ISSN Nº 1390 - 3802 matemática - Blog de ESPOL

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matemática UNA PUBLICACIÓN DE FCNM - ESPOL

Volumen 14 Número 1 Abril 2016

Escuela Superior Politécnica del Litoral - ESPOL Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas - FCNM

Z

Y

X

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS El Departamento de Matemáticas (DM) es una unidad académica de la ESPOL. Desde el inicio la función del DM ha sido la docencia en Matemáticas, Ciencias Gráficas e Informática, para la formación de profesionales en ingeniería, tecnología y ciencias, habiendo tenido a su cargo en los albores de la ESPOL, el dictado de 10 materias. Con el transcurso del tiempo y acorde con la era de la información, el Departamento de Matemáticas creó en mayo de 1995 la carrera de “Ingeniería en Estadística Informática”, como alternativa en ingeniería en información y servicios. Posteriormente, con el fin de garantizar la eficiencia en el control y gestión empresarial con profesionales capacitados y de excelencia se creó la carrera de “Auditoría y Control de Gestión” en mayo de 2000. También el Departamento ha incursionado en una de las más importantes ramas de la matemática aplicada que tiene grandes aplicaciones en el mundo moderno, esto es la Investigación de Operaciones, la Teoría de Optimización, y particularmente las aplicaciones logísticas, a través del ofrecimiento de programas de pre-grado y post-grado en estas áreas. Así es como desde el año 2005 se viene ofreciendo la maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística y desde el año 2006 la carrera de Ingeniería en Logística y Transporte. El DM también cuenta con el CENTRO DE INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS, a través del cual, se realizan: estudios de predicción, estudios actuariales, estudios de mercado, diseños de experimentos, planificación y dirección de censos, análisis financieros, bases de datos estadísticos, formulación de proyectos, ingeniería de la calidad, etc. Entre otras actividades que desarrolla el DM anualmente están: las JORNADAS EN ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA que actualmente está en su decimoctava versión, el CONCURSO INTERCOLEGIAL DE MATEMÁTICAS que se viene realizando en forma contínua desde 1988.

Más información: www.icm.espol.edu.ec o escribirnos al e-mail: [email protected], [email protected],

[email protected], 30 ½ vía Perimetral: Edificios 25 – B Planta alta Telfs.: (593-4) 2269525 – 2269526, fax: (593–4) 853138.

Guayaquil – Ecuador

http://www.icm.espol.edu.ec/

matemática

UNA PUBLICACIÓN DE LA FCNM – ESPOL

Volumen 14 Número 1 Abril de 2016

Rector ESPOL: M.Sc. Sergio Flores

Vicerrectora General ESPOL: Ph.D. Cecilia Paredes

Decano FCNM: M.Sc. Oswaldo Valle Sánchez

Subdecano FCNM: M.Sc. Janet Valdiviezo

Director Departamento de

Matemáticas:

Director Departamento de Física:

Directora Departamento de

Química:

Editor de publicaciones:

Ph.D. Francisco Vera

Ph.D. Peter Iza

Ph.D. Paola Almeida

M.Sc. Eduardo Rivadeneira Molina

Comité Editorial: M.Sc. Efrén Jaramillo Carrión

Ph.D. David Matamoros

M.Sc. Luis Rodríguez Ojeda

Ph.D. Francisco Vera

Asesores Editoriales: Ph.D. Fernando Sandoya Sánchez

Ph.D. Joseph Páez Chávez

Ph.D. Sandra García Bustos

Ph.D. Olga González Sánchez

Ph.D. Justo Huayamave Navarrete

Ph.D. (c) Eva María Mera Intriago

Edición:

Ph.D. Francisco Torres Andrade

Ph.D. (c) Antonio Chong Escobar

Ph.D. María Nela Pastuizaca

Luisa Cabeza de Vaca Vélez

matemática es una publicación del Departamento de Matemáticas de la

Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas de la Escuela Superior Politécnica del Litoral, y pretende constituirse en un órgano de difusión científico – tecnológico, con el fin de incentivar y motivar el desarrollo y avance de la matemática y sus aplicaciones.

matemática publica artículos teóricos y de tipo experimental tales como

ensayos, resúmenes de tesis de grado y trabajos de investigación relacionados con la aplicación de la matemática en los diferentes ámbitos de la realidad.

CONTENIDO

EDITORIAL..................................................................................................... 5 REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS

Cabezas Xavier, García Sergio, Delgado Erwin…........................... 7 CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS PISTAS DE UN AEROPUERTO

Cabezas Xavier, Delgado Erwin, Noboa Dalton…………….......... 21 SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES

Caraguay Washington, García Cecilia.……………………...…... 26 ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)

Cascante Roberto, Martín Carlos..………............................................ 34 EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

Rodríguez Ojeda Luis….…...……………..…………........................ 49 MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO

Rodríguez Ojeda Luis.……...……………..…………........................ 60 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE

Sánchez Hernando………………………..…………........................ 66 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE

Sánchez Hernando………………………..…………........................ 76 ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES

Solís Soraya……………………………………………................... 85

EDITORIAL

En estos días un pasajero que se encontraba a bordo de un avión en el aeropuerto de Filadelfia fue obligado a bajar del aparato bajo la sospecha de ser un terrorista, pues la pasajera que estaba sentada cerca de él lo vio muy concentrando en unos misteriosos símbolos y supuso que era algo peligroso. Cuando lo interrogaron las autoridades se dieron cuenta que el supuestamente peligroso hombre era el matemático G. Menzio, profesor de una universidad de la prestigiosa Ivy League de los EEUU, y que los símbolos misteriosos que garabateaba, y que levantaron la sospecha, eran una complicada ecuación diferencial que el matemático estaba intentando resolver. Lo anterior no pasaría de lo anecdótico si no fuera la manifestación de la gran contradicción que existe actualmente entre una dependencia cada vez mayor del desarrollo industrial, científico y tecnológico con las matemáticas frente a una incomprensión mayor y el alejamiento del público común hacia éstas. Y aunque la comunidad matemática y la actividad de la investigación matemática es cada vez mayor en el mundo de hoy, también es preocupante que para muchas personas, una de las cosas más aterradoras son precisamente... las matemáticas. Mucho de este sentimiento adverso radica en que la formación del matemático es rigurosa. Se le enseña a plantear un problema de manera lógica y a resolverlo también de una manera lógica. Y esos conocimientos y forma de abordar las cosas, en general, son poco comunes. Así que no cabe duda que aprender matemáticas nos cambia, y no solo si nos profesionalizamos en esta área del conocimiento, sino incluso cuando las usamos en nuestra vivencia diaria, en la cotidianeidad. Un ejemplo claro de esto es que a medida que los niños aprenden a sumar y restar sin usar los dedos y empiezan a usar la mente, sus conexiones cerebrales se reestructuran y su cerebro se reorganiza, y se deja de resolver problemas haciendo analogías con las cosas concretas para pasar a abordarlos a partir de las representaciones abstractas. Por otro lado, con mucha frecuencia, las matemáticas son vistas como un conjunto de métodos para la manipulación de números, figuras, formas o símbolos, pero éstos solo son productos de las matemáticas y parte de las herramientas utilizadas por la misma; no son la esencia de la materia. Una visión más justa de las matemáticas es verlas como arte y como un proceso creativo de descubrimiento, pues la mayoría de los matemáticos asumen que los teoremas se descubren más que se inventan, y el matemático es guiado por la curiosidad al buscar bellas y elegantes conexiones entre conceptos abstractos. Estos procesos de la matemática implican también un poco de experimentación, pero con las ideas y los símbolos en lugar de las cosas físicas, y hay una emoción intelectual única y tal vez una sensación de placer asociada al trabajo matemático que hace justo catalogar a esta disciplina también como un arte. Pero también son un lenguaje que ha ampliado sus fronteras: ya no es sólo el lenguaje de la física y la ingeniería, las matemáticas se han convertido en una herramienta esencial para la banca, la industria, las ciencias sociales y la medicina, y prácticamente toda área del conocimiento humano. Así, cuando se consideran en este contexto más amplio, vemos que las matemáticas son una parte absolutamente esencial de nuestro futuro debido a su gran alcance y debido a la eficacia de sus procesos. Así que hay un gran reto para acercar al gran público a las matemáticas, pues al contrario de lo que podría pensar más de uno, que nos quita sensibilidad, más bien nos la aumenta, ya que como dijo Charles Darwin, resumiendo la profunda importancia de las matemáticas: “Tal parece que las Matemáticas nos dotan con algo así como un nuevo sentido.” Así pues, los que hacemos Revista Matemática invitamos a los Científicos e

Investigadores de la ESPOL a trabajar para obtener esos descubrimientos asombrosos de los que nos congratulamos.

Matemática: Una publicación del ICM – ESPOL

2016, Vol. 14, No. 1

REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA

MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE

SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS

Cabezas Xavier1, García Sergio

1, Delgado Erwin3

2

Resumen: El presente trabajo muestra una revisión completa y exhaustiva del que a nuestro punto de vista es el primer y más

influyente enfoque para sincronizar los tiempos de semáforos sobre una arteria en una red de transporte. Hemos organizado la

información de los algoritmos propuestos en la publicación original de forma que su lectura y comprensión sea más fluida, no sin antes repasar los teoremas y lemas que justifican y validan el procedimiento. Mostramos además resultados computacionales

aplicando el método sobre una avenida de la ciudad de Guayaquil-Ecuador.

Palabras Claves: Sincronización, semáforos, optimización.

Abstract: In this paper we show a complete and thorough review of the first method for synchronization of traffic lights on an

artery on a transport network. From our point of view is the first and most influential approach to solve this problem. We have organized the information of algorithms proposed in the original publication in order to make reading and understanding more

fluid. It is also presented a review of all lemmas and theorems that justify and validate the complete procedure. Furthermore we

give computational results using the method on a street in Guayaquil-Ecuador with different setups. Keywords: Synchronization, Traffic lights, optimization.

Recibido: Febrero 2016.

Aceptado: Abril 2016.

1. INTRODUCCION Y

MOTIVACION.

Quienes poseemos un vehículo sabemos que

uno de los enemigos del tiempo son los

semáforos. Tratar de evitar una luz roja es casi

una prioridad cuando se trata de llegar a tiempo,

y seguramente más de una vez nos hemos

preguntado del porqué de nuestra mala suerte

cuando transitamos en las calles y avenidas de

la ciudad. La optimización de los momentos en

que un semáforo debe cambiar de verde a rojo

puede mejorar ese retraso producido por parar

demasiado en una intersección. Sin embargo,

dejando a un lado los problemas personales,

también hay muchas razones por las que una

eficiente temporización semáforos podrida

beneficiar globalmente a la sociedad, entre

ellas:

Minimizar la contaminación, debido al

efecto de la generación gases tóxicos

por los cambios de velocidad de los

vehículos al momento de parar y luego

seguir,

Mejorar el movimiento del flujo

vehicular, lo que reduciría los

estancamientos de trafico debido a

colas generadas en las luces rojas, y

Evitar accidentes de tránsito.

Estos problemas a mejorar son observables en

pequeñas y grandes vehículos. Resolver los

problemas de tránsito aquí se vuelve una

prioridad, más aún cuando ciudades, como en 1School of Mathematics, The University of Edinburgh 2Faculty of Science and Technology, Coimbra University 3Delgado Bravo Joffre Erwin, mail:

[email protected]

Guayaquil-Ecuador que con 2’350.915

habitantes [9] poseen un parque automotor de

más de 600.000 Resolver los problemas de

tránsito aquí se vuelve una prioridad, más aún

cuando se sabe que la transportación consume el

27 % de la energía total y casi el 100 % de la

energía utilizada globalmente proviene de

recursos petroleros y de sus derivados, como la

gasolina, ver [11].

El problema en el que se enfoca este estudio

es conocido como PSS, Problema de

Sincronización de Semáforos, o como STLP por

sus siglas en inglés, Synchronization of Traffic

Lights Problem. Muchos autores han dado

varios enfoques de solución, pero a nuestro

entender el más estudiado es aquel que trata de

maximizar el tiempo que un vehículo o grupo

de vehículos puede cruzar una arteria sobre una

red de transporte sin parar debido a la espera de

una luz verde donde un semáforo este

establecido.

Uno de los primero trabajos en esta área y que

inicia un estudio formal y matemático del

problema fue el realizado por Morgan y Little

[1] en el año 1964. Este trabajo muestra un

método sistemático basado en la geometría de

los tiempos para las luces rojas y verdes a lo

largo de una arteria. El procedimiento se aplica

sobre una arteria de dos vías (ida y venida), ya

que el caso de una vía es bastante simple.

Cuando una calle tiene dos sentidos el proceso

de sincronización es combinatorio y por lo tanto

muy difícil de resolver. Sin embargo el

algoritmo presentado por Morgan y Little lo

maneja bastante bien, dentro de los supuestos

que el enfoque original presentó, por ejemplo,

REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS

8

velocidades fijas de los vehículos al transitar de

una esquina a otra. Esta última restricción

n fue relajada en modelos posteriores.

Aunque antes de este artículo, hubieron otros

enfoques geométricos de solución, éste mejoró

los resultados previos considerablemente.

La solución presentada en [1] supone que cada

semáforo sobre una arteria funciona dentro de

un periodo común (ciclo1), el cual es la suma de

los tiempos de rojo y verde, es decir, Si y

son los tiempos de rojo y verde

respectivamente, entonces

para todo semáforo i y j. El largo del periodo es

medido en segundos y representa la unidad de

tiempo para los cálculos del tiempo (Este

supuesto es utilizado en casi todos los enfoques

hasta el día de hoy). Con la ayuda de la

siguiente definición se trataron en este trabajo:

se establecen los casos que

Definición 1 (Bandwidth [1]). Considere una

arteria sobre una red de transporte con una

sucesión de semáforos ubicados sobre sus

esquinas. El bandwidth (ancho de banda) a lo

largo de la arteria es la porción del periodo

durante el cual un vehículo podría comenzar en

una esquina, y por medio de viajar a una

preasignada velocidad, ir a otra sin parar por

una luz roja.

Los dos casos que se resolvieron en 1964

fueron:

Problema 1. Dado un arbitrario número de

semáforos a lo largo de una calle, un periodo

común, los tiempos de rojo y verde para cada

semáforo, y velocidades fijas en cada dirección

n de una arteria de dos vías entre cada par de

adyacentes semáforos, sincronizarlos para

producir bandwidths que son iguales en cada

dirección y tan grandes como sea posible.

Problema 2. Resincronizar los semáforos a

favor de una dirección (si es factible) y darle a

la otra dirección un bandwidth tan grande como

sea posible.

Ya para el año 1966, John D.C. Little [2]

uno de los autores del artículo del año 64,

propone resolver los problemas 1 y 2 utilizando

programación lineal entera (PLE), que en esa

época ya era popular a pesar de las dificultades

de trabajar con variables discretas en esa época

(y aún lo es) y que el mismo autor menciona en

su trabajo. La formulación es simple y utiliza

mucha de la notación de [1], pero muestra

también un pequeño gran aporte a la

sincronización de semáforos ya no solo sobre

una arteria, sino sobre una red, es decir

múltiples arterias que se conectan unas con

1 Aunque el periodo se llamará ciclo, este

concepto no debe confundirse con la definición de ciclo sobre un grafo. Aquí ciclo hace referencia al

largo del periodo.

otras, formando una típica configuración de una

red de transporte en una ciudad. Estos modelos

fueron resueltos utilizando un algoritmo de

ramificación y corte, especialmente diseñado

para estos modelos. La introducción de este

último caso, trajo consigo un problema

adicional, el considerar ciclos sobre el grafo que

representa la red, lo que lo hace mucho más

difícil de tratar porque implica utilizar variables

enteras adicionales en su formulación.

Gartner et al. [3] introdujeron un nuevo

enfoque para el PSS, ellos no trataron de

maximizar el bandwidth, sino más bien tiene

como objetivo minimizar una función de

desempeño de la red, en particular el atraso que

los vehículos incurren debido a parar por luces

rojas. La función objetivo construida es de

hecho no lineal, pero es convexa, y los autores

proponen linealizarla por partes, esto agrega

nuevas restricciones al modelo.

En 1981 Little, Kelson and Gartner

propusieron un sistema computacional llamado

MAX- BAND [4] el cual resuelve los

problemas uno y dos, así como también el caso

sobre una red, vía PLE. Las primeras versiones

tratan el caso de red de transporte para aquellas

cuyos ciclos son formados por solo tres nodos.

Los casos más generales fueron introducidos en

versiones posteriores. En años posteriores

Gartner propuso además considerar bandwidths

variables en cada arco sobre cada arteria, lo que

mejoró los valores de las funciones objetivos

para casos previamente estudiados.

Trabajos más recientes incluyen enfoques

heurísticos y modelos que agregan nuevos

objetivos de interés global, como por ejemplo el

ahorro de energía producida por la congestión

vehicular. Sugerimos como referencia el

artículo de Gartner y Stamatidis [10] y [11] del

año 2014.

Este trabajo muestra la aplicación del

método propuesto por Morgan y Little [1],

ya que lo consideramos fundamental y básico

para empezar una investigación en el área de

Sincronización de semáforos. Hemos aplicado

el procedimiento completo a un caso real y

aunque sincronizar toda una ciudad implica

aplicación de metodologías que incluyen el uso

de algoritmos de aproximación mucho más

elaborados, queremos poner énfasis de que esta

revisión tiene como objetivo motivar la

aplicación de métodos sistemáticos para

resolver problemas que ciertamente son muy

difíciles de resolver.

Sobre el caso de estudio:

Guayaquil, cantón de la Provincia del Guayas,

está ubicado en la parte noroeste de América del

Sur, en la región costera de la República del

Ecuador. Su ubicación geográfica, clima, entre

otros factores, han contribuido para que en él se

X. CABEZAS, S. GARCIA, E. DELGADO

9

concentren gran cantidad de fábricas, industrias

y empresas. Es reconocida como un centro de

negocios y es desde hace algún tiempo el cantón

con mayor densidad poblacional, con un

aproximado de 2’350.915 habitantes [9].

Podría deducirse del hecho de ser la ciudad

con mayor número de habitantes, que la

cantidad de personas que circulan por las vías

de esta urbe porteña utilizando sistemas de

transporte público o privado, podrían

experimentar problemas de flujo de tránsito. De

hecho, el Gobierno Municipal del cantón posee

una dependencia encargada de establecer los

sectores y horas sensibles al tráfico vehicular,

rutas alternativas que coadyuven minimizar las

consecuencias de las horas pico, cálculos

aproximados de tiempos de viaje entre

sectores, así como sincronización de los

semáforos y demás señales de tránsito.

Las propuestas que son puestas en práctica

para solucionar los problemas de tráfico

deberían tener una base técnica y científica

que las soporte. Esto no es algo nuevo o no

aplicado, sin embargo, es posible siempre

ajustar los modelos clásicos de transporte a

situaciones particulares que respeten las

características particulares de la zona en

estudio como situación geográfica, horarios,

tipo de vías, medios de transporte utilizados,

etc.

Justamente, este trabajo busca una

justificación en la aplicación de algoritmos

basados en modelos matemáticos que permitan

colaborar de alguna forma al ordenamiento del

tráfico en Guayaquil y en cualquier ciudad.

1. EL PRIMER ALGORITMO

SISTEMÁTICO DE SOLUCIÓN

(1964).

Notación:

El trabajo original de Morgan y Little [1] tiene

como base la notación que puede ser vista en la

figura 1.

n: Número de semáforos sobre una arteria de

dos vías.

Si: Semáforo i con el subíndice

incrementándose en la dirección de ida.

C: Largo del periodo, (segundos).

ri : Tiempo de luz roja del semáforo Si,

(ciclos).

b ( ): Bandwidth en la dirección de ida

(venida), (ciclos, largo del periodo C ).

θij : Tiempo desde el centro de una luz roja en

Si al próximo centro en Sj . Esto es llamado

fase relativa (offset). Por convención deseamos

que los valores de esta variable cumplan

Figura 1:

Diagrama Distancia-Tiempo. Las líneas negras

representan los tiempos de luz roja y la sección vacía los tiempos de verde. (Gráfico original de

Morgan y Little [1])

Con 0 ≤ θij < 1, (ciclos).

xi: Posición de Si sobre la calle (metros).

( ): Velocidad en la dirección de ida

(venida) entre los semáforos y y

es considerada constante y conocida para todo

k ∈ {1,. . ., n − 1}, (metros/segundos).

: Tiempo de viaje desde a en la

dirección de venida (inbound). Esto ocasiona

que los valores de tij sean negativos ya que se

tendrían que calcular, para el caso donde j = i

+ 1 como:

and

Las letras f y r en la figura 1 representan el

borde frontal (front) y posterior (rear) del

bandwidth respectivamente.

Se definirá ahora el concepto de

sincronización de semáforos:

Definición 2. (Sincronización [1]). Es el

conjunto { θij | j = 1, . . . , n } para i ∈ {

1, . . . , n }.

1.1. BASE MATEMÁTICA DEL

ALGORITMO.

El método es basado sobre una consistente

sucesión de lemas, teoremas y corolarios, que se

detallan a continuación. Aquí cada semáforo Si

será llamado simplemente señal.

Definición 3 (Señal crítica [1]). Una señal Si

se dice crítica si un borde de las luces rojas

toca el bandwidth en una dirección y el otro

lado lo toca en la otra.

Lema 1 ([1]). Si una sincronización maximiza

sujeto a > 0 y > 0, entonces:

1. Existe al menos una señal crítica.

2. El tiempo de luz roja de cualquier señal

crítica tocará el borde frontal de un

bandwidth y el borde posterior del otro.


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3. Todas las señales críticas pueden ser

divididas en dos grupos:

Grupo 1: Formado por la señales

cuyas luces rojas tocan el borde

frontal del bandwidth en la dirección

de ida y el borde posterior del

bandwidth en la dirección de venida

(ver figura 2), y

Grupo 2: Formado por las señales

cuyos tiempos de luces rojas tocan el

borde frontal del bandwidth en la

dirección de venida y el borde

posterior del bandwidth en la dirección

de ida (ver Figura 3).

En relación a la figura 1, las señales Si y S1

pertenecen a los grupos 1 y 2 respectivamente.

Figura 2:

Geometría para dos señales en el grupo 1 (ver [1]).

Figura 3:

Geometría para dos señales en diferentes grupos (ver [1]).

Respecto a la figura 2 se puede notar que

( ) y que

( ) donde int =

integer representa un entero que es sumado

para mantener θ dentro del rango [0, 1). Hay

que notar que dependiendo de la velocidad, int

se incrementará tanto como ciclos hayan

pasado. Ahora, al sumar ambas expresiones

se obtiene:

( )

( ) (1)

Si se considera la figura 3 se obtiene la misma

expresión. Además, es claro que dependiendo

de si int es par o impar podrá tomar dos

valores.

Una ecuación mucho más explícita puede ser

deducida utilizando la función mantisa (man):

man(#) = # − floor(#), donde # ∈ R.

Por lo tanto, desde la ecuación 1 se puede

definir:

Definición 4 (Sincronizaciones de Medio

Entero [1]). Una Sincronización de Medio

Entero

[

( ] (2)

Donde ∈ {

} ∈ {0, 1}

El mismo resultado puede ser obtenido desde

las señales críticas del grupo 2. Lo que se ha

probado en estos últimos párrafos es lo

siguiente:

Lema 2 ([1]). Bajo las condiciones del

lema 1, cada grupo de señales tiene

sincronización de medio entero.

También, una importante propiedad de

θ es:

[ ]

[ [

( ) ]

[

( ) ]]

[

( )

( )

( )

( )]

[

( )

( )]

[ [

( ) ]]

[

( ) ]

Teorema 1 ([1]). Existe una sincronización de

medio entero que maximiza bandwidths de igual

ancho.

El esquema de la prueba es más bien

geométrico, constructivo y fácil de seguir, ya

que trata de construir paso a paso una

sincronización de medio entero a partir del

supuesto que se tiene una que produce el

máximo de la suma de los bandwidths en ambas

direcciones ( ), ver [1].

También en la prueba se demuestran dos hechos

importantes, el primero es:

Corolario 1.- ([1]). Si se tiene que el máximo

de es mayor que cero, ( )

sujeto a b > 0 and > 0 es siempre igual a

( )

Y el segundo hecho es que si se obtiene

en el proceso de ( ) sujeto a b > 0 and

b > 0 y , están en diferentes grupos,

entonces y también tiene sincronización

de medio entero. Esto es fácilmente verificable

de la siguiente forma, en la figura 3 (a)


11

( ) y desde la

figura 3 (b)

( ), y restando la segunda ecuación desde la

primera se obtiene:

( )

( )

Teorema 2 ([1]). Bajo cualquier sincronización

de medio entero, b .

Demostración. Debido a que las señales críticas

definen cotas para los bandwidths, Es suficiente

considerar señales críticas para el análisis.

Nuevamente en relación a las figuras 3(a) y (b),

[

( )]

[

( )]

( )

( )

y porque

( )

( )

2. SINCRONIZACIÓN PARA

BANDWIDTHS DE IGUAL TAMAÑO.

2.1. PROCEDIMIENTO SEB.

Para construir el método SEB (por sus siglas en

inglés: Synchronization for Equal Band-width)

para el problema 1, Morgan y Little solo

enfocaron su búsqueda en sincronizaciones de

medio entero y analizaron el bandwidth en una

sola dirección (ida), esto gracias a los teoremas

1 2 respectivamente.

Teorema 3 ([1]). La máxima suma de

bandwidths iguales es alcanzada con max {0,

B} donde,

Sea i = c un maximizador i y los

correspondientes maximizadores . Entonces,

una sincronización para la máxima suma de

bandwidths iguales se logra

sustituyendo el en [

(

) ]

Demostración. En relación a la figura 4, se

tiene [

], pero

para hacer justo cuando esta expresión es

cero, puede ser escrita como

[

] y reemplazando

θ desde la ecuación 2, se tiene,

( ) [

( )

( ) ]

Figura 4:

Geometría para el procedimiento SEB (ver [1]).

Ya que ∈ {

} y de acuerdo a la figura 4, el

mejor valor para puede ser obtenido por,

∈{ }[ ( ) ]

Sea,

: El más grande bandwidth en la dirección de

ida bajo la sincronización de medio entero si el

tiempo de luz roja Si toca el borde frontal de la

misma.

B: El valor de una de las máximas sumas de

bandwidths iguales en ambas direcciones.

Entonces:

∈{ }[ ( ) ] ya que

las trayectorias no deberían cruzar las líneas

rojas. Por lo tanto el mejor i es Tal que,

∈{ }{ ( ) }

Si el mejor i es igual a c, y los

maximizadores , la sincronización logrará

sustituyendo los en la ecuación 3 para

obtener el conjunto { }

El procedimiento SEB se resume en la figura 5.

𝒖𝒊𝒋 𝒓𝒋 𝒖𝒊𝒋


12

Figura 5:

Procedimiento SEB.

3.2. PROCEDIMIENTO SUB.

Luego de resolver la maximización para la

suma de bandwidths iguales en ambas

direcciones, los esfuerzos se centraron en el

problema 2, al desarrollar el procedimiento

SUB (por sus siglas en inglés: Synchronization

for Unequal Bandwidth). Claramente un

pelotón (grupo de vehículos) necesita algún

tiempo para cruzar un semáforo, y el largo del

pelotón (que es medido en segundos) podría

llegar a ser diferente en ambas direcciones.

El tiempo que a un pelotón le toma pasar de

una señal a otra consecutiva sobre una arteria

claramente afecta la sincronización, por lo

tanto el primer paso es evaluar que tanto una

luz roja puede ser movida (procedimiento de

movimiento) con el fin de evitar que los

vehículos se detengan en cada señal. Es claro

también que debe existir un límite para este

movimiento.

Teorema 4 (El Procedimiento Movimiento

[1]). El bandwidth en la dirección de ida b, se le

puede asignar cualquier valor en { }

, haciendo el siguiente movimiento de la

fase relativa:

{ }

.

Entonces { } y es tan

grande como pueda sea possible para un b dado.

De la misma forma, el bandwidth en la

dirección de venida , se le puede asignar un

valor en { } , haciendo el

siguiente movimiento de la fase relativa:

{ }

Entonces { } y b es tan

grande como pueda sea posible para un dado.

Demostración. Sea,

: La sincronización que produce el

máximo valor de la suma de los bandwidths

iguales obtenida con el procedimiento SEB y

con la señal crìtica cuya luz roja toca el

borde frontal del bandwidth en la dirección de

ida (ver figura 6). Los correspondientes

y B también se suponen

conocidos.

: Un movimiento de la fase relativa para ,

(ciclos).

[ ] : Fase relativa ajustada

para , (ciclos).

{ }: El más pequeño tiempo de

luz verde entre las señales, (ciclos).

Respecto a la figura 6 (a), suponga que se desea

mover a la izquierda porque se quiere

incrementar el bandwidth en la dirección de ida

desde B a b. se reducirá tanto como b es

incrementado. Esto es gracias al corolario 1.

Además, debido a que las señales limitan el

movimiento, éste puede ser a lo mucho . Por

lo tanto, { } y { } Un argumento similar se puede utilizar para

incrementar b, entonces { }y

{ }, ver figura 6(b).


13

Figura 6: Geometría para el Procedimiento de Movimiento (ver [1]).

Al ubicarse sobre el lado derecho del tiempo

de luz roja en la figura 6 (a), Se puede notar

que el movimiento para es a la izquierda

dado por { }

Además, es cierto gracias a la figura 6 (b), que

la distancia desde el borde frontal del

bandwidth en la dirección de venida al siguiente

tiempo de luz roja sobre la izquierda es la

misma que la distancia desde la parte posterior

del bandwidth en la dirección de venida al

siguiente tiempo de luz roja sobre la

derecha, Esto es debido al teorema 2 para

mantener constante . También se puede

observar en la figura 6 (b) que para

incrementar es necesario mover

{ } a

Luego de revisar las reglas para el movimiento

de señales se define el Procedimiento SUB

como sigue:

Sea,

( ): Largo del pelotón en la dirección de ida

(venida), (cycles).


14

Figura 7:

Procedimiento SUB

Si , la sincronización dada por el

procedimiento SEB es aceptada. Caso

contrario, si entonces es posible

hacer un movimiento para que ambos pelotones

puedan cruzar de una sen˜al a otra consecutiva

sin parar y los bandwidths son divididos

proporcionalmente al largo de los pelotones si

es posible. Por lo tanto si

{

} [ ]

Por otro lado si y si es posible,

el pelotón cuyo tiempo es el más largo es

acomodado para cruzar sin parar, y el tiempo

que sobre se lo asigna al más pequeño, por su

puesto si existe este sobrante, es decir si ,

{ } { }

Además, si entonces b será cero y b

será . Argumento similares se aplican si .

El procedimiento SUB se resume en la figura

7.

Los procedimientos SEB y SUB se han

programado en el lenguaje Matlab® R2013a y

el ejemplo presentado en [1] (synchronization

of the signals on a stretch of Euclid Avenue in

Cleveland under off-rush hour conditions) se ha

reproducido, ver apéndice 5. Además es este

algoritmo completo el que se ha utilizado para

ejemplos simulados sobre una arteria particular

de la ciudad de Guayaquil.

Para concluir se responde a la siguiente

pregunta, ¿Qué sucede con el caso

unidireccional? Gracias a los resultados

mostrados hasta ahora esta pregunta se

resuelve con facilidad asignando al pelotón en

la dirección de ida el largo 2B y en ese caso el

bandwidth tomará el valor del mínimo verde

en esa dirección, como debe esperarse ya que no

se necesitaba del algoritmo para saberlo.


15

4. UNA APLICACIÓN SOBRE UNA

ARTERIA DE GUAYAQUIL.

Figura 8:

Un Sector de la Avenida Juan Tanca Marengo.

Guayaquil-Ecuador.

Se ha utilizado un tramo de la AV. Juan Tanca

Marengo de Guayaquil, ver figura 8. Esta

elección se ha hecho debido a que esta es una

arteria de dos vías muy importante, ya que une

el sector norte con el sector noroeste, pasando

por la ciudadela Marta de Roldos, El Colegio

Americano de Guayaquil y por otros puntos

importantes de la zona. La avenida llega hasta la

intersección de la Vía a Daule, lo que implica

un fuerte ingreso vehicular hacia la arteria.

Se han ubicado 6 semáforos dispuestos a

una distancia que se encuentra en azul en la

figura 8 y en la tabla 1. El resto de datos de

entrada han sido establecidos en base a datos

tanto reales como simulados, como se verá en lo

que sigue de esta sección.

Figura 9:

Límites de Velocidad en Guayaquil. Tomado de

[12].

Los ejemplos a continuación han sido resueltos

utilizando los procedimientos SEB y SUB, los

cuales han sido programados utilizando

MATLAB® R2013a.

Tabla 1:

Datos de entrada. Av. Juan Tanca Marengo.

Semáforo (i)-

Semáforo (j)

Distancia

(metros)

velocidad

(ida y regreso) (m/seg)

1-2 825 16,7

2-3 556 16,7

3-4 836 16,7

4-5 985 16,7

5-6 336 16,7

Total 3538 16,7

En un primer ejemplo, las velocidades tanto

en la dirección de ida como en la de venida, han

sido fijadas en 60 km/hora lo que equivale a

16,7 metros/segundos aproximadamente, esto en

base a los límites de velocidad que regulan el

tránsito en la Av. Juan Tanca Marengo, ver

figura 9. El largo de periodo es 90 segundos y

los tiempos de luces rojas para cada señal, en

unidades de ciclo, están dadas por el vector [0,

40, 0,42, 0,43, 0,42, 0,42, 0,44].

Los valores de los s obtenidos, luego de

aplicar el procedimiento SEB son s = [0,5, 0,

0,5,0, 0,5, 0], siendo la señal crítica de base la

número 6(maximizador del bandwidth), es decir

que esta señal se considera el origen para

ubicar el resto de señales a las distancias s.

Estos valores se utilizan para graficar el

diagrama espacio-tiempo de la figura 10. El

valor de bandwidth, que es el mismo en este

caso para ambas direcciones es

ciclos ó 29,1150 segundos.

Figura 10:

Sincronización. Caso Arterial.

Ejemplo 1. P = .

Las líneas horizontales en el diagrama espacio

tiempo de la figura 10, representan los tiempos

de luces rojas que no se deberían cruzar con el

intervalo de tiempo del bandwidth, que

se aprecia con líneas paralelas. Aquellas con

pendiente positiva son en dirección de ida, y

con pendiente negativa de venida. Por

simplicidad se han graficado solo un bandwidth


16

de cada tipo, pero la sincronización hace que

después de cada tiempo rojo una banda verde

puede ser ubicada en ambas direcciones.

Con un pequeño cambio en el tamaño del

periodo de T = 90 segundos a T = 60 segundos

la sincronización cambia como se nota en la

figura 11. El bandwidth total en este caso

disminuyó a b = 0,2068 y los valores de θ,

cambiaron a θ′s = [0, 0,5, 0, 0, 0, 0,5], aunque

esta vez la señal de base es la número 1. Esto

implica que una reducción del tiempo en el

periodo T, lo que equivale a disminuir el

tiempo de luces rojas, produce una ancho de

banda verde menor.

Figura 11:


Ejemplo 2. P = .

Si se establece que la dirección de ida es la que

va desde la señal 1 a la 6 y cambiando las reglas

del juego al considerar que los pelotones en

ambas direcciones no son iguales, por ejemplo

P = 0,3 ciclos y P = 0,1 ciclos, y manteniendo

el largo del periodo en 90 segundos, se obtiene

diferentes valores del bandwidth en las

direcciones contrarias. En este ejemplo se

logra b = 0,4852 y b = 0,1617, es decir b + b

= 0,6469, que como se esperaba, es igual a 2b =

2(0,32345) del primer caso presentado. Aquí

además se tiene

θ′s = [0, 4744, 0, 0,3782, 0,9394, 0,5, 0,8383],

ver figura 12.

Aunque el ancho de las líneas paralelas en la

dirección de ida es más amplio que en las de

venida, en ambos casos los pelotones han sido

acomodados para que crucen la avenida sin

detenerse, favoreciendo a aquel grupo de

vehículos con una largo mayor.

Figura 12:


Ejemplo 3. .

El cambiar las velocidades sobre la arteria, lo

cual tiene sentido en diferentes sectores del

tramo, a diferentes horas del día, el resultado,

con los mismos datos anteriores puede ser visto

en la figura 13. Aquí las velocidades fueron

establecidas como [18,0, 14,0, 16,8, 11,3, 12,1]

y [17,8, 0,8968, 0,3331, 0,8314, 0,8682, 0,0435]

entre las señales en la dirección de ida y venida

respectivamente. Los bandwidths encontrados

fueron b = 0,3954 y b = 0,1318, por lo tanto b +

b = 0,5272. Además θ′s = [0,3976, 0,8968,

0,3331, 0,8314, 0,8682, 0,0435] en referencia a

la señal 5.

Figura 13:


Ejemplo 4. .

5. CONCLUSIONES.

El procedimiento de Morgan y Little es

computacionalmente rápido, pero sus

limitaciones en restricciones lo podrían hacer

ver como un método poco aplicable a casos de

la vidareal, pero esto no es del todo cierto. La

mayoría de las ciudades tienen una

programación de semáforos y velocidades de

vehículos ya establecidas, y el problema sigue


17

siendo como mover los tiempos de las señales

para mejorar el flujo vehicular. Por lo tanto,

concluimos que el caso arterial aún sigue siendo

importante, sin embargo hay que recalcar que

un modelo lineal para este problema, es en la

actualidad, mucho más práctico gracias en parte

al gran avance de motores de optimización que

se tienen en la actualidad, incluso aquellos que

vienen incluidos en programas que manejan

lenguajes de programación de alto nivel.

Esto último es la principal justificación de

estudiar este primer método sistemático, ya

que el modelo lineal para este caso es en casi su

totalidad basado en este inicial enfoque, de

hecho, fue propuesto por el mismo autor, ver

Little [2]

Ciertamente el problema global debe implicar

una red completa y los movimientos que los

vehículos deben hacer sobre esta. Wünsch [5]

demostró que este problema es NP-hard. Pero

como se ha mencionado antes, el propósito que

busca este estudio es el de socializar este

primer procedimiento sistemático, y como se

puede leer en la introducción, este es solo el

comienzo de una larga trayectoria de modelos,

en particular de programación matemática que

han sido bastamente utilizados en la academia y

en la práctica. Sin embargo casos de estudios

reales son mayormente abordados utilizando

software comercial, y el que probablemente

sea el de mayor éxito es TRANSYT [8] que,

de hecho, utiliza algunos procedimientos

heurísticos y de simulación para alcanzar una

solución aproximada. Transyt, no trata de

maximizar el bandwidth, sino más bien busca

minimizar una muy completa función

objetivo que considera entre otras cosas el

tráfico y una medida del atraso que sufren los

vehículos cuando circulan sobre una red de

transporte. Este claro es otro enfoque.

Finalmente, la experiencia en programación de

este procedimiento nos llevó a la conclusión que

su implementación no es muy compleja, pero

entender cada uno de sus pasos, incluidos sus

fundamentos matemáticos, es de vital

importancia para una correcta interpretación

de los resultados.


18

REFERENCIAS

[1]. John T. Morgan and John D. C. Little.

Synchronizing traffic signals for

maximal bandwidth. Operations

Research, Vol. 12, No. 6, Special

Transportation Science Issue (1964),

pp. 896-912.

[2]. John D. C. Little. The synchronization

of traffic signals by mixed-integer

linear programming. Operations

Research, Vol. 14, No. 4 (1966), pp.

568-594.

[3]. N. H. Gartner, D. C. Little, H. Gabbay.

Optimizaction of traffic signal settings

by mixed-integer linear Programming;

part I: The network coordination

problem; part II: The network

synchronization problem.

Transportation Science 9, (1975), pp.

321-363.

[4]. D. C. Little, M. D. Kelson, N.H.

Gartner, MaxBand: A versatile

program for setting signal on arteries

and triangular networks.

Transportation Research Record

(1980), 795, 40.

[5]. G. Wu¨nsch. Coordination of traffic

signals in networks. Technische

UniversitA Berlin. PhD thesis (2008).

[6]. T. Kavitha, C. Liebchen, K.

Mehlhorn, D. Michail, R. Rizzi, T.

Ueckerdt, K. Zweig. Cycle bases in

graphs: Characterization, algorithms,

complexity and appli- cations.

Computer Science Review, Vol. 3,

Issue 4 (2009), pp. 199-243.

[7]. Christian Liebchen and Romeo Rizzi.

Classes of cycle bases. Discrete

Applied Mathematics. Elsevier. (2006).

[8]. Cohen S.L. Concurrent use of

MAXBAND and TRANSYT signal

timing programs for Arterial Signal

Optimization. Transportation Research

Record, Vol. 906, pp. 81-84, (1983).

[9]. INEC. Instituto Nacional de

Estadísticas y Censos.

http://www.ecuadorencifras.gob.ec/cen

so-de-poblacion-y-vivienda/. Censo

de Población 2010. Ultimo acceso:

Abril 2015.

[10]. Gartner, N. H. and Stamatiadis, C.

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arterial and route-based priority signal

networks Intelligent Transportation

System, Copy- right Taylor and

Francis Inc. (2004).

[11]. Essam H. Almasri. Signal coordination

for saving energy and reducing

congestion using TRANSYT-7F

Model and Its Application in Gaza City

Natural Resources, (2014).

[12]. Noticias de Ecuador. Límites de

velocidad en Guayaquil.

http://ecuadorecuatoriano.blogspot.co.u

k/2012/08/limites-de-velocidad-en-

guayaquil.html. Ultimo acceso: Abril

2015.


19

7. APENDICE.

Ejemplos el caso aterial


20


2016, Vol. 14, No. 1

CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE

PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS PISTAS DE

UN AEROPUERTO Cabezas Xavier

1, Delgado Erwin

2, Noboa Dalton

3

Resumen: Uno de los problemas que enfrentan los operadores aéreos es establecer la secuencia de configuración de las pistas del

aeropuerto en un horizonte de planificación. La secuencia de configuración de las pistas en el horizonte de planificación incide

directamente en la capacidad de los aeropuertos para atender tanto llegadas como salidas de aviones. Otro aspecto a considerar es

que algunas configuraciones no están disponibles en determinados periodos en la mayoría de los casos por cuestiones

meteorológicas. En el presente trabajo se presenta un método para el cálculo de una cota superior para el problema de

planificación de configuraciones de un aeropuerto en un horizonte de planificación.

Palabras claves: heurística, planificación, aeropuertos

Abstract: One of the operational problems faced by aircraft operators is to establish the sequence of setting the airport runways in

a planning horizon. The configuration of the runways in the planning horizon directly affects the capacity of airports to meet both

arrivals and departures of aircraft. Another aspect to consider is that some configurations are not available in certain periods in

most cases due to weather issues. In the present work, a method for calculating an upper bound for the planning problem

configurations of an airport in a planning horizon is presented.

Keywords: heuristic, planning, runway.

Recibido: Marzo 2016.


1. INTRODUCCIÓN

Uno de los problemas que enfrentan los

operadores aéreos es establecer la secuencia de

configuración de las pistas del aeropuerto en un

horizonte de planificación. La secuencia de

configuración de las pistas en el horizonte de

planificación incide directamente en la

capacidad de los aeropuertos para atender tanto

llegadas como salidas de aviones. Otro aspecto

a considerar es que algunas configuraciones no

están disponibles en determinados periodos de

tiempo en la mayoría de los casos por

cuestiones meteorológicas.

Así, visto de una manera integral, este

problema incorpora establecer no sólo la

secuencia de configuración de las pistas sino

administrar las mismas, es decir determinar el

número de llegadas y partidas en un periodo

específico de tiempo con el objeto de minimizar

los costos de operación del aeropuerto debido a

vuelos postergados sujeto a las restricciones de

capacidad de los aeropuertos.

Generalmente, la capacidad de los aeropuertos

que operan en una configuración dada se

representa a través de la “runway configuration

capacity envelope” (RCCE) (Gilgo 1993, 1997). 1Xavier Cabezas, Departamento de Matemáticas, ESPOL.

(e-mail: [email protected]) 2Delgado Erwin, Departamento de Matemáticas, ESPOL.

(e-mail: [email protected]) 3Noboa Dalton, Departamento de Matemáticas, ESPOL. (e-

mail: [email protected])

Una RCCE es una región convexa que permite

establecer los niveles de operación, tanto en

arribos como en salidas de un aeropuerto, bajo

ciertas configuraciones y otras condiciones

operativas, en específicos periodos. Por

ejemplo, en la figura 1, se muestran dos RCCE

para diversas condiciones operativas. Así, la

VMC (“visual metereorological conditions”)

muestra la capacidad del aeropuerto bajo

condiciones visuales de operación, mientras que

la IMC (“instrument meteorological

conditions”) muestra la capacidad del

aeropuerto bajo condiciones instrumentales de

operación.

Por otra parte, el punto 4 muestra que sólo se

puede operar en VMC y no en IMC. En cambio,

el punto 1 no es operativo bajo ninguna

configuración.

Figura 1:

RCCE bajo condiciones VMC y IMC. Fuente: 3

CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS

PISTAS DE UN AEROPUERTO

22

2. REVISIÓN DE LITERATURA

Esta problemática fue abordada parcialmente

por Gilbo [1], donde propone un MIP (“mixed

integer problem”) para determinar el balance

entre arribos y salidas con el objetivo de

minimizar los costos totales por atrasos de

vuelos, sujeto a una secuencia de

configuraciones del aeropuerto conocido a

priori. Sin embargo, es conocido que optimizar

procesos locales no conllevan necesariamente a

una optimización global del problema.

En este contexto, Dimitris Bertsimas et al [3],

propone un MIP que aborda esta problemática

de una manera integral incorporando una serie

de variantes al modelo básico. Así, inicialmente

considera que los tiempos de cambios entre

configuraciones es de un periodo de tiempo,

luego de lo cual incorpora la posibilidad de

cambiar la duración de los cambios de

configuración bajo un enfoque de discretización

de los periodos. Asimismo, establece que si el

tiempo de intercambios entre configuraciones es

igual a un periodo, existen un máximo de

( ) restricciones, ( )

variables enteras y variables continuas

siendo el número de periodos, el número de

partes lineales de las curvas y el

número de configuraciones.

Por último, aborda el hecho de que la

planificación de la demanda en un aeropuerto no

solo afecta al mismo, sino a los aeropuertos

cercanos ya que, dependiendo de las

condiciones de operación de los aeropuertos, la

demanda en ciertos periodos puede ser derivada

a otros aeropuertos.Por lo antes expuesto, en el

presente trabajo se pretende determinar una cota

superior para el problema descrito inicialmente,

con el objeto de que en futuras investigaciones

sea utilizado en la definición de criterio de

parada de algún otro método de solución.

3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA

Dimitris Bertsimas et al [3], presenta un

enfoque basado en un modelo de programación

entero mixta que permite encontrar la solución

óptima del problema definido anteriormente.

Para el efecto, se han definido las siguientes

componentes:

3.1. Conjuntos y parámetros

Conjunto de periodos.

Conjunto de configuraciones disponibles en

el periodo .

Conjunto de secciones lineales de la más

alejada RCCE disponible para la configuración

en el periodo .

Número de arribos planificados en el

periodo

Número de salidas planificadas en el periodo

.

Costo por unidad por avión con retraso en el

arribo en el periodo .

Costo por unidad por avión con retraso en el

despegue en el periodo

3.2. Variables

Con el objeto de formular un modelo de

programación entero mixta, se procede a definir

las siguientes variables.

{

Número de arribos atendidos si el

aeropuerto opera en la configuración en el

tiempo .

Número de salidas atendidos si el

aeropuerto opera en la configuración en el

tiempo .

Número de arribos no atendidos en el tiempo

.

Número de salidas no atendidas en el tiempo

.

3.3. Formulación matemática

∑( )

(1)

s.a

∑

(2)

∑

(3)

(4)

∑

(5)

∑

(6)

X. CABEZAS, E. DELGADO, D. NOBOA

23

(7)

(8)

(9)

(10)

La restricción (1) representa la función

objetivo, el cual es minimizar los costos totales

por retrasos tanto en arribos como en salidas. La

restricción (2) relaciona los niveles de arribos

atendidos, los no atendidos y su respectiva

demanda en cada periodo de tiempo. De manera

similar, la restricción (3) relaciona los niveles

de salidas atendidos, los no atendidos y su

respectiva demanda en cada periodo de tiempo y

para cada configuración disponible en ese

periodo de tiempo. La restricción (4) garantiza

que los niveles de demanda tanto de arribos y

salidas satisfagan las condiciones de operación

del aeropuerto. La restricción (5) garantiza que

en cada periodo de tiempo a lo mucho una

configuración esté operativa. La restricción (6)

garantiza que en dos periodos consecutivos de

tiempo no existan configuraciones distintas. Las

restricciones (7), (8), (9), (10) se refieren a la

naturaleza de las variables.

4. CÁLCULO DE COTA SUPERIOR

Con el objeto de obtener una cota superior al

problema de planificación de las

configuraciones de las pistas en un aeropuerto,

se propone un algoritmo el cual se encuentra

dividido en dos etapas.

4.1. Construcción de la secuencia de

configuraciones.

Para la etapa 1, se procede a construir una

secuencia de configuraciones en el horizonte de

planificación, es decir, en esta primera etapa se

planificará una configuración en cada periodo

del horizonte de planificación.

Para el efecto, se procede a implementar un

algoritmo glotón, el cual privilegia las

configuraciones que se encuentran activas de

manera continua en un mayor número de

periodos. A breves rasgos el pseudocódigo de

esta etapa está dado por los siguientes pasos:

Paso 1: Ordenar las configuraciones de

mayor a menor número de periodos

consecutivos en que las mismas son

admisibles. Sea el mayor número de

periodos consecutivos en que la

configuración es admisible

Paso 2: Asignar la configuración a los

primeros periodos.

Paso 3: Incorporar la configuración nula al

periodo (es decir, en este periodo no

se encuentra operativo el aeropuerto) debido

a cambio de configuración. Si no todos los

periodos tienen asignado alguna

configuración, regresar al paso 1, caso

contrario finalizar.

4.2. Asignación de requerimientos de arribos

y salidas

En esta etapa, con base en la secuencia de

configuraciones del horizonte de planificación,

se procede a establecer los niveles de arribos y

salidas en cada periodo, satisfaciendo que el

punto de operación (arribos y salidas) satisfaga

los niveles de operación del aeropuerto en una

configuración dada.

Para el efecto, y dado que el costo de un arribo

atrasado cuesta más que el de una salida

atrasada, se realiza iterativamente un incremento

en una unidad tanto los arribos como las salidas

empezando por los arribos, tal como se muestra

en la figura 2.

Figura 2:

Asignación de arribos y salidas en cada periodo

A breves rasgos el pseudocódigo de esta etapa

está dado por los siguientes pasos:

Sean el número de partidas en el tiempo , y

el número de arribos en el tiempo ,

Paso 1 Sean

CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS

PISTAS DE UN AEROPUERTO

24

Paso 2: Si y ( ) , hacer:

Paso 3: Si y ( )

Paso 4: . Mientras que no todos los

periodos tengan asignado los arribos y partidas

entonces regresar al paso caso contrario

finalizar.

5. RESULTADOS COMPUTACIONALES

El algoritmo propuesto ha sido ejecutado en

un computador con características de procesador

Intel Core 2 Duo 2.80 Ghz con 4GB de RAM.

En la tabla 1, se muestran los resultados, tanto

de forma exacta así como las cotas superiores

obtenidos a partir del algoritmo, al implementar

diversas instancias en GAMS (para el modelo

exacto) y en Mathematica 9.0 (para el

algoritmo)

3

2

1

Insta

ncia

15

556

10

134

44

98

Va

lor ó

ptim

o

18

822

.76

12

060

56

18

Co

ta

Su

perio

r

34

2.1

32

2.1

12

3.2

Desv

iació

n

están

da

r

0.0

512

4

0.0

444

6

0.0

062

8

Tiem

po

Co

mp

uta

cion

al (s)

6. CONCLUSIONES Y

RECOMENDACIONES

Con base en los resultados obtenidos, se puede

evidenciar que el algoritmo propuesto, produce

en promedio cotas superiores en alrededor del

20% del valor óptimo. Una posible mejora a

esta propuesta es incorporando estructuras de

memoria en el proceso de búsqueda local.

X. CABEZAS, E. DELGADO, D. NOBOA

25

REFERENCIAS

[1] Eugene P. Gilbo. Optimizing Airport

Capacity Utilization in Air Traffic Flow

Management Subject to Constraints at Arrival

and Departure Fixes. IEEE Transactions On

Control Systems Technology, Vol. 5, No. 5,

September 1997

[2] Michael Joseph Frankovich. Air Traffic

Flow Management at Airports: A

Unified Optimization Approach. Ph. D. thesis.

(2012)

[3] Dimitris Bertsimas, Michael Frankovich,

Amedeo Odoni, (2011) Optimal Selection of

Airport Runway Configurations. Operations

Research 59(6):1407-1419.

[4] Richard E. Rosenthal. GAMS: A User´s

Guide. GAMS Development Corporation,

Washington, DC, USA. 2012

[5] Paul R.Wellin, Richard J. Gaylord, Samuel

N. Kamin. An Introduction to Programming

with Mathematica. Third Edition. Cambridge

University Press. 2005

Matemática: Una publicación de FCNM – ESPOL

2015, Vol. 14, No.1

SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL

ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD APLICANDO

TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES Caraguay Washington

1 García Cecilia

2

Resumen. Este artículo presenta la generación de trayectorias mediante trazadores cúbicos y trapezoidales simulados entre un punto inicial

y final sobre el modelo cinemático de una plataforma serial robotizada de dos grados de libertad. El propósito de este trabajo radica en la

consecución de una función suave de interpolación para su movimiento analizando el comportamiento de la trayectoria del trazador en posición, velocidad y aceleración. Para la simulación del movimiento se desarrolla una interfaz gráfica en LabView, donde se visualiza el

movimiento de la plataforma serial y la trayectoria generada por los trazadores entre los puntos.

Palabras claves: Trazador cúbico, trazador trapezoidal, trayectoria, modelo cinemático, grados de libertad.

Abstract. This article presents the trajectory generation using cubic and trapezoidal tracers simulated between start and end point on the kinematic model of a robot serial platform of two degrees of freedom. The aim of this work lies in achieving a smooth interpolation function

for the motion by analyzing the behavior of the tracer in position, velocity and acceleration. To simulate the trajectories has been developed a

graphic interface in LabView, where the motion of the serial platform and the trajectory generated by the tracer between points is displayed.

Keywords: Cubic tracer, trapezoidal tracer, trajectory, kinematic model, degrees of freedom.

Recibido: Noviembre 2015.

Aceptado: Marzo 2016.

1. INTRODUCCIÓN

Para la ejecución de una tarea determinada un

robot serial debe moverse desde un punto inicial a

un punto final, el mismo que puede ser realizado de

múltiples formas. Sin embargo, el problema radica

en cómo se especifica la trayectoria o ruta del

movimiento a través del espacio. El control

cinemático selecciona trayectorias que idealmente

deberá seguir la plataforma, teniendo en cuenta sus

limitaciones, para ajustarse lo mejor posible a las

especificaciones del movimiento dadas por el

usuario.

En el presente artículo se analiza los perfiles de

trayectorias más frecuentemente utilizados en los

movimientos de posición punto a punto de robots

manipuladores entre ellos los trazadores cúbicos y

trapezoidales, a la vez que se expone una interfaz

gráfica de usuario desarrollado en LabView para

fines de simulación de trayectorias punto a punto

visualizando además del movimiento, de la

plataforma, su posición, velocidad y aceleración.

En referencia a la plataforma serial robotizado de

dos grados de libertad que se toma como

mecanismo a simular, Figura 1, pertenece al

laboratorio del Departamento de Ingeniería de

Sistemas y Automática de la Escuela Técnica

Superior de Ingenieros Industriales de la

Universidad Politécnica de Madrid, la misma que es

___________________ 1

Caraguay, Washington, M.Sc., Profesor, Universidad Espíritu

Santo-Ecuador. (e_mail: [email protected]). 2García, Cecilia, PhD., Profesor, Universidad Politécnica de

Madrid- España. (e_mail: [email protected]).

de arquitectura abierta y en ella se pueden probar de

manera experimental diferentes esquemas de

control, previamente simulados.

FIGURA 1 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos

grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales

Plataforma serial robotizada de dos grados de

libertad, [1].

2. BASES CONCEPTUALES

Generación de Trayectorias El problema más simple es mover el extremo de la

plataforma desde una posición inicial hasta cierta

posición final deseada, lo que implica un cambio

tanto en la orientación como en la posición, en

nuestro caso solo involucra cambios en la posición.

Sin embargo, algunas veces es necesario especificar

el movimiento con mucho más detalle para lograr el

objetivo. Una manera de lograr aquello es incluir

puntos intermedios entre las posiciones inicial y

W. CARAGUAY, C. GARCÍA

27

final. Por lo tanto al completar el movimiento, el

extremo del eslabón final debe pasar a través de un

conjunto de posiciones intermedias, descritos por

puntos intermedios.

Es conveniente que el movimiento descrito, sea lo

más uniforme posible, debido a que los

movimientos bruscos tienden a producir vibraciones

causando un mayor desgaste entre los mecanismos

que conforman la estructura. Por tanto, se trata de

determinar una función suave de interpolación para

cada articulación. La literatura ofrece algunos

métodos para generación de trayectorias, tanto para

el espacio de las articulaciones como para el espacio

cartesiano, [2], [3], [4], [5].

Trazador Cúbico

Se trata de obtener un polinomio para cada

articulación de forma que su valor para un tiempo

inicial , sea el valor de su posición angular inicial

, y su valor para el tiempo final , sea el valor de

su posición angular final . Además, se requiere

que la función sea continua en velocidad, su primera

derivada, lo que significa que la velocidad inicial y

final deben ser cero. Para crear este movimiento

uniforme son evidentes al menos cuatro

restricciones sobre , ecuación (1):

(1)

( )

( )

Estas cuatro restricciones se pueden satisfacer por

un polinomio de cúbico o de grado tres, dado que

tiene en su ecuación cuatro coeficientes, como

muestra la ecuación (2), donde su primera derivada

y segunda derivada hacen referencia a la velocidad

y aceleración respectivamente.

(2)

Al combinar el conjunto de ecuaciones (1) y (2)

surge el siguiente sistema de ecuaciones (3):

(3)

Resolviendo estas ecuaciones para obtener las ,

se tiene (4):

(4)

( )

( )

De esta manera con el conjunto de ecuaciones (4)

es posible calcular el polinomio cúbico que enlaza

cualquier posición de ángulo inicial con cualquier

posición final deseada. Esta solución es para el caso

en el que el movimiento de la articulación inicia y

termina con velocidad cero.

Trazador Trapezoidal

Consiste en descomponer en tres tramos

consecutivos la trayectoria que une la posición

inicial , con la posición final . En el tramo

central se utiliza un interpolador lineal, y por tanto,

la velocidad se mantiene constante. En los tramos 1

y 3, se utiliza un polinomio de segundo grado, de tal

manera que en el tramo 1 la velocidad varía

linealmente desde la velocidad de la trayectoria

presente hasta la de la siguiente. Se tiene entonces

que en los tramos 1 y 3 la aceleración toma valores

distintos de cero, mientras que en el tramo 2 la

aceleración es nula. Para una trayectoria punto a

punto, la ecuación correspondiente en los tres

tramos está determinada por (5):

{

( )

( )

( )

( ) (

)

{

( )

( )

( )( )

{

( )

( )

Dónde:

( ) (

)

Siendo:

La característica de este trazador es que su gráfica

de velocidad toma la forma de un trapecio y su

característica de respuesta es la de tiempo mínimo,

con las restricciones de velocidad y aceleración

máximas permitidas.

SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD

APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES

28

3. SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS Y

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Con el software LabView se desarrolló una

interfaz gráfica de usuario para simular trayectorias

punto a punto con base en trazadores cúbicos y

trapezoidales. Esta interfaz contiene una animación

en entorno 3D que simula el movimiento de la

plataforma robotizada. Para el desarrollo de sus

algoritmos, se utilizaron funciones en LabView de

la librería Robotics y funciones de programación

básicas, se aplicaron las ecuaciones de trayectorias

detalladas en la sección anterior y se hizo uso del

modelo cinemático directo, donde las coordenadas

de posición del extremo final del segundo

eslabón vienen definidas por:

Dónde:

Y la orientación en ángulos de Euler está dada por:

La Figura 2 muestra una representación

esquemática de la plataforma para una mejor

interpretación de los parámetros expuestos:



Representación esquemática de la plataforma serial

robotizada, [1].

En la Figura 3 se muestra la interfaz cuando se

encuentra en su posición de inicio, lista para

desplazar angularmente sus eslabones hasta una

posición final determinada. Con esta interfaz se

evita prácticas inadecuadas de manera directa con la

plataforma robotizada real, debido a que el tiempo

de muestreo que exige la interpolación requiere de

varias pruebas a realizar, además ahorro de energía.

FIGURA 3 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales

Interfaz Gráfica de Usuario para simulación de trayectorias. Estado inicial , [1].


29

Entonces, utilizando las ecuaciones para

determinar las expuestas en (4) se describe el

proceso matemático para la generación de

trayectorias.

Primeramente, haciendo uso de trazadores cúbicos

se moverá el primer eslabón desde la posición

inicial hasta grados y el segundo

eslabón desde grados.

Ambos movimientos se lo realizará en un tiempo

. De esta manera los coeficientes para el

primer eslabón quedan identificados.

Así los polinomios buscados que representan la

posición Figura 4, velocidad Figura 5 y aceleración

Figura 6, quedan determinados:

Aunque LabView es un excelente software de

simulación industrial, no ofrece buenas

características de resolución en sus gráficas, para

este caso los resultados obtenidos de la evaluación

de los polinomios fueron trasladados a Matlab con

la finalidad de ofrecer una mejor visualización de

las gráficas de trazabilidad.



Gráfica de posición primer eslabón, [1].



Gráfica de velocidad primer eslabón, [1].



Gráfica de aceleración primer eslabón, [1].

Del mismo modo se obtienen los para el

segundo eslabón:

Y los polinomios que representan su posición

Figura 7, velocidad Figura 8 y aceleración Figura 9,

quedan determinados:



30



Gráfica de posición segundo eslabón, [1].



Gráfica de velocidad segundo eslabón, [1].



Gráfica de aceleración segundo eslabón, [1].

En las gráficas se observa que la posición

corresponde a una trayectoria cúbica con un tiempo

definido, que tienen como perfil de velocidad una

parábola y su aceleración es lineal.

Este procedimiento es utilizado cuando la

plataforma realiza movimientos desde un punto

inicial a un punto final. Sin embargo si lo que

deseamos es pasar a través de puntos intermedios

sin detenernos, es decir generar trayectorias

continuas, se requiere de un ajuste de las ecuaciones

cúbicas a las restricciones de las trayectorias ya que

involucrarían velocidades no nulas, lo que conlleva

a conocer las velocidades deseadas de las

articulaciones en los puntos intermedios.

Por tanto las restricciones de las ecuaciones (6) se

vuelven:

(6)

( )

( )

Y la solución de los coeficientes ahora vienen

dados por la expresión (7):

(7)

( )

Existen diferentes métodos para dar con el

conocimiento de las velocidades en los puntos

intermedios [2], [3], [4], una de ellas consiste en

que el sistema seleccione de manera automática las

velocidades en los puntos intermedios de tal forma

que la aceleración en esos puntos sea suave y

continua.

Para la generación de trayectorias mediante el uso

de trazadores trapezoidales los valores de velocidad

y aceleración se han fijado en y

respectivamente. Los movimientos desde la

posición inicial hasta la posición final son los

mismos que para las pruebas realizadas en los

trazadores cúbicos.

Primer eslabón:

{

{

{

Segundo eslabón:


31

{

{

{

Se observa que los tiempos de movimiento y

es una relación entre los valores de velocidad y

aceleración definidos y es precisamente el tiempo

de cambio de curva y de duración total del

movimiento de posición respectivamente.

En la Figura 10 se muestra la interfaz gráfica de

simulación con las respuestas en posición, velocidad

y aceleración para ambos eslabones generados por

el trazador trapezoidal. Además, se observa un

entorno 3D del posicionamiento final de sus

eslabones. La interfaz dispone de recuadros para

fijar la velocidad posición de inicio y final, la

velocidad y aceleración así como también un botón

de Stop FINISH, para la finalización de la

simulación.

Aunque la interpolación con trazadores

trapezoidales ofrece continuidad en velocidad, sin

embargo es discontinua en aceleración, a diferencia

de la interpolación con trazadores cúbicos, que es

continua tanto en velocidad como en aceleración,

siendo este un modelo representativo para el caso de

generación de trayectorias aplicados a robots

manipuladores en tareas de pick and place.

FIGURA 10 Simulación de trayectorias de una plataforma serial robotizada de dos grados de libertad aplicando trazadores cúbicos y trapezoidales

Simulación de trayectorias con base en un trazador trapezoidal.

Estado final: primer eslabón grados, segundo eslabón grados, [1].



32

4. CONCLUSIONES

Haciendo uso de softwares de simulación como

MATLAB y LabView y utilizando métodos de

interpolación como los trazadores cúbicos y

trapezoidales se ha podido determinar los tiempos

del movimiento angular de los eslabones desde una

posición inicial hasta una posición final. Es evidente

el movimiento ralentizado con que se han generado

las trayectorias, esto en la práctica se evidencia en

el giro de los motores de corriente directa que a su

vez desplazan angularmente los eslabones desde la

posición inicial hasta la posición final. Para obtener

mejores tiempos de respuestas para los

desplazamientos es muy práctico utilizar

aceleraciones mayores en un orden superior a 10

veces su velocidad.

Las simulaciones realizadas con base en la interfaz

gráfica de usuario predice el comportamiento de

trayectorias de sistemas robotizados seriales

contribuyendo a la investigación de modelos

matemáticos que se ajusten lo mejor posible a las

especificaciones del movimiento dadas por el

usuario. En el presente trabajo se ha utilizado la

interpolación con base en trazadores cúbicos y

trapezoidales, pudiéndose extender a otros métodos

de interpolación con la finalidad de optimizar la

planificación de la trayectoria.



34

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] CARAGUAY, W., & GARCÍA, C. (2013).

Modelado, identificación y control con base en

el modelo dinámico de un robot de dos grados

de libertad de accionamiento directo.

SENESCYT. Repositorio Digital. Obtenido de

http://repositorio.educacionsuperior.gob.ec/hand

le/28000/1572

[2] BARRIENTOS, A., PEÑÍN, L., BALAGUER,

C., & ARACIL, R. (2007). Fundamentos de

Robótica. Madrid: Mc Graw Hill.

[3] OLLERO, A. (2007). Robótica. Manipuladores

y Robots Móviles. Barcelona: Alfaomega /

Marcombo.

[4] CRAIGH, J. (2006). Robótica. México:

Pearson/Prentice Hall.

[5] SPONG, M., & VIDYASAGAR, M. (1989).

Robot Dynamics and Control. New York: John

Willey & Sons.


2015, Vol. 14, No.1

ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)

1Cascante Roberto,

2Martín B. Carlos M.

Resumen: La presente investigación muestra el detalle de los cálculos obtenidos para una parte de la deducción de una de las

ecuaciones más importantes de la actualidad en las Matemáticas, la ecuación de los científicos holandeses Diederick Johannes

Korteweg y Gustav De Vries (KdV), llamada así en honor a estos destacados matemáticos. Esta deducción fué publicada en el año 1895 por la revista “Philosophical Magazine and Journal of Science” en Londres; la misma que con este trabajo venían a

formalizar un hecho que se había puesto de manifiesto algunos años antes con un modelo matemático de ondas de agua sobre

superficies poco profundas, conocidas como Solitones. Los Solitones tienen como principales características de que son ondas de gran amplitud cuya velocidad de propagación depende de su amplitud en contraposición a las ondas lineales, son dispersivas pero

a su vez preservan su forma, son ondas de tipo onda solitaria, interactúan entre sí o con obstáculos finitos de tal manera que luego

de la interacción recuperan totalmente sus propiedades previas a la interacción salvo cambios de fase. En la parte inicial de la investigación realizada, se presenta una introducción histórica sobre el origen de este fenómeno físico

ocurrido en un canal de Escocia por Scott Russell; luego se deduce la variación del nivel del agua con respecto al tiempo, lo cual

origina una ecuación diferencial parcial que permitirá encontrar la solución de la misma, para demostrar esta fórmula se empieza

con la suposición de que las velocidades horizontal y vertical u y v del fluido pueden ser expresadas por series rápidamente

convergentes. Finalmente, se determina la solución de la ecuación en la recta para ondas estacionarias, para esto se realiza el

análisis de diferentes escenarios que podrían considerarse en la ecuación KdV, además para esta ecuación se emplean funciones elípticas que pueden ser vistas como una generalización de las funciones trigonométricas conocidas.

PALABRAS CLAVES: Ondas Dispersivas, Solitón, Series Rápidamente Convergentes, Funciones elípticas

Abstract: The present investigation it shows the detail of the calculations obtained for a part of the deduction of one of the most important equations of the current importance in the Mathematics, the equation of the Dutch scientists Diederick Johannes

Korteweg and Gustav De Vries (KdV), call like that in honor to these out-standing mathematicians. This deduction was published in

the year 1895 by the magazine " Philosophical Magazine and Journal of Science " in London; the same one that with this work they were coming to formalize a fact that had been revealed some years before by a mathematical model of water waves on slightly deep

surfaces known as Solitons. The Solitons have as principal characteristics of which they are waves of great extent which speed of

spread depends on his extent in contraposition to the linear waves, are dispersives but in turn they preserve his form, are waves of type solitary wave, interact between them or with finite obstacles in such a way that after the interaction they recover totally his

properties before the interaction except phase changes. In the initial part of the realized investigation, one presents a historical

introduction on the origin of this physical phenomenon happened in a channel of Scotland for Scott Russell; then there deduces the variation of the level of the water with regard to the time, which originates a differential partial equation that will allow to find the

solution of the same one, to demonstrate this formula it is begun by the supposition of which the speeds horizontal and vertical and

of the fluid they can be expressed by rapidly convergent series. Finally, the solution of the equation decides in the straight line for stationary waves, for this there is realized the analysis of different scenes that might be considered in the equation KdV, in addition

for this equation there are used elliptical functions that can be seen as a generalization of the trigonometrical known functions.

KEY WORDS: Dispersive Waves, Soliton, Rapidly convergent Series, elliptical Functions

Recibido: Noviembre 2015.

Aceptado: Mayo 2016.

1. INTRODUCCIÓN

La formalización de la ecuación KdV se debe

precisamente a los científicos holandeses

Diederick Johannes Korteweg y Gustav De

Vries quienes en 1895 derivaron la ecuación que

describía la propagación de ondas en la

superficie de un canal de aguas poco profundas

(Korteweg y De Vries, 1895). Con este trabajo

venían a formalizar un hecho que se había

puesto de manifiesto algunos años antes en un

canal de Escocia por John Scott Russell

(Russell, 1844); este último solo había logrado

inferir la expresión de forma de la onda (solitón)

sin llegar a la ecuación matemática que

modelaba el fenómeno.

1Cascante Roberto., Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y

Matemáticas, ESPOL. (e_mail: [email protected]). 2Martín Barreiro Carlos, Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y

Matemáticas, ESPOL. (e_mail: [email protected]).

Los solitones tienen como principales

características que los definen: son ondas de

gran amplitud cuya velocidad de propagación

depende de su amplitud en contraposición a las

ondas lineales, son dispersivas pero a su vez

preservan su forma, son ondas de tipo onda

solitaria, interactúan entre sí o con obstáculos

finitos de tal manera que luego de la interacción

recuperan totalmente sus propiedades previas a

la interacción salvo cambios de fase.

La presencia de soluciones tipo solitón en la

ecuación de KdV se puede interpretar como el

balance entre la contribución del término no

lineal de la misma y el correspondiente al efecto

dispersivo, de tal manera que entre ellos se

establece un balance que da a lugar a estructuras

de marcada persistencia que son precisamente

dicho tipo de soluciones.

R. CASCANTE, C. MARTÍN

35

Korteweg y de Vries han investigado la

deformación de un sistema de ondas de forma

arbitraria pero que se mueven en una sola

dirección. Si l ( muy pequeño)

representa la elevación de la superficie por

encima del fondo a una distancia x desde el

origen de coordenadas, entonces se deduce la

ecuación:

x

x

l

g

t

2

22

3

1

3

2

2

1

2

3

Donde:

: Constante Arbitraria

g

Tll

3

3

1, donde:

:l Profundidad del líquido

:T Tensión superficial del líquido

: Densidad del líquido

:g Gravedad

Suponiendo que 0

t

(condición para

ondas estacionarias) se tiene que:

4sec 2 h

xhh

Esto último representa la ecuación de la onda

solitaria, que es un caso particular de solución.

Luego, otro tipo de solución se puede detectar

para ondas estacionarias, ahora la forma de la

onda de la superficie está determinada por la

ecuación:

kh

hM

khxhcn .mod

4

2

A continuación se muestran los cálculos

realizados para obtener los diferentes resultados.

2. LA FÓRMULA PARA dt

d.

Para demostrar esta fórmula se empieza con la

suposición de que las velocidades horizontal y

vertical u y v del fluido pueden ser expresadas

por series rápidamente convergentes de la

forma:

)2...(

)1...(

2

2

1

2

2

1

yyv

fyyffu

Donde y representa la altura de la partícula

sobre el fondo del canal, y

,...,,...,, 2121 fff son funciones de x y t .

Esto implica que v|y=0=0; es decir, la velocidad

normal en el fondo es cero.

Desde una de estas condiciones, la

incompresibilidad del líquido, la cual puede ser

expresada por 0

y

v

x

u (3), se puede

deducir que x

f

n

nn

11

de la siguiente

manera:

A partir de las expresiones:

...

...

2

2

1

2

2

1

yyv

fyyffu

Derivando u con respecto a x y v con

respecto a y , tenemos:

...32

...

3

2

21

221

yyy

v

x

fy

x

fy

x

f

x

u

Esto último lo remplazamos en (3) y tenemos:

0...32... 3

2

21221

yy

x

fy

x

fy

x

f

y

v

x

u

Agrupando términos semejantes y factorizando:

0...32 322

21

1

x

fy

x

fy

x

f

De ahí que:

x

f

nn

x

f

ndoGeneraliza

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n

nn

n

11

233

2

122

1

11

10

:

.

.

.

3

103

2

102

0


36

De la misma manera, debido a la ausencia de

rotación del fluido (irrotacional), lo cual es

expresado por 0

x

v

y

u (4), se puede

deducir que 01 f ;

2

2

2

1

1

11

x

f

nnxnf nn

n

de la

siguiente manera:

A partir de las expresiones:

...

...

2

2

1

2

2

1

yyv

fyyffu

Derivando u con respecto a y y v con

respecto a x , tenemos:

...

...32

33221

3

2

21

xy

xy

xy

x

v

fyyffy

u

Esto último lo remplazamos en (4) y tenemos:

2

1 2 3

2 3 31 2

2 3 ...

... ... 0

u vf yf y f

y x

y y yx x x

Agrupando términos semejantes y factorizando:

0...432 3

4

323

2121

xfy

xfy

xfyf

De ahí que:

xnf

xnf

ndoGeneraliza

xf

xf

xf

xf

xf

xf

f

n

n

n

n

11

3

4

3

4

23

23

12

12

1

10

:

.

.

.

4

104

3

103

2

102

0

Además, ya que x

f

n

nn

11

, entonces

2

2

2

1

1

1

x

f

nx

nn

. Y por lo tanto:

2

2

2

1

1

11

x

f

nnxnf nn

n

A partir de la relación

2

2

2

1

1

x

f

nnf n

n

, tenemos que:

paresnx

f

n

imparesn

f

ndoGeneraliza

x

f

x

ff

x

ff

x

f

x

ff

x

ff

x

ff

f

n

nnn __;

!

11

__;0

.

.

.

65432

1

65

1

054

1

432

1

43

1

032

1

2

1

0

2

6

6

2

4

2

6

2

3

2

5

4

4

2

2

2

4

2

1

2

3

2

2

2

1

Asimismo, a partir de la relación

x

f

n

nn

11

, tenemos que:


37

ndoGeneraliza

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

.

.

.

06

1

5432

1

5

1

04

1

32

1

3

1

02

1

5

6

5

5

45

3

4

3

3

23

12

1

imparesnx

f

n

paresn

n

nnn __;

!

11

__;0

2

1

Reemplazando estos resultados en las

expresiones iniciales de u y de v , tenemos:

2 4 62 4 6

2 4 6

22

20

3 53 5

3 5

1 2 12 1

2 10

1 1 1...

2 24 720

1(5)

2 !

1 1...

6 120

1(6)

2 1 !

n nn

nn

n nn

nn

f f fu f y y y

x x x

fy

n x

f f fv y y y

x x x

fy

n x

Y además, si representa la velocidad

potencial y la función de la corriente, se

tiene:

3 52 4 6

3 5

2 43 5

2 4

1 1 1...(7)

2 24 720

1 1...(8)

6 120

udx

f f ff x y y y

x x x

vdx

f fyf y y

x x

Tales ecuaciones satisfacen todas las

condiciones del problema para el interior del

fluido y al mismo tiempo es fácil ver que para

ondas largas estas series son rápidamente

convergentes. En realidad, para tales ondas el

estado de movimiento cambia lentamente con

x , y por lo tanto los sucesivos cocientes

diferenciales con respecto a esta variable y todas

las funciones referentes, tanto como f lo hace,

el estado de movimiento debe decrecer

rápidamente.

Pasando a las condiciones de frontera, sean

1p una constante que representa la presión

atmosférica, '

1p la presión en un punto debajo

de la superficie donde la fuerza de la capilaridad

deja de actuar, y T la tensión superficial. De

ahora en adelante se usará el subíndice 1 para

hacer referencia a cantidades en la superficie.

Por diferencia de presiones tenemos:

2

1

2

1

'

1x

yTpp

Además, por la conocida ecuación de la

Hidrodinámica:

1

2

1

2

11

'

1

2

1)( gyvu

tt

p

Tenemos:

)9(2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

111

x

yTgyvu

tt

p


38

Ahora, reemplazando las expresiones (5), (6) y (7) en (9), tenemos:

De esta forma, suponiendo cierta regularidad, tenemos que:

2

1

2

1

2

5

55

13

33

11

2

6

66

14

44

12

22

1

5

66

13

44

1

22

11

...120

1

6

1...

720

1

24

1

2

1

2

1

...720

1

24

1

2

1)(

x

yTgy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fyf

xt

fy

xt

fy

xt

fyx

t

ft

p

Desarrollando los cuadrados en la expresión, tenemos:

2

6

66

14

44

12

22

16

66

14

44

12

22

1

2

5

66

13

44

1

22

1

1

...720

1

24

1

2

1...

720

1

24

1

2

12

2

1

...720

1

24

1

2

1)(

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fyff

xt

fy

xt

fy

xt

fyx

t

ft

p

2

1

2

1

2

5

55

13

33

15

55

13

33

11

2

2

1 ...120

1

6

1...

120

1

6

12

x

yTgy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

2

22

1

2

2

24

16

66

14

44

12

22

1

2

5

66

13

44

1

22

1

1

2

12

4

1...

360

1

12

1

2

1

...720

1

24

1

2

1)(

x

fy

x

fy

x

ffy

x

ffy

x

ffyf

xt

fy

xt

fy

xt

fyx

t

ft

p

2

6

66

14

44

16

66

14

44

1 ...720

1

24

1...

720

1

24

1

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

2 1

2

1

2

5

5 5

3

3 3

2

6

6 6

4

4 4

2

2 2

5

5 6

3

3 4 2 1

... 120

1

6

1 ...

720

1

24

1

2

1

2

1

... 720

1

24

1

2

1 ) (

x

y T gy

x

f y1

x

f y1

x

f y1

x

f y1

x

f y1

x

f y1

f

x

f y1

x

f y1

x

f y1

x f t

t p


39

2

1

2

1

2

5

55

1

5

55

13

33

1

2

3

36

15

56

13

34

1

2

2

1

...120

1

...120

1

6

12

36

1...

60

1

3

1

x

yTgy

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

f

x

fy

x

f

x

fy

x

fy

2

1

22

5

55

15

5

3

38

1

2

3

36

15

56

1

3

34

1

2

2

1

2

6

66

14

44

16

6

2

28

1

4

4

2

26

1

2

2

24

16

66

14

44

12

22

1

2

5

66

13

44

1

22

111

...120

1

2

1...

720

1

72

1...

120

1

6

1

2

1...

720

1

24

1

2

1...

1440

1

48

1

8

1...

720

1

24

1

2

1

2

1

...720

1

24

1

2

1)(

x

yT

x

fy

x

f

x

fy

x

fy

x

f

x

fy

x

f

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

f

x

fy

x

f

x

fy

x

fy

x

ffy

x

ffy

x

ffyf

xt

fy

xt

fy

xt

fyx

t

fgyt

p

Ordenando la expresión tenemos:

2

1

2

5

5

3

38

1

2

5

55

1

2

6

66

14

44

16

6

2

28

15

56

1

5

66

1

2

3

36

14

4

2

26

16

66

13

44

13

34

1

2

2

24

14

44

1

2

2

1

22

12

22

11

21

...720

1

...120

1

2

1...

720

1

24

1

2

1...

1440

1

120

1

720

1

72

1

48

1

720

1

24

1

6

1

8

1

24

1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

x

yT

x

f

x

fy

x

fy

x

fy

x

fy

x

f

x

fy

x

f

x

fy

xt

fy

x

fy

x

f

x

fy

x

ffy

xt

fy

x

f

x

fy

x

fy

x

ffy

x

fy

xt

fy

x

ffygyfx

t

ft

p

2

1

2

6

15

5

5

62

3

3

4

4

2

2

6

64

13

4

3

3

2

2

2

4

42

1

22

2

2

1

21

...

120

1

720

1

72

1

48

1

720

1

24

1

6

1

8

1

24

1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

x

yT

yx

f

x

f

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ffy

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ffy

x

f

xt

f

x

ffgyfx

t

ft

p

Esta última expresión tiene la forma:

)10(...2

1

26

1

4

1

2

111

x

yTPyNyMygyL

p

Donde:

2

2

1)( fx

t

ftL


40

22

2

2

2

1

2

1

2

1

x

f

xt

f

x

ffM

3

4

3

32

2

2

4

4

24

1

6

1

8

1

24

1

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ffN

5

5

5

62

3

3

4

4

2

2

6

6

120

1

720

1

72

1

48

1

720

1

x

f

x

f

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ffP

Por diferenciación con respecto a x de la ecuación (10) se obtiene:

)11.....(0...642...3

1

3

15

113

11

116

1

4

1

2

1

x

yT

x

yPy

x

yNy

x

yMy

x

yg

x

Py

x

Ny

x

My

x

L

Además, una segunda ecuación de la Hidrodinámica es la de continuidad y se aplicaría bien a la

superficie:

Para satisfacer las ecuaciones (11) y (12) por el

método de aproximaciones sucesivas, se

establece que ly1 , , donde

l y se suponen constantes y y son

funciones muy pequeñas que dependen de x y

t . Tratando entonces con el hecho de que para

ondas largas, cuya longitud de onda es grande

en comparación con la profundidad del canal,

todas las nuevas diferenciaciones con respecto a

x dan lugar a cantidades continuamente más

pequeñas. Estas aproximaciones son de primer

orden.

De la ecuación (11) tenemos:

0...120

1

720

1

72

1

48

1

720

16

24

1

6

1

8

1

24

14

2

1

2

1

2

12

...120

1

720

1

72

1

48

1

720

1

24

1

6

1

8

1

24

1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

2

1

2

15

15

5

5

62

3

3

4

4

2

2

6

6

13

13

4

3

32

2

2

4

4

1

1

22

2

2

1

5

5

5

62

3

3

4

4

2

2

6

66

1

3

4

3

32

2

2

4

44

1

22

2

22

1

2

x

yT

x

yy

x

f

x

f

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

x

yy

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

x

yy

x

f

xt

f

x

ff

x

yg

x

f

x

f

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

xy

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

xy

x

f

xt

f

x

ff

xyfx

t

ft

x

0qf

0q

)12.....(011

11

t

yv

x

yu


41

0...120

1

720

1

72

1

48

1

720

16

24

1

6

1

8

1

24

14

2

1

2

1

2

12...

120

1

120

1

720

1

36

1

48

1

48

1

720

1

720

1

24

1

6

1

6

1

4

1

24

1

24

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

15

15

5

5

62

3

3

4

4

2

2

6

6

13

13

4

3

3

2

2

2

4

4

1

1

22

2

2

1

6

6

5

5

2

2

6

7

4

4

3

3

5

5

3

3

4

4

3

3

7

7

6

66

1

4

5

4

4

3

3

2

2

3

3

2

2

5

5

4

44

1

2

2

2

3

3

3

2

22

1

x

yT

x

yy

x

f

x

f

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

x

yy

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

x

yy

x

f

xt

f

x

ff

x

yg

x

f

x

f

x

f

x

f

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

x

f

x

fy

xt

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

ff

x

f

x

fy

x

f

x

f

xt

f

x

ff

x

f

x

fy

x

ff

t

f

De esto último tenemos que:

00 0001

l

xgq

xqq

tx

yg

x

ff

t

f

00 00

xg

xq

txg

xq

t

00

xg

txq

Por otro lado reemplazando (5) y (6) en (12), tenemos:

0...120

1

6

1...

720

1

24

1

2

1 1

5

55

13

33

11

1

6

66

14

44

12

22

1

t

y

x

fy

x

fy

x

fy

x

y

x

fy

x

fy

x

fyf

0

0

0

0

0

00

xl

txq

txl

xq

lt

qx

lx

q

De ahí que se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

0

0

0

0

xl

txq

xg

txq


42

El mismo que matricialmente y suponiendo que 0

tt

sería:

0

0

0

0

x

xql

gq

Evitando la solución trivial, se tiene que:

glqglqql

gq 0

2

0

0

000

l

q

gl

gq

q

gq

q

g

gl

ggglkgglggl

gglx

gx

glx

gx

glx

gx

q

0

0

2

0

0

0

0 0

Donde es una constante arbitraria muy pequeña.

Es evidente que esta solución coincide con la

usualmente dada para el caso de ondas largas de

forma arbitraria hecha estacionaria ya que se

atribuye al fluido una velocidad igual y opuesta

a la dada por la onda, en base a la suposición de

que la velocidad en una dirección vertical podría

ser dejada y que la velocidad horizontal podría

ser considerada uniforme a lo largo de cada

sección del canal.

Para proceder con una segunda aproximación,

debemos considerar la expresión:

)13.(..........00

l

qqf

Donde es muy pequeño comparado con y .

Derivando la ecuación (13) con respecto a x se tiene:

xxl

q

x

f 0

Sustituyendo (13) y su derivada en (11) y (12), tenemos:


43

0...

...

2

1

2

1

2

1

2

22

022

0

2

2

2

200

02

2

2

20

02

2

3

2

302

3

3

3

300

0

2

2

2

2

200200

0

0

x

T

xxl

q

xl

xtxtl

q

xl

xxl

q

l

qq

xl

xg

xxl

q

xx

l

ql

xtxtl

ql

xxl

q

l

qql

xxl

q

xxl

ql

xxl

q

l

qq

ttl

q

Escogiendo términos y eliminando los considerados despreciables como 2

2

xx

y

3

x

que son

rechazados en comparación a x

las cuales se mantiene en las ecuaciones,

t

y

tx

2

3 contra

t

, tenemos:

)14.(..........02

13

320

x

Tgl

xl

g

xg

tl

q

De la misma manera:

0...120

1

6

1

...24

1

2

1

2

1

5

5

5

505

3

3

3

3030

4

4

4

404

2

2

2

2020

0

txxxl

ql

xxl

ql

xxl

ql

xxxl

ql

xxl

ql

l

qq

Esta última expresión la multiplicamos por

l

q0 y nuevamente escogiendo términos y

eliminando los despreciables, tenemos:

3

20

3

12

6

0.........(15)

q gg l g

l t x l x x

Sumando las ecuaciones (14) y (15) tenemos:

03

1232

3

320

x

Tgl

xl

g

tl

q

Multiplicando esta última expresión por g

l

tenemos:

03

1232

3

330

xg

Tll

xtg

q

Haciendo que: g

Tll

3

3

1, tenemos:

02323

3

0

xxtg

q

Despejando t

:

3

3

0 3

1

3

2

2

3

xxxq

g

t

Y ya que glq 0, finalmente tenemos:


44

2

20

2

3 1 2 116

2 2 3 3

q

t l x x

La ecuación (16) indica la deformación de un

sistema de ondas arbitrarias pero que se mueven

en una dirección única. Antes de utilizarlas se

debería puntualizar la relación entre la constante

, la cual podría ser elegida arbitrariamente y

la velocidad uniforme dada por el fluido.

Además, la variación de la constante , es

decir corresponde a la relación

l

qq

0 en su velocidad, y tomando la

variación con respecto a en (16), tenemos

que:

xxl

q

dt

dq

0

3. ONDAS ESTACIONARIAS.

Para ondas estacionarias 0

t

, de ahí que:

03

1

3

2

2

1

2

32

220

xxl

q

t

Por lo tanto:

03

1

3

2

2

12

22

xx

Integrando:

03

1

3

2

2

1

3

1

3

2

2

1

2

22

1

12

22

xc

cx

Multiplicando por 6 :

024362

22

1

xc

Integrando:

026

2

23

12

xcc

Si se considera que el fluido está quieto en el

infinito, tenemos que 021 cc ya que

0,0,02

2

xx

. Por lo tanto:

22

2

2

02

223

232

23

2

2

23

x

x

x

x

i) Para 0 , se debe cumplir que

0,02

Siendo 2h , tenemos:

)17.......(1

2

hx

h

x

Esto último es una ecuación separable:

xh

d

1

Resolviendo la integral del lado izquierdo de la

ecuación tenemos:

Cambio de variable:

dh

dt

ht

2

1

22

th

dt

h

d

Aplicando descomposición en fracciones

parciales:

hAhAhtSi

hBhBhtSi

thBthA

th

B

th

A

ththth

2

121:

2

121:

1

112

Por lo tanto:


45

22

1 1

2 22

1 1 1

1 1 1

1ln ln

1ln

d

h

dt

h t

h hdt

h t h t

dth h t h t

dth t h t h

t h t hh

t h

h t h

Esto quiere decir que:

1 1ln

1 1ln

ln

d t hdx

h h t h

t hx

h t h

t h hx

t h

1 1

h hx x

h hx x

h hx x

h hx x

t he t h t h e

t h

t h e t he

t e t h he

e t e h

2

2

2

2

11

11

1

1

1

1

11 1 tanh

41

hx

hx

hhxx

hx

hx

hx

hx

hx

hx

ee

t h h h

ee

eh h

e

eh h

e

e hh h x

e

2sec4

hh h x

ii) Considerando 0 , se tiene por

la misma razón dada anteriormente

que 02 por lo que

sustituyendo adecuadamente en la

expresión (17) ' por :

''' 1

h

x

Obteniéndose:

x

hhh

4sec 2'

La ecuación anterior produce la onda solitaria

negativa siempre que 0 , es decir:

g

Tl

g

Tl

g

Tll

g

Tll

3

3

03

1

3

1

2

3

3

Por ejemplo, en agua a 20ºc la profundidad

límite es 0.47 cm ( 72T , 981g ,

...998.0 UAB ).

Consideremos ahora que en el infinito se tiene

que 0,0

x

y por lo tanto la ecuación


46

026

2

23

12

xcc

produce que 02 c , quedando:

026

2

23

1

xc

En el supuesto que 0 , entonces 01 c

para garantizar que x

tenga valores reales

para valores pequeños de .

23

1

2

26

c

x

Ahora:

026

026

2

2

1

2

23

1

xc

xc

Como 01 c entonces:

062 1

2 c

Tiene 2 soluciones; una positiva h y una

negativa k .

Por lo que:

khx

khx

xkh

xc

1

1

0

062

2

2

2

1

2

Haciendo cambio de variable:

xsenh

xh

cos2cos 2

Tenemos:

dx

hk

d

hkx

hksenhx

senh

hkhsenhx

senh

hkhhhx

senh

4

1

cos

cos4

1

cos1

coscos2

coscos1

cos2

coscoscos1

cos2

2

2

2

222

222

Integrando tenemos:

x

hk

d

dxhk

d

4

1

cos

4

1

cos

2

2

Del lado izquierdo tenemos una integral elíptica

de primera especie. Lo cual da como resultado:

kh

hkhxhcn ,

4

2

Lo cual es un conjunto de funciones cnoidales.

4. ONDAS ESTACIONARIAS

PERIÓDICAS (CNOIDAL WAVES)

A partir de las ecuaciones (14) y (15)

calculemos el valor de :

02

13

320

x

Tgl

xl

g

xg

tl

q

06

12

3

320

xgl

xl

g

xg

tl

q

Restando las ecuaciones:

03

22

06

1

2

122

3

32

3

322

x

Tgl

xl

g

xg

xgl

Tgl

xl

g

xg

Dividiendo para g2 :

3

32

3

32

23

1

2

023

1

2

xg

Tl

xlx

xg

Tl

xlx

Integrando:


47

cxg

Tl

l

2

22

2

23

1

4

Debido a que el valor de la constante arbitraria

cambiaría por c en ecuación (13), se

considera 0c , entonces:

2

22

2

23

1

4 xg

Tl

l

De la ecuación

03

1

3

2

2

12

22

1

xc

,

despejando 2

2

x

se tiene:

22 1

2

2

1

2

1

1 2

2 31

3

6 3 4

61

3

13 4 6

2

c

x

c

c

Como se consideró que:

hkchk

hkhkc

khc

1

2

1

2

1

2

6,2

62

62

Entonces:

22

2

2

13 2

2

13 2

2

k h hkx

h k hk

Por lo que:

hkkhg

Tl

l

23

2

1

23

1

4

222

Por lo tanto:

00

2

00

2 2

4

1 13 2

3 2 2

qf q

l

lqf q

Tll h k hk

g

Obteniendo que:

2

2

2

2

1

2 4

1 3 1

2 2 2

1 3 1...

2 2 2

k hlgl

u gl yTl

h k hkl g

glh k hk

l

...

l

khgyv

Es importante indicar que si 0k implica que

01 c por lo cual, las ecuaciones determinan

el movimiento de un fluido para un solitón.

5. CONCLUSIONES

La ecuación KdV tiene un sentido físico

universal y puede ser aplicada en todas las

situaciones donde aparecen simultáneamente

por un lado efectos no lineales, que tienden a

volcar la onda, y por otro lado la dispersión

débil, que tiende a separar las componentes de

la onda de acuerdo con su frecuencia y de esta

manera tiende a suavizar la onda. Entonces, un

Soliton aparece como una situación de

equilibrio entre la no linealidad y la dispersión,

que se compensan. El descubrimiento del

Soliton sirvió como un impulso a una teoría

matemática reciente que se aplica para resolver

las ecuaciones diferenciales no lineales. Por otro

lado, la popularidad de los Solitones condujo a

su detección en áreas distintas a la

hidrodinámica. Por ejemplo, recientemente se

dieron a conocer los trabajos de los laboratorios

Bell para mejorar el rendimiento de las

transmisiones en las redes ópticas de

telecomunicaciones a distancias muy grandes

con el uso de Solitones ópticos. En la

transferencia de señales comunes a través de

fibras ópticas, por cada 100 km, es necesario

amplificar la señal, y después de cada 500 km

poner un reproductor, el cual transforma las

señales ópticas en eléctricas y luego otra vez a

ópticas para así poder transferirlas más adelante.

Sin estas medidas la señal se deforma

irreconociblemente. Los Solitones ópticos

encontraron una aplicación práctica con el

primer equipo de telecomunicaciones, que los

utilizaba para transporte de tráfico real de

señales sobre una red comercial en distancias de

más de 14,000 km.


48

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1]. Korteweg, D. J. and de Vries, F. "On

the Change of Form of Long Waves

Advancing in a Rectangular Canal, and

on a New Type of Long Stationary

Waves." Philos. Mag. 39, 422-443,

1895.

[2]. Boyd, J. P. "Solitons from Sine Waves:

Analytical and Numerical Methods of

Non-Integrable Solitary and Cnoidal

Waves." Physica D 21, 227-246, 1986.

[3]. Gardner, C. S. "The Korteweg-de Vries

Equation and Generalizations, IV. The

Korteweg-de Vries Equation as a

Hamiltonian System." J. Math. Phys.

12, 1548-1551, 1971.

[4]. Lax, P. "Integrals of Nonlinear

Evolution Equations and Solitary

Waves." Comm. Pure Appl. Math. 21,

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[5]. Miles, J. W. "The Korteweg-de Vries

Equation, A Historical Essay." J. Fluid

Mech. 106, 131-147, 1981.

[6]. Miura, R. M. "Korteweg-de Vries

Equation and Generalizations. I. A

Remarkable Explicit Nonlinear

Transformation." J. Math. Phys. 9,

1202-1204, 1968.

[7]. Russell, J. S. "Report on Waves."

Report of the 14th Meeting of the

British Association for the

Advancement of Science. London:

John Murray, pp. 311-390, 1844.


2016, Vol. 14, No. 1

EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL

CÁLCULO DE ÁREAS Rodríguez Ojeda Luis

1

Resumen. En este artículo se propone una forma especial del trazador cúbico en forma paramétrica para describir figuras planas

cerradas. Los polinomios por segmentos resultantes permiten calcular el área de la figura usando el teorema de Green. Como

soporte para esta investigación se instrumentó una aplicación computacional para obtención de resultados. Estos resultados se comparan con figuras conocidas y se define un criterio de convergencia y precisión.

Palabras clave: Interpolación paramétrica. Trazador cúbico. Teorema de Green.

Abstract. In this article a special form of the cubic spline in parametric form is proposed to describe closed plane figures. The

resulting polynomials by segments allow to calculate the area of the figure using the Green's theorem. As support for this research a

computational application was implemented for obtaining results. These results are compared with known figures and a convergence criterion and precision is defined.

Keywords: Parametric interpolation. Cubic spline. Green’s theorem.

Recibido: Marzo 2016.


1. CURVAS PARAMÉTRICAS

Las curvas paramétricas se usan para expresar

y graficar una relación entre dos variables que

puede no ser de tipo funcional. Utilizando otra

variable denominada parámetro, esta definición

permite conocer información adicional acerca

de la relación entre las variables y trazar

gráficos más generales que los gráficos de

funciones, proporcionando además su

orientación.

2. INTERPOLACIÓN PARAMÉTRICA

Los métodos de interpolación permiten

aproximar una función, de la cual se conocen

algunos puntos (xi, yi), mediante otra función,

típicamente un polinomio. Estos métodos no son

aplicables si los datos no tienen una relación de

tipo funcional y(x). Por lo tanto estos métodos

no se pueden usar si los puntos pertenecen a una

curva que tiene una forma general.

Sin embargo, si las coordenadas xi, yi se

expresan como funciones de otra variable t

denominada parámetro, entonces los puntos

x(ti), y(ti) si tienen una relación funcional y con

ellos se pueden construir polinomios de

interpolación paramétricos: Tx(t), Ty(t). Estos

polinomios separados no son de interés, pero en

cambio el gráfico de puntos de estos polinomios

paramétricos permite describir de manera

adecuada a la curva.

Hay alguna libertad en la asignación de

valores al parámetro t. Es suficiente que

pertenezcan a un subconjunto ordenado de los

reales R, con la misma cardinalidad que el

conjunto de datos, y que sean asociados en

forma consecutiva para cada punto x(ti), y(ti).

1Rodriguez Ojeda Luis., Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y


Después de construir los polinomios de

interpolación paramétricos Tx(t) y Ty(t) y para

que el gráfico se muestre como una curva

contínua, se evalúan paralelamente los

polinomios con valores de t muy cercanos, en el

mismo dominio de t. Estos puntos se conectan

para trazar la curva.

2.1 El trazador cúbico cerrado

El procedimiento de interpolación paramétrica

se puede instrumentar con el trazador cúbico

para obtener una aproximación cercana a la

curva propuesta. En esta sección se propone una

forma especial del trazador cúbico que permitirá

construir el trazador cúbico paramétrico para

modelar curvas cerradas.

Sean (ti, ui), i=0,1,2,3,...,n-1 puntos de una

función real u: RR, contínua y diferenciable

en el dominio de los puntos dados.

Si se supone que u(t) es una función simple, se

la puede representar aproximadamente mediante

otra función T(t) definida en segmentos

delimitados por los puntos dados:

0 0 1

1 1 2

n 2 n 2 n 1

T (t), t t t

T (t), t t tT(t)

. . .

T (t), t t t

Por las propiedades de continuidad es

conveniente que las funciones Ti sean

polinomios segmentados de tercer grado. Para la

formulación, se les asignan la forma general: 3 2

i i i i i i i iT (t) a (t t ) b (t t ) c (t t ) d

; t∈[ti, ti+1]; i=0,1,2,...,n-2

En los puntos interiores deben coincidir la

pendiente y la curvatura de los polinomios de

intervalos adyacentes:

(k) (k)i ii 1 iT (t ) T (t ) ; i=1,2,...,n-2; k=1,2

Adicionalmente, para instrumentar la forma

cerrada del trazador cúbico, es necesario que la

pendiente y curvatura en el punto final del

polinomio en el último intervalo, coincidan con

L. RODIRGUEZ

50

la pendiente y curvatura en el primer punto del

polinomio en el primer intervalo.

(k) (k)n 1 0n 2 0T (t ) T (t ) ; k=1,2

Esta condición especial es parte de nuestra

contribución en este artículo. Debido a esta

condición, hemos designado a este conjunto de

polinomios con el nombre de trazador cúbico

cerrado.

2.2 Formulación del trazador cúbico cerrado

Dados los puntos (ti, ui), i=0,1,2,...,n-1. Sea

hi = ti+1-ti el espaciamiento entre puntos

adyacentes

Los polinomios segmentados del trazador

cúbico y sus dos primeras derivadas: 3 2

i i i i i i i i iT (t) T a (t t ) b (t t ) c (t t ) d ;

t∈[ti, ti+1]; i==0,1,2,...,n-2

' 2i i i i i i iT (t) D 3a (t t ) 2b (t t ) c

''i i i i iT (t) S 6a (t - t ) 2b

Los polinomios del trazador cúbico y sus

derivadas deben incluir a los puntos en cada

intervalo:

3 2i i i i i i i i i i i i i i

i i i

T (t ) u(t ) u a (t t ) b (t t ) c (t t ) d

d d u

(1)

i i 1 i 1 i 1

3 2i i 1 i i i 1 i i i 1 i i

3 2i i i i i i i

3 2i 1 i i i i i i i

T (t ) u(t ) u

a (t t ) b (t t ) c (t t ) d

a h b h c h d

u a h b h c h d

(2)

'' ii i i i i i i i i

ST (t ) S 6a (t t ) 2b 2b b

2

(3)

''i i 1 i 1 i i 1 i i i i i

i 1 ii

i

T (t ) S 6a (t t ) 2b 6a h 2b

S Sa

6h

(4)

Sustituir (1), (3), y (4) en (2)

3 2i 1 i ii 1 i i i i i

i

i 1 i i i i i 1i

i

S S Su h h c h u

6h 2

u u 2h S h Sc

h 6

(5)

Las fórmulas (1), (3), (4) y (5) definen a los

coeficientes ai, bi, ci, di, i=0,1,..., n-2 de cada

polinomio segmentado mediante valores de las

coordenadas de los datos y de valores de Si. En

la siguiente sección se desarrolla un dispositivo

para encontrar los valores de Si con los cuales

se determinarán los coeficientes.

Primera derivada en el intervalo [ti, ti+1]: ' 2i i i i i i i i i iT (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c c

Primera derivada en el intervalo [ti-1, ti]: ' 2i 1 i i 1 i i 1 i 1 i i 1 i 1

2i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

T (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c

3a h 2b h c

Continuidad en la primera derivada entre

polinomios adyacentes, en el punto común ti:

' ' 2i 1 i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 iT (t ) T (t ) 3a h 2b h c c

(6)

Sustituyendo (1), (3), (4) y (5) en (6) y

simplificando:

i 1 i i i 1i 1 i 1 i 1 i i i i 1

i i 1

u u u uh S 2(h h )S h S 6( )

h h

; i=1,2,3,...,n-3 (7)

Esta fórmula genera un sistema de n-3

ecuaciones con las variables S0, S1, ..., Sn-2

Dos ecuaciones adicionales se obtienen de las

condiciones especiales del trazador cúbico

cerrado:

Condición de continuidad de la primera

derivada entre los segmentos inicial y final:

' 'n 2 n 1 0 0T (t ) T (t )

Primera derivada del primer segmento evaluada

en el punto inicial:

' 20 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 10

0

T (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c

u u 2h S h Sc

h 6

Primera derivada del último segmento evaluada

en el punto final:

' 2n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 2

2n 2 n 2 n 2 n 2 n 2

2n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 2 n 2 n 2 n 1n 2 n 2

n 2 n 2

T (t ) 3a (t t ) 2b (t t ) c

3a h 2b h c

S S S u u 2h S h S3( )h 2( )h

6h 2 h 6

Igualando derivadas y simplificando, con Sn-1

= S0:

0 n 2 0 0 1 n 2 n 2

1 0 n 1 n 2

0 n 2

1 1 1(h h )S h S h S

3 6 6

u u u u

h h

(8)

Condición de continuidad de la segunda

derivada entre los segmentos inicial y final: '' ''n 2 n 1 0 0T (t ) T (t )

La ecuación (7) correspondiente al intervalo

final n-2, con Sn-1 = S0

n 3 n 3 n 3 n 2 n 2 n 2 0

n 2 n 3n 1 n 2

n 2 n 3

h S 2(h h )S h S

u uu u6( )

h h

(9)

Las ecuaciones (7), (8), (9) conforman un

sistema completo de n-1 ecuaciones. Estas

ecuaciones se pueden desarrollar y expresar en

forma matricial mediante el sistema: AS=B en

donde S es el vector de las variables: S0, S1,

..., Sn-2, mientras que la matriz A y el vector

B se definen de la siguiente manera:

EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

51

- - -

0 n 2 0 n 2

0 0 1 1

1 0 1 2

n 5 n 5 n 4 n 4

n 4 n 4 n 3 n 3

n 2 n 3 n 3 n 2

1 1 1(h h ) h 0 0 . . 0 0 0 h

3 6 6

h 2(h h ) h 0 . . 0 0 0 0

0 h 2(h h ) h . . 0 0 0 0

. . . . . . . . . .A

. . . . . . . . . .

0 0 0 0 . . h 2(h h ) h 0

0 0 0 0 . . 0 h 2(h h ) h

h 0 0 0 . . 0 0 h 2(h h )

0

1

2

n 4

n 3

n 2

S

S

S

.S ,

.

S

S

S

-

-

-

-

-

-

1 0 n 1 n 2

0 n 2

1 02 1

1 0

3 2 2 1

2 1

n 3 n 4 n 4 n 5

n 4 n 5

n 2 n 3 n 3 n 4

n 3 n 4

n 2 n 3n 1 n 2

n 2 n 3

u u u u

h h

u uu u6( )

h h

u u u u6( )

h h

.B

.

u u u u6( )

h h

u u u u6( )

h h

u uu u6( )

h h

La solución de este sistema entrega los valores

de S0, S1, ..., Sn-2, que al sustituir en las

definiciones (1), (3), (4), y (5) proporcionan los

coeficientes de cada polinomio segmentado del

trazador cúbico cerrado: 3 2

i i i i i i i iT (t) a (t t ) b (t t ) c (t t ) d ;

t ∈[ti, ti+1]; i=0,1,2,...,n-2

En algunos coeficientes se hace referencia al

valor de Sn-1, el cual con la definición

establecida, debe sustituirse con el valor de S0

2.3 El trazador cúbico paramétrico

cerrado

Esta es una aplicación importante del trazador

cúbico cerrado como dispositivo para modelar

figuras cerradas en el plano y para calcular el

valor del área de la región que encierra, la cual

será tratada en una siguiente sección.

Sean P0, P1, P2, ..., Pn-1 puntos tomados en

sentido antihorario de una figura cerrada C en

el plano, con Pn-1=P0, con coordenadas (xi, yi),

i=0, 1, 2,..., n-1,

Estos puntos ya no pueden expresarse mediante

una relación funcional y(x), por lo que se debe

usar un enfoque paramétrico.

Si se supone que C es una figura simple y

regular por segmentos, se la puede representar

aproximadamente en forma paramétrica

mediante funciones x(t), y(t) definidas en

segmentos delimitados por los puntos

expresados con el parámetro t

i ii

i i

(t ,x )P

(t ,y )

; i=0, 1,2,..., n-1

En donde los valores de t: ti, i=0, 1, 2, ...,n-1 pertenecen a algún subconjunto ordenado de R. Para aproximar la curva C en forma

paramétrica una opción es elegir como

funciones x(t), y(t), los polinomios del trazador

cúbico cerrado. Siendo estos polinomios de

tercer grado, la continuidad entre los segmentos

puede llegar hasta la segunda derivada y el

gráfico final será simple y suave:

x

y

T (t)C

T (t)

Tx(t) se lo construye con los puntos base (ti, xi),

i=0, 1, 2, ...,n-1

x,0 0 1

x,1 1 2x

x,n 2 n 2 n 1

T (t), t t t

T (t), t t tT (t)

. . .

T (t), t t t

Ty(t) se lo construye con los puntos base (ti, yi),

i=0, 1, 2, ...,n-1

y,0 0 1

y,1 1 2

y

y,n 2 n 2 n 1

T (t), t t t

T (t), t t tT (t)

. . .

T (t), t t t

L. RODIRGUEZ

52

El gráfico de puntos de Tx(t) y Tx(t), t∈[t0, tn-

1], será una aproximación para la curva C.

El uso manual de estas funciones matemáticas

involucra muchos cálculos y sería muy

laborioso y susceptible a errores numéricos

especialmente si la cantidad de puntos es

grande, por esto se requiere un tratamiento

computacional. Para este artículo se usó como

soporte el lenguaje computacional Python

disponible como software libre y por ofrecer

facilidades para este tipo de aplicaciones.

2.4 Instrumentación computacional del

trazador cúbico paramétrico cerrado

La función trazador_cerrado desarrollada

en lenguaje Python se muestra al final de este

documento. Esta función recibe separadamente

los vectores x, y conteniendo las coordenadas

de los puntos de la curva C que se desea

modelar y los valores del parámetro t, y entrega

cada uno de los polinomios segmentados del

trazador cúbico paramétrico cerrado Tx(t) y

Tx(t).

Si se incluye un vector adicional con puntos

del parámetro, el resultado que entrega es un

vector con puntos evaluados con los polinomios

paramétricos segmentados. Si estos puntos son

muy cercanos, se pueden usar para la

graficación. Los polinomios que entrega Tx(t) y

Tx(t) también pueden ser usados para calcular el

área de la región que encierra, como se verá en

otra sección de este artículo.

Para probar este método de aproximación se

usará la figura de una circunferencia. Se

realizarán varios intentos con diferentes

cantidades de puntos para aproximar la forma de

la circunferencia con polinomios segmentados.

Posteriormente se comparará el área del círculo

con el área de la región delimitada por los

polinomios.

Ejemplo. Dados 4 puntos equidistantes de la

circunferencia de un círculo de radio unitario

centrado en el origen, encontrar los polinomios

segmentados del trazado cúbico parametrizado y

obtener un vector con puntos evaluados en los

polinomios segmentados para dibujar y

aproximar el gráfico del círculo.

Puntos de la circunferencia: (0, -1), (1, 0), (0,

1), (-1, 0). Para cerrar la figura se agregará al

final el primer punto.

Interacción en la ventana de Python con la

función trazador_cerrado. Se muestran las

instrucciones y los resultados obtenidos. A la

derecha se escriben comentarios acerca de las

instrucciones y resultados.

>>> from trazador_cerrado import* Carga del módulo con el trazador cúbico:

>>> x=[0,1,0,-1,0] Coordenadas x

>>> y=[-1,0,1,0,-1] Coordenadas y

>>> t=[1,2,3,4,5] Puntos del parámetro

>>> Tx=trazador_cerrado(t,x) Obtención de los polinomios Tx(t)

>>> Ty=trazador_cerrado(t,y) Obtención de los polinomios Ty(t)

>>> Tx[0]

-0.5*t**3 + 1.5*t**2 - 1.0 Polinomio Tx,0(t)

>>> Ty[0]

-0.5*t**3 + 3.0*t**2 - 4.5*t + 1.0 Polinomio Ty,0(t)

>>> Tx[1]

0.5*t**3 - 4.5*t**2 + 12.0*t - 9.0 Polinomio Tx,1(t)

>>> Ty[1]

-0.5*t**3 + 3.0*t**2 - 4.5*t + 1.0 Polinomio Ty,1(t)

>>> Tx[2]

0.5*t^3 - 4.5*t^2 + 12.0*t - 9.0 Polinomio Tx,2(t)

>>> Ty[2]

0.5*t**3 - 6.0*t**2 + 22.5*t - 26.0 Polinomio Ty,2(t)

>>> Tx[3]

-0.5*t**3 + 7.5*t**2 - 36.0*t + 55.0 Polinomio Tx,3(t)

>>> Ty[3]

0.5*t**3 - 6.0*t**2 + 22.5*t - 26.0 Polinomio Ty,3(t)

>>> from pylab import* Librería gráfica

>>> s=arange(1,5,0.01) Puntos para evaluar al trazador cúbico

>>> Txs=trazador_cerrado(t,x,s) Abscisas del trazador cúbico

>>> Tys=trazador_cerrado(t,y,s) Ordenadas del trazador cúbico

>>> plot(Txs,Tys,'-') Gráfico de los puntos del trazador

>>> plot(x,y,'o') Gráfico de los 4 puntos base del círculo

>>> grid(True) Motrar cuadrículas

>>> show() Mostrar gráfico


53

Ejemplo. Dados 16 puntos equidistantes de la

circunferencia de un círculo de radio unitario

centrado en el origen, usar el trazador cúbico

parametrizado para obtener un vector con

puntos evaluados en los polinomios

segmentados y dibujarlo para aproximar el

gráfico del círculo. Como en el ejemplo anterior

se agrega al final el primer punto para cerrar la

figura.

>>> from trazador_cerrado import*

>>> from pylab import*

>>> a1=cos(3*pi/8); a2=cos(pi/4);

a3=cos(pi/8)

>>> b1=sin(pi/8); b2=sin(pi/4);

b3=sin(3*pi/8)

>>>

x=[0,a1,a2,a3,1,a3,a2,a1,0,-a1,-a2,-a3,-1,-a3,-

a2,-a1,0]

>>>

y=[-1,-b3,-b2,-b1,0,b1,b2,b3,1,b3,b2,b1,0,-

b1,-b2,-b3,-1]

>>>

t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]

>>> s=arange(1,17,0.01)

>>> Txs=trazador_cerrado(t,x,s)

>>> Tys=trazador_cerrado(t,y,s)

>>> plot(Txs,Tys,'-')

>>> plot(x,y,'o')

>>> grid(True)

>>> show())

2.5 Aplicación del trazador cúbico

paramétrico cerrado al modelado de curvas

cerradas planas

El trazador cúbico paramétrico cerrado puede

usarse para describir curvas de las cuales

solamente se conocen algunos puntos de

referencia. Estos puntos pueden ser resultados

de observaciones o datos de diseño.

Para este artículo se usó un dispositivo

computacional de captura de datos para registrar

los 9 puntos del gráfico de la figura de la

Sección 2.3 de este artículo. Se muestran los

resultados obtenidos

Gráfico de la circunferencia y del trazador cúbico paramétrico cerrado con 4 puntos de la circunferencia.

Existen diferencias significativas entre los gráficos. Gráfico del trazador cúbico

paramétrico cerrado con 16 puntos de

la circunferencia. El gráfico del

trazador cúbico es muy cercano al

gráfico de la circunferencia

L. RODIRGUEZ

54

En el primer gráfico se han unido los puntos con

segmentos de recta como una primera

aproximación

En el segundo gráfico se ha colocado el trazador

paramétrico cerrado con los 9 puntos

disponibles.

En el tercer gráfico se ha colocado el trazador

paramétrico cerrado usando los 9 puntos

disponibles y tomado 9 puntos intermedios

adicionales de la curva. La aproximación es

aceptable.

3. CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES

PLANAS

El trazador cúbico paramétrico cerrado es un

dispositivo para modelar figuras cerradas en el

plano y puede ser usado para calcular en forma

aproximada el valor del área de la región que

encierra.

3.1 Cálculo del área de una región poligonal

en el plano cartesiano

Sea P un polígono de n lados cuyos vértices

numerados en sentido antihorario son:

P0(x0, y0), P1(x1, y1), P2(x2, y2), . . ., Pn-1(xn-1, yn-1)

Entonces el área de la región poligonal S

correspondiente, está dada por la siguiente

expresión atribuida al matemático Gauss :

0 1 n 1 01 2

0 1 n 1 01 2

n 2 n 2

i i 1 n 1 0 i 1 i 0 n 1i 0 i 0

x x x xx x1S ...

y y y yy y2

1x y x y x y x y

2

En donde

S es el área de la región poligonal

n es la cantidad de lados del polígono

(xi, yi), i = 0, 1, 2,..., n-1 son los n vértices

del polígono.

Ejemplo. Calcular el área de la región

poligonal cuyos vértices son:

P0(8,7), P1(1,3), P2(-2,6), P3(-5, -4), P4(9,0): Con la fórmula de Gauss:

1S | (8)(3) (1)(6) ( 2)( 4) ( 5)(0) (9)(7)

2

(1)(7) ( 2)(3) ( 5)(6) (9)( 4) (8)(0) |

83.0

3.2 Cálculo computacional del área de una

región poligonal

La función agauss desarrollada al final de este

documento recibe los vectores x, y

conteniendo las coordenadas de los vértices de

un polígono en el plano y entrega el área de la

región poligonal calculada con la fórmula de

Gauss.

Ejemplo. Calcular con la función agauss el

área de la región poligonal definida con los

vértices:

P0(8,7), P1(1,3), P2(-2,6), P3(-5, -4), P4(9,0):

>>> from agauss import*

>>> x=[8,1,-2,-5,9]

>>> y=[7,3,6,-4,0]

>>> s=agauss(x,y)

>>> s

83.0

3.3 Cálculo de áreas de regiones planas con el

teorema de Green

El teorema de Green puede utilizarse para

calcular un integral de línea mediante un

integral doble o para realizar el cálculo del área

de una región mediante el integral de línea.

Esta última aplicación es de interés en este

artículo.

Sea C una curva parametrizada en el plano,

cerrada y simple. Sea S la región del plano

determinada por C y su interior. Si M, N :

R2R son funciones reales continuas y que

tienen derivadas parciales continuas en toda la

región S, entonces el siguiente enunciado es el

teorema de Green:

C S

N(x,y) M(x,y)M(x,y)dx N(x,y)dy ( )dA

x y

Para aplicar este teorema en el cálculo del área

de una región cerrada se toman las funciones

simples: M(x,y) y, N(x,y) x en el

enunciado del teorema. Entonces se obtienen:

M(x,y) N(x,y)

1, 1y x

Reemplazando en el teorema de Green se

obtiene una fórmula para calcular el área de una

región en el plano mediante el integral de línea

de la curva parametrizada que la encierra:

C

1A xdy ydx

2

3.4 Cálculo del área de una región delimitada

con el trazador cúbico paramétrico cerrado

usando el teorema de Green.

Si C está definida con los polinomios del

trazador cúbico paramétrico cerrado:

x

y

T (t)C

T (t)

Entonces se puede calcular el área de la región

C delimitada por el trazador cúbico

paramétrico cerrado con la fórmula de Green:


55

y x

x yC

dT (t) dT (t)1A T (t) T (t)

2 dt dt

En donde Tx(t) y Ty(t) son los polinomios

segmentados del trazador cúbico paramétrico

cerrado de la Sección 2.3

3.5 Cálculo computacional del área de una

región cerrada con el teorema de Green

La función green desarrollada al final de este

documento recibe los polinomios segmentados

Tx(t) y Ty(t) del trazador cúbico paramétrico

cerrado y los puntos del parámetro t que definen

los extremos del intervalo de cada polinomio

segmentado y entrega el área de la región

cerrada calculada con la fórmula de Green. En

el siguiente ejemplo se compara el resultado del

método propuesto, con el valor exacto de una

figura conocida. Ejemplo. Calcular aproximadamente con la

función green el área de un círculo unitario

centrado en el origen tomando 16 puntos

equidistantes de la circunferencia en sentido

antihorario. Para cerrar la figura se agrega al

final el primer punto.


>>> a1=cos(3*pi/8); a2=cos(pi/4);

a3=cos(pi/8)

>>> b1=sin(pi/8); b2=sin(pi/4);

b3=sin(3*pi/8)

>>> x=[0,a1,a2,a3,1,a3,a2,a1,0,-a1,-a2,-a3,-1,-

a3,-a2,-a1,0]

>>> y=[-1,-b3,-b2,-b1,0,b1,b2,b3,1,b3,b2,b1,

0,-b1,-b2,-b3,-1]

>>>

t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]

>>> Tx=trazador_cerrado(t,x)

>>> Ty=trazador_cerrado(t,y)

>>> from green import*

>>> A=green(Tx,Ty,t)

>>> A

3.14137

Este resultado difiere del valor exacto π, en

aproximadamente 0.0002

Si los puntos provienen de una curva cerrada

arbitraria, entonces el resultado de la aplicación

de la fórmula de Green dependerá de la buena

aproximación a la curva que proporciona el

trazador cúbico paramétrico cerrado.

En la práctica, el área de una curva cerrada

puede hacerse mediante un dispositivo

denominado planímetro, pero este método no se

puede aplicar si solamente se conocen puntos de

la curva. En este caso primero debe construirse

la curva para lo cual el trazador cúbico

paramétrico cerrado es una opción adecuada.

Ejemplo. Colocar el trazador cúbico

paramétrico cerrado sobre los siguientes diez

puntos y calcular con el teorema de Green el

valor del área de la región encerrada:

P0(4,0), P1(5,2), P2(4,4), P3(2,5), P4(-1,4),

P5 (-2,2), P6(-4,1), P7(-2,-3), P8(1,-4), P9(3,-2)

El punto inicial se debe repetir al final para

cerrar la figura


>>> x=[4,5,4,2,-1,-2,-4,-2,1,3,4]

>>> y=[0,2,4,5,4,2,0,-3,-4,-2,0]

>>> t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]

>>> from pylab import*

>>> s=arange(1,11,0.01)

>>> Txs=trazador_cerrado(t,x,s)

>>> Tys=trazador_cerrado(t,y,s)

>>> plot(x,y,'o')

>>> plot(Txs,Tys,'-')

>>> show()

>>> from green import*

>>> Tx=trazador_cerrado(t,x)

>>> Ty=trazador_cerrado(t,y)

>>> A=green(Tx,Ty,t)

>>> A

54.0402 Valor del área de la región encerrada

4. CONVERGENCIA Y PRECISIÓN

Una figura poligonal cerrada puede usarse

como una aproximación para una figura plana

cerrada. En el límite, con la cantidad suficiente

de vértices, ambas figuras tienden a coincidir.

Por lo tanto la fórmula geométrica del área de

Gauss pudiera usarse como una aproximación

para calcular el área de la figura cerrada plana.

El trazador cúbico paramétrico cerrado es una

aproximación mucho mejor debido a que usa

segmentos curvos para aproximar los segmentos

curvos de la curva de la cual provienen los datos

manteniendo una conexión suave entre

segmentos. Por lo tanto se requerirá una

cantidad menor de puntos para llegar a una

precisión aceptable.

Los puntos o el gráfico que se van a estudiar

deben digitalizarse para facilitar el uso de algún

dispositivo computacional para captura de

datos. La precisión de la representación de la

curva, y consecuentemente del cálculo del área

encerrada dependerá de la precisión y la

cantidad de puntos disponibles.

L. RODIRGUEZ

56

Para calcular el área, las coordenadas de los

puntos deben estar en la escala real. Si se desea

calcular el área de una figura de la cual se toman

puntos, para llevar a la escala real, se puede usar

como referencia algún cuadro del dibujo que

tenga la escala real. Con la fórmula del área de

una región poligonal se puede calcular el área

de este cuadro. Posteriormente, con la fórmula

de Green se calcula el valor del área de la región

de interés y con una relación directa se lo puede

llevar al valor del área en la escala real.

5. CONCLUSIONES

En este artículo se ha tratado un problema

clásico en el que se han vinculado enunciados y

fórmulas matemáticas con instrumentos

computacionales de libre acceso. Esta

combinación tiene mucha importancia pues

permite utilizar el desarrollo matemático en la

investigación y en la resolución práctica de

problemas de aplicación.

Los resultados que se obtuvieron en las

pruebas son satisfactorios y permiten establecer

criterios para la precisión.

La instrumentación computacional usa como

soporte el lenguaje Python, el cual por ser

software de uso libre no requiere licencia. Este

lenguaje tiene características adecuadas para

manejo matemático numérico, simbólico y

gráfico siendo además muy simple de usar.


57

6. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

[1]. Análisis Numérico Básico Rodríguez

Ojeda, Luis Libro digital disponible en

la FCNM, ESPOL, 2014

http://www.fcnm.espol.edu.ec/publicai

ones

[2]. Python Programación Rodríguez



http://www.fcnm.espol.edu.ec/publicac

iones

[3]. Teorema de Green

https://es.khanacademy.org/math/multi

variable-calculus/line-integrals-

topic/greens_theorem/

[4]. Parametric Spline Curves

http://folk.uio.no/in329/nchap6.pdf

[5]. Parametric curves and surfaces

http://www.robots.ox.ac.uk/~ian/Teach

ing/CompGeom/lec4.pdf

Bibliografía especializada de la red

internet

[6]. An approach to Data Parametrization

in Parametric Cubic Spline

Interpolation Problems,

Samuel P. Marin

Journal of Aproximation Theory, 64-86

(1984)

[7]. On the deviation of parametric cubic

spline interpolant from its data polygon

Michael S. Floater

Computer Aided Geometric Design 25

148-156 (2008)

[8]. Choosing nodes in parametric curve

interpolation

E.T.Y. Lee

Computer Aided Design, 363-370

(1989)

[9]. Mathematics Behind Planimeters

Osman Yardimci, 2013

https://etd.auburn.edu/bitstream/handle

/10415/3667/Mathematics%20Behind

%20Planimeters.pdf?sequence=2

http://www.fcnm.espol.edu.ec/publicaciones


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http://www.robots.ox.ac.uk/~ian/Teaching/CompGeom/lec4.pdf

http://www.robots.ox.ac.uk/~ian/Teaching/CompGeom/lec4.pdf

https://etd.auburn.edu/bitstream/handle/10415/3667/Mathematics%20Behind%20Planimeters.pdf?sequence=2



L. RODIRGUEZ

58

7. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL

7.1 Instrumentación computacional en Python del trazador cúbico cerrado

import numpy as np

from sympy import*

def trazador_cerrado(z,u,s=[]):

# Trazador cúbico cerrado para modelar una función u(z)

# Para uso paramétrico deben ingresar separadamente las funciones x(t), y(t)

# El punto inicial debe coincidir con el punto final para cerrar la figura

# Entrega los polinomios segmentados en una lista de celdas T(t)

# Si hay un tercer parámetro conteniendo un vector de valores

# entrega un vector con los resultados evaluados con el trazador

n=len(z)

h=np.zeros([n-1])

A=np.zeros([n-1,n-1]);B=np.zeros([n-1]);S=np.zeros([n])

a=np.zeros([n-1]);b=np.zeros([n-1]);c=np.zeros([n-1]);d=np.zeros([n-1])

if n<3:

T=[]

return

for i in range(n-1):

h[i]=z[i+1]-z[i]

A[0][0]=-1/3*(h[0]+h[n-2]) #Construir el sistema de ecuaciones

A[0][1]=-1/6*h[0]

A[0][n-2]=-1/6*h[n-2]

B[0]=-(u[1]-u[0])/h[0]+(u[n-1]-u[n-2])/h[n-2]

for i in range(1,n-2):

A[i][i-1]=h[i-1]

A[i][i]=2*(h[i-1]+h[i])

A[i][i+1]=h[i]

B[i]=6*((u[i+1]-u[i])/h[i]-(u[i]-u[i-1])/h[i-1])

A[n-2][0]=h[n-2]

A[n-2][n-3]=h[n-3]

A[n-2][n-2]=2*(h[n-3]+h[n-2])

B[n-2]=6*((u[n-1]-u[n-2])/h[n-2]-(u[n-2]-u[n-3])/h[n-3])

r=np.linalg.solve(A,B) #Resolver el sistema


S[i]=r[i]

S[n-1]=r[0]

for i in range(n-1): #Coeficientes de los polinomios

a[i]=(S[i+1]-S[i])/(6*h[i])

b[i]=S[i]/2

c[i]=(u[i+1]-u[i])/h[i]-(2*h[i]*S[i]+h[i]*S[i+1])/6

d[i]=u[i]

try:

if len(s)==0: #Detecta si es un vector

pass

except TypeError:

s=[s]

if len(s)==0: #Construir el trazador

t=Symbol('t')

T=[]


p=expand(a[i]*(t-z[i])**3+b[i]*(t-z[i])**2+c[i]*(t-z[i])+d[i])

T=T+[p]

return T #Retorna los polinomios

else: #Evaluar el trazador

m=len(s)

q=np.zeros([m])


59

for k in range(m):

t=s[k]


if t>=z[i] and t<=z[i+1]:

q[k]=a[i]*(t-z[i])**3+b[i]*(t-z[i])**2+c[i]*(t-z[i])+d[i]

if m>2:

k=m-1

i=n-2

q[k]=a[i]*(t-z[i])**3+b[i]*(t-z[i])**2+c[i]*(t-z[i])+d[i]

if len(q)==1:

return q[0] #Retorna un valor

else:

return q #Retorna un vector

7.2 Instrumentación computacional en Python de la fórmula de Gauss para calcular el área

de una región poligonal cerrada

def agauss(x,y):

# Cálculo del área de una región poligonal

# con la fórmula de Gauss

n=len(x)

s=0


s=s+x[i]*y[i+1]

s=s+x[n-1]*y[0]


s=s-x[i+1]*y[i]

s=s-x[0]*y[n-1]

return abs(0.5*s)

7.3 Instrumentación computacional en Python del teorema de Green para calcular el área de

una figura plana cerrada

from sympy import*

def green(Tx,Ty,s):

# Cálculo del área de una región cerrada

# con el teorema de Green

t=Symbol('t')

n=len(Tx)

r=0

for i in range(n):

x=Tx[i]

dx=diff(x,t)

y=Ty[i]

dy=diff(y,t)

r=r+integrate(x*dy-y*dx,(t,s[i],s[i+1]))

return 0.5*r


2016, Vol. 14, No. 1

MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO Rodríguez Luis

1

Resumen. En esta contribución académica se expone el conocido método del gradiente de máximo descenso para encontrar un

mínimo local de una función multivariada no lineal sin restricciones. Se destaca la importancia de conectar los conceptos

matemáticos con la descripción algorítmica y su instrumentación computacional para la solución práctica de problemas. La instrumentación se la realizó en el lenguaje Python el cual provee soporte adecuado para manejo matemático simbólico, gráfico y

numérico y está disponible como software libre.

Palabras clave: Gradiente de máximo descenso. Mínimo de una función multivariada no lineal. Optimización numérica.

Abstract. This academic contribution exposes the well known steepest descent gradient method used to find a local minimum of a nonlinear multivariate unconstrained function. It is emphasized the importance of connect mathematical concepts with the

algorithmic description and its computational instrumentation for solving practical problems. The instrumentation was made in the

Python language which provides adecuate support for symbolic, graphical and numerical mathematics and is available as free software.

Keywords: Steepest descent gradient. Minimum of a non linear multivariate function. Numerical optimization.

Recibido: Abril 2016.


1. INTRODUCCIÓN

El método del gradiente de máximo descenso

es un algoritmo iterativo para encontrar un

mínimo local de una función multivariada no

lineal sin restricciones, mediante

aproximaciones sucesivas. La búsqueda de la

solución sigue la dirección del gradiente

descendente más pronunciado hasta llegar a su

menor valor. El método funciona con la

suposición que la función tiene forma convexa

alrededor del mínimo y que la distancia de

avance en cada paso es elegida apropiadamente.

Se revisan las definiciones básicas y se

describe el algoritmo para su aplicación. La

contribución relevante es la vinculación de la

formulación con la instrumentación

computacional, en este caso con el lenguaje

Python por su simplicidad y facilidad para el

manejo matemático simbólico. En este aspecto

cabe resaltar la importancia de usar estos

lenguajes computacionales modernos como una

opción para que los investigadores puedan

aplicar los métodos matemáticos de manera

práctica y eficiente.

2. DEFINICIONES

Vector de n variables reales

1

2

n

x

xv

...

x

Función de n variables reales

f: RnR

1Rodriguez Ojeda Luis., Profesor, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y


Gradiente de f. Es el vector de las derivadas

parciales de la función que se desea minimizar

i

ff

x

, i=1,2,..., n

Gradiente de f en un punto v. Es la dirección

de mayor incremento de f en el punto v

c f(v)

Magnitud del vector gradiente de f en un

punto v. Es la mayor tasa de cambio del

gradiente en el punto v

T|| c || c c

Vector gradiente de f normalizado, en un

punto v

cc

|| c ||

Vector de la dirección de búsqueda

descendente para obtener el mínimo de f en el

punto v. Esta dirección debe ser la opuesta al

gradiente de f en el punto v:

d c

Longitud del paso de avance s para modificar

el vector v en la dirección d:

Debe ser un valor escalar que garantice que

f(v + sd) < f(v).

La búsqueda del mínimo de la función f

consiste en modificar el vector v agregando el

vector sd repetidamente. En cada iteración se

debe elegir el valor de s que optimice la

búsqueda.

El método converge si se llega a un punto en el

cual el gradiente ya no cambia

significativamente. Este punto corresponde

aproximadamente al mínimo de la función f.

L. RODRÍGUEZ

61

3. ALGORITMO DEL GRADIENTE

DE MÁXIMO DESCENSO

Objetivo: Encontrar un mínimo local de una

función multivariada f

1) Iniciar un conteo de iteraciones: k=0

Estimar un vector inicial para la solución:

v(k)

Estimar un máximo de iteraciones m y un

criterio de precisión

2) Calcular el vector gradiente de f evaluado

en el punto v(k)

(k) (k)c f(v )

3) Calcular la máxima tasa de cambio del

gradiente de f en el punto v(k)

:

T(k) (k) (k)|| c || c c

Si (k)|| c || entonces

v(k)

es un punto mínimo de f con

precisión

Finalizar (el método converge)

4) Calcular el vector normalizado de la

dirección de búsqueda en el punto v(k)

(k)

(k)

(k)

cd

|| c ||

5) Determinar el tamaño del paso de avance s(k)

en la iteración k

6) Actualizar el vector de búsqueda

(k 1) (k) (k) (k)v v s d

7) Actualizar el conteo de iteraciones

k = k + 1

Si k < m entonces

Regresar al paso 2)

Sinó

Finalizar (el método no converge)

3.1 Procedimiento para determinar el

tamaño óptimo del paso de avance

Es necesario elegir el tamaño del paso para

avanzar en la búsqueda de la solución. Un

tamaño muy grande puede hacer que no se

pueda localizar la solución. Un tamaño muy

pequeño puede hacer que la búsqueda sea

ineficiente. Es preferible que el tamaño del paso

se pueda modificar en cada iteración.

Un método para optimizar el tamaño del paso

de búsqueda s(k)

consiste en elegir el valor de s

tal que (k 1)f(v ) sea mínimo. Este valor de s

puede encontrarse resolviendo en cada iteración

k la ecuación:

(k 1) (k) (k)df(v ) df(v sd )

0ds ds

4. INSTRUMENTACIÓN

COMPUTACIONAL DEL ALGORITMO

DEL GRADIENTE DE MÁXIMO

DESCENSO

Es conveniente instrumentar

computacionalmente la formulación del

algoritmo de máximo descenso para

experimentar y faciltar su uso en la resolución

de problemas. Se utilizó el lenguaje Python por

las facilidades que ofrece para manejo

matemático simbólico, numérico y gráfico.

4.1 Descripción y uso de las funciones de

la instrumentación computacional

La instrumentación está encapsulada en un

módulo denominado gradiente el cual contiene

funciones de utilidad que se pueden llamar

separadamente y también son los componentes

de soporte para una función principal con el

nombre metodo_gradiente la cual

corresponde al lineamiento del algoritmo

propuesto.

El código Python de las funciones del módulo

gradiente está al final de esta contribución

académica.

obtener_gradiente(f,v)

Entra

f: Función multivariada

v: Vector de variables definidas en

forma simbólica

Sale

g: Vector gradiente con las derivadas

parciales de f

evaluar_gradiente(g,v,u)

Entra g: Vector gradiente con las derivadas

parciales de f


forma simbólica

u: Vector con valores escalares para las

variables en v

Sale

c: Vector gradiente con los

componentes evaluados en el punto u

magnitud_del_gradiente(c)

Entra

c: Vector gradiente evaluado en el

punto u

Sale

norma: Máxima tasa de cambio del

gradiente en el punto u

gradiente_normalizado(c)

Entra

c: Vector gradiente evaluado en el

punto u

Sale

cn: Vector gradiente normalizado

evaluado en el punto u

calcular_paso(f,g,v,u)

Entra


MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO

62

g: Vector gradiente con las derivadas

parciales de f


forma simbólica


variables en v

Sale

s: Valor estimado para el tamaño del

paso de avance

evaluar_solucion(f,v,u)

Entra



forma simbólica


variables en v

Sale

fm: Valor actual de la solución en el

punto u

metodo_gradiente(f,v,u,e,m,imp=0)

Entra



forma simbólica

u: Vector con valores escalares

iniciales para las variables en v

e: Criterio de convergencia y precisión

para el gradiente

m: Cantidad máxima permitida para las

iteraciones

imp: Parámetro opcional. Si se lo

omite no se mostrarán los resultados

intermedios, pero si se le asigna algún

valor mayor a cero, se mostrarán los

valores calculados en cada iteración.

Sale

Si el método converge

uk: Vector solución calculado

en la última iteración

fm: Valor de la función

evaluada en la solución

Si el método no converge entrega un vector nulo

5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Ejemplo 5.1 Calcular el mínimo de f(x,y)=2x2-

xy+y2-7y. Graficar y mostrar las iteraciones y

resultados

>>> from gradiente import* >>> x,y=symbols('x,y') >>> f=2*x**2-x*y+y**2-7*y >>> plot3d(f,(x,-10,10),(y,-10,10))

>>> v=[x,y] >>> u=[0,0] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20,1) k=1 s=3.5 vector= [0.0, 3.5] k=2 s=0.875 vector= [0.875, 3.5] k=3 s=0.4375 vector= [0.875, 3.9375] k=4 s=0.109375 vector= [0.984375, 3.9375] k=5 s=0.0546875 vector= [0.984375, 3.9921875] k=6 s=0.013671875 vector= [0.998046875, 3.9921875] k=7 s= 0.0068359375 vector= [0.998046875, 3.9990234375 >>> uk [0.998046875, 3.9990234375] >>> fm -13.9999933242798

Ejemplo 5.2 Calcular el mínimo de f(x,y)=2x2-

xy+y2-7y. Elegir otro vector inicial. Mostrar

resultados.

>>> from gradiente import* >>> x,y=symbols('x,y') >>> v=[x,y] >>> u=[5,5] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20) >>> uk [1.001147654264687, 4.000286913566172] >>> fm -13.9999976127376

Ejemplo 5.3 Calcular el mínimo de

f(x,y)=x2+2y

2+cos(x+y+1)+xy. Graficar y

mostrar resultados

>>> from gradiente import* >>> x,y=symbols('x,y') >>> f=x**2+2*y**2+cos(x+y+1)+x*y >>> plot3d(f,(x,-4,4),(y,-4,4))

L. RODRÍGUEZ

63

>>> v=[x,y] >>> u=[1,1] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.001,20) >>> uk [0.42864627450129655, 0.14293529459696494] >>> fm 0.285082064827950


f(x,y,z)=5(x-1)2+3(y+2)

2+4(z+3)

2+xyz+1.

Mostrar resultados

>>> from gradiente import* >>> x,y,z=symbols('x,y,z') >>> f=5*(x-1)**2+3*(y+2)**2+4*(z+3)**2+x*y*z+1 >>> v=[x,y,z] >>> u=[0,0,0] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20) >>> uk [0.4909226771078404, -1.7628499677299507, -2.8919840590397894] >>> fm 5.01397838490301


f(x1,x2,x3,x4)=5(x1-1)2+3(x2-2)

2+4(x3+3)

2+(x4-

1)4-x1x2x3x4 +5.

Mostrar resultados

>>> from gradiente import* >>> x1,x2,x3,x4=symbols('x1,x2,x3,x4') >>> f=5*(x1-1)**2+3*(x2-2)**2+4*(x3+3)**2+(x4-1)**4-x1*x2*x3*x4+5 >>> v=[x1,x2,x3,x4] >>> u=[0,0,0,0] >>> uk,fm=metodo_gradiente(f,v,u,0.01,20) >>> uk [1.1570991258533814, 2.141077839354268, 3.0738289454327443, -0.23935943405879354] >>> fm 5.74146881516544

6. CONCLUSIONES

En esta contribución se ha tratado un conocido

método matemático de optimización y se ha

resaltado la vinculación entre los enunciados y

las fórmulas matemáticas con su

instrumentación computacional. Esta relación

tiene mucha importancia pues permite utilizar el

desarrollo matemático en la investigación y en

la resolución práctica de problemas de

aplicación.

El método también se puede usar para

encontrar máximos locales de una función

multivariada f aplicándolo a la función -f.

Igualmente puede usarse para el caso básico del

cálculo de mínimos o máximos locales de

funciones univariadas.

La instrumentación computacional usa como

soporte el lenguaje Python, el cual por ser

software de uso libre no requiere licencia. Este

lenguaje tiene características adecuadas para

manejo matemático numérico, simbólico y

gráfico siendo además muy simple de usar.

MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO

64

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

[1]. Using Gradient Descent for

Optimization and Learning Nicolas Le

Roux, 2009

http://www.gatsby.ucl.ac.uk/teaching/c

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[2]. Gradient Descent Kris Hauser, 2012

http://homes.soic.indiana.edu/classes/s

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[3]. Introducción a la optimización

numérica

http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045

/16373/8/Microsoft%20Word%20-

%208.%20INTRODUCCION%20A%

20LA%20OPTIMIZACION%20NUM

ERICA-1.pdf

[4]. Análisis Numérico Básico Rodríguez




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[5]. Python Programación Rodríguez




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http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/16373/8/Microsoft%20Word%20-

http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/16373/8/Microsoft%20Word%20-





L. RODRÍGUEZ

65

7. CÓDIGO DEL MÓDULO GRADIENTE EN LENGUAJE PYTHON

#Método del gradiente de máximo descenso

from sympy import*

from sympy.plotting import*

import numpy as np

def obtener_gradiente(f,v):

n=len(v)

g=[]

for i in range(n):

d=diff(f,v[i])

g=g+[d]

return g

def evaluar_gradiente(g,v,u):

n=len(v)

c=[]

for i in range(n):

t=g[i]

for j in range(n):

t=t.subs(v[j],u[j])

c=c+[float(t)]

return c

def magnitud_del_gradiente(c):

norma=sqrt(np.dot(c,c))

return norma

def gradiente_normalizado(c):

norma=magnitud_del_gradiente(c)

t=list(np.array(c)/norma)

cn=[]

for i in range(len(c)):

cn=cn+[float(t[i])]

return cn

def calcular_paso(f,g,v,u):

c=evaluar_gradiente(g,v,u)

cn=gradiente_normalizado(c)

t=Symbol('t')

xt=[]

for i in range(len(v)):

xt=xt+[float(u[i])-t*float(cn[i])]

fs=f.subs(v[0],xt[0])

for i in range(1,len(v)):

fs=fs.subs(v[i],xt[i])

df=diff(fs,t)

ddf=diff(df,t)

s=1

for i in range(5):

s=s-float(df.subs(t,s))/float(ddf.subs(t,s))

return s

def evaluar_solucion(f,v,u):

fm=f.subs(v[0],u[0])

for i in range(1,len(v)):

fm=fm.subs(v[i],u[i])

return fm

def metodo_gradiente(f,v,u,e,m,imp=0):

u0=u.copy()

g=obtener_gradiente(f,v)

for k in range(m):

c=evaluar_gradiente(g,v,u0)

norma=magnitud_del_gradiente(c)

if norma<e:

fm=evaluar_solucion(f,v,u0)

return u0,fm

s=calcular_paso(f,g,v,u0)

cn=gradiente_normalizado(c)

uk=[]

for i in range(len(c)):

uk=uk+[float(u0[i])-s*float(cn[i])]

u0=uk.copy()

if imp>0:

print('k=',k+1,' s=',s,' vector=',u0)

return [],None


2016, Vol. 14, No. 1

PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE

Sánchez Hernando1

Resumen: En este artículo se presenta una propuesta didáctica y lo suficiente rigurosa para comprender los conceptos de la Mecánica

Clásica. Se pretende abarcar en esta primera parte los conceptos de la Cinemática de una partícula y los diferentes lenguajes que se pueden usar para describirla. Se hace énfasis en temas que permiten entender mejor la lógica usada por Newton cuando se desea analizar el

movimiento de objetos materiales. Además es necesario hacer notar que usando lenguaje cotidiano se presentan algunos temas de

matemáticas más avanzadas. Palabras Claves: Mecánica, Movimiento, Partícula, Cinemática, Inercial

Abstract: This article presents a didactic proposition and rigorous enough to understand the concepts of classical mechanics. It is intended to include in this first part the concepts of the kinematics of a particle and the different languages that you can use to describe it. Emphasis on

topics that allow you to better understand the logic used by Newton when you want to analyze the motion of material objects. In addition, it is

necessary to note that using everyday language some more advanced math topics are presented. Keywords: Mechanics, kinematics, motion, particle, inertial

Recibido: Enero 2016. Aceptado: Marzo 2016.

1. INTRODUCCIÓN

Los avances que ha tenido la humanidad se deben

al dominio que ha hecho el hombre de las leyes de la

naturaleza. Los pueblos más desarrollados son los

que han logrado primero el manejo del conocimiento.

La Física como ciencia de la naturaleza tiene como

misión la de extraer cada vez más esos detalles que

contiene la naturaleza y que podemos usar en

provecho para el desarrollo de los pueblos.

A través de este texto no pretendemos presentar

ningún descubrimiento, pero si contribuir a que las

juventudes se motiven en el estudio de esta ciencia

tan importante para los pueblos y que su dominio

puede redundar en mejoras en el nivel de vida de los

pueblos.

Queremos presentar al estudiante y al profesor de

Física un enfoque, resultado de los años dedicados a

enseñar Física a los estudiantes de la ESPOL. Estos

años nos han mostrado que para enseñar Física hay

que tener un buen conocimiento de ella, que la

enseñanza no se quede en un reconocimiento de lo

brillante que es la naturaleza, sino en entender el

porque es así la naturaleza. Si la entendemos vamos a

poder usar sus leyes en nuestro beneficio.

El material que queremos presentar tiene que ver

con conceptos desarrollados en el siglo XVII y que

actualmente tienen plena vigencia tanto para

ingenieros o técnicos como para personas de áreas

que necesiten un conocimiento formal del

movimiento de cuerpos materiales. Por ejemplo

podría ser de utilidad a un médico que estudie el

movimiento de articulaciones, fluidos en el cuerpo

humano o para un agrónomo que estudie el

movimiento de fertilizantes en el suelo.

Además quisiéramos que el profesor de universidad

o de colegio tenga una herramienta que con la

suficiente rigidez matemática explique y respalde los

conocimientos que imparta en el aula de clase.

Trataremos de la matemática necesaria para 1Sanchez Caicedo Hernando Profesor del Departamento de Física,

FCNM, ESPOL (e-mail: [email protected]) Guayaquil.

la explicación sea desarrollada paralelamente en la

medida de la necesidad.

2. CONCEPCIÓN DE LA NATURALEZA Y

SU EVOLUCION

El estudio de la naturaleza es el objetivo central que

se plantea la Física como ciencia. Es así que venimos

haciendo Física desde cuando nos planteamos

entender al mundo que nos rodea con la finalidad de

sacar provecho de nuestro estudio en facilitar las

actividades y desarrollar bienestar para el hombre.

Podemos citar como uno de los primeros

descubrimientos del hombre y que le ha facilitado en

mucho su desarrollo la existencia de los cuerpos

redondos y de su ventaja mecánica. Estamos

hablando de unos cuatro mil años antes de nuestra

era, cuando se construye la rueda y algunos

instrumentos basados en ella [1].

Hasta finales del Paleolítico, unos 12.000 años

antes de nuestra era, los hombres aprendieron a

trabajar ciertos materiales con la finalidad de

construir herramientas para la caza y captura de

presas para su sobrevivencia [2]. En la época del

Neolítico el hombre aprende que la tierra se la puede

hacer producir los alimentos que él desea y es así

como nace la agricultura y comienza el pastoreo.

Hacia fines del tercer milenio y principios del

segundo antes de nuestra era se aprende a manejar

metales lo que se conoce como la metalurgia de la

Edad del Bronce, y ya se pueden palpar ciertas

concepciones de la naturaleza en las culturas egipcia

y babilónica. Los egipcios hablan de “el agua fría

creadora de todos los seres y de la que proceden todas

las cosas, así como el aire que llena el espacio y se

halla en todas partes”. Los babilonios ya hablaban de

un mundo centrado en el Sol. En el primer milenio

antes de nuestra era ciertas culturas de la India

sostenían que el mundo estaba hecho de cuatro

elementos: la tierra, el agua, el fuego y el aire. Con

estos elementos se formaban los seres vivos y los

cuerpos materiales. También se postula entre los

hindúes la existencia del movimiento, el espacio y el


67

tiempo como propiedades inseparables de la materia.

Posterior a esto ya se fueron reemplazando los

elementos principales, tierra, aire agua y fuego por

elementos mucho más pequeños que se hallaban en el

éter, en el espacio y en el tiempo, comenzando así las

teorías atomistas del mundo.

Paralelamente en este milenio, en las culturas

Chinas se desarrollan muchas corrientes filosóficas

[2], entre las que sobresalen los legalistas, los

lógicos, la de los mohistas y especialmente la de los

taoístas y confucianos. Se observan estudios

realizados por los mohistas de óptica y mecánica.

Estudiaron la reflexión de la luz en espejos planos,

cóncavos y convexos. Para los taoístas el mundo y tos

los objetos se produjeron por un proceso análogo al

sexual, es decir por la interacción de los opuestos. De

esta interacción nacen los cinco elementos principales

de la naturaleza, agua, fuego, madera metal y tierra.

Los griegos en este milenio desarrollan la

concepción matemática del universo. Platón suponía

que al comienzo solo existieron dos triángulos

rectángulos, el medio cuadrado y el medio equilátero.

De ellos se derivaban las partículas que conformaban

los cuatro elementos fundamentales: las partículas de

fuego eran tetraedros, las de aire eran octaedros, las

de agua eran icosaedros y las de tierra cubos [2]. El

quinto elemento fundamental estaba hecho de

pentágonos regulares, el dodecaedro y estos eran las

partículas que conformaban el cielo.

Ya en el primer milenio de nuestra era comenzaron

a desarrollarse ciencias como la Química, que tuvo

gran preponderancia hacia el segundo milenio de

nuestra era. Se descubren las propiedades de los

elementos de la naturaleza, se descubren nuevos

elementos y se desarrollan nuevas teorías sobre la

constitución de los elementos. Comienza a

desarrollarse la teoría atómica que considera a los

elementos formados por partículas indivisibles. Y

cada una de estas partículas combinándose para que

aparezcan nuevas sustancias.

Un papel importante en el desarrollo de la Química

lo dio el descubrimiento de Volta en el 1800. Volta

descubrió la pila eléctrica, con la que los químicos tuvieron una fuente continua de electricidad que les

permitió descubrir muchos nuevos elementos.

También se descubrió que algunas sustancias, como

la sal, al disolverse en agua, podían transmitir la

electricidad, mientras que otras, como el azúcar, no lo

hacían.

Ya en la primera mitad del siglo XIX, a finales del

segundo milenio de nuestra era, ya se suponía la

existencia de partículas más pequeñas que los átomos

y se hacían experimentos para tratar de detectarlas.

Los experimentos del inglés William Crookes[3]

permitieron apreciar ciertas partículas que se

desprendían de placas metálicas al vacío sometidas a

una gran diferencia de potencial. Más tarde estas

partículas fueron llamadas por Thomson electrones.

Esas mismas partículas aparecían si se iluminaba un

metal con luz ultravioleta. Por esto quedo claro que

ellas procedían de los átomos del metal, así que el

átomo no era indivisible, estaba formado por

partículas más pequeñas.

El modelo de átomo que propuso Thomson

consistía de una esfera positiva que tenía insertado en

su interior un montón de partículas negativas,

electrones, sumergidas como pasas en un pastel. Este

modelo no duró mucho. Un discípulo de Thomson,

Rutherford, encontró que el átomo casi en su

totalidad estaba vacío, a excepción de una pequeña

parte localizada en su centro que contenía casi toda la

masa del átomo y tenía carga positiva. De esta

manera aparece el núcleo atómico. Posteriores

investigaciones determinaron que el núcleo atómico

estaba formado por dos tipos de partículas, los

protones, de carga positiva, y los neutrones, sin carga

eléctrica.

A inicios del siglo XX vemos que se desarrolla la

concepción cuántica de la materia que explica la

naturaleza de los espectros y la formación de

moléculas y agregados moleculares.

En los actuales momentos estamos pensando en la

existencia de espacios con muchas más dimensiones

y de materias que hasta ahora no han sido detectadas

por nuestros sentidos y que pueden estar en mayor

cantidad en el universo que la materia que

alcanzamos a percibir [4].

3. CUERPOS MATERIALES Y

MODELOS

En este trabajo nos proponemos analizar el

movimiento de objetos usando las leyes de la

mecánica clásica. Intentaremos describir el objeto de

nuestro estudio como una realidad que se encuentra

ante nosotros y es captada por la reacción de nuestros

sentidos ante su presencia. Será una porción limitada

de materia que posee unas propiedades las mismas

que corresponden a las diversas formas o

apreciaciones que hacen nuestros sentidos de esa

realidad. Esta realidad la llamaremos cuerpo material

y constituirá el objeto de estudio.

Objeto de estudio.- Cuerpo material que se somete al

análisis para la descripción y prospección de su

movimiento.

El cuerpo material al interactuar con nuestros órganos

sensoriales produce sensaciones diversas que se

pueden estudiar, por ejemplo un cuerpo presenta un

cierto color ante nuestra vista, manifiesta una cierta

masa que podemos constatar en una balanza y así una

infinidad de sensaciones o propiedades del cuerpo

material.

Estas propiedades que presentan los cuerpos pueden

ser estandarizadas para que sean sujetos de medición

para su correspondiente comparación. Estas

propiedades que pueden ser medidas llamaremos

cantidades físicas.

Cantidad Física.- Valor que asignaremos a una

propiedad de los cuerpos materiales sujeta a un

estándar de comparación.

javascript:Otra('thomson.htm')

javascript:Otra('rutherford.htm')

H. SANCHEZ

68

Cuando miramos los objetos que nos rodean

observamos que sus propiedades están en constante

evolución. Una medición de una cantidad física

referente a un cuerpo en este instante será diferente a

la medición de la misma cantidad física al día

siguiente. Por lo que diremos las cantidades físicas

varían con el tiempo, por lo que usaremos funciones

para representar las cantidades físicas. Las cantidades

físicas con las que apreciamos un cuerpo material y

que usaremos para su descripción son muchas, unas

más importantes que otras, dependiendo de la

situación en la que esté involucrado el cuerpo. En el

gráfico se muestra el objeto silla, el mismo que lo

podemos describir con su color, masa, carga eléctrica,

dureza, sabor, etc. Cada una de estas propiedades en

el momento que las medimos, con la finalidad de

compararlas, estamos hablando de cantidades físicas,

las mismas que están evolucionando: su color ira

cambiando con el tiempo, su masa, su dureza, todas

sus propiedades corresponderán a funciones del

tiempo.

Entonces para describir la silla necesitaremos una

gran cantidad de funciones, que muchas veces son

innecesarias por la poca o ninguna relevancia en la

situación en que el objeto silla está involucrado. Si

me interesa saber el número de sillas que puedo

transportar en un camión, las cantidades físicas

relevantes serán la masa y el volumen. No me

importa que color tengan o que dureza posean.

Entonces decido representar a la silla con un cubo

que posee un cierto volumen y cierta masa. Esta

representación de mi objeto la llamaremos modelo.

Modelo.- Es una representación del objeto de estudio

que guarde solo las propiedades determinantes del

objeto (cantidades físicas) en la situación que está

siendo tratada.

Puede haber otra situación donde lo que me interese

de la silla no sea ni la forma ni su tamaño, y lo que

me interese sea su carga y su masa, entonces

construiremos un modelo de silla que posea solo

masa y carga eléctrica.

4. POSICION Y MOVIMIENTO

4.1 Posición.- En la mecánica primero necesitaremos

definir el lugar donde suceden los procesos y donde

se ubican los objetos, el espacio; y luego

necesitaremos de una cantidad que ordene

cronológicamente los sucesos, el tiempo. Al hablar

del espacio nos sujetaremos de un principio no

empírico que se refiere a la homogeneidad e isotropía

del espacio.

Diremos que el espacio es homogéneo en base al

hecho de que la realización de un determinado evento

no depende del lugar en el espacio donde se realice.

Al hablar del movimiento de un objeto bajo ciertas

condiciones no depende del lugar del espacio donde

se realice, dependerá de las condiciones y no del

lugar. Las leyes físicas se comportan iguales

independientes de donde se las aplique. Lo único que

hay que tener en cuenta es que las condiciones sean

las mismas.

El espacio es isótropo, si tomamos en cuenta que en

el lugar donde suceden todos los fenómenos y donde

existen los cuerpos materiales no hay direcciones

especiales. Es decir al estar en el espacio exterior,

lejos de los planetas no tiene sentido hablar de arriba

o abajo, no hay direcciones especiales para el

desarrollo de los procesos. Si alguna dirección se

torna especial en el espacio será por la presencia de

los objetos y no por el espacio en sí.

Con respecto al tiempo y usando la concepción

clásica diremos que es homogéneo. Es decir que la

realización de un determinado evento es indiferente

al instante de tiempo en que se realiza. Si hoy a las

10:00 h cayó una piedra, hace el mismo efecto si

cayera a las 14:00 h de hoy o después de dos días o

después de 1000 años. Es decir las leyes físicas tienen

igual valor ahora como la tuvieron hace mil años.

Esto lo usan los constructores de edificios o de autos.

Ellos no están pensando que el edifico se caerá dentro

de 100 años porque las leyes físicas cambiarán, ni

tampoco los autos se desbaratarán.

Para establecer el orden cronológico, conforme

Einstein lo afirma, no existe un tiempo absoluto que

nos permita ordenar todos los sucesos. Esto solo lo

podemos hacer solo con un reloj que se encuentre en

el mismo lugar donde suceden porque no existe

manera para que la información de un suceso sea

transmitida instantáneamente que sucede de un lugar

a otro. Si es la luz la forma más rápida de transmitir

Graf. 2.1 Objetos y modelos


69

información, ella no es infinita. No existe un tiempo

absoluto, el tiempo es relativo.

Bajo estos principios, al no existir época en el tiempo

especial, ni tampoco posiciones o direcciones

especiales en el espacio, el determinar la ubicación de

un cuerpo material en el espacio y en el tiempo

requiere de un cuerpo especial que escojamos, de una

manera de medir el tiempo especial en el lugar donde

suceden los procesos y de ciertas direcciones

referenciales que escojamos en el espacio, las mismas

que me permitirán definir la ubicación de un cuerpo.

Estos elementos constituyen lo que se denomina

Sistema Referencial.

Sistema Referencial.- Conjunto de elementos que nos

permitirán ubicar los objetos. Está constituido por un

cuerpo de referencia, un tiempo referencial y tres

direcciones referenciales con respecto a quienes

determinaremos la ubicación del objeto de estudio.

Ya en el lenguaje habitual usamos estos conceptos,

por ejemplo decimos, el bus de transporte se

encontraba a las 10:00 h del día lunes a 3 km de

distancia del peaje y se dirigía a Salinas.

Nosotros usaremos un lenguaje más formal que nos

permita precisar mejor la ubicación de los objetos.

Para esto usaremos primero un modelo de objeto de

estudio que no toma en cuenta ni forma ni tamaño y

que puede ser representado usando el concepto

geométrico de punto. A este modelo llamaremos

modelo de partícula. La ubicación de un objeto en el

espacio-tiempo estará dada por tres números y un

tiempo referidos al objeto referencial, las direcciones

de referencia y según el tiempo de referencia

escogido.

Posición.- Es una cantidad física, por lo tanto

propiedad de los cuerpos materiales, que permite

ubicarlos según una referencia espacial y una

referencia temporal. En nuestro espacio

tridimensional usaremos tres números que están

asociados a un tiempo determinado

( ) ( ) ( ) ( )

Los valores van a depender del sistema de

coordenadas que se escoja y por lo tanto sus

significados serán diferentes.

Estos entes matemáticos formados por conjunto de

números independientes entre sí y donde cada uno

tiene un significado diferente se denominan vectores.

De ahí que algunas veces se hable del vector

posición.

Para determinar la posición debemos escoger primero

un cuerpo de referencia (un punto del espacio) donde

ubicar la posición referencial a la que generalmente

se le asigna los números (0,0,0), y un instante de

tiempo que también podamos asignarle el valor t=0

y también que nos sirva como referencia. Por lo

tanto, cualquier valor que le asignamos a la posición

de un objeto estará referida a estas referencias.

4.1.1 Coordenadas rectangulares.- En esta caso

escogemos un punto de referencia en el espacio al

que le asignamos el (0,0,0) y tres direcciones fijas

con O (no se mueven para O), que se mantienen

perpendiculares entre sí ( ). En este caso la

posición de un objeto en un determinado instante de

tiempo tendrá los siguientes números (x,y,z) que

corresponderán a las proyecciones de la ubicación del

objeto en las direcciones referenciales ( ) (ver

gráfico). Diremos entonces que la posición de A en

este sistema referencial es: ( ) ( ) en el

tiempo

Cada uno de estos números puede variar con el

tiempo como una función mientras A presenta

movimiento para el observador O y esto se refleja en

la notación ( ( ) ( ) ( )). 4.1.2 Coordenadas Cilíndricas.- A veces es mejor

usar sistemas referenciales con direcciones de

referencia que no estén fijas con objeto de referencia.

Un caso es el sistema de coordenadas cilíndricas.

Para esto necesitamos establecer 1) un plano

referencial que contenga mi objeto de referencia O,

2) una dirección referencial en este plano, X y 3) una

dirección referencial perpendicular al plano de

referencia Z. Si en un tiempo t el objeto se encuentra

en la posición A, proyectamos perpendicularmente el

punto A sobre el plano de referencia determinando el

punto P. La primera dirección referencial de nuestro

sistema de coordenadas será la que se obtiene en

línea recta de O a P, la que denominaremos radial,

Perpendicular a esta la dirección , que

denominaremos azimutal. Y perpendicular a estas dos

direcciones la dirección que sigue la dirección

perpendicular al plano de referencia. Las cantidades

que definirán la posición del objeto en un instante de

tiempo t serán ( ) ( ( ) ( ) ( )), donde es

la distancia de P a O, es el ángulo que forma el

segmento OP con la recta referencial X en el plano y

Z es la distancia de A al plano en P. Es de anotar que

si A presenta movimiento para O las direcciones

referenciales radial y azimutal también

cambiaran de ahí que son funciones del tiempo

( ) ( ) Mientras que la dirección no cambia

con el tiempo.

Graf. 3.1 Coordenadas rectangulares

H. SANCHEZ

70

Una posición del objeto en coordenadas cilíndricas

sería: ( ) que corresponde

a un objeto cuya proyección sobre el plano de

referencia P dista 5m del objeto de referencia O, la

proyección OP forma un ángulo de 0.5 radianes con

la dirección referencial X y está a 6 metros por

encima del plano referencial. Diremos entonces que

el instante de tiempo t

4.1.3 Coordenadas esféricas: Este sistema de

coordenadas también presenta direcciones

referenciales que no están fijas con el objeto de

referencia. En este caso necesitamos establecer 1) un

plano referencial que contenga mi objeto de

referencia O, 2) una dirección referencial en este

plano, X y 3) una dirección referencial perpendicular

al plano de referencia Z. Si en un tiempo t el objeto

se encuentra en la posición A, proyectamos

perpendicularmente el punto A sobre el plano de

referencia determinando el punto P. La primera

dirección referencial de nuestro sistema de

coordenadas será la que se obtiene en línea recta de O

a A, la que denominaremos radial, Perpendicular a

esta la dirección , (perpendicular a OP) que

denominaremos azimutal. Y perpendicular a estas dos

direcciones la dirección (perpendicular a r). Las

cantidades que definirán la posición del objeto en un

instante de tiempo t serán ( ) ( ( ) ( ) ( )), donde es la distancia de O a A, es el ángulo que

forma el segmento OP con la recta referencial X en el

plano, y es el ángulo que forma la distancia r con la

dirección perpendicular al plano, Z. Es de anotar que

si A presenta movimiento para O las direcciones

referenciales serán funciones del tiempo.

Cambian con la posición de A.

Una posición del objeto en coordenadas esféricas

podría ser:

( ) que corresponde a un objeto que dista de 5m del

objeto de referencia O, la proyección OP forma un

ángulo de 0.5 radianes con la dirección referencial X

y el ángulo de r con el eje Z es 1.5 radianes. Diremos

entonces que el instante de tiempo t, En algunos casos la determinación de la posición de

un objeto no requiere de sistemas tridimensionales,

debido a que su movimiento presenta restricciones.

Por ejemplo si un objeto se mueve sobre un plano, su

posición se la puede determinar con un sistema de

coordenadas bidimensional. Revisaremos algunos

sistemas bidimensionales.

4.1.4 Coordenadas rectangulares 2d: En el plano

donde se ubica el objeto identificamos un objeto de

referencia. A partir de este objeto definimos dos

direcciones referenciales , perpendiculares entre

sí. La posición de un objeto en un determinado

instante de tiempo estará determinada por los

números X y Y que corresponden a las proyecciones

de la ubicación del objeto en las direcciones

referenciales ( ) (ver gráfico). Diremos entonces

que la posición de A en este sistema referencial es:

( ) ( ) en el tiempo

Graf. 3.2 Coordenadas cilíndricas

Graf. 3.3 Coordenadas esféricas

Graf. 3.4 Coordenadas

rectangulares 2d


71

Cada uno de estos números puede variar con el

tiempo como una función mientras A presenta

movimiento para el observador O y esto se refleja en

la notación ( ).

4.1.5 Coordenadas polares: Para este sistema de

coordenadas necesitamos establecer un punto del

plano como referencia que lo denominaremos el polo

(objeto de referencia) y una recta referencial que sale

del polo. Las dos direcciones referenciales están

asociadas al objeto de estudio. La primera será la

dirección radial hacia afuera del polo y la segunda

perpendicular a esta, la dirección azimutal . Para

ubicar al objeto en el plano se necesitan dos números,

la distancia del objeto al polo y el ángulo que la

recta OA con la recta referencial . Por ejemplo la

posición de un objeto en un instante de tiempo es

( ) ( ) es decir este objeto está

a 5 m del polo y su dirección forma un ángulo de 0.5

radianes con la recta de referencia. Aquí también las

direcciones de referencia serán función del tiempo,

porque están asociadas con la ubicación del objeto en

estudio ( ) ( ).

4.1.6 Coordenadas Naturales.- En algunos casos

prácticos se acostumbra representar la posición de un

objeto usando un sistema de coordenadas

bidimensional a pesar de que el movimiento pueda

ser tridimensional. Por ejemplo cuando hablamos

sobre la posición de un auto en una determinada

carretera acostumbramos a decir se encuentra a 20

km del peaje. O decimos se encuentra 5 km antes de

la población A. Para estos casos se requiere que la

persona conozca la trayectoria y pueda entender esta

información. Entonces pongamos como requisito en

este sistema de coordenadas conocer en forma

bidimensional la trayectoria y establezcamos en la

trayectoria un punto de referencia, O y una dirección

de referencia ( ). En esta trayectoria, la posición de

un objeto se determinara por una función s(t) que

representa la distancia en esta trayectoria medida

desde el objeto de referencia, por ejemplo para t=5 s,

s(5)=345 m esto indica que cuando el cronómetro

marcó t=5 s el móvil se encontraba en esta trayectoria

a 345 m de la referencia. Las direcciones

referenciales serán la dirección tangencial a la

trayectoria y la dirección normal a la trayectoria:

( ) que también cambiarán en función del tiempo ( ( ) ( )). Cualquier vector en este sistema de

coordenadas tendrá componente tangencial y

componente normal a la trayectoria.

4.1.7 Movimiento.- Es una propiedad de los cuerpos

materiales, su capacidad de cambiar de posición

según una referencia que se escoja. Vemos desde el

suelo a los aviones volar, cambiar su posición,

(referencia el suelo en un tiempo dado). Si la

referencia no fuese el suelo, sino una persona, un

pasajero del avión, éste no notará cambio de posición

del avión, para él no se moverá. Las gotas de lluvia

dejan líneas al resbalar por el vidrio lateral de un

carro (referencia el vidrio). Si el carro esta

estacionado las líneas aparecerán verticales, aunque

las mismas gotas de lluvia en el vidrio de un carro en

movimiento aparecerán inclinadas (otra referencia).

Diremos entonces que el movimiento es una

propiedad de los cuerpos que mide su

comportamiento para un observador y para un tiempo

determinado. El movimiento es relativo.

Diremos entonces que un cuerpo se encuentra en

movimiento si su posición para un determinado

observador y para un cronometro dado cambia en

función del cambio de tiempo registrado.

Entonces quedara registrado el movimiento en las

funciones que indiquen los vectores posición de los

cuerpos. La primera tarea de la Mecánica es

encontrar estas funciones.

Desde la Cinemática a cada posición del cuerpo le

corresponde un punto en el espacio en un tiempo

determinado. Si pudiésemos tomar todas las

posiciones para los tiempos correspondientes en

cierto intervalo obtendríamos un conjunto de puntos

arreglados uno a continuación de otro formando lo

que en geometría llamamos una línea. A esta línea la

llamaremos trayectoria.

Trayectoria, en el modelo de partícula, de un cuerpo

está constituida por todos los puntos del espacio por

donde pasa el cuerpo en su movimiento.

Graf. 3.5 Coordenadas polares

Graf. 3.6 Coordenadas naturales

H. SANCHEZ

72

Estaríamos tentados en asociar el movimiento con la

variación de posición, aunque esto, que puede ser

necesario para el movimiento, no es suficiente para

decir que hubo movimiento. Si existe cambio de

posición es porque hay movimiento del cuerpo, pero

lo contrario no siempre es verdad, si hay movimiento

es porque ha habido cambio de posición. Pudo haber

movimiento, pero no se registró cambio de posición

porque regreso en ese tiempo al punto de partida. El

cambio de posición se registra con el vector

desplazamiento.

Vector desplazamiento.- Medida del cambio de

posición de un objeto, y se obtiene de la diferencia

entre los vectores posición de dos tiempos diferentes.

Por convención siempre escogeremos el tiempo

posterior menos el tiempo anterior:

| | ( )

√( ) ( )

( ) ( )

En esta expresión el vector es el vector posición

del objeto en un tiempo anterior mientras es el

vector posición del cuerpo en un tiempo posterior por

convención .

Este vector me indica cuan distante se encuentra la

posición B de la posición A, correspondientes a

tiempos diferentes . Pero que sucedió en medio

de estos tiempos no sabemos; y como apreciamos del

grafico no se asemeja el vector desplazamiento con la

trayectoria. Si quisiéramos tener información

intermedia deberíamos medir posiciones para tiempos

intermedios, por ejemplo .

Esta aproximación es más cercana pero aún no se

parece a la trayectoria. Sería necesario tener, no un

punto intermedio, sino varios con intervalos de

tiempo muy pequeños.

Si hiciéramos la diferencia entre los tiempos tan

pequeña, de tal manera que los puntos intermedios no

me den incertidumbre acerca del movimiento y de

esta manera el desplazamiento se pegue a la

trayectoria tendríamos una mejor medida para el

cambio de posición. Hagamos entonces una cantidad

muy grande de puntos intermedios, de manera que el

intervalo de tiempo entro entre dos puntos

intermedios sea muy pequeño, cercano a cero, pero

no cero, Este tipo

de cantidades se usan en matemática y se las

denomina diferenciales:

( )

Naturalmente que junto al dt también aparecerá un que corresponde al desplazamiento que tuvo el

cuerpo en el intervalo de tiempo dt.

( ) ( ) Este vector desplazamiento diferencial tiene algunas

virtudes: 1) sigue a la trayectoria y por lo tanto

diremos que es tangente a la trayectoria, serviría para

indicarnos la dirección del movimiento, 2) debido a

que corresponde a un intervalo de tiempo muy

cercano a cero, esto garantizaría que con él podamos

medir si el cuerpo se encuentra en movimiento o no.

Si el desplazamiento diferencial es diferente de cero

el cuerpo está en movimiento y lo contrario también

es cierto, si el cuerpo está moviéndose su

desplazamiento diferencial es diferente de cero.

El único problema que existe es que el diferencial no

tiene un valor real medible y por lo tanto no sería de

mucha utilidad su uso. Construiremos un nuevo

vector con diferenciales que conserve las

características del desplazamiento diferencial, que mida movimiento y que pueda ser cuantificable. Para

esto hagamos el cociente:

Este cociente conserva la dirección del movimiento y

además podemos asociarlo con rapidez con la que se

realiza el cambio de posición. Debido a su

importancia para la mecánica lo denominaremos

velocidad.

Graf. 3.7 Trayectoria

Graf. 3.8 Desplazamiento

Graf. 3.9 Desplazamientos


73

Velocidad.- Si existe, es el cociente entre el

diferencial de desplazamiento y el diferencial de

tiempo en un instante determinado. Esta cantidad

física nos determina si el cuerpo se mueve según un

observador y un tiempo específico y además tiene la

información de cuán rápido se está realizando el

movimiento y en qué dirección se está realizando el

movimiento. La magnitud de esta cantidad la

denominamos rapidez y es la medida de la agilidad

con la que se realiza el movimiento. Este cociente

desde el punto de vista matemático se denomina

derivada, de manera que diremos que la velocidad es

la derivada de la posición con respecto al tiempo.

El valor que se le asigna a este cociente lo

obtendremos del comportamiento del cociente

cuando el se acerca a cero, sin que llegue a ser

cero:

( )

Esta es una cantidad vectorial, lo que significa que

contiene un conjunto de tres números:

(

) ( )

La orientación de la velocidad es la orientación del

movimiento y la rapidez será la magnitud de la

velocidad:

√(

)

(

)

(

)

( )

Como ejemplo tomemos un movimiento

unidimensional dado por ( ) , que

significa que el cuerpo ocupó las posiciones dadas en

la tabla adjunta:

Para t=1 su posición es x=4.

Para su posición será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

De manera que el cociente

cuando el

se acerca a cero

, lo que registraremos como la

velocidad del cuerpo en t=1.

De igual manera podemos proceder en cualquier

tiempo. En t=2, x= 16.

Para su posición será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

El cociente

, que cuando el se

acerca a cero

. Esto indica que la velocidad

del cuerpo en t=2 s fue de 17 m/s.

Con estos valores podemos construir la siguiente

tabla y con ellos construir una nueva función:

( ) ( ) . Para las componentes y(t) y z(t) podemos hacer lo

mismo y construir el vector

velocidad como el conjunto de tres

funciones del tiempo:

( ) (

) ( ( ) ( ) ( ))

Esta operación ya se encuentra sistematizada en los

cursos de cálculo matemático y se llama

derivación[ ]. Obedece a reglas sencillas que se

desarrollan en estos cursos y se transcriben a

continuación en la siguiente tabla:

N f(t)

1 A=const 0

2 At A

3 para n R

4 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 6 7 ( ) 8 ∑ ( ) ∑

( )

9 ( ) ( )

10 ( ( ))

Ejemplo:

( ) { ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) {

( )

( ) ( )

( ) ( )

t v

0 -3

1 7

2 1

7

3 2

7

t X

0 2

1 4

2 16

3 38

H. SANCHEZ

74

5. CONLUSIONES

En esta primera parte hemos destacado la

importancia que tienen los modelos para

describir una realidad bastante compleja. Si

quisiéramos interpretar la realidad en toda su

dimensión no sería una tarea fácil o tal vez

imposible de resolver por la infinidad de

variables que involucran a un objeto real.

Hemos presentado un modelo sencillo para la

descripción del movimiento, procurando si

enmarcarlo en una matemática con la suficiente

lógica que caracterizan a conocimientos

científicas.

Además, hemos tratado de mostrar la necesidad

de una matemática nueva para el 1700 acorde a

la necesidad de explicar los problemas que

Newton intentó descifrar.


75

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ELECTRÓNICAS

[1]. Historia Universal. Gómez, González,

Pastoriza, Editorial Pearson Educación,

México 2008

[2]. Historia de las Ciencias 1, Stephen

Mason, Alianza Editorial, Madrid

2012, ISBN 978-84-206-1197-6

[3]. William Crookes, Biografías y Vidas.

http://www.biografiasyvidas.com/biogra

fia/c/crookes.htm

[4]. NASA (ed.). «La NASA Encuentra

Pruebas Directas de Materia Oscura» en

el Observatorio de rayos X Chandra

[5]. Leithold Louis. El Cálculo. Oxford

University Press. Séptima edición. 1998

https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788420611976

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/crookes.htm

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https://es.wikipedia.org/wiki/NASA

http://www.nasa.gov/home/hqnews/2006/aug/HQ_06297_CHANDRA_Dark_Matter.html

http://www.nasa.gov/home/hqnews/2006/aug/HQ_06297_CHANDRA_Dark_Matter.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Observatorio_de_rayos_X_Chandra


2016, Vol. 14, No. 1

PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE

SANCHEZ HERNANDO1

Resumen: En este escrito continuamos la presentación iniciada en artículo anterior con el mismo nombre. Se pretende ahora presentar las características que tiene el movimiento de cuerpos no tan pequeños como los electrones ni tan veloces en

comparación con la velocidad de la luz. Se analiza en esta Segunda Parte las relaciones con las que podemos describir el

movimiento de los cuerpos. Se hace uso de los sistemas de coordenadas mayormente empleados para describir movimientos y que permiten al estudiante de Física plantearse problemas relativamente interesantes y prácticos.

Palabras Claves.- Mecánica, Movimiento, Partícula, Cinemática, Aceleración.

Abstract: In this paper we continue presentation initiated in previous article with the same name. Intends to now introduce the

features that the movement of bodies not as small as electrons or so fast compared to the speed of light. In this second part discusses relations with which we can describe the movement of bodies. It makes use of the coordinate systems mostly used to describe

movements and allow the student of physics arise relatively interesting and practical problems..

Keywords.- Mechanics , Motion, Particle, Kinematics, acceleration.

Recibido: Enero 2016

Aceptado: Marzo 2016

1. INTRODUCCIÓN

Los avances que ha tenido la humanidad se

deben al dominio que ha hecho el hombre de las

leyes de la naturaleza. Los pueblos más

desarrollados son los que han logrado primero el

manejo del conocimiento. La Física como

ciencia de la naturaleza tiene como misión la de

extraer cada vez más esos detalles que contiene

la naturaleza y que podemos usar en provecho

para el desarrollo de los pueblos.

A través de este texto no pretendemos presentar

ningún descubrimiento, pero si contribuir a que

las juventudes se motiven en el estudio de esta

ciencia tan importante para los pueblos y que su

dominio puede redundar en mejoras en el nivel

de vida de los pueblos.

Queremos presentar al estudiante y al profesor

de Física un enfoque, resultado de los años

dedicados a enseñar Física a los estudiantes de

la ESPOL. Estos años nos han mostrado que

para enseñar Física hay que tener un buen

conocimiento de ella, que la enseñanza no se

quede en un reconocimiento de lo brillante que

es la naturaleza, sino en entender el porque es

así la naturaleza. Si la entendemos vamos a

poder usar sus leyes en nuestro beneficio.

El material que queremos presentar tiene que

ver con conceptos desarrollados en el siglo

XVII y que actualmente tienen plena vigencia

tanto para ingenieros o técnicos como para

personas de áreas que necesiten un

conocimiento formal del movimiento de cuerpos

materiales. Por ejemplo podría ser de utilidad a

un médico que estudie el movimiento de

1Sanchez Caicedo Hernando Profesor del Departamento de

Física, FCNM, ESPOL (e-mail: [email protected])

Guayaquil.

articulaciones, fluidos en el cuerpo humano o

para un agrónomo que estudie el movimiento de

fertilizantes en el suelo. Además quisiéramos

que el profesor de universidad o de colegio

tenga una herramienta que con la suficiente

rigidez matemática explique y respalde los

conocimientos que imparta en el aula de clase.

Trataremos de la matemática necesaria para la

explicación sea desarrollada paralelamente en la

medida de la necesidad.

1.2.3 Velocidad en coordenadas polares.- En

coordenadas polares la posición está dada por

un vector que se dirige en la dirección radial por

lo que no tendrá componente azimutal:

( ) ( ) ( ) ( )

Matemáticamente es el producto de dos

funciones del tiempo, la distancia al polo y la

dirección radial.

Para hallar la velocidad en este caso usaremos la

regla 9:

( )

La derivada del vector unitario radial existe

cuando el cuerpo sufre una variación angular de

porque si este ángulo no cambia el vector

radial seguiría igual. De ahí que ese vector

depende del tiempo solo si ( ) es función del

H. SANCHEZ

77

tiempo: ( ( )). Por lo tanto para derivar el

vector radial debemos usar la regla 10:

( )

La derivada de con respecto al ángulo , del

grafico 3.11 podemos apreciar que es un vector

unitario en la dirección azimutal, tomando en

cuenta que | | :

( )

De ahí que las componentes de la velocidad

sean:

( )

Componentes: radial y azimutal de la velocidad.

( )

Por ejemplo: Un móvil mientras se desplaza su

posición está dada en coordenadas:

{

( )

Entonces las componentes de la velocidad

serán:

( ) ( )

De manera que la velocidad toma la forma:

( ) ( )

1.2.4 Velocidad en coordenadas naturales.-

En coordenadas naturales es fácil escribir la

velocidad porque sabemos la velocidad es

siempre tangente a la trayectoria, es decir la

velocidad tendrá una sola componente:

( )

Aquí hemos usado el hecho que se desprende de

la definición de la velocidad; la rapidez es la

magnitud de la velocidad.

Como ejemplo veamos un móvil desplazándose

en una determinada trayectoria de manera que la

distancia al punto de referencia varía con el

tiempo:

( ) ( ) Su rapidez la obtendríamos derivando s(t):

( ) Y su velocidad será:

( ) ( ) 1.2.5 Velocidad en coordenadas cilíndricas.-

Partimos otra vez de la definición de velocidad:

es la derivada de la posición con respecto al

tiempo. La posición en coordenadas cilíndricas

se la expresa como la suma de dos

componentes:

( )

En esta expresión ( ) ( ) ( ) son

funciones del tiempo, aunque la dependencia de

( ) es a través de ( ) Usando las reglas de

derivación:

( )

Y usando las relaciones (3.13) y (3.14) que

obtuvimos en coordenadas polares para la

dirección radial:

( )

De manera que la velocidad tendrá tres

componentes perpendiculares entre sí:

{

( )

Por ejemplo: El movimiento de un cuerpo

descrito en coordenadas cilíndricas se expresa:

{

( )

Corresponde a un móvil que se desplaza por una

espiral ascendente dentro de un cilindro de 10 m

de radio.


78

Su velocidad tendrá las siguientes componentes:

{

( )

( )

1.2.6 Velocidad en coordenadas esféricas.-

De la definición de velocidad:

y

tomando en cuenta que la posición en

coordenadas esféricas tendría solo componente

radial:

( ) ( ) ( ) ( )

Entonces usando la regla 9 de derivación se

obtiene:

( )

En coordenadas esféricas la dependencia con el

tiempo de la dirección radial se manifiesta al

variar tanto el ángulo como el ángulo :

( ( ) ( )).

( )

Si hacemos variar solo el ángulo , del gráfico

3.15 se nota que:

( ) ( )

De igual manera el cambio en por la

variación del ángulo lo calcularemos haciendo

variar manteniendo fijo a .

Del grafico 3.16 podemos apreciar que:

( )

De manera que la velocidad en coordenadas

esféricas tendrá las siguientes componentes:

(

)

( )

Graf. 3.14 Ejemplo de Coord. Cilíndricas Graf. 3.15 Variación del ángulo 𝜑.

Graf. 3.16 Variación del ángulo 𝜑.

Graf. 3.17 Ejemplo de Coord. Esféricas

H. SANCHEZ

79

{

( )

Por ejemplo: La posición de una partícula en

coordenadas esféricas está dada por

{

( )

Representa una partícula moviéndose sobre una

esfera, rotando y desplazándose hacia abajo. Las

componentes de la velocidad en cualquier punto

serán:

{

(

)

( )

{

( )

No existe velocidad radial ya que la distancia al

centro se mantiene constante. Rota en forma

uniforme alrededor del eje vertical ya que la

componente es constante.

2. ACELERACION Y CAMBIOS DE

MOVIMIENTO

2.1 Aceleración.- El movimiento de un cuerpo

puede sufrir cambios en la trayectoria. Esto

puede manifestarse ya sea porque cambia la

rapidez del movimiento o porque suceda

cambios en su orientación. De ahí que si

queremos medir los cambios de velocidad o

cambios en el movimiento debemos introducir

una cantidad vectorial que aprecie estos

cambios. Esta cantidad la denominaremos

aceleración.

Aceleración.- Cantidad física vectorial que mide

los cambios en la velocidad. Por definición

aceleración es la derivada matemática de la

velocidad:

( )

( )

Así como la velocidad tiene sus componentes

según el sistema de coordenadas que usemos la

aceleración tendrá sus componentes. El

significado de sus componentes dependerá del

sistema que estemos usando, aunque todas se

refieran a cambios en características de la

velocidad.

2.1.1 Aceleración en coordenadas

rectangulares.- En coordenadas rectangulares

la velocidad mide los cambios que sufren las

proyecciones de la posición sobre los ejes

rectangulares. De igual manera la aceleración

tendrá sus respectivas componentes:

( )

La componente refleja los cambios que sufre

la componente de la velocidad y así cada

componente de la aceleración. En el ejemplo

que habíamos propuesto:

( ) {

( )

( )

( )

( ) {

⁄

( )

( )

( )

2.1.2 Aceleración en coordenadas naturales.-

En coordenadas naturales hay que tener en

cuenta que las direcciones dependen del tiempo.

Para la aceleración es necesario conocer la

derivada del vector tangencial, tomando en

cuenta que este vector cambia porque la

dirección cambia:

Graf. 4.1 Direcciones en C. Naturales


80

( ( ))

( )

Nótese del grafico 4.1 que el cambio de sigue

la dirección del vector .

De esta manera la aceleración en este sistema de

coordenadas tendrá dos componentes:

( )

Es decir la aceleración tiene una componente

tangencial y una componente normal:

( )

Si la trayectoria fuese una circunferencia de

radio R entonces podríamos establecer una

relación de la derivada

con la rapidez:

( )

Esta relación permite expresar la aceleración

normal como:

(

)

( )

Esta relación válida para el movimiento circular

se la puede usar para cualquier trayectoria. Para

eso en cada punto de la trayectoria trazaremos

una circunferencia tangente a la trayectoria y

que esté de acuerdo con su curvatura como

muestra el grafico 4.3.

Este radio tendría un valor variable y que

llamaremos radio de curvatura :

( )

2.1.3 Aceleración en coordenadas polares.-

En coordenadas polares hay que tomar en

cuenta los cambios que sufren las orientaciones:

( )

La orientación radial obedece a la relación (25).

Para obtener la variación que sufre la dirección

azimutal observemos el gráfico 4.4:

El cambio de la dirección azimutal sigue la

dirección contraria de la dirección radial:

( )

Y usando las reglas de derivación:

( )

Al incluir las derivadas de las direcciones

obtendremos:

(

(

)

)

(

) ( )

Graf. 4.2 Movimiento circular

Graf. 4.3 Radio de curvatura

Graf. 4.4 Direcciones en C. Polares

H. SANCHEZ

81

Es de anotar que a la distancia la hemos tenido

que derivar dos veces lo que se ha anotado con

la representación:

( )

Tendremos entonces una componente de la

aceleración en la dirección radial y otra para la

dirección azimutal.

De estos términos algunos tienen importancia

especial, por ejemplo el término (

)

es

importante en el movimiento circular, es decir si

( ), este término se lo

denomina aceleración centrípeta. El termino

que sigue la dirección azimutal, se

presenta cuando ( ) ( ) . Es

conocido como aceleración de Coriolis.

En el ejemplo propuesto para la velocidad en

coordenadas polares:

( ) ( )

Su derivada nos daría la aceleración:

( )

( )

( )

Esta expresión cambia al reemplazar las

derivadas de las direcciones:

( ) (

)

( ) ( ) ( )

Aquí usamos el valor de dado en el

ejemplo.

2.1.4 Aceleración en coordenadas cilíndricas.-

Usaremos en este sistema de coordenadas

derivadas de las direcciones similares a las

obtenidas para coordenadas polares:

( )

Por lo que partiendo de la velocidad:

( )

La aceleración tendrá las siguientes

componentes:

( )

Al reemplazar en esta expresión las derivadas de

las direcciones nos da:

(

(

)

)

(

)

( )

Las tres componentes de la aceleración. Igual

que en coordenadas polares se observa la

aceleración centrípeta, (

)

y la

aceleración de Coriolis,

.

En el ejemplo propuesto para la velocidad en

coordenadas cilíndricas teníamos (3.28):

{

Su aceleración tendrá la siguiente expresión:

( )( )

Este móvil solo experimenta una aceleración

radial constante de ⁄ dirigida hacia

adentro de la espiral.

2.1.5 Aceleración en coordenadas esféricas.-

De igual manera para encontrar la aceleración

en coordenadas esféricas hay que tomar en

cuenta las derivadas de las direcciones (3.32):

( )

( ( ))

( )

( ( ) ( ))

( )

Para el vector hemos tomado en cuenta que

él puede variar solo si varía el ángulo . En

cambio el vector puede cambiar si cambia

o si cambia .


82

Haciendo variar solo el ángulo en el gráfico

4.5 observamos que el cambio que sufre la

dirección se la tiene que descomponer en dos

componentes, una en la dirección y otra en

la dirección .

( )

( )

Para el vector primero observaremos su

cambio en el grafico 4.6 cuando cambia el

ángulo .

En el grafico apreciamos que la dirección del

cambio de es contraria a la dirección radial:

( )

Ahora observemos el cambio de en función

del cambio del ángulo , manteniendo fijo el

ángulo . En el grafico 4.7 podemos apreciar:

| |

| | | |

( )

( )

Por esto la derivada de la dirección con

respecto al tiempo será:

( )

Estamos listos ahora para escribir la aceleración

a partir de su definición:

(

)

Agrupando los términos semejantes y

observando las reglas de derivación tendremos

que:

(

(

)

(

)

)

(

)

(

(

)

) ( )

Graf. 4.5 Cambios de dirección en

Coordenadas Esféricas

Graf. 4.6 Cambios de dirección 𝜃 si

el ángulo 𝜃 cambia.

Graf. 4.7 Cambios de dirección 𝜃 si

el ángulo 𝜑 cambia

H. SANCHEZ

83

Donde aparecen las tres componentes de la

aceleración. Aquí también podemos distinguir la

aceleración de Coriolis para el caso cuando

( ) ( ) En este caso

el término

corresponde a la

aceleración de Coriolis.

Como ejemplo analicemos el movimiento de

una partícula por la superficie de una esfera

por una trayectoria circular con un

ángulo ⁄ .

{

⁄ ( )

La posición y la velocidad las obtendremos por

las reglas de derivación y observando las

derivadas de las direcciones (4.25), (4.29):

(

) ( )

De igual manera derivando la velocidad se

obtiene la aceleración:

( )

(

)

√

( )

Entonces la partícula tendrá una aceleración

constante con dos componentes perpendiculares.

Como se aprecia en el grafico la aceleración

estará dirigida al centro de la trayectoria

(aceleración centrípeta).

3. CONCLUSIONES.

En esta contribución hemos presentado la forma

de describir el movimiento de los cuerpos bajo

el modelo de partícula. Para esto hemos visto

que podemos describir el movimiento de un

cuerpo en varios lenguajes, los que veremos

apropiados más adelante conforme las

necesidades de los problemas a tratar lo

ameriten. Hemos descrito el movimiento usando

los sistemas de coordenadas más usados y a la

vez destacado su importancia en ejemplos

apropiados para cada uno de ellos.

Usando la matemática ya desarrollada se ha

podido también describir la medida para los

cambios de movimiento y que en la Mecánica

Clásica se denomina aceleración. Se describe la

aceleración en diferentes sistemas de

coordenadas y sus correspondientes ejemplos.

Graf. 4.8 Ejemplo de C. Esféricas


84

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] Leithold Louis. El Cálculo. Oxford

University Press. Séptima edición. 1998

[2] Física Universitaria V. 1, Sears Zemansky,

Editorial Pearson Educación, México 2013


2016, Vol. 14, No. 1

ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES

SOLIS SORAYA1

Resumen: Se describe la construcción de una topología sobre un espacio de funciones complejas, la cual es límite inductivo

estricta, barrelada, bornológica y Mackey. El dual de dicho espacio, provisto de tal topología, es el espacio de las distribuciones o funciones generalizadas.

Palabras Claves: Distribución, límite inductivo estricto, barrelado, bornológico, Mackey.

Abstract: The construction of a topology on a space of complex functions is described, which is strict inductive limit, barreled,

bornological and Mackey. This space’s dual, provided with such topology, is the space of the distributions or also called

generalized functions. Keywords: Distribution, Strict inductive limit, barreled, bornological, Mackey.

Recibido: Febrero 2016

Aceptado: Marzo 2016.

1. INTRODUCCIÓN

En el cálculo diferencial con funciones de

variable real, se presentan situaciones en las que

la derivada de una función continua no

necesariamente lo es.

El espacio de distribuciones constituye una

clase de funciones que no presenta este

inconveniente, entre algunas de sus bondades

tenemos que toda distribución es continua y las

derivadas parciales de cualquier orden son

distribuciones, consecuentemente también son

continuas.

En el presente artículo se describe cómo se

origina el espacio de distribuciones a partir del

espacio de funciones “test”, dotado de una

topología especial.

2. DEFINICIONES Y RESULTADOS

PRELIMINARES

Def. I.- Espacio vectorial topológico.

Un espacio vectorial sobre un campo K dotado

de una topología que hace continuas las

operaciones de suma y multiplicación por

escalar, se denomina espacio vectorial

topológico (t.v.s.).

Proposición I.- En un t.v.s. E son equivalentes:

([3] pag. 6)

i. E es Hausdorff.

ii. Los singleton son cerrados.

iii. Si entonces existe una vecindad de 0

U tal que .

Proposición II.- En un t.v.s se cumple: ([1] pag.

8, 10)

i. Toda vecindad U de 0 contiene una vecindad

simétrica V (V = -V) tal que V+V U.

ii. Toda vecindad de 0 contiene una vecindad

balanceada de 0.

iii. Toda vecindad convexa de 0 contiene una

vecindad absolutamente convexa (convexa y

balanceada) de 0.

1Solis Soraya, Magister en Matemática., Profesora,

Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, ESPOL. (e_mail:

[email protected]).

Def. II.- Espacio Localmente Convexo

Un espacio vectorial topológico E sobre un

campo K se dice localmente convexo (l.c.s.), si

es Hausdorff y posee una base de 0-vecindades

convexas.

Una topología en E que hace continuas las

operaciones de suma y multiplicación por

escalar y que además posee una base de 0-

vecindades convexas se dice localmente

convexa.

En algunos resultados se considerarán

topologías localmente convexas mientras que en

otros se requerirá adicionalmente la condición

Hausdorff.

Lema I.- Sea E localmente convexo y H un

subespacio vectorial de E. Sea U una vecindad

absolutamente convexa en H respecto a la

topología inducida por E: ([2] pag. 58)

i. Existe una vecindad absolutamente

convexa V en E tal que .

ii. Si , entonces V puede ser escogida

tal que .

Def. III.- Topología Inductiva y Topología

Límite Inductiva.

Sean E y espacios vectoriales sobre

un campo K. Sean aplicaciones lineales de

en E. Si es una toplogía sobre el espacio

, se define la topología inductiva sobre E,

respecto a la familia { }, como

la topología localmente convexa más fina que

hace continuas las aplicaciones

)

Si { }, se denomina la

Topología Límite Inductiva sobre E y

denotamos )= .

Una base de vecindades de 0 de esta topología

está dada por la familia U de subconjuntos de E,

convexos y balanceados tales que es

una vecindad de 0 en , para cada .

Notemos que la topología trivial (la que sólo

contiene E y ) es una topología localmente

convexa que hace continuas todas las

aplicaciones , por lo que la colección de tales


86

topologías es no vacía y así es el supremo de

esta colección.

Def. IV.- Suma Directa Localmente Convexa

Sea { } una familia de espacios

vectoriales sobre un campo K. Sea

la suma algebraica directa, esto es, el subespacio

vectorial de formado por los vectores que

tienen sus entradas nulas excepto en un número

finito de ellas.

Sean l.c.s. y las aplicaciones lineales

la incrustación canónica;

.

Al espacio E, dotado de la topología inductiva

respecto a la familia { } se lo

denomina Suma Directa Localmente Convexa

de la familia { } y lo denotamos

por ) = o simplemente

.

Puesto que es más fina que la inducida por

sobre E, en este caso es Hausdorff y por

tanto ) es l.c.s.

Def. V.- Límite Inductivo

Sea { } una familia de l.c.s. sobre un

campo K, donde A es un conjunto de índices

dirigido bajo una relación " ". Siempre que

sea una aplicación lineal de en

. Sea y sean las aplicaciones

lineales la incrustación

canónica; . Sea H el subespacio generado

por las imágenes de las aplicaciones lineales

para todo .

Sabemos que si E es t.v.s., E/H, provisto de la

topología cociente, es Hausdorff si y sólo si H

es cerrado ([1] pag. 20). En este caso definimos

el espacio cociente como el límite inductivo de

la familia { } con respecto a las

apliaciones y lo denotamos por

.

2.1 LÍMITE INDUCTIVO DE UNA

FAMILIA DE SUBESPACIOS

Def. VI.- En la definición anterior consideremos { } una familia de subespacios

de un espacio vectorial E tal que

si , A es dirigido por inclusión

ssi , si entonces

es la inclusión canónica de en E

y la inclusión de en , si . Sea E

provisto de la topología inductiva .

En este caso notemos que o es

nula, para todo , por lo cual H es el

subespacio trivial {0}.

Luego,

es homeomorfo a E.

Suponiendo que E/H es Hausdorff, este espacio

es el límite inductivo de la familia de

subespacios { } y es denotado por

E().

Si adicionalmente induce siempre que

, diremos que el límite inductivo de la

familia de subespacios es estricto.

El límite inductivo estricto de una sucesión

creciente de (B)-espacios se denomina

(LB)-espacio y el de (F)-espacios (LF)-espacio

(B de Banach y F de Fréchet).

Teorema I.- Sea { } una sucesión

creciente de l.c.s tal que induce para

todo n, E un espacio vectorial dado por

. Entonces la topología inductiva sobre E

respecto a las inclusiones canónicas

es Hausdorff e induce sobre para todo n.

Demostración:

Primero mostramos que es menos fina

que la topología inducida por E() en .

Fijemos . Sea una vecindad

absolutamente convexa en . De la hipótesis induce para todo

y por el Lema I es posible construir

una sucesión de vecindades absolutamente

convexas en , tal

que . Definamos

. Notemos que V está en E y

como estas vecindades están encajadas, V

resulta ser absolutamente convexa. Además

para todo

y . Por tanto V es una vecindad

en E() que induce la vecindad .

Ahora mostramos que la topología inducida

por E() en es menos fina que .

Sabemos que la inclusión canónica

E() es continua para todo n.

Sea U una vecindad de 0 en E(). Entonces

Finalmente mostramos que E() es

Hausdorff.

Por la proposición I es suficiente mostrar

que dado existe una vecindad de 0 U

en tal que . Como

existe

algún N tal que . Como este

subespacio es Hausdorff y su topología

coincide con la inducida por , existe una

vecindad de 0 U en tal que y

por tanto . □

Dada la utilidad de este tipo de construcciones,

denotaremos E()

al límite

inductivo estricto de una sucesión de

subespacios.

Teorema II.- Sea E()

y sea

cerrado en para todo . Un

S. SOLÍS

87

conjunto es -acotado si y sólo si existe

algún tal que B es acotado.

Demostración:

Sea B acotado. Sea U una vecindad de 0

en E(). Por el teorema anterior sabemos que

coincide con la topología inducida por E(),

por tanto existe t > 0 tal que

. Luego B es -acotado.

Supongamos que B es -acotado pero no es

acotado para todo .

Entonces existe una sucesión { } en B tal que

pero

.

Luego Sea

vecindad

absolutamente convexa de . De la hipótesis

es cerrado en

y por el Lema I existe

una vecindad de 0 absolutamente convexa

en tal que

y

; para todo . (*)

Definamos

y similar a lo realizado

anteriormente se tiene que V es una vecindad de

0 en E(). Como B es acotado en E() y

tenemos que

en E() por lo cual existe

algún m tal que

para todo .

Pero esto es una contradicción con (*). □

Teorema III.- El límite inductivo estricto de una

sucesión de espacios localmente convexos

completos es completo.

Sea { } una red de Cauchy en el límite

inductivo estricto. Luego esta red es acotada en

este espacio y por el Teorema anterior existe

algún subespacio de la sucesión que la contiene.

Como éste es completo la red converge en tal

subespacio y por tanto converge en el espacio

límite inductivo estricto.

2.2 ESPACIOS BARRELADOS

Def. VII.- Espacio Barrelado

Sea E un espacio vectorial topológico. Un barril

(tonel) es un subconjunto de E que es

absolutamente convexo y cerrado. E se dice

espacio barrelado (tonelado) si todo barril es

una vecindad de 0.

Teorema IV.- Todo espacio E localmente

convexo de Baire es barrelado.

Demostración: Sea D una barril del espacio E.

Puesto que D es absorbente tenemos que

y dado que E es de Baire existe

algún tal que mD tiene interior no vacío.

Luego existe algún x tal que x int(mD) =

m int(D), por tanto existe y int(D) y como D

es balanceado su interior también lo es, así -y

int (D).

Por la convexidad de int(D) se tiene que 0

(

) . □

Corolario I.- Los espacios de Banach y los

espacios de Fréchet son barrelados.

Teorema V.- Si es la topología inductiva sobre

E respecto a una familia de espacios barrelados,

con sus correspondientes aplicaciones lineales,

entonces todo barril es una vecindad de 0 en .

Demostración:

Sea la topología inductiva sobre E respecto a

la familia { }.

Sea D un barril en E(). Entonces es un

barril en . Como este espacio es

barrelado se tiene que es una vecindad

de 0 en ; para todo . Luego D es

vecindad de 0 en E(). □

Corolario II.- El espacio cociente Hausdorff de

un espacio barrelado también es barrelado, la

suma directa localmente convexa y el límite

inductivo de una familia de espacios barrelados

es barrelado.

2.3 ESPACIOS BORNOLÓGICOS

Def. VIII.- Un espacio localmente convexo E es

bornológico si todo conjunto absolutamente

convexo que absorbe a todo conjunto acotado

de E, es una vecindad de 0.

Teorema VI.- Todo l.c.s metrizable es

bornológico.

Demostración:

Sea E un l.c.s metrizable. Entonces E posee una

base local numerable ([2] pag. 28). Sin pérdida

de generalidad supongamos que esta base está

formada por bolas centradas en 0 y radios

decrecientes { }. Sea A un

conjunto absolutamente convexo que absorbe a

todo conjunto acotado de E.

Mostraremos que para algún .

Supongamos que para todo n. Existe

una sucesión { } tal que y .

Como { } converge a 0 es acotada y por tanto

es absorbida por A lo cual es una contradicción

pues para todo . Luego A es una

vecindad de 0. □

Teorema VII.- Si es la topología inductiva

sobre E respecto a una familia de espacios

bornológicos, con sus correspondientes

aplicaciones lineales, entonces todo conjunto de

E absolutamente convexo que absorbe todo

conjunto acotado en E(), es una vecindad de 0

en .

Demostración:

Sea la topología inductiva sobre E respecto a

la familia { }. Sea S un conjunto absolutamente convexo que

absorbe todos los conjuntos acotados en E().

Entonces es un conjunto absolutamente

convexo que absorbe todos los conjuntos


88

acotados en . Como este espacio es

bornológico se tiene que es una

vecindad de 0 en ; para todo .

Luego S es vecindad de 0 en E(). □

Corolario III.- El espacio cociente Hausdorff de

un espacio bornológico es bornológico, la suma

directa localmente convexa y el límite inductivo

de una familia de espacios bornológicos es

bornológico.

Teorema VIII.- Sea E() un espacio

bornológico, sea F l.c.s. y sea u una aplicación

lineal de E en F. Son equivalentes:

(a) u es continua.

(b) Si { } es una sucesión de E que converge

a 0, { } converge a 0.

(c) Si B es acotado en E, u(B) es acotado en F.

Demostración:

(a)→ (b): es inmediato.

(b)→(c): Sea { } una sucesión en u(B).

Entonces { } es una sucesión en B. Como B es

acotado, converge a 0 en E para cualquier

sucesión de escalares { } que converge a 0. De

(b) se tiene que converge a 0 y por

tanto es acotado.

(c)→(a): Sea V una vecindad absolutamente

convexa en F. Entonces es

absolutamente convexo en E. Mostraremos que

absorbe todo conjunto acotado de E().

Sea B un conjunto acotado en E. De la hipótesis

es acotado en F y por tanto existe t > 0 tal

que . Luego y así

absorbe todo conjunto acotado de E().

Como este espacio es bornológico se concluye

que es vecindad de 0 en E().

2.4 ESPACIOS MACKEY

Def. IX.- Sea y una dualidad y sea la

familia de los subconjuntos - compactos

de . La topología polar sobre X, inducida

por los funcionales de Minkowski de ,

se denomina la topología Mackey sobre X

denotada por . Un espacio cuya

topología es Mackey se denomina espacio

Mackey.

La Topología Mackey verifica que y consecuentemente es Hausdorff.

Adicionalmente, el Teorema de Mackey-Arens

establece que si es una topología Hausdorff

localmente convexa sobre , es compatible

con la dualidad entre y si y sólo si

([3] pag. 239). Por

tanto se deduce que la topología Mackey es la

más fina de todas las topologías Hausdorff

localmente convexas que es compatible con la

dualidad entre y .

Teorema IX.- Si E es l.c.s. barrelado o

bornológico, entonces E es espacio Mackey.

([2] pag. 132)

Corolario IV.- El límite inductivo de una

familia de espacios Mackey es Mackey. ([2]

pag. 138)

3. EL ESPACIO D( )

Sean un subconjunto abierto de ℝn y K un

subconjunto compacto de .

Sean { } y cuando K recorre todos los compactos

de .

Sea ⋃ un cubrimiento de compactos de ,

tales que y todo compacto de

está contenido en algún .

En este caso es subespacio vectorial de

para todo y además

, es un espacio vectorial.

Definamos sobre la familia de

seminormas { } dada por:

{| | | | }, donde

| |

Estas seminormas inducen una topología

localmente convexa en que además es

metrizable por poseer una base local numerable.

Por la forma de la métrica d definida en

como ∑

, tenemos que

es espacio de Fréchet y cada es

subespacio cerrado de , para todo

compacto K de , por tanto cada también es

Fréchet. ([1] pag. 31).

Denotemos por la topología heredada de

en cada . Por la forma del

cubrimiento y de la definición de , se

verifica que induce

.

Por otra parte, definamos sobre una base

local formada por la colección de todos los

conjuntos convexos y equilibrados W tales que

, para todo compacto K de . Esta

colección dota de una topología a que lo

convierte en un espacio vectorial topológico

Hausdorff localmente convexo ([1] pag. 142).

A continuación mostramos que posee las siguientes propiedades

topológicas.

(a) es una Topología Límite Inductiva sobre

.

(b) es Hausdorff e induce las topologías .

(c) , dotado de la topología , es espacio

límite inductivo estricto de la sucesión de

subespacios { (

) }.

(d) Para todo conjunto B acotado existe

algún que lo contiene.

(e) dotado de la topología es

completo.

S. SOLÍS

89

(f) dotado de la topología es

barrelado.

(g) dotado de la topología es

bornológico.

(h) dotado de la topología es Mackey.

(a) es una Topología Límite Inductiva

sobre .

En esta parte empleamos la Definición III.

Por la construcción de y de , satisface

la definición de Topología Límite Inductiva

respecto a la familia {

}

considerando las inclusiones

canónicas.

Tenemos que { ( )}

y todo satisface

.

Esto prueba que es una base de vecindades de

0 para la Topología Límite Inductivo .

(b) es Hausdorff e induce las topologías .

Para esta parte empleamos el Teorema I.

Lo expuesto en (a) sumado al hecho que

induce ; , satisfacen las hipótesis de este

Teorema y por tanto posee las propiedades

mencionadas.

(c) , dotado de la topología , es espacio

límite inductivo estricto de la sucesión de

subespacios { (

) }.

En esta parte aplicamos la Definición VI.

En nuestro caso particular,

induce y los están ordenados por

inclusión. Además, de la parte (b) es

Hausdorff y por tanto los singleton son

cerrados.

Luego, cocientado por {0} es Hausdorff y

así satisface la definición de espacio

Límite Inductivo Estricto.

(d) Para todo conjunto B -acotado existe

algún que lo contiene.

En esta parte empleamos el Teorema II.

Por lo mostrado en c), es límite

inductivo estricto y dado que todos los son

cerrados en y

, se tiene que

es cerrado relativo en

.

Por tanto verifica las hipótesis del

Teorema lo cual nos garantiza la propiedad

mencionada. Una consecuencia inmediata de

esta propiedad es que este espacio tiene la

propiedad de Heine-Borel.

(e) , dotado de la topología , es

completo.

En esta parte empleamos el Teorema III.

Como cada es completo, verifica

las hipótesis del teorema lo cual nos garantiza la

propiedad mencionada.

(f) , dotado de la topología , es

barrelado.

En esta parte empleamos los Corolarios I y II.

Puesto que cada es espacio de Fréchet, del

Corolario I se concluye que son barrelados y por

Corolario II su límite inductivo lo es.

(g) , dotado de la topología , es

bornológico.

Esta propiedad se verifica por el Teorema VI y

el Corolario III.

Por el Teorema VI cada es bornológico y

del corolario III el límite inductivo también es

bornológico.

Dado este resultado y del Teorema VIII, una

propiedad importante que vale la pena destacar,

es que el estudio de la continuidad en el espacio

de distribuciones se puede hacer a través de

sucesiones o conjuntos acotados.

(h) , dotado de la topología , es

Mackey.

Por lo mostrado en f) o en g), del Teorema IX se

concluye que cada es Mackey y del

corolario IV el límite inductivo es

Mackey.

4. EL ESPACIO DE LAS

DISTRIBUCIONES

Al espacio dual de , provisto de la

topología , se lo conoce como el espacio de

distribuciones y es denotado por .

5. CONCLUSIONES

1. Por la construcción particular de ,

resulta que la topología límite inductiva

definida sobre este espacio es Hausdorff,

completa, barrelada, bornológica y Mackey.

2. Se define el espacio de las distribuciones o

de las "funciones generalizadas", como el

dual topológico de , el cual con las

características antes mencionadas, se aplica

en el Análisis, la Física y otras ramas de la

ingeniería.

3. Toda la teoría del Análisis que sustenta la

construcción del espacio de las

distribuciones, puede ser utilizada para el

estudio de este espacio, así como para la

construcción de otros espacios con

determinadas características.


90

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1]. W. Rudin; Análisis Funcional;

Editorial Reverté S.A.; España 2002.

[2]. H. H. Schaefer; Espacios Vectoriales

Topológicos; Springer-Verlag; New

York 1980.

[3]. C. Swartz; Functional Analysis

Introduction; Marcel Dekker, Inc; USA

1992.

1. ACERCA DEL FORMATO DE LOS

ARTÍCULOS

Quienes presenten trabajos para publicación

en la revista deberán regirse por las

siguientes disposiciones:

El trabajo será escrito en castellano

Contendrá un RESUMEN y

ABSTRACT que se presentará al

comienzo del mismo, con no más de 100

palabras. Este resumen será conciso,

impersonal e incluirá de manera sucinta

los resultados y conclusiones de la

investigación, luego de lo cual se

presentará una lista de no más de cinco

PALABRAS CLAVES utilizadas en el

artículo, facilitando de esta manera la

indexación.

A continuación, irá la primera sección del

trabajo denominada INTRODUCCIÓN,

las restantes secciones las titulará el autor

de acuerdo a las características del

trabajo.

La sección final se denominará

CONCLUSIONES y en la misma se

discutirán los resultados a los que haya

llegado el autor.

La sección REFERENCIAS

BIBLIOGRÁFICAS será numerada y

contendrá a más del nombre del autor(es)

del artículo o texto, la fecha y lugar de

publicación. Se exhorta incluir como

referencias las publicaciones esenciales,

esto es, las que realmente sirven de

sustento al investigador en su trabajo.

2. GENERALIDADES

Los manuscritos para publicación en la

revista serán enviados al editor de la revista

en un CD o vía electrónica, escritos en el

procesador de palabras WORD O LATEX.

Se entregarán además cuatro copias en

papel A4; la longitud del artículo no

excederá las diez páginas, será escrito a

espacio simple, en doble columna, letra

Times New Roman, tamaño 10 para el texto

principal y tamaño 8 para el resumen, las

palabras claves y las referencias

bibliográficas. Los gráficos, tablas y fotos

serán numerados de manera consecutiva en

su parte superior, utilizando números

arábigos y respectivamente rotulados. Los

márgenes superiores, inferiores, derecho e

izquierdo serán de 2.5 cm, 2.5 cm, 2 y 3.5

cm respectivamente.

Las secciones y subsecciones serán

debidamente numeradas en forma

consecutiva. Las secciones se rotularán

centradas en mayúsculas, mientras que las

subsecciones estarán alineadas a la

derecha.

No habrá espacios entre párrafos, cada uno

iniciará con una sangría de 2 espacios.

Las copias enviadas al editor no serán

devueltas pero sí tres separatas luego de

publicado el artículo. Si el trabajo es

publicado en la revista, el mismo no podrá

ser reproducido total o parcialmente sin el

consentimiento del Departamento de

Matemáticas de la Facultad de Ciencias

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Recepción de manuscritos e

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Mat. Eduardo Rivadeneira Molina,

Director de Publicaciones del FCNM.

(e-mail: [email protected] )

Correo de la Revista Matemática

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matemática UNA PUBLICACIÓN DE LA FCNM – ESPOL

Abril 2016 Volumen 14 Número 1

UNA PUBLICACIÓN DE LA FCNM – ESPOL

CONTENIDO EDITORIAL........................................................................................................ 5 REVISIÓN Y APLICACIÓN DEL PRIMER MÉTODO PARA MAXIMIZACIÓN DEL BANDWIDTH EN EL PROBLEMA DE SINCRONIZACIÓN DE SEMÁFOROS

Cabezas Xavier, García Sergio, Delgado Erwin….............................. 7 CÁLCULO DE UNA COTA SUPERIOR PARA EL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE CONFIGURACIONES DE LAS PISTAS DE UN AEROPUERTO

Cabezas Xavier, Delgado Erwin, Noboa Dalton……………............. 21 SIMULACIÓN DE TRAYECTORIAS DE UNA PLATAFORMA SERIAL ROBOTIZADA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD APLICANDO TRAZADORES CÚBICOS Y TRAPEZOIDALES

Caraguay Washington, García Cecilia.……………………...…….. 26 ONDAS DISPERSIVAS – KORTEWEG – DE – VRIES (KDV)

Cascante Roberto, Martín Carlos...……….............................................. 34 EL TRAZADOR CÚBICO PARAMÉTRICO CERRADO Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

Rodríguez Ojeda Luis….…...……………..…………........................... 49 MÉTODO DEL GRADIENTE DE MÁXIMO DESCENSO

Rodríguez Ojeda Luis.……...……………..…………........................... 60 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, PRIMERA PARTE

Sánchez Hernando………………………..…………........................... 66 PRINCIPIOS DE MECANICA NEWTONIANA, SEGUNDA PARTE

Sánchez Hernando………………………..…………........................... 76 ORIGEN TOPOLÓGICO DE LAS DISTRIBUCIONES

Solís Soraya……………………………………………..................... 85

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