La Fórmula de los Números Primos

Por Rafael Mora

Resumen: Se intenta buscar la fórmula que origine los números primos. Para ello

indagamos mediante la criba de Eratóstenes la forma de los primos. Esto resultará

infructuoso. Luego, comenzaremos a construir la fórmula mediante cierto artificio.

Finalmente, ante la fórmula y sus detalles criticaremos cierta circularidad presente

en ella.

Palabras clave: Números primos, divisor, fórmula genérica, criba de Eratóstenes,

Fórmula de Recurrencia Parcial, circularidad, principio débil de inducción

matemática.

1. ¿Qué son los números primos?

Los números naturales conforman un conjunto. Este conjunto será nuestro

dominio, y únicamente nuestras reflexiones se referirán a los números naturales.

Un subconjunto de dicho conjunto está conformado por los números primos. Los

números primos son aquellos números que tienen como únicos divisores a sí

mismo y a la unidad. Será pertinente elaborar ciertas distinciones matemáticas

que obedecen al esclarecimiento de estos términos técnicos. X será el divisor de Y

si Y = ab y X = 1 ó X = a ó X = b ó X = ab. En términos formales:

1

p & (q r s t) → D(x,y). Es, decir, tomando en cuenta que los números son

susceptibles de representarse en términos de operaciones de multiplicación entre

otros números, los divisores resultan ser con respecto a un número x aquéllos

otros números que participan en la operación de multiplicación que puede definir a

ése numero x. ¿Qué pasa con el número 1 el cual resulta ser el divisor de todos

los números? ¿Es o no primo? Dado que se divide a sí mismo de acuerdo al

axioma mencionado, y que también es dividido por la unidad, podemos afirmar

que es primo. Pero mejor volvamos a la definición del número primos y tratemos

de reducirla aún más. No afirmemos que un número es primos si es dividido por sí

mismo y la unidad. Dado que todos los números son divisibles por 1 o, dicho en

otras palabras, que tienen al 1 como un divisor necesario, el que todo número

primo pueda ser divisible por la unidad no resulta ser una propiedad característica

sólo de los números primos. En cambio, si bien la propiedad de ser divisible por sí

mismo se le puede atribuir a todo número, no todo número es el único divisor de sí

mismo (estos serían números primos), existen los llamados factores. Los factores

de un número w son aquellos números que se relacionan con otros números para

producir ese número w. Por ejemplo, si A= fg, entonces f (entre otros) es un factor

de A. Esto se desprende del llamado Teorema Fundamental de la Aritmética que

afirma que cualquier número natural puede escribirse como producto de primos en

forma única excepto por el orden en que se escriban los factores pues como

sabemos el orden de los factores no altera el producto. (Peterson y Hashisaki,

1997, p. 68) Tomando en cuenta que un divisor será propio de n si m es un divisor

de n y m 1 y, además, m n, (Peterson y Hashisaki, 1997, p. 167) llamaremos

factor propio de w a todo número que sea diferente de uno y del mismo w. Ahora

2

bien, definiremos al número primo como aquél número que no tiene factores

propios (Peterson y Hashisaki, 1993, p. 167). Consideramos que la información

adicional de que es divisible por sí mismo y por la unidad viene garantizada por la

misma estructura axiomática de la aritmética y, además, es aplicable a todos y

cada uno de los números naturales. Desde esta perspectiva el 1 no sería primo,

puesto que si lo fuera, no tendría divisores además de los que tiene por

necesidad, es decir, 1 y sí mismo (v. g. el 1 de nuevo). El uno es el elemento

neutro multiplicativo, esto significa que si al uno lo multiplicamos por cualquier otro

número y, esto da como resultado ese mismo otro número y. Formalmente, y.1=y.

La sucesión de número primos 2, 3, 5, 7, 11, etc. está conformada por números

que no tienen divisores diferentes del 1 y de sí mismos. El uno resulta que tiene

como único divisor a sí mismo, esto implicará que lo podamos definir como no-

primo habida cuenta de que aunque sólo tiene como divisores a sí mismo y a la

unidad (estos factores propios resultan ser el mismo número 1), esta es una

propiedad que pueden cumplir no sólo los números primos sino todos y cada uno

de los números naturales. A partir de dos, la definición del número primo funciona

puesto que el número resulta no tener factores propios además de los factores no-

propios estipulados por la teoría.

2. La Criba de Eratóstenes.

3

Una vez hechas estas salvedades, podemos volver a la definición anterior

con la advertencia de que el número 1 no es primo. Podemos definir por extensión

el conjunto de los números primos. Este conjunto sería:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …}

Quizás se nos ocurra pensar que este conjunto tiene elementos que son posibles

de generalizar con la ayuda de una fórmula de recurrencia que asocie la posición

del elemento y su valor numérico. Podemos decir que la fórmula a la que debemos

llegar se obtiene por inducción matemática, abstrayendo una forma común que si

se da en el 1er, 2do, 3ro, y 4to caso se darán para todos los demás casos. Pero

los resultados matemáticos oficiales sostienen que tal fórmula aún no ha sido

hallada o que es inexistente. Podemos comprender esto utilizando el método de

construir todos y cada uno de los primos representándolos en una cuadrícula de

10 por 10. Eratóstenes nacido en Grecia hacia el año 230 antes de Cristo, fue

bibliotecario del Museo de Alejandría (o Universidad Alejandrina) e inventó un

método para encontrar número primos: “La Criba de Eratóstenes”. Este es un

método para construir la lista de números primos menores que uno dado N = k2.

Primero se escriben el 1 y el dos, seguidos de los enteros impares hasta llega al

N. Luego, se suprimen los múltiplos del primo 3 que estarán situados de 3 en tres.

Enseguida, se suprimen los múltiplos restantes de 5 que estarán situados de 5 en

cinco. Se prosigue de esa forma suprimiendo los múltiplos restantes de números

primos p que están de p en p; hasta haber actuado con todos los primos menores

4

que k que en esta ocasión será 100. (Sánchez-Rubio & Ripollés Amela, 2000, p.

34) Conjeturo que quizás este método de la criba fue diseñado con el fin de ver si

los números primos presentaban alguna regularidad colocando distribuciones de

elementos de 10 filas por 10 columnas. Veamos algunos ejemplos.

PARES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

TRIPLES

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

QUÍNTUPLES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

HÉPTUPLES

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

PRIMOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

7

Los pares, los triples, los quíntuples o cualquiera de los múltiplos de cualquier

número primo geométricamente guardan cierto patrón en su forma de aparecer en

el cuadro de 10x10. Los pares conforman cinco franjas verticales de líneas rojas;

los triples, franjas diagonales de color amarillos; los quíntuples, dos franjas

celestes verticales; y los héptuplos, franjas diagonales verdes. Los números

primos (en color morado), en cambio, no guardan entre sí ningún patrón de

referencia que sea visible al menos hasta los 100 primeros números naturales. Su

representación se parece mucho a un garabato. Tan sólo las columnas debajo de

los números 1, 3, 7 y 9 parecen estar relativamente poblados. Sin embargo, puede

decirse que conforme se va avanzando en la sucesión de números los primos se

van volviendo cada vez más escasos. La conjetura es que dicho azaroso reparto

de elementos del conjunto de los primos podría estar dependiendo de cierto patrón

geométrico tan sólo verificable en una cantidad mayor de números, tal vez

mediante tablas de 10x100 o de 100x100. Pero, dado que nuestro sistema es

decimal, pensaremos en modificar la longitud de las columnas y no la longitud de

las filas, es decir, la tabla deberá ser de 10xP y P>100. En vista de esta conjetura

la investigación en torno a los números primos de más de 3 dígitos resulta más

que relevante. Uno supondría que los primos no conforman una sucesión infinita,

pues como hemos anotado, cada vez que se va aumentando el número de filas

del anterior cuadro, la probabilidad de encontrar un primo se va acortando más.

Pero, los números primos son infinitos. Esto ha sido demostrado mediante un

argumento de tipo lógico formal. Examinémoslo brevemente.

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Euclides un matemático griego nacido el año 300 antes de Cristo mostró

que el número de primos es infinito. De acuerdo a su Teorema, no existe ningún

número que sea el número primo mayor de todos los posibles. La argumentación

desarrollada en la forma de una reductio ad absurdum, es la siguiente:

Supongamos, en contradicción con lo que el teorema trata de demostrar, que

existe un número primo máximo. Lo llamamos ‘x’. Entonces:

1. x es el número primo máximo

2. Fórmese el producto de todos los números primos menores o iguales a x y

añádase 1 al producto. Esto da un nuevo número, y, donde

y=(2.3.5.7. … x) + 1.

3. Si y es primo, entonces x no es el mayor número primo, ya que y es

evidentemente mayor que x por ser diferente de cada factor de la productoria

2.3.5.7…

4. Si y es compuesto (es decir, no primo), entonces tampoco x es el mayor número

primo. Porque, si y es compuesto, se puede escribir y=z.y’ y tendrá que haber un

divisor primo z de y, y z tiene que ser distinto de cada uno de los números primos

menores o iguales a x, es decir, tiene que ser diferente de 2, de 3, de 5, de 7, …, y

de x; (esto se explica porque para los números de la lista de primos la división no

es exacta: si dividimos y entre z, el resto es cero, pero si dividimos y por

cualquiera de los primos entre 2 y x, se obtiene 1 como resto). Por consiguiente, z

tiene que ser un número primo mayor que x. Y así Euclides encontró un nuevo

número primo que no estaba en la lista. (Callejo, 1994, p. 266)

5. Pero y, o es primo o es compuesto.

6. Por consiguiente, x no es el mayor número primo.

9

7. Por reducción al absurdo, no existe ningún número primo que sea el mayor de

todos. (Nagel y Newman, 2000, p. 55s) O, lo que es lo mismo, esto significa que

no es posible elaborar una lista finita con todos los números primos, lo que

concluye la demostración.

3. Buscando la fórmula de los primos.

Una de las maneras de definir conjuntos es: primero, enumerando en una

lista todos y cada uno de los elementos que forman parte de tal conjunto y, luego,

hallando la ley general o el significado de dicha agrupación de elementos. Sin

embargo, dicha manera de proceder se revela como ingenua al creer que se está

significando una estructura en su totalidad con todo lujo de detalles en cada uno

de sus diversos ejemplares. Digamos que la proyección de cierta agrupación de

elementos, su síntesis, su ley de formación por así decirlo, puede estar tan

infectado de información innecesaria o insuficiente de tal manera que determine su

aplicación a más cosas de las que pretendía, pero sin percatarse que esa misma

agrupación-base-de-por-lo-menos-tres-elementos de la que se parte para escribir

luego puntos suspensivos es común en varias interpretaciones. Por ejemplo,

tenemos la sucesión 2, 4, 6, 8, … ¿qué nos priva de pensar que el número que le

sigue al 8 es 11 y no 10 como podríamos imaginar de modo intuitivo? La sucesión

entonces podría ser 2, 4, 6, 8, 11, … Este tipo de sucesiones en el que parece

haber una generalidad en los primeros 4 elementos pero no el quinto, (y

probablemente no en los demás) puede ser tratada de un modo especial con un

artificio. De esta misma manera trataremos de hallar la ley de formación de los

10

números primos, mediante una regla de formación aplicada a los primeros dos

elementos: supongamos que 2, 3, … es una sección explícita de la sucesión de

números primos. Tratemos de hallar la ley de formación de estos primeros

elementos. A primera vista parece que fuera aumentando de uno, de tal manera

que la ecuación lineal que podría determinar su posible extensión es

tn * = n+1.

A esta formula la llamaremos Fórmula de Recurrencia Parcial. Verifiquemos lo

hallado produciendo los primeros dos términos.

t1 * = 1+1 = 2

t2 * = 2+1 = 3

¿Qué pasará con el siguiente número primo que sabemos que es 5?

t3 * = 3+1= 4

Sucede que el tercer término, debió habernos salido 5 y no 4. Aquí hay un exceso.

¿Qué hacemos ahora? Ahora tomemos tres términos de la susodicha sucesión 2,

3, 5, … . A la formula de recurrencia anterior vamos a agregarle un polinomio que

se anule o que no funcione para los dos primeros valores de n (es decir: 1 y 2) y

11

que empiece a trabajar para n=3. El término al que me refiero tendrá que ser de la

forma:

(n-1) (n-2)

para que pueda valer cero para n = 1 y n = 2, pues si reemplazamos:

n = 1 (n-1) (n-2) = (1-1) (1-2) =0

n = 2 (n-1) (n-2) = (2-1) (2-2) =0

Pero seamos más estrictos, y en lugar de (n-1) (n-2) coloquemos:

k (n-1)(n-2)

que como se puede comprobar se anula para n = 1 y n = 2. Entonces tendremos la

Fórmula de Recurrencia Genérica que se distingue de la parcial por tener dos

astericos:

tn** = tn * + k (n-1)(n-2)

tn** = n+1 + k (n-1)(n-2)

Luego para hallar k, sabemos que para n = 3 t3** = 5, entonces:

tn** = n+1 + k (n-1)(n-2)

t3** = 3+1 + k (3-1)(3-2) = 5

k = 1/2

12

Como ya determinamos el valor de k, la Fórmula de Recurrencia Genérica será:

tn** = n+1 + (1/2) (n-1) (n-2)

Si hacemos n=3, tendremos que t3** = 5, pero si hacemos que n = 4 en esta última

fórmula obtenemos que t4** = 8. Aquí hay otro exceso. Nuevamente, tendremos

que considerar el procedimiento anterior para obtener el verdadero cuarto

elemento de la sucesión de números primos que es t4*** = 7. (Zevallos, s.a., pp.

318-324)

Recordemos lo que es un factorial de x. Según el primer tomo del Consultor

Matemático “al producto de n factores que van decreciendo en una unidad desde n

hasta el 1 se le llama n! y se lee “n factorial”.” (Galdós, 1998, p. 47).1 Ahora bien,

considerando lo anterior, podemos constatar una fórmula “generalizable” (pedimos

a los matemáticos se encarguen de averiguar esto) al menos para los primeros 10

números primos:

tn = 2 + + + + +

+ + + +

1 El factorial fue una palabra introducida por Arbogast para designar el producto de los n primeros números naturales. Se representa por n!. Por ejemplo: el factorial de 4 será 24, es decir, 4!=1.2.3.4. Formalmente: n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) … .3.2.1 (Vera, 1959, p. 263)

13

Tal vez la forma de los coeficientes de cada fracción de factoriales pueda tener

una forma generalizable. Tomemos en cuenta que si quisiéramos hallar la fórmula

para los 11 primeros elementos tendríamos: t11 = tn + , donde t11 es el

11.mo número primo y K11 es el coeficiente del 11.mo fracción de factoriales, y

además tn es la fórmula genérica que funciona para los primeros 10 primos.

Si despejamos K11 podemos obtener K11= y de modo general

podemos asumir que K=

Por último, tenemos que hacer una aclaración de orden algebraico.

Sabemos que (n-1)! = n-1.n-2.n-3…y también sabemos que (n-2)!=n-2.n-3.n-4…

Esto implica el que nosotros podamos dividir (n-1)! entre (n-2)! para obtener n-1,

es decir, . Sin embargo, si en esta última formula hacemos que n=1,

tendremos que , y el divisor será un factorial de un número negativo. Esto

último es inaceptable, por ello antes de proceder a reemplazar constantes por

variables haremos todo lo posible por simplificar la formula todo lo que se pueda.

Y por indentidad

será reducible a n-1. Con esto podemos concluir que

todos los cocientes en el que el divisor es un factorial de un número negativo son

iguales a cero.

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Con esta salvedad podemos utilizar la anterior fórmula para derivar todos y

cada uno de los 10 primeros primos.

tn = 2 + + + + +

+ + + +

Si n=1, t1=2+0+0+0+0+0+0+0+0+0=2.

Si n=2, t2=2+1+0+0+0+0+0+0+0+0=3.

Si n=3, t3=2+2+1+0+0+0+0+0+0+0=5.

Si n=4, t4=2+3+3-1+0+0+0+0+0+0=7.

…

4. La fórmula de los primos no es inductiva sino circular.

¿Refleja la fórmula hallada la forma genérica de la tan misteriosa fórmula de

recurrencia de los números primos? Si los primos fuesen sólo 10, entonces sí, esa

fórmula representaría la sucesión de primos. Pero, lo cierto es que los primos son

infinitos como lo demostró Euclides. Sin embargo, la fórmula anterior puede seguir

creciendo en extensión al considerar más y más primos. La fórmula no puede dar

con todos los primos a priori, para ello necesitamos saber cuáles son los primos y

luego forzarlos a que formen parte de una sucesión. Por ejemplo, digamos que

tengo un primo de cuatro cifras y la fórmula de recurrencia parcial hasta ese primo.

Es posible que logre saber cuál es el siguiente primo, mas esto será por suerte o

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por casualidad que alguna otra cosa. Lo primero que se hace, es averiguar cuál es

el siguiente primo para después aplicarle la fórmula y enseguida corregir los

excesos o los defectos. Por ello, la fórmula anterior tal y como es presentada será

circular. Pues, el problema de hallar la fórmula de recurrencia general para todos

los números primos, alterando una y otra vez la fórmula de recurrencia parcial

evidencia cierto tipo de circularidad, puesto que se supone que la fórmula de

recurrencia general tiene que aplicársele al siguiente primo sea cual sea y por lo

tanto solo se trata de aproximarnos cada vez más y más a ella. La generalización

de la fórmula a la cual siempre se le agrega un polinomio que se anula para los

elementos precedentes de la sucesión, nos provee de cierta esperanza de haber

hallado la fórmula de los números primos no solo para los elementos de la

sucesión que hemos considerado hasta el momento, sino para todo elemento de

la sucesión por una inducción matemática improbable. Sin embargo, si seguimos a

Luis Piscoya, podemos enunciar el principio de inducción matemática débil de la

siguiente manera: “Si un teorema es válido para el número 1 y se demuestra que

es verdadero para n+1 siempre que lo sea para n, será verdadero para todos los

números enteros”. (2000, p. 151) Pero, el teorema debe guardar la misma forma

tanto para 1 como para sus sucesores. Por este motivo, aunque podemos

construir la fórmula de los primos esta tendrá que mutar cada cierto tiempo ante el

descubrimiento de nuevos números primos que se puedan hallar en el futuro. No

existe una fórmula de números primos, lo que existe es una fórmula de números

primos que se puede aplicar hasta cierto primo determinado. En este sentido,

tampoco puede probarse por inducción matemática que existe una fórmula de

números primos.

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Bibliografía

CALLEJO, María Luz. (1994) Un Club Matemático para la Diversidad.

Madrid: Narcea.

GALDOS, L. (1998) Consultor Matemático. (t. I) Madrid: Cultural.

NAGEL, E. (&) J. NEWMAN. (2000) El teorema de Gödel. Madrid: Tecnos.

PETERSON, John (&) Joseph Hashisaki. (1993) Teoría de la Aritmética.

México: Limusa.

PISCOYA HERMOZA, Luis. (2000) La Inducción Matemática. En:

Tópicos en Epistemología. Luis Piscoya, 2000, UIGV, pp.143-167.

SÁNCHEZ-RUBIO, Cristobal & Manuel RIPOLLÉS AMELLA. (2000)

Manual de Matemáticas para preparación olímpica. :Universitat Jaume.

VERA, Francisco. (1967) Matemática; lexicón Kapelusz. Buenos Aires: Kapelusz.

ZEVALLOS GARCÍA, Óscar. (s.a.) Razonamiento Matemático. Curso Integral.

6ª ed. Lima: Centauro.

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