GEOMETRÍA ANALÍTICAFernando Miranda / Elías Irazoqui.

La Elípse.

DEF. La es el conjunto de puntos del plano que cumplen con:Elipse X

P(x, y) − X Í la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante..

Los puntos fijos se llaman focos.

Teor. 1. La ecuación de la elipse de focos: F F y suma" #Ð -ß !Ñ C Ð-ß !Ñconstante 2a es:

B+ ,

C#

# #

#

œ " Ð"Ñ

donde , ! C , œ + -# # #

Demostración.

P(x, y) P(x, y) F P(x, y)− ß Ð-ß !ÑÑ .Ð ßX Í .Ð # F"Ð -ß !ÑÑ œ #+

È ÈÐB -Ñ C ÐB -Ñ C œ #+# # # #

È ÈÐB -Ñ C œ #+ ÐB -Ñ C# # # #

#+ ÐB -Ñ C œ + -BÈ # # #

Ð+ - ÑB + C œ + Ð+ - Ñ# # # # # # # #

, B + C œ + ,# # # # # #

B+ ,

C#

# #

#

œ " Þ

La situación anterior se explica graficamnete en la figura siguinete.

Gráfico de una Elipse.

Observaciones.1. El segmento es el eje major de la elipse y, es ele eje menor.A B B" # " #E

2. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por uno de los focos es el lado

recto (latus rectum); y su longitud es #,+

#

Þ

$Þ Ð +ß !Ñ C E Ð+ß !ÑA" # son los vértices de la elipse.

%Þ / œ œ Þ La excentricidad de la elipse se define como: -+ +

+ ,È # #

&Þ Las ecuaciones de las son:directrices

B œ C B œ Þ+ +/ /

Teor. 2 F (0.-c) y F (0,c) La ecuación de la elipse de focos y suma constante" #

2a es:

B+ ,

C#

# #

#

œ " (2)

con y , ! , œ + -# # #

Demostración. Ejercicio.

Obs. Laa ecuaciones de las directrices en el caso anterior son:

C œ +/

C œ +/Þ

Teor. 2 La ecuación de la elipse de centro: C(h,k) y eje mayor paralelo al eje X,

de longitud 2a y focos F (h-c, k) y F (h+c,k) es:" #

( - h) ( - k)B C+ ,

# #

# # œ " (3)

donde , œ + - ÞÈ # #

Demostración. Sean V y V puntos de la elipse como" #Ð2 +ß 5Ñ Ð2 +ß 5Ñla que se muestra en la figura siguiente

insertar dibujo.

Así, P(x, y) ELIPSE d(P(x,y), F ) + d(P(x,y), F =2a,− Í Ñ" #

esta relación se traduce algebraicamente en los siguinetes términos:

È ÈÐB Ð2 -ÑÑ ÐC 5Ñ ÐB Ð2 -Ñ ÐC 5Ñ œ #+# # # #

ÐB Ð2 -Ñ ÐC 5Ñ œ %+ ÐB Ð2 -Ñ ÐC 5Ñ %+ ÐB Ð2 -Ñ ÐC 5Ñ# # # # # # #È

ÐB 2Ñ - #ÐB 2Ñ- œ %+ ÐB 2Ñ - #ÐB 2Ñ- %+ ÐB Ð2 -Ñ ÐC 5Ñ# # # # # # #È

%+ %ÐB 2Ñ- œ %+ ÐÐB 2Ñ -Ñ ÐC 5Ñ Î ÐÑ# # # #È

+ ÐB 2Ñ - #+ -ÐB 2Ñ œ + Ð ÐB 2Ñ - #ÐB 2Ñ- ÐC 5Ñ Ñ% # # # # # # #

+ ÐB 2Ñ - œ + ÐÐB 2Ñ - ÐC 5Ñ# # # # # # #Ñ

+ œ ÐB 2Ñ - ÐC 5Ñ# # # #ÐB2Ñ -+

# #

#

+ - ÐB 2Ñ Ð "Ñ ÐC 5Ñ œ !# # # #-+

#

#

, ÐB 2Ñ Ð Ñ ÐC 5Ñ œ !# # #,+

#

#

, ÐC 5Ñ œ ÐB 2Ñ Î +# # # #,+

#

#

+ , + ÐC 5Ñ œ ÐB 2Ñ ,# # # # # #

ÐB 2Ñ , + ÐC 5Ñ œ + ,# # # # # #

( - h) ( - k)B C+ ,

# #

# # œ "Þ

Teor. 3 La ecuación de la elipse, de centro C(h,k), eje mayor paralelo añ eje Y y de longitud

2a, con focos y F (h, k-c) F h, k+c) es:" #Ð

( - h) ( - k)b a

B C# #

# # œ "

donde b= È+ -# #

Demostración. Ejercicio.

Teor. 4 Toda elipse, con ejes paralelos a los ejes coordenados, tiene una representación

algebraica de la forma:

E FC HBICJ œ !x# #

Y toda ecuación como la anterior representa una elpse, donde tinen el mismo signo.ECF

Demostración.Ê Basrta desarrollar las ecuaciones (3) y (4).

É Completar cuadrados en x e y.