La actividad argumentativa que emerge en estudiantes de...

1 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES

DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN

GEOMETRÍA

La actividad argumentativa que emerge en estudiantes de grado noveno en torno a la

demostración en geometría

Camilo Arévalo Vanegas

Maestría en Educación

Facultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá D.C, 2016



GEOMETRÍA

La actividad argumentativa que emerge en estudiantes de grado noveno en torno a la

demostración en geometría

Camilo Arévalo Vanegas

Tesis presentada como requisito parcial para optar por el título de Magister en Educación en la línea de Educación Matemática.

Rodolfo Vergel Causado, PhD

Director

Maestría en Educación

Facultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá D.C, 2016



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Dedicatoria

A mi Madre, quien está presente en mi vida y logros profesionales

A Mónica, por su apoyo, amor, comprensión y por quien acepte este reto

A mi Abuela, Delfa, quien forjo mis pasos en la infancia

Agradecimientos

A Oscar González, amigo incondicional, leal y sincero

A Daniel Cifuentes, amigo que me colaboró con sus enseñanzas durante el tiempo de la

elaboración de la tesis y de quien recibí ayuda incondicional siempre que necesite un consejo

Al profesor Rodolfo Vergel Causado, por su sabiduría, apoyo y constante colaboración en la

asesoría de la tesis y todo lo que aprendí al escuchar sus aportes y lecciones

A los niños de la Institución Educativa Distrital Hernando Duran Dussan, por su constante

colaboración y respeto en la implementación de instrumentos



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Contenido

Pagina

Introducción 7 Capítulo 1. Delimitación del problema 9 1.1 Planteamiento de la temática o del problema de investigación 9 1.2 Pregunta de investigación 12 1.3 Objetivos 12 1.3.1 Objetivo General 12 1.3.2 Objetivos específicos 12 Capítulo 2. Marco teórico 13 2.1 Introducción 13 2.1.1 Estado de conocimiento sobre la enseñanza y el

aprendizaje de la demostración en Geometría 14 2.1.2 Estado de conocimiento sobre la argumentación

y la demostración en matemáticas 17 2.1.3 Estado de conocimientos sobre los esquemas

de argumentación 20 2.2 Teoría de argumentación de Toulmin 29 2.2.1 Estado de conocimiento del modelo/esquemas para

el análisis de los argumentos 30 2.3 Estado de conocimiento de la “emergencia” 33 2.4 Estado de conocimiento de la bisectriz como concepto 35 Capítulo 3. Marco metodológico 37 3.1 Tipo de investigación 37 3.2 Estudio de caso 38 3.3 Fases de investigación 41 3.4 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos 43 3.4.1 Observación 43 3.4.2 Registros 44 3.5 Descripción de la población para la prueba de pilotaje 44 3.5.1 Aplicación de instrumentos “Pilotaje de la situación” 45 3.5.2 Antes de mostrar la representación gráfica 46 3.5.3 Después de mostrar la representación gráfica 47 3.6 Adaptación e implementación de la situación problema 50 3.7 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos 51 3.7.1 Observación de la aplicación del instrumento 51 3.7.2 Registros de la aplicación del instrumento 51 3.8 Aplicación de instrumentos 52 3.8.1 Requerimientos técnicos 52 3.8.2 Proceso de grabación 53



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3.9 Descripción de la situación problema adaptada 54 3.9.1 Descripción de la aplicación de la situación 55 Capítulo 4. Organización y análisis de los datos 58 4.1 Organización de los datos 58 4.2 Transcripción de los datos obtenidos 60 4.3 Estudio de los resultados 62 4.5 Primer esquema de argumentación construido 65 4.5.1 Toma de datos de la primera transcripción 65 4.5.2 Primer esquema de argumentación 67 4.5.3 Análisis del primer esquema 69 4.6 Segundo esquema de argumentación construido 71 4.6.1 Toma de datos de la segunda transcripción 71 4.6.2 Segundo esquema de argumentación 74 4.6.3 Análisis del segundo esquema 76 4.7 Tercer esquema de argumentación construido 79 4.7.1 Toma de datos de la tercera transcripción 79 4.7.2 Tercer esquema de argumentación 84 4.7.3 Análisis del tercer esquema 85 4.8 Cuarto esquema de argumentación construido 89 4.8.1 Toma de datos de la cuarta transcripción 89 4.8.2 Cuarto esquema de argumentación 93 4.8.3 Análisis del cuarto esquema 96 4.9 Quinto esquema de argumentación construido 101 4.9.1 Toma de datos de la quinta transcripción 101 4.9.2 Quinto esquema de argumentación 103 4.9.3 Análisis del quinto esquema 104 Capítulo 5. Conclusiones y reflexiones 108 5.1 Categorías expuestas al analizar el grupo resolutor 108 5.2 Resultados o procesos esperados 113 5.3 Síntesis y reflexiones finales 118 Referencias bibliográficas 123



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Índice de figuras diagramas y tablas Pagina

Figura 1. Categorización de los proceso de prueba y demostración 15 Figura 2. Fases y etapas de resolución de problemas 16 Figura 3. Estructura de un argumento de Toulmin 21 Figura 4. Elementos del argumento 32 Figura 5. Esquema de argumentación independiente 33 Figura 6. Bisectriz de un ángulo 36 Figura 7. Primera representación de la situación 46 Figura 8. Nueva representación de la situación 55 Figura 9. Gráfica de las preguntas emergentes 56 Figura 10. Estructura de un argumento desde los datos encontrados 63 Figura 11. Esquema de argumentación estudiante 1 68 Figura 12. Interpretación del esquema de argumentación estudiante 1 71 Figura 13. Esquema de argumentación estudiantes 2 y 3 76 Figura 14. Interpretación esquema de argumentación estudiantes 2 y 3 80 Figura 15. Esquema de argumentación estudiante 4 86 Figura 16. Interpretación esquema de argumentación estudiante 4 88 Figura 17. Esquema de argumentación estudiante 5 95 Figura 18. Interpretación esquema de argumentación estudiante 5 100 Figura 19. Esquema de argumentación estudiante 6 104 Figura 20. Interpretación esquema de argumentación estudiante 6 106 Figura 21. Categorías expuestas de los esquemas de argumentación 110 Figura 22. Categorías contrastadas con los esquemas de argumentación 112 Imagen 1. Procedimiento estudio de caso 40 Imagen 2. Algunos diseños de la ubicación de plantas 60 Imagen 3. Diseños que surgen sobre la ubicación de las plantas 61 Imagen 4. Pregunta del docente al estudiante 1 66 Imagen 5. Escritura sobre segmentos iguales estudiante 1 66 Imagen 6. División del ángulo del triángulo equilátero 73 Imagen 7. Construcción de paralelogramos y sus lados iguales 82 Imagen 8. Construcción final de los paralelogramos 82 Imagen 9. Construcción de la demostración triángulos congruentes 90 Imagen 10. Demostración de triángulos congruentes 92 Imagen 11. Medidas de los lados del triángulo 93 Imagen 12. Ubicación de las plantas por parte del estudiante 102 Tabla 1. Fases del proyecto de grado 40 Tabla 2. Conclusiones prueba pilotaje 47



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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo indaga por los esquemas de argumentación que emergen de un

grupo de estudiantes al interactuar con una situación problema en torno a la

demostración geométrica. Algunos trabajos investigativos constatan el fracaso respecto

a la capacidad de los estudiantes para formular una demostración en matemáticas,

como señala Gascón (2001) y Balacheff (1988), quienes formulan las preguntas;

¿Cómo se lleva a cabo el proceso de enseñanza de la demostración? y ¿Qué nivel de

comprensión alcanzan los estudiantes en una demostración, si ésta se basa única y

exclusivamente en la imitación?, se especifica la falta de criterios para abandonar la

imitación como proceso de resolución de problemas.

Ahora bien, se habla de argumentar ya que dicho proceso está presente en todos los

momentos de la actividad matemática en los que se afirma algo o en los que se quiere

certificar si algo es falso o verdadero; este proceso se define como la actividad de

generar argumentos que debe tener un carácter social y subyacen en el momento de

validar cualquier tipo de afirmación (Toulmin, 2003).

En este sentido el valor de verdad de una afirmación depende del contexto en el que se

esté desarrollando la actividad matemática, por ejemplo, para un grupo de estudiantes

de básica primaria que están desarrollando un ejercicio de generalización sobre

números naturales verificar la propiedad general en muchos casos podría ser un

argumento válido, mientras que en un contexto de formación de profesores un

argumento válido sería una demostración por inducción (Carranza, Álvarez, Ángel &

Soler, 2013).

El presente trabajo busca brindar elementos que contribuyan a la transformación de las

prácticas pedagógicas; se desarrolló por un grupo de estudiantes de grado noveno de

un colegio de carácter público, ubicado en Bogotá.



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En este sentido el proyecto se encargará de analizar los esquemas argumentativos que

surgen en la actividad demostrativa de estudiantes; tomando la argumentación como

justificar o validar afirmaciones que se hagan durante el proceso de demostración,

desde un contexto de socialización y generando la necesidad de garantizar la validez

de las afirmaciones.

El proyecto de investigación se enmarca en el paradigma cualitativo, interpretativo-

descriptivo, ya que caracterizará los argumentos y acciones de los estudiantes desde la

resolución de problemas y su quehacer matemático, para ello se retomarán técnicas

como la observación de clase y desde instrumentos como entrevistas, protocolos de

clase, registros audiovisuales y registros de los estudiantes que se llevarán a cabo en el

cuaderno resolutor para el análisis de la información.

Con los elementos de reflexión que se determinen se espera que un docente pueda

considerar o inferir criterios más asertivos para valorar el conocimiento al que recurre

un estudiante cuándo se enfrenta a un proceso de resolución de problemas; reflexiones

en torno a la enseñanza de la demostración en geometría y al análisis de los esquemas

de argumentación que subyacen en la actividad demostrativa.



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Capítulo 1

Delimitación del problema

1.1 Planteamiento de la temática o del problema de investigación

El presente trabajo indaga por los esquemas de argumentación que se pueden generar

en cualquier espacio abierto a la disertación o al debate, obviamente desde ideales,

posturas, justificaciones, conjeturas o razones para confrontar a un grupo de personas y

buscar la veracidad de las mismas.

Algunos trabajos investigativos constatan el fracaso respecto a la capacidad de los

estudiantes para formular una demostración en matemáticas (Balacheff, 1988). Un

estudio realizado por Senk (1985), determina que los estudiantes no experimentan la

necesidad de demostrar, especialmente al momento de establecer hipótesis, conjeturas

o deducciones lógicas de una demostración, pero esto se debe a que los estudiantes

conciben la matemática como la memorización de algoritmos, limitándose a copiar los

procesos que plantea y desarrolla el docente en sus clases, como señala Gascón

(2001) y Balacheff (1988), quienes formula las preguntas; ¿Cómo se lleva a cabo el

proceso de enseñanza de la demostración? y ¿Qué nivel de comprensión alcanzan los

estudiantes en una demostración, si ésta se basa única y exclusivamente en la

imitación?

Se deduce que los estudiantes no ven la demostración como un proceso de validación

de sus conjeturas, sino que, en general, se reducen a explicaciones confusas que no

satisfacen lo que se esperaría pudieran argumentar al momento de demostrar, ya que

centran su mirada en el producto final y en la imitación/reproducción de algoritmos.



GEOMETRÍA

Ahora bien, se habla de argumentar ya que dicho proceso está presente en todos los

momentos de la actividad matemática en los que se afirma algo, o en los que se quiere

certificar si algo es falso o verdadero; este proceso se define como la actividad de

generar argumentos, que debe tener un carácter social y subyacen en el momento de

validar cualquier tipo de afirmación (Toulmin, 2003).

En este sentido el valor de verdad de una afirmación depende del contexto en el que se

esté desarrollando la actividad matemática, por ejemplo, para un grupo de estudiantes

de básica primaria que están desarrollando un ejercicio de generalización sobre

números naturales, verificar la propiedad general en muchos casos podría ser un

argumento válido, mientras que en un contexto de formación de profesores en el área

de Aritmética, un argumento válido sería una demostración por inducción (Carranza, et

al., 2013).

Para ello, es necesario tener en cuenta que los problemas que exigen la actividad

argumentativa, deben ser abiertos, es decir, no podrá asegurarse un resultado o

conclusión rápida, ya que como lo afirma León & Calderón (2001):“Para el caso de la

elaboración de argumentos orales, debe examinar que la solución no se restrinja a

elaborar una respuesta sino a buscar alternativas de solución que garanticen el carácter

de claridad, concisión, adecuación y de menor ambigüedad” (p. 3).

En los lineamientos curriculares de matemáticas, que aluden a la demostración

matemática, se establece que se debe promover la exploración de la matemática por

parte del estudiante, donde la comunicación oral y escrita y la verificación, negociación

y validación de sus afirmaciones sea puesta en juego dentro de procesos de

socialización (MEN, 1998).



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En el contexto colombiano la demostración no se puede concebir como un proceso a

descartar en la enseñanza de las matemáticas, porque contribuye a generar procesos

de reflexión frente a un objeto matemático, ya que como Camargo (2007) afirma:

Las dificultades con las que se enfrentan los estudiantes al interpretar,

realizar o usar demostraciones deductivas en los cursos de geometría llevan

a muchos profesores, desde hace algunos años, a evadir la enseñanza de la

demostración llegando al grado de eliminar la práctica de la justificación en

las aulas de matemáticas, con las funestas consecuencias que esto trae para

la formación matemática de los estudiantes. (p. 42)

Por tal razón, al efectuar razonamientos sobre una situación problema, el estudiante

genera aprendizajes puesto que en cada etapa de abstracción se necesitan conceptos

previos, generando una red de conocimientos en la que se enlazan conceptos previos

con los nuevos, garantizando que se generen conocimientos que posteriormente se

pueden aplicar en la resolución de problemas análogos, como dice Duval (2000) (Citado

por Boero, 2007), “es posible llegar a demostrar en el aula de clase desde los propios

procesos de argumentación del estudiante, concibiendo el argumentar y el demostrar

como un continuo, aunque con procesos diferentes de abstracción” (p. 145); esto para

resaltar la actividad del estudiante, como sujeto crítico, propositivo y reflexivo de sus

acciones.

Para Toulmin (2003) una de las prácticas generales que caracteriza la labor matemática

es la de razonar frente a lo que se hace, se piensa o se dice a los otros; esto es, el uso

de la argumentación. En este caso las situaciones o problemas con respecto a las

cuales se argumenta pueden ser distintas y por tanto las formas de argumentar también

lo serán; es por esto que Toulmin propone estudiar la estructura de los argumentos; es

decir, los elementos de los que se componen, las funciones que cumplen estos

elementos y la relación que se establece entre ellos.



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En este sentido el presente proyecto de investigación tendrá como propósito responder

a la pregunta:

1.2 Pregunta de investigación

¿Cuáles son los esquemas de argumentación que emergen en la práctica demostrativa

de estudiantes de grado noveno y qué características tienen dichos esquemas?

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo general

Identificar y caracterizar los esquemas de argumentación que emergen en la

práctica de la demostración en geometría en estudiantes de grado noveno.

1.3.2 Objetivos específicos

Identificar elementos que componen los esquemas de argumentación en la

producción matemática de los estudiantes de grado noveno cuándo abordan una

situación problema de geometría.

Establecer el papel que juegan los elementos identificados en los esquemas de

argumentación.



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Capítulo 2

Marco teórico

2.1 Introducción

Desde lo expuesto en el apartado anterior se ha evidenciado que los estudiantes no ven

la demostración en matemáticas como un proceso de validación de sus propias

conjeturas e hipótesis, ya que centran su mirada en el producto final.

Antes de trabajar en la tarea demostrativa es necesario reconocer que es demostrar,

como se demuestra y que características debe tener un argumento para llegar a

demostrar, es aquí cuando se establece la relación entre argumentar y demostrar que

aunque no son los mismos, son procesos dependientes a la hora de abordar una serie

de situaciones problema.

Ahora bien, la tarea demostrativa se debe desarrollar en problemas abiertos que den

lugar a una conjetura correspondiente, seguida de actividades que busquen el camino a

la demostración, donde dichos problemas o situaciones no planteen una solución rápida

y exijan el desarrollo y trabajo con una situación (Radford, 1994).

Desde los planteamientos de León et al. (2001) se retoma el análisis respecto a dos

conceptos, validar y argumentar, estableciendo que el proceso argumentativo se debe

realizar de forma escrita, sin detenerse a validar el trabajo desarrollado al enfrentarse a

la situación problema.



GEOMETRÍA

Por tal razón, es importante mencionar que la tarea de argumentación se puede ver

desde dos perspectivas; cuándo el auditorio está o no está presente, esto teniendo en

cuenta que dicho auditorio es quien pude dar la razón de validez para afirmar y concluir

si una afirmación o proceso puede llegar a ser irrefutable.

Por esto, se pretende que la justificación de la propuesta se divida de la siguiente

manera; las razones en la enseñanza y aprendizaje de la demostración en geometría

(experiencias de aula e implementaciones) y la tarea argumentativa que se determina a

partir de la demostración:

2.1.1 Estado de conocimiento sobre la enseñanza y el aprendizaje de la

demostración en geometría. Ante esto, Gutiérrez (2001) muestra algunos trabajos en

los que la demostración en geometría trasciende su carácter formal despojándola de

ser el único medio para construir su aprendizaje. Estas propuestas según el autor son

aportes realmente útiles para entender los procesos de enseñanza-aprendizaje de la

demostración.

Balacheff (1988) afirma: “no por el hecho de que la demostración sea en sí misma un

contenido de enseñanza, ésta puede dejar de ser tratada como un tema específico y

esencial dentro de la enseñanza de las matemáticas” (p. 25).

Ahora bien, Gutiérrez (2001) propone una clasificación que complementa la teoría de

Balacheff (1988), está se enfoca en el análisis de los vacíos conceptuales que generan

los estudiantes al interpretar, analizar y razonar situaciones problemas en la geometría,

enmarcando a los estudiantes en dos grandes grupos, demostraciones empíricas en las

que el elemento de verificación son los ejemplos y las demostraciones deductivas, que

se basan en el análisis y razonamiento de propiedades e ideas lógicas de abstracción

formal. (Véase la figura 1)



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Figura 1. Categorización de los procesos de prueba y demostración Gutiérrez (2001)

Para identificar las acciones de los estudiantes, es posible considerar a Mason, Burton

& Stacey (1992), quienes aluden a la resolución de problemas en matemáticas desde el

estudio de procesos cognitivos “particularización y generalización” y con la propuesta

de Polya (1989) que se ubica en el quehacer matemático de un estudiante dentro de un

ambiente de resolución de problemas; basándose en métodos heurísticos donde a

partir de la actitud investigadora del estudiante se conlleve al descubrimiento por

medios propios, ya sea en base a contenidos matemáticos o por medio de procesos

para solucionar una situación (Véase la figura 2)



GEOMETRÍA

Figura 2. Fases y etapas de resolución de problemas Polya (1989) y Mason, Burton & Stacey (1992)

Por otro lado, resulta importante la creciente actividad investigativa en torno a la

comprensión de los fenómenos relacionados con la actividad demostrativa de los

estudiantes, desde las dificultades que afrontan cuando tienen que argumentar,

(Fischbein & Kedem, 1982; Duval, 1991; Chazan, 1993; Moore, 1994; Harel & Sowder,

1996; Almeida, 1995, 1996, 2003) (Citados por Carranza et al., 2013, p. 83) hacia

estudios que discuten cómo es posible superar tales dificultades, que son necesarios a

la hora de adaptar y rescatar actividades sobre dicha temática.



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2.1.2 Estado de conocimiento sobre la argumentación y la demostración en

matemáticas. En este apartado se resalta la relación existente entre la actividad

argumentativa y los procesos de prueba y demostración desde dos posturas que

aparentemente concilian en la cercanía y relación de dependencia que existe entre

estos dos procesos que deben darse en algún momento al interior de aula de manera

progresiva.

Desde esta perspectiva, Balacheff (1987), Hanna (1990) y Simon (1996) (Citados por

Balacheff, 1988) pertenecientes a enfoques constructivistas, concuerdan en que la

intuición, la experimentación, la argumentación y la demostración aunque procesos

diferentes, también van de la mano y se hacen necesarios en algún momento para

formalizar lo que se considera por demostrar.

Duval (1999) en su enfoque cognitivo semiótico, afirma que se puede distinguir en la

argumentación y la demostración un continuo de intuir, explicar, argumentar y probar;

sin embargo, entre ellas hay un gran distanciamiento pues una no implica la otra. Ante

esto el mismo autor explica que “pasar de la argumentación a un razonamiento valido o

prueba, implica un descentramiento especifico que no se favorece por la discusión o por

la interiorización de una discusión” (Duval, 1999, p. 45). En este sentido es posible decir

que argumentar y demostrar son procesos diferentes pero no contradictorios además

de continuos pues entre ellas hay lasos de dependencia cuando de validar y justificar

ideas matemáticas se trata.

Por otra parte, Balacheff (1987) afirma que hay argumentaciones que evocan tipos de

demostraciones diferentes, las cuales llama empíricas y deductivas, que dependen del

rigor lógico de las argumentaciones que se realizan y de la formalidad deducción

realizada.

Dentro de las demostraciones empíricas, distingue tres formas de argumentación; el

empirismo ingenuo, que se basa en afirmaciones puramente experimentales e intuitivos



GEOMETRÍA

soportadas en ejemplos aislados; la experimentación crucial, donde los ejemplos aun

soportan las explicaciones y afirmaciones realizadas y donde el ejemplo es

indispensable para dar validez a los argumentos, si se suprime el ejemplo los

argumentos son inválidos; la experimentación genérica, que consiste en explicar de

manera general haciendo uso de un ejemplo.

Dentro de las demostraciones deductivas reconoce dos tipos: la experimentación

mental que consiste en argumentar de manera deductiva desprendida de los ejemplos y

la demostración formal donde los argumentos se convierten en axiomas y teoremas

válidos por la comunidad matemática y no se requiere del ejemplo porque tiene un

carácter universal. Estos niveles le permiten diferenciar y analizar los procesos de

validación utilizados por los estudiantes, advirtiendo que dichos niveles no

precisamente caracterizan la racionalidad de los estudiantes, ya que dentro de un

mismo proceso de resolución de un problema, se ha podido evidenciar más de un nivel

de prueba para un mismo estudiante ( Ver figura 1).

Por su parte, Duval (1999) distingue las argumentaciones retóricas de las

argumentaciones heurísticas; las primeras enfatizan en el convencimiento personal y

social lo que se llamaría desde la postura de este trabajo, argumentos intuitivos y

explicativos donde argumentar no implica siempre el uso de un razonamiento, pues la

importancia radica en su discursividad y el abordaje del mismo, del contexto en el cual

se está generando. Las segundas apuntan al progreso de un problema deductivo con

miras a construir una demostración, llamados en este caso argumentos probativos o

comprobadores. Según Duval (1999) “Los argumentos ocupan un lugar en el discurso,

es decir, en una serie de operaciones sucesivas que ponen en funcionamiento un

sistema semiótico” (p. 44)

Podríamos relacionar las ideas de demostración de Balacheff (1998) y la postura sobre

argumentación de Duval (1999) con la de Freudenthal (1983) sobre la constitución de

objetos mentales a partir de la organización de los fenómenos para los cuales han sido



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creados (matematización) anterior a la constitución de una idea o concepto matemático,

donde los primeros dos autores concuerdan en el distanciamiento entre los procesos de

argumentación y demostración, en el que uno no es vía para llegar al otro; Sin

embargo, es posible a partir de las ideas de Freudenthal (1983) relacionar las

argumentaciones del estudiante que se logran en la resolución de situaciones llevadas

al aula y a la organización de los fenómenos que se dan en la actividad argumentativa,

constituir una idea formal de demostración por parte de los estudiantes, donde se cree

un carácter de responsabilidad y necesidad por un acercamiento a procesos de prueba,

reconociendo a la intuición, la explicación y a la prueba, como fenómenos de la

argumentación de los cuales se derivan procesos de demostración.

Aquí la propuesta freudenthaliana será una apuesta para lograr que el distanciamiento

entre la actividad argumentativa de los estudiantes y los procesos de demostración se

conciban como elementos estrechamente relacionados y considerarlos como procesos

continuos que se pueden lograr a partir de la resolución de situaciones.

Por otro lado, Harel y Sowder (1998) consideran que “las dificultades para aprender a

demostrar obedecen a la variedad de formas como los estudiantes se convencen a sí

mismos o persuaden a otros de la certeza de una observación” donde “Los estudiantes

deberían aprender que las demostraciones son, primero que todo, argumentos

convincentes, que son un producto de la actividad humana, en la cual ellos pueden y

deben participar y que son parte esencial de la actividad matemática” (p. 257).

Donde la meta de la demostración en el aula debe ser construir y clarificar sus propios

esquemas de argumentación lo que constituye una justificación en matemáticas, desde

esquemas dominados por la percepción empírica de los objeto matemáticos, la

manipulación simbólica de los mismos y los discursos en procesos de socialización,

hasta esquemas basados en la necesidad lógica y deductiva, pasando por esquemas

basados en la intuición y la convicción personal y social, explicación y prueba.



GEOMETRÍA

2.1.3 Estado de conocimiento sobre los esquemas de argumentación. Una de las

discusiones en las que se enmarca la investigación, y que es necesario aclarar, es que

los procesos de argumentación son diferentes a la misma demostración, ya que en el

primero se habla de criterios de pertinencia y convencimiento del otro y de sí mismo,

mientras que en el segundo debe tener un sustento teórico válido y formal para mostrar

la veracidad de un enunciado. El fin de cada una de ellas es diferente, la argumentación

busca lo creíble en actividades de coherencia; la demostración busca la verdad desde

los postulados de la lógica.

En cuanto a los trabajos de Duval (1999), se hace necesario reforzar los procesos de

argumentación de los estudiantes y valorar aquellos que conducen a una toma de

conciencia y responsabilidad para concebir a la demostración como una forma de

validación formal de sus enunciados, donde también es necesario replantear aquellos

problemas y situaciones que se le asignan a los estudiantes para acceder a la

demostración, aquellos que son comunes y de donde se presupone un resultado directo

y predecible, apostarle a problemas donde el estudiante no infiera la respuesta de

manera directa, sino que la pueda construir a partir de procesos argumentativos. Duval

(1999), propone que se deben diseñar actividades que puedan mostrar al estudiante

una vía para acceder al aprendizaje de la demostración.

Argumentar tiene un carácter social y cobra sentido cuando hay la necesidad de

garantizar la validez de alguna afirmación hecha Toulmin (2003). Se plantea la

argumentación como la práctica comunicativa que se sustenta en tres principios

fundamentales, que según León et al. (2001) son:

(i) La característica discursiva con el objetivo de convencer.

(ii) La característica de razonar sobre su discurso.

(iii) La característica de la convicción personal frente a lo argumentado.



GEOMETRÍA

El modelo de argumentación que propone Toulmin, es una herramienta eficaz para

analizar los argumentos que los estudiantes construyen durante el desarrollo de la

actividad demostrativa (Pedemonte, 2007, Boero et al. 2010, Perry et al., 2013) (Citados

por Lara & Samper 2014, p. 11). Un argumento es un enunciado oral o escrito, utilizado

para convencerse o convencer a otros sobre la veracidad de un hecho particular

(Toulmin, 2003, p. 92).

Un argumento tiene lugar cuando a partir de unos datos se elabora una afirmación

(conclusión). El paso de los datos a la conclusión es el garante y hace referencia a una

regla o principio general. El garante, también se debe sustentar en un grupo de

afirmaciones que hacen parte de un conjunto de contenidos o creencias denominado

respaldo. Las refutaciones o reservas son el conjunto de circunstancias en las cuales el

garante se podría anular y el cualificador modal es una construcción lingüística que

acompaña a la conclusión, atenuándola, indica el grado de probabilidad o de fuerza de

la conclusión (Carranza, et al., 2013). (Véase la figura 3)

Figura 3. Estructura de un argumento de Toulmin Carranza (2013)



GEOMETRÍA

Para Harel & Sowder (1996) (Citados por Camargo, Samper & Perry, 2007, p. 67),

existen dos tipos de argumentos, el valido o el refutado, estos dependen de que los

datos sean ligados con el garante y sustentados por los respaldos para generar la

conclusión, dejando sin oportunidad a las refutaciones. Según esto en matemáticas se

considera válido un argumento que es sustentado por reglas teóricas y en los que se

hace un correcto uso de la lógica.

De allí se definen tres tipos de argumentos (Perry, 2013, p. 19-21) (Citada por Lara,

2014, p. 11):

Deductivo, si a partir de los datos y usando la garantía se obtiene la conclusión.

Abductivo, cuando conociendo la conclusión, se determinan los posibles datos y

con ello la garantía, que permite deducir dicha conclusión.

Inductivo, con el cual se establece la garantía a partir de varios ejemplos para los

cuales los datos ya conclusión son los mismos.

Del apartado anterior, se prioriza tener presente la validación, como la forma de

comunicación e interacción que complemente dicho proceso de argumentación, desde

dos puntos de vista; a) Situar la validación en el contexto social, para establecer

criterios que pretendan determinar el estatus de valido o de verdadero de la actividad

demostrativa y b) El objetivo de persuadir o convencer al auditorio. Se establece que

una argumentación, no tiene la obligación de generar ni garantizar una buena

demostración en matemáticas.

En palabras de Toulmin (2003) el término argumentación se usa para referirse a la

actividad total de plantear pretensiones, ponerlas en cuestionamiento, respaldarlas

produciendo razones, criticando esas razones, refutando las críticas, etc.

De la misma manera Toulmin diferencia la argumentación en dos sentidos; el primero

establece que el argumento es un tramo de razonamiento en el que se presenta una



GEOMETRÍA

secuencia de pretensiones y razones encadenadas, que entre ellas establecen la fuerza

de las proposiciones a favor de una pretensión, mientras el segundo establece que el

argumento se presenta como confrontaciones; esto es, las interacciones humanas a

través de las cuales se formula, debate y/o se da vuelta a los tramos de razonamiento.

Desde la propuesta de Toulmin (2003) la investigación tomará el argumento como

secuencia de proposiciones lógicas que requieren el uso de razonamiento, se puede

organizar en un modelo o esquema que contempla por lo menos cinco elementos; las

pretensiones, las razones, las garantías, las refutaciones y el respaldo.

Las pretensiones (Claim) son el punto de partida así como el destino de la secuencia

argumentativa que busca el proceder en la argumentación. Aquí alguien llamado

proponente, plantea un problema frente a otro u otros llamados oponentes, quienes

cuestionarán de alguna forma la pretensión con lo que el proponente deberá dar

razones en favor a su pretensión inicial, que deben ser relevantes y suficientes para

apoyarla, justificarla y respaldarla.

Las razones (Grounds) no serán leyes generales o se apoyarán de teorías acabadas,

sino que se sustentarán de hechos específicos de la situación misma. Aquí surge

entonces una discusión en la que el oponente pedirá justificar el paso de las razones a

la pretensión aun si ya la ha aceptado; en este caso, surgen los enunciados generales

que autorizan este paso a los cuales se llaman garantías del argumento.

Las garantías (Warrant) representan enunciados generales que permiten el paso de los

datos a las conclusiones, puede ser una regla deducida por experiencia, en una norma,

ley o principio. En todo caso la garantía no se basa en hechos sino en reglas que

autorizan el paso de un enunciado a otro (Toulmin, 2003).

Cuando se han presentado las garantías que apoyan en el argumento, aquellas podrían

no ser suficientes; en este caso, será necesario mostrar que son válidas, relevantes y



GEOMETRÍA

superiores a cualquier otra. Para ello deberá indicar el campo general de información o

respaldo (backing) que se diferencia de las garantías en que este puede expresarse en

forma de enunciado categórico sobre hechos, mientras que los enunciados de la

garantía son hipotéticos. Aquí el respaldo se refiere a teorías generales, creencias y

estrategias que proporcionan más apoyo a la garantía e indica por qué la pretensión

debería ser aceptada.

Es por ello que argumentar tiene un carácter social y cobra sentido cuando hay la

necesidad de garantizar la validez de alguna afirmación. Un argumento es un

enunciado oral o escrito, utilizado para convencerse o convencer a otros sobre la

veracidad de un hecho particular (Toulmin, 2003). Un argumento tiene lugar cuando a

partir de unos hechos o datos se elabora una afirmación (conclusión). El paso de los

datos a la conclusión es el garante y hace referencia a una regla. El garante, también

se debe sustentar en un grupo de afirmaciones que hacen parte de un conjunto de

contenidos denominado respaldo (Carranza et al., 2013). (Véase la figura 3)

Aunque el esquema propuesto por Toulmin (2003) proporciona una herramienta potente

para analizar la argumentación y en especial los elementos que constituyen al

argumento desde una perspectiva formal, donde a partir de dichos esquemas

argumentativos que se generan en la resolución de problemas realistas, se forje el

desarrollo progresivo de procesos de resolución de la situación misma.

Cabe aclarar que la teoría de Toulmin (1958) no se centra principalmente en el campo

de la justificación matemática sino más de la jurídica, ha sido una fuerte contribución a

la hora de realizar análisis de estructuras argumentativas en este campo; por ejemplo,

(Krummheuer, 1995) (Citado por Toulmin, 1958) propone un modelo de argumentación

en matemáticas basado en Toulmin. Sin embargo, reduce el sistema original a cuatro

elementos: datos (pretensión), justificación (garantía), fundamentos (respaldo) y

conclusión (pretensión aceptada).



GEOMETRÍA

Aun así, el modelo de Toulmin (1958) ha sido utilizado para dar cuenta de razonamiento

matemático cuando hay procesos de interacción en contextos de socialización en el

aula. Esto permite inferir que este modelo podría ser una alternativa viable para analizar

y caracterizar los esquemas argumentativos que surgen en el aula cuando los

estudiantes se sumergen en procesos de resolución de situaciones; en la que se

estudiaría la composición y secuencia del argumento como garante de una validación

de proposiciones aceptados en el seno de la comunidad de estudiantes que se

enfrentan a la resolución de problemas.

La estructura de Toulmin (1958) ha sido usada por varios autores para analizar

procesos de aprendizaje dentro de las matemáticas, entre ellos (Knipping, 2008) (Citado

por Toulmin, 2003) propone problemas dentro del marco de la demostración matemática

para analizar los elementos constitutivos del argumento a la hora de validar ideas. Este

análisis lo realiza a partir de tres etapas:

(i) La primera en un entorno de discusión y socialización alrededor de un

problema de demostración para los estudiantes.

(ii) La segunda seguido de un análisis del esquema argumentativo desde un

marco local usando la estructura de Toulmin

(iii) Y un marco global desde el proceso mismo de demostración para finalmente

comparar la estructura argumentativa con su fundamento lógico.

Todo ello con el fin de verificar que efectivamente se da una organización argumentativa

bajo este modelo ligado a procesos de prueba en los estudiantes.

Por otro lado, Hollebrands, Conner y Smith (2010) (Citados en Toulmin, 2003) usan el

modelo de Toulmin dentro de un ambiente de geometría dinámica, con el uso de un

software para el aprendizaje de geometría no euclidiana. En este caso, aunque no hay

una situación contextualizada y explicita para el estudiante, el software y el ambiente



GEOMETRÍA

dinámico de aprendizaje se convierten en escenarios realísticos de aprendizaje, ya que

son contextos que el estudiante puede imaginar, comprender y bajo los que puede

actuar con mirar a resolver algo que es problemático para él.

Weber, Maher y Powell (2008) (Citados en Toulmin, 2003) a partir de situaciones

relacionadas con procesos de justificación y demostración, usan el modelo de Toulmin

para desarrollar en los estudiantes la idea de validación matemática a través de la

inferencia en un escenario de confrontación y debate, como consecuencia de las

objeciones de otros estudiantes. Este estudio constata que existe un interés muy

marcado por parte de los estudiantes por desafiar los argumentos de sus compañeros y

validar los suyos propios, a través de principios matemáticos implícitos en sus

intervenciones y que dan cuenta de un “permiso de inferencia” como base para dotar

sus intervenciones de un sentido lógico.

Estas propuestas de distintos autores, dan cuenta que es posible pensar los

componentes de la secuencia argumentativa de Toulmin como una forma de interpretar

los procesos de matematización, donde se privilegia la resolución de problemas como

práctica matemática cuya actividad característica es la matematización ya sea dentro de

la realidad o de la matemática misma (Freudenthal, 1983).

Otros autores (Stephan y Rasmussen, 2002; Whitneack y Knipping, 2002; Yackel, 2002;

Rasmussen et al., 2004; Pedemonte, 2005) (Citados en Toulmin, 2013) han usado esta

estructura argumentativa en diversos tópicos matemáticos y en diferentes niveles

escolares, mostrando que a partir de situaciones que aunque no llaman realísticas

explícitamente podríamos inferirse como tal, por sus características de ser susceptibles,

mostrando además que es útil transversalmente al nivel escolar y al contenido de la

argumentación usando el modelo Toulmin desde situaciones problema que motivan la

actividad matemática.



GEOMETRÍA

Toulmin usa el término argumentación para referirse a “la actividad total de plantear

pretensiones, ponerlas en cuestionamiento, respaldarlas produciendo razones,

criticando esas razones, refutando las críticas, etc.” (Toulmin, Rieke Janik, 1984, p. 14);

de la misma manera, Toulmin reconoce el argumento en dos sentidos; el primero

establece que es “un tramo de razonamiento en la que se presenta una secuencia de

pretensiones y razones encadenadas, que entre ellas establecen el contenido y la

fuerza de las proposiciones a favor de una pretensión”; mientras que el segundo

establece que se presenta como disputas en escenarios de confrontación; esto es, “las

interacciones humanas a través de las cuales se formula, debate y/o se da vuelta a los

tramos de razonamiento”. Sin embargo, en ambos sentidos, el argumento busca

manifestar la racionalidad del proponente.

Desde la propuesta de Toulmin (1958), el argumento se puede organizar en un modelo

o esquema que contempla por lo menos cinco elementos; las pretensiones, las razones,

las garantías, las refutaciones y el respaldo, (Carranza et al., 2013). (Véase la figura 3).

Ahora bien, la conclusión es el punto de partida así como el destino de la secuencia

argumentativa que busca el proceder en la argumentación. Aquí un (proponente)

plantea un problema frente a otros (oponentes) quienes cuestionarán de alguna forma

la conclusión, con lo que el proponente deberá determinar datos en favor a su

pretensión inicial, que deben ser relevantes y suficientes para apoyarla (Ver figura 3).

En este caso los datos no serán leyes generales o se apoyarán de teorías acabadas,


entonces una discusión en la que el oponente pedirá justificar el paso de los datos a la

conclusión aun si ya la ha aceptado de antemano; en este caso, surgen los enunciados

generales que autorizan este paso a los cuales se denominan garantías del argumento.

Estas garantías, representan enunciados generales que permiten el paso de los datos a

las conclusiones puede ser una regla deducida por experiencia, en una norma, ley o



GEOMETRÍA

principio. En todo caso la garantía no se basa en hechos sino en reglas que autorizan el

paso de un enunciado a otro (Toulmin, 1958, p.100).

Cuando se han presentado las garantías que apoyan el argumento, aquellas podrían no

ser suficientes; en este caso, será necesario mostrar que son válidas, relevantes y

superiores a cualquier otra; para ello deberá indicar el campo general de información o

respaldo que se diferencia de las garantías en que este puede expresarse en forma de

enunciado categórico sobre hechos, leyes, enunciados o teoremas (Toulmin, 1958,

p.106), mientras que los enunciados de la garantía son hipotéticos. Aquí el respaldo se

refiere a teorías generales, creencias, y estrategias que proporciona más apoyo a la

garantía e indica que la conclusión debería ser aceptada.

Aunque tanto el respaldo como los datos se apoyen en hechos, se distinguen entre sí

porque siempre será necesaria alguna razón para poder hablar de un argumento, el

respaldo solo aparece si se pone en cuestión la garantía.

Para Harel y Sowder (1998) existen dos tipos de argumentos que dependen de la

contundencia en que los datos son hilados de manera veraz en la garantía y

sustentados por los respaldos para dar fuerza a la conclusión, dejando sin oportunidad

a las refutaciones. Según esto en matemáticas se considera válido un argumento que

es sustentado por reglas teóricas y en los que se hace un correcto uso de la lógica.

Por tanto debemos tener presente la validación, como la forma de comunicación e

interacción que complemente dicho proceso de argumentación, desde dos puntos de

vista; a) Situar la validación en el contexto social, para establecer criterios que

pretendan determinar el status de valido o de verdadero de la actividad demostrativa. b)

El objetivo de persuadir o convencer al auditorio. Se evidencia que una argumentación,

no tiene la obligación de generar una buena demostración.



GEOMETRÍA

Teniendo en cuenta dicha estructura y ya que se evidenciaron algunos elementos

constitutivos del argumento, además de la ruta argumentativa que siguen los

estudiantes para dar cuenta de las razones por las cuales determinaron que las plantas

debían estar ubicados en un sitio específico, esto valida la pretensión inicial de la

investigación sobre indagar a los esquemas de argumentación que emergen en los

estudiantes al enfrentarse a una situación problema.

Como podemos ver en el esquema argumentativo se contemplan los elementos de todo

modelo de argumentación de Toulmin (1958); en el que los tres grupos exponen sus

diseños en forma de datos, es aquí donde empiezan a entrar en juego las garantías que

apoyan y le dan validez a las razones y justificaciones de los estudiantes; la garantía

está expuesta en la manera en que los estudiantes llegan a determinar que la única

manera que cumple con las condiciones de estar a igual distancia de ambos canales es

ubicar las plantas en el vértice del triángulo, estableciendo que de esta forma ambos

canales riegan las plantas y determinando que el sitio donde deben estar ubicadas

sería la altura del triángulo, que en términos matemáticos seria la bisectriz del triángulo

equilátero.

2.2 Teoría de argumentación de Toulmin

En este apartado expondré las ideas generales de Stephen Toulmin (1958) sobre la

teoría de la argumentación, en la cual se evidencia la manera en que se llevó a cabo la

organización de los datos.

Para Toulmin una de las prácticas generales que nos caracteriza es la de razonar,

frente a lo que hacemos, pensamos o decimos a los otros; esto es, el uso de la

argumentación. En este caso, las situaciones o problemas con respecto a las cuales se

argumenta pueden ser distintas y por tanto las formas de razonar también lo serán. Es

en este sentido que Toulmin propone estudiar la estructura misma de la argumentación;



GEOMETRÍA

es decir, los elementos de los que se componen los argumentos, las funciones que

cumplen estos elementos y la relación que se establece entre ellos.

Toulmin usa el término argumentación y razonamiento en sentidos diferentes pero no

contradictorios; usa argumentación para referirse a “la actividad total de plantear

pretensiones, ponerlas en cuestionamiento, respaldarlas produciendo razones,

criticando esas razones, refutando las críticas, etc.” (Toulmin-Rieke Janik, 1984, p. 14).

El término razonamiento lo usa en un sentido más restringido como “la actividad central

de dar razones a favor de una pretensión, así como para mostrar la manera en que

esas razones tienen éxito a la hora de darle fuerza a las pretensiones” (ibídem p.15).

De la misma manera, Toulmin diferencia claramente entre la argumentación en un

sentido amplio del argumento como algo más específico, donde lo distingue en dos

sentidos; el primero establece que el argumento es “un tramo de razonamiento en la

que se presenta una secuencia de pretensiones y razones encadenadas, que entre

ellas establecen el contenido y la fuerza de las proposiciones a favor de una

pretensión”. En el segundo, establece que el argumento se presenta como disputas en

escenarios de confrontación; esto es, “las interacciones humanas a través de las cuales

se formula, debate y/o se da vuelta a los tramos de razonamiento”. Sin embargo, en

ambos sentidos, el argumento busca manifestar la racionalidad del hablante.

2.2.1 Estado de conocimiento del modelo/esquema para el análisis de los

argumentos. Desde la propuesta de Toulmin (1958), el argumento como secuencia de

proposiciones lógicas que requieren el uso de razonamiento, se puede organizar en un

modelo o esquema que contempla por lo menos cinco elementos; las pretensiones, las

razones, las garantías, las refutaciones y el respaldo.

Las pretensiones (Claim), son el punto de partida así como el destino de la secuencia

argumentativa, que busca el proceder en la argumentación. Aquí alguien (Proponente)

plantea un problema frente a otro u otros (oponente) quien(es) cuestionarán de alguna



GEOMETRÍA

forma la pretensión, con lo que el proponente deberá dar razones (grounds) en favor a

su pretensión inicial, que deben ser relevantes y suficientes para apoyarla.

En este caso las razones no serán leyes generales o se apoyarán de teorías acabadas,


entonces una discusión en la que el oponente pedirá justificar el paso de las razones a

la pretensión aun si ya la ha aceptado de antemano; en este caso, surgen los

enunciados generales que autorizan este paso a los cuales llamamos garantías

(warrant) del argumento.

Estas garantías, representan a enunciados generales que permiten el paso de los datos

a las conclusiones puede ser una regla deducida por experiencia, en una norma, ley o

principio. En todo caso la garantía no se basa en hechos sino en reglas que autorizan el

paso de un enunciado a otro (Toulmin, 1958, p.100).

Cuando se han presentado las garantías que apoyan el argumento, aquellas podrían no

ser suficientes; en este caso, será necesario mostrar que son válidas, relevantes y

superiores a cualquier otra. Para ello deberá indicar el campo general de información o

respaldo (backing) que se diferencia de las garantías en que este puede expresarse en

forma de enunciado categórico sobre hechos (Toulmin, 1958, p.106), mientras que los

enunciados de la garantía son hipotéticos. Aquí el respaldo se refiere a teorías

generales, creencias, y estrategias que proporciona más apoyo a la garantía e indica

por qué la pretensión debería ser aceptada.

Aunque tanto el respaldo como las razones se apoyen en hechos, se distinguen entre sí

porque siempre será necesaria alguna razón para poder hablar de un argumento, el

respaldo solo aparece si se pone en cuestión la garantía, obviamente dicho respaldo se

fundamenta de un teorema que de solidez a la garantía y por ende se pueda llegar a

consolidar como válida y veraz.



GEOMETRÍA

Figura 4. Elementos del argumento Toulmin (1958)

Es importante considerar que un argumento puede formar parte de una cadena de

argumentos, donde la pretensión de un argumento puede funcionar también como una

razón de una nueva pretensión. En este caso, las razones pueden convertirse en

pretensiones que necesitan de nuevos argumentos, donde de la misma manera, la

garantía puede verse también la pretensión de un nuevo argumento.

De esta manera, es posible analizar una estructura argumentativa y calificar de válido o

no un argumento.

Sin embargo, en ocasiones la fuerza de los argumentos puede verse socavada por el

oponente cuando ante las garantías propuestas por el proponente, éste deduce una

refutación (Rebuttals) que tumba de alguna manera la fuerza del argumento y hace que

el proponente tenga que cambiar sus garantías apoyadas de razones que

indudablemente hará variar también su esquema argumentativo o definitivamente

desistir de su pretensión inicial, dichas refutaciones aparecen en forma de

contraejemplo a la garantía y producen una falla tanto en la conclusión, como en la

garantía y por tanto cuando se da este proceso no puede llegar a intervenir el respaldo.



GEOMETRÍA

Figura 5: Esquema de argumentación independiente

En este nuevo esquema de la estructura de un argumento, los elementos funcionan de

manera dependiente, donde se concibe que el mundo de la argumentación y del

razonamiento, son características propias de una comunidad racional donde no cabe

hablar de la incomunicación, pues siempre habrá cabida para el argumento y la

justificación cuando de actos de interacción se trata.

2.3 Estado de conocimiento de la “emergencia”

En este sentido, la conciencia sólo deviene conciencia al llenarse de un contenido

ideológico, es decir, sígnico y, por ende, solamente en el proceso de interacción y

relación social se pueden concebir los procesos psicológicos superiores que Vygotski

matiza en términos del funcionamiento interpsicológico, de esta manera se centra el

concepto de emergencia como la producción de esos procesos superiores que

produzcan inferencias y razones para generar un argumento, tal y como se refleja en su

formulación de la ley genética del desarrollo cultural (Vygotski, 1929) (Citado por

Vergel, 2014):



GEOMETRÍA

Cualquier función, presente en el desarrollo cultural del niño, aparece dos

veces o en dos planos distintos. En primer lugar aparece en el plano social,

para hacerlo, luego, en el plano psicológico. En principio, aparece entre las

personas y como una categoría interpsicológica, para luego aparecer en el

niño como una categoría intrapsicológica. Esto es igualmente cierto con

respecto a la atención voluntaria, la memoria lógica, la formación de

conceptos y el desarrollo de la volición. Podemos considerar esta

argumentación como una ley en el sentido estricto del término, aunque debe

decirse que la internalización transforma el proceso en sí mismo, cambiando

su estructura y funciones. Las relaciones sociales o relaciones entre las

personas subyacen genéticamente a todas las funciones superiores y a sus

relaciones. (Wertsch, 1988, pp.77-78) (Citado en Vergel 2014, p. 42)

De dicha formulación se puede concluir que para Vygostki los procesos psicológicos

superiores internalizados (pensamiento lógico, la deducción, la abstracción, la

categorización, la generalización, entre otros) no son copias de procesos externos

interpsicológicos, pues la internalización transforma el proceso en sí cambiando su

estructura y funciones además genera procesos de reflexión e interpretación de nuevas

disposiciones, en este caso la resolución de situaciones problema.

Por tanto se establece que la emergencia de los elementos del argumento serán

mediatizados a través de la actividad humana, ya que aparte de cumplir con su función

pragmática de solucionar una situación problema, son fundamentalmente importantes

ya que afectan los procesos psicológicos superiores.

Según Vygotski (1929) (Citado en Vergel, 2014) se puede plantear una distinción entre

los procesos mentales naturales “inferiores” de la percepción, la atención, la memoria y

la voluntad, ya que estas se enfatizan en proceso generales y las funciones

psicológicas “superiores” que aparecen bajo la influencia de los instrumentos simbólicos



GEOMETRÍA

o en este caso como se le denominaría a la emergencia de los esquemas de

argumentación a la hora de realizar la denostación en geometría.

2.4 Estado de conocimiento de la bisectriz como concepto

Otro punto a desarrollar es el contenido matemático que será expuesto en la situación

problema que afrontará el grupo de estudiantes, esto teniendo en cuenta que se

planteen hipótesis a la hora de implementar la situación desde las características y

propiedades del contenido; y así sustentar y generar una mayor aproximación a la hora

de exponer las preguntas orientadoras en la actividad.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones

o propiedades geométricas; en el plano cartesiano existen lugares geométricos como

la bisectriz ya que dado un ángulo la bisectriz cumple con la propiedad de que todos

sus puntos equidisten o estén a igual distancia de los lados de dicho ángulo.

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en

dos partes iguales (Ver figura 6); algunas de sus características se plantean a

continuación:

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo

Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus

bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos

consecutivos.

La bisectriz de un ángulo, como rayo, con cada uno de los lados forma dos ángulos

con lado común e iguales, cada uno de ellos es la mitad del original.

https://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz

https://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo



GEOMETRÍA

Figura 6. Bisectriz de un ángulo

Es importante resaltar, que se denomina lugar geométrico al grupo de puntos colocados

a un lado del punto fijo de la recta, ésta tiene un punto de origen y como todas las

rectas se expande hacia el infinito.

Del mismo modo el punto de la bisectriz será de igual distancia a las dos rectas del

ángulo, debido a su correlación, cuando dos rectas se entrelazan forman cuatro

ángulos, en donde cada uno de ellos determina una bisectriz, porque biseca cada uno

de los ángulos y por tanto proporciona de manera equitativa la amplitud de los mismos.

Cuando la bisectriz se aplica en un triángulo, las tres bisectrices de los ángulos de la

parte interior de un triángulo se partirán en un solo punto en donde se mostraran

equivalentes en relación a los lados, este punto se denomina incentro del triángulo, y

representa el centro de la circunferencia incorporada al triángulo.

Es importante mencionar que se establece el contenido bisectriz porqué es lo que

pretende indagar la situación, aunque es posible que los estudiantes no lleguen a

justificar o validar la bisectriz como la solución a la situación, o de alguna manera

lleguen a ella sin necesidad de tomar todas sus características o propiedades.

http://conceptodefinicion.de/punto/

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/triangulos.html



GEOMETRÍA

Capítulo 3

Marco metodológico

3.1 Tipo de investigación

El presente trabajo se desarrolla como una investigación de carácter cualitativo en tanto

se encarga de indagar y describir textualmente lo sucedido en los momentos de

resolución de problemas de carácter geométrico; desde un diseño fundamentado en los

esquemas de argumentación que emergen al demostrar.

La investigación es de carácter descriptivo, porque busca definir y especificar los

esquemas de argumentación que intervienen en el proceso de resolución de

situaciones geométricas; ya que los resultados serán descritos en forma de

interpretación, en cuanto su principal objetivo es identificar y caracterizar aquellos

esquemas argumentativos que se generan en el aula con miras a trabajar frente a la

necesidad de demostrar en geometría.

Como se mencionaba el enfoque metodológico general de la investigación es

cualitativo, interpretativo-descriptivo, que en términos de Gil (1998) (Citado por Murillo,

2011) afirma:

El objetivo de investigación sería mejorar la práctica, es decir, la

investigación ha de estar orientada a la resolución de problemas

relacionados con cursos de acción, pasando por la explicación sobre

posibles causas y consecuencias de tales problemas. La metodología



GEOMETRÍA

dominante consiste en descubrir estos significados e interpretaciones

mediante el estudio de casos en profundidad. (p. 11)

Desde este enfoque cualitativo, Cobb, Confrey, Lehrer & Schauble (2003), establecen la

fenomenología didáctica instaurando que las situaciones problema llevadas al aula

deben seleccionarse para organizarlas según los objetos matemáticos que los

estudiantes constituirán, en dicho enfoque el investigador diseña o plantea las

situaciones problema y su principal propósito es la preocupación por transformar e

interpretar los datos cualitativos.

Desde esta perspectiva, Taylor & Bogdan (1986) (Citados por Cobb et al., 2003)

consideran la investigación cualitativa como aquella que produce datos descriptivos de

las propias palabras de los sujetos, habladas o escritas, y la conducta observable; se

obtienen conclusiones generales de la población y solamente para dicha población. Ya

que se describirá detalladamente el comportamiento argumental de los estudiantes al

resolver una situación problema de carácter geométrico, donde el investigador plantea

sus creencias y posturas, observando las interacciones sociales del grupo resolutor;

estableciendo una metodología de estudio de caso de tipo participante.

3.2 Estudio de caso

En cuanto la intervención del objeto de estudio, que en este caso es la argumentación

emergente en procesos de demostración en geometría, la propuesta permite por medio

de un estudio de caso, desde la adaptación, aplicación y evaluación de problemas de

carácter geométrico, comprender los fenómenos que suceden entorno a la

argumentación en un grupo singular de estudiantes; sin la pretensión de generalizar los

resultados a poblaciones mayores sino de reflexionar en torno al grupo. Según Martínez

(2006), el estudio de caso es:



GEOMETRÍA

“Una estrategia de investigación dirigida a comprender las dinámicas

presentes en contextos singulares, la cual podría tratarse del estudio de un

único o de varios casos, desde distintos métodos para la recogida de

evidencia cualitativa o cuantitativa con el fin de describir, verificar o generar

teoría” (p. 174).

Se pretende desde los objetivos de un estudio de caso:

Describir las situaciones concretas que suceden con la población estudiada

Brindar nuevas perspectivas y en caso tal corroborar teoría ya existente.

Elaborar hipótesis en torno a lo que sucede al interior del grupo cuando se

enfrentan al problema y los argumentos.

Ahora bien, Frankel & Wallen (1996) describen que este tipo de estudio; debe tener

un ambiente natural y la labor del investigador es esencial, es decir, ellos son

quienes aseguran un entorno favorable para demostrar, sus conclusiones y

valoraciones finales van encaminadas a caracterizar los esquemas de

argumentación de los estudiantes por lo tanto se garantizan resultados de tipo

cualitativo.

Es por ello que el estudio de caso plantea un procedimiento metodológico para

desarrollar la investigación (Ver imagen 1), donde se plantea un paso a paso que

debe desarrollar el investigador, para organizar y establecer una investigación sólida

teóricamente.



GEOMETRÍA

Imagen 1. Procedimiento estudio de caso

3.3 Fases de investigación

A continuación se presenta una tabla con las fases que se llevarán a cabo con la

metodología, y desde las mismas el tipo de observaciones u hechos que abarcarán las

fases y los procesos que se realizarán en está:

Diseño Metodológico

Fase Observaciones

Planteamiento de la

propuesta y estudio

documental:

Construcción continua del proyecto de investigación, referentes,

propósitos, sustento e instrumentos, y en general el rastreo



GEOMETRÍA

identificación de los esquemas de argumentación.

Se plantean las hipótesis iniciales y en general se construye el

marco de referencia, para el diseño, implementación y análisis

de la investigación. Dichas consultas se sistematizan en fichas

bibliográficas.

Diseño y adaptación

de instrumentos

didácticos.

Construcción de un diseño de actividad que tenga distintos

momentos de intervención del docente, estudiantes y

conocimiento, fundamentado en problemas con geometría; para

ello no podrá asegurarse un resultado o conclusión rápida y la

actividad debe convertirse en un desafío recurriendo a

estrategias desde sus propios saberes y experiencias.

Caracterización de

los problemas y

Método de resolución

del problema:

Se realizará a partir de los referentes teóricos orientados a

caracterizar los esquemas de argumentación que surgen en la

actividad demostrativa de grado noveno.

El método de resolución se desarrollará bajo las ideas de

Mason, Burton & Stacey (1992), reconociendo los procesos que

emergen en los estudiantes desde el estudio de procesos

cognitivos “particularización y generalización”.

Aplicación de

instrumentos e

intervención en el

aula.

(Recolección de

datos)

A partir del diseño realizado en la fase anterior, se aplicará un

pilotaje de la situación problema y los instrumentos en grado

noveno.

En condiciones similares con estudiantes de la misma

institución, se realizará la aplicación final del diseño, dejando



GEOMETRÍA

como resultados evidencias en videos, y registros escritos y

orales (Cuaderno resolutor), que evidencien esquemas

argumentativos, recopilando información mediante diarios de

campo, de los cuales se harán trascripciones e informes de

sistematización.

Proceso de estudio y

análisis de los

resultados.

Culminada la resolución del problema de demostración

geométrica y obtenidos los resultados, se proseguirá a

evidenciar los esquemas argumentativos evidenciados en la

actividad demostrativa y si efectivamente lo realizado en el

grupo se considera una demostración dentro del campo de la

matemática.

Se procede a caracterizar los esquemas a través de la

propuesta de Toulmin (2003), desde la relación con el marco

construido y los resultados obtenidos, donde se compararan los

datos con las implicaciones que se deducen de la teoría.

Valoración y

enunciación de los

aportes:

A partir de los criterios expuestos por Toulmin (2003) para

determinar los esquemas de argumentación, se hará una

reinterpretación de las evidencias y observaciones de

implementación de instrumentos e intervención en el aula.

Desde los resultados obtenidos, dar a conocer los contrastes y

aportes de las teorías, para desarrollar una nueva propuesta

que debe caracterizar los esquemas de argumentación en la

actividad demostrativa.

En cuatro meses se dará forma al documento final,

estructurando y describiendo los apartados y los resultados



GEOMETRÍA

parciales en contraste con los objetivos y propósitos del trabajo.

Tabla 1. Fases del proyecto de grado

3.4 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos

La recolección y organización de la información permitirá obtener los datos necesarios

para la etapa de principio de triangulación expuesta anteriormente (Ver imagen 1), así

lograr un proceso en el que una adecuada utilización de los instrumentos y su relación

detallada con los referentes expuestos que permitirán la construcción de unas

categorías de análisis para organizar y clasificar la información recolectada y que

brindará las posteriores reflexiones o conclusiones de la investigación.

A continuación se presentan las técnicas de recolección de la información y los

respectivos instrumentos que se utilizaran para recogerla y sistematizarla:

Teniendo en cuenta los intereses del investigador y su objetivo de investigación

identificar y caracterizar los esquemas de argumentación que emergen en la actividad

demostrativa de estudiantes de grado noveno, uno de las principales técnicas a utilizar

es la observación, por medio de instrumentos como dispositivos mecánicos, en este

caso la videograbación, donde se realizará un registro sonoro, fotográfico y fílmico de

los diversos aspectos y sujetos observados.

3.4.1 Observación. Es una técnica fundamental para esta investigación, pues permite

la obtención de información de la realidad, mediante la percepción intencionada y

selectiva de los esquemas argumentativos que emergen en los estudiantes cuando se

involucren en el proceso de resolución de la situación. Esta observación será

estructurada y participante ya que de antemano existen unas categorías de análisis

predeterminadas (Modelo argumentativo de Toulmin) y el investigador interviene de



GEOMETRÍA

manera activa. Para recolectar información se usarán los registros audiovisuales como

instrumento, pues permiten captar hechos en el acto, recoge muchos aspectos de la

interacción social y cultural de los sujetos; esta técnica es un método que toma una

mirada de los fenómenos, acciones, procesos, situaciones y su dinamismo de un grupo

de sujetos al interactuar con un objeto en su marco natural.

3.4.2 Registros. La situación problema presentada a los estudiantes permitirá que

pongan en juego su creatividad para diseñar y crear; por lo que se hace indispensable

obtener datos a través de los archivos, cálculos o registros elaborados por el

estudiante, por tanto cada integrante del grupo llevará un cuaderno resolutor; en el cual

consignará cada proceso, argumento, idea, duda, etc. que surja durante todo el proceso

demostrativo. En él consignará el trabajo individual como el grupal, el objetivo de ello es

que no se pierda ninguna afirmación, argumento, justificación o pregunta, que se

genere en el proceso demostrativo.

3.5 Descripción de la población y situación problema para la prueba de pilotaje

Al adoptar la investigación de carácter cualitativo como enfoque teórico y metodológico,

es necesario reconocer el contexto en el que se desenvuelve el estudiante, con el fin de

que las situaciones problema que se propongan sean creíbles, lógicas y permitan

acciones de los mismos para darles solución.

En este caso, el contexto de la población estudiada es fundamental, ya que se indagará

y describirá textualmente lo sucedido en los momentos de resolución de problemas al

demostrar geométricamente; la resolución de problemas es un método de inagotables

recursos dado que en cada experiencia con problemas matemáticos posibilita la

retroalimentación con experiencias pasadas, cautiva a los estudiantes con nuevas

metodologías y dota las prácticas de creatividad en espacios de socialización, es allí

donde la argumentación como un proceso comunicativo debe sobresalir.



GEOMETRÍA

Por tal razón la prueba pilotaje de la investigación se llevará a cabo en el Colegio

Bosques de Sherwood, se encuentra ubicado en la zona central del municipio de Chía,

Vereda Bojacá, sector Delicias, cuenta con 1000 estudiantes aproximadamente; es de

carácter mixto y naturaleza privada, imparte una educación integral fundamentada en

los valores. La población a investigar es el grupo de grado décimo que lo integran 30

estudiantes, de los cuales aproximadamente 4 viven en las zonas rurales fronterizas

con la vereda y los otros 26 viven en zonas urbanas de clase media-alta. Sus edades

oscilan entre los 14 y 16 años.

Cabe aclarar que los instrumentos serán aplicados a un grupo de estudiantes, ya que el

curso se dividirá en grupos para afrontar la situación, el investigador escogerá un grupo

teniendo en cuenta los resultados obtenidos en la prueba de pilotaje.

Es por ello que el diseño metodológico de la propuesta empieza con la aplicación de

una situación problema para el grupo de estudiantes.

3.5.1 Aplicación de instrumentos “Pilotaje de la situación”. Teniendo en cuenta el

contexto social y cultural en el que se va a desenvolver la situación problema de

carácter geométrico, se decidió implementar una prueba pilotaje con estudiantes de

grado décimo del Colegio Bosques de Sherwood, esto para optimizar la situación y de

esta manera llegar a adaptar o implementar dicha situación con el grado noveno que

fue el grado estipulado para realizar el proceso de investigación.

Dicha situación debe ser creíble, lógica y permitir que las acciones de los sujetos que

intervengan en la investigación puedan llegar a plantear una posible solución o

establecer hipótesis, inferencias o justificaciones que den a conocer los argumentos

que se plantean dichos sujetos; aunque cabe aclarar que la solución no es el propósito

de la investigación, sino por el contrario es una variable que no se tiene en cuenta, lo

que se pretende es identificar y caracterizar los esquemas de argumentación que

emergen en la actividad demostrativa, por tanto la solución no es primordial, es por ello



GEOMETRÍA

que se presentarán algunos análisis por medio de los sustentos encontrados en la

aplicación de la prueba.

La situación planteada fue:

Uno de los terrenos en la finca de don Gustavo tiene forma de cuña, bordeado por dos

canales de riego. Él quiere sembrar matas de arroz de tal forma que la distancia de

cada mata a cada canal sea la misma (Ver figura 7)

Figura 7. Primera representación de la situación

Se planteó la situación tal como aparece anteriormente, pero se presentaron dos

momentos, antes de mostrar la representación gráfica y después de mostrar dicha

representación gráfica, se destacan los dos momentos, ya que brindaron diferentes

miradas y aspectos a mejorar o corregir en el planteamiento de la situación, además se

identificaron distintas formas de abordar la situación y el desarrollo de la misma:

3.5.2 Antes de mostrar la representación gráfica. Se estableció la situación sin la

representación gráfica a 8 estudiantes de grado decimo, es importante mencionar que

la situación género muy pocas consideraciones e interés por parte de los estudiantes,

algunas de ellas fueron:

Algunas de las palabras que se establecen en el escrito de la situación no se

entienden.



GEOMETRÍA

No es claro el desarrollo de la situación y por tanto no se puede establecer que

se debe desarrollar

No se plantea ninguna pregunta que oriente el trabajo ni que defina el objetivo

del mismo, además se indagan por quien es don Gustavo.

Es importante que se ejemplifique o se dé a conocer una imagen que represente

algo más de la situación para poder resolverla.

3.5.3 Después de mostrar la representación gráfica. Al mostrar la representación

gráfica de la situación a los mismos estudiantes de grado décimo, empezaron a dar

mejores concepciones y establecer mayores conjeturas, sentían que la imagen les daba

herramientas para hablar de la situación, cabe aclarar que a cada estudiante se le

entrego un instrumento o guía.

Es importante concluir que la situación se debe implementar con una imagen que

genere mayores producciones de los estudiantes que motive su trabajo e indague por

establecer cuestionamientos y justificaciones que beneficien el propósito de la

investigación.

Algunas de las consideraciones que tuvieron los estudiantes y que sirvieron como

conclusiones de la prueba pilotaje fueron:

Evidencias de los estudiantes Análisis preliminar

Escasos conocimientos geométricos

Cabe aclarar que sería importante antes de implementar la situación, establecer algunos conceptos teóricos que sirvan al sujeto del grupo resolutor afrontar y definir argumentos válidos a la hora de trabajar en la situación. Es importante que tengan conocimientos previos que motiven el trabajo con la situación.



GEOMETRÍA

Especificar palabras y la manera de sembrar

Es importante aclarar o definir algunas palabras, que plantea la situación como por ejemplo; cuña, canales de riego y matas de arroz, establecer palabras que tengan que ver con su entorno y se contextualice para ellos. La forma en que se debe sembrar es esencial la imagen muestra algunas de las formas en que los estudiantes pensaron sembrar, podría ser más especifica la forma y así garantizar homogeneidad para los grupos a los que se aplicaran.

Bisectriz

Uno de los estudiantes llegó a plantear que la solución sería la bisectriz, cabe aclarar que la situación debe generar en los estudiantes una solución que sea menos rápida, por tanto se debe implementar cuestiones o establecer una situación que no establezca una respuesta tan rápida.

Preguntas orientadoras

Esta sugerencia me pareció muy importante, ya que en ocasiones sentía que los estudiantes no sabían que hacer unas preguntas podría brindar al lector un mayor grado de producción respecto a la situación. Es claro que el gráfico debe mejorar, por ejemplo porque estar abierto; en qué cambiaría si cerramos el plano.

Implementación de software de geometría dinámica

como Geogebra

Una sugerencia que apareció en un estudiante fue si pudieran llegar a implementar la situación respecto a Geogebra, es decir, brindar una solución



GEOMETRÍA

al problema con el software, ya que para ellos se facilitaría más que el cuaderno.

Tabla 2. Conclusiones prueba de pilotaje

Ahora bien, teniendo en cuenta este tipo de resultados y las evidencias plasmadas en el

cuadro anterior, se puede llegar a afirmar que la situación enriquece la obtención de

afirmaciones y justificaciones que se podrían llegar a validar como argumentos.

Desde la teoría de Toulmin (2003) se determina que los estudiantes tienen un

comportamiento argumental que permite justificar y validar afirmaciones o

justificaciones, pese a su poco trabajo con situaciones problema de este tipo,

estableciendo que abordar este tipo de problemas en el aula de clase motiva el trabajo

de los estudiantes y favorece el desarrollo en su madurez matemática.

Cabe aclarar que el trabajo en grupo favorece la concepción de formular y justificar

conjeturas y de esta manera llegar a analizar los argumentos que se generan en la

parte individual, a través del trabajo colectivo.

Por último quisiera mencionar que este tipo de situaciones motivan el comportamiento

argumental de los estudiantes y que por medio de la intervención de una situación

problema, se pueden motivar y construir justificaciones matemáticas que desarrollen el

pensamiento matemático del sujeto y su desenvolvimiento en el aula de clase frente a

distintitos tipos de problemas con su actitud crítica.

Algunas de las reflexiones generadas en las pruebas de pilotaje son:

Antes de implementar la situación se podrían establecer algunos conceptos teóricos

que sirvan al grupo resolutor afrontar y definir argumentos válidos a la hora de

trabajar en la situación.



GEOMETRÍA

Aclarar o definir algunas palabras que plantea la situación; por ejemplo; cuña,

canales de riego y matas de arroz, establecer palabras que tengan que ver con su

entorno y se contextualice para ellos.

El gráfico fue esencial para que los estudiantes pudieran plantear ideas y conjeturas

sobre situación.

Uno de los estudiantes llego a plantear que la solución sería la bisectriz, cabe

aclarar que la situación no debe generar soluciones rápidas, por tanto se debe

implementar cuestiones (preguntas).

Se puede llegar a implementar la situación respecto a Geogebra, es decir, brindar

una solución al problema con el software, ya que para ellos se facilitaría más que en

el cuaderno.

3.6 Adaptación e implementación de la situación problema

Al adoptar la investigación de carácter cualitativo como enfoque teórico y metodológico,

es necesario reconocer el contexto en el que se desenvuelve el estudiante, con el fin de

que las situaciones problema que se propongan sean creíbles, lógicas y permitan

acciones de los mismos para darles solución; en este caso, el contexto de la población

estudiada es fundamental, ya que se indagará y describirá textualmente lo sucedido en

los momentos de resolución de problemas al demostrar geométricamente.

La investigación se llevó a cabo en la IED HERNADO DURÁN DUSSAN que se

encuentra ubicada en la localidad de Bosa, específicamente en la parte occidental

barrio porvenir I, cuenta con aproximadamente con 800 estudiantes en la jornada

mañana; es de carácter mixto y naturaleza oficial, imparte una educación integral

fundamentada en los valores. La población a investigar es el grupo de grado Noveno

que lo integran 42 estudiantes, que viven en las zonas fronterizas a la institución,



GEOMETRÍA

dependen económicamente del sustento de sus padres. Sus edades oscilan entre los

14 y 16 años.

3.7 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos

Las técnicas de recolección de la información fue la observación, teniendo en cuenta

que la prueba pilotaje arrojo los resultados esperados para abordar los diferentes

mecanismos de indagación, por tal motivo se usaron de nuevo dispositivos mecánicos

(videograbación), estableciendo un registro fílmico de los diversos aspectos y sujetos

observados, esto teniendo en cuenta que con anterioridad se generó la información a

los estudiantes involucrados; por ello fue importante tener en cuenta algunos

estándares técnicos y logísticos, como los insumos que se iban a necesitar, permisos

que se debían tener en cuenta y la planeación de la misma grabación.

3.7.1 Observación de la aplicación del instrumento. Esta fue estructurada y

participante ya que de antemano existen unas categorías de análisis predeterminadas

(Modelo argumentativo de Toulmin), por tanto se prepararon los instrumentos teniendo

en cuenta variables que podrían surgir en la aplicación de los instrumentos y el

desarrollo de la situación problema por parte de los estudiantes.

Para recolectar información se usarán los registros audiovisuales como instrumento,

pues permiten captar hechos en el acto, recoge muchos aspectos de la interacción

social y cultural de los sujetos; esta técnica es un método que toma una mirada de los

fenómenos, acciones, procesos, situaciones y el dinamismo de un grupo resolutor.

3.7.2 Registros de la aplicación del instrumento. La situación problema presentada

a los estudiantes permitirá que pongan en juego su creatividad para diseñar y crear; por

lo que se hace indispensable obtener datos a través de los archivos, cálculos o

registros elaborados por el estudiante, por tanto cada integrante del grupo llevará un



GEOMETRÍA

cuaderno resolutor (Carpeta); en el que consignará cada proceso, argumento, idea,

duda, etc. que surja durante todo el proceso demostrativo; el objetivo de ello es que no

se pierda ninguna afirmación, argumento, justificación o pregunta, que se genere en el

proceso demostrativo.

Cabe aclarar que las dos primeras sesiones se realizaron de manera individual,

mientras el estudiante identificaba la situación y se apropiaba del trabajo con la

situación, durante las siguientes cuatro sesiones se desarrolló la actividad en forma

grupal teniendo en cuenta los resultados arrojados en la prueba pilotaje, en la que se

mencionaba que la producción argumental y discursiva de los estudiantes emergía en

mayor producción al trabajar en equipos.

3.8 Aplicación de instrumentos

En este apartado se darán a conocer los requerimientos técnicos y las especificaciones

que se tuvieron en cuenta para realizar el proceso de grabación determinando algunas

exigencias para la misma.

3.8.1 Requerimientos técnicos. Al realizar un proceso de grabación es importante

contar con una cámara y batería requerida, es clave optar por baterías de repuesto o el

sistema de carga anexo para no interrumpir un proceso de grabación que ya se haya

iniciado, no olvidar tener el cable o dispositivo para descargar la información y un

trípode que mantenga la cámara donde se quiere destacar el proceso de estudiante,

para así garantizar la calidad de la grabación, teniendo en cuenta que lo importante era

observar no solo el trabajo del estudiante con la situación, sino la manera en que

generaba justificaciones e ideas para desarrollar la misma y de esta forma identificar la

forma en que imponía su discurso.



GEOMETRÍA

Otro de los principales requerimientos son los documentos legales esenciales para

realizar la grabación; la carta de presentación al colegio para llevar a cabo la

investigación donde se destaque el objetivo de la misma, los intereses como

investigador y los aportes a la institución donde se implementara la investigación.

Además del formato de aceptación de registros fílmicos por cada estudiante, donde

acepten ser grabados y especificando que estos registros serán usados para la

reflexión y el desarrollo del proceso investigativo, y por ningún motivo se usaran para

fines diferentes a lo académico garantizando la seguridad y confidencialidad del

material que será de uso exclusivo, por ultimo tener en cuenta algunos avisos de

grabación que brinden información a los demás entidades de la institución y contribuya

a que no hayan interrupciones en la misma.

3.8.2 Proceso de grabación. Al asistir a la institución el primer paso que se tuvo en

cuenta fue la preparación de los equipos, para ello se identificó la ubicación del docente

y el sitio donde se iba a ubicar la cámara; un segundo paso fue la revisión de las

autorizaciones de grabación por cada estudiante, esto para tener en cuenta que

estudiantes pueden ser grabados y ubicarlos de manera especial en el aula de clase.

Por último organizar y entregar los instrumentos que van a necesitar los estudiantes

para la realización del proceso de resolución de problemas teniendo en cuenta que los

registros se realizaran en un cuaderno resolutor (Carpeta previamente elaborada)

donde se plasmaran las evidencias a nivel individual y grupal.

Se planteó un protocolo que organizó la sesión de grabación, el primer momento fue

saludar al grupo de estudiantes y al docente, esto para garantizar que los estudiantes

no se sintieran intimidados por la cámara y en cierta prevención para que los mismos

no se cohíban con la resolución de la situación problema explicando que todos los

procesos con lápiz y papel debían quedar registrados en el cuaderno resolutor; además

aclarando que los estudiantes que no cuenten con el consentimiento de aceptación de



GEOMETRÍA

la grabación debían ubicarse en lugar dentro del aula de clase en el que no sean

captados por la cámara.

Posteriormente se tuvo en cuenta que la ubicación de la cámara tomará a un grupo

específico para el trabajo teniendo en cuenta los criterios hallados en la prueba pilotaje

y así brindar mejores insumos para el análisis de la información, por último se apagaron

algunos ventiladores que interferían con el sonido de la grabación

Cabe aclarar que antes de iniciar la grabación de los estudiantes se realizó un video

corto para revisar la calidad del video y el funcionamiento de la cámara, además ya se

había comprobado la manera de descargar los videos por medio de la memoria en

formato SD.

La grabación se desarrolló en tres momentos, primero un testimonio introductorio, luego

la grabación de la clase y por ultimo un testimonio de cierre. Durante este momento el

docente presentó una breve reflexión de la clase que acaba de ser grabada, realizando

un análisis crítico de esta y explicando que se podría mejorar para las próximas

sesiones y brindando la culminación del trabajo por este día.

3.9 Descripción de la situación problema adaptada

Es importante aclarar que los instrumentos que tenían los estudiantes fueron carpetas

en forma individual, dentro de ellas se planteaban preguntas orientadores y la situación

problema con su respectiva gráfica, a continuación se presenta la situación modificada

en la figura 8, después de la implementación en la prueba pilotaje y con los cambios

ejercidos por la prueba pilotaje:



GEOMETRÍA

Uno de los terrenos en la finca de don Gustavo tiene forma de triángulo equilátero,

bordeado por dos canales de riego. Él quiere sembrar plantas de arroz de tal forma que

la distancia de cada planta a cada canal sea la misma

Figura 8. Nueva representación de la situación

Las preguntas orientadoras a la situación son:

¿Dónde se podría llegar a sembrar las plantas? (Ten en cuenta el gráfico)

¿Cuántas plantas de arroz se pueden sembrar?

¿Cómo podría describirle a Don Gustavo el sitio donde debe sembrar las plantas?

(Ten en cuenta el gráfico)

Ahora bien, dichas preguntas orientadoras las tenían los instrumentos entregados, pero

antes de la implementación la función del investigador era tener en cuenta las

diferentes respuestas que los estudiantes podían realizar, por tanto cada pregunta tenia

variables que se establecieron para desarrollar un verdadero proceso de resolución de

problemas, para lo cual en este caso el investigador que cumplía con la función del

docente debía brindar al estudiante la manera de abordar la situación sin llegar afectar

o inmiscuirse en el proceso de resolución de los mismos.

3.9.1 Descripción de la aplicación de la situación. Al aplicar el instrumento se tuvo

en cuenta un protocolo que evidenció algunas preguntas que podían surgir a partir de

las tres preguntas orientadoras planteadas, cabe aclarar que estas preguntas



GEOMETRÍA

emergentes surgieron al mismo instante de iniciar la grabación y además todas estaban

encaminadas a dar cuenta de la pregunta de investigación planteada en la propuesta.

Para la primera pregunta ¿Dónde se pueden sembrar las plantas?, se determinó que el

estudiante efectuaría o daría a conocer una ubicación dentro del instrumento en donde

podría sembrar las plantas Don Gustavo, en dicho momento surgieron preguntas

emergentes que motivaron el trabajo, tales como; ¿Por qué ahí?, ¿Cómo se puede

garantizar que ese es el sitio?, ¿En A se puede sembrar?, ¿En B se puede sembrar? y

¿En C se puede sembrar? (Ver figura 9), dichas preguntas generaron en los

estudiantes motivación por continuar trabajando en la situación, ya que se dieron

cuenta que no tenían la verdad exacta, además se dieron cuenta que debían tener unas

razones y justificaciones por las cuales podrían determinar el sitio donde se podían

sembrar las plantas.

Figura 9. Gráfica de las preguntas emergentes

Para la segunda cuestión ¿Cuántas plantas de arroz se pueden sembrar?, se planteó

un ejemplo adicional deformando la figura y cuando fuese posible cerrarla, obviamente

dependiendo del trabajo definido por el grupo resolutor. Las preguntas que surgieron

fueron ¿La cantidad de plantas es infinita? y ¿Qué pasaría si la finca es infinita?, en

este momento los estudiantes empezaban a determinar medidas para las plantas,

estableciendo análisis como “si las plantas miden 3 cm, cabrían 15 plantas, pero si las



GEOMETRÍA

plantas miden 1 cm cabrían 45 plantas”; pero además llegaron a definir que la finca

nunca podría llegar a ser infinita porque debía tener algunos límites.

Para la última cuestión ¿Cómo podría describirle a Don Gustavo el sitio dónde debe

sembrar las plantas?, los estudiantes ya habían realizado un proceso de solución de las

mismas, lo cual facilitó que pudiesen describir de manera detallada el sitio dónde se

ubicarían las plantas, la pregunta que surgió fue ¿Qué medidas le van a dar a don

Gustavo?, esto teniendo en cuenta que los grupos empezaron a tomar medidas para

describir de manera detallada la finca de Don Gustavo y el sitio dónde se iban a ubicar

las plantas.



GEOMETRÍA

Capítulo 4

Organización y análisis de los datos

4.1 Organización de los datos

Siendo el énfasis de la actual investigación la caracterización de la actividad

argumentativa de los estudiantes como un proceso evolutivo que se da cuando éstos se

involucran en la resolución de situaciones problema; y la producción de argumentos

aspecto esencial de la misma, se hace necesario hablar de un objeto mental específico

de la matemática, que de manera intencional se encontrará ligado a la misma situación

problema llevada al aula. Dicho objeto mental es el de la “bisectriz”.

Es necesario aclarar que el análisis de los datos obtenidos desde los esquemas

argumentativos de los estudiantes al abordar la situación, se realizará por medio de los

análisis hacia estructuras básicas de argumentación y las producciones de los

estudiantes; es decir, se analizan los procesos de los estudiantes en los que el

investigador nota que se hace uso de los elementos del argumento planteados en la

teoría de Toulmin (1958) esto tiene por objetivo involucrar al estudiante con la situación

problema.

Además reconocer los conceptos matemáticos que ponen en juego para proponer

posibles soluciones iniciales e individuales al problema y de manera enfática dirigir su

atención a la “bisectriz de un ángulo” como objeto mental a constituir, que será el que

organice las estructuras que los estudiantes exploren y aborden en la solución de cada

una de las preguntas orientadoras.



GEOMETRÍA

Por otra parte tiene por objetivo hacer que los estudiantes se concienticen de las

características y propiedades geométricas que arroja la situación, esto teniendo en

cuenta que utilicen propiedades básicas; aunque no las contextualicen con las

definiciones exactas, pero sí a través de sus propiedades y su reconocimiento o

utilización.

Siendo el objetivo de esta investigación la de caracterizar y analizar los esquemas

argumentativos que surgen en la interacción entre los estudiantes alrededor de una

situación problema, se hace necesario explicar que Toulmin reconoce el argumento en

dos sentidos opuestos pero no contradictorios, el primero como “una actividad central

de dar razones a favor de una pretensión, que de algún modo muestra el razonamiento

de una persona” (Toulmin et al., 1984, p. 14).

Los esquemas argumentativos pueden surgir como producto de un análisis y reflexión

personal; sin embargo, para esta investigación se trabaja con la segunda concepción de

argumento del mismo autor; es decir, el de las disputas argumentativas, siendo estas

las “interacciones humanas a través de las cuales se formulan, debaten y/o se da vuelta

a los esquemas de razonamiento a la hora de apoyar una pretensión” (Toulmin et al.,

1984, p. 15)

A continuación se presenta la producción resultante en la aplicación de la situación

después de que cada grupo propuso su ubicación de las plantas en la finca de Don

Gustavo, donde se sostuvo un debate e inquietudes del sitio donde se deben ubicar las

plantas y a que se denomina igual distancia, obviamente a partir de sus propios

procesos e ideas para llegar a darle una solución a la situación problema.

Cabe aclarar que la sistematización de los datos se estructuró teniendo en cuenta tres

grandes grupos de argumentos, que se estructuraron de la información que desató la

aplicación del instrumento y los aportes que desarrollaron los estudiantes en el camino

de construir la actividad argumentativa.



GEOMETRÍA

4.2 Transcripción de los datos obtenidos

Los estudiantes en sus respectivos grupos realizaron los análisis sobre la situación

problema, enfrentándose a distinguir cada uno de sus términos y especificando en qué

consistían los canales de riego y qué tanto iban a intervenir en la situación. Cada grupo

elaboró un diseño y construcción de la ubicación donde debían estar las plantas, cabe

aclarar que los grupos concertaron un planteamiento y determinaron el sitio específico

donde debían estar las plantas, la principal dificultad de los grupos radicó en determinar

la ubicación de las plantas teniendo en cuenta el enunciado de la situación “la distancia

de cada planta a cada canal sea la misma”, es aquí cuando se plantearon las preguntas

emergentes ¿Por qué ahí?, ¿Cómo se puede garantizar que ese es el sitio?,

estableciendo las siguientes cuestiones:

La planta está ubicada a igual distancia

El terreno de Don Gustavo debe estar cercado o cerrado

Las plantas se pueden ubicar al lado de los canales de riego

Las cantidad de plantas que se pueden colocar son 20

Imagen 2. Algunos diseños de la ubicación de plantas

Como se ve en los diseños y construcciones elaboradas por los estudiantes de cada

grupo en donde deben estar ubicadas las plantas (Ver imagen 2), se evidencia que los

estudiantes se preocupan por obtener una ubicación dentro del rango de los canales, es



GEOMETRÍA

decir; su preocupación principal está en que las plantas queden dentro de los canales

de riego o queden cerca de ellos, sin percatarse del enunciado de la situación para

especificar la ubicación.

La situación problema propuesta ofrece una variedad de estrategias de solución;

permite que los estudiantes muestren sus estrategias e invenciones a otros, genera la

posibilidad de discutir el grado de eficacia de las destrezas usadas. A continuación se

presentan algunos de los gráficos en donde se plantearon distintas soluciones de la

ubicación de las plantas y por tanto se generaron debates, inquietudes y discusiones

entre los grupos, sobre qué gráfico es el más adecuado para indicar en donde debe

sembrar las plantas Don Gustavo.

En está ocasión los grupos coincidieron en que las plantas solo podrían estar ubicada

en el centro del triángulo (Ver imagen 3), ya que es la única manera en que los canales

de riego están a la misma distancia y se percataron de que cada planta debe estar

regada por los dos canales y no como lo planteaba un grupo solamente por uno.

Imagen 3: Diseños que surgen sobre la ubicación de las plantas

Ahora bien, por tal razón todos los esquemas de argumentación encontrados en la

resolución del problema, apuntan a la bisección del ángulo y por tanto a establecer las

justificaciones, afirmaciones y conjeturas por la cuales las plantas de arroz deben estar



GEOMETRÍA

ubicadas en la mitad del triángulo equilátero, para ello se pretende revisar la forma o

formas en que los estudiantes pueden persuadir o convencer al auditorio la manera en

que Don Gustavo puede llegar a sembrar las plantas y así determinar los elementos de

los argumento a la hora de demostrar.

4.3 Estudio de los resultados

Desde los aportes de Toulmin (1958) se determina que en los procesos de

argumentación se habla de criterios de pertinencia y convencimiento del otro y de sí

mismo, el proceso de argumentar está presente en todos los momentos de la actividad

matemática en los que se afirma algo o en los que se quiere garantizar la verdad o

falsedad de ciertas afirmaciones.

El proceso de generar argumentos tiene un carácter social y cobra sentido cuando hay

la necesidad de garantizar la validez de alguna afirmación hecha; se plantea como una

práctica comunicativa que se sustenta en tres principios fundamentales; la

característica discursiva con el objetivo de convencer, la característica de razonar sobre

su discurso y la característica de la convicción personal frente a lo argumentado León et

al. (2001).

El modelo de argumentación que propone Toulmin es una herramienta eficaz para

analizar los argumentos que los estudiantes construyen durante el desarrollo de la

actividad demostrativa. Camargo et al. (2006, p. 19)

Un argumento tiene lugar cuando a partir de unos hechos o datos se elabora una

afirmación y el paso de los datos a la conclusión se denomina garantía y hace

referencia a una regla, norma o principio general; la garantía se sustenta en un grupo

de afirmaciones que hacen parte de un conjunto de contenidos o creencias denominado

respaldo. Las refutaciones o reservas son el conjunto de circunstancias en las cuales el



GEOMETRÍA

garante se podría anular, por tanto, un argumento es un enunciado oral o escrito,

utilizado para convencerse o convencer a otros sobre la veracidad de un hecho

particular Toulmin (2003, p. 92).

Ahora bien, al exponer las justificaciones de los estudiantes, se hacen presentes las

refutaciones de un modelo contra el otro en forma de contrargumentos, los cuales

requieren de un respaldo para aseverarlas, donde el proceso de justificar corresponde a

explicar el razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar los datos.

Según el modelo de Toulmin (1958) este indicador cumple la función de justificar, y bajo

nuestro modelo la validez de las justificaciones contemplan tanto las valoraciones

positivas como negativas (refutar).

A continuación se presenta la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta y

los datos que surgieron en la implementación de los instrumentos, es decir, la

vinculación entre la teoría y la práctica, para ello se construyó la estructura del

argumento desde la vinculación de los datos a dicha estructura.

Figura 10. Estructura de un argumento desde los datos encontrados

Datos Conclusión

Garantía

Respaldo

Determinar el sitio

donde debe estar

ubicadas las plantas

Las plantas se ubican

en el centro de los dos

canales de riego.

“Las plantas se pueden

sembrar a lo largo del canal

de riego para que quede en

la misma distancia”

Se ubican las plantas en la

altura del triángulo

equilátero, es decir, en la

bisectriz de dicho triangulo.



GEOMETRÍA

Dicho esquema en la figura 10 expresa un argumento donde se ponen en juego los

elementos del modelo argumentativo de Toulmin (1958), apoyado en las justificaciones

que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de las matemáticas.

En este sentido se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin es

aplicable en cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al debate y al

diálogo, no solo con el fin de esquematizar la ruta argumentativa de los estudiantes;

sino también de caracterizar las acciones de reflexión sobre la argumentación, qué es

uno de los objetivos de la propuesta.



GEOMETRÍA

4.5 Primer esquema de argumentación construido

4.5.1 Toma de datos de la primera transcripción. Para este punto los diferentes

grupos establecieron ciertos caminos para llegar a responder la situación, en este

sentido el primer grupo planteó la solución a la pregunta afirmando que las plantas de

arroz debían estar en el medio del terreno; para ello se valieron de instrumentos como

reglas y compas; al plantearles las preguntas emergentes se generó la siguiente

conversación y desde allí la estructura de uno de los primeros esquemas de

argumentación del grupo resolutor que contiene los elementos del argumento desde la

propuesta de Toulmin (1958):

Transcripción día 5 de noviembre de 2015

Profesor: ¿Cuál era el objetivo del trabajo?

Estudiante 1: …Teníamos que buscar como sembrar unas plantas de arroz a la misma

distancia para que cayera el riego igual a ambos lados.

Profesor: y… ¿Cómo determino dónde ubicar las plantas?

Estudiante 1: (El estudiante señalando el gráfico)…Yo pensé que era la mitad por la

circunferencia.

Profesor: (Toma el esfero del estudiante y apuntando en una zona fuera de la mitad

señalando) ¿Pero por qué no puede estar ubicada acá la planta?

Estudiante 1: (Vuelve a tomar el esfero y señalando) No puede ser ahí… porque no le

va a llegar la misma cantidad de agua de este lado que la que le va a llegar de

acá. Si me entiende… tiene que estar a la misma distancia y no puede estar ahí,

porque acá si está a la misma distancia.



GEOMETRÍA

Imagen 4. Pregunta del docente al estudiante 1

Profesor: Listo… Me dice que todas las plantas van a estar en la mitad (señalando con

el esfero)… ¿Cómo puedo afirmar que está planta está en la mitad?

Estudiante 1: Por la circunferencia, porque cuando hay un círculo el radio siempre es

igual… ¡o sea! no va a haber un lado desigual, porque el círculo está bien hecho.

Profesor: Explíqueme esto (Señalando a las letras con sus dedos)

Estudiante 1: Esto son los segmentos… ¡o sea! las letras… ¡o sea! La distancia de X y

Y... es la misma que sale de Z… entonces por eso ̅̅ ̅ ̅̅ ̅, ¡O sea! X y Y es

igual a Y y Z (señalando el gráfico)

Imagen 5. Escritura sobre segmentos iguales estudiante 1

Profesor: ¡Bien!



GEOMETRÍA

A continuación se presenta la interpretación de la producción del estudiante al

involucrarse en la situación y después de sostener un debate ante el auditorio se

generaron inquietudes como; el sitio dónde se deben ubicar las plantas, de qué manera

se pueden determinar las distancias iguales y el método que utilizó para interpretar la

situación.

Ahora bien, desde la postura planteada por el estudiante intenta resolver la situación a

partir de generar razones y justificaciones por las cuales las plantas deben estar

ubicadas en medio de los canales; de esta manera genera un procedimiento en el que

intenta dar cuenta de un argumento que forje validez y veracidad para incurrir ante un

auditorio y así evidenciar el método para dar solución a la situación problema y además

brindar un camino que llegue a enfocar el análisis desde los argumentos matemáticos.

Es claro precisar que aunque el estudiante no este especificando contenidos y

definiciones matemáticas formales, si está determinando contenidos emergentes en la

actividad matemática, es decir, llega a generar el objeto mental matemático desde sus

propias palabras y procesos, estableciendo coherencia entre lo trabajado en la

resolución de la situación y la actividad argumentativa que se pretendía rescatar al

demostrar geométricamente.

4.5.2 Primer esquema de argumentación. Como se observa en el trabajo realizado

por el estudiante Nº1 (Ver figura 11) al querer determinar dónde deben estar ubicadas

las plantas, se evidencia que este se inquieta por obtener una ubicación dentro del

rango de los canales, es decir; su preocupación principal consiste en que las plantas

queden dentro de los canales o queden cerca de ellos y de esta manera ser alcanzadas

por el riego.

La situación problema ofrece una variedad de estrategias de solución; permite que el

estudiante genere supuestos, ideas e hipótesis respecto a la manera de dar solución a

la misma; en este caso decide implementar la circunferencia como contenido



GEOMETRÍA

matemático que genere sustento para afirmar dónde deber estar ubicadas las plantas y

además dicho contenido sirve para garantizar y dar validez a las expresiones

planteadas durante su discurso.

A continuación se presenta la articulación de la propuesta de Toulmin (1958) respecto a

las evidencias que surgieron por parte del estudiante, de sus afirmaciones y razones se

generó el siguiente esquema qué representa el argumento emitido por el estudiante

para convencer al docente de la solución propuesta para la situación.

Cabe mencionar que dicho proceso se realizó de manera individual y se consolidó

como la solución de un estudiante y su proceso de experimentación con la situación,

posterior a ello socializó dicha solución y por tanto algunos de sus compañeros tomaron

como óptima la respuesta y decidieron hacer uso de ella.

Figura 11. Esquema de argumentación estudiante 1



GEOMETRÍA

4.5.3 Análisis del primer esquema. Teniendo en cuenta la estructura de la figura 11 y

la evidencia de algunos elementos constitutivos del argumento, además de la ruta

argumentativa que sigue el estudiante para dar cuenta de las razones por las cuales

determinó que las plantas debían estar ubicadas en un sitio específico; se válida la

pretensión inicial de la investigación sobre indagar a los esquemas de argumentación

que emergen en los estudiantes al enfrentarse a una situación problema, estableciendo

futuras conclusiones en donde se consolida el reconocimiento de los elementos del

argumento.

Como se observa en el esquema argumentativo se contemplan los elementos de todo

modelo de argumentación de Toulmin (1958); en el que el estudiante expone sus

diseños en forma de dato, estableciendo que es lo que le pide la situación y lo que

plantea o expone su enunciado, es decir, se sustenta de los hechos específicos de la

situación misma, estableciendo que el dato debe surgir de la situación expuesta o de lo

que pretenda realizar el estudiante al abordar dicha situación, en su declaración (E1)

“teníamos que buscar como sembrar unas plantas de arroz a la misma distancia para

que cayera el riego igual a ambos lados…”, es aquí donde empiezan a entrar en juego

las garantías que apoyan y le dan validez a las razones y justificaciones de los

estudiantes; la garantía está expuesta en la manera en que el estudiante llega a

determinar que la única manera que cumple con las condiciones de estar a igual

distancia de ambos canales es ubicar las plantas en el vértice del triángulo y sobre la

línea que divida a este.

Estableciendo que de esta forma ambos canales riegan las plantas y determinando que

el sitio donde deben estar ubicadas sería la altura del triángulo, que en términos

matemáticos seria la bisectriz del triángulo equilátero, que en palabras de Toulmin se

determina como la representación de un enunciado que permite el paso del dato a las

conclusión, en este caso estamos hablando de una regla deducida por experiencia de

trabajar en la situación e intentar darle una solución (proceso de experimentación).



GEOMETRÍA

Ahora bien, al exponer las justificaciones del estudiante se hace presente el respaldo

para aseverar y validar la garantía establecida, donde el proceso de justificar

corresponde a explicar el razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar

los datos. Según el modelo de Toulmin (2003) este indicador cumple con la función de

justificar, y bajo nuestro patrón la validez de las justificaciones contempla tanto las

valoraciones positivas como negativas, por tanto se determina que dicho respaldo surge

de un teorema, ley o enunciado, en este caso el estudiante establece la propiedad de la

circunferencia en que todo radio va a ser igual al otro o en sus propias palabras

“...Porque cuando hay un círculo, el radio siempre es igual…” y por tanto puede validar

la garantía desde un argumento matemático.

Es por ello que podemos afirmar que la conclusión se puede validar desde los

razonamientos establecidos por el estudiante, claro está que dicha conclusión se debe

generar cuando el estudiante exponga ante el auditorio (docente) el argumento

establecido, ya sea en forma gráfica o verbal.

Se presentó la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta y los datos que

surgieron en la implementación del instrumento, es decir, la vinculación entre la teoría y

la práctica, para ello se construyó la estructura del argumento desde la vinculación de

los datos a dicha estructura y de los razonamientos que surgieron del estudiante al

enfrentarse a la situación problema.

Dicho esquema (Ver figura 12) expresa un argumento donde se ponen en juego los


que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de las matemáticas por

parte de un estudiante.



GEOMETRÍA

Figura 12. Interpretación del esquema de argumentación estudiante 1

En este sentido se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin (1958)

es aplicable en cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al debate y al

diálogo, no solo con el fin de esquematizar la ruta argumentativa de los estudiantes;

sino además caracterizar las acciones de reflexión sobre la argumentación y su proceso

de solución al enfrentarse a una actividad matemática.

De esta manera a continuación se presentará la interpretación de un nuevo esquema

de argumentación que plantearon los estudiantes, dicha interpretación nace de la

función del investigador y busca establecer los criterios de relación desde la

implementación y el trabajo con los nuevos esquemas.

4.6 Segundo esquema de argumentación construido

4.6.1 Toma de datos de la segunda transcripción. En esta ocasión los diferentes

grupos se dividieron, empezando a entrevistar y a dialogar con los estudiantes de



GEOMETRÍA

manera individual; teniendo en cuenta que ya habían establecido ciertos caminos para

llegar a responder la situación, por tanto se pretendía caracterizar dicha solución

estableciendo no solo la videograbación del proceso de resolución, sino generar un

dialogo en el que los estudiantes involucrados determinarán y justificarán la solución al

problema.

En este sentido los grupos resolutores aseveraron que las plantas de arroz debían estar

en el medio; esto por medio de la división de los ángulos y teniendo en cuenta que la

finca tenia forma de triángulo equilátero, al plantear las preguntas emergentes se

generó la siguiente conversación y desde allí la estructura al segundo esquema de

argumentación de las estudiantes 2 y 3 que contiene los elementos del argumento de

Toulmin (1958) desde su propuesta de solución:


Profesor: Ehhhhh !!! Listo muchachas entonces ustedes lo que están haciendo primero

es… ya hicieron la lectura de la situación y la primera tarea dice ¿Dónde se

pueden sembrar las plantas? ¿Qué encontraron?

Estudiante 2: …Pues encontramos que las plantas las podemos sembrar en la

intersección de dónde (Señalando con el esfero)… o sea de la línea…

Estudiante 3: La intersección de los dos canales ehhhh !!! Dejando 25cm del canal a la

primera planta… ehhh ¿Cómo sabemos que está a la misma distancia?, pues

aquí hicimos un paralelogramo (Apunta con su dedo la construcción) que explica

que todos sus lados son iguales entonces aquí es igual y aquí también; hicimos

estas líneas… para así dar a entender que tienen la misma distancia todas las

plantas.

Estudiante 2: Pero pues aquí para poder saber cuál era la mitad primero tuvimos en

cuenta el ángulo (Señalando con el esfero), o sea dependiendo del ángulo

pudimos trazar esta línea y así saber que aquí podíamos sembrar las plantas.

Profesor: ¿Por qué dependiente del ángulo?, perdón.



GEOMETRÍA

Estudiante 3: … Pues porque llegamos a la conclusión de que el terreno, que si es un

triángulo equilátero sus tres lados son iguales por la suma de los ángulos…

entonces por eso fue que tuvimos en cuenta eso.

Profesor: Y ¿Cuánto mide ese ángulo?

Estudiante 3: Pues si son la suma de los tres ángulos 60

Estudiante 2: 60

Estudiante 3: … Entonces la mitad seria 30, 30 aquí y 30 aquí (Señala con el esfero

indicando las regiones divididas)

Imagen 6. División del ángulo del triángulo equilátero

Profesor: Listo…Bien

Posterior a la conversación con las estudiantes se presenta el análisis de la producción

resultante al involucrarse en la situación, ya que al indagar sobre el lugar dónde

decidieron sembrar las plantas de Don Gustavo y al responder las preguntas

emergentes surge la noción de dividir los ángulos de la finca, esto teniendo en cuenta

que se trabajaba desde un triángulo equilátero que cumple con ciertas características y

propiedades que enriquecieron la solución de las estudiantes, además de establecer



GEOMETRÍA

una estructura argumental que presenta todos los elementos del argumento propuesto

por Toulmin (1958).

Ahora bien, desde el trabajo de las estudiantes se estipula que intentan resolver la

situación a partir de la división de un ángulo en dos partes iguales y comenzando con

generar razones, justificaciones y comentarios que conciban la validez y veracidad para

incurrir ante un auditorio en este caso el docente y su grupo de compañeros.

Cabe mencionar que en esta ocasión se preocupan por establecer ciertas

justificaciones que sustenten el trabajo realizado, además de evidenciar una solución

que emergió en las posibilidades de solución de la prueba pilotaje y las variables que se

plantearon podrían llegar a surgir al enfrentarse ante la situación problema, es

importante aclarar y comentar que las estudiantes de nuevo no utilizan contenidos

matemáticos formales, ni las definiciones específicas de cada uno, aunque recurran a

la interpretación y utilización de los contenidos generando el objeto mental matemático

desde sus propias palabras y procesos; por ende reconocen los contenidos

matemáticos desde sus propias palabras, solución y aplicación de los contenidos.

4.6.2 Segundo esquema de argumentación. Como se observa en la conversación

transcrita por las estudiantes 2 y 3 y en la figura 13 empiezan a generar preguntas y

evidencias de como aseverar que las plantas están a la misma distancia, cabe aclarar

que esta pregunta nace del mismo grupo resolutor y al realizar la entrevista se hace

evidente “… ¿Cómo sabemos que están a la misma distancia?...”, estableciendo los

primeros aportes desde la resolución de la situación llegando a generar nuevas

preguntas que benefician la resolución de la situación desde cuestiones que surgen de

la misma, evidenciando nuevamente su preocupación por determinar que las plantas

queden dentro de los canales de riego y su ubicación cumpla con una característica

específica de estar a igual distancia.



GEOMETRÍA

En este esquema se ofrece una estrategia de solución que permite generar ideas e

hipótesis respecto a la manera de dar solución a las preguntas que surgen al interpretar

la situación problema; en este caso deciden implementar la división de los ángulos y

desde allí generar una serie de conceptos que aunque no se establezcan de manera

formal, sí hacen alusión a ellos como la bisección o bisectriz del ángulo, esto porque se

atreven a mencionar que para poder ubicar las plantas y determinar que están a la

misma distancia deben dividir el ángulo en dos partes iguales, y conociendo la medida

del ángulo por ser un triángulo equilátero, recurren a la bisección del mismo, además

que dicho contenido sirve para garantizar y dar validez a las expresiones planteadas

durante su discurso.


las evidencias que surgieron por parte de las estudiantes, de sus afirmaciones y

razones se generó el siguiente esquema que representa su argumento emitido para

convencer al docente y a sus compañeros de grupo de la solución planteada para la

situación, pero no puede quedar de lado que estas se plantean nuevas cuestiones a

partir de la situación; es decir al leer la situación problema indagan por recurrir a lo que

busca la misma y se atreven a crear sus propias preguntas para llegar a dar solución a

la misma.



GEOMETRÍA

Figura 13. Esquema de argumentación estudiantes 2 y 3

4.6.3 Análisis del segundo esquema. Teniendo en cuenta la estructura de la figura 13

y ya que se evidenciaron los elementos constitutivos del argumento y la ruta

argumentativa que siguen las estudiantes para dar cuenta de las razones por las cuales

determinaron que las plantas debían estar ubicadas en un sitio específico, además de

estar a la misma distancia de los canales; a continuación se pretende enumerar dichos

elementos y especificar las razones por las que cada uno es constitutivo de la

propuesta de Toulmin (2003).

Desde dicho esquema se pueden observar las características que cumple cada

elemento del argumento de la propuesta de Toulmin (1958) y contrastarla con las

evidencias resultantes de la interpretación y resultados que se generaron al plantear la

solución a la situación; en este ocasión el dato se establece como lo que pide la

situación, lo que plantea y expone su enunciado, pero en este esquema las estudiantes

¿Cómo sabemos que están a la

misma distancia?

…Pues porque llegamos a la

conclusión de que el terreno

que si es un triángulo

equilátero sus tres lados son

iguales por la suma de los

ángulos

Pues si son la suma de los tres ángulos 60

… Entonces la mitad seria 30, 30 aquí y 30 aquí

…Pero pues aquí para poder

saber cuál era la mitad primero

tuvimos en cuenta el ángulo,

ósea dependiendo del ángulo

pudimos trazar esta línea y así

saber que aquí podíamos

sembrar las plantas.

Dato Conclusión

Garantía

Respaldo

Lados y ángulos

de un triángulo

equilátero



GEOMETRÍA

son quienes plantean su propio dato, ya que sugieren plantear su propia pregunta para

dar solución a la situación, en este caso manifiestan “…¿Cómo sabemos que están a la

misma distancia?...”; generando desde sus propias palabras la pregunta que llegue a

dar solución a la situación o desde donde se debe partir para dar cuenta de la misma,

estableciendo que el dato debe surgir de la situación expuesta o de lo que pretenda

realizar el estudiante al abordar dicha situación.

Posterior a ello empiezan a entrar en juego las garantías que apoyan y le dan validez a

las razones y justificaciones de las estudiantes; la garantía se expone en la manera en

que estas llegan a determinar que la finca tenía forma de triángulo equilátero y desde

allí recurren a utilizar las características del mismo para llegar a plantear que por ser

triángulo equilátero no solamente tendrá sus tres lados iguales, sino además sus tres

ángulos; es más desde allí llegan a mencionar que los ángulos medirán exactamente

sesenta grados (60°) y se contrasta con la teoría ya que en palabras de Toulmin se

determina como la representación de un enunciado que permite el paso del dato a las

conclusión, que en sus propias palabras lo definen como “…el terreno que si es un

triángulo equilátero sus tres lados son iguales por la suma de sus ángulos…” en este

caso estamos hablando de una regla básica y formal de las matemáticas en la que todo

triángulo equilátero tendrá sus tres lados y tres ángulos iguales, pero dicha regla se

asume como una característica general de un objeto formal y por tanto recurren a

encontrar las características matemáticas para centrar la solución de la situación.

Ahora bien, al exponer las justificaciones se hace presente el respaldo para aseverar y

validar la garantía establecida donde el proceso de justificar corresponde a explicar el

razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar los datos. Según el

modelo de Toulmin (1958) este indicador cumple la función de justificar, por tanto se

determina que dicho respaldo surge de un teorema, ley o enunciado, en este caso el

estudiante establece las propiedades y características del triángulo equilátero que tiene

por su construcción ángulos de 60° y al dividir dicho ángulo en dos partes iguales se

establecen nuevos ángulos de 30°, por tanto pueden validar la garantía desde un



GEOMETRÍA

argumento matemático, que en su producción se determinó “pues si son la suma de los

tres ángulos 60,.. Entonces la mitad seria 30, 30 aquí y 30 aquí”; y es por ello que se

puede afirmar que la conclusión se puede validar desde los razonamientos establecidos

por las estudiantes.

Claro está que dicha conclusión se debe generar cuando expongan ante el auditorio

(docente y compañeros de clase) el argumento establecido ya sea en forma gráfica o

verbal, en esta ocasión se limitan a presentar la representación gráfica de la división del

ángulo en dos partes iguales y desde allí la construcción de una línea que divide dicho

ángulo, estableciendo que es allí donde se puede llegar a sembrar las plantas, pero los

más importante es que desde esta misma postura le dan solución a la pregunta que se

plantearon al generar el dato del argumento, afirmando que en dicha línea que divida el

terreno es donde las plantas cumplirán con la característica de estar a igual distancia de

ambos canales.



la práctica, construyendo la estructura del argumento desde las justificaciones, ideas e

interpretaciones de las estudiantes hacia la situación problema.

Dicho esquema (Ver figura 14) expresa un argumento donde se ponen en juego los

elementos del modelo argumentativo de Toulmin (2003), apoyado en las

interpretaciones que el investigador le da a la estructura argumental que plantean, y con

ello se pretende caracterizar dicho esquema desde los que busca reconocer cada

elemento del argumento.



GEOMETRÍA

Figura 14. Interpretación del esquema de argumentación estudiantes 2 y 3

En este sentido se pone de nuevo de manifiesto que el modelo argumentativo de

Toulmin (1958) es aplicable en cualquier espacio abierto a la disertación, al debate y al

diálogo; y de esta manera caracterizar las acciones de reflexión sobre los elementos del

argumento que al contrastarlos con el primer esquema de argumentación construido se

presentan ciertas relaciones respecto a los datos y la garantía estableciendo que estos

tienen ciertas particularidades y se pueden presentar de ciertas formas específicas.

4.7 Tercer esquema de argumentación construido

4.7.1 Toma de datos de la tercera transcripción. Teniendo en cuenta el

planteamiento de la estructura de los argumentos anteriores, en esta ocasión se

pretende dar a conocer una nueva estructura de argumento que surgió de la producción

de los estudiantes. Cabe aclarar que en esta ocasión se entrevistó solamente a la

estudiante, esto teniendo en cuenta los procesos escritos que había desarrollado,

obviamente desde las posturas y estrategias de solución que partieron a través del



GEOMETRÍA

grupo resolutor, lo que se pretende es evidenciar la justificación que puede establecer

la estudiante para incurrir y validar su propuesta de solución ante el auditorio en este

caso el docente y su grupo de compañeros, por tal razón se requiere indagar sobre las

justificaciones que planteó la estudiante y de esta manera contribuir a generar un

argumento desde sus razonamientos con la resolución del problema.

Al plantear las cuestiones emergentes de cada pregunta establecida para la situación

se generó la siguiente conversación y desde allí la estructura del tercer esquema de

argumentación dónde se retoman todos los elementos del argumento que se plantean

en la propuesta de Toulmin (1958).


Profesor: Una pregunta que digamos me surge respecto a lo que estaban haciendo en

el caso anterior. Ustedes tienen por ejemplo esa matica A (Marcando con el

esfero), esa matica ¿Se puede sembrar o no se puede sembrar?

Estudiante 4: ¡No se puede sembrar!

Profesor: ¿Por qué no se puede sembrar?

Estudiante 4: ¡Porque no está a la misma distancia de los canales!

Profesor: …Y cómo garantizamos eso, yo puedo decir ¡mire! yo soy medio bizco y me

parece que sí !!!!

Estudiante 4: No, porque nosotros lo podemos garantizar midiendo de acá. O sea de

esta raya que cruzamos acá, medimos sí, de aquí a acá… Entonces sólo se

pueden sembrar acá, ¿Por qué?, porque aquí ya no está cumpliendo la regla de

que de que está a la misma distancia de los canales.

Profesor: De dónde a dónde medirías esa planta, esa planta hasta donde, o sea solo

teniendo en cuenta la planta ¿A dónde la medirías, hasta donde llevarías el

metro para medirla?



GEOMETRÍA

Estudiante 4: Pues del centro hasta la planta, del centro ¿Por qué? porque ellos están

sembrando las plantas… Entonces tomamos la medida desde la planta al canal,

entonces aquí (Señalando el lugar con el dedo) de la planta al canal ya no mide

lo mismo, entonces del centro acá.

Profesor: Ahhh ok, o sea la primer medida sería desde acá y en línea recta hasta el

canal (Señalando en la figura con el dedo), o sea hasta este punto llámemolo

punto P… listo y de ¿Dónde tomaría la otra medida para compararla?

Estudiante 4: De este punto a la planta (Señala la figura), o sea digamos que este es

como el punto donde se cierra, ya donde termina la finca y pues la raya que

cruzamos o como el sendero que sigue.

Profesor: ¡El surco!

Estudiante 4: ¡El surco que hicimos!

Profesor: Listo…llamemos este punto S de surco, si la distancia entre surco y la planta,

son ¡no se! cinco metros y de la planta al canal otros cinco metros, o sea son

iguales, ¿Está planta se puede sembrar?

Estudiante 4: ¡No!

Profesor: ¿Por qué no?

Estudiante 4: Porque la regla dice que es del surco al canal… Entonces la planta no

está en el surco si no está en otro punto X y no cumple la regla.

Profesor: O sea estas comparando dos distancias, las distancias de la planta a este

canal y la distancia de esa planta al otro canal, ya tome esta distancia como

tomo la distancia a este canal, o sea ¿De dónde a dónde?

Estudiante 4: De… digamos de aquí, podemos medir hasta acá, medimos de la

intersección a este punto que sería más o menos el punto P y lo mediríamos la

planta de acá (Señala la figura subrayada)



GEOMETRÍA

Imagen 7. Construcción de paralelogramos y sus lados iguales

Profesor: Traza ahí la línea y miramos ahí claramente… listo. Y ahí ya podemos ver

cuál de las dos es más grande y por tanto no las sembrarías.

Profesor: Ehhh!!! Tú decías acá que para garantizar las distancias tenía que ser con el

paralelogramo, entonces tú ibas armando artos paralelogramos unos más

pequeños y más pequeños y siempre garantizando que los lados sean iguales. O

sea que si no se formará un paralelogramo no se podría encontrar este.

Imagen 8. Construcción final de los paralelogramos

Estudiante 4: Ehhh!!!Pues de poder se puede. Pero para estar más seguro y tener

como…algo en que sostener se haría un paralelogramo.



GEOMETRÍA

A continuación se presenta el análisis de la estudiante al involucrarse en la situación

después de sostener un debate e inquietudes del sitio donde se deben ubicar las

plantas, de qué manera se puede determinar porque el sitio donde se siembran las

plantas tienen distancias iguales y el método que utilizó para interpretar la situación,

destacando de su proceso de resolución el método de la construcción de

paralelogramos para ayudar a Don Gustavo a sembrar sus plantas.

Ahora bien, desde la postura planteada por la estudiante se determina que intenta

resolver la situación a partir de generar razones por las cuales las plantas deben estar

dentro de los canales de riego especialmente en medio de los dos; de esta manera

genera un procedimiento en el que utilizó los paralelogramos como contenido

demostrativo de las distancias iguales para dar cuenta y concebir un argumento que

genere validez y veracidad para incurrir ante el auditorio.

En el caso anterior es el docente quién realizó la entrevista para reconocer el proceso

de resolución de la estudiante y así evidenciar el método para dar solución a la

situación problema, identificando la manera en que sus razones se enlazan no solo

para dar solución a la situación, sino también para explicar al auditorio su método de

solución e intentar persuadirlos para que asuman su posible propuesta de solución

como óptima.

El hecho de entrevistar a la estudiante es una decisión que tomó el investigador

teniendo en cuenta que en la solución de la situación planteada se evidenció un dato

que se podía relacionar con la teoría propuesta y de esta manera llegar a reconocer

cada uno de los elementos que compone un argumento.

La manera en que la estudiante por medio de las preguntas emergentes en la entrevista

responde, genera una mayor validez no solo en sus afirmaciones, sino en las razones

por la cual destaca que la solución planteada es la verdadera y por tanto soluciona la

pregunta que indaga por el lugar dónde se deben ubicar las plantas.



GEOMETRÍA

A continuación se presenta el esquema que se construyó a través de la entrevista,

teniendo en cuenta no solo sus respuestas, sino la manera en que explica la resolución

de la situación, formas y expresiones:

4.7.2 Tercer esquema de argumentación. En la solución planteada por la estudiante

Nº4 (Ver figura 15) al determinar dónde deben estar ubicadas las plantas, la principal

cuestión es justificar que las plantas deben estar dentro de los canales, es decir; señala

que las plantas deben quedar entre los canales de riego o quedar exactamente en el

medio de ellos.

Se presenta la articulación de la propuesta de Toulmin (1958) respecto a las evidencias

que surgieron por parte de la estudiante, de sus afirmaciones y razones se generó el

siguiente esquema que representa el argumento emitido para convencer al docente de

la solución propuesta para la situación; su manera de convencer se enfatiza en explicar

las razones por las cuales su solución es la óptima para garantizar que las plantas

estén ubicadas en un sitio especifico; pero cabe aclarar que al recurrir al contenido y

definición de los paralelogramos la estudiante garantiza dicha cuestión, además recurre

a contenidos previos para dar solución a una nueva situación en este caso la plantas de

la finca de Don Gustavo, estableciendo una red de conceptos enlazados en los que

podría llegar a construir conceptos como la bisectriz teniendo en cuenta las

propiedades y características del mismo.

En esta ocasión se transcribe la producción de la estudiante al responder la entrevista y

por medio del dialogo se enuncia lo declarado y se contrasta con la teoría propuesta

para rescatar los elementos del argumento y de alguna manera llegar a caracterizarlos.



GEOMETRÍA


4.7.2 Análisis del tercer esquema. Teniendo en cuenta dicha estructura en la figura

15 y ya que se evidenciaron los elementos constitutivos del argumento, se determinó

que las plantas debían estar ubicadas en un sitio especifico, por tanto se pretende

mencionar y contrastar la propuesta de Toulmin (1958) con las respuestas de la

entrevista para plantear la solución a la situación, todo esto teniendo en cuenta la figura

17 y las otras dos estructuras que se plantaron en los argumentos anteriores (Ver

figuras 11 y 13).



GEOMETRÍA

En el esquema argumentativo se contemplan los elementos de todo modelo de

argumentación de Toulmin (1958); en el que la estudiante expone sus diseños en forma

de dato estableciendo que es lo que le pide la situación, lo que plantea y expone su

enunciado, es decir, se sustenta de los hechos específicos de la situación misma,

instaurando que el dato debe surgir de la situación expuesta, en este caso la misma

situación le arrojo lo que debía hacer, como se muestra en el siguiente fragmento

“¿Dónde se pueden sembrar las plantas de Don Gustavo?” y desde allí estructuró la

solución a la situación poniendo en juego las garantías que apoyan y le dan validez a

las razones y justificaciones de los estudiantes.

La garantía se establece cuándo la estudiante llega a determinar que para que la planta

cumpla con las características expuestas en la situación de Don Gustavo, está debe

equidistar de ambos canales y con ello podría avalar el sitio específico dónde deben

ubicarse las plantas, que en palabras de Toulmin (2003) se determina como la

representación de un enunciado que permite el paso del dato a la conclusión, en este

caso se habla de una regla deducida por la experiencia de trabajar en la situación e

intentar darle una solución; es decir a través del proceso de experimentación con la

situación se determina la regla que dará paso a dicha conclusión, en su producción (E4)

“…Pues del centro hasta la planta, del centro. Del centro ¿Por qué?, porque ellos están

sembrando las plantas… Entonces tomando la medida desde la planta al canal”, se

establece la toma de distancias iguales desde las plantas a los canales (Ver figura 15).

Ahora bien, al exponer las justificaciones de la estudiante se hace presente el respaldo

para aseverar y validar la garantía establecida; donde el proceso de justificar


los datos. Bajo el modelo de argumentación la validez de las justificaciones contempla

tanto las valoraciones positivas como negativas, por tanto se determina que dicho

respaldo surge de un principio en este caso la estudiante establece la propiedad y

característica de los paralelogramos planteando que sus lados son paralelos y por

tanto deben ser iguales dos a dos o como lo sugiere la (E4) “Porque nosotros lo



GEOMETRÍA

podemos garantizar midiendo acá… o sea de está raya que cruzamos medimos… solo

podemos sembrar acá”, es por ello que pueden llegar a plantear que las distancias de

las plantas a los canales deben ser iguales y por tanto puede validar la garantía desde

un argumento matemático.

Lo anterior afirma que la conclusión se puede validar desde los razonamientos

establecidos por la estudiante, claro está que dicha conclusión se debe generar cuándo

está exponga ante el docente y compañeros de grupo el argumento establecido, en

este caso en forma gráfica y verbal, ya que por medio de las propiedades de los

paralelogramos pueden afirmar que todas las plantas que se construyan dentro del

terreno de Don Gustavo van a equidistar de los canales, ya que la intersección de todos

los paralelogramos va a generar una línea que pasara dentro de la finca y se convertirá

en palabras formales en la bisectriz del triángulo equilátero que es la forma que

determina el terreno de la finca.

Se presentó la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta, los datos que

surgieron en la implementación del instrumento y las estructuras de los argumentos

anteriores, para ello se construyó el esquema de argumentación desde la vinculación

de los datos a dicho esquema, esto teniendo en cuenta que de nuevo se asevera que

este alcanza cuatro de los elementos que tiene un argumento.

El esquema de la figura 16 expresa un argumento donde se ponen en juego los


que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de las matemáticas por

parte de una estudiante. Estableciendo la solución a la situación desde las propiedades

matemáticas por la construcción de figuras, en este caso los paralelogramos, por medio

de esta regla llega a garantizar que las plantas se deben sembrar en un lugar específico

equidistando de los canales de riego y generando no solo una interpretación de la

situación, sino apoyándose de una construcción de la misma para aseverar todas las

ideas, justificaciones y planeaciones por parte de la estudiante.



GEOMETRÍA


En este sentido se vuelve a poner de manifiesto que el modelo argumentativo de

Toulmin (1958) es aplicable a cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al

debate y al diálogo, ya que no solo esquematiza la ruta argumentativa de los

estudiantes; sino también caracteriza las acciones de reflexión sobre la argumentación

y su proceso de solución al enfrentarse a una actividad matemática que a partir de darle

solución a la situación genera construcciones que modelan no solo la situación, sino

por el contario brindan nuevas formas de organizar justificaciones que garanticen la

interpretación de la solución a la situación problema y desde los aportes teóricos a la

caracterización de los elementos del argumento.



GEOMETRÍA

Además por medio de sus aseveraciones establece las propiedades y características de

un contenido para llegar a darle solución a la situación, instaurando una estructura

conceptual en la que conceptos previos constituyen una red de nuevos conceptos que

ligan o dan a entender la interpretación de un nuevo contenido que por las palabras y

afirmaciones de la estudiante se podría plantear como la bisectriz, reconociendo ciertas

propiedades del contenido sin llegar a mencionarlo ni hacer uso de él formalmente.

4.8 Cuarto esquema de argumentación construido

4.8.1 Toma de datos de la cuarta transcripción. Para el siguiente momento se

presentó una justificación argumental que no sólo evidencia los elementos del

argumento planteados por Toulmin (1958), sino además caracteriza un proceso de

demostración empírica Gutiérrez (2001) en donde se puede referenciar una

demostración basada en los juicios ejercidos por la estudiante al plantear la solución a

la situación, recurriendo al ejemplo genérico para aseverar sus ideas y de esta forma

llegar a establecer una solución formal donde pueda brindar una justificación y debatir

sus posturas ante un auditorio en este caso el docente.

Se evidencia que es posible llegar a demostrar en el aula de matemáticas y por medio

de la solución a las preguntas emergentes planteadas por el docente, capturar dicha

información para volverla un dato de investigación. Cabe precisar que aunque

inicialmente la idea se presentó de manera grupal, dicho argumento surgió de la propia

experiencia de la estudiante al involucrarse con la situación y desarrollar una idea para

establecer donde se debían ubicar las plantas, estableciendo que el lugar específico

para sembrarlas debía estar en una línea que se construye en medio de los dos canales

y con esto afirmar que la estudiante recurre al concepto de forma empírica por su

proceso de experimentación; a continuación se muestran las evidencias de la discusión

generada al momento de presentar la solución de la situación problema ante el

auditorio y el oponente:



GEOMETRÍA


Profesor: Bueno ehhh!!! Que has hecho respecto a la situación.

Estudiante 5: Bueno al principio no lo hice exactamente con medidas o un método ¡no!,

…Pero explicándome ustedes…Hice…Tome medida del canal de los dos

canales, de la distancia que hay del punto final del canal hasta el otro ehhhhh!!!

dividí la distancia total de este en dos para dividirlo, después pues tome como

referente los tres puntos.

Profesor: Pero…entonces tu acá ya me estás diciendo que las matas van a estar acá

(Señalando el gráfico con el dedo)… Pero entonces porque la mata no puede

estar acá (Señalando el gráfico), si yo pusiera una mata acá, ¿Por qué no podría

estar ahí?

Estudiante 5: Porque acá dice que el canal… que los dos canales deben quedar a la

misma medida que las plantas… Entonces de acá a acá no es la misma

distancia de acá a acá (Señalando el gráfico con el dedo).

Profesor: Listo…entonces por eso, pero entonces ¿Por qué esta sí? (Señalando el

gráfico), por ejemplo o porque esta si tiene la…

Estudiante 5: Porque la planta de acá a acá (Señalando el gráfico con el esfero), es la

misma, ya que la ubique 3,2 centímetros que es la medida de acá (Señalando el

gráfico) y acá a acá vale lo mismo entonces el riego quedaría igual sembrado.

Imagen 9. Construcción de la demostración triángulos congruentes

Profesor: Bien!!! Ahora entonces tú me estás diciendo que para que la mata este ahí

¿Esta distancia debe ser igual a esta distancia? Sí!!!! (Señalando el gráfico).



GEOMETRÍA

Estudiante 5: sí…

Profesor: Listo y porque sale desde acá… porque sale desde ahí (Señalando el gráfico),

digamos si yo nombro este B (señalando con el esfero), CB o este lado va a ser

igual a este.

Estudiante 5: sí…

Profesor: ¿Por qué?

Estudiante 5: …CB es igual a CB, porque es un cuadro equilátero y supongo que sí es

así, son las mismas medidas.

Profesor: Ahhh listo muy bien. O sea que tú ya estás diciendo que esta distancia es

igual a esta distancia, y esta distancia es igual a esta distancia (Señalando el

gráfico), ahora que pasa con esto que tienes acá… con esta distancia!!!. ¿Por

qué tú pones estos ángulos? (Señalando el gráfico con el esfero)

Estudiante 5: Ahhhhh!!! porque al ser un cuadro equilátero tomándolo completo mide

60º cada uno, bueno porque conforma 180º cada uno, por eso entonces lo que

yo hice como estamos partiéndolo en la mitad, tomar el ángulo de los dos y ya

recogerlo.

Profesor: O sea que este ángulo va a medir 60, este mide 60 y este mide 60, pero

entonces ¿Por qué acá los pusiste 30 y 30?

Estudiante 5: Porque como vamos a partir la zona en dos o como para tomar la medida

de las plantas, entonces decidí hacerlo así, o sea como parte tome los dos

triángulos rectángulos y los partí.

Profesor: Y entonces… ¿Qué va a pasar con el ángulo?

Estudiante 5: Se va a dividir en dos!!!

Profesor: ¿Iguales o diferentes?

Estudiante 5: No!!! Son iguales.



GEOMETRÍA

Profesor: (Señalando la figura)… Entonces explícame que hiciste hasta el momento,

porque tú me estás diciendo que estos dos lados son iguales, pero entonces

explícame ¿Por qué van a ser iguales?

Estudiante 5: Al ser un triángulo equilátero estas dos medidas son iguales… ehhhhh por

ende este lado, esta distancia es igual para las dos y teniendo este ángulo que

es igual a los dos lados entonces ahí esta medida es igual (Señalando con el

esfero).

Imagen 10. Demostración de triángulos congruentes

Profesor: Listo…

Al entrevistar a la estudiante y propiciar un dialogo en el que diera a conocer su proceso

de experimentación al resolver la situación, surge el planteamiento de justificaciones,

ideas y posturas que generaron un debate al exponer la solución de la situación ante el

docente. La estudiante estableció que las plantas debían estar sembradas en medio de

los canales, pero al pedirle que justificará o evidenciará las razones por las cuales las

plantas debían estar en ese sitio específico, determinó una serie de razones que dieran

a conocer que su idea era la más óptima para llegar a determinar que el sitio escogido

era el correcto.



GEOMETRÍA

La idea concebida por la estudiante consistió en determinar medidas arbitrarias para la

finca de Don Gustavo, para ello lo primero que realizó fue cerrar el terreno en ese

momento se dio cuenta que se generaba un triángulo que al dividirlo en dos iba a

formar una línea divisora, dicha línea describía el sitio específico dónde debían estar

ubicadas las plantas; cabe esclarecer que para ello tomo la regla y midió cada uno de

los canales.

Al determinar la medida prosiguió a medir los demás lados de los triángulos que se

formaron (Ver imagen 11) con lo cual evidenció que se generaban dos triángulos

iguales, por tanto empezó a compararlos y así logro evidenciar la congruencia de los

mismos resaltando que dos de los lados iban a ser iguales por las medidas tomadas y

que el otro lado iba a ser compartido, por lo tanto los triángulos debían ser iguales o con

una definición más formal debían ser congruentes.

Imagen 11: Medidas de los lados del triángulo

Con las ideas anteriormente expuestas podemos dar paso a la construcción del cuarto

esquema de argumentación por medio del trabajo de la estudiante con la situación.

4.8.2 Cuarto esquema de argumentación. Teniendo en cuenta la transcripción de la

videograbación de la estudiante Nº5 al definir el sitio específico donde se debían

sembrar las plantas, se construye un nuevo esquema de argumentación que retoma

cada uno de los elementos del argumento propuesto por Toulmin (1958) y que

evidencia el trabajo de experimentación y apropiación de la estudiante al caracterizar



GEOMETRÍA

dicha solución desde la conceptualización de triángulos congruentes, claro está sin

llegar a utilizar la definición exacta, pero si a hacer uso de ella con sus propias

palabras.

Cabe recalcar que dicho trabajo expone la importancia que tuvo el querer darle una

solución a la situación y por medio de la misma intentar validar ante un auditorio la

demostración de esta, es decir, ante el docente y algunos compañeros expresar la

solución por medio de características matemáticas que validarán su respuesta es desde

allí que se genera la construcción del cuarto esquema de argumentación que subyace

del grupo resolutor y que se evidenciará en la figura 17.

De nuevo se puede asegurar que la situación ofrece una variedad de estrategias de

solución; permite que la estudiante genere ideas e hipótesis respecto a la manera de

dar solución a las preguntas emergentes que surgen al interpretar la situación problema

y al querer exponer dichas soluciones ante los demás; en este caso decide implementar

la congruencia de triángulos y desde allí generar una demostración empírica desde el

ejemplo genérico para validar sus ideas y evidenciar que recurre a una serie de

conceptos que aunque no se establezcan de manera formal si hacen alusión a ellos.

Ya que al establecer que existe en la congruencia de triángulos un lado compartido,

dicho lado se podría expresar como la bisección o bisectriz del ángulo, es decir, la

estudiante intuitivamente recurre a conceptos formales desde su propia postura y

trabajo con la situación, validando dichos conceptos desde su discurso a la hora de

expresar la solución ante los demás. Cabe mencionar que en este caso la estudiante no

sólo se atreve a establecer el sitio dónde se deben sembrar las plantas, sino además

defiende el lugar desde su proceso de experimentación y logra convencer al auditorio

con la solución que le da a la situación.


las evidencias que surgieron por parte de la estudiante, de sus afirmaciones y razones



GEOMETRÍA

se generó el siguiente esquema que representa el argumento con el cual convenció al

auditorio y determinó una solución válida a la situación. Se afirma que la solución es

válida porque los demás la aceptaron y se convencieron del proceso de resolución que

emitió la estudiante; este esquema de argumentación no sólo le plantea una solución a

la situación, sino que evidencia una demostración por parte de la estudiante.


Porque acá dice que el canal… que los dos canales deben

quedar a la misma medida que las plantas…

…Porque como vamos a partir la zona en dos o como para tomar la medida de las plantas, entonces

decidí hacerlo así, o sea como parte tome los dos triángulos

rectángulos y los partí…

…Al ser un triángulo equilátero estas dos medidas son iguales…

ehh por ende este lado, esta distancia es igual para las dos y

teniendo este ángulo que es igual a los dos lados entonces ahí esta

medida es igual…

…tome medida del canal de los dos canales, de la distancia que hay del punto final del canal hasta el otro ehhhhh

dividí la distancia total de este en dos para dividirlo, después pues tome como referente los

tres puntos.

Porque la planta de acá a acá es la misma ya que la ubique

3,2 centímetros que es la medida de acá y acá a acá vale

lo mismo entonces el riego quedaría igual sembrado…

Dato Conclusión

Garantía

Respaldo



GEOMETRÍA

Por consiguiente se establece que es posible demostrar en el aula de matemáticas

desde los propios procesos de experimentación con una situación matemática y al

querer dar una solución desde sus juicios y acciones a través de dar medidas

específicas al terreno, se observa que los triángulos iban a ser iguales y además iban a

compartir un lado que sería primordial para la solución de la situación.

4.8.3 Análisis del cuarto esquema. Teniendo en cuenta la estructura del argumento y

evidenciando cada uno de los elementos constitutivos del mismo, además de la ruta

argumentativa que sigue la estudiante para dar cuenta de las razones por las cuales

determinó que las plantas debían estar ubicadas en un sitio específico y además que

debían estar a la misma distancia de los canales, es primordial anotar que dicho

proceso se valió del ejemplo genérico haciendo uso de conceptos matemáticos

preconcebidos donde al utilizarlos llega a brindar una solución que convence al

auditorio de sus respuesta.

En este caso al docente y algunos de sus compañeros, estableciendo en medio del

debate razones claras y sustentadas por la cuales las plantas de arroz van a estar

sembradas sobre una línea que posteriormente se puede comparar con la línea divisora

o la bisección del ángulo, por tanto a continuación se pretende enumerar dichos

elementos y especificar las razones por las cuales se establecen como elementos

constitutivos de la propuesta de Toulmin (2003).

Se evidenciarán no solo los elementos del argumento, sino además cada uno de los

procesos intuitivos por los cuales la estudiante llego a dar solución a la situación;

procesos como la construcción de triángulos, la medición de lados y ángulos ya que

desde estos procesos se fue creando la idea para determinar la igualdad o congruencia

de triángulos con la que pudo aseverar ante el auditorio la solución a la situación,

posterior a ello establecer desde sus propias palabras y construcciones la demostración

de la situación y así obtener el sitio específico en donde Don Gustavo debía sembrar

las plantas.



GEOMETRÍA

Desde dicho esquema (Ver figura 17) se pueden observar las características que

cumple cada elemento del argumento de la propuesta de Toulmin (1958) y contrastarla

con las evidencias resultantes de la interpretación y resultados que se generaron al

plantear la solución a la situación.

Por tanto el dato se establece como lo que pide la situación, lo que plantea y expone su

enunciado, pero en esta ocasión la estudiante es quién plantea su propio dato, ya que

esboza su pregunta desde el trabajo y la charla que tuvo con el docente, es decir,

cuando ella lee la situación establece lo que va a realizar, pero al interactuar con el

docente y la serie de preguntas emergentes logra establecer ciertos criterios para

determinar que lo que quiere evidenciar es el lugar donde se deben ubicar o sembrar

las plantas de Don Gustavo, al afirmar (E5) “Porque acá dice que el canal…que los dos

canales deben quedar a la misma medida que las plantas” generando desde sus

propias palabras la cuestión que llegue a dar solución a la situación y desde allí el punto

de partida que establecerá en el proceso de experimentación y trabajo con la situación.

Las garantías apoyan y le dan validez a las razones y justificaciones de los estudiantes;

en este caso está expuesta en la forma en que la estudiante determina que al tomar

medidas específicas del terreno de la finca se formarán dos triángulos que tendrán

ciertas medidas de sus lados y ángulos iguales, pero que además comparten un lado y

es este el que brinda la seguridad de afirmar que este sitio es donde se deben sembrar

las plantas de Don Gustavo; al contrastarlo con la teoría ya que en palabras de Toulmin

(2003) se determina como la representación de un enunciado que permite el paso del

dato a la conclusión.

Se habla de la construcción de un figura geométrica en la que todo par de triángulos

cumplen con ciertas propiedades y características de comparación, pero dicha regla se

asume como una característica general de un objeto formal y por tanto el estudiante

recurre a características matemáticas para centrar la solución de la situación, es decir,



GEOMETRÍA

la estudiante recurre a palabras desde su propio entorno y experiencia con la

matemáticas para definir conceptos formales desde la matemáticas, haciendo uso de

ellos pero sin mencionarlos formalmente, aunque si los establezca y haga uso de sus

características, que se manifiesta “O sea tome los dos triángulos rectángulos y los

partí”.

Ahora bien, al exponer las justificaciones de la estudiante se hace presente el respaldo

para aseverar y validar la garantía establecida, donde el proceso de justificar


los datos, por tanto se determina que dicho respaldo surge de un teorema, ley o

enunciado, en este caso ella establece las propiedades y características de los

triángulos.

Ya que al compararlos logra determinar que estos son iguales y por tanto tendrán las

mismas medidas, en este caso específico establece la congruencia de triángulos y

desde su comparación observa que uno de sus lados, el que comparten, se instaura

como el sitio donde se deben ubicar las plantas, que en sus declaraciones (E5) “…Al

ser un triángulo equilátero estas dos medidas son iguales…por ende este lado, esta

distancia es igual para los dos y teniendo este ángulo que es igual a los dos lados.

Entonces ahí, esta medida es igual…” que para hablar formalmente sería la bisección

del ángulo partiendo que el lado va a estar a 30º de cada canal, por tanto se puede

validar la garantía desde un argumento matemático.

La conclusión se puede validar desde los razonamientos establecidos por la estudiante,

claro está que dicha conclusión se debe generar cuando exponga ante el auditorio, en

este caso el docente y los compañeros de clase. En esta ocasión presenta la

representación gráfica de la división del ángulo en dos partes iguales por medio de la

congruencia de triángulos donde el lado compartido de dichos triángulos se convertirá

en la construcción de una línea que divide al ángulo y por tanto se plantea como el



GEOMETRÍA

único lugar donde se puede llegar a sembrar las plantas, porque cumple y garantiza con

estar a la misma distancia de ambos canales.

Cabe aclarar que nuevamente desde la misma postura le da solución a la pregunta que

la estudiante se planteó al generar el dato del argumento, afirmando que en dicha línea

que divida el terreno es donde las plantas cumplirán con la característica de estar a

igual distancia de ambos canales, estableciendo que el dato se puede dar de dos

maneras; interpretando e instituyendo lo que pide la situación o simplemente

contestando a la pregunta que se plantee en la situación problema.



la práctica construyendo la estructura del argumento desde las justificaciones, ideas e

interpretaciones de la estudiante hacía la situación problema, precisando en la

construcción de conceptos desde las propias palabras de la estudiante y concibiendo la

solución a la situación cómo una demostración empírica que hace alusión al ejemplo

genérico para validar las ideas desde la postura de Gutiérrez (2001).

Al ver la figura 18 se expresa un argumento donde se ponen en juego los elementos del

modelo argumentativo de Toulmin (1958) apoyado en las interpretaciones que el

investigador le da a la estructura argumental que plantea el estudiante, y con ello se

pretende caracterizar dicho esquema desde lo que busca reconocer cada elemento del

argumento.

Es por ello que se plantea un argumento como el análisis del esquema argumentativo

construido por la estudiante y así poderlos contrastar al analizar el proceso de

resolución de la situación planteada.



GEOMETRÍA


En este sentido se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin (2003)

es aplicable en cualquier espacio abierto a la disertación, al debate y al diálogo, en está

ocasión se percibe que no solo la importancia fue llegar a darle solución a la situación

problema, sino que en medio del proceso de experimentación y el trabajo matemático

¿En dónde se deben ubicar las

plantas de Don Gustavo?

Existe una línea que se

encuentra entre los canales de

riego que cumple con la

condición de estar a igual

distancia de ambos canales

Teniendo en cuenta las medidas

de las distancias y los ángulos

dentro del terreno, se determina

la congruencia de triángulos, al

desarrollar dicha congruencia se

establece que en el lado

compartido se deben sembrar las

plantas de arroz

Existe una línea que determina el

sitio donde se deben ubicar las

plantas

Dato Conclusión

Garantía

Respaldo



GEOMETRÍA

se percibe la demostración casi formal (empírica) de la solución a dicha situación,

estableciendo argumentos desde el ejemplo genérico y valorando definiciones

matemáticas formales desde las propias palabras de la resolutora, lo que género no

solo la validación de la solución, sino además brindó la oportunidad de caracterizar una

demostración en el aula de clase.

4.9 Quinto esquema de argumentación construido

4.9.1 Toma de datos de la quinta transcripción. Para este este nuevo esquema se

plantea el argumento refutado desde la primera concepción a la pregunta ¿Dónde se

deben sembrar las plantas de arroz?, cabe precisar que desde la postura de Toulmin

(2003) la refutación también se concibe como un elemento del argumento, de esta

manera a continuación se presenta la conversación entre el estudiante (proponente) y

docente (oponente) para llegar a determinar la refutación como contraejemplo a un

argumento válido:


Profesor: ¿Cuál es su pregunta?

Estudiante 6: Profe vea…Se puede hacer dos. O sea… una acá y otra acá, y como

están a la misma distancia de acá y de acá, y acá se puede hacer otra que pase

acá… O sea pero a la misma distancia.

Profesor: Bueno… pero donde quedaría la finca de Don Gustavo, la parte de acá

adentro o la parte de afuera o ¿Dónde está la finca?

Estudiante 6: Pues sería como esto, quedaría adentro (Señalando el gráfico con el

esfero).

Profesor: ¡O sea los canales de riego están dentro de la finca!

Estudiante 6: ¡Sí!



GEOMETRÍA

Profesor: O sea que usted propone como hacer dos hileras de matas.

Imagen 12. Ubicación de las plantas por parte del estudiante

Estudiante 6: ¡Sí! O sea como se ve en la primera foto pero… ósea una acá, ósea dos

así que vengan desde por acá (Señalando el gráfico) si me hago entender… o

sea que salgan desde por acá con la misma distancia.

Profesor: Listo. Coloque un ejemplo, sólo un puntico a dónde quedaría una mata.

Estudiante 6: (Señalando el gráfico con el esfero) Por decir, quedaría, una quedaría de

aquí por ahí hasta acá y la otra como es de la misma distancia de aquí a acá.

Profesor: Listo… entonces ahí la pregunta es por ejemplo, esta mata de arroz ¿Está a

igual distancia de este canal que de este canal?

Estudiante 6: No!!!! O sea que no se puede.

Profesor: Entonces como hacemos para medir la distancia que quede igual en ambos

canales.

Estudiante 6: Pues podría entonces quedar una no más en la mitad, por decir acá y acá

(Señalando con el esfero) y ahí si quedaría a la misma distancia no más una.

Profesor: Listo perfecto… entonces vamos a trabajar en ese tema.

Aunque el proponente intenta encontrar en la primera concepción de la situación el sitio

específico dónde se deben ubicar las plantas y sostiene por medio de justificaciones su



GEOMETRÍA

postura, se da cuenta que las razones no son suficientes para llegar a validar su

conjetura y por tanto se encuentra forjado a admitir que las razones que el oponente

plantea para refutar su postura pueden llegar a ser veraces.

4.9.2 Quinto esquema de argumentación. En el proceso realizado por el estudiante 6

(Ver figura 19) al querer determinar dónde deben estar ubicadas las plantas y sobretodo

que estas estén a igual distancia de ambos canales, se evidencia que su principal

preocupación está en que las plantas no solamente queden dentro de los canales, sino

además estén a igual distancia de cada uno, es decir, que cada canal tenga plantas

diferentes para ser regadas, concibiendo en su postura que deben haber dos hileras de

plantas y una de ellas para cada canal, estableciendo una mala interpretación de la

situación al querer abordarla.

Ahora bien, cuando el estudiante da a conocer sus razones y plantea la solución a la

situación, el docente sin necesidad de juzgar su respuesta sino simplemente planteado

una pregunta emergente, logra que el estudiante empiece a revisar la solución

planteada al problema y pueda llegar a admitir que esta no puede ser válida, esto

teniendo en cuenta las condiciones que planteaba la situación problema, que en esos

momentos no eran tenidas en cuenta por el resolutor.

Dicho proceso se realizó de manera individual y al ser refutado por el oponente que en

este caso era el docente, el mismo auditorio aceptó y validó la refutación, por tanto se

preocuparon por interpretar de nuevo la situación y tener en cuenta las condiciones que

planteaba la misma y además qué ahora debían tener en cuenta que la condición

establecida por su compañero no era la más óptima y que fue refutada por por sus

compañeros de clase.



GEOMETRÍA


4.9.3 Análisis del quinto esquema. Al apreciar el esquema argumentativo de la figura

19 se puede contemplar los elementos del modelo de argumentación de Toulmin

(2003); pero en esta ocasión se utiliza uno de sus elementos más apropiados para

adjudicar la falta de argumentación que se denomina refutación.

En la refutación el estudiante o proponente expone no solo sus razones, sino las

justificaciones a la solución de la situación, en este caso el dato se establece como lo

que pide la situación, pero para el esquema el estudiante interpreto lo que exigía la

situación y por tanto planteo su propia hipótesis al leer la situación que en sus palabras

se expone con la frase “…Determinar que las plantas están a igual distancia de los

canales”…, cabe mencionar que para refutar un argumento, todavía se debe tener en

cuenta el dato.

Determinar que las plantas están a

igual distancia de los dos canales

¡Sí! ósea como se ve en la

primera foto pero… ósea

una acá, ósea dos así que

vengan desde por acá si

me hago entender… ósea

que salgan desde por acá

con la misma distancia.

No! Ósea que no se puede

Profe vea…Se puede hacer dos.

Ósea… una acá y otra acá, y

como están a la misma

distancia de acá y de acá, y

acá se puede hacer otra que

pase acá… Ósea pero a la

misma distancia.

Dato Conclusión

Garantía

Respaldo

Listo… entonces ahí la

pregunta es por ejemplo

esta mata de arroz ¿Está a

igual distancia de este

canal que de este canal?

Refutación



GEOMETRÍA

Desde el planteamiento anterior empieza a entrar en juego la garantía que está

expuesta al conjeturar que cada uno de los canales deberá tener una hilera de plantas

o como menciona el (E6) “…O sea dos así, que vengan desde por acá, [si me hago

entender] o sea que salgan desde por acá con la misma distancia…”, es decir, de esta

manera se genera una correspondencia uno a uno donde cada canal solo debe regar

las plantas que estén al lado de él.

En este caso estamos hablando de una regla deducida por experiencia al trabajar en la

situación, pero como el argumento será refutado se debe adjudicar el contraejemplo a

este elemento, que es mencionado en la teoría de Toulmin (2003).

Ahora bien, al exponer la pregunta emergente por parte del docente no se puede hacer

presente el respaldo, ya que el estudiante no asevera la conjetura establecida y por

tanto se puede afirmar que la garantía no es válida; es por ello que se logra certificar

que la conclusión será falsa “Se puede hacer dos…O sea una acá y otra acá y como

están a la misma distancia de acá y de acá, y acá se puede hacer otra que pase acá. O

sea pero a la misma distancia”, ya que no valida los razonamientos establecidos por el

estudiante y en ese instante aparece el elemento refutación tomado como

contraejemplo a la conclusión expuesta por el estudiante y que niega el argumento

establecido y por tanto las razones y justificaciones del estudiante respecto al sitio

dónde se deben sembrar las plantas.

Constituyendo la pregunta ¿Qué si al escoger solo una planta está iba a estar a igual

distancia de ambos canales?, se toma la respuesta del estudiante al contestar (E6),

“…qué no se puede…” es allí cuando empieza a interpretar de nuevo la situación y

acepta la refutación como válida, por tanto la construcción del esquema no puede

continuar, parando no solo en la garantía, sino generando que no se pueda llegar a

construir el postulado, como se observa en la figura 20.



GEOMETRÍA


Dicho esquema de la figura 20 expresa la interpretación del argumento refutado, donde

se pone en juego el contraejemplo y se confirma una vez más que el modelo

argumentativo es aplicable a cualquier disciplina o espacio abierto al debate y al

diálogo, no solo con el fin de garantizar rutas argumentativas sólidas, sino por el

contrario dar a conocer que la refutación y contraejemplo se conciben como elemento

constitutivo de la teoría de Toulmin (2003) llegando a tener la misma validez que los

demás y que este se puede generar en cualquier esquema de argumentación que no

cumpla con los elementos del argumento establecidos.

De esta manera a continuación se presentan los resultados y reflexiones suscitadas a

través de la aplicación de instrumentos, recolección de la información y puesta en

escena de una situación problema que generó en los estudiantes apropiación y

¿Cómo determinar que las plantas

están a la misma distancia de los

canales de riego?

Cada hilera va a estar a

igual distancia de cada

canal, es decir, la hilera

está a igual distancia uno

a uno.

No alcanza a formar un

respaldo a su garantía.

Las plantas deben estar ubicadas en

don hileras, dentro del terreno de la

finca de Don Gustavo.

Dato Conclusión

Garantía

Respaldo

Como una de las plantas

no está a igual distancia de

ambos canales se genera

un contraejemplo

Refutación



GEOMETRÍA

constitución de soluciones y contenidos matemáticos por medio de la ruta

argumentativa.



GEOMETRÍA

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES Y REFLEXIONES

Este capítulo se presentarán tres momentos esenciales para la investigación que se

describirán de manera fluida, el primero apunta a la construcción de las posibles

categorías que especifican y caracterizan los elementos del argumento desde el trabajo

con cualquier situación problema que apunte a la actividad argumentativa, la segunda

propicia los resultados esperados respecto al trabajo de investigación y el análisis de

los cuatro esquemas de argumentación que se hallaron en el grupo resolutor y la

tercera apunta a las conclusiones y reflexiones generales que se destacan de la

investigación en torno a la actividad argumentativa y los elementos del argumento

propuestos en la teoría de Toulmin (2003).

5.1 Categorías expuestas al analizar el grupo resolutor

Teniendo en cuenta los argumentos que se generaron al implementar la situación,

recoger la información y transformarla en datos de investigación, surge un sistema de

categorías y criterios qué se podrían validar como categorías emergentes que servirían

no solo para analizar y clasificar la información, sino también para llegar a codificarla.

Estas categorías surgen de los diferentes esquemas de argumentación que se lograron

construir a lo largo de la experiencia y del trabajo de los diferentes estudiantes; cabe

mencionar que en todos los casos las estructuras argumentativas no fueron completas,

esto teniendo en cuenta que existe un elemento del argumento que se define como la

refutación o argumento refutado, expresado como la contradicción a la garantía y por

ende al respaldo al expresar una razón o justificación, generando un argumento que no

puede llegar a ser válido para un auditorio.



GEOMETRÍA

Es por ello que no se tomaron todos los elementos que se exponen en la teoría de

Toulmin (2003) pero los elementos que se reconocieron en el grupo resolutor brindaron

la oportunidad de construir una estructura (Ver figura 21) en donde se visualiza la forma

y manera en que se pueden determinar los elementos del argumento al trabajar con

una situación que exija la disertación y debate de las justificaciones u opiniones ante un

auditorio, estableciendo una serie de clases en las que se podrían llegar a visualizar y

reconocer cada uno de los elementos del argumento facilitando la obtención y

caracterización de los mismos.

Por tanto al consolidar dicha estructura se pretende llegar a codificar cualquier

argumento con los elementos que se plantean en la propuesta de Toulmin (1958), para

ello se establecerán características y razones por las cuales un dato, una garantía, un

respaldo y una conclusión podrían determinarse, dependiendo no solo en la forma en

que se anuncie, sino por medio del trabajo que se realice al enfrentarse a la solución de

una situación, es decir, dependiendo de la forma en que el estudiante exprese sus

afirmaciones, justificaciones o razones, se podría llegar a identificar qué tipo de

elemento del argumento está utilizando y de qué manera lo da a conocer.

Por tal razón para cada uno de los elementos se establecieron nuevas categorías que

estipularán la manera en que se pueden observar o detectar dichos elementos y así

facilitar el reconocimiento de un argumento cuándo se pretenda indagar por un trabajo

que amerite la discusión o debate de ideas o dónde se genere la necesidad de

argumentar las razones por las cuales se debe convencer a un auditorio.

A continuación se presentan las categorías que surgen al analizar los cuatro esquemas

de argumentación que surgieron en la implementación de la situación y desde dichos

argumentos se consolidó la estructura que daría pie a encontrar la manera de concebir

un argumento y determinar cada uno de sus elementos con tan solo establecer la forma

en que se exprese una persona; cabe mencionar que dicha estructura podría llegar a



GEOMETRÍA

generalizar la idea de concebir argumentos o simplemente facilitar la forma de hallar o

visualizar cada uno de sus elementos, ya que el investigador tendrá la oportunidad de

observar cómo se concibe y como se da a conocer dicho elemento constitutivo del

argumento, reconociendo el tipo de trabajo que se realiza con el mismo y motivando a

generar la argumentación en el aula de clase por medio de preguntas que generen y

motiven las acciones que se reconocieron al implementar la situación, en la figura 23 se

observan los elementos sin especificar la refutación ya que este desde la propuesta de

Toulmin (1958) se concibe como el contraejemplo:

Figura 21. Categorías expuestas de los esquemas de argumentación

Al observar la figura 21 se destacan las maneras en qué los diferentes elementos de los

esquemas de argumentación dato, garantía, respaldo y conclusión, se podrían llegar a

clasificar y evidenciar cuándo el estudiante interviene en la resolución de problemas

Esquema de

argumentación

Dato

Garantía

Respaldo

Conclusión

Gráfica

Gesto

Afirmación

Teorema

Ley

Principio

Hipótesis

Situación

Gráfica

Discursiva

Gestuales



GEOMETRÍA

matemáticos o simplemente en la disertación de su discurso. Cabe aclarar que dichas

categorías están posibles al cambio y por tanto serian emergentes y temporalmente

validas teniendo en cuenta que surgen de los análisis de un solo grupo resolutor, es

decir, se establecen las posibles categorías gracias al trabajo desarrollado por el grupo,

pero en ningún momento se afirma que generalizarían a la actividad argumentativa

implementada en cualquier espacio de disertación.

La pregunta orientadora por la cual se desató la idea de plantear algunas categorías

emergentes desde la resolución de la situación fue ¿Dónde se podría llegar a sembrar

las plantas?, ya que en dicho momento fue donde los estudiantes empezaron a

estructurar argumentos, además de justificar y validar sus respuestas desde los

procedimientos realizados en el cuaderno resolutor; planteando que cada elemento del

argumento propuesto por la teoría de Toulmin (1958) podría llegar a estructurarse

desde diferentes fases que surgieron de los distintos argumentos que empleo el grupo

resolutor.

Cada categoría emerge del análisis que se realizó de los cuatro esquemas de

argumentación que se generaron desde las justificaciones de los estudiantes y los

criterios para estructurar cada elemento por parte del investigador, además cabe

precisar que cada uno de los argumentos se estableció en una categoría y por ende se

constituyó la clasificación parcial a las categorías construidas.

Dicha clasificación surge al revisar las transcripciones de los procesos realizados por

los estudiantes y contrastarlo con la teoría de Toulmin (1958), pero es importante

mencionar que también surgen al enfrentar al grupo resolutor con las preguntas

emergentes instauradas por el docente que fueron de ayuda para consolidar no solo la

construcción de argumentos y el reconocimiento de sus elementos, sino además pensar

en que se podría llegar a evidenciar de alguna manera la forma en que se pueden

expresar los estudiantes al querer generar un argumento o una razón que persuada o

instigue a un auditorio a validar una idea.



GEOMETRÍA

Desde la construcción de los cuatro esquemas vistos anteriormente (Ver figuras 11, 13,

15 y 17) se justificará cada una de las nuevas categorías desde la manera en que se

pueden concebir y expresar ante la comunidad educativa, a continuación se observa

desde que argumento se centra la categoría y de alguna manera se codifica la

información para que de sustento a la construcción de dichas categorías, es importante

observar que cada categoría se contrasto con los esquemas encontrados en el grupo

resolutor y por ende brindan una validez para afirmar que la categorías podrían llegar a

ser validadas para cuándo se quiera llegar a retomar un trabajo con los mismos ideales

de debatir en cualquier espacio (Ver figura 22):

Figura 22. Categorías contrastadas con los esquemas de argumentación



GEOMETRÍA

Ya con esto se podría validar que desde el trabajo realizado al construir los esquemas

de argumentación del grupo resolutor con las postura de Toulmin (2003) y evidenciar

ciertas características que subyacen para identificar los elementos del argumento, se

plantean posibles categorías que brindarían una herramienta para identificar los

esquemas de argumentación que emergen en los estudiantes al involucrarse con la

solución de situaciones problema similares y de alguna manera propiciar la reflexión

sobre sus prácticas pedagógicas y motivar al estudiante a transformar o concebir un

contenido por medio de su labor.

Ahora bien, al instaurar dicha estructura como una herramienta didáctica y metodología

para docentes que quieran trabajar con situaciones que ameriten la actividad

argumentativa, no solo podrían llegar a encontrar de manera más eficaz los elementos

de un argumento , sino además codificar la información y estructurar de mejor manera

una investigación y así contribuir a generar un análisis desde los propios elementos del

argumento y desde la postura de Toulmin (2003), por último es importante mencionar

que la categorías se validaron desde el proceso desarrollado por el grupo resolutor por

lo tanto dichas categorías están expuestas a cambios totales o parciales.

Por tal razón fue esencial que cada nueva categoría se contrastara con la evidencia

resultante de la actividad del grupo resolutor y estableciendo en cada caso el esquema

de argumentación que se eligió y la razón por la que se prefirió (Ver figura 22).

5.2 Resultados o productos esperados

La metodología de resolución de problemas es un método de inagotables recursos,

dado que en cada experiencia con problemas matemáticos posibilita la

retroalimentación con experiencias pasadas, dota las prácticas de creatividad en

espacios de socialización y desarrolla una conciencia crítica, es allí donde la

argumentación como un proceso comunicativo debe sobresalir.



GEOMETRÍA

El aprendizaje en matemáticas debe ser significativo para el estudiante y el docente

debe estar atento al desarrollo y evolución del mismo, enfatizando primordialmente en

el saber matemático. Como lo menciona Arzaello (1998) (Citado por Gutiérrez et al.,

2013, p. 190), es así como debemos librarnos de evaluaciones donde cada vez es más

recurrente el examen escrito y donde los argumentos del estudiante frente a lo que

hace no es tenido en cuenta. Por tal razón la investigación caracterizó los esquemas

argumentativos implícitos en la resolución de la situación problema, adecuando

categorías de análisis desde los referentes teóricos, proporcionando una herramienta

metodológica y conceptual que caracterice el comportamiento del grupo resolutor y, a

partir de las reflexiones en torno a su trabajo brindar herramientas para la organización

y comprensión de los esquemas de argumentación que subyacen en la actividad

demostrativa.

Al reivindicar la argumentación dentro de procesos de socialización en torno a la

resolución de situaciones problema se ejecuta una toma de conciencia de la necesidad

y responsabilidad que debe darse a los procesos de demostración en el aula, se

pretende fundamentalmente concientizar a los docentes de matemáticas que deseen

abordar los procesos de argumentación y validación como un requisito primordial que

debe darse en un contexto de socialización de saberes al interior del aula en torno a

problemas propios de la matemática, dónde el estudiante en lugar de memorizar y

reproducir se concientice sobre la responsabilidad de crear, justificar y validar, lo que

sin duda alguna ayudará a superar los problemas de enseñanza de la demostración y

su trivialización en las prácticas docentes actuales.

Ahora bien, se establecen las rutas argumentativas de los estudiantes y desde allí las

estructuras argumentales basados en las propuesta de Toulmin (2003) teniendo en

cuenta los elementos de los argumentos y en consonancia se incorpora la nueva visión

de establecer posibles categorías para determinar los elementos de los argumentos y

en este caso establecer que la estructura del argumento en ocasiones se podría lograr

evidenciar y clasificar, generando un mayor avance entre los que se pretende generar



GEOMETRÍA

al motivar a los estudiantes a trabajar con actividades de tipo argumentativo dónde

tengan la necesidad de justificar, debatir y brindar razones e ideas para convencer a un

auditorio desde sus propias ideas.

Por lo tanto, esta propuesta investigativa podría suscitar elementos de reflexión a las

actuales maneras de llevar a cabo la enseñanza-aprendizaje de la demostración, donde

se privilegie a los estudiantes, a sus propias ideas y maneras de construir

conocimiento, creándole la necesidad de demostrar como un medio para descubrir,

tomando en cuenta las primeras afirmaciones e intuiciones que éste posee y las

primeras explicaciones que logra al abordar un problema que debe ser concebido como

un proceso evolutivo, una construcción de cadenas deductivas inicialmente

fundamentadas en las creencias del estudiante para llevarlas a discusión y aceptación

grupal en forma de argumentos, convenciendo al auditorio.

Pero un elemento que no se puede dejar de mencionar es que se puede llegar a generar

la demostración en el aula de clase, ya que al constituir el cuarto argumento, se

evidencia que el estudiante desde el ejemplo genérico llega a establecer que existe la

congruencia entre triángulos, obviamente desde sus propias palabras, pero que en

consonancia con el objetivo de la investigación no solo identifica los elementos del

argumento, sino que al caracterizar dicha actividad argumentativa funda en su proceso

la demostración desde su propio trabajo con la situación.

Desde la propuesta de Gutiérrez (2001) no solo se hablaría de una demostración

empírica que nace desde los mismos procesos ejercidos por el estudiante, sino por el

contrario se estaría hablando del paso a las demostraciones deductivas y más

específicamente a la etapa de experimento mental, ya que el estudiante por medio del

ejemplo y al tomar medidas exactas del gráfico que otorgaba la situación logró

determinar que los triángulos construidos iban a ser iguales y que justo el lado que

compartían dichos triángulos se convertiría en el sitio específico donde Don Gustavo

debía sembrar las plantas de arroz, favoreciendo la apropiación de conceptos desde su



GEOMETRÍA

trabajo y dando a conocer las definiciones y trabajo con conceptos desde sus propias

palabras y procesos realizados en la solución a la situación.

Se logró identificar cada uno de los elementos del argumento no solo dándolos a

conocer, sino además estableciendo las características de los mismos en la puesta en

práctica de la situación y además estableciendo algunos patrones que suscitan dichos

elementos a la hora de ejercer una actividad que fomente la actividad argumentativa.

Con ello se brinda la oportunidad a nuevos investigadores de propiciar este tipo de

actividades en el aula de clase dónde el estudiante tenga la libertad de expresar sus

razones y justificaciones desde sus juicios, motivando al debate y actitud crítica ante el

juzgamiento por parte de un auditorio dónde la principal fortaleza de un proponente es

querer convencer a su auditorio desde un postulado, una ley o un teorema que satisfaga

no solo sus ideas, sino que genere una propuesta desde su proceso de experimentación

que optimice la situación trabajada y establezca un argumento claro y coherente que

convenza al auditorio.

Al identificar, construir y analizar los cuatro argumentos que contenían los elementos

propuestos por Toulmin (2013), se obtiene que los estudiantes logran constituir

significados desde sus palabras como lo observado en los argumentos 3 y 4 cuándo por

medio del trabajo y la experiencia con la situación, establecen significados para la

bisectriz de un ángulo y la congruencia de triángulos y aunque logran reconocer algunas

características y propiedades de las mismas nunca utiliza las palabras formales de

estos, sino por el contrario los identifica y reconoce al utilizarlos para darle solución a la

situación.

Por ejemplo cuándo por medio de la identificación de las propiedades de los triángulos

equiláteros que tienen tres ángulos de 60º, llega identificar que el sitio dónde se

deberían sembrar las plantas es la línea divisora que corta a uno de los ángulos por la

mitad, obviamente generando dos ángulos de 30º, que al analizar recurre a las



GEOMETRÍA

propiedades de la bisección del ángulo sin llegarla a nombrar o cuándo determina que

dos triángulos iban a ser completamente iguales ya que tenían dos lados con las mismas

medidas y el otro lo compartían, estableciendo propiedades de los triángulos y por medio

de ellas instituyó conceptos a través de la construcción de conceptos previos,

fortaleciendo el aprendizaje significativo en los estudiantes y generando una red de

conocimientos por medio de su propio proceso de resolución de situaciones problema.

Ahora bien, es importante rescatar que uno de los resultados meritorios fue que el grupo

resolutor generó procedimientos que nunca se tuvieron en cuenta a la hora de plantear

las posibles soluciones a las situaciones o soluciones a priori; cuándo se estableció la

prueba pilotaje y se adaptó la situación problema de las plantas de arroz de Don

Gustavo, se tuvo en cuenta cuales iban a ser los posibles procedimientos que los

estudiantes iban a utilizar para dar solución a la situación y aunque la mayoría llegó a

utilizar la bisectriz del ángulo o más bien sus propiedades sin mencionar

específicamente el contenido, la solución de las circunferencias en el argumento 1 y los

paralelogramos en el argumento 3, constituyen la idea de que dichas situaciones

promueven el proceso de enseñanza y aprendizaje del estudiante, motivando a dar

soluciones desde sus posturas y construcción de conceptos, además estableciendo

solidez y validez de sus justificaciones a la hora de darlas a conocer ante un auditorio y

aprobadas matemáticamente desde la apropiación de propiedades y características de

algunos contenidos matemáticos.

Desde la postura anterior es fundamental mencionar que las preguntas emergentes y la

función del docente fue esencial a la hora de generar el proceso de resolución de la

situación, en los argumentos 1, 2 y 4; se prioriza que el docente por medio de las

preguntas emergentes instauró en los estudiantes no solo las ganas de continuar

elaborando una solución, sino además procurando no entrometerse en las posturas

expuestas por los estudiantes.



GEOMETRÍA

En este tipo de trabajos es muy importante que el docente tenga en cuenta la delgada

línea de pasar al terreno del estudiante, es decir, procurar que en medio del proceso de

experimentación y solución a la situación no se obstaculice al resolutor con las ideas

para generar una solución, sino por el contrario motivar dicho proceso por medio de las

preguntas emergentes para que ellos por si solos establezcan nuevos contenidos y

soluciones a través de sus construcciones, es por ello que la función del docente como

guía del aprendizaje y sus preguntas emergentes son fundamentales para contribuir en

el proceso de solución de este tipo de situaciones problema sin intervenir en la ideas,

posturas y aseveraciones del resolutor.

Por último el uso de la refutación está en la enunciación de contraejemplos, como

también se menciona en la teoría de Toulmin (1958); que en este caso surgió en la

constitución del argumento 5, donde al asegurar que las plantas iban a estar en un sitio

específico del terreno, el docente como auditorio refuta usando un contraejemplo

enmarcado en la matemática formal, dicha refutación funciona como garante para

cambiar el esquema argumentativo y su postura, generando nuevas ideas y juicios ante

las preguntas realizadas por el docente dónde terminan por aceptar y validar los

juzgamientos del auditorio.

5.3 Síntesis y reflexiones finales

Como se puede evidenciar la resolución de situaciones problema garantiza el

surgimiento de una actividad argumentativa en los estudiantes, constituyendo distintas

definiciones matemáticas, como circunferencia, paralelogramos y congruencia en

triángulos; donde se ponen en juego los elementos del modelo argumentativo de

Toulmin, apoyado fundamentalmente en justificaciones que emergen en una secuencia

argumentativa lógica dentro de las matemáticas.



GEOMETRÍA

En este sentido, se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin es

aplicable en cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al debate y al

diálogo, no solo con el fin de esquematizar la ruta argumentativa de los estudiantes,

sino también de caracterizar las acciones de reflexión sobre la argumentación. Este

proceso contempla tanto reflexionar sobre la información que es tratada como

reflexionar sobre la secuencia de argumentación.

Por tanto la propuesta apunta a generar esquemas de argumentación dentro de

procesos de socialización y resolución de problemas, y de esta manera ser conscientes

de la necesidad y responsabilidad que debe generarse en los procesos de justificación

en el aula, donde el estudiante en lugar de memorizar y reproducir, se conscientice

sobre la responsabilidad de crear, justificar y validar, lo que ayudará a superar algunos

problemas de enseñanza de la demostración y su trivialización en las prácticas

docentes actuales.

Al analizar las estructuras argumentales de los estudiantes se establece que emplean el

mismo modo para generar sus argumentaciones sobre el proceso de resolución de la

situación; de ahí la importancia de establecer preguntas emergentes que suscitaran en

los estudiantes la necesidad de generar justificaciones y razones por las cuales definían

afirmaciones que promovieran al auditorio a convencerse de las propuestas del grupo

resolutor, despertando el interés de los estudiantes por deliberar y reflexionar sobre los

actos de argumentación propios y de los demás.

Frente a este aspecto Toulmin habla de la refutación como un elemento que puede

aparecer en el esquema argumentativo cuándo se presenta una negación por aceptar la

pretensión del otro; como en el caso de la estructura argumentativa de los

paralelogramos, en donde se generó la necesidad de entrevistar a la estudiante que

estableció el proceso de resolución de la situación para aseverar y constatar los

elementos del argumento, centrando el trabajo en, dónde se deben ubicar las plantas

(dato); ubicar las plantas entre los dos canales de riego (pretensión); por medio de las



GEOMETRÍA

características y propiedades de los paralelogramos se deducen distancias iguales

(garantía).

Este esquema argumentativo se refuerza gracias a la entrevista del docente cuando le

pide al estudiante que responda las preguntas emergentes, estableciendo que dicha

refutación no se concibe, y socavando la idea de que la estructura argumentativa no

tomaba todos los elementos del argumento, obviamente en la estudiante se quebranta

la idea de establecer que su solución es la más óptima y por tanto le da solución a la

situación.

En este sentido en las dinámicas de confrontación de las soluciones de la situación; es

decir, en la verificación y puesta en acción de los argumentos también se hace evidente

la mecánica de la refutación a partir del cuestionamiento del propio estudiante, pues

marca una pauta frente a cómo debe argumentarse en la clase, donde se empieza a

usar elementos propios de la matemática para poder validar las ideas propias y refutar

la de los demás, comprendiendo así la ventaja de la matemática como una disciplina útil

para darle validez y firmeza a los argumentos usados.

Ahora bien, se pone de nuevo de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin

es aplicable en cualquier espacio abierto al debate y al diálogo, es decir los argumentos

emergen cuando el estudiante pretenda convencer a un auditorio, esto por medio de su

razones y justificaciones, es aquí donde se establece la estructura argumental de los

procesos de solución de la situación problema, por tanto podemos establecer que

cuando los estudiantes se enfatizan por debatir ante un grupo de personas, buscan

establecer y posicionar sus criterios con el objetivo de convencer y en este caso

podríamos admitir que recurren a los elementos del argumento que plantea Toulmin y

que además dichas estructuras no solo siguen el patrón de todos los elementos, sino

que además se conciben estructuras argumentales a través del reconocimiento de

algunos elementos del argumento.



GEOMETRÍA

Por lo tanto, esta propuesta investigativa suscita elementos de reflexión en el grupo

resolutor al trabajar las prácticas argumentativas en torno a la demostración matemática

por parte del docente, donde se privilegia a los estudiantes, sus ideas y maneras de

construir conocimiento, creando la necesidad de justificar cada afirmación u opinión que

declare durante un proceso de resolución de problemas, además que al apropiarse de

la resolución de la situación el estudiante genera nuevos conocimientos estableciendo

características y propiedades de los contenidos, aunque no los reconozcan de manera

formal.

Esto posibilita oportunidades de descubrimiento de aprendizajes; es decir, una manera

de que lo aprendido no sea gracias a las imposiciones del profesor o los procesos que

realiza para fundar nuevos contenidos, es decir; como la memorización o la repetición,

pues como lo muestran los resultados de la actual investigación, se evidencia que al

tomar en cuenta las primeras afirmaciones e intuiciones que posee el estudiante y las

primeras explicaciones, afirmaciones o razones que logra al abordar un problema,

generando la base para darle un significado a procesos más complejos relacionados

con la argumentación y la validación, como el acto mismo de demostrar (Bravo, 2002).

A partir de estas concepciones de los estudiantes, muchas veces de carácter empírico,

podrían ser la base para desarrollar conocimiento matemático formal, siendo este un

proceso de carácter evolutivo, en tanto se logra solo si la labor y trabajo del estudiante

en relación con el docente, mantienen una estrecha e íntima relación de coherencia;

donde los problemas que lleva el profesor al aula logren motivar la acción resolutora del

estudiante y el desarrollo de sus prácticas argumentativas; es decir, lo que se procura

es la búsqueda de problemas, donde el contexto del estudiante debe ser considerado

como un aspecto intrínseco a los mismos, además de valorar todos los procesos que

realiza el estudiante al intervenir en la solución de problemas, estableciendo que dichos

problemas deben ser vistos como una posibilidad de construir cadenas deductivas por

parte de los estudiantes, inicialmente fundamentadas en sus creencias, para llevarlas a

discusión y aceptación grupal en forma de argumentos, donde la validación sea un



GEOMETRÍA

aspecto de común acuerdo entre los integrantes del grupo y una responsabilidad por

encontrar la verdad por ambas partes.

Ahora bien, se determina que se identificaron en las estructuras argumentales de los

estudiantes los elementos planteados por Toulmin, además de identificar que se genera

un proceso evolutivo de aprendizaje, en donde a través de la concepción de ciertos

contenidos se logran reconocer características y propiedades que llevarían al

estudiante a enriquecer su red de conocimientos por medio de su propia labor y a

través de la relación y debate con el docente.



GEOMETRÍA

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