kriging_Ordinario

Captulo 3

Kriging Ordinario

Kriging Ordinario es similar a Kriging Simple y slo se diferencia en el hechoque la media del proceso, E(zj) = , es constante pero desconocida y deber serestimada. La estimacin de tambin se construye a partir de una combinacinlineal de la muestra; adems, como es un estimador se determinar su varianzapara poder hacer inferencia acerca del verdadero valor de .

Se sugiere ver previamente los Captulos I y II (Kriging Simple) ya que lanotacin y los resultados all presentados se usan en este captulo.

3.1. Objetivos de Kriging OrdinarioDada la muestra A = {(z1, x1), ...(zj , xj), ...(zn, xn)} del campo aleatorio en

el espacio Rp , es decir: z1, ...zj , ...zn las variables aleatorias definidas en lospuntos x1, ...xj , ...xn del campo en consideracin, y asumiendo como hiptesisque:

El proceso es estacionario de segundo orden

Su estructura de covarianza es conocida

La media del proceso, E(zj) = , es desconocida

Kriging Ordinario persigue los siguientes objetivos:

1. Construir un estimador lineal insesgado de de varianza mnima(BLUE), y determinar dicha varianza con la finalidad de hacer inferenciasobre el verdadero valor de la media .

2. Dada la muestra A y punto arbitrario x0, donde se desconoce z0, cons-truir un predictor lineal insesgado z0 de z0 de modo de minimizar lavarianza del error (BLUP), donde se entiende por error la variablealeatoria error = z0 z0, diferencia entre z0 y el predictor z0. Adems,determinar dicha varianza.

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3.2. ESTIMACIN DE LA MEDIA DEL PROCESO Y SU VARIANZA

Ntese que tanto z0 como error son predictores, es decir variables aleatorias!!Slo cuando se toma una muestra y z1, ...zj , ...zn son valores muestrales espe-cficos de una realizacin, Kriging Simple genera un mapa de prediccin de larealizacin y otro de la varianza del error. Los resultados que siguen correspon-den a propiedades de las variables aleatorias, es decir antes del proceso de tomarvalores especificos de z1, ...zj , ...zn.

3.2. Estimacin de la media del proceso y suvarianza

3.2.1. Estimacin de la media La siguiente proposicin establece que el estimador ptimo de la media del

proceso depende de la posicin relativa de los puntos de la muestra, informacincontenida en la matriz C de covarianza.

ProposicinEl estimador lineal insesgado ptimo es un promedio ponderado de los

valores de la muestra:

= TZ con =inv(C) L

LT inv(C) L(3.1)

Siendo la varianza mnima del error

V ar() = V ar(TZ) =1

LT inv(C) L(3.2)

Demostracin:

!Se construye un estimador lineal de , (TZ), que sea insesgado y devarianza mnima. Si es insesgado se cumple:

E(TZ) = TE(Z) = TL = , luego

TL = 1 (3.3)

La suma de los j debe ser 1. Es decir, un promedio ponderado de Z.

La varianza del estimador es: V ar(TZ) = TCSu optimizacin es un problema de minimizacin con la restriccin ecu.3.3,

que se resuelve mediante multiplicadores de Lagrange agregando un parmetro2 por la restriccin

min H(,) = TC + 2 (TL 1)

Salvador Pintos 19 ICA-LUZ-VE

3.2. ESTIMACIN DE LA MEDIA DEL PROCESO Y SU VARIANZA

donde por comodidad el multiplicador se expresa como 2. Si anulamos losgradientes respecto de las dos variables de la funcin H(, ) a minimizar :

" = 2C + 2L = 0" = 2(TL 1) = 0

de la primera: = inv(C)L

y multiplicando a la izquierda por LTy usando la segunda igualdad:

1 = Linv(C)L = 1LT inv(C)L

entonces: =

inv(C)L

LT inv(C)L

En cuanto a su varianza

V ar(TZ) = TC =LT inv(C)

LT inv(C)LC

inv(C)L

LT inv(C)L=

1

LT inv(C) L"

3.2.2. Corolarios3.2.2.1. es fijo, independiente del muestreo y dado slo por la

estructura de covarianza, Cov(Z).

Como se ha supuesto que la matriz de covarianza depende de la posicinde los xj , y para este conjunto {x1, ...xj , ...xn} la matriz de covarianza Cov(Z)es conocida, el estimador no depende de la muestra Z, es decir es un vectorconstante.

3.2.2.2. es aleatorio ya que es un promedio ponderado de los va-lores de la muestra Z

Es un promedio ponderado ya que LT = LTCov(Z)1L

LTCov(Z)1L = 1


3.3. PREDICCIN DE Z0 Y VARIANZA DEL ERROR

3.2.2.3. Los pesos de dependen de la posicin relativa entre lospuntos x y de los parmetros del modelo de covarianza

3.2.2.4. V ar() es conocida previa al muestreo y es proporcional a lavarianza del proceso.

3.2.2.5. Si las observaciones de la muestra estn muy alejadas, C =2In, entonces V ar() =

2

n y = m =LTZn coinciden con los

clsicos de la media muestral.

3.3. Prediccin de z0 y varianza del errorLa proposicin que sigue resume las caractersticas del predictor (BLUP) de

Kriging Ordinario:primero, que la prediccin ptima depende de la estructura de covarianza de

la muestra, C, de la covarianza entre los puntos de la muestra y el punto dondese desea predecir , w y de la media estimada del proceso ; y segundo, que lavarianza del error depende de C, w, de la varianza de la media V ar() y de lavarianza del proceso, 2.

ProposicinLos pesos del predictor lineal ptimo de z0 , TZ , estn dados por:

= + V ar() coef inv(C)L (3.4)

o su equivalente slo en funcin de C y w:

= inv(C)w +1

LT inv(C) L(1 wT inv(C)L)inv(C)L

el predictor por:

z0 = TZ = + wT inv(C) (Z L) (3.5)

y respecto del error cometido, la varianza del error est dada por:

V ar(Error0) = 2 wT inv(C)w + V ar()(1 wT inv(C)L)2 (3.6)

Demostracin:

!Si el predictor es insesgado se cumple que E(TZ) = E(z0) = TE(Z) =

TL = TL = 1 es decir un promedio ponderado.Si Error = z0 TZ se desea minimizar la varianza del Error:

Min V ar(Error) =Min V ar(z0 TZ)



De nuevo es un problema de minimizacin con restricciones, cuyo lagrangianoes:

min H(,) = V ar(z0 TZ) + 2(TL 1)El primer trmino es:

V ar(z0) + V ar(TZ) 2cov(z0,Z) = V ar(z0) + TC 2Tw (3.7)

Luego se minimiza:

min H(,) = V ar(z0) + TC 2Tw + 2(TL 1)

Si anulamos los gradientes de la funcin H(,)respecto de y se tiene :" = 2C 2w + 2L = 0" = 2(TL 1) = 0quedando el sistema con dos ecuaciones:

C+ L = w (3.8)

LT = 1 (3.9)

Este sistema se puede expresar matricialmente:[C LLT 0

](

)=

(w1

)(3.10)

Para simplificar los clculos que siguen se notar h =(LT inv(C)L

)1=

V ar().El sistema 3.10 es: {

C+ L = wLT = 1

}luego de la primera ecuacin + inv(C)L = inv(C)w , que multiplicando

por LT y aplicando la segunda se tiene:

1 + LT inv(C)L = LT inv(C)w

usando 2.4 y despejando:

= h(LT 1) (3.11) = inv(C)L = + h coef inv(C)L (3.12)

o su equivalente en funcin de ecu, 3.1

= + h coef inv(C)L = + LT (3.13)Luego, el predictor ptimo de z0 es:

TZ = Z + T (Z LTZ)



y sustituyendo la media del proceso = TZ se obtiene ecu. 3.5.

En cuanto a la varianza del error mnima, se deduce de las ecuaciones 3.7,3.8 y 3.9:

V ar(Error) = V ar(z0) Tw Sustituyendo ecu. 3.12 y ecu.3.11 se tiene

V ar(Error) = V ar(z0) ( + h coef inv(C)L)Tw + h coefV ar(Error) = 2 wT inv(C)w h coef LT inv(C)w + h coef

V ar(Error) = 2 wT inv(C)w + hcoef2 (3.14)y sustituyendo h y coef por su valor se obtiene ecu. 3.6"

corolarios

3.3.1. El predictor es similar al de Kriging SimpleNtese que la prediccin ecu. 3.5 es la media del proceso ms un promedio

ponderado de los desvos de los valores de Z respecto de la media . Estos pesosson los mismos obtenidos en Kriging Simple ecu. 2.8.

3.3.2. La varianza del error tiene un trmino adicional ala expresin de Kriging Simple

Los dos primeros trminos de la ecu. 3.6 corresponden a la frmula de KrigingSimple a la que se le agrega el trmino positivo: V ar()(1 wT inv(C)L)2 ,es decir se tiene un incremento en la varianza del error que se deriva de laincertidumbre en el predictor de la media .

3.3.3. El predictor depende de la estructura de correlacinz0 = TZ = corr(z0, Z)TR(Z)1 (Z L) + es decir, los coeficientes de

prediccin dependen de la estructura de correlacin de los puntos de la muestraZ entre s, y de la correlacin entre la nueva variable z0 y los puntos de lamuestra Z.

3.3.4. Caso x0 alejado de la muestra (ausencia de informa-cin)

Si x0 est suficientemente alejado como para que w = 0 entonces el modelopredice con la media . En cuanto a la varianza del error: V ar(Error) = 2 +V ar(). A diferencia de Kriging Simple la varianza del error puede superar lavarianza del proceso!


3.4. SOLUCIN NUMRICA EFICIENTE

3.4. Solucin numrica eficienteLos resultados establecidos en las proposiciones fundamentales de las seccio-

nes 3,2 y 3,3 , se obtienen eficientemente usando las ventajas de la solucin desistemas lineales cuando la matriz es definida positiva, como lo son las matricesde covarianza.

Entrada:La muestra {(z1, x1), ...(zj , xj), ...(zn, xn)} y el punto xo donde predecir zoLa matriz de covarianza C entre las variables aleatorias de la muestraEl vector de covarianza w entre las variables de la muestra y zo

El algoritmo es el siguiente:

1. Resolver el sistema C aux = L (es decir hallar aux = inv(C)L)

2. Resolver el sistema C = w (es decir hallar = inv(C)w)

3. Calcular coef = 1 LT 4. Calcular h = (LT aux)1 (Varianza de )

5. Calcular = h aux

6. Calcular = + coef

7. Calcular V ar(error) = 2 wT + hcoef2

8. predecir = TZ ( media muestral)

9. predecir zo = TZ (prediccin del proceso en el punto xo)

Ntese

que los sistemas 1 y 2 se resuelven simultaneamente, y como C es definidapositiva la solucin de dichos sistemas es eficiente (Cholesky, por ejemplo)

que los primeros 7 pasos se realizan previos al muestreo donde se deter-minan la varianza de y la varianza del error!

Que los valores de z obtenidos en el muestreo son slo necesarios en lospasos 8 y 9 para predecir la media muestral y la prediccin zo.

3.5. Kriging es interpolante y la varianza del errores nula en la muestra

Si z0 coincide con z1, entonces w es la primera columna de C luego, inv(C)w =(1, 0, ...,0)T , LT inv(C)w = 1 y wT inv(C)w = 2 entonces

= (1, 0, ...,0)T


3.6. HIPTESIS DE NORMALIDAD

lo que implica que el predictor TZ = z1, es decir es interpolante ya que elmodelo de pronstico asigna el valor muestral.

En cuanto a la varianza del error de la ec. 3.14:

V ar(Error) = 2 2 = 0es decir el modelo predice con exactitud en los puntos de la muestra.

3.6. Hiptesis de NormalidadSi se presupone que para cualquier conjunto x1, ...xj , ...xkel vector Z aso-

ciado es normal multivariado es posible expresar las distribuciones de los pre-dictores hallados en este captulo as como obtener intervalos de confianza, testde hiptesis, etc. Sin embargo, debido a la estimacin de , los predictores deKriging Ordinario no coinciden con los resultados de la distribucin normalmultivariada vlidos para Kriging Simple.

3.6.1. Distribucin de Por lo expresado en la estimacin de , Ecu. 3.1, es una combinacin lineal

de Z y es insesgado

= TZ =LTCZ

LTCL

de varianza conocida, Ecu. 3.2

V ar() = V ar(TZ) =1

LTCL

Luego, se distribuye normal N (, V ar() ) y es posible obtener intervalosde confianza de la media, , del proceso a partir de la funcin inversa de ladistribucin acumulada de la Normal.

3.6.2. Distribucin de z0En cuanto al predictor de z0 por la ecu. 3.5 z0 es insesgado y es una C. Lineal

de Zz0 =

TZ = wT inv(C) (Z L) + donde la varianza del error, z0 z0, es constante:Luego, z0 z0 se distribuye normal N (0, V ar(Error) ) y es posible obtener

intervalos de confianza de z0, a partir de la funcin inversa de la distribucinacumulada de la Normal.


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