8/19/2019 La Ecuación de Lentes

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Imágenes formadas por Refracción

Consideremos la refracción en una superficie esférica, es decir, en una interfase esférica

entre dos materiales ópticos con diferente índice de refracción.

Este análisis se aplica directamente a algunos sistemas ópticos reales, como el ojo

humano. También constituye una piedra angular para el análisis de las lentes, que por lo

general son dos superficies esféricas.

En la figura 31 se muestra una superficie esférica de un radioR que forma una interfase

entre dos materiales con diferente índice de refracción,na ynb. La superficie forma una

imagenP' de un punto objetoP; deseamos encontrar cómo están relacionadas lasdistancias objeto e imagen (s ys'). Utilizaremos las mismas reglas de los signos que

usamos para los espejos esféricos. El centro de curvaturaC se encuentra en el lado desde

donde se alejan los rayos de la interfase, de modo queR es positiva. El rayoPVincide en

el vérticeV y es perpendicular a la superficie (es decir, al plano tangente a la superficie en

el punto de incidenciaV). Pasa al segundo material sin desviarse. El rayoPB, que forma

un ánguloα con el eje, incide con un ánguloθ  a con respecto a la normal, y es refractado

a un ánguloθ  b. Estos rayos se intersectan enP' a una distancias' a la derecha del

 vértice. En la figura se muestra el casona 

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Demostraremos que si el ánguloα  es pequeño, todos los rayos provenientes deP se

intersectan en el mismo puntoP', de modo queP' es la imagen real deP. Utilizamos el

teorema que afirma que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos

ángulos internos opuestos; aplicando este teorema a los triángulosPBC yP'BC se tiene:

Ecuación 1.

Por la ley de refracción,

 Tenemos también que las tangentes de α  ,β  yφ  son:

Ecuación 2.

Para rayos paraxiales,θ  a yθ  b son pequeños en comparación con un radián, y podemos

aproximar tanto el seno como la tangente de cualquiera de estos ángulos por el ángulo

mismo (medido en radianes). La ley de refracción da entonces:

Combinando estas expresiones con la primera de la ecuación 1,obtenemos:

Cuando sustituimos esta expresión en la segunda de la ecuación 1, obtenemos:

Ecuación 3.

 Ahora sustituimos las aproximacionestanα  =α , y así sucesivamente, en la ecuación 2 y

también despreciamos la pequeña distanciaδ ; tales ecuaciones quedan entonces como:

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Por último, sustituimos estas expresiones en la ecuación 3 y eliminamos el factor

comúnh. Obtenemos:

******** **********

(relaciones objeto-imagen, superficie refractora esférica).

Ecuación 4.

Esta ecuación no contiene al ánguloα  , de modo que la distancia imagen es la misma

para todos los rayos paraxiales que salen deP; esto demuestra nuestra afirmación de

queP' es la imagen deP.

Para obtener el aumento lateralm para esta situación, utilizamos la construcción de la

figura 32. Trazamos dos rayos desde el puntoQ, uno que pasa por el centro decurvaturaC y el otro que incida en el vérticeV. De los triángulosPQV yP'Q'V,

 y por la ley de la refracción,

Para ángulos pequeños,

de modo que, por último,

o

(aumento lateral, superficie refractora esférica).

Ecuación 5.

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 figura 32

 

Las ecuaciones 4 y 5 se pueden aplicar a superficies refractoras tanto convexas como

cóncavas, siempre y cuando se utilicen las reglas de los signos de manera consistente. No

importa quena es mayor o menor quenb. A continuación, una última advertencia sobre la

regla de los signos para los radios de curvaturaR de una superficie. Para la superficie

reflectora convexa de las figuras 25 y 26, tomamosR como negativa, pero la superficie

refractora convexa de la figura 31 tiene un valor positivo deR. Esto puede parecer

incoherente, pero no lo es. La regla es queR es positiva si el centro de curvaturaC está en

el lado de la superficie por donde se alejan los rayos y negativa siC está en el otro lado.

Para la superficie refractora convexa de la figura 31,R es positiva debido a queC y losrayos salientes están a la derecha de la superficie.

Un caso especial importante de superficie refractora esférica es la superficie plana entre

dos materiales ópticos. Esto corresponde a hacerR =∞ en la ecuación 4. En este caso,

(superficie refractora plana).

Para encontrar el aumento lateralm para este caso, combinamos esta ecuación con la

relación general, ecuación 5, obteniendo el sencillo resultado

Esto es, la imagen formada por una superficie reflectora plana siempre tiene el mismo

tamaño lateral que el objeto, y siempre está derecha.

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Un ejemplo de formación de imágenes por una superficie refractora plana es la apariencia

que tiene una pajilla o un remo parcialmente sumergido. Cuando se les ve desde algunos

ángulos, el objeto parece doblarse en la superficie del agua debido a que la parte

sumergida parece estar a sólo tres cuarto de su distancia real por debajo de la superficie

del agua.

 

La ecuación del constructor de lentes

Procederemos a deducir laecuación del constructor de lentes, que es una relación

entre la longitud focal f, el índice de refracción n de la lente y los radios de

curvaturaR1 yR2 de las superficies de la lente. Utilizamos el principio de que una imagen

formada por una superficie reflectora o refractora puede servir como objeto para una

segunda superficie reflectora o refractora.

Empezamos con el caso un poco más general de dos superficies esféricas que separan tres

materiales con índices de refracciónna,nb y nc, como se muestra en la figura 42. Lasdistancias objeto e imagen para la primera superficie sons1 ys1' y las correspondientes a

la segunda superficie sons2 ys2'. Suponemos que la lente es delgada, de modo que la

distanciat entre las dos superficies es pequeña en comparación con las distancias objeto

e imagen y, por tanto, se puede despreciar. Entonces,s2 ys1' tienen la misma magnitud y

el signo opuesto. Por ejemplo, si la primera imagen se encuentra en el lado por donde se

alejan los rayos de la primera superficie,s1' es positiva. Pero cuando se le considera como

un objeto para la segunda superficie, la primera imagen no se encuentra en el lado de esa

superficie por donde inciden los rayos, de modo que podemos decir ques2 =-s1'.

 

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 figura 42

 

Necesitamos utilizar la ecuación para una sola superficie, ecuación 4 del

apartadoImágenes formadas por refracción, dos veces, una para cada superficie. Las dosecuaciones resultantes son:

Por lo general, el primero y el tercer materiales son aire o el vacío, de modo que

hacemosna =nc = 1. El segundo índice de refracciónnb es el de la lente, que denotaremossimplemente conn. Al sustituir estos valores y la relacións2 =-s1' obtenemos:

Para obtener una relación entre la posición inicial del objetos1 y la posición final de la

imagens2', sumamos estas dos ecuaciones. Con ello eliminamos los términosn/s1' y

obtenemos:

http://rabfis15.uco.es/lvct/tutorial/24/refrac.htmhttp://rabfis15.uco.es/lvct/tutorial/24/refrac.htm

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Finalmente, considerando la lente como una sola unidad, llamamos a la distancia

objetos, en vez des1, ys' a la distancia imagen final en lugar des2'. Haciendo estas

sustituciones tenemos:

Ecuación 1.

 Ahora comparamos esta expresión con la otra ecuación para lentes delgadas, la ecuación

3 del apartadoPropiedades de una lente. Vemos que las distancias objeto e

imagens ys' aparecen exactamente de la misma forma en ambas ecuaciones, y que la

longitud focal f está dada por:

(ecuación del constructor de lentes para una lente delgada).

Ecuación 2.

Ésta es laecuación del constructor de lentes. En el proceso de deducción de la relación

entre distancia objeto, distancia imagen y longitud focal para una lente delgada, también

hemos obtenido una expresión para la longitud focal f de una lente delgada en términos

de su índice de refracciónn y de los radios de curvaturaR1 yR2 de sus superficies. Esto

se puede utilizar para demostrar que todas las lentes de la figura 40 son convergentes conlongitud focal positiva, y que todas las lentes de la figura 41 son lentes divergentes con

longitud focal negativa. Por ejemplo en la figura e.7,s,s', yR1 son positivas, peroR2 es

negativa.

Insistimos en que la aproximación paraxial es, en efecto, una aproximación. Los rayos que

tienen ángulos lo suficientemente grandes con respecto al eje óptico de una lente esférica

no serán enfocados en el mismo foco que los rayos paraxiales; este el mismo problema de

aberración esférica que experimentan los espejos esféricos. Para evitar ésta y otras

limitaciones de las lentes esféricas delgadas, en los instrumentos ópticos de precisión se

utilizan lentes con formas más complicadas.

http://rabfis15.uco.es/lvct/tutorial/24/propl.htmhttp://rabfis15.uco.es/lvct/tutorial/24/propl.htm