IVB / LGEBRA / 5

FUNCIN CUADRTICA

Es una funcin con dominio en el conjunto de los nmeros reales y cuya regla de correspondencia es:f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ( R; a ( 0 Su grfica es una parbola simtrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetra, abierta hacia arriba si: a > 0 y hacia abajo si: a < 0. Nota grfica:

Sea la funcin: y = ax2 + bx + c( = Discriminante = b2 4ac

{x1; x2} races de la ecuacin, cuando: y = 0

{x1; x2} races iguales de la ecuacin, cuando: y = 0

Esta funcin, cuando: y = 0, los valores de x son nmeros complejos.

OTRAS FUNCIONES( Funciones Pares

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simtricas del eje y; y se cumple que:I.Si: x ( Df ( - x ( DfII.f(x) = f(-x) ( ( x ( Df

( Funciones Impares

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simtricas respecto del origen.Ejemplo

Indicar que funciones son pares, impares o ni par ni impar:

I.F(x) = x4 + 1

II.G(x) = x3III.H(x) = x - |x|

Solucin:I.F(x) es par, porque:

F(-x) = (-x)4 + 1

F(-x) = x4 + 1

F(-x) = F(x) ( ( F(x) es parII.G(x) es impar, porque:

G(-x) = (-x)3

G(-x) = -x3

-G(-x) = x3

-G(-x) = G(x) ( ( G(x) es impar

III.H(-x) = -x - |x|

-H(-x) = x + |x|

-H(-x) ( H(x); tambin: H(-x) = H(x)

( H(x) no es par ni impar

DESPLAZAMIENTOSa Desplazamiento Horizontal

b Desplazamiento Vertical

REFLEJOSa Reflejo en el Eje x

b Reflejo en el Eje y

c Con valor absoluto

Problemas Resueltos

1. Cul es la grfica de: ?Solucin:

Si: x ( 0 ( ( ( F(x) = es la funcin raz cuadrada.

Si: x < 0 ( ( ( F(x) = simtrica a: con respecto al eje y de las dos condiciones.2. Indicar la grfica de: F(x) = 7 - |x - 2|Solucin:

Grfica 1: y = |x| (funcin valor absoluto).

Grfica 2: y = |x - 2| se desplaza dos unidades a la derecha respecto a y = |x|.

Grfica 3: y = -|x - 2| es simtrica a: y = |x - 2| con respecto al eje x.

Grfica 4: y = 7 - |x - 2| se desplaza hacia arriba 7 unidades.

3. Segn el grfico de f(x)

Indicar el grfico de: f(-x) - 1

Solucin:

y = f(-x) es simtrica a f(x) respecto al eje y.

y = f(-x) -1 se desplaza una unidad hacia abajo.

4. Esbozar el grfico: F(x) = 4x(x + m) + m2siendo: m < 0

Solucin:

Efectuando:

Grfica 1: y = (2x)2 = 4x2 (funcin cuadrtica simple)

Grfica 2: y = (2x + m)2 se desplaza m unidades a la derecha, pues: m < 0

5. Sea la funcin F(x) descrita por el grfico.

Indicar el grfico de: f(-x) - 1

Solucin:

Nos piden graficar: y = F(2 - x) = F[-(x - 2)]

Inicialmente: y = F(x)

Grfica 1: y = F(x - 2). Se desplaza 2 unidades a la derecha.

Grfica 2: y = F[-(x - 2)]. Es simtrica en el eje y respecto a la funcin: y = F(x - 2)

BLOQUE I1. Graficar: f(x) = 2x + 3a)b)

c)d)

2. Graficar: f(x) = -2

a)b)

c)d)

3. Graficar: f(x) =

a)b)

c)d)

4. Graficar: f(x) = |x - 2|a)b)

c)d)

5. Graficar:

a)b)

c)d)

6. Si la grfica de es:

Hallar la grfica de:

a)b)

c)d)

7. Si la funcin:

Graficar: f(x - 2)a)b)

c)d)

8. Si la funcin:

Graficar: f(x) + 2a)b)

c)d)

9. Graficar: f(x) = x2 + 1

a)b)

c)d)

10. Graficar: f(x) = |x| + 2

a)b)

c)d)

11. Sea la funcin: F(x) = x2 + 5x + 1Indicar el mnimo valor que toma dicha funcin.

a) 1

b) 0

c) -1

d) 10

e) 25

12. Para que valor de x la funcin ser mxima.

f(x) = -x2 - 25a) 1

b) 25

c) -25

d) 0

e) -1

13. Indicar cul de las siguientes funciones podra ser el grfico de:f(x) = ax2 + 3x + 30

Si: a > 0

a)b)

c)

d)

e)

14. Hallar el rango de: f(x) = 4 x2Si: x ( [-2; 3>

a)

b)

d) [-5; 4]

e)

15. Si:

Hallar la grfica de: f(x) + 2

a)b)

c)d)

e)

16. Si: f(x) = x

Hallar la grfica de: E(x) = f(x) - 3

a)b)

c)d)

e)

1. Hallar la grfica de: f(x) = |x| + 5

a)b)

c)d)

e)

2. Graficar: f(x) = 3x - 1a)b)

c)d)

e)

3. Graficar: f(x) = x2 - 100

a)b)

c)d)

e)

4. Graficar: f(x) = |x - 4|

a)b)

c)d)

e)

5. Obtener el grfico de: y = f(x) = x2 5x + 6

a)b)

c)d)

e)

6. Obtener el grfico de:

y = f(x) = x2 + 2x + 1

a)b)

c)d)

e)

7. Obtener el grfico de:

F(x) = ||x| - 2 |

a)b)

c)d)

e)

8. Dada la grfica:

Hallar: a + b + ca) 1

b) 2

c) 3

d) 0

e) -1

9. Obtener el grfico de:f(x) = 5(x - 1)2 + 1

a)b)

c)d)

e)

10. Hallar el valor de x de manera que la funcin f sea mxima:f(x) = x2 3x + 1a) 3/2

b) -2/3

c) 2/3

d) -3/2

e) 1/3

11. Hallar el valor mnimo que puede tomar la funcin f donde:f(x) = x2 + 5x + 1a) -21

b) -21/3

c) -21/4

d) 21/4

e) 21/3

12. Hallar el extremo de la funcin f(x)Siendo: f(x) = -x2 + 8x + 3a) 1

b) 15

c) 16

d) 17

e) 1913. Dada la funcin: f(x) = 5|x| - 3Hallar:

E = f(f(-3))

a) 55

b) 56

c) 57

d) 58

e) 59

14. Dada la funcin:

Graficarla.a)b)

c)d)

e)

15. Graficar:

a)b)

c)d)

e)

y

-1

1

x

y

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

2

x

y

x

y

x

y

x

y

m

2

-1

x

y

2

1

x

y

f(x)

2

1

x

y

2

7

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

F(x)

x

y

|F(x)|

x

y

F(x)

x

y

-F(x)

x

y

F(x)

F(-x)

F(x) + h

x

y

F(x)

x

x

y

F(x) - h

y

x

y

h > 0

x

y

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

V

a > 0 ( ( < 0

y

x

a > 0 ( ( < 0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

y

x

V

a < 0 ( ( = 0

EMBED Equation.3

V

y

x

a > 0 ( ( = 0

EMBED Equation.3

V

y

x

a < 0 ( ( > 0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

V

x2

x1

y

x

V: Vrtice

a > 0 ( ( > 0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

V

x2

x1

y

x

V: Vrtice

x

y

x

x

y

x

y

x

y

y

3

2

-2

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

x

y

-1

x

y

x

x

y

y

x

y

1

x

x

y

x

y

h > 0

F(x+h)

F(x-h)

x

y

F(x)

2

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

-2

-3

x

y

-2

3

x

y

x

y

0

3

x

y

x

y

-2

3

x

y

4

4

x

y

x

y

x

y

y

x

x

1

x

y

x

y

x

y

2

y

x

y

2

x

y

x

y

x

y

y

x

2

x

y

x

2

y

y

2

x

y

f(x)

x

y

x

f(x)

-2

x

y

y

x

2

2

x

y

2

x

y

1

x

y

x

-1

x

y

1

y

1

x

y

-2

x

y

y

x

2

2

x

y

-2

x

y

f(x)

x

y

y

x

f(x) = ax2 + bx + c

x

y

x

y

y

y

y

x

5

x

y

x

1

y

x

y

x

y

x

PAGE 127COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCE

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