Facultad: Fissic-Idea

Curso: control y evaluación de proyectos

Hora: 6:00-7:00 Pm

Centro: Central

Tutor: Rudy Orellana

Costo y Optimización de la red

Observaciones

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Nombre: Hans Franklin Henguelberth Galvez Solloy

Carne: 1010453

FECHA: 10/02/11

Introducción-------------------------------------------------------------------------------1

Contenido--------------------------------------------------------------------------------3-16

Conclusiones------------------------------------------------------------------------------17

Anexos-------------------------------------------------------------------------------------18

Bibliografia--------------------------------------------------------------------------------19

Las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes, Con el objetivo de encontrar la ruta mas corta Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica, algoritmo o el modelo adecuado es el de la ruta más corta; aunque existen otros modelos de redes como el árbol de expansión mínima, flujo máximo y flujo de costo mínimo cada uno abarca un problema en particular. En este trabajo se mencionan los modelos de redes existentes y los problemas que abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solución optima al problema. Utilizando la terminología utilizada para representarlos como una red.

Los modelos de redes y los programas de números enteros son aplicables para una gran variedad de modelos decisión. Algunos de estos problemas de decisión son realmente problemas físicos, tales como el transporte o flujo de bienes materiales. Muchos problemas de redes son mas que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto gerencial. Estos problemas son ilustrados fácilmente utilizando los arcos de redes, y los nodos.

Los programas lineal estándar asumen que las variables de decisión son continuas. Sin embargo, en muchas aplicaciones, los valores de fracciones podrían ser de poco uso así como es mostrado en algunas aplicaciones útiles.

MODELOS DE REDES

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:

Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión). Modelo de la ruta más corta. Modelo del flujo máximo. Modelo del flujo del costo mínimo.

Introducción a los Modelos de Redes

Los modelos de redes son aplicables a una extensa variedad de problemas de decisión, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimización de redes que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos. Algunos de estos problemas de decisión son realmente problemas físicos, tales como el transporte o flujo de bienes materiales. Sin embargo, muchos problemas de redes son mas que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto gerencial.

La familia de redes de los problemas de optimización incluye los siguientes prototipos de modelos: Problemas de asignación, camino crítico, flujo máximo, camino mas corto, transporte y costo mínimo de flujos. Los problemas son establecidos fácilmente mediante el uso de arcos de redes y de los nodos.

¿Que es un Nodo? Es usualmente llamado vértice, o punto. Es usualmente representado por un circulo. En las redes de transporte, estos deberían ser las localidades o las ciudades en un mapa.

¿Que es un Arco? Es usualmente llamado borde o flecha. Este podría ser directo o indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y la cola son nodos que pueden estar tanto al origen como al final. En las redes de transporte, los arcos podrían ser

los caminos, los canales de navegación en un río, o los patrones de vuelo de un avión. Los arcos proporcionan la conectividad entre los nodos. Una calle de una sola dirección podría ser representada por un arco, mientras que una calle de dos direcciones podría representada por un arco sin dirección o por dos arcos que apuntan a direcciones opuestas.

Una red con n nodos podría tener tantos arcos como n! /[(n-2)! 2!] = n(n-1)/2. Si están dirigidos, este número pudiese ser doble. Este enorme número de arcos posibles es una de las razones del porque existen soluciones de algoritmos especiales para problemas de redes particulares.

Los modelos de transporten juegan un papel importante en la gerencia logística y en la cadena de insumos para reducir costos y mejorar servicios. Por lo tanto, el objetivo es encontrar la manera más efectiva en termino de costos para transportar bienes.

Modelo de minimización de redes

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Modelo de Flujo Máximo

Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Características:

1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.

2. Los nodos restantes son nodos de trasbordo.3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde

la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.

4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

Modelo de la ruta más corta

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.

Algoritmo de la ruta más corta:

1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.)

2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.)

3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)

4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más

cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

DEL FLUJO DE COSTO MÍNIMO

El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Igual que el problema del flujo máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo.

A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo:

1. La red es una red dirigida conexa.2. Al menos uno de los nodos es nodo fuente.3. Al menos uno de los nodos es nodo demanda.4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo.5. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde

la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.)

6. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.

7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.

8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío.)

Ejemplos para aplicar

Un distribuidor que tiene m depósitos con un abastecimiento de productos ai ith en ellos, debe enviar dichos productos a n centros minoristas geográficamente dispersos, cada uno con una demanda de clientes dada ej, la cual debe ser cubierta. El objetivo es determinar el mínimo costo posible de transporte dados los costos por unidad de transportar entre el ith depósito y el jth centro minorista, el cual es Cij.

En el problema siguiente el objetivo es encontrar la forma mas efectiva de transportar los productos. Tanto como la oferta y la demanda en cada fuente se encuentra determinada. Por ejemplo, la fuente (u origen) 3 tiene 800 unidades disponibles mientras que el destino 1 necesita por lo menos 1100 unidades. Cada ruta desde un origen a un destino se le asigna una unidad de costo de transporte.

Utilizando el paquete de programación lineal, la solución proporciona la cantidad a ser enviada desde una fuente de origen a un destino. Los resultados son::

Enviar 850 unidades desde la fuente 1 al destino 1 Enviar 350 unidades desde la fuente 1 al destino 2 Enviar 250 unidades desde la fuente 2 al destino 1 Enviar 750 unidades desde la fuente 2 al destino 4 Enviar 50 unidades desde la fuente 3 al destino 2 Enviar 750 unidades desde la fuente 3 al destino 3

El costo total de envío es $84000.

Problema de Asignación

Normalmente, se tienen un grupo n de “concursantes” aplicando para n “empleos”, y el costo no-negativo Cij de asignar el iésimo concursante al jésimo empleo es conocido. El objetivo es asignar un empleo a cada concursante de tal forma de alcanzar el costo total mínimo posible. Defina las variables binarias Xij con un valor de 0 o 1. Cuando Xij = 1, significa que deberíamos asignar al concursante i el empleo j. De lo contrario, (Xij = 0), no deberíamos asignar al concursante i el empleo j.

El problema de asignación es un caso especial del problema de transporte, el cual ocurre cuando cada oferta es 1 y cada demanda es 1. En este caso, la integración implica que cada oferente asignará un destino y cada destino tendrá un oferente. Los costos proporcionan las bases para la asignación correspondiente a un oferente y un destino.

Suponga que queremos imponer la condición de que la persona i no debería realizar el trabajo j, o que la persona k no debería realizar el trabajo m. Esto significa que Xij.Xkm = 0. Esta condición no-lineal es equivalente a la restricción lineal Xij + Xkm 1. Esta restricción debería ser agregada al conjunto de restricciones como una restricción aparte. Con esta restricción adicional, el problema de asignación se convierte en una programación lineal integral, el cual puede ser resuelto por muchos software tales como LINDO ó QSB.

En el problema siguiente, el objetivo es asignar personas a labores particulares mientras se minimiza el costo total. La función objetivo considera el costo que implica que cada persona realice una actividad en particular. La restricción dice que cada persona debe ser asignada a una actividad, y cada actividad debe ser asignada a solo una persona.

Luego de correr el problema en cualquier paquete que proporcione soluciones de programación lineal, los resultados son:

Persona 1 debería ir al trabajo 3 Persona 2 debería ir al trabajo 4 Persona 3 debería ir al trabajo 5 Persona 4 debería ir al trabajo 1 Persona 5 debería ir al trabajo 2

El costo total es $55.

El Problema del Camino mas Corto

El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma mas económica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo Cij asociado con cada arco (i a j) en la red. Formalmente, el problema del camino mas corto (CC) es encontrar el camino mas corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma de los costo de cada arco recorrido. Defina las variables binarias Xij, donde Xij =1 si el arco (i a j)es sobre el CC y Xij = 0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo es encontrar el camino mas corto entre el origen y el destino.

El la red siguiente, varios costos son asignados para el camino que va de un nodo a otro. Por ejemplo, el costo de ir desde el nodo 2 al 4 es 6. La función objetivo considera los costos de moverse de un nodo a otro, o de un origen a un destino. Las restricciones están divididas en tres grupos. La restricción del nodo de origen dice que debe dejar el nodo 1 para ir al 2 o 3. La restricción del nodo intermedio dice que si siempre que se dirija a un nodo usted deberá dejar ese nodo. El nodo de destino es similar al nodo de origen dado que se puede alcanzar este nodo solo desde los nodos vecinos.

Considere la siguiente red dirigida (para una red indirecta, haga que los arcos estén dirigidos en ambas direcciones, luego aplique la misma formulación. Note que en este caso usted tiene Xij y Xji variables). El objetivo es encontrar el camino mas corto desde el nodo 1al nodo 7.

Luego de correr el problema en cualquier paquete que solucione programación lineal, los resultados son:

Ir desde 1 hasta el 3 Ir desde 3 hasta el 5 Ir desde 5 hasta el 6 Ir desde 6 hasta el 7

Este es el camino mas corto con un total de 22 unidades de longitud.

Problema del Flujo Máximo

En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m.

En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una dirección en particular también es mostrada en cada ruta.

Luego de resolver este problema de PL mediante el uso de LINDO (entre otros software), obtenemos los siguientes resultados:

Enviar 10 unidades de 1 a 2 Enviar 7 unidades de 1 a 3 Enviar 3 unidades de 2 a 6 Enviar 7 unidades de 2 a 4 Enviar 4 unidades de 3 a 6 Enviar 6 unidades de 3 a 5 Enviar 7 unidades de 4 a 7 Enviar 8 unidades de 5 a 7 Enviar 3 unidades de 6 a 3 Enviar 2 unidades de 6 a 5 Enviar 2 unidades de 6 a 7

El flujo máximo es F= 17 unidades.

Camino Crítico en la Planificación de Proyectos de Redes

La gerencia exitosa de un proyecto ambicioso, ya sea de construcción, de transporte o financiero, descansan en una coordinación y planificación minuciosa de varias tareas. El Método de Camino (o trayectoria) Crítico (MCC) intenta analizar la planificación de proyectos. Esto posibilita un mejor control y evaluación del proyecto. Por ejemplo, queremos saber ¿Cuanto tiempo durará el proyecto?, ¿Cuándo se estará listo para comenzar una tarea en particular?, si la tarea no es completada a tiempo, ¿El resto del proyecto se retrasará?, ¿Qué tareas deben ser aceleradas (efectivo) de forma tal de terminar el proyecto antes?

Dado una red de actividades, el primer problema que nos interesa es determinar la amplitud del tiempo requerido para finalizar el proyecto y el conjunto de actividades que controlan el tiempo para culminar el proyecto. Suponga que en un proyecto de actividades de redes determinado existen m nodos, n arcos (i.e. actividades) una duración de tiempo estimada, Cij, asociada a cada arc (i a j) en la red. El nodo inicial de un arco corresponde al comienzo de la actividad asociada y al nodo final que completa la actividad. Para encontrar el camino o trayectoria crítica (CC), se definen las variables binarias Xij, donde Xij = 1 si la actividad i j es sobre la CC y Xij = 0 por lo contrario. La amplitud de la trayectoria es la suma de la duración de las actividades en la trayectoria. La amplitud de la trayectoria mas larga es el tiempo mas corto que es necesario para completar el proyecto. Formalmente, el problema de CC es encontrar la trayectoria mas larga desde el nodo 1 hasta el nodo m.

Cada arco tiene dos funciones: que representa una actividad y que define la relación presente entre las actividades. Algunas veces es necesario agregar arcos que solo representen relaciones precedentes. Estos arcos ficticios son representados por flechas rotas. En nuestro ejemplo, el arco que va de 2 a 3 representa una actividad ficticia.

La primera restricción dice que el proyecto debe comenzar. Para cada nodo intermedio, si es alcanzado alguna vez, se debe abandonar. Finalmente, la última restricción fuerza la culminación del proyecto.

Realizando la corrida del la PL en cualquier software que lo genere, la trayectoria crítica es:

Del nodo 1 al 2 Del nodo 2 al 3 Del nodo 3 al 4 Del nodo 4 al 5 Del nodo 5 al 6

Por lo tanto, la duración del proyecto es 38 unidades.

La familia de un clásico problema de optimización de redes incluye los siguientes prototipos de modelos: asignación, camino crítico, flujo máximo, camino mas corto, y transporte. A pesar de que es bien conocido que este tipo de problemas se pueden modelar como programación lineal, normalmente nunca se hace. Debido a la ineficiencia y complejidad relativa del método simplex (primal, dual y otras variaciones) para modelos de redes, este problema es tratado por uno de mas de 400 algoritmos especiales.

Esto conlleva a muchas dificultades. Las soluciones de los algoritmos no están unificadas y cada algoritmo usa una estrategia diferente para explorar la estructura especial de un problema específico. Adicionalmente, pequeñas variaciones en el problema tales como la adición de una restricción aparte, o índices múltiples, destruye la estructura especial y obliga a re comenzar el algoritmo. Además, estos algoritmos obtienen soluciones eficientes al costo de la astucia gerencial, como la solución final de estos algoritmos que no tienen la información suficiente para realizar un análisis de sensibilidad.

Otro acercamiento es adoptar el simplex para los problemas de optimización de redes a través del simplex de redes. Esto proporciona la unificación de varios problemas, pero mantiene todas las ineficiencias del simplex así como también la mayoría de las inflexibilidades de las redes para manejar problemas tales como las restricciones aparte. Al igual que el análisis ordinario de sensibilidad (AOS), ampliamente disponible en la tabular simplex, ha sido recientemente transferido a redes simplex.

Generalmente las redes son utilizadas para reducir costos y optimizar labores, actividades, o facilitar decisiones

El termino como tal da una amplia idea de lo provechoso que puede ser entender y saber aplicar dichas técnicas

Está orientada a altos puestos gerenciales y modelos complejos de decisión

Saber definir con precisión los costos, y saber distribuir nuestros recursos de forma eficiente es la forma en la que podríamos expresar en términos generales a lo que nos referimos con “costos y optimización de la red” sin olvidar que sus resultados son evidentes, concluyentes, y definitivamente son de gran ayuda a la hora de llevar a cabo proyectos, ya que de esta forma podremos ser lo mas exactos posible

N Nodos resueltos conectados con nodos no resueltos

Nodo no resuelto más cercano conectado

Distancia total involucrada

n-ésimo nodo mas cercano

Distancia mínima

Última conexión

1 O A 4 A 2 OA

2 O

A

C

B

5

4+1=5

C

B

5

5

OC

AB

3 A

B

C

D

E

E

4+7=11

4+1+4=9

5+5=10

E 9 BE

4 A

B

E

D

D

D

4+7=11

4+1+5=10

4+1+4+1=10

D

D

10

10

BD

ED

5 D

E

T

T

4+1+5+6=16

5+5+6=16

T

T

16

16

DT

ET

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre/Spanish.htm

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre/SpanishP.htm

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www.slideshare.com

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Hamdy A. Taha. Investigación De Operaciones. Ediciones Alfaomega. Cuarta Edición. 1991.