Investigación de Operaciones Modelos y Aplicaciones de Programación Lineal
TALLER DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – PROGRAMACIÓN LINEAL
40
METODO SIMPLEX: MAXIMIZACIO Funcion Objetivo 1 1 Variables 0 10000 Restricciones MESAS 2 2 SILLAS 1 2 CAMAS 1 1 BIBLIOTECAS 2 0 producirla 10000 8000 venderla 30000 28000 Utilidad 20000 20000 piezas rectangulares de 8 pines piezas cuadradas de 4 pines piezas rectangulares de 8 pines piezas cuadradas de 4 pines piezas rectangulares de 8 pines piezas cuadradas de 4 pines
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METODO SIMPLEX: MAXIMIZACION
Funcion Objetivo 1 1 1
Variables 0 10000 5000
Restricciones
MESAS 2 2 0SILLAS 1 2 0CAMAS 1 1 2
BIBLIOTECAS 2 0 2
producirla 10000 8000 20000venderla 30000 28000 40000Utilidad 20000 20000 20000
piezas rectangulares de 8 pines
piezas cuadradas de 4 pines
bases trapezoidales de 2 pines
piezas rectangulares de 8 pines
piezas cuadradas de 4 pines
bases trapezoidales de 2 pines
piezas rectangulares de 8 pines
piezas cuadradas de 4 pines
bases trapezoidales de 2 pines
METODO SIMPLEX: MAXIMIZACION
1 17500
2500
0 20000 200000 20000 200000 20000 200004 20000 20000
400006000020000
piezas rectangulares de 2 pines
ingreso total
piezas rectangulares de 2 pines
piezas rectangulares de 2 pines
Recurso asignado
recurso disponible
METODO SIMPLEX: MAXIMIZACION
ZMAXIMIZAR x1+x2+x3+x4 20000
SUJETO A
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
0 s1 2 2 0 0 1 0 00 s2 1 2 0 0 0 1 00 s3 1 1 2 0 0 0 10 s4 2 0 2 4 0 0 0
z 0 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 1 1 1 1 0 0 0
ahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s1 sino x1como en la interseccion hay un 2 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
0 s1 1 1 0 0 0.5 0 00 s2 1 2 0 0 0 1 00 s3 1 1 2 0 0 0 10 s4 2 0 2 4 0 0 0
z 0 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 1 1 1 1 0 0 0
reducimos por gauss jordan
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x1 1 1 0 0 0.5 0 00 s2 0 1 0 0 -0.5 1 00 s30 s4
z 1 1 0 0 0.5 0 0
04,32,1
20000443212
200003221
20000221
200002212
xXXX
xXX
XXX
XX
XX
Cj-Zj 0 0 1 1 -0.5 0 0
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x1 1 1 0 0 0.5 0 00 s2 0 1 0 0 -0.5 1 00 s3 0 0 2 0 -0.5 0 10 s4
z 1 1 0 0 0.5 0 0Cj-Zj 0 0 1 1 -0.5 0 0
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x1 1 1 0 0 0.5 0 00 s2 0 1 0 0 -0.5 1 00 s3 0 0 2 0 -0.5 0 10 s4 1 -1 2 4 -0.5 0 0
z 1 1 0 0 0.5 0 0Cj-Zj 0 0 1 1 -0.5 0 0
volvemos a nuestro primer paso ya que aun tenemos valores positivos par Cj-Zj
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x1 1 1 0 0 0.5 0 00 s2 0 1 0 0 -0.5 1 00 s3 0 0 2 0 -0.5 0 10 s4 1 -1 2 4 -0.5 0 0
z 1 1 0 0 0.5 0 0Cj-Zj 0 0 1 1 -0.5 0 0
ahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s4 sino x3como en la interseccion hay un 2 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x1 1 1 0 0 0.5 0 00 s2 0 1 0 0 -0.5 1 00 s3 0 0 2 0 -0.5 0 10 s4 0.5 -0.5 1 2 -0.25 0 0
z 1 1 0 0 0.5 0 0Cj-Zj 0 0 1 1 -0.5 0 0
reducimos por gauss jordan
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x10 s20 s3 0 0 0 0 0 0 01 x3 0 0 1 0 -0.25 0 0.5
z 0 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 1 1 1 1 0 0 0
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x10 s2 0 1 0 0 -0.5 1 00 s3 0 0 0 0 0 0 01 x3 0 0 1 0 -0.25 0 0.5
z 0 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 1 1 1 1 0 0 0
Cj 1 1 1 1 0 0 0x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3
1 x1 1 1 0 0 0.5 0 00 s2 0 1 -2 0 0 1 -10 s3 0 0 0 0 0 0 01 x3 0 0 0 0 0 0 0
z 1 1 0 0 0.5 0 0Cj-Zj 0 0 1 1 -0.5 0 0
0s4 b b/x10 20000 100000 20000 200000 20000 200001 20000 100000 00
0s4 b0 200000 200000 200001 200000 00
0s4 b0 20000 -1 1 1 00 0 1 2 0
nuevo renglon 0 1 0
0 20000
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso hay empate decidimos 1, x1 este sera nuestra
columna pivote puesto que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x1 para eso dividimos b/x1 y el menor valor indicara la fila pivote en
este caso elescogemos s1 ya que hay empate con un valor de 10000
0
0s4 b -1 1 1 00 20000 1 1 20 0 nuevo renglon 0 0 20 0
0 200000
0 -1 1 1 0s4 b 2 0 20 20000 nuevo renglon 1 -1 20 00 01 00 200000
0s4 b b/x30 20000 00 0 00 0 01 0 00 200000
0s4 b0 200000 00 0
0.5 00 200000
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso hay empate decidimos 1, x3 este sera nuestra
columna pivote puesto que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x1 para eso dividimos b/x1 y el menor valor indicara la fila pivote en
este caso elescogemos s4 ya que hay empate con un valor de 0
0 -2 0 0 1s4 b 0 0 2
nuevo renglon 0 0 0
0 00 00 00
0 0 0 0 1s4 b 0 1 0
nuevo renglon 0 1 00 00 00 00 00
0 0 0 10 1 1 0s4 b nuevo renglon 1 1 00 200000 00 00 00 200000
0 0.5 0 0 0 200000 0 1 0 0 200000 -0.5 1 0 0 0
0 0.5 0 0 0 200000 0 0 1 0 200000 -0.5 0 1 0 0
0 0.5 0 0 0 200004 0 0 0 1 200004 -0.5 0 0 1 0
0 -0.25 0 0.5 0 00 -0.5 0 1 0 00 0 0 0 0 0
0 -0.25 0 0.5 0 00 -0.5 1 0 0 00 -0.5 1 0 0 0
0 -0.25 0 0.5 0 00 0.5 0 0 0 200000 0.5 0 0 0 20000
PROGRAMCION LINEAL CON SOLVER: MAXIMIZACIO
x1 x2 x3Funcion Objetivo 4 3 6 40
x1 x2 x3Variables 0 0 6.66666667
Restricciones x1 x2 x3a 3 1 3 20 30b 4 3 6 40 40
ingreso total
Recurso asignado
recurso disponible
METODO SIMPLEX: MAXIMIZACION
Z x3MAXIMIZAR 4X1+ 3X2+ 6X3 40 6.66666667
SUJETO A
Cj 4 3 6 0 0x1 x2 x3 s1 s2 b b/x3
0 s1 3 1 1 1 0 30 300 s2 4 3 6 0 1 40 6.6667
z 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 4 3 6 0 0
ahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s2 sino 6x3como en la interseccion hay un -6 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo
Cj 4 3 6 0 0x1 x2 x3 s1 s2 b
0 s1 3 1 1 1 0 300 s2 0.66666667 0.5 1 0 0.16666667 6.66666667
z 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 4 3 6 0 0
reducimos por gauss jordan
Cj 4 3 6 0 0x1 x2 x3 s1 s2 b
0 s1 2.33333333 0.5 0 1 -0.16666667 23.3333333 nuevo renglon6 x3 0.66666667 0.5 1 0 0.16666667 6.66666667
z 4 3 6 0 1 40Cj-Zj 0 0 0 0 -1
Automaticamente nuestras iteraciones acaban cuando tenemos todos los Cj-Zj son negativos o 0 pues estamos max
032,1
40362314
3033213
XXX
XXX
XXX
-1 0.66666667 0.5 1 0 0.16666667 6.66666667 fila pivote3 1 1 1 0 30
nuevo renglon 2.33333333 0.5 0 1 -0.16666667 23.3333333
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso 6, x3 este sera nuestra columna pivote puesto
que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x3 para eso dividimos b/x3 y el menor valor indicara la fila pivote en
este caso el menor es 29 por tanto s1 seria nuestra renglon pivote
PROGRAMCION LINEAL CON SOLVER: MAXIMIZACIO
x1 x2 x3Funcion Objetivo 2 -1 1 34
x1 x2 x3Variables 18 4 2
Restricciones x1 x2 x3a 3 1 1 60 60b 1 -3 2 10 10C 1 1 -1 20 20
ingreso total
Recurso asignado
recurso disponible
METODO SIMPLEX: MAXIMIZACION
ZMAXIMIZAR 2X1-X2+ X3 4
SUJETO A
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 3 1 1 1 00 s2 1 -3 2 0 10 s3 1 1 -1 0 0
z 0 0 0 0 0Cj-Zj 2 -1 1 0 0
ahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s2 sino 2x1como en la interseccion hay un 1 este renglon quedaria igualreducimos por gauss jordan
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 0 10 -5 1 -30 s2 1 -3 2 0 10 s3
zCj-Zj
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 0 10 -5 1 -32 x1 1 -3 2 0 10 s3 0 4 -3 0 -1
z 2 -6 4 0 2Cj-Zj 0 5 -3 0 -2
volvemos a nuestro primer paso ya que aun tenemos valores positivos par Cj-Zj
Cj 2 -1 1 0 0
032,1
20321
1032231
603213
XXX
XXX
XXX
XXX
Cjx1 x2 x3 s1 s2
0 s1 0 10 -5 1 -32 x1 1 -3 2 0 10 s3 0 4 -3 0 -1
z 2 -6 4 0 2Cj-Zj 0 5 -3 0 -2
ahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s3 sino -1x2
como en la interseccion hay un -3 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo cambiandono los valores de cj-zj
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 0 10 -5 1 -32 x1 -0.33333333333 1 -0.66666666667 0 -0.333333333330 s3 0 4 -3 0 -1
z -0.66666666667 2 -1.33333333333 0 -0.66666666667Cj-Zj 2.666666666667 -3 2.333333333333 0 0.666666666667
reducimos por gauss jordan
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 3.333 9.667 -5.667 1.000 -3.000-1 x1 -0.333 1.000 -0.667 0.000 -0.3330 s3 -13.667 -37.667 22.000 -4.000 11.667
z 0.333 -1.000 0.667 0.000 0.333Cj-Zj 1.667 0.000 0.333 0.000 -0.333
volvemos a nuestro primer paso ya que aun tenemos valores positivos par Cj-Zj
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 3.333 9.667 -5.667 1.000 -3.000-1 x1 -0.333 1.000 -0.667 0.000 -0.3330 s3 -13.667 -37.667 22.000 -4.000 11.667
z 0.333 -1.000 0.667 0.000 0.333Cj-Zj 1.667 0.000 0.333 0.000 -0.333
como en la interseccion hay un -13.66667 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo cambiandono los valores de cj-zjahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s3 sino 2x1
Cj 2 -1 1 0 0
Cjx1 x2 x3 s1 s2
0 s1 3.33 9.67 -5.67 1.00 -3.00-1 x1 -0.33 1.00 -0.67 0.00 -0.330 s3 1.00 2.76 -1.61 0.29 -0.85
z 0.33 -1.00 0.67 0.00 0.33Cj-Zj 1.67 0.00 0.33 0.00 -0.33
reducimos por gauss jordan
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 3.58 10.34 -6.06 1.07 -3.21-1 x2 -0.36 0.93 -0.63 -0.01 -0.312 x1 -0.07 -0.20 0.12 -0.02 0.06
z 0.36 -0.93 0.63 0.01 0.31Cj-Zj 1.64 -0.07 0.37 -0.01 -0.31
volvemos a nuestro primer paso ya que aun tenemos valores positivos par Cj-Zj
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
0 s1 3.6 10.3 -6.1 1.1 -3.2-1 x2 -0.4 0.9 -0.6 0.0 -0.32 x1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
z 0.4 -0.9 0.6 0.0 0.3Cj-Zj 1.6 -0.1 0.4 0.0 -0.3
como en la interseccion hay un 3.57723este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo cambiandono los valores de cj-zjahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s3 sino 2x1
Cj 2 -1 1 0 0x1 x2 x3 s1 s2
2 x1 1 3 -2 0 -1-1 x2 0 1 -1 0 02 x1 0 0 0 0 0
z 2 -1 1 0 0Cj-Zj 0 0 0 0 0
Automaticamente nuestras iteraciones acaban cuando tenemos todos los Cj-Zj son negativos o 0 pues estamos max
0s3 b b/x10 60 200 10 101 20 200 00
0s3 b0 30 -3 1 -3 2 00 10 3 1 1 1
nuevo renglon 0 10 -5 1
0s3 b0 30 -1 1 -3 2 00 10 1 1 -1 01 10 nuevo renglon 0 4 -3 00 200
0
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso 2, x1 este sera nuestra columna pivote puesto
que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x1 para eso dividimos b/x1 y el menor valor indicara la fila pivote en
este caso el menor es 9 por tanto s2 seria nuestra renglon pivote
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso 5, x2 este sera nuestra columna pivote puesto
que vamos a MAX
s3 b b/x20 30 30 10 -3.33331 10 2.50 200
como en la interseccion hay un -3 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo cambiandono los valores de cj-zj
0s3 b0 300 -3.333333333331 100 -6.666666666670
-10 -0.33333333 1 -0.666666670 10 -5
0 nuevo renglon 3.33333333 9.66666667 -5.66666667s3 b
0.000 30.0000.000 -3.3330.000 -123.333 -4 -0.33333333 1 -0.666666670.000 3.333 0 4 -30.000 nuevo renglon 1.33333333 0 -0.33333333
0s3 b b/x1
0.000 30.000 90.000 -3.333 100.000 -123.333 00.000 3.3330.000
como en la interseccion hay un -13.66667 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo cambiandono los valores de cj-zj
0
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso 5, x2 este sera nuestra columna pivote puesto
que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x2 para eso dividimos b/x2 y el menor valor indicara la fila pivote en este caso el menor es -
3.33 por tanto x1 seria nuestra renglon pivote
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso 1.66, x1 este sera nuestra columna pivote
puesto que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x1 para eso dividimos b/x1 y el menor valor indicara la fila pivote en este caso el
menor es 0 por tanto s3 seria nuestra renglon pivote
s3 b0.00 30.000.00 -3.330.00 9.020.00 3.330.00
0.33333333 -0.07317073 -0.20166568 0.117787030 -0.33333333 1 -0.66666667s3 b nuevo renglon -0.35772358 0.93277811 -0.62740432
0.00 32.200.00 -3.550.00 -0.660.00 3.55 -3.33333333 -0.07317073 -0.20166568 0.117787030.00 3.33333333 9.66666667 -5.66666667
nuevo renglon 3.57723577 10.3388856 -6.05929011
0s3 b b/x10.0 32.2 9.001660.0 -3.6 9.933480.0 0.0 9.024390.0 3.60.0
como en la interseccion hay un 3.57723este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo cambiandono los valores de cj-zj
0s3 b0 90 -40 00 40
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso 1.64, x1 este sera nuestra columna pivote
puesto que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x1 para eso dividimos b/x1 y el menor valor indicara la fila pivote en este caso el menor es 9.0017 por tanto s1 seria nuestra renglon pivote
1 0 10 fila pivote0 0 60-3 0 30
1 0 10 fila pivote0 1 20-1 1 10
0 -0.33333333 0 -3.33333333 fila pivote1 -3 0 301 -3 0 30
0 -0.33333333 0 -3.33333333 fila pivote0 -1 1 100 0.33333333 1 23.3333333
-0.02141582 0.06246282 0 -0.66032124 fila pivote0 -0.33333333 0 -3.33333333
-0.00713861 -0.31251239 0 -3.55344041
-0.02141582 0.06246282 0 -0.66032124 fila pivote1 -3 0 30
1.07138608 -3.2082094 0 32.2010708
PROGRAMCION LINEAL CON SOLVER: MAXIMIZACIO
X YFuncion Objetivo 3 2 33
X YVariables 3 12
Restricciones X Ya 2 1 18 18b 2 3 42 42C 3 1 21 24
ingreso total
Recurso asignado
recurso disponible
METODO SIMPLEX: MAXIMIZACION
Z x1MAXIMIZAR 3x+2y 5 2
SUJETO A
Cj 3 2 0 0 0x y s1 s2 s3 b b/x1
0 s1 2 1 1 0 0 18 90 s2 2 3 0 1 0 42 210 s3 3 1 0 0 1 24 8
z 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 3 2 0 0 0
ahora llenamos nuestra nueva tabla introducimos la nueva variable ya no seria 0s2 sino 6x3como en la interseccion hay un 3 este renglon debemos dividirlo entre el mismo y reducirlo
Cj 3 2 0 0 0x y s1 s2 s3 b
0 s1 2 1 1 0 0 180 s2 2 3 0 1 0 420 s3 1 0.33333333 0 0 0.33333333 8
z 0 0 0 0 0 0Cj-Zj 3 2 0 0 0
reducimos por gauss jordan
Cj 3 2 0 0 0x y s1 s2 s3 b
3 x10 s2 0 2.33333333 0 1 -0.66666667 260 s3 1 0.33333333 0 0 0.33333333 8 nuevo renglon
zCj-Zj
Cj 3 2 0 0 0x y s1 s2 s3 b
0,
243
4232
182
yx
yx
yx
yx
3 x1 0 0.33333333 1 0 -0.66666667 20 s2 0 2.33333333 0 1 -0.66666667 260 s3 1 0.33333333 0 0 0.33333333 8 nuevo renglon
z 3 3.33333333 4 3 2.33333333 5Cj-Zj 0 -1.33333333 -4 -3 -2.33333333
Automaticamente nuestras iteraciones acaban cuando tenemos todos los Cj-Zj son negativos o 0 pues estamos max
-2 1 0.33333333 0 0 0.33333333 8 fila pivote2 3 0 1 0 42
nuevo renglon 0 2.33333333 0 1 -0.66666667 26
miramos cual es nuestro mayor valor positivo en CJ-Zj en este caso 3, x este sera nuestra columna pivote puesto
que vamos a MAX
miramos en que posicion va a entrar x1 para eso dividimos b/x1 y el menor valor indicara la fila pivote en
este caso el menor es 8 por tanto s3 seria nuestra renglon pivote
-2 1 0.33333333 0 0 0.33333333 8 fila pivote2 1 1 0 0 18
nuevo renglon 0 0.33333333 1 0 -0.66666667 2
