en

turno normal. Los administradores han estimado que

incurren en un costo de almacenamiento de $3.00 por

cualquier artículo que se fabrique en un mes

determinado y que no se venda durante el mismo. A la

compañía le gustaría determinar un programa óptimo

de producción que minimice los costos totales de

producción y almacenamiento. El programa debe

satisfacer todas las demandas de ventas.



Ejemplo No. 5.

Una compañía fabrica dos productos A y B. El

volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las

ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no

puede vender más de 100 unidades de A al día. Los dos

productos utilizan una materia prima, cuya

disponibilidad máxima se limita a 240 libras al día. Las

proporciones de utilización de la materia prima son de

2 libras para cada unidad de A y de 4 libras para cada

unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y

50 pesos respectivamente.

Determine la mezcla óptima de los dos

productos.

Ejemplo No. 6.

Wyoming Electric Coop., es propietaria de una

planta generadora de energía con turbinas de vapor.

Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón,

la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto

crea el problema de satisfacer los estándares de

emisión. Las regulaciones de la Environmental

Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental)

limitan la descarga de dióxido de azufre a 2000 partes

por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la

planta a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos

grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser

utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se

mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad,

supondremos que el contaminante de azufre de la

mezcla (en partes por millón) es un promedio

ponderado de la proporción de cada grado empleado en

la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo

de 1 tonelada por hora de cada uno de los dos grados

de carbón.

Grado

De carbón

Descarga de

azufre en ppm

Descarga de

humo en lb/hr

Vapor generado

en lb/hr

C1

C2 1 800

2 100 2.1

0.9 12 000

9 000

Determine la mezcla óptima de para mezclar los

dos grados de carbón.

Ejemplo No. 7.

Burroughs Garment Company fabrica camisas para

caballero y blusas para dama para Walmark Discount

Stores. Walmark aceptará toda la producción que le

proporcione Burroughs. El proceso de producción

incluye corte, costura y empacado. Burroughs emplea a


Trabajo

Programador 1 2 3 4 5

José

Luis

Pedro

$100

80

200

$150

200

250

$200

100

250

$100

100

150

$ 50

80

100

Minutos por unidad Utilidad

Prenda Corte Costura Empacado Por unidad

($) Camisas

Blusas 20

60 70

60 12

4 2.50

3.20


25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en

el departamento de costura y a 5 en el departamento

de empacado. La fabrica trabaja un turno de 8 horas,

sólo 5 días a la semana. La tabla siguiente proporciona

los requerimientos de tiempo y las utilidades por

unidad para las dos prendas:

terminación de cada tarea por programador se

muestran en la tabla siguiente

Ejemplo No. 8.

Desarrollo y Sistemas en Informática, S.A., se

especializa en la preparación de programas de

computación para la industria y el gobierno. Estos

programas se escriben uno de cuatro lenguajes de

programación: FORTRAN, COBOL, CLIPER y C. La

compañía tiene tres programadores que realizan esta

labor y existen cinco trabajos de programación que

deben terminarse lo más pronto posible. No todos los

programadores trabajan a la misma velocidad en todos

los lenguajes y se les paga en forma diferente con

base en su experiencia. Cada uno de los trabajos debe

elaborarlo un solo programador. Los costos de

En la tabla siguiente se presentan el tiempo que necesita cada programador para terminar cada trabajo

y del tiempo de que dispone después de realizar sus

tareas.

Tiempo disponible Trabajo

Programador 1 2 3 4 5 (horas)

José

Luis

Pedro

10

4

20

15

10

25

20

5

25

10

5

15

5

4

10

35

20

40

Plantee el problema de asignación de la comp añía

como un programa lineal.

Ejemplo No. 9.

La compañía ANCE, S. A., produce una línea de

artículos de peltre para uso en el hogar, la cual consta


Producto Precio de venta ($/unidad)

Costo de venta ($/unidad)

Demanda mensual (unidades) Mínima Máxima

1 2

3

4

100 300

160

250

50 200

100

150

500 5 000 750 6 000

650 8 000

3 500


de cuatro productos. El sistema de manufactura se

divide en cinco etapas : cortado, troquelado,

esmaltado, acabado y empacado.

La información relevante, tanto del sistema

productivo como del producto se muestran a

continuación.

Información sobre el sistema productivo

Índice de producción (unidades/hora)

Departamento Producto 1

Producto 2

Producto 3

Producto 4

Capacidad (horas/mes)

Cortado troquelado Esmaltado

Acabado

empacado

25 14 17

20

50

6 8 9

4

13

20 20 33

-.-

50

10 10 8

8

20

400 380 490

450

400

Información sobre el producto

los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0.50 m2 por

unidad y el producto 2 requiere 0.80 m2 por unidad.

Formule un modelo de PL, para la optimización de los

recursos.

Ejemplo No. 10.

Hexxon Oil Company tiene seis consultores de

petróleo, tres de los cuales están actualmente en los E.

U., dos en Rusia y uno en Nigeria. Arabia Saudita ha

solicitado dos consultores durante una semana a una

tarifa de $4200 cada uno. Venezuela ha solicitado dos

consultores durante una semana a una tarifa de $4000

cada uno. Indonesia ha solicitado tres consultores tres

consultores durante una semana a una tarifa semanal

de $4000 cada uno. Los gastos semanales por

consultor son de $1400 en Arabia Saudita, $1000 en

Venezuela y $700 en Indonesia. La tabla siguiente

muestra las tarifas de viaje redondo (en dólares) para

enviar por avión a los consultores:

Adicionalmente, se sabe que el siguiente mes sólo se dispondrá de 1 200 m2 de lamina que consumen


Desde Arabia Saudita

Hacia

Venezuela

Indonesia

Estados Unidos

Rusia

Nigeria

1800

1600

1300

800

1800

1200

2000

1700

1500

Compuesto químico 1 2 3 4

Porcentaje de A

Porcentaje de B

Porcentaje de C

30

20

40

20

60

15

40

30

25

20

40

30

Costo/kilogramo 20 30 20 15

Viga

A

Máquina

B

C

Pequeña

Mediana

Larga

Extra larga

300

250

200

100

600

400

350

200

800

700

600

300


que semanalmente se requieren 10 000, 8 000, 6 000

y 6 000 pies de los distintos tamaños de las vigas I.

Formular el problema de programación de máquinas


Formule como un modelo de PL.

Ejemplo No. 11.

Un fabricante de acero produce 4 tamaños de

vigas I: pequeño, mediano, grande y extra grande.

Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres

tipos de máquinas: A, B y C. A continuación se indican

las longitudes (en pies) de las vigas I. que pueden

producir las máquinas por hora.

Ejemplo No. 12.

Un fabricante de plásticos planea obtener un

nuevo producto mezclando 4 compuestos químicos.

Estos compuestos consisten principalmente de 3

elementos químicos A, B y C. A continuación se muestra

la composición y el costo por unidad de estos

compuestos.

Supóngase que cada máquina se puede usar

hasta 50 horas por semana y que los costos de

operación por hora de estas máquinas son $3000,

$5000 y $8000 respectivamente. Supóngase, además,

El nuevo producto consiste del 20 % del

elemento A, al menos 30 % del elemento B y al menos

20 % del elemento C. Debido a los efectos laterales

de los compuestos 1 y 2, no deben exceder del 30 % y

del 40 % del contenido del nuevo producto. Formular



Valor presente

Requerimie ntos

de capital

Tipo de proyecto estimado Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Expansión de la planta Nueva maquinaria Investigación sobre

nuevos productos Ampliación del almacén

$180,000 20,000

72,000

80,000

$30,000 12,000

30,000

20,000

$40,000 8,000

20,000

30,000

$40,000 0

20,000

40,000

$30,000 4,000

20,000

10,000 Fondos disponibles de capital

$65,000

$80,000

$80,000

$50,000


Ejemplo No. 13.

La Compañía Petroquímicos del Oeste, S. A.,

enfrenta el problema de determinar que proyectos de

“crecimiento” debe emprender en los próximos 4 años.

La compañía tiene una cantidad limitada de fondos para

inversiones de capital; por tanto, no puede financiar

todos los proyectos. A cada uno de estos se le ha

caracterizado determinando su valor presente y el

requerimiento (costo) asociado de capital. Cada

proyecto tiene diferentes requerimientos de capital

para los próximos 4 años. En la tabla siguiente se

muestran el valor presente estimado, los

requerimientos de capital y el capital disponible

proyectado para cada uno de ellos.

un plan de asignación de capital que muestre las

erogaciones que debe hacer para cada uno de los

cuatro años y qué proyectos se deben financiar bajo el

plan general.

Formúlese como un modelo de programación lineal.

Ejemplo No. 14.

PEMEX comercializa dos tipos de gasolina :

magna y premium. Cada gasolina debe satisfacer

ciertas especificaciones, tales como la presión máxima

de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los

requerimientos de manufactura para las gasolinas y el

precio por barril se muestran a continuación :

Especificaciones de manufactura y precio por barril

Gasolina Octanaje

mínimo

Presión máxima

de vapor

Precio de venta

(por barril) Magna

Premium

80

100

9

6

$21.00

$24.00

A los administradores de Compañía

Petroquímicos del Oeste, S. A., les gustaría desarrollar

Se utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar

las gasolinas magna y premium. Las carácterísticas de

las gasolinas se muestran en la tabla siguiente:


Gasolina

base Octanaje Presión de

vapor Disponibilidad

máxima

(barriles)

Costo por

barril

Tipo 1

Tipo 2

Tipo 3

108

90

73

4

10

5

32,000

20,000

38,000

$22.00

$20.00

$19.00


Características de la gasolina base

técnica. En la actualidad están planeando la producción

agrícola para el año próximo.

La producción agrícola está limitada por la

extensión de terreno disponible para irrigación como

por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas (una

oficina del gobierno nacional) asigna para irrigarlo. La

tabla siguiente contiene los datos :

PEMEX se ha comprometido con un comprador a

proporcionarle 30,000 barriles de gasolina premium

por semana. No se tienen compromisos con respecto a

la gasolina magna. A PEMEX le gustaría determinar el

plan de manufactura para las dos clases de gasolina

para optimizar las utilidades.

PROBLEMARIO

Problema No. 1.

La CONFEDERACIÓN SUR DE KIBBUTZIM

está formada por tres kibbutzim (comunidades

agrícolas comunales) en Israel. La planeación global de

este grupo se hace en su oficina de coordinación

Datos de recursos para Confederación Sur de Kibbutzim

Kibbutzim Terreno disponible

(acres)

Asignación de agua (pies-

acre) 1

2

3

400

600

300

600

800

375

El tipo de cosecha apropiada para la región

incluye la remolacha, algodón y sorgo, y estas son

precisamente las tres que se están estudiando para la

estación venidera. Las cosechas difieren

primordialmente en su rendimiento neto esperado por

acre y en su consumo de agua. Además, el Ministerio

de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de

acres que la Confederación puede dedicar ha estas



cosechas. La siguiente tabla muestra estas

cantidades :

Datos de recursos para Confederación Sur de Kibbutzim

Cosecha Cantidad máxima

(acres)

Consumo de agua

(piesacre/acre)

Rendimiento

neto

(dólares/acre)

Remolacha

Algodón

Sorgo

600

500

325

3

2

1

1000

750

250

Debido a la disponibilidad limitada de agua para

irrigación, la Confederación no podrá usar todo el

terreno irrigable para las cosechas de la próxima

temporada. Para asegurar la equidad entre los tres

Kibbutz, han acoradado que cada Kibbutz sembrará la

misma proporción de sus tierras irrigables disponibles.

Por ejemplo, si el Kibbutz 1 siembra 200 de sus 400

acres disponibles, entonces el Kibbutz 2 debe sembrar

300 de sus 600 acres, mientras que el Kibbutz 3

sembraría 150 acres de los 300 que tiene. Cualquier

combinación de estas cosechas se puede sembrar en

cualquiera de los Kibbutz. El trabajo al que se enfrenta

la oficina de coordinación técnica consiste en planear

cuántos acres debe asignarse a cada tipo de cosecha

en cada Kibbutz, cumpliendo con las restricciones

dadas.

Problema No. 2.

UNION AIRWAYS va agregar vuelos desde y

hacia su aeropuerto base y, por lo tanto, necesita

contratar más agentes de servicios al cliente. Sin

embargo, no está claro cuantos más debe contratar. La

administración reconoce la necesidad de controlar el

costo y al mismo tiempo proporcionar de manera

consistente un nivel satisfactorio de servicio. Por todo

esto, un equipo de IO está estudiando como programar

a los agentes para proporcionar un servicio

satisfactorio con el menor costo de personal.

Con base en la nueva programación de vuelos, se

ha realizado un análisis del número mínimo de agentes

de servicio a clientes que deben encontrarse de

guardia en diferentes momentos del día para

proporcionar un nivel satisfactorio de servicio. La

columna de la derecha de la siguiente tabla muestra el

número de agentes necesario para los periodos dados

en la primera columna. Los otros datos de esta tabla

reflejan uno de los acuerdos del contrato colectivo

vigente entre la compañía y el sindicato que representa



a los agentes de servicio a clientes. El acuerdo es que

cada agente trabaje un turno de 8 horas 5 días a la

semana, y los turnos autorizados son :

Turno 1 : 6 :00 am a 2 :00 pm

Turno 2 : 8 :00 am a 4 :00 pm

Turno 3 : 12 :00 am (medio día) a 8 :00 pm

Turno 4 : 4 :00 pm a 12 :00 pm (media noche)

Turno 5 : 10 :00 pm a 6 : am Periodos cubiertos Turno Número mínimo

Período 1 2 3 4 5 necesario de agentes 6 :00 am a 8 :00 am 8 :00 am a 10 :00 am

10 :00 am a 12 :00 am

12 :00 am a 2 :00 pm

2 :00 pm a 4 :00 pm

4 :00 pm a 6 :00 pm 6 :00 pm a 8 :00 pm 8 :00 pm a 10 :00 pm

10 :00 pm a 12 :00 pm

12 :00 pm a 6 :00 am

X X X

X X

X X

X X

X X X X X X

X X

X

48 79

65

87

64

73 82 43

52

15 Costo diario por agente

$170 $160 $175 $180 $195

Las marcas en la tabla muestran las horas

cubiertas por los turnos respectivos. Como algunos

turnos son menos deseables que otros, los salarios

especificados en el contrato difieren uno de otro. En

el último renglón se muestra la compensación diaria

(incluyendo prestaciones) por cada agente por turno. El

problema consiste en determinar cuántos agentes

deben asignarse a los turnos respectivos cada día para

minimizar el costo total de personal debido a los

agentes, según este último renglón, al tiempo que se

cumplen (o se sobrepasan) los requerimientos de

servicio dados en la columna de la derecha. Problema No. 3.

National Steel Corporation (NSC) produce un

acero especial usado en las industrias de aviación y

aeroespaciales. El departamento de ventas NSC ha

recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500

toneladas de acero para cada uno de los siguientes

cuatro meses. NSC puede satisfacer estas demandas

produciendo el acero extrayéndolo de su inventario, o

usando cualquier combinación de las dos alternativas.

Se proyecta que los costos de producción por

tonelada de acero durante cada uno de los siguientes

cuatro meses sean $7400, $7500, $7600 y $7650.

Como los costos suben cada mes, debido a las



presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC

produzca más acero del que necesita en un mes

determinado y que almacene el exceso. La capacidad de

producción, sin embargo, no puede exceder las 4000

toneladas en ningún mes. La producción mensual se

termina al final del mes, cuando la demanda se

satisface. Cualquier acero remanente se almacena en

inventario a un costo de $120 por tonelada por cada

mes que permanece allí. Estos datos se resumen en la

tabla siguiente.

Datos para el problema de producción - planeación de NSC.

Mes 1 2 3 4

Demanda (tons)

Costo de producción ($/ton)

Costo de inventario ($/ton/mes)

2400

7400

120

2200

7500

120

2700

7600

120

2500

7650

120

Si el nivel de producción se incrementa de un

mes al siguiente, entonces la compañía incurre en un

costo de $50 por tonelada de producción incrementada

para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo

extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre

en un costo de $30 para cubrir los beneficios de

empleados no utilizados.

El nivel de producción durante el mes anterior

fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es

de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes

debe ser de al menos de 1500 toneladas para cubrir la

demanda anticipada. Formule un plan de producción

para NSC para los siguientes cuatro meses.

Problema No. 4.

MTV Steel Company produce tres tamaños de

tubos : A, B y C, que son vendidos, respectivamente en

$10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo

A se requieren 0.5 minutos de tiempo de

procesamiento sobre un tipo particular de máquina de

modelado. Cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y

cada pie del tubo C requiere 0.60 minutos. Después de

la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo,

requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se

estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C,

respectivamente.

Para la semana siguiente, MTV Steel ha recibido

pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000

pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del

tubo C. Como sólo se dispone de 40 horas de tiempo de

máquina está semana y sólo se tienen en inventario



5500 onzas de material de soldar, el departamento de

producción no podrá satisfacer está demanda, que

requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y

11 onzas de material de soldar. No se espera que

continúe este alto nivel de demanda. En vez de

expandir la capacidad de las instalaciones de

producción, la gerencia de MTV Steel está

considerando la compra de algunos de estos tubos a

proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por

pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del

tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla

siguiente. Como gerente de producción se le ha pedido

hacer recomendaciones respecto a la cantidad de

producción de cada tipo de tubo y la cantidad de

compra a Japón para satisfacer la demanda y

maximizar las ganancias de compañía.

Datos para el problema de hacer o comprar de MTV Steel.

Tipo

Precio de venta ($/ft)

Demanda

(ft)

Tiempo de máquina (min/ft)

Material para soldar

(oz/ft)

Costo de Producción

($/ft)

Costo de Compra ($/ft)

A B

C

10 12

9

2000 4000

5000

0.50 0.45

0.60

1 1

1

3 4

4

6 6

7 Cantidad Disponibe 40 hr 5500 oz


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