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MATEM ATICAS II

APUNTES DE TEOR IA

CURSO ACAD EMICO 2012-13

Carlos Ivorra

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Indice

1 Introducci on a la optimizaci on 1

2 Programaci on entera 183 Introducci on a la programaci on lineal 24

4 El metodo smplex 34

5 Dualidad en programaci on lineal 52

6 Postoptimizaci on y analisis de sensibilidad 60

7 Programaci on no lineal 68

8 Problemas adicionales 81

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Tema 1

Introducci on a la optimizaci on

1.1 Conceptos basicosA modo de primera aproximaci on, podemos decir que el objetivo de esta asignatura es resolver (ciertas

clases de) problemas en los que se busca la mejor decisi on posible entre un conjunto de alternativas. Antesde precisar debidamente esta idea, veamos un ejemplo muy simple que nos permita ilustrar los conceptosque vamos a introducir:

Problema: Una empresa desea planicar su producci on diaria de dos artculos A y B . La empresa puede disponer de un m aximo de 12 horas diarias de mano de obra. Cada unidad de A requiere 3 horas,mientras que cada unidad de B requiere 2. Por otro lado, la producci on requiere un input I del que la empresa puede disponer como m aximo de 10 unidades diarias. Cada unidad de A requiere una unidad de

I , mientras que cada unidad de B requiere 2 unidades de I . Cu al es la m axima producci on diaria que puede conseguir la empresa?, que cantidad debe producir para ello de cada artculo?

El primer paso para abordar un problema como este es modelizarlo, es decir, expresarlo en terminosmatem aticos precisos. Para ello, llamamos x1 a la cantidad diaria producida de A y x2 a la cantidaddiaria producida de B . El problema es encontrar los mejores valores posibles para x1 y x2 .

Ahora observamos que una producci on diaria ( x1 , x2) requiere 3 x1 + 2 x2 horas diarias de mano deobra, as como una cantidad x1 + 2 x2 del input I . Por lo tanto solo nos valdr an las soluciones ( x1 , x2)que satisfagan 3 x1 + 2 x2 12 y x1 + 2 x2 10. Hay otra condici on implcita en el enunciado que esfundamental explicitar: la producci on no puede ser negativa, luego x1 0, x2 0.

Hay innitas producciones posibles ( x1 , x2) que satisfacen todos estos requisitos. El problema esencontrar la mejor, es decir, la que hace que la producci on total x1 + x2 sea maxima. La formulacionmatem atica del problema es la siguiente:

Max. x1 + x2s.a 3x1 + 2 x2 12

x1 + 2 x2 10x1 , x2 0

Se lee: Maximizar (la funci on) x1 + x2 sujeta a (las restricciones) 3 x1 + 2 x2 12, etc.

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TEMA 1. INTRODUCCI ON A LA OPTIMIZACI ON 2

Modelos y sus elementos Cualquier problema formulado en los terminos anteriores recibe el nombrede problema, programa o modelo de programaci on matem atica. Mas precisamente, para determinar unmodelo de programacion matem atica hemos de especicar:

Las variables principales del modelo, que son las variables para las que queremos encontrar el mejorvalor posible. En el problema anterior, las variables principales son x1 y x2 .Se dice que una variable x es no negativa si en el modelo se exige explcitamente que cumpla x 0,se dice que es no positiva si se exige explcitamente que cumpla x 0, y si no se exige nada sobresu signo se dice que es libre.Se dice que una variable x es entera si en el modelo se exige que solo pueda tomar valores enteros.Cuando s olo se admite que tome los valores 0 o 1 se dice que la variable es binaria (de modo queuna variable binaria es un tipo particular de variable entera). Cuando a una variable no se le poneninguna condicion de este tipo, es decir, sobre la clase de n umeros en la que puede variar, se diceque es una variable continua.As, en el ejemplo anterior las dos variables son continuas y no negativas.

La funci on objetivo, que es la funcion que queremos maximizar o minimizar. En el problema anteriorla funcion objetivo es f (x1 , x2) = x1 + x2 . Notemos que para determinar un modelo no s olo hemosde especicar una funcion objetivo, sino tambien si hay que maximizarla o minimizarla. Cuando noqueremos especicar si buscamos el maximo o el mnimo, hablamos de optimizar la funcion objetivo.En un problema de maximizar, los optimos de la funci on objetivo son sus maximos, mientras queen un problema de minimizar son sus mnimos.

Las restricciones, que son las condiciones que hemos de imponer a las variables para que unasolucion sea admisible como tal. El problema anterior tiene cuatro restricciones:

3x1 + 2 x2 12, x1 + 2 x2 10, x1 0, x2 0.

En general consideraremos tres tipos de restricciones: restricciones de menor o igual ( ), restriccio-nes de mayor o igual ( ) y restricciones de igualdad (=). Por razones tecnicas nunca consideraremosdesigualdades estrictas ( ).Las restricciones x1 0, x2 0 se llaman condiciones de no negatividad y, m as en general, a lasrestricciones de la forma x 0 o x 0 se las llama condiciones de signo. En ciertos contextosconvendra tratar las condiciones de signo como a las dem as restricciones (y entonces decimos queel problema anterior tiene cuatro restricciones), pero en otros contextos convendr a tratarlas aparte(y entonces diremos que el problema anterior tiene dos restricciones m as las condiciones de signo).A cada restriccion de desigualdad se le puede asociar una variable de holgura, que representa ladiferencia entre el valor que toma la restricci on (su miembro izquierdo) y el valor m aximo o mnimoque puede tomar (su termino independiente). As, las restricciones

x + 5 y 10, 3x 2y 3son equivalentes a

x + 5 y + s = 10 , 3x 2y t = 3 , s, t 0,donde s y t son las variables de holgura correspondientes.Notemos que las variables de holgura se introducen siempre de modo que sean no negativas. Estosignica que se introducen sumando en las restricciones de y restando en las restricciones de .

En estos terminos podemos decir que resolver un problema de programaci on matematica es buscarunos valores para las variables principales que cumplan las restricciones y donde la funci on objetivoalcance su valor optimo. 1 Vamos a precisar esta idea con algunas deniciones:

1 En realidad la programaci on matem atica aborda problemas m as generales que estos, por ejemplo, problemas queconsideran simult aneamente varias funciones objetivo, problemas en los que las funciones dependen del tiempo, etc., perono vamos a entrar en ello.

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Soluciones Una soluci on de un problema es cualquier valor posible para sus variables principales.

Soluciones factibles/infactibles Una soluci on factible de un problema es una solucion que satisfacetodas sus restricciones. En caso contrario se dice que es una soluci on infactible.El conjunto de oportunidades de un problema es el conjunto S formado por todas sus solucionesfactibles.

Notemos que si un problema no tiene restricciones entonces todas las soluciones son factibles, porlo que el conjunto de oportunidades es S = R n , donde n es el numero de variables.

Soluciones interiores/de frontera Una soluci on factible de un problema es una soluci on de frontera si cumple alguna de las restricciones con igualdad (y en tal caso se dice que satura la restricci on, oque la restriccion est a activa en dicha soluci on). En caso contrario, es decir, si la soluci on cumpletodas las restricciones con desigualdad estricta se dice que es una soluci on interior.

As pues, las soluciones pueden ser:

Soluciones 8>>>>>:

infactibles

factibles ( interioresde fronteraNotemos que una solucion factible siempre satura las restricciones de igualdad, mientras que unarestricci on de desigualdad esta saturada si y solo si su variable de holgura vale 0.

Soluciones optimas Una soluci on factible es un m aximo global de un problema si en ella la funcionobjetivo toma un valor mayor o igual que en cualquier otra soluci on factible (pero puede haber

otras igual de buenas). Ser a un m aximo global estricto si en ella la funcion objetivo es mayor queen cualquier otra soluci on factible (de modo que no hay ninguna otra igual de buena).Analogamente, una soluci on factible es un mnimo global de un problema si en ella la funcionobjetivo toma un valor menor o igual que en cualquier otra soluci on factible (pero puede haberotras igual de buenas). Ser a un mnimo global estricto si en ella la funcion objetivo es menor queen cualquier otra soluci on factible (de modo que no hay ninguna otra igual de buena).As, los optimos globales o soluciones optimas de un problema de optimizaci on son sus m aximosglobales si el problema es de maximizar o sus mnimos globales si el problema es de minimizar. Enprincipio, un problema puede tener varias soluciones optimas (maximos o mnimos no estrictos).Cuando s olo hay una soluci on maxima o mnima, de modo que cualquier otra soluci on factible espeor, tenemos un maximo o mnimo estricto.

Optimos locales Un m aximo local de un problema de optimizaci on es una soluci on factible x en laque la funci on objetivo es mayor o igual (o siempre mayor, en cuyo caso el m aximo local se diceestricto ) que sobre cualquier otra soluci on factible y que este sucientemente pr oxima a x, es decir,que cumpla kx yk < para cierto > 0. Analogamente se denen los mnimos locales estrictos ono estrictos.Por ejemplo, si la gura siguiente representa una funci on objetivo sobre un conjunto de solucionesfactibles, en ella vemos se nalado un maximo global que es no estricto, porque, aunque la funci onobjetivo no toma un valor mayor en ninguna otra soluci on, hay otra un poco mas a la izquierdadonde toma el mismo valor (y es, por lo tanto, otro m aximo global no estricto). En cambio elmnimo global senalado es estricto, porque no hay otra soluci on factible donde la funcion objetivotome un valor menor aun.

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Maximo global no estricto

Mnimo local estricto @

@ I 1

Mnimo global estricto 6

Maximos locales no estrictos @ @ R ?

Tambien vemos dos mnimos locales estrictos. En efecto, si nos jamos en los puntos pr oximosa cualquiera de ellos, vemos que en ellos la funcion objetivo es mayor, pero ninguno de ellos esel mnimo global, que se encuentra mucho m as a la izquierda. Por ultimo la funci on forma unameseta en la que hay innitos m aximos locales no estrictos.

La gura siguiente muestra un ejemplo para una funci on objetivo de dos variables:

Notemos que, seg un hemos dicho, resolver un problema de optimizaci on es encontrar los optimosglobales de la funci on objetivo sobre el conjunto de oportunidades, de modo que, en el ejemplocorrespondiente a la gr aca anterior, tendramos dos soluciones optimas si el problema fuera demaximizar (los dos maximos globales no estrictos) y una unica soluci on optima si el problema fuerade minimizar (el mnimo global estricto). La unica raz on por la que hablamos de optimos localeses porque, en ocasiones, las tecnicas que vamos a estudiar para resolver problemas de optimizaci on,no garantizan que los optimos que proporcionan sean globales, y entonces tendremos que emplear

tecnicas adicionales para asegurarnos de que no estamos tomando err oneamente un optimo localque no es el optimo global como solucion del problema considerado.

Es importante ser consciente de que no todos los problemas de optimizaci on tienen soluci on optima.En principio podramos dividirlos en problemas con soluci on optima y problemas sin soluci on optima,pero dentro del segundo tipo hay en realidad dos casos muy diferentes entre s, por lo que en total tenemostres posibilidades para un problema seg un su soluci on:

Problemas con soluci on optima Aqu hay que entender que nos referimos a problemas con soluci onoptima global.

Problemas infactibles Un problema infactible es un problema para el que todas las soluciones soninfactibles, es decir, tal que no existe ninguna soluci on que satisfaga las restricciones o, tambien,

un problema cuyo conjunto de oportunidades es vaco.

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Problemas no acotados Un problema es no acotado si es factible pero no tiene solucion optima, esdecir, si toda solucion factible puede ser mejorada por otra.

En resumen, los problemas pueden ser:

Problemas 8>>>>>:

infactibles

factibles ( con optimo globalsin optimo global (no acotados)Clases de problemas Para resolver un problema de programaci on matem atica hay que aplicar tecnicasdiferentes seg un sus caractersticas. Por ello es muy importante ser capaz de reconocer si un problemadado re une las caractersticas necesarias para que le podamos aplicar unas tecnicas determinadas.

Programaci on entera Un problema es de programaci on entera cuando exige que una o varias de susvariables sean enteras (o, en particular, binarias).Por ejemplo, no es lo mismo que los artculos A y B del problema considerado al principio del temasean chocolate y nata, de modo que tiene sentido producir, por ejemplo, 50 .7 kg de cada uno deellos, que si son pasteles y tartas, en cuyo caso no podemos fabricar 245 .3 pasteles. Si fuera estecaso (en el que no tiene sentido que las variables x1 y x2 tomaran valores fraccionarios), el modelocorrecto sera:

Max. x1 + x2s.a 3x1 + 2 x2 12

x1 + 2 x2 10x1 , x2 0 enteras

y tendramos un problema de programaci on entera.Notemos que para que un problema sea de programaci on entera no es necesario que todas susvariables sean enteras, sino que basta que al menos una lo sea, de modo que puede tener unasvariables enteras y otras continuas. En tal caso se dice que el problema es de programaci on entera mixta.

Programaci on no lineal Se engloban en esta categora todos los problemas que vamos a estudiar cuyasvariables sean todas continuas. Es el caso, por ejemplo, del problema formulado en la p agina 1.

Dentro de la programaci on no lineal se incluye una clase de problemas que son mucho m as facilesde tratar:

Programaci on lineal Un problema de programaci on no lineal (es decir, que no tiene variables

enteras) es concretamente de programaci on lineal si ademas cumple que tanto su funci on objetivocomo todas sus restricciones son funciones lineales.Para entender esto hemos de recordar lo que es una funci on lineal:

Una funci on lineal es una funci on de la forma c1x1 + + cn xn , donde c1 , . . . , c n son numerosreales, es decir, una funcion de la forma n umero variable+numero variable +

Por ejemplo, el problema de la p agina 1 es un problema de programaci on no lineal 2 (porque sus2 Para entender esto hay que entender que programaci on no lineal signica en realidad programaci on no (necesaria-

mente) lineal, es decir, que no importa si las funciones que denen el problema son lineales o no. M as precisamente,las tecnicas que veremos para resolver problemas de programaci on no lineal no suponen que las funciones que denen elproblema sean lineales, por lo que pueden ser aplicadas al problema tanto si lo son como si no, mientras que las tecnicasque veremos para resolver problemas de programaci on lineal suponen que todas las funciones que aparecen son lineales, yno se pueden aplicar si alguna no lo es.

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variables no son enteras) y tambien un problema de programaci on lineal (porque tanto su funci onobjetivo como sus cuatro restricciones son funciones lineales). 3

Un ejemplo de problema de programaci on no lineal que no es de programacion lineal es

Max. xys.a x + 2 y 5

x, y 0

No es de programaci on lineal porque, aunque las tres restricciones son lineales, la funci on objetivono lo es.

Programaci on clasica Otro caso particular de la programaci on no lineal es la programacionclasica, formada por los problemas que no tienen restricciones o bien tienen unicamente restricciones

de igualdad. Veremos que las tecnicas de programaci on no lineal se simplican bastante en estecaso.

Ejemplo Vamos a ilustrar algunos de los conceptos que acabamos de introducir con el problema

Max. x1 + x2s.a 3x1 + 2 x2 12

x1 + 2 x2 10x1 , x2 0

1. Escribe su conjunto de oportunidadesEl conjunto de oportunidades es el conjunto de todas las soluciones que cumplen las restricciones:

S = {(x1, x

2) 2 R 2 | 3x

1+ 2 x

212, x

1+ 2 x

210, x

10, x

20}.

Notemos que en el conjunto de oportunidades no hay que incluir la funci on objetivo y no hay queolvidar las condiciones de no negatividad (si las hay).

2. Pon un ejemplo de solucion infactible, otro de solucion interior y otro de solucion de frontera.Una soluci on infactible es ( x1 , x2) = (4 , 1). Lo comprobamos:

3 4 + 2 1 = 14 12 no se cumple4 + 2 1 = 6 10 se cumple

4 0 se cumple1 0 se cumple

Vemos que el punto cumple tres de las cuatro restricciones, pero basta con que falle una para quesea infactible.Una soluci on interior es ( x1 , x2) = (1 , 1). Lo comprobamos:

3 1 + 2 1 = 5 < 12 no satura1 + 2 1 = 3 < 10 no satura

1 > 0 no satura1 > 0 no satura

3 El problema que hemos puesto m as arriba como ejemplo de programaci on entera tiene todas sus funciones lineales, perono es un problema de programaci on lineal, porque para ser de programaci on lineal tendra que ser antes de programaci onno lineal, y no lo es. Se trata de un problema de programaci on lineal entera, es decir, un problema de programaci on enteracuyas funciones son todas lineales, pero es muy importante entender que los programas de programaci on linear entera sonun caso particular de la programaci on entera, pero no un caso particular de la programaci on lineal. Esto signica que sepuede resolver con las tecnicas de programaci on entera, pero no con las tecnicas de programaci on lineal, ya que estas exigenque las variables sean continuas.

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Vemos que el punto cumple las cuatro restricciones y no satura ninguna de ellas, luego es unasolucion factible interior.Una soluci on de frontera es ( x1 , x2) = (0 , 5). Lo comprobamos:

3 0 + 2 5 = 10 < 12 no satura0 + 2 5 = 10 = 10 satura

0 = 0 satura5 > 0 no satura

Vemos que el punto cumple las cuatro restricciones y satura a dos de ellas. Basta con que sature almenos una para ser una soluci on de frontera.

3. Escribe el problema con las variables de holgura y calcula su valor en las soluciones que has encon-trado en el apartado anterior.El problema con variables de holgura es

Max. x1 + x2s.a 3x1 + 2 x2 + s1 = 12

x1 + 2 x2 + s2 = 10x1 , x2 , s1 s2 0

Notemos que las variables de holgura se suman porque las restricciones son de y que siempre hayque incluirlas en las condiciones de no negatividad. Las soluciones que hemos encontrado son

(x1 , x2 , s1 , s2) = (4 , 1, 2, 4), (1, 1, 7, 7), (0, 5, 2, 0).

Se calculan sin m as que sustituir x1 y x2 en las restricciones y despejar s1 y s2 .4. Representa gracamente el conjunto de oportunidades y las tres soluciones que has encontrado.

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

x1x

2= 0

3x1 + 2 x2 = 12

x1 + 2 x2 = 10

x2

x1 = 0

Vemos as la interpretaci on geometrica del concepto de soluci on interior y de frontera: una soluci ones interior si esta en el interior del conjunto de oportunidades, sin tocar su borde, y es de fronteracuando esta en el borde. La soluci on (0, 5) est a en una esquina porque satura dos restricciones.Otra solucion de frontera, como (2 , 3), solo satura una restricci on y est a en el borde, pero no enuna esquina.

5. Cu al sera el conjunto de oportunidades si las variables del problema fueran enteras?En tal caso s olo tendramos que considerar los puntos dentro del conjunto de oportunidades anteriorque tienen coordenadas enteras:

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2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

Vemos que ahora hay solo 18 soluciones factibles.

1.2 Resoluci on gracaLos problemas de programaci on matem atica con dos variables principales pueden resolverse gr aca-

mente si son sucientemente simples. En esta secci on consideraremos unicamente el caso en que la funci on objetivo es lineal. Como ejemplo consideramos una vez m as el problema

Max. x1 + x2s.a 3x1 + 2 x2 12

x1 + 2 x2 10x1 , x2 0

El proceso para resolverlo gracamente es el siguiente:

1. Comprobamos que la funci on objetivo f (x, y ) = x1 + x2 es lineal. En caso contrario no podemosaplicar el metodo que vamos a ver.

2. Representamos el conjunto de oportunidades.

3. Calculamos el gradiente de la funcion objetivo r f = (1 , 1) y lo representamos gracamente.

4. Representamos la curva de nivel f = 0 de la funci on objetivo. Si la funci on objetivo es lineal serasiempre la recta perpendicular al vector gradiente.

5. Si la curva de nivel no pasara por el conjunto de oportunidades (en el ejemplo s que pasa) lamovemos paralelamente a s misma hasta que pase por S . As obtenemos otra curva de nivel v alidapara alguna soluci on factible.

6. Ahora recordamos que el gradiente de la funci on objetivo indica hacia d onde aumenta la funci on,mientras que la direcci on contraria indica hacia d onde disminuye. Por lo tanto, si estamos maximi-zando desplazaremos la curva de nivel paralelamente a s misma en la direcci on del gradiente. Elultimo punto de S que toquemos sera la solucion optima. Si el problema es de minimizar la unicadiferencia es que hemos de desplazar la curva de nivel en la direcci on opuesta al gradiente parallegar al mnimo de f , en lugar de al m aximo.

7. Si el optimo encontrado satura al menos dos restricciones, podemos calcular sus coordenadas resol-viendo el sistema de ecuaciones formado por ellas.

La gura muestra el conjunto S , el gradiente r f , la curva de nivel f = 0, la curva de nivel optima yla solucion optima.

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x1 + 2 x2 = 10

3x1 + 2 x2 = 12

Optimo

x2 = 0

c.n. optima

x1 = 0

f = 0

r f

Para determinar las coordenadas de la soluci on optima que hemos encontrado basta observar en lagura que satura las restricciones x1 + 2 x2 = 10 y 3x1 + 2 x2 = 12. Al resolver el sistema de ecuaciones

obtenemos que ( x1 , x2) = (1 , 9/ 2).

1.3 Transformaciones de problemasA veces es conveniente transformar un problema en otro equivalente en el sentido de que a partir de

la solucion optima de uno puede calcularse f acilmente la solucion optima del otro.

Variables no negativas Toda variable no positiva ( x 0) puede convertirse en no negativa medianteel cambio de variables x = x0 , y toda variable libre x puede expresarse en terminos de variables nonegativas mediante el cambio x = x1 x2 .

Por ejemplo, para convertir en no negativas las variables del problema

Max. x + 3 y z2s.a x + y z 4

x + z 3x 0, y 0

hacemos x = x0 (porque x es no positiva) y z = z1 z2 (porque z es libre), y obtenemos:

Max. x0 + 3 y (z1 z2)2s.a x0 + y z1 + z2 4

x0 + z1 z2 3x0 , y, z1 , z2 0

Importante: Este problema es equivalente al dado en el sentido de que si obtenemos una soluci on

optima ( x0 , y, z 1 , z2) del problema transformado, entonces ( x,y,z ) = ( x0 , y, z 1 z2) sera una soluci onoptima del problema original. 4 Nunca hemos de olvidarnos de calcular los valores de las variables prin-cipales del problema original deshaciendo los cambios que hayamos hecho para transformarlo en otro.

Restricciones de igualdad Las restricciones de desigualdad se pueden convertir en restricciones deigualdad a nadiendo las variables de holgura. Por ejemplo, si en el problema anterior queremos adem asque las restricciones sean de igualdad lo convertimos en

Max. x0 + 3 y (z1 z2)2s.a x0 + y z1 + z2 + s = 4

x0 + z1 z2 t = 3x0 , y, z1 , z2 , s, t 0

4 Notemos, no obstante, que cada optimo del problema original se corresponde con innitos optimos del problema trans-formado.

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NOTA: Observemos que al introducir una variable de holgura s no eliminamos completamente ladesigualdad, pues esta permanece en la condici on de signo s 0. Por este motivo nunca hemos deintroducir variables de holgura en las condiciones de signo, ya que con ello lo unico que hacemos escomplicar el problema sin ganar nada.

Cambio del objetivo Un problema con objetivo Max. f (x) es equivalente al problema que tienelas mismas restricciones pero su objetivo es Min. f (x). Del mismo modo podemos transformar unproblema de minimizar en otro de maximizar.

Por ejemplo, el problemaMax. x + y + 2

s.a x2 + y2 50

puede transformarse enMin. x y 2

s.a x2 + y2 50.

Cambio de una desigualdad Una restriccion de se transforma en una de multiplicando sus dosmiembros por 1, y viceversa.

Por ejemplo, la restricci on x2 + y2 50 puede transformarse en x2 y2 50.

Igualdad por desigualdades Una restriccion de igualdad puede sustituirse por las dos restriccionesque resultan de cambiar el = por un y un .

Por ejemplo, el problemaMax. x + y

s.a x2 + y2 = 9

es equivalente aMax. x + y

s.a x2 + y2 9x2 + y2 9

1.4 Teoremas basicos de la programaci on matematicaEnunciamos aqu dos teoremas que bajo ciertas condiciones garantizan que un problema de pro-

gramaci on matematica tiene solucion optima.

Teorema de Weierstrass Una funci on objetivo continua sobre un conjunto de oportunidades compactono vaco tiene al menos un m aximo y un mnimo global.

Para entender este teorema necesitamos conocer la noci on de conjunto compacto. Para ello conside-remos un conjunto S R n :

Se dice que S es cerrado si su complementario R n \ S es un conjunto abierto.

Un conjunto S R n est a acotado si y s olo si todas las variables estan acotadas (tanto superiorcomo inferiormente) sobre los puntos de S .

Se dice que S es compacto si es cerrado y acotado.

En la pr actica nunca necesitaremos la denici on de conjunto cerrado, puesto que todos los conjuntosde oportunidades que vamos a considerar ser an cerrados en virtud del teorema siguiente:

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Teorema Todo conjunto S R n denido mediante restricciones de , , = con funciones continuas es cerrado.

Ejemplo Estudia si el conjunto

S = {(x,y,z ) 2 R 3 | 2x + 3 y + 5 z 20, x, y, z 0}

es compacto.

Soluci on: Para probar que S es compacto hemos de ver si es cerrado y acotado.El conjunto S es cerrado porque esta denido por restricciones de y a partir de funciones continuas

(polinomios).Para comprobar que est a acotado vemos que si ( x,y,z ) 2 S entonces

0 x 20, 0 y 20, 0 z 20.

Como las tres variables est an acotadas superior e inferiormente, S est a acotado.

Ejemplo Justica que el problema planteado en la p agina 1 tiene al menos una soluci on optima.

Soluci on: Vamos a aplicar el teorema de Weierstrass. Para ello hemos de probar que la funci onobjetivo es continua y que el conjunto de oportunidades es compacto no vaco. La funci on objetivof (x1 , x2) = x1 + x2 es continua porque es un polinomio. El conjunto de oportunidades es

S = {(x1 , x2) 2 R 2 | 3x1 + 2 x2 12, x1 + 2 x2 10, x1 0, x2 0}.

Para probar que es compacto hemos de ver que es cerrado y acotado. Ciertamente es cerrado, porqueest a denido mediante desigualdades de y a partir de las funciones continuas 3 x

1+ 2 x

2, x

1+ 2 x

2,

x1 y x2 . (Son continuas porque son polinomios.)

Por otra parte, S est a acotado, ya que si ( x1 , x2) 2 S , entonces

0 x1 10, 0 x2 5.

Por ultimo, S no es vaco, ya que, por ejemplo, una soluci on factible es (1 , 1). As pues, el teoremade Weierstrass garantiza que la funci on objetivo f alcanza un maximo global en cierta solucion factible.

Teorema local-global Consideremos un problema de programaci on matem atica cuyo conjunto de opor-tunidades S sea convexo.

Si la funci on objetivo es (estrictamente) convexa, entonces todo mnimo local del problema es de hecho un mnimo global (estricto).

Si la funci on objetivo es (estrictamente) c oncava, entonces todo m aximo local del problema es de hecho un m aximo global (estricto).

1.5 Resultados basicos sobre convexidadDeniciones Un conjunto S R n es convexo si al unir dos cualesquiera de sus puntos con un segmentoeste no se sale del conjunto. Una funci on denida sobre un conjunto convexo es (estrictamente) convexa si al unir dos puntos cualesquiera de su gr aca con un segmento este queda (estrictamente) por encimade la graca. Una funci on es (estrictamente) c oncava si al unir dos puntos cualesquiera de su gr aca conun segmento este queda (estrictamente) por debajo de la gr aca.

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Convexo No convexo No convexo

Funci on convexa Funcion concava

Estudio de la concavidad o convexidad de una funci on Veamos c omo estudiar si una funciondada es c oncava o convexa. En primer lugar observamos si es lineal, pues en tal caso basta tener encuenta el hecho siguiente:

Toda funci on lineal es a la vez c oncava y convexa.

Ejemplo La funci on f (x,y,z ) = 3 x + 2 y 5z es concava y convexa, porque es lineal.

Para estudiar la concavidad o convexidad de una funci on cualquiera, calculamos su matriz hessiana.Si se trata de una matriz diagonal, basta tener en cuenta lo siguiente:

Teorema Sea f una funci on (de clase C 2) cuya matriz hessiana H sea diagonal. Entonces:

Si los coecientes de la diagonal de H son todos 0 la funci on f es c oncava (y si son todos < 0es estrictamente c oncava).

Si los coecientes de la diagonal de H son todos 0 la funci on f es convexa (y si son todos > 0 es estrictamente convexa).

En otro caso, la funci on f no es ni c oncava ni convexa.

Ejemplo Vamos a estudiar si la funci on f (x,y,z ) = x4 + 3 y4 + z2 es concava o convexa. Como no eslineal, calculamos su matriz hessiana, que es

Hf = 0@12x2 0 0

0 36y2

00 0 2 1ASe trata de una matriz diagonal, y todos los coecientes de la diagonal son 0, porque las potencias

pares no pueden ser negativas, luego la funci on f es convexa.

Si la hessiana no es diagonal, hemos de calcular sus menores principales, es decir, los determinantesde todas las submatrices que se pueden formar con unas las cualesquiera y las mismas columnas.

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Ejemplo Vamos a estudiar la concavidad o convexidad de la funci on

f (x,y,z ) = 2x2 y2 14z2 + 2 xy + 2 xz + 4 yz.Para ello calculamos su matriz hessiana:

Hf = 0@4 2 22 2 42 4 28

1AComo no es diagonal, calculamos sus menores principales (enseguida veremos que en este caso no

hara falta calcularlos todos):

Orden 1 Orden 2 Orden 3

H 1 = | 4| = 4 < 0 H 12 =4 22 2 = 4 > 0

H 2 = | 2| = 2 < 0 H 13 = 4 22 28 = 108 > 0 H 123 = |Hf | = 8 < 0

H 3 = | 28| = 28 < 0 H 23 =2 44 28 = 40 > 0

Los menores principales de orden 1 son los formados por una la y la misma columna de la matriz: H 1primera la y primera columna, H 2 segunda la y segunda columna, H 3 tercera la y tercera columna.

Los menores principales de orden 2 son los formados por dos las (en orden) y las mismas dos columnas:H 12 las 1 y 2 y columnas 1 y 2, H 13 las 1 y 3 y columnas 1 y 3, H 23 las 2 y 3 y columnas 2 y 3.

El menor principal de orden 3 es el formado por las tres las y las tres columnas de H , es decir, eldeterminante de H .

De acuerdo con la regla de Jacobi (ver m as abajo), como el determinante es |Hf | = 8 6= 0, enrealidad hubiera bastado calcular los menores principales conducentes, que son H 1 , H 12 y H 123 (es decir,los menores principales formados por las primeras las y columnas de la matriz). Como son

H 1 < 0 H 12 > 0 H 123 < 0,

la regla de Jacobi implica que la hessiana es denida negativa y la funci on f es estrictamente c oncava.

Regla de Jacobi Para estudiar la concavidad o convexidad de una funci on de clase C 2 calculamos sumatriz hessiana H y luego su determinante. Distinguimos dos casos:

Si |H | 6= 0 basta calcular los menores principales conducentes de la matriz ( H 1 , H 12 , H 123 , . . . )

Si todos los menores principales conducentes son > 0, entonces H es denida positiva y lafuncion es estrictamente convexa.

Si los menores principales conducentes alternan en signo empezando en negativo (es decir,H 1 < 0, H 12 > 0, H 123 < 0, .. . ) entonces H es denida negativa y la funcion es estrictamenteconcava.

En cualquier otro caso, H es indenida y la funci on no es ni concava ni convexa.

Si |H | = 0 calculamos todos los menores principales de la matriz.

Si todos los menores principales son 0, entonces H es semidenida positiva y la funci on esconvexa.

Si los menores de orden 1 son 0, los de orden 2 son 0, los de orden 3 son 0, etc.(empezando siempre con 0), entonces H es semidenida negativa y la funci on es concava.

En cualquier otro caso la funci on no es ni concava ni convexa.

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Conjuntos convexos Para comprobar que un conjunto es convexo tenemos los criterios siguientes:

1. Un conjunto denido por una restricci on de igualdad a partir de una funci on lineal es un hiperplano,y los hiperplanos son siempre conjuntos convexos.

2. Un conjunto denido por una restricci on de o a partir de una funci on lineal es un semiespacio,y los semiespacios son siempre conjuntos convexos.

3. Un conjunto denido por una restricci on de a partir de una funci on convexa es convexo.

4. Un conjunto denido por una restricci on de a partir de una funci on concava es convexo.

5. La intersecci on de conjuntos convexos es convexa.

6. En particular, todo conjunto denido por restricciones lineales es intersecci on de semiespacios ehiperplanos, luego es convexo.

Observemos que los criterios anteriores no nos permiten decidir si un conjunto denido por unarestricci on de igualdad a partir de una funci on no lineal es o no convexo. Dicho de otro modo, cuandotengamos una igualdad, la unica posibilidad que tenemos para justicar que es convexo es que la funci onsea lineal.

Problemas1. Calcula el vector gradiente y la matriz hessiana de las funciones siguientes:

f (x, y ) = x2 3xy, g(x,y,z ) = xy + 5 + z, h(x1 , x2 , x3) = x1 3x2 + x3 ,

s(x1 , x2) = x1x22 , t(x, y ) = 3 x2 , m(x,y,z ) = 3 x2 , p(x1 , x2 , x3) = x41x2 + 2 x

23 5.

2. Determina mentalmente si los problemas siguientes son infactibles, no acotados o si tienen soluci onoptima, y en tal caso calculala (siempre mentalmente):

Max. x2 + y2 + 8s.a x + y 10

x 6y 8

Max. x2 + y2 + 8s.a x + y 0

x, y 0

Max. x + y + 8s.a x 5

y 6

Max. x2 + y2 + 8s.a x 5

x, y 0

3. Considera el problemaMax. x + y + z

s.a x2 + y2 + z2 = 2

(a) Clasifcalo.(b) Escribe el conjunto de oportunidades. Razona si es cerrado.(c) Es acotado el conjunto de oportunidades?(d) Razona que el problema tiene soluci on optima.(e) Encuentra una soluci on factible (no necesariamente optima) y determina si es interior o de

frontera.(f) Razona que el valor optimo de la funcion objetivo es mayor o igual que 2.(g) Encuentra una soluci on en la que la funci on objetivo tome el valor 5.

4. Determina si los conjuntos siguientes son o no compactos:

S = {(x,y,z ) 2 R3

| x+2 y+3 z 10, x, y, z 0}, T = {(x,y,z ) 2 R3

| x2+ y

2= 20 , 5 z 2}.

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5. Transforma el problemaMax. x + y2

s.a x + 2 y 3y 0

de modo que las restricciones sean de igualdad y todas las variables sean no negativas.

6. Considera los problemas

Max. x ys.a x2 + y2 4

x, y 0

Min. x ys.a y x2 0

x, y 0

Min. 4xy 5x2 y2s.a x2 + y2 = 4

(a) Estudia la existencia de optimo, ya sea encontr andolo gr acamente, ya mediante el teoremade Weierstrass.

(b) Estudia la concavidad o convexidad de las funciones objetivo.(c) Transforma los problemas para que las restricciones sean de igualdad.

7. Razona si los conjuntos de oportunidades de los problemas siguientes son o no compactos:

Max. x2 + y + zs.a x + y + 5 z = 1 ,

x, y, z 0

Max. x2 + y + zs.a x + y + 5 z = 1 ,

x, y, z 0

Max. x2 + y + zs.a x4 + y4 + z 10,

z 0

8. Dado el problemaMax. 2x + 3 y + z

s.a x + 2 y + z 30

x + y 20x 0, y 0

(a) Escribe el conjunto de oportunidades. Encuentra (si es posible) una soluci on factible interior,una soluci on factible de frontera y una soluci on no factible.

(b) Reescribe el problema de forma que tenga objetivo de minimizaci on, restricciones de igualdady todas las variables no negativas.

9. Resuelve gr acamente los problemas siguientes:

Max. xs.a y + x2 2

x y 0

x, y 0

Min. x ys.a y + x2 2

x y 0

x, y 0

Max. x + 3 ys.a y x2 5

x2 + y2 1

x, y 0

Min. x + 5 ys.a xy 2

x y 1

x y 1x, y 0

Min. x ys.a xy 2

x y 1x y 1x, y 0

Min. 3x 2ys.a xy 10

x + y 1x, y 0

Min. 5x ys.a x2 + y2 4

x + y 1x, y 0

Max. 5x ys.a x2 + y2 4

x + y 1x, y 0

Max. x ys.a xy = 6

x + y 5x, y 0

Max. x + ys.a x2 + y2 3

y x2 0x, y 0

Min. x + ys.a x2 + y2 3

y x2 0x, y 0

Max. x + 2 ys.a xy 12

y x 1x, y 0

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Min. y xs.a xy 12

y x 1x, y 0

Min. ys.a x2 + y2 3

y x2 0y 4x, y 0

Max. x + 2 ys.a x2 + y2 3

y x2 0y 4x, y 0

Max. x + 2 ys.a x 5

y 4

10. Determina si los conjuntos siguientes son o no compactos:

(a) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + y2 + z2 = 16 },(b) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + y2 + z2 16},(c) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + y2 + z2 16},(d) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + y2 + z2 < 16},(e) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x3 + y3 + z3 16},

(f) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x + y 5, z 3},(g) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x + y 5, z2 3, x 0, y 0},(h) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x + y z 6, x + y 10, y + z 8, x 0, y 0, z 0},(i) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | y + x2 + 3 z4 10, y 0}.

11. Estudia si los conjuntos siguientes son convexos:

(a) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + y2 + z2 20},(b) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + y2 + z2 20},(c) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + y2 + z2 = 20 },(d) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x + y = 3 z},(e) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | 4x + 7 y 4, x 0, y 0},(f) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + 3 y2 + 2 xy 20, x y + z 15},(g) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | x2 + 3 y2 + 2 xy 20, x y + z 15},(h) S = {(x,y,z ) 2 R 3 | y 0}.

Cuestiones1. Supon que montas un pequeno negocio y que te planteas un problema de programaci on matem atica

para maximizar tus benecios sujeto a que has de servir a una serie de clientes en unas ciertascondiciones. Una vez formuladas adecuadamente la funci on de benecios y las restricciones (ysuponiendo que el problema te sale factible) que preferiras, que tuviera optimo (global) o que nolo tuviera?

2. Supon que hemos resuelto un problema de programaci on con restricciones y hemos encontrado unoptimo global. Si eliminamos las restricciones, el problema tendr a necesariamente optimo? Y silo tiene, ser a mejor o peor que el problema con restricciones?, puede ser el mismo?

3. Sea P un problema de programaci on matematica y sea P 0 otro problema que resulta de a nadirle aP una restriccion mas. Supongamos que su objetivo es maximizar.

(a) Cu al sera mayor, el conjunto de oportunidades de P o el de P 0 .(b) Cu al sera mayor, el optimo de P o el de P 0 ?(c) Si x es una soluci on factible de P 0 , lo sera tambien de P ?, y al reves?

(d) Si x

es el optimo de P , lo sera tambien de P 0

?

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4. Un problema tiene entre sus restricciones a x + 2 y 8. Es (10, 10) una soluci on del problema?

5. Un problema de maximizar tiene soluci on optima, y hemos encontrado una soluci on en la que lafuncion objetivo vale 25. Podemos armar que el valor optimo de la funci on objetivo es mayor que25?, y mayor o igual?

6. Razona si las armaciones siguientes son verdaderas o falsas y, en caso de ser falsas, corrgelas:

(a) Si un problema de programaci on matematica tiene innitas soluciones, entonces es no acotado.(b) Un problema infactible tiene innitas soluciones.(c) Un problema infactible no tiene soluciones.(d) Un problema es no acotado cuando toda soluci on optima puede ser mejorada por otra.(e) Un problema es infactible cuando alguna soluci on no cumple las restricciones.

7. Clasica una forma cuadr atica cuyos menores principales sean los que se indican en los casos si-guientes. Indica si es necesario considerarlos todos o si basta estudiar los menores principalesconducentes.

(a) A1 = 0, A2 = 0, A3 = 2, A12 = 0, A13 = 0, A23 = 0, A123 = 0.(b) A1 = 2, A2 = 0, A3 = 2, A12 = 0, A13 = 3, A23 = 0, A123 = 0.(c) A1 = 0, A2 = 1, A3 = 0, A12 = 0, A13 = 1, A23 = 0, A123 = 1.(d) A1 = 2, A2 = 1, A3 = 1, A12 = 2, A13 = 2, A23 = 3, A123 = 2.(e) A1 = 0, A2 = 0, A3 = 0, A12 = 0, A13 = 0, A23 = 0, A123 = 0.(f) A1 = 2, A2 = 1, A3 = 2, A12 = 0, A13 = 2, A23 = 1, A123 = 8.(g) A1 = 2, A2 = 1, A3 = 2, A12 = 1, A13 = 3, A23 = 1, A123 = 1.

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Tema 2

Programaci on entera

En este tema veremos como la resoluci on de un problema de programaci on entera puede reducirsea la resoluci on de varios problemas de programaci on no lineal (o de programacion lineal si el problemadado es de programacion lineal entera). El metodo que vamos a explicar se llama metodo de ramicaci on y acotaci on. Lo explicaremos con un ejemplo. Para ello consideramos el problema

Max. 4x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24x, y 0 enteras.

El primer paso para estudiar un problema de programaci on entera es considerar el problema relajado,es decir, el problema que resulta de olvidar el requisito de que las variables sean enteras:

(P0) Max. 4 x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24x, y 0.

Hemos de resolver este problema por cualquier metodo disponible. De momento, el unico metodo queconocemos es la resoluci on graca y ese vamos a emplear, aunque tambien podramos aplicar cualquierade los metodos que veremos en los temas siguientes para problemas de programaci on no lineal o deprogramacion lineal, o tambien resolverlo con el ordenador. Si al resolverlo obtenemos una soluci on convariables enteras (en general, que tenga enteras las variables que el problema original pide que lo sean,que no tienen por que ser todas), ya hemos terminado. En efecto:

El primer paso para resolver un problema de programaci on entera es resolver el problemarelajado (es decir, resolverlo sin exigir que las variables sean enteras). Si la soluci on obtenidaya cumple las condiciones de integridad, entonces se trata de la soluci on del problema dado,pues, si la mejor soluci on con variables continuas tiene variables enteras, es necesariamentetambien la mejor soluci on con variables enteras.

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5 r f

f = 0

2 x + 3 y = 12

8 x + 3 y = 24

Vemos en la gura que la solucion optima se encuenta en el puntodonde se cortan las dos rectas

2x + 3 y = 128x + 3 y = 24

Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos la soluci on optima ( x, y ) =(2, 2.66), con F = 21 .33. Vemos que la variable y no es entera, luego nonos sirve como soluci on del problema original.

18

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TEMA 2. PROGRAMACI ON ENTERA 19

Cuando sucede esto, el paso siguiente es ramicar el problema. Para ello elegimos una variable quedebera ser entera y no lo es en la soluci on obtenida (en este caso s olo tenemos la y) en esa situaci on, yplanteamos los dos problemas siguientes:

(P1) Max. 4 x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24x, y 0, y 3

(P2) Max. 4 x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24x, y 0, y 2

Es decir, como nos ha salido y = 2 .66, un valor entre 2 y 3, a nadimos las restricciones y 2 e y 3de modo que excluimos todas las soluciones con y comprendido entre 2 y 3 sin excluir con ello ningunasolucion con la y entera.

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

r f

f = 0

2 x + 3 y = 12

y = 3

P1

P2

y = 2

8 x + 3 y = 24

La gura muestra los conjuntos de oprtunidades de P1 y P2. Lassoluciones optimas se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones

2x + 3 y = 12y = 3 (P 1)

8x + 3 y = 24y = 2 (P 2)

y resultan ser

(P 1) ) (x, y ) = (1 .5, 3), f = 21 , (P 2) ) (x, y ) = (2 .25, 2), f = 19

Ahora hemos de repetir el proceso con ambos problemas pero, comoestamos maximizando y la soluci on de P1 es mejor, nos jamos primeroen este. Ahora es la variable x la que no es entera y, como est a entre 1 y2, la ramicaci on correspondiente consiste en introducir las restriccionesx 1, x 2, es decir, que hemos de resolver los problemas

(P1.1) Max. 4 x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24y 3, x 1x, y 0

(P1.2) Max. 4 x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24y 3, x 2x, y 0

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

r f

f = 0

2 x + 3 y = 12

y = 3

P1.1

P2

y = 2

8 x + 3 y = 24

En la gura anterior se ve que P1.2 es infactible, porque el conjuntode oportunidades de P1 no tiene ning un punto que cumpla x 2. Lagura de la derecha muestra el conjunto de oportunidades de P1.1, y enella vemos que la soluci on optima cumple las ecuaciones 2 x + 3 y = 12 yx = 1, luego resulta ser

(P 1.1) ) (x, y) = (1 , 3.33) f = 20 .66.

Como ahora vuelve a ser la y la que no es entera y esta entre 3 y 4,ramicamos P1.1 con las restricciones y 3, y 4. Esto signicaplantear los problemas

(P1.1.1) Max. 4 x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24y 3, x 1, y 3x, y 0

(P1.1.2) Max. 4 x + 5 ys.a 2x + 3 y 12

8x + 3 y 24y 3, x 1, y 4x, y 0

El conjunto de oportunidades de P1.1.1 se reduce a un segmento, y la mejor soluci on es (x, y ) = (1 , 3),con f = 19, mientras que el de P1.1.2 se reduce al punto (0 , 4), que es, por lo tanto, su soluci on optima,con f = 20. De este modo hemos encontrado dos soluciones enteras. Obviamente (1 , 3) no puede

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ser la soluci on optima, porque (0 , 4) es mejor, pero, en principio, nopodemos asegurar que (0 , 4) sea el optimo que estamos buscando porqueel problema P2, que tenemos pendiente de estudio, podra darnos otrasolucion mejor.

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

r f

f = 0

2 x + 3 y = 12

P1.1.1

P1.1.2

P28 x + 3 y = 24

Ahora bien, vamos a ver que, en realidad, ya podemos terminar elproceso. Para ello conviene representar todos los pasos que hemos dadohasta aqu en un diagrama en forma de arbol, que conviene ir comple-tando a medida que resolvemos cada problema. Vemos a la izquierdael nodo 0 que representa al problema P0, en el que hemos indicado susolucion y el valor optimo de la funci on ob jetivo. De el parten dos ra-mas que llevan a los problemas P1 y P2. En las ramas indicamos lasrestricciones que hemos anadido a cada problema. El problema 2 est apendiente de ramicaci on, mientras que del problema 1 hemos llegadoal problema 1.1, que a su vez hemos ramicado, y al problema 1.2 infac-tible.

En general, cada nuevo nodo que aparece en el arbol ha de ser rami-cado (en el momento o mas adelante) salvo que se de uno de estos trescasos:

1. El nodo corresponde a una soluci on entera (es decir, una soluci on para la que sean enteras todaslas variables que el problema original pide que sean enteras). Es lo que les sucede a los nodos 1.1.1y 1.1.2.

2. El nodo corresponde a un problema infactible. Es lo que le sucede al nodo 1.2.

3. El nodo corresponde a una soluci on cuya funci on objetivo sea peor que la de otro nodo correspon-diente a una solucion entera. Es lo que le sucede al nodo 2, que est a acotado por el nodo 1.1.2 (y

aqu es crucial que el nodo 1.1.2 corresponde a una soluci on entera, si no, no valdra la acotaci on).

0 (2, 2.66), f = 21 .33

y 2

y 3

1

2 (2.25, 2), f = 19

(1.5, 3), f = 21

x 1

x 2

1.1

1.2 Infactible

(1, 3.33), f = 20 .66

y 3

y 4

1.1.1 (1, 3), f = 19

1.1.2 (0, 4), f = 20

En efecto, cuando se da el tercer caso, aunque la soluci on del nodo acotado no sea entera, podemosasegurar que no obtendremos la soluci on optima ramicando dicho nodo. Esto se debe a que, como encada paso de ramicacion anadimos una nueva restricci on, el valor de la funci on objetivo siempre empeoray, si en el nodo 2 ya es peor que en el nodo 1.1.2, las soluciones que obtendramos ramicando el nodo 2seran peores aun, luego nunca nos daran una soluci on mejor que la del nodo 1.1.2 y es in util ramicarpor ah.

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Cuando ya no queda ning un nodo por ramicar, como es nuestro caso, ya podemos decir que lasolucion optima del problema original es la mejor soluci on entera que hemos encontrado, en nuestro casola del nodo 1.1.2:

(x, y ) = (0 , 4) con f = 20 .

Si comparamos esta solucion con la que habamos obtenido en el primer paso, es decir, al suponersin mas que las variables no eran enteras (que era ( x, y ) = (2 , 2.66)), vemos que la soluci on optima delproblema entero no es la que resulta de redondear la soluci on del problema relajado, que sera (2 , 2) o(2, 3). De hecho, (2 , 2) es peor que la soluci on optima que hemos obtenido (pues f (2, 2) = 18) y (2 , 3) esinfactible.

Problemas1. El esquema siguiente es el arbol de ramicacion de un problema de programaci on entera de tres

variables ( x,y,z ).

0 (0.05, 8, 8.58), F = 41 .36

x 1

x 0

1

2 (1, 4.4, 4.6), F = 26 .4

(0, 8, 8.67), F = 41 .33

z 8

z 9

1.1

1.2 Infactible

(0, 7.67, 8), F = 39

y 7

y 8

1.1.1 (0, 7, 8), F = 37

1.1.2 Infactible

(a) Razona si el objetivo del problema es de maximizaci on o de minimizaci on.(b) Razona si se ha llegado ya al optimo. En caso contrario, indica que nodo debe ramicarse y

por medio de que restricciones.

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

x2 = 0

3x1 + 2 x2 = 12

x1 + 2 x2 = 10

x1 = 0

2. Resuelve el problema

Max. x1 + x2s.a 3x1 + 2 x2 12

x1 + 2 x2 10x1 , x2 0 enteras

por el metodo de ramicaci on y aco-taci on resolviendo gr acamente los pro-blemas intermedios. Construye el arbolcorrespondiente y escribe el ultimo pro-blema que resuelvas.

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3. El esquema siguiente es el arbol de ramicacion de un problema de programaci on entera de dosvariables ( x, y ).

0 (1.88, 1.87), F = 7 .49

x 1

x 2

1

2 (1, 1.87), F = 6 .61

(2, 1.33), F = 7 .12

y 1

y 2

1.1

1.2 Infactible

(3.23, 1), F = 6 .23

x 4

x 3

1.1.1 (4, 0.5), F = 5 .5

1.1.2 (3, 1), F = 6

(a) Razona si el objetivo del problema es de maximizaci on o de minimizaci on.(b) Razona si se ha llegado ya al optimo. En caso contrario, indica que nodo debe ramicarse y


4. El esquema siguiente es el arbol de ramicacion de un problema de programaci on entera mixta,donde las variables x, z son enteras.

0 (0.05, 8, 8.58), F = 41 .36

1

2 (1, 4.4, 4.6), F = 26 .4

(0, 8, 8.67), F = 41 .33

1.1

1.2 Infactible

(0, 7.67, 8), F = 39

(a) Razona si el objetivo del problema de de maximizaci on o de minimizaci on.(b) Razona si se ha llegado ya al optimo. En caso contrario, indica que nodo debe ramicarse y


(c) Escribe el problema resuelto en el nodo 1 .2.

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5. Resuelve los problemas

Min. x4 + y2 + 3 z2s.a x + y + z 5

x, y, z 0 enteras

Max. 2000 3x2 2y2 + xy z2s.a 5x + 2 y + z 30

x, y, z 0 enteras

por el metodo de ramicaci on y acotaci on usando el ordenador para resolver los problemas inter-medios. (Aplica el teorema local global para asegurarte de que los optimos que te proporciona elordenador son globales.) En caso de tener varias variables no enteras ramica la menor en orden al-fabetico. Escribe el arbol que obtengas con las soluciones correspondientes y razona cu ando puedesdejar de ramicar cada nodo.Resuelve los problemas directamente con el ordenador (como problemas de programaci on entera) ycomprueba que llegas al mismo resultado.

6. Considera el problema Max. x + 3 y + 2 zs.a 2x + 5 y + 2 z = 9

x + 2 y + z > 1x, y, z 0 enteras

Al aplicar el metodo de ramicaci on y acotaci on obtenemos el arbol siguiente.

0 (0, 0, 4.5), F = 9

z 5

z 4

1

2 Infactible

(0, 0.2, 4), F = 8 .6

y 0

y 1

1.1

1.2 (0, 1, 2), F = 7

(0.5, 0, 4), F = 8 .5

x 0

x 1

1.1.1 Infactible

1.1.2 (1, 0, 3.5), F = 8

Razona si conocemos ya la solucion optima o si hay que seguir ramicando. En este caso contin ua laramicaci on con ayuda del ordenador hasta que encuentres el optimo. Escribe el ultimo problemaque resuelvas.

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Tema 3

Introducci on a la programaci onlineal

En este tema introducimos algunos conceptos y resultados especcos para problemas lineales que nosllevar an, en el tema siguiente, a un procedimiento pr actico para resolver este tipo de problemas.

3.1 Hechos basicos de la programaci on linealEs facil ver que las reglas para transformar problemas que vimos en el tema 1 convierten problemas

lineales en problemas lineales. Dicho de otro modo, podemos transformar problemas sin perder por ellola linealidad. Hay dos formas especialmente importantes de presentar un problema lineal:

Forma can onica de un problema lineal Se llama as a la presentaci on de un problema en la quetodas las variables son no negativas y las restricciones son de cuando el objetivo es maximizar o de

cuando el objetivo es minimizar. Por lo tanto, un problema de maximizar en forma can onica tiene laestructura siguiente:

Max. c1x1 + + cn xns.a a11 x1 + + a1n xn b1

am 1x1 + + amn xn bmx1 , . . . , x n 0.

Es conveniente escribir el problema en forma matricial, para lo cual llamamos A = ( a ij ), b = ( bi ),c = ( cj ), con lo que la expresi on anterior se reduce a

Max. ct xs.a Ax b

x 0.

La matriz A se llama matriz tecnica del problema. El vector c es el vector de coecientes de la funci on objetivo y b es el vector de terminos independientes.

Forma estandar de un problema lineal Un problema lineal est a en forma est andar si todas susvariables son no negativas y todas sus restricciones son de igualdad. Matricialmente, la expresi on de unproblema en forma est andar con objetivo de maximizar es

Max. ct xs.a Ax = b

x 0.

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TEMA 3. INTRODUCCI ON A LA PROGRAMACI ON LINEAL 25

Clases de problemas lineales El esquema siguiente contiene todas las posibilidades con que nospodemos encontrar sobre existencia de optimos en un problema lineal:

Problema lineal8>>>>>>>>>>>:

infactible

factible 8>>>:acotado ( solucion unicainnitas solucionesno acotado

Veamos ejemplos sencillos de todos los casos:

1) Min. xs.a x y 0

x + y 1x, y 0

2) Min. x ys.a x y 0

x + y 1x, y 0

3) Max. xs.a x y 0

x + y 1x, y 0

4) Max. xs.a x y 0

x + y 12x + y 1x, y 0

Solucion unica Innitas soluciones No acotado Infactible

x y = 0x + y = 1

2x + y = 1

El problema 1) tiene solucion unica en (1 / 2, 1/ 2). Se dice que es una soluci on de vertice porque es unvertice del conjunto de oportunidades.

El problema 2) tiene como soluciones todos los puntos de la recta x y = 0 que pertenecen alconjunto de oportunidades. Se dice que son soluciones de arista innita, porque forman una aristainnita (semirrecta) de la frontera del conjunto de oportunidades. Si el objetivo fuera minimizar x + y,el problema tendra como soluciones a todos los puntos de la arista nita situada en la recta x + y = 1,y entonces se habla de una soluci on de arista.

El problema 3) es no acotado, es decir, aunque es factible no tiene soluci on, porque hay solucionesfactibles con x tan grande como se quiera, luego ninguna es un m aximo de la funci on objetivo. Este caso

solo puede darse si el conjunto de oportunidades no est a acotado, aunque puede ocurrir que el conjuntode oportunidades sea no acotado y el problema sea acotado (es el caso de los problemas 1 y 2).

El problema 4) es claramente infactible.

Del apartado siguiente se desprende entre otras cosas que para problemas lineales no hay m asposibilidades.

Conjunto de oportunidades y existencia de optimos Las observaciones siguientes son consecuen-cias inmediatas de la teora general que ya conocemos:

El conjunto de oportunidades de un problema lineal es convexo.Ello se debe a que est a denido por desigualdades de funciones lineales, luego es una intersecci onde semiespacios, los semiespacios son convexos y la intersecci on de conjuntos convexos es convexa.

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Aunque un problema lineal sea factible, no tiene por que tener soluci on optima. Lo m aximo quepodemos decir en general es lo que arma el teorema de Weierstrass: si el conjunto de oportunidadeses compacto entonces existir a solucion optima. No obstante, puede haber soluci on optima aunqueel conjunto de oportunidades no sea compacto (por ejemplo, es el caso del problema 1 anterior).

Los optimos de un problema lineal (en caso de existir) son globales.Esto es por el teorema local-global, ya que el conjunto de oportunidades es convexo y la funci onobjetivo es a la vez c oncava y convexa, por ser lineal.

Las soluciones optimas de un problema lineal (en caso de existir) son siempre soluciones de frontera,nunca interiores, y al menos una se alcanza siempre en un vertice del conjunto de oportunidades.

Si dos soluciones factibles son optimas, tambien lo son todas las soluciones del segmento compren-dido entre ambas.

3.2 Soluciones factibles b asicasEn la secci on anterior hemos hablado de vertices del conjunto de oportunidades, si bien no hemos

dado ninguna denicion precisa de este concepto. Podramos dar una denici on geometrica de vertice,pero no merece la pena, pues la forma operativa de trabajar con los vertices de un politopo es a travesde una caracterizaci on algebraica que vamos a ver ahora.

Denici on Consideremos un problema lineal en forma est andar con n variables y m restricciones (sincontar las condiciones de no negatividad), es decir,

Max. ct xs.a Ax = b

x 0Una soluci on b asica del problema es una solucion x 2 R n que cumpla las tres condiciones siguientes:

1. Satisface las restricciones Ax = b.

2. Tiene n m componentes nulas, a las que llamaremos variables no b asicas de la solucion. A lasvariables restantes (nulas o no) las llamaremos variables b asicas.

3. La submatriz de A formada por las columnas asociadas a las variables b asicas (a la que llamaremosmatriz b asica de la solucion) tiene determinante no nulo.

Representaremos por xB al vector de variables basicas de una soluci on basica dada, mientras que xN denotara el vector de variables no basicas. La matriz basica la representaremos siempre por B , mientrasque N representar a la matriz no b asica, es decir, la submatriz de A formada por las columnas asociadasa las variables no basicas. Notemos que la matriz b asica es necesariamente una matriz cuadrada.

Para expresar estas descomposiciones escribiremos x = ( xB , xN ), A = ( B, N ), c = ( cB , cN ), etc.

Es importante observar que, pese a la condici on 1 de la denici on, una soluci on basica x no esnecesariamente factible, pues para que lo sea no s olo debe cumplir las restricciones Ax = b, sino tambienlas condiciones de no negatividad x 0, y esto no lo exige la denici on de solucion basica. Cuando unasolucion sea a la vez factible y b asica diremos que es una soluci on factible b asica. 1

Tambien hemos de tener presente que la denici on de solucion basica exige que las variables no basicassean nulas, pero las variables b asicas pueden ser nulas o no serlo.

Una soluci on basica es degenerada si alguna de sus variables basicas es nula.1 Notemos que para que un problema pueda tener soluciones b asicas hace falta que la matriz tecnica contenga un menor

de orden m no nulo (donde m es el n umero de restricciones), lo cual equivale a que tenga rango m . Si no fuera as, podramoseliminar restricciones linealmente dependientes hasta que el rango fuera m .

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Ejemplo Consideremos el problema

Max. 4x + 5 ys.a 2x + y 8

y 5x, y 0

Para poder hablar de soluciones b asicas necesitamos ponerlo primero en forma est andar, introduciendopara ello dos variables de holgura:

Max. 4x + 5 ys.a 2x + y + s = 8

y + t = 5x, y, s, t 0

As tenemos m = 2 ecuaciones con n = 4 inc ognitas, luego la denicion de solucion basica exige queal menos n m = 2 componentes sean nulas. La matriz tecnica es

A =

x y s t2 1 1 00 1 0 1.

Vamos a comprobar que x = (0 , 0, 8, 5) es una soluci on factible b asica del problema. Obviamente,para ello hemos de considerar ( x, y) como variables no basicas y ( s, t ) como variables basicas. Vemos quese cumple la segunda condicion de la denici on. La primera condicion es Ax = b, es decir,

2 1 1 00 1 0 1

0BB@

0085

1CCA

=

85

,

lo cual es cierto. Por ultimo, la tercera condici on exige que la matriz formada por las columnas asociadasa las variables basicas, esto es,

B =

s t1 00 1

tenga determinante no nulo, lo cual es claramente cierto.

Con esto hemos comprobado que x es una soluci on basica. Como ademas satisface x 0, concluimosque es una soluci on factible b asica.

Observaci on importante Si x = ( xB , xN ) = ( xB , 0) es una soluci on basica de un problema lineal, lacondici on Ax = b se reduce a B xB = b (pues A = ( B, N ), y los coecientes de N se multiplican por lasvariables no b asicas, que valen todas 0). Como la matriz b asica B tiene determinante no nulo, existe lamatriz inversa, y podemos despejar:

xB = B 1 b.

Esto signica que si jamos cu ales son las variables basicas, podemos calcular cu anto valen o, dichode otro modo, que no puede haber m as que una soluci on basica con unas variables basicas prejadas.Notemos tambien que puede no haber ninguna. Esto sucede si la submatriz asociada a las (presuntas)variables b asicas tiene determinante 0.

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Ejemplo Continuemos con el problema anterior

Max. 4x + 5 ys.a 2x + y + s = 8

y + t = 5x, y, s, t 0

A = x y s t2 1 1 00 1 0 1,

y vamos a ver si existe una solucion basica con variables basicas (y, t ). Para ello comprobamos que lasubmatriz correspondiente

B =1 01 1

tiene determinante |B | = 1 6= 0, luego s que existe solucion basica. Para calcularla hacemos

yt

= xB = B 1 b =

1 01 1

85

=

83

.

Las componentes no basicas han de ser nulas, luego la solucion basica es

(x,y,s , t ) = (0 , 8, 0, 3).

Como la soluci on no es no negativa, vemos que no es factible, luego concluimos que no hay solucionesfactibles b asicas con variables basicas ( y, t ).

Ejemplo El problema anterior no tiene soluciones b asicas con variables basicas (x, s ), pues la submatrizcorrespondiente es

B =2 10 0

y tiene determinante nulo.

Ejemplo Calcula todas las soluciones factibles b asicas del problema

Max. 2x + ys.a x + y 1

x 2y 0x y 1x, y 0

Soluci on: En primer lugar ponemos el problema en forma est andar y calculamos la matriz tecnica:

Max. 2x + ys.a x + y s = 1

x 2y t = 0x y + u = 1

x, y, s, t, u 0

, A = 0@x y s t u1 1 1 0 01 2 0 1 01 1 0 0 11A

Cada soluci on basica ha de tener tres variables b asicas y dos no b asicas. Hay 10 posibilidades paralas variables basicas:

(x,y,s ), (x,y, t ), (x,y,u ), (x,s,t ), (x,s,u ), (x, t ,u ), (y,s , t ), (y,s ,u ), (y, t ,u ), (s,t,u ).

Para cada una de ellas, hemos de ver si determina una soluci on basica y, en tal caso, ver si es factible.Por ejemplo, para ( x,y,s ) tenemos que la submatriz

B =

0@1 1 11 2 01 1 0 1A

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tiene determinante |B | = 1, luego existe soluci on basica, dada por

0@xys1A

= B 1 b = 0@0 1 20 1 11 2 3 1A0@

101 1A

= 0@212 1A

.

La solucion completa es ( x,y,s , t ,u ) = (2 , 1, 2, 0, 0), que es factible, porque es no negativa.

Si tomamos ( x,y, t ) como variables basicas, la matriz basica ha de ser

B = 0@1 1 01 2 11 1 0

1A.

Como |B | = 2 6= 0, existe solucion basica, dada por

0@xyt1A

= B 1 b =12 0@

1 0 11 0 11 2 3

1A0@1011A

= 0@1011A

.

La solucion completa es ( x,y,s , t ,u ) = (1 , 0, 0, 1, 0). Se trata de una soluci on factible b asica.

Observemos que la solucion que hemos encontrado tiene una variable b asica nula, lo cual hace que estasea tambien la soluci on basica correspondiente a las variables b asicas (x,s,t ) y (x, t ,u ) (se comprueba quelas matrices correspondientes tienen determinante no nulo). Nos quedan 6 casos por estudiar. Procediendodel mismo modo se llega unicamente a una soluci on factible b asica m as, a saber

(x,y,s , t ,u ) = (2 / 3, 1/ 3, 0, 0, 2/ 3).

Las soluciones b asicas correspondientes a los 5 casos restantes resultan ser infactibles.En denitiva, las soluciones factibles b asicas (x,y,s , t ,u ) son

(2, 1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (2/ 3, 1/ 3, 0, 0, 2/ 3).

Si en el resultado del ejemplo anterior eliminamos las variables de holgura, obtenemos los puntos ( x, y)siguientes:

(2, 1), (1, 0), (2/ 3, 1/ 3).

Por otra parte, si representamos el conjunto de oportunidades vemos que es

(2 ,1)

(1 ,0)

(2 / 3,1/ 3)

Vemos as algo que, en realidad, es un hecho general que explica el interes de las soluciones factiblesbasicas:

Las soluciones factibles b asicas de un problema lineal son los vertices de su conjunto de oportunidades.

Ahora podemos reformular en terminos de soluciones factibles b asicas un hecho que ya habamoscomentado en terminos de vertices:

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Teorema fundamental de la programaci on lineal Consideremos un problema de programaci on lineal:

1. Si el problema tiene soluciones factibles, entonces (escrito en forma est andar) tiene al menos una soluci on factible b asica.

2. Si el problema tiene soluci on optima, entonces (escrito en forma est andar) tiene una soluci on optima que es factible b asica.

Esto es crucial porque un problema factible tiene innitas soluciones factibles, pero s olo un numeronito de soluciones factibles basicas. Por lo tanto, si el problema es acotado, para encontrar el optimobasta buscar la soluci on factible b asica donde la funcion objetivo sea mayor (o menor).

Desgraciadamente, calcular todas las soluciones factibles b asicas es, por lo general, una tarea ardua.En el tema siguiente veremos un metodo para rastrear el optimo entre las soluciones factibles b asicas sin

necesidad de calcularlas todas.

Problemas1. Dado el problema

Max. 2x + 3 y + zs.a x + 2 y + z 30

x + y 20x, y, z 0

Determina cuales de las soluciones siguientes son soluciones factibles b asicas:

(10, 10, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 30, 20), (20, 0, 5, 5, 0), (0, 0, 30, 0, 20), (20, 0, 5, 0, 0).

2. Considera el problemaMax. 4x + 2 y + 4 z

s.a x 52x + y + z = 4y + 2 z = 3x, y, z 0

(a) Determina si existe una soluci on factible b asica con variables basicas x, y, z.(b) Comprueba si (1 / 2, 3, 0, 9/ 2), (1, 1, 1, 4), (0, 5, 1, 5) son soluciones factibles basicas. En caso

de no serlo, indica si no son factibles o no son basicas (o ambas cosas).(c) Calcula todas las soluciones factibles b asicas y el valor de la funci on objetivo en cada una de

ellas.(d) Justica que el problema tiene soluci on optima y calc ulala.

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3. Un problema lineal tiene el conjunto de oportunidades indicado en la gura:

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

(a) Calcula (las variables principales de) todas las soluciones factibles b asicas.(b) Si el objetivo es maximizar 4 x y, calcula la soluci on optima.

4. Calcula todas las soluciones factibles b asicas de los problemas

Max. 2x 3ys.a x + y 1

x y 0x, y 0

Max. x + 2 ys.a x + y 3

x y 1x y 1x, y 0

Max. x + 2 ys.a x + 2 y 2

x + 2 y 4x, y 0

e indica la base correspondiente a cada una de ellas. Calcula tambien la soluci on optima.

5. Consideremos el problemaMax. x1 + 2 x2 + 4 x3

s.a x1 + x2 10x1 + 2 x2 + x3 = 14x1 , x2 , x3 0

(a) Determina la soluci on factible b asica correspondiente a las variables b asicas x1 , x2 .(b) Calcula otras dos soluciones factibles b asicas m as.(c) Calcula una solucion basica no factible.(d) Calcula una soluci on factible no b asica.

Cuestiones1. Un problema lineal de maximizar en forma est andar tiene cuatro soluciones factibles b asicas x1 ,

x2 , x3 , x4 , sobre las cuales la funci on objetivo toma los valores z1 = 3, z2 = 4, z3 = 8, z4 = 6.Explica por que no podemos asegurar que x3 es la solucion optima del problema.

2. Razona si el conjunto indicado en la gura puede ser el conjunto de oportunidades de un problemalineal.

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3. La gura representa el conjunto de oportunidades de un problema de programaci on lineal en formacanonica (contenido en el cuadrante x > 0, y > 0). Las letras sobre las aristas indican la variablede holgura correspondiente a la restricci on.

st

u

v

w

(a) Cu antas variables b asicas tiene una solucion basica?(b) De los tres puntos senalados en la gura, di cuales son soluciones factibles basicas y cu ales no.

De los que lo sean, indica cu ales son las variables basicas.(c) Di cu ales de los tres puntos pueden ser optimos del problema y cuales no.(d) Para cada uno de los tres puntos indica si cada una de las variables es positiva, negativa o

nula.(e) Puede ser x una variable no basica en alguna solucion factible b asica?(f) El problema puede ser no acotado?, puede ser infactible?, puede tener soluciones de arista?,

y de arista innita?

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Tema 4

El metodo smplex

Lo visto en el tema anterior nos da un algoritmo muy poco operativo, pero conceptualmente muysimple para resolver un problema lineal: calculamos todas las soluciones factibles b asicas, evaluamos enellas la funci on ob jetivo y nos quedamos con la mejor. Este metodo presenta tres inconvenientes:

1. Solo es valido si el problema es acotado (y no nos dice si lo es o no).

2. Hay demasiadas soluciones factibles b asicas. Por ejemplo, en un problema peque no, con tres res-tricciones y ocho variables, hemos de investigar 56 matrices 3 3, de las que hemos de calcular sudeterminante y, si es no nulo, la matriz inversa.

3. En cada paso, las operaciones a realizar son laboriosas (calcular determinantes e inversas).

En este tema veremos un algoritmo conocido como metodo smplex que simplica enormemente elproceso, a la vez que nos permite determinar si un problema es o no acotado, y si tiene una o innitassoluciones.

4.1 Descripci on general del smplexDado un problema de programaci on lineal, el metodo smplex consiste en partir de un vertice de

su conjunto de oportunidades es decir, de una soluci on factible b asica e ir saltando sucesivamentede una a otra adyacente, de modo que la funci on objetivo mejore siempre (o, al menos, no empeorenunca). Cuando llegamos a una soluci on desde la cual no podemos saltar a otra contigua mejor, elproceso termina, ya sea porque hemos encontrado el optimo, ya sea porque hemos llegado a un extremode una arista innita a traves de la cual la funci on objetivo mejora indenidamente (y el problema es noacotado). Con esto eliminamos los inconvenientes del metodo de fuerza bruta que habamos planteado:

1. Cuando el metodo smplex termina, sabemos si lo hace porque ha encontrado el optimo o porqueel problema es no acotado.

2. No es necesario calcular todas las soluciones factibles b asicas, sino s olo recorrer algunas de ellas porun camino que, en general, lleva con bastante rapidez a la soluci on optima.

3. Una vez calculada una solucion factible b asica, el metodo smplex nos permite calcular otra ad-yacente mediante operaciones muy sencillas, sin necesidad de volver a calcular determinantes omatrices inversas.

Mas concretamente, a cada soluci on factible b asica le asociaremos una tabla que contendr a toda lainformaci on que el smplex necesita para pasar a otra adyacente. Esta informaci on contendra, natural-mente, las coordenadas de la soluci on y el valor de la funci on objetivo, pero tambien lo necesario para

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TEMA 4. EL M ETODO S IMPLEX 35

determinar a cu al de las aristas contiguas conviene saltar para que la funci on objetivo aumente m asrapidamente (en particular, para que nunca disminuya).

Geometricamente, dos vertices de un politopo son adyacentes si est an unidos por una arista, pero enla pr actica usaremos la siguiente caracterizaci on algebraica de la adyacencia. Recordemos que un vertice(o una soluci on factible b asica) est a completamente determinado cuando jamos cu ales de las variablesson basicas.

Teorema Dos soluciones factibles b asicas son adyacentes si y s olo si se diferencian unicamente en una variable b asica, es decir, si hay una unica variable que es b asica para una y no para la otra (y, por consiguiente, hay una variable no b asica para una que es b asica para la otra).

Dicho de otro modo, para pasar de una soluci on factible b asica a otra adyacente, hemos de elegir unavariable b asica para que deje de serlo, y una no b asica para que pase a serlo. El metodo smplex nos dir acomo debemos elegir estas variables para que la funci on objetivo mejore con ello.

4.2 La tabla del smplexConsideremos un problema lineal en forma est andar

Max. ct xs.a Ax = b

x 0

y consideremos una solucion factible b asica x = ( xB , xN ). Recordemos que xB = B 1 b. Teniendo encuenta que xN = 0, observamos que el valor de la funcion objetivo en x es

z = ct x = ctB xB = ctB B

1 b.

La tabla del smplex asociada a la soluci on es la siguiente:

c1 cnx1 xn

cB xB Y = B 1A xB = B 1 b

z = ctB Y w = c z

ctB B 1 b

Hay que aclarar que el xB que aparece a la izquierda, as como los x1 , . . . , x n , representan los nombres de las variables, mientras que el xB que aparece a la derecha representa los valores de las variables basicas.Tambien conviene observar que para calcular cada componente wi del vector w la expresi on explcita es

wi = ci cB B 1A.

En la seccion siguiente veremos la interpretaci on de los datos contenidos en la tabla, pero de momentoveamos un ejemplo de c omo se construye.

Ejemplo Calcular la tabla del smplex correspondiente al problema

Max. 2x + ys.a x + y s = 1

x 2y t = 0x y + u = 1x, y, s, t, u 0

y a las variables basicas x, y, s.

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Soluci on: Ya hicimos parte de los calculos de este ejemplo al nal del tema anterior, pero porconveniencia los repetiremos aqu: Las matrices son

A = 0@x y s t u1 1 1 0 01 2 0 1 01 1 0 0 1

1A, B = 0@

1 1 11 2 01 1 0

1A, b = 0@

1011A

,

B 1 = 0@0 1 20 1 11 2 3

1A, Y = B 1A = 0@

1 0 0 1 20 1 0 1 10 0 1 2 3

1A,

xB = B 1 b = 0@

2121A

.

Con estos c alculos ya podemos construir la tabla:

2 1 0 0 0x y s t u

2 x 1 0 0 1 2 21 y 0 1 0 1 1 10 s 0 0 1 2 3 2

2 1 0 3 50 0 0 3 5 5

Notemos que la parte inferior de la tabla se calcula directamente a partir de los datos de la partesuperior.

Observemos que la submatriz de Y correspondiente a las variables b asicas es la identidad. Estosiempre es as.

Existe un caso que se da con relativa frecuencia en el que el c alculo de la tabla es mucho mas sencillo.Se trata del caso en que la matriz tecnica A tiene una submatriz igual a la identidad y, adem as, el vectorde terminos independientes cumple b 0. Por ejemplo, las variables de holgura proporcionan una matrizidentidad en todos los problemas en los que las restricciones sean de . En este caso, tomamos comovariables b asicas las correspondientes a las columnas que dan la matriz identidad, con lo que B = I ypor consiguiente Y = A, xB = b. Observemos que si no se cumpliera b 0, entonces la soluci on basicano sera factible.

Ejemplo Calcular una tabla del smplex para el problemaMax. 4x + 5 y

s.a 2x + y 8y 5

x, y 0

Soluci on: Introducimos variables de holgura:

Max. 4x + 5 ys.a 2x + y + s = 8

y + t = 5x, y, s, t 0

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De este modo,

A =

x y s t2 1 1 00 1 0 1.

Como los terminos independientes son no negativos, podemos tomar s y t como variables b asicas, yentonces B es la matriz identidad. La tabla correspondiente es

4 5 0 0x y s t

0 s 2 1 1 0 80 t 0 1 0 1 5

0 0 0 04 5 0 0 0

4.3 Interpretaci on de la tabla del smplexPara entender el algoritmo del smplex es necesario saber interpretar sus tablas. Consideremos por

ejemplo el problema

Max. x ys.a x + 2 y 4

x + y 3x, y 0,

)

Max. x ys.a x + 2 y + s = 4

x + y + t = 3x, y, s, t 0,

cuyo conjunto de oportunidades es

(0, 0)

(0, 2)

(3, 0)

(2, 1)

s

t

Aunque podramos construir f acilmente una tabla tomando como variables b asicas las de holgura locual nos situara en el vertice (0 , 0), ser a mas ilustrativo partir del vertice (0 , 2), cuya tabla asociadaes

1 1 0 0x y s t1 y 1/ 2 1 1/ 2 0 20 t 1/ 2 0 1/ 2 1 1

1/ 2 1 1/ 2 03/ 2 0 1/ 2 0 2

La ultima columna de la tabla nos indica que estamos en el punto ( x,y,s , t ) = (0 , 2, 0, 1) y que lafuncion objetivo vale z = 2. Desde este vertice tenemos la posibilidad de saltar al vertice (2 , 1), dondela funcion objetivo vale z = 1, o bien al vertice (0 , 0), donde la funci on objetivo vale z = 0. Vemos, pues,que es mejor saltar a (2 , 1). La cuesti on es como deducir esto de la tabla y no del dibujo.

Ante todo, observemos que saltar a (2 , 1) signica permitir que la variable x deje de valer 0 (pase aser basica), mientras que la variable t pasa a valer 0 (no basica). Igualmente, saltar a (0 , 0) signica quela variable s entra en la base al tiempo que sale y.

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El algoritmo del smplex ser a evidente en cuanto comprendamos el signicado de todos los elementosde la tabla:

Coecientes de la funci on objetivo c j La funcion objetivo es z = c1x1 + + cn xn , luego

cj =@ z

@ x j.

Por consiguiente, cj es el incremento que experimenta la funci on objetivo z por cada unidad que aumenta la variable x j (supuesto que las dem as variables permanecen constantes).

En el ejemplo, vemos que por cada unidad que aumenta la x la funcion objetivo aumenta en 1 y porcada unidad que aumenta la y la funcion objetivo disminuye en 1. Al aumentar las variables s y t lafuncion objetivo no se altera (esto ocurre siempre con las variables de holgura, porque no aparecen en lafuncion objetivo).

Coecientes de la matriz Y Si nos movemos por una arista del conjunto de oportunidades, porejemplo, la que va de (0 , 2) a (2, 1) estamos aumentando la variable x, de modo que pasa de ser no basica(valer 0) a hacerse basica (con valor 2). Ahora bien, no podemos decir que la funci on objetivo aumenta

z =@ z@ x

x = 1 2 = 2 ,

porque, al movernos por la arista, el incremento de x obliga a modicar tambien la y y, en general, amodicar las demas variables basicas. Se puede probar que

yij =@ x i@ x j

,

es decir, yij es el incremento que experimenta la variable b asica x i por cada unidad que aumentamos la variable no b asica x j , supuesto que las dem as variables no b asicas permanecen constantes y que nos movemos sobre una arista del conjunto de oportunidades.

En nuestro ejemplo, si nos movemos de (0 , 2) a (2, 1), es decir, si aumentamos la x pero dejamos ja lavariable no b asica s, por cada unidad que aumenta x la variable y disminuye 1 / 2 y la variable t tambiendisminuye 1 / 2.

Rendimientos indirectos z j Segun lo que acabamos de decir, si nos movemos de (0 , 2) a (2, 1),por cada unidad que aumenta x la y se incrementa en 1/ 2, lo que hace que la funci on objetivo seincremente en y z = ( 1)( 1/ 2), y la variable t se incrementa en 1/ 2, lo que hace que la funci onobjetivo se incremente en t z = 0 ( 1/ 2), luego, en total, la variaci on de las variables basicas produceun incremento en la funcion objetivo de zx = ( 1)( 1/ 2) + 0 ( 1/ 2) = 1 / 2. En general:

zj es el incremento que experimenta la funci on objetivo por cada unidad que incrementamos la variable no b asica x j siguiendo una arista y manteniendo constantes las dem as variables no b asicas debido a la variaci on correspondiente de las variables b asicas.

Rendimientos marginales w j Puesto que wj = cj zj , vemos que wj es la suma de la variacion de zproducida directamente por un aumento unitario de x j mas la variaci on indirecta debida a la modicaci onde las variables b asicas. En denitiva,

wj =@ z

@ x j,

donde ahora consideramos a z solo como funcion de las variables no basicas. Es decir:

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El rendimiento marginal wj es el incremento que experimenta la funci on objetivo por cada unidad que aumenta la variable no b asica x

j, suponiendo que las dem as variables no b asicas permanecen constantes

pero teniendo en cuenta la variaci on necesaria de las variables b asicas para mantenernos sobre una arista del conjunto de oportunidades.

En nuestro ejemplo, la ultima la de la tabla nos dice que si aumentamos la x para ir a (2 , 1) lafuncion objetivo aumenta a un ritmo de 3 / 2 unidades por cada unidad de x, mientras que si aumentamosla s para ir a (0 , 0), la funci on objetivo aumenta a un ritmo de 1 / 2 unidades por cada unidad de s. Enotras palabras, la funci on objetivo crece m as r apidamente si hacemos b asica a la x que si hacemos b asicala s. Esto se ve directamente en la tabla y es la raz on por la que el smplex elige hacer basica a la x.Concretamente, el metodo smplex establece el siguiente

Criterio de entrada (para maximizar) La variable no b asica x j que ha de entrar en la base es aquella para la cual wj > 0 es m aximo. Si hay empate se elige una cualquiera, y si wj 0 para todo j ,

el proceso termina.Notemos que si introdujeramos en la base una variable con ! j < 0 entonces la funci on objetivo

empeorara, y si introdujeramos una con ! j = 0 entonces la funcion ob jetivo se quedara igual. Si no esposible mejorar la funcion objetivo, el smplex termina.

Si el problema es de minimizar, cambiamos el criterio de entrada de forma obvia:

Criterio de entrada (para minimizar) La variable no b asica x j que ha de entrar en la base es aquella para la cual wj < 0 es mnimo. Si hay empate se elige una cualquiera, y si wj 0 para todo j ,el proceso termina.

En cualquier caso, el criterio de entrada es introducir la variable que hace mejorar m as r apidamentea la funcion objetivo. Si no es posible hacerla mejorar, el proceso termina.

Una vez jada la variable que ha de entrar en la base, en nuestro ejemplo la x, falta determinar cu alha de salir. Gracamente hemos visto que ha de ser la t , pero nos falta saber como detectarlo en la tabla.

Para ello nos jamos en la columna de la variable que entra, digamos x j . Por cada unidad queaumentemos x j , cada variable basica x i aumentara yij unidades. Si yij 0, entonces el incremento dex i sera positivo, con lo que x i siempre cumplira la condici on de no negatividad. En cambio, si yij > 0,entonces x i ira disminuyendo, y en un momento dado llegar a a 0. La cuesti on es que variable basicallega antes a 0? Si vamos aumentando la x j , la primera variable b asica que llegue a 0 se habra convertidoen no basica, y ello signicar a que ya hemos llegado al vertice adyacente.

As pues, si x i disminuye yij unidades por cada unidad que aumenta x j y parte de un valor x i , vemosque llegar a a 0 cuando x j haya aumentado x i /y ij unidades. La primera variable b asica que se hace nobasica es aquella para la que x i /y ij sea mnimo (de entre las que cumplen yij > 0). Esto nos da el

Criterio de salida (para maximizar y minimizar) Si el criterio de entrada establece que ha de entrar la variable x j , entonces consideramos todas las variables b asicas x i para las que yij > 0 (las que disminuyen cuando aumenta x j ) y, de entre el las, sale la que hace mnimo a x i /y ij (la que llega antes a 0). Si hay empate se elige una cualquiera, y si yij 0 para todo i, el proceso termina.

Notemos que si todas las yij 0 (y tenemos una variable de entrada x j con wj > 0) esto signicaque podemos aumentar cuanto queramos x j sin que ninguna variable se vuelva negativa, luego tenemossoluciones para las que la funcion objetivo es tan grande como se quiera. En denitiva, el problema esno acotado.

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4.4 El algoritmo del smplexEn la secci on anterior hemos expuesto ya la mayor parte del metodo smplex. S olo falta determinar

como se transforma la tabla de una soluci on factible b asica en la tabla de otra adyacente. De todosmodos, sistematizamos lo que hemos discutido:

Algoritmo del s mplex:

Paso inicial Calcular una tabla asociada a una soluci on factible b asica.Esto puede hacerse calculando Y = B 1A y xB = B 1 b, buscando una matriz B = I (siempre ycuando b 0) o por el metodo de las penalizaciones, que explicaremos despues.

Continuando con el ejemplo de la secci on anterior, partimos de la tabla:

1 1 0 0

x y s t1 y 1/ 2 1 1/ 2 0 20 t 1/ 2 0 1/ 2 1 1

1/ 2 1

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