INVESTIGACIN DE OPERACIONES INTEGRANTES. CATERINE GUZMAN COD. 1211100021 LINA COD. JORGE MARIO TORRES COD. 1211100029

INTRODUCCIN

la programacin una situacin determinada igualmente se presentarn los diferentes modelos, por ltimo se comenzar a dejar relacionado el escenario en donde confluyen estos tres conceptos, de tal manera que permitan dar el soporte necesario en el entendimiento del proyecto, en donde una de las caractersticas fundamentales es encontrar la correlacin (si es que existe) entre las variables que puedan definir y las variables que son alteradas de tal manera que al aplicar un modelo de optimizacin multiobjetivo.La Programacin por Objetivos es un modelo de optimizacin matemtico donde se formulan varias metas (criterios de priorizacin) como restricciones rgidas o flexibles y una funcin objetivo que busca minimizar las desviaciones de dichas metas. A su vez el Anlisis Multicriterio se utiliza para emitir un juicio comparativo entre indicadores o medidas heterogneas, lo que ser til en la comparacin de evaluaciones cualitativas y cuantitativas.

OBJETIVO

La vida similar involucra la toma de decisiones que permiten el cambio y bsqueda de compromisos. Es natural que siempre se quieran tomar las mejores decisiones, en otras palabras, que estas decisiones sean ptimas. Sin embargo muchas de estas decisiones son tomadas al azar, de forma intuitiva. Ahora bien, existen reas en donde el modelamiento matemtico y la programacin son necesarias, como lo es la ingeniera o la economa, en donde muchas decisiones son apoyadas por estos procesos que fundamentan la toma de decisiones en hechos o Comportamientos pasados que permiten, en un momento determinado, al tomador de decisiones tener un soporte modelado matemticamente Por su parte, la Investigacin Operativa se puede definir como la aplicacin de mtodos cientficos en la mejora de la efectividad en las operaciones, decisiones y gestin, o como la ciencia de aplicar los recursos disponibles para conseguir la satisfaccin ptima de un objetivo especfico deseado.JUSTIFICACINExisten numerosos que utiliza la Programacin por Objetivos y el Anlisis Multicriterio. Estas tcnicas resultan especialmente tiles en la solucin del problema dado que se pueden reprogramar fcilmente las restricciones, las variables o los parmetros, segn las modificaciones en los lineamientos de seleccin, una o varias veces, lo cual suele ser frecuente a medida que se pasa de una instancia de aprobacin a otra. Ejemplos de aplicacin en las Ciencias de la Administracin en los cuales se presentan objetivos mltiples con conflicto de intereses; El trabajo tambin busca lograr la aplicacin de conceptos tericos en escenarios reales. En este caso, se desarrolla en el marco de un convenio de prctica

ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROGRAMACIN POR METAS

En la formulacin de un modelo de programacin por metas es fijar los objetivos/ atributos, f(x), que se consideran relevantes para el problema que estemos analizando. Lo siguiente es determinar el nivel de aspiracin, t, que corresponde a cada Atributo, siendo ste el nivel de logro del atributo que el decisor considera aceptable. A continuacin, definimos las metas, es decir, los atributos combinados con niveles de aspiracin. Cada meta se convierte en una restriccin blanda a incorporar en el modelo de programacin por metas.

n: variable de desviacin negativa, cuantifica la falta de logro de una meta p: variable de desviacin positiva, cuantifica el exceso de logro de una meta

En general, la meta del atributo i-simo se escribe como: Los valores de las variables de desviacin son siempre positivas o cero, al menos una de las dos variables de desviacin que definen la meta tendr que ser cero.

Las dos variables de desviacin tomarn el valor cero cuando la meta alcance exactamente su nivel de aspiracin, ti. Una variable de desviacin se dice que es no deseada cuando al centro decisor le conviene que la variable en cuestin alcance su valor ms pequeo, es decir, cero. Cuando la meta deriva de un objetivo a maximizar o de una restriccin de tipo?, la variable de desviacin no deseada es la negativa ni. Cuando la meta deriva de un objetivo a minimizar o de una restriccin de tipo?, la variable de desviacin no deseada es la positiva pi. Cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiracin, las variables de desviacin no deseadas son tanto la positiva, pi, como la negativa, ni. Las variables de desviacin no deseadas se incorporan siempre en la funcin objetivo del modelo de programacin por metas.

En el modelo de Programacin por Objetivos existen dos tipos de restricciones funcionales: las restricciones ordinarias de Programacin Lineal (restricciones

duras o estrictas) y las ecuaciones objetivo (blandas o flexibles). Las restricciones duras requieren ser cumplidas de manera estricta. Las restricciones blandas pueden admitir desvos a la meta establecida, pero estos desvos estarn asociados a una penalizacin que se reflejar en un parmetro en la Funcin Objetivo.

a. Valor objetivo de la Meta.

El Valor de la Meta se descompone en dos elementos: (1) el valor Correspondiente al nivel de la Meta alcanzado efectivamente.

Etapas del Procedimiento para un Problema de 3 Objetivos.

1. Encontrar el mejor logro del objetivo de 1 prioridad.

2. Encontrar el mejor logro del objetivo de 2 prioridad sin comprometer el logro alcanzado del Objetivo de 1 prioridad.

3. Encontrar el mejor logro del objetivo de 3 prioridad sin comprometer el logro alcanzado del Objetivo de prioridad superior (1 y 2).

En este procedimiento, al pasar de una etapa a otra, o de un nivel de prioridad superior a un nivel inferior, las Restricciones Objetivo del nivel superior inicialmente blandas se convierten en la etapa siguiente en una restriccin dura que no admite desviaciones. Es decir que en una etapa concreta, tratar de alcanzar un objetivo inferior, no puede sacrificarse nada en el logro de una meta de prioridad superior ya resuelta en una etapa anterior. Programacin por Objetivos no secuencial.

Cada meta representa una Ecuacin Objetivo y en la Funcin Objetivo se Incluirn las variables de desvo relevantes correspondientes a cada Objetivo. Metas prioritarias. En este caso los desvos en la Funcin Objetivo sern ponderados por los coeficientes de penalizacin. Metas no prioritarias. En este caso todas las metas tienen una importancia comparable, tienen mismo nivel de prioridad y los coeficientes de penalizacin en la Funcin Objetivo son iguales a 1.

Programacin por Objetivos secuencial: existe una jerarqua de niveles de prioridad para las metas, de modo que las metas de primordial importancia reciben atencin con primera prioridad y las de importancia secundaria reciben atencin de segunda prioridad, y as sucesivamente. Los objetivos de diferente nivel de prioridad no son comparados de manera simultneamente. Programacin por Objetivos Prioritarios-No Secuenciales (Estrategia (B))

Adems de las variables de desvo en las ecuaciones objetivo ahora se introduce dos parmetros de penalizacin p1 y p2 asignados a los desvo de las Metas 1 y de la Meta 2 respectivamente:

di+ = cantidad del desvo que numricamente excede la meta

di- = cantidad del desvo que representa la brecha para alcanzar la meta

p1 = penalizacin al desvo de la meta 1 = 30

p2 = penalizacin al desvo de la meta 2 = 15

La formulacin de un modelo de Programacin Meta es similar al modelo deP.L. El Primer paso es definir las variables de decisin, despus se deben deespecificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. As, unacaracterstica de la Programacin Meta es que proporciona solucin para losproblemas de decisin que tengan metas mltiples, conflictivas einconmensurables arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de laadministracin.La Programacin Meta es capaz de manejar problemas de decisin con unasola meta o con metas mltiples. En tales circunstancias, las metasestablecidas por el tomador de decisiones son logradas nicamente con elsacrificio de otras metas.Atributo: Este concepto se refiere a valores del centro analista relacionadoscon una realidad objetiva. Estos valores pueden medirse independientementede los deseos del centro analista, siendo usualmente susceptibles deexpresarse como una funcin matemtica f(x) de las variables de decisin.Objetivos: Representan direcciones de mejora de los atributos. La mejorapuede interpretarse en el sentido (ms del atributo mejor) o bien (menos delatributo mejor). El primer caso corresponde a un proceso de maximizacin y elsegundo a uno de minimizacin de las funciones que corresponden a losatributos que reflejan los valores del centro analista.Como paso previo a la definicin de meta se introducir el concepto de nivelde aspiracin. Un nivel de aspiracin representa un nivel aceptable de logropara el correspondiente atributo. La combinacin de un nivel de aspiracin con un atributo genera una meta.

Finalmente, el trmino criterio se utiliza como un trmino general que englobalos tres conceptos precedentes (atributo, objetivo y metas). En otras palabras,los criterios constituyen los atributos, objetivos o metas que se consideranrelevantes para un cierto problema decisional. Por consiguiente, la teora de ladecisin multicriterio constituye un marco general o paradigma decisional en elque subyacen diferentes atributos, objetivos o metas.

Metas y variables de desviacinForma inicial de la meta Forma de la metatransformadaVariable de desviacin nodeseada (a minimizar)Fi(x) ti fi(x)( ni( pi = ti niFi(x) ti fi(x)( ni( pi = ti piFi(x)=ti fi(x)( ni( pi = ti ni( piFormulacin de la funcin objetivoLa funcin objetivo para un problema de programacin por meta siempre esminimizar alguna combinacin de variables de desviacin. Desde un punto devista de toma de decisiones administrativa, esto significa que se est buscandola combinacin de variables reales por ejemplo (mesas y sillas) que cumplanmejor con todos los objetivos. Esto podra llamarse optimizar un conjunto deobjetivos "satisfactorios" o satisfacer.La forma exacta de la funcin objetivo vara segn la respuesta a estas dospreguntas:1. Son conmensurables o proporcionales los objetivos?2. Cul es la importancia relativa de cada objetivo?

Objetivos conmensurables de igual importancia: este es el caso mssencillo, aunque muy pocas veces se encuentra en la prctica. Aqu losobjetivos se miden en una escala comn (conmensurables y tienen la misma importancia. Ponderacin preferente de los objetivos: las ponderaciones depreferencia pueden aplicarse a cualquier grupo de objetivosconmensurables. Las ponderaciones deben reflejar la utilidad o el valor de los objetivos.

Rango de prioridad de los objetivos: qu pasa cuando los objetivos noson conmensurables, cuando no hay una escala comn para compararlas desviaciones de los diferentes objetivos? Este es un casoimportante, al que se enfrentan con frecuencia los administradores. Si eladministrador puede ordenar o dar un rango para sus metas entonces la solucin es posible.

Quizs no sea una tarea fcil dar un rango a los objetivos de acuerdo con suimportancia pero es algo que la mayora de las personas entienden y puedenlograr. En la programacin por objetivos se le asigna la prioridad P1al objetivoms importante, siguiendo P2 a una prioridad ms baja. No existe limite en elnumero de niveles de prioridad pero debe asignarse una prioridad para cadavariable de desviacin. Se permiten empates o prioridades iguales.Los problemas de programacin por meta se resuelven en orden de prioridad.Es decir, se prueba la optimizacin en el nivel de prioridad ms alto ignorandolas prioridades ms bajas hasta optimizar este nivel.

TRES TIPOS DE METAS una meta unilateral inferior: establece un lmite inferior por abajo del que se quiere ir ( pero se aceptan desvos a la meta que deber minimizarse) Una meta unilateral superior: que establece un lmite superior que no se quiere exceder Una meta bilateral: que establece un blanco especfico que no se quiere perder hacia ningn lado.

En el modelo de programacin por objetivos existen dos tipos de restricciones funcionales: las restricciones ordinarias de programacin lineal (restricciones duras o estrictas) y las ecuaciones objetivo (blandas o flexibles)l. Las restricciones duras requieren ser cumplidas de manera estricta. Las restricciones blandas pueden admitir desvos a la meta establecida, pero estos desvos estarn asociados a una penalizacin que se reflejar en un parmetro en la funcin objetivo.

Valor objetivo meta: el valor de la meta se descompone de dos elementos: el primero el valor correspondiente al nivel de la meta alcanzado efectivamente y el segundo es el desvo o diferencia alcanzado (di):

Variables de desvo: para formalizar los desvos aceptado a cada uno de las metas se emplea las variables auxiliares (di) las que por definicin pueden obtener valores positivos o negativos. Para poder hacer operativo el modelo de programacin lineal cada di se sustituir por la diferencia de dos variables no negativas dondeEJERCICIO DE EJEMPLO

Mediante un ejemplo demostraremos como se introducen los datos para la creacin de un modelo de programacin de metas.

Ejemplo 3-1:

Formular el problema de la Planificacin de la produccin de una fbrica de papel como un problema de programacin por metas. Supngase la existencia de dos procesos, uno mecnico y otro qumico, por los que se puede obtener la pulpa de celulosa para la produccin del papel.

El modelo de programacin multiobjetivos es el siguiente:

Objetivos: Max f1(x) = 1000X1 + 3000X2 (Maximizar el margen bruto)

Min f2(x) = X1 + 2X2 (Minimizar la demanda biolgica de O2)

Restricciones rgidas iniciales:

1000X1 + 3000X2 ? 300000 (Margen Bruto)

X1 + X2 ? 400 (Empleo)

X1 ? 300 (Capacidades de produccin)

X2 ? 200

X1, X2 ? 0

Definidas las variables de decisin y los atributos/ objetivos relevantes del problema que nos ocupa, el decisor define las siguientes METAS:

g1: Para la demanda biolgica de oxgeno: un nivel de aspiracin de 300 unidades, pues desea que sea lo ms pequea posible.

g2: Para el margen bruto: alcanzar un valor lo ms grande posible, ojal mayor de 400000 u.m.

g3: Para el empleo: no desea ni quedarse corto ni contratar mano de obra adicional.

g4: El decisor no desea superar sus capacidades de produccin, lo que implicara recurrir a turnos extras.

3.3 DEFINIENDO LAS RESTRICCIONES TIPO METAS

Las restricciones quedaran de la siguiente forma:

g1: X1 + 2X2 + n1 - p1 = 300 (Demanda Biolgica de O2)

g2: 1000X1 + 3000X2 + n2 - p2 = 400000 (Margen Bruto)

g3: X1 + X2 + n3 - p3 = 400 (Empleo)

g4: X1 + n4 - p4 = 300 (Capacidades de Produccin)

g5: X2 + n5 - p5 = 200

X1, X2 ? 0 3.4 INTRODUCIENDO EL PROBLEMA

En el men Archivo (File) seleccionamos Nuevo problema (New Problem) e introducimos la informacin del problema:

Al pulsar el botn OK aparecer una nueva ventana donde procederemos a introducir los coeficientes de las variables:

Para trabajar con el mismo formato de las variables definidas en el ejemplo, activaremos la opcin Nombre de las variables (Variable Names) en el men Editar (Edit).

Los nombres de las variables se cambiarn de acuerdo al orden que en que aparecen en el problema:

Al pulsar OK en esta ventana podremos definir las metas y restricciones:

Luego de introducido el modelo se inicia el proceso de solucin, siguiendo los mismos pasos al empleado en la solucin de los modelos de programacin lineal. La solucin final se muestra en la siguiente pgina:

La ventana con el resumen de la informacin permite un anlisis detallado de cada variable.

INTERPRETANDO LA SOLUCIN

En el tablero optimal se puede observar que:

* Las toneladas de celulosa a producir por medios mecnicos son 300.

* Dado que n1 y p1 son ambas cero, la demanda biolgica de oxgeno mnima es de 300 unidades, igual al nivel de aspiracin.

* La meta 2, asociada con el margen bruto, se queda por debajo del nivel de aspiracin en cuanta de 100.000 u. m., valor que asume la variable de desviacin n2.

* La meta del empleo se fija en 100 unidades de mano de obra menos que el nivel de aspiracin que era de 400.

* Las metas 4 y 5, asociadas con los niveles mximos de produccin por cada mtodo, se fijan en 0 ton. de capacidad no aprovechada, para la 4, y de 200 para la 5.

Conocidos estos resultados, el WINQSB tambin permite el anlisis paramtrico del modelo.PROCEDIMIENTOS PARA EL ANALISIS DE PROGRAMACION POR METASMtodos de solucinSi se supone el problema de planificar la produccin de una papelera depropiedadpblica en la que existen dos posibles productos: pulpa celulosa obtenida pormediosqumicos o pulpa celulosa obtenida por medios mecnicos. Se representar por X1 y X2, respectivamente, las toneladas diarias de pulpa de celulosa obtenida por los dos mencionadosprocedimientos. Las capacidades mximas de produccin se estiman en 300 y 200 toneladas/da para cada uno de los dos tipos de pasta de celulosa. Cada tonelada de pasta de celulosa producidademandaun jornal.La empresadispone de una plantilla de 400 trabajadores, no deseando contratar mano de obra eventual. El margen bruto(ingresosmenoscostosvariables)por tonelada de pasta de celulosa obtenida por medios qumicos es de $1000 , siendo de $3000 el que se obtiene a travs de medios mecnicos Los costos fijos de la papelera se estiman en 3300 unidades/da: laempresadeseara, al menos, cubrir los costos fijos.

Las preferencias dela empresase concentran en la maximizacin del margen bruto (objetivo econmico) y el la minimizacin del dao generado en el ro en el que la papelera vierte sus residuos productivos (objetivo ambiental). Se estima que los residuos producidos por cada tonelada de pasta de celulosa obtenida por medios mecnicos y por medios qumicos generan unas demandas deoxgenoen las aguas del ro de 1 y 2 unidades. A la vista de estosdatos, la estructura matemtica del modelo multiobjetivo es la siguiente:

Se formular el modelo como un modelo de programacin por metas. Para ello, se consideran los trminos independientes no como cantidades rgidas que hay que alcanzar para que la solucin sea factible, sino como niveles de aspiracin que el centro decisor desea satisfacer en la medida de lo posible. Es decir, las restricciones rgidas iniciales se convierten en metas o restricciones (blandas) que pueden violarse sin que ello genere soluciones imposibles. Para desarrollar este ejercicio se asocia al atributodemandabiolgica de oxgeno un nivel de aspiracin de 300 unidades, a los dems atributos se les asocia como nivel de aspiracin el trmino independiente de la correspondiente restriccin rgida, excepto para el atributo margen bruto, al que se le asocia un nivel de aspiracin de 400 unidades. De esta forma, se tiene la siguiente lista de metas:

G1: X1+2X2+N1-P1=300(demanda biolgica de oxgeno)

G2:1000X1+3000X2+N2-P2=400(margen bruto)

G3: X1+X2+N3-P3=400 (empleo)

G4: X1+N4-P4=300(capacidad de produccin)

G5: X2+N5-P5=200(capacidad de produccin)

Seguidamente, se pasa a determinar las variables de desviacin no deseadas. Para la meta G1 la variable de desviacin no deseada sera la P1, pues obviamente se desea alcanzar una demanda biolgica de oxgeno lo ms pequea posible (de ser posible menor de 300 unidades). Para la meta G2 la variable de desviacin no deseada ser la N2, pues se desea alcanzar un margen bruto lo ms grande posible (de ser posible mayor de 400 u). Para la meta G3 se supone que al centro decisor no le interesa ni quedarse corto con respecto al nivel de aspiracin (mano de obra ociosa), ni quedarse largo (contratacin adicional de mano de obra), en tal caso, tanto N3 como P3 son variables de desviacin no deseadas, finalmente, el centro decisor no desea superar sus capacidades de produccin, lo que implicara recurrir a turnos extraordinarios, en consecuencia, las variables P4 y P5 son no deseadas.

Una vez determinadas las variables de desviacin no deseadas, el paso siguiente en la formulacin de un modelo de programacin por metas consiste en proceder a la minimizacin de dichas variables. Elprocesode minimizacin puede acometerse de diferentes maneras. Puede decirse que cada una de estas maneras origina una variante de la programacin por metas. Seguidamente se pasa a exponer las variantes ms utilizadas.

1. Programacin por metas ponderadas

La manera ms intuitiva de acometer la minimizacin de las variables de desviacin no deseadas consiste en minimizar la suma de dichas variables. As, para nuestro ejemplo, tendramos que proceder a minimizar la siguiente suma:

MIN P1 + N2 + N3 + P3 + P4 + P5 (4)

Ahora bien, la expresin (4) carece de significado y no debe de utilizarse como surrogado de las preferencias del centro decisor por las siguientes razones. La expresin (4) suma variables de desviacin medidas en unidades diferentes (unidades monetarias, nmero de jornales, toneladas de pasta de papel, etc.) por lo que su suma no tiene significado, es como si sumramos (caa decervezacon kilos de patatas). Adems, comolos valoresabsolutos de los niveles de aspiracin son muy diferentes, la minimizacin de (4) puede producir soluciones sesgadas hacia un mayor cumplimiento de las metas con niveles de aspiracin elevados. Ambos problemas pueden evitarse si en vez de minimizar una suma de desviaciones absolutas procedemos a minimizar una suma de desviaciones porcentuales. As, la expresin (4) se convierte en:

Min. P1/300 + N2/400 + (N3+P3)/400 + P4/300 + P5/200 (5)

En efecto, como los porcentajes carecen de dimensin, la suma dada por (5) no presenta problema de homogeneidad. Adems, elprocedimientode normalizacinempleado elimina cualquier sesgo hacia el cumplimiento de metas con niveles de aspiracin elevados. No obstante, la expresin (5) presenta todava Un problema para poderla considerar un surrogado de las preferencias del centro decisor, en efecto, en la formulacin dada por (5) subyace el supuesto de que el centro decisor da la misma importancia al logro de todas las metas, lo cual no tiene necesariamente que ser cierto. Este problema puede superarse sustituyendo la expresin (5) por:

Min. W1 P1/300 + W2 N2/400 + W3 (N3+P3)/400 + W4 P4/300 + W5 P5/200.

Donde los coeficientes W ponderan la importancia relativa que el centro decisor asigna a la realizacin de cada meta. Estemtodoconsiste en minimizar la suma ponderada de las variables de desviacin no deseadas, expresadas en trminos porcentuales, se conoce en laliteraturacon el nombre de programacin ponderada. Para nuestro ejemplo, a formulacin completa del modelo de metas ponderadas sera el siguiente:

Min W1 P1/300 + W2 N2/400 + W3 (N3+P3)/400 + W4 P4/300 + W5 P5/200

Sujeto a:

G1: X1 + 2X2 + N1 - P1=300

G2: 1000X1 + 3000X2 + N2 - P2=400

G3: X1 + X2 + N3 - P3=400

G4: X1 + N4 - P4=300

G5: X2 + N5 - P5=200

Algortmicamente, la estructura del modelo (5) corresponde a la de un modelo de programacin lineal tradicional que puede resolverse de una manera inmediata recurriendo al Simplex. Para diferentessistemasde pesos se irn generando distintas soluciones. As, si hacemos W1=...=W5=1, esto es, si el centro decisor asigna la misma importancia a la realizacin de las diferentes metas, se obtiene la siguiente solucin ptima:N1=0 X1=300 X2=33,33

N3=66,66 P1=66,66 N2=P2=0

P3=0 N4=P4=0

N5=166,66 P5=0

La solucin obtenida permite la completa realizacin de la meta G2 (margen bruto), G4 y G5 (capacidades de produccin). Por el contrario, en lo referente a la meta G1, se supera la demanda biolgica de oxgeno deseada en 66,66 unidades y en cuanto a la meta G3, no se utilizan 66,66 jornales de los 400 disponibles obviamente, los anlisis basados enmodelosde programacin por metas pueden enriquecerse considerablemente, sometiendo los pesos preferenciales a un anlisis de sensibilidad. De esta manera, para cada conjunto de pesos ensayados se obtendr la solucin ptima del modelo que mejor se adecua a la estructura de preferencias del centro decisor que surroga el correspondiente conjunto de pesos.

2. Programacin por metas lexicogrficas.

En la programacin por metas lexicogrficas, las metas situadas en la prioridad ms alta se satisfacen en la medida de lo posible, solo entonces se considera la posible satisfaccin de metas situadas en prioridades ms bajas. Es decir, las preferencias se ordenan igual que las palabras en un lxico o diccionario, de ah la denominacin de programacin por metas lexicogrficas.

Con el objetivo de ilustrar la estructura de este enfoque, supongamos que para el centro decisor la prioridad primera Q1 est formada por las metas G4 y G5. Esto es, para el centro decisor las primeras metas que se deben satisfacer de una manera absoluta y excluyente son las que pretendan garantizar que no se superen las capacidades de produccin de la fbrica. La siguiente prioridad en orden de importancia Q2 est formada por la meta G1, que pretende que elplande produccin genere una demanda biolgica de oxgeno de, como mximo, 300 unidades. La prioridad Q3 est formada por la meta G2, que pretende alcanzar un margen bruto de al menos 400.00 u. Finalmente, la ltima prioridad Q4, est formada por la meta G3, que pretende utilizar, exactamente, la fuerza de trabajo disponible. Consecuentemente, el proceso completo de minimizacin lexicogrfica de las variables de desviacin no deseadas se traduce en el siguiente vector:

LEX MIN a=[(P4+P5);( P1);(N2);(N3+P3)]Sujeto a:

Q2 G1: X1 + 2X2 + N1 - P1=300

Q3 G2: 1000X1 + 3000X2 + N2 - P2=400

Q4 G3: X1 + X2 + N3 - P3=400

Q1 G4: X1 + N4 - P4=300

Q1 G5: X2 + N5 - P5=200

Esta programacin por metas lexicogrficas puede resolverse recurriendo a algunos de losmtodosde resolucin que, con mayor o menor detalle, se expondrn en los prximos apartados. Recurriendo a cualquiera de estosmtodosse obtiene la siguiente solucin ptima.

X1=100 , X2=100

N1=P1=N2=P2=0

N3=200 P3=0

N4=200 P4=0 N5=100 P5=0

Con el siguiente vector de logro ptimo:

A* =[0,0,0,200].

La solucin obtenida permite el logro completo de las metas G1,G2 y G5 que forman las tres primeras prioridades. Con respecto a la meta G3, que forma la ltima prioridad, existe una desviacin negativa de 200 jornales; es decir, en la solucin lexicogrficamente ptima, se satisfacen todas las metas excepto la referente a la utilizacin de toda la fuerza de trabajo, quedando 200 jornales sin utilizar.

Es interesante observar que, aunque las variables P4 y P5 estn medidas en las mismas unidades (toneladas/da) y por tanto su suma tiene pleno sentido, sin embargo, como sus correspondientes niveles de aspiracin alcanzan valores diferentes, en rigor el trmino P4+P5 de la funcin de logro debera de sustituirse por el trmino (P4/300)+(P5/200), tal como se apunt en el apartado anterior. Asimismo, es til comparar las soluciones que han generado los modelos de metas ponderadas y de metas lexicogrficas. En el caso del modelo basado en metas ponderadas, la suma de las variables de desviacin no deseadas en el ptimo es igual a P1+N3=66,66+66,66=133,32, mientras que en el modelo lexicogrfico dicha suma es mayor: N3=200. Esta diferencia eslgica, pues la mayor desviacin generada por el modelo lexicogrfico queda compensada por un mayor nivel de realizacin de la meta G1( P1=0 en el modelo (6), mientras que P1=66,66 en el modelo (5)) situado en la segunda prioridad.EL METODO SECUENCIAL PARA RESOLVER PROGRAMAS LEXICIGRAFICOS.Este mtodo consiste en resolver una secuencia de programas lineales. El primer programa lineal de la secuencia minimiza la primera componente del vector de logro, sujeta esta minimizacin a las restricciones (igualdades) correspondientes a la prioridad Q1. El segundo programa lineal minimiza la segunda componente de la funcin de logro sujeta tanto a las restricciones correspondientes a las prioridades Q1 y Q2, como a los valores de las variables de desviacin de la prioridad q1 que se obtuvieron en la solucin precedente. El procedimiento secuencial contina hasta resolver el ltimo programa lineal.Primer problema (primer nivel de prioridad)

Minimizar a1=P4+P5

Sujeto a:

X1 + N4 - P4=300

X2 + N5 - P5=200

Existen ptimos alternativos para las variables de decisin (1*) y para P4=P5=0.

La existencia de ptimos alternativos se puede comprobar fcilmente por inspeccin de la tabla final del simplex. As, si en esta tabla para al menos una variable no bsica su costo reducido es cero, entonces existen ptimos alternativos.

Segundo problema (segundo nivel de prioridad)

Minimizar a2=P1

Sujeto a:

X1 + N4=300

X2 + N5=200

X1 + 2X2 + N1 - P1=300

Nuevamente existen ptimos alternativos para las variables de decisin y P1=0

Tercer problema (tercer nivel de prioridad).

Minimizar a3=N2

Sujeto a:

X1 + N4=300

X2 + N5=200

X1 + 2X2 + N1=300

1.000X1 + 3.000X2 + N2 - P2=400.000

Vuelven a existir ptimos alternativos para las variables de decisin y N2=0

Cuarto problema (cuarto nivel de prioridad).

Minimizar a4=N3 + P3

Sujeto a:

X1 + N4=300

X2 + N5=200

X1 + 2X2 + N1=300

1.000X1 + 3.000X2 - P2=400.000

X1 + X2 + N3 - P3=400La solucin ptima de este programa lineal, y de todo el modelo lexicogrfico es: X1=100,X2=100,N3=200, en lo referente a variables de decisin y variables de desviacin no deseadas no nulas; se reproduce la solucin ofrecida al final del ejercicio planteado como programacin por metas lexicogrficas.En definitiva, el mtodo secuencial expuesto exige resolver una secuencia de programas lineales cuyo nmero mximo coincide con el nmero de niveles de prioridad que tenga el modelo. El nmero de programas lineales a resolver se reducir, cuando al resolver uno de ellos no se detecte la existencia de ptimos alternativos; en tal caso, el proceso de clculo se detiene no siendo necesario resolver los programas lineales.PROBLEMA DE APLICACION PROBLEMAS DE TRANSPORTE.La Mercury Distributing Company suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde bodegas diferentes. Durante el perodo de planeacin considerado, la compaa no puede cumplir la demanda de los clientes los cuales deben satisfacerse a expensas de otros. Para evitar desequilibrios serios, es importante balancear la porcin de demanda satisfecha entre ciertos clientes. Tambin debido a acuerdos sindicales, la compaa debe satisfacer ciertos requisitos mnimos en los niveles de embarque en ciertas rutas. Finalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podra embarcar el producto son peligrosas y deben evitarse.

El problema de transporte se resume a continuacin, los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los mrgenes. Note que la demanda total excede al suministro en 1.500 unidades.

De a cliente 1 cliente2 cliente 3 suministro

Bodega 1 10 4 12 3.000

Bodega 2 8 10 3 4.000

Demanda 2.000 1.500 5.000 8.500 7.000

La administracin ha expresado las siguientes preferencias de las metas en el orden decreciente de importancia (P1= ms importante):

P1. Satisfacer la demanda total del cliente 3(entrega garantizada).

P2. Satisfacer por lo menos el 75% de la demanda de cada cliente.

P3. Minimizar el costo de transporte para los artculos embarcados.

P4. Embarcar por lo menos 1.000 unidades en la ruta de la bodega 2 al cliente 1 (convenio sindical9.

P5. Minimizar el costo de embarque en las rutas de la bodega 1 al cliente 3 y de la bodega 2 al cliente 2 (peligros).

P6. Balancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes 1 y 2.

Formulacin del modelo. Se definen las siguientes variables:

Xij= nmero de unidades embarcadas de la bodega i al cliente j.

Ni= sublogro de la meta en la restriccin i-sima.

Pi= sobrelogro de la meta en la restriccin isima.

1. restricciones de suministro. El suministro se restringe a la capacidad de la bodega, por tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de suministro.

X11 + X12 + X13 + N1=3.000

X21 + X22 + X23 + N2=4.000.

2. restricciones de demanda. Supongamos que la compaa nunca desea sobrecumplir la demanda del cliente. Por tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de demanda. Sin embargo, las desviaciones negativas deben incluirse para identificar el sublogro de las metas de demanda, pues la demanda total excede el suministro total.

X11 + X21 + N3=2.000

X12 + X22 + N4=1.500

X13 + X23 + N5=5.000.

3.meta de convenio sindical. El convenio sindical expresa que al menos 1.000 unidades deben embarcarse de la bodega 2 al cliente 1. La variable N6 representa una desviacin negativa de esta meta, mientras que la variable P6 es la cantidad de sobrelogro de la meta.

X21 + N6 - P6=1.000

4.mnima meta de demanda satisfecha. Para evitar desequilibrios grandes de satisfaccin de demanda entre los clientes, se incluye una meta de satisfaccin de por lo menos el 75% de la demanda de cada uno de los clientes. Las restricciones adecuadas, incluyendo variables de desviacin son las siguientes:

X11 + X21 + N7 - P7=1.500

X12 + X22 + N8 - P8=1.125

X13 + X23 + N9 - P9=3.750.5.meta de peligros en la carretera. Debido a los peligros de la carretera, la Compaa desea minimizar el embarque desde la bodega 1 al cliente 3 y desde la bodega 2 al cliente 2. Por tanto, el nivel de meta para estas restricciones e fija en cero y se minimizan P10 y P11.

X13 - P10=0

X22 - P11=0.

6. meta de balance a clientes. La compaa desea transportar cantidades a los clientes 1 y 2 tales que una proporcin igual de la demanda de cada una sea satisfecha. Esto se puede expresar por

(X11+X21)/2.000 = (X12+X22)/1.500.

As, trasponiendo e incorporando variables de desviacin, la restriccin meta se convierte en

X11 - 1,33X12 + X21 - 1,33X22 + N12 - P12=0.

7. meta del costo de transporte. Puesto que la compaa desea minimizar el costo total de transporte, se impone una meta de cero y se hace un intento por minimizar la desviacin positiva de este valor de la meta perseguida.

10X11 + 4X12 + 12X13 + 8X21 + 10X22 + 3X23 - P13=0.

8. funcin objetivo.Minimizar Z=PR1(N5)+PR2(N7+N8+N9)+PR3(P13)+PR4(N6)+PR5(1.2P10+P11)+PR6(N12+P12).Note que para PR5, P10 tiene un coeficiente de 1,2, pues el costo de embarque de la bodega 1 al cliente 3 (c=12) es 1,2 veces mayor que el costo de embarque de la bodega 2 al cliente 2(c=10).

Aplicacin 3 Anlisis de portafolioLa Sentinal Finance Company, una compaa pequea, desea invertir en cuatro acciones de valores. El costo de cada una y la tasa de retorno pronosticada de cada una por cinco analistas de la compaa se presentan a continuacin:

Valor 1 Valor 2 Valor 3 Valor 4

Costo $ 30,00 $45,00 $ 27,00 $ 53,00

Pronstico 1 3,00 13,00 4,00 25,00

Pronstico 2 1,00 4,50 0,60 15,00

Pronstico 3 2,75 1,75 2,75 20,00

Pronstico 4 4,50 5,00 1,90 5,00

Pronstico 5 3,25 2,75 3,75 35,00

Retorno esperado 2,90 5,40 2,60 20,00

($ / accin )

Adems, la compaa financiera no deseara invertir ms de $100.000. Sentinal tiene las metas siguientes para su portafolio de inversiones:

P1: Lograr un retorno esperado de 10% de la cantidad invertida.

P2: Alcanzar un riesgo mnimo (que se mide como la desviacin absoluta de los retornos esperados; un subrogado de la varianza)P3: Invertir 10% de la inversin total en el valor 4

P4: Invertir un mximo de $100.000

Formulacin del Modelo.El problema de portafolio puede formularse como un problema de programacin meta de la manera siguiente:

1.Restriccin en el retorno esperado. Puesto que el retorno esperado perseguido es 10%, se consideran tanto desviaciones positivas como negativas en las restricciones, esto es

2,90 x1 + 5,40 x2 + 2,60 x3 + 20,00 x4 + n1 p1 = 0,10 (30 x1 + 45 x2 + 27 x3 + 53 x4), que se simplifica para obtener

0,10 x1 + 0,90 x2 0,10 x3 + 14,70 x4 + n1 p1 = 0 ,

Donde Xj = nmero de acciones invertidas en el valor j

n1 = cantidad en que sublogra el retorno esperado

p1 = cantidad en que se sobre logra el retorno esperado

2-Restricciones de minimizacin del riesgo0,10 x1 + 7,60 x2 + 1,40 x3 + 5,00 x4 + n2 p2 = 0

- 1,90 x1 0,90 x2 2,00 x3 5,00 x4 + n3 p3 = 0

- 0,15 x1 3,65 x2 + 0,15 x3 + 0,00 x4 + n4 p4 = 0

1,60 x1 0,40 x2 0,70 x3 15,00 x4 + n5 p5 = 0

0,35x1 2,65 x2 + 1,15 x3 + 15,00 x4 + n6 p6 = 0

Donde n2, . . . , n6 = cantidad de desviacin negativa con respecto a la meta de cero

p2, . . . , p6 = cantidad de desviacin positiva respecto a cero

La restriccin de riesgo, medida como el valor absoluto de las desviaciones de los retornos pronosticados de un valor con respecto a su retorno medio pronosticado, se determina de la tabla anterior de pronsticos. Por ejemplo, la primera restriccin en esta seccin se determina como sigue. Primero, determine las desviaciones de los retornos pronosticados por el primer analista con respecto a los retornos medios esperados para los valores del 1 al 4. Las desviaciones totales deseadas de estos pronsticos (multiplicadas por las acciones desconocidas invertidas en cada valor, Xj) deben ser iguales a cero, para minimizar el riesgo, como las desviaciones pueden estar por encima o por debajo de cero se incluyeron tanto las positivas como las negativas en estas restricciones

3 Restriccin de inversin en el valor 453,00 x4 = 0,10 ( 30,00 x1 + 45,00 x2 + 27,00 x3 + 53,00 x4 ) n7 + p7

- 3,00x1 4,50 x2 2,70 x3 + 47,70 x4 + n7 p7 =0

Donde n7=cantidad que falta para lograr invertir el 10% de los fondos invertidos en el valor 4

p7=cantidad sobre lograda de esa meta

Esta restriccin plantea que se quiere invertir exactamente 10% de los fondos invertidos en el valor 4; por tal razn se han incluido las desviaciones positivas y negativas, y estarn presentes en la funcin objetivo

4 Restriccin de inversin total30 x1 + 45 x2 + 27 x3 + 53 x4 + n8 = 100.000

Donde n8 = cantidad en que no se satisface la meta

Solo se incluy la variable de desviacin negativa porque la restriccin se limita a la cantidad de fondos disponibles

Modelo de Programacin Meta ResumidoMinimizar Z = P1 (n8) + P2 (n1 + p1) + P3 (n2 + p2 + n3 + p3 + n4 + p4 + n5 + p5 + n6 + p6) + P4 (n7 + p7)-0,10 x1 + 0,90 x2 0,10 x3 + 14,70 x4 + n1 p1 = 0

0,10 x1 + 7,60 x2 + 1,40 x3 + 5,00 x4 + n2 p2 = 0

-1,90 x1 0,90 x2 2,00 x3 5,00 x4 + n3 p3 = 0

-0,15 x1 3,65 x2 + 0,15 x3 + 0,00 x4 + n4 p4 = 0

1,60 x1 0,40 x2 0,70 x3 15,00 x4 + n5 p5 = 0

0,35 x1 2,65 x2 + 1,15 x3 + 15,00 x4 +n6 p6 = 0

-3,00 x1 4,50 x2 2,70 x3 + 47,70 x4 + n7 p7 = 0

30,00 x1 + 45,00 x2 + 27,00 x3 + 53,00 x4 + n8 = 0

Todo Xj , Ni , Pi >= 0

Para resolver un problema multicriterio por programacin lineal, una de las metas tendra que escogerse y formularse en la funcin objetivo. Esta sera la meta de menor importancia. Las metas restantes necesitaran ser incorporadas en las restricciones del modelo. El algoritmo simplex sera para seleccionar una solucin ptima que satisficiera primero todas las restricciones, y solamente se preocupara posteriormente en la optimizacin de la funcin objetivo. Si no existe solucin que satisfaga todas las restricciones, la meta en la funcin objetivo se tendra que eliminar y formular un nuevo problema de programacin lineal.

La nueva formulacin contendra entonces en la funcin objetivo la siguiente meta de menor importancia. Este proceso continuara hasta obtener una solucin factible.

Las caractersticas claves de un problema de programacin meta son:

las metas se satisfacen en el orden de prioridad establecido por el tomador de decisiones.

Las metas no necesitan satisfacerse exactamente sino tan cerca como sea posible.

El modelo de programacin meta se puede expresar en general en la forma siguiente:

Minimizar Z=SWi(Pi+Ni)

Sujeto aSaij +N P = bi

Xj, Ni, Pi0, toda i, j

Donde Xj es la variable de decisin j.

Wi es la prioridad asignada a la meta i

Ni es el grado de sublogro de la meta i.

Pi es el grado de sobrelogro de la meta i.

La principal diferencia entre la programacin meta y la programacin lineal, es que en la programacin lineal todos los objetivos excepto el ms dbil deben satisfacerse exactamente, mientras que para la programacin meta cada meta debe satisfacerse hasta donde sea posible.

Si se desea lograr una meta exactamente, tanto las variables de desviacin como las variables que indican la cantidad de sublogro de la meta deben incluirse en la funcin objetivo que se debe minimizar. Si se debe evitar el sublogro, la variable de desviacin correspondiente al sublogro debe incluirse en la funcin objetivo, pero la del sobrelogro podra eliminarse.

Por ejemplo, si uno desea hacer que la suma de dos variables X1 y X2 sea igual a 100, la restriccin podra formularse as:

X1 + X2 + N1 - P1=100

Aqu N1>0 indicara que la suma X1 y X2 sera menor que 100 y P1>0 indicara que la suma sera mayor que 100. Para un logro exacto de la funcin objetivo (para minimizar) tendra que incluirse tanto P1 como N1. Para evitar el sublogro, solamente la variable N1 aparecera en la funcin objetivo.

Los factores de prioridad preestablecidos son los coeficientes asociados con las desviaciones en cada meta en la formulacin de programacin meta. Tienen la prioridad de que, si la meta i es ms importante que la meta j, el factor Pi ser mucho mayor que Pj. Esto significa que an si las desviaciones de la meta j son muy grandes comparadas con las desviaciones de la meta i, el mtodo simplex minimizar la funcin objetivo de acuerdo a la desviacin de la meta i.

La ponderacin cardinal puede ser usada (1) para indicar el valor relativo de las metas, uno podra asignar un factor de prioridad 3Pi a una meta tres veces ms importante que la meta i, o (2) para indicar la importancia relativa del sobrelogro versus el sublogro de una meta. Si los pesos cardinales se asignan a las metas o prioridades, el problema puede resolverse como un programa convencional lineal.

En general, una solucin simplex a problemas de programacin meta es similar a problemas de programacin lineal. Sin embargo, en el caso de programacin meta, debemos trabajar en la funcin objetivo con factores de prioridad en lugar de pesos. El resultado de estos es que los trminos de la fila de evaluacin (Zj Cj), en general, son trminos que contienen uno o ms factores de prioridad. As, en la programacin meta, para escoger las variables que entran a la base, buscamos el trmino (Zj Cj) que contenga el valor positivo ms alto en el factor de prioridad ms alto que permanezca. Solamente despus de que los trminos ms altos de prioridad Zj -Cj tomen valores no positivos, consideramos los trminos de baja prioridad. En la programacin meta, los trminos Zj Cj son vectores, mientras que en la programacin lineal son escalares.

La programacin meta es aplicable en las siguientes reas:

MERCADEO. Donde las metas conflictivas podran ser: maximizar la participacin del mercado, minimizar los costos de publicidad, maximizar el margen de gananci8a por artculo vendido.

CONTROL DE INVENTARIOS. Donde es necesario minimizar el nmero de faltantes y minimizar el costo de almacenaje.

PRODUCCION. Donde es necesario minimizar el costo de fabricacin, maximizar el control de calidad, y maximizar la utilizacin de recursos.

Un mtodo para obtener la clasificacin de importancia es la comparacin por pares. Al tomador de decisiones se le presentan todos los pares posibles y se le pregunta, qu meta de cada par es ms importante. A cada meta se le da una clasificacin basada en el nmero de veces que la meta tiene la clasificacin ms alta en las comparaciones por pares. Si el tomador de decisiones es consistente, la meta ms importante debera tener el rango ms elevado en las n-1 comparaciones apareadas (donde n es el nmero de metas), la siguiente mejor deber tener la clasificacin ms lata en n-23 metas y as sucesivamente.

CONCLUSIN:

Las metodologas de programacin por metas (programacin por objetivos) permiten determinar el grupo ptimo de proyectos de inversin para diferentes niveles disponible al mismo tiempo que maximiza la contribucin a las metas. Sin embargo, aunque el objetivo haya sido maximizar todos los atributos, en este ejercicio, la decisin de inversin depende de las consideraciones de los responsables de dicha decisin, por lo que se es susceptible a evaluaciones subjetivas.

BIBLIOGRAFIAS

THA, Hamdy A. Investigacin de operaciones. Editorial Alfaomega, 5 edicin1.995.EPPEN, Gould y Schimidt. Investigacin de operaciones en las Ciencias deIngeniera. Editorial Prentice may, 3 edicinGALLAGHER, Watson. Mtodos Cuantitativos para la Toma de decisiones.Editorial McGraw HillSHAMBLIN, James. Investigacin de Operaciones.

REVISIN DE LAS METODOLOGAS DE PROGRAMACIN POR METAS

(PROGRAMACIN POR OBJETIVOS)

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

INTEGRANTES.

CATERINE GUZMAN

COD. 1211100021

LINA SHIRLEY LADINO

COD.1211710069

JORGE M. TORRES

COD. 1211100029

POLITCNICO GRAN COLOMBIANO