1.2. Numeros racionales · denominadores en factores primos y multiplicar los factores primos que...

$: 1.2. Numeros racionales · denominadores en factores primos y multiplicar los factores primos que aparecen, con el exponente ... denominador para las fracciones 3 4, 1 240, 2 9 hallamos$
1.2. NUMEROS RACIONALES 11

1.2. Numeros racionales

Figura 1.6: Carlitos

En la seccion 1.1 se definieron los numeros racionales − llamados tambien fracciones − como ladivision o la razon entre dos enteros, pq = p/q, donde q 6= 0. Al numero de arriba, p, se le llama nu-merador y al de abajo, q, denominador. De la palabra ((razon)) se deriva el nombre ((racionales))que se les da a estos numeros.

Si p es divisible por q, al efectuar la division se obtiene un numero entero, es decir, un numero deZ. El conjunto de los numeros racionales, que notamos Q, comprende tanto a las razones que alefectuar la division dan un entero como a las que no, por lo que Z ⊆ Q.

Vale la pena repasar el concepto mas elemental de fraccion pq interpretandola como la cantidad de

pastel que se obtiene al reunir una porcion de cada pastel del resultado de dividir p pasteles cadauno en q porciones iguales. Ası observamos rapidamente que 2

6 = 13 porque es lo mismo tomar dos

porciones de 16 que una de 1

3 .

En general se tiene quenp

nq=p

q.

Por ejemplo,6

12=

3

6=

1

2.

Se dice que uno reduce una fraccion cuando divide su numerador y su denominador por el mismonumero entero, de manera que estos terminos sigan dando enteros, y cuando no es posible seguirdividiendolos se dice que la fraccion se encuentra reducida a su mınima expresion.

12 CAPITULO 1. NUMEROS, SISTEMAS NUMERICOS Y OPERACIONES

En algunos casos puede ser conveniente multiplicar numerador y denominador por un mismo numeroentero para amplificar una fraccion sabiendo que el valor de la fraccion no cambia. Como ya sevio, otra manera de descubrir que dos fracciones p

q y rs son iguales consiste en ver si son iguales

los productos del numerador de una por el denominador de la otra, ps = rq. Ası, 34 = 12

16 porque3 · 16 = 12 · 4.

1.2.1. Multiplicacion y division de fracciones

Volviendo al ejemplo de los pasteles, si pedimos la tercera parte de la mitad del pastel, sabemosque es la sexta parte. Esta situacion se modela con el producto de las fracciones 1

3 ·12 = 1

6 .

Igualmente, si se pide 23 de 3

5 se entiende que es el producto 23 ·

35 = 6

15 = 25 .

La multiplicacion de fracciones se efectua tomando como numerador al producto de los numeradoresy como denominador al producto de los denominadores. La preposicion ((de)) indica multiplicacion

El ultimo ejemplo sirve para mostrar que se puede reducir la fraccion que resulta antes de efectuarlas multiplicaciones, cancelando factores comunes del numerador y el denominador:

Entre los numeros racionales, con la excepcion del cero, todo numero, pq tiene un inverso multipli-

cativo qp : el de −4, por ejemplo, es −1

4 ; el de 13 es 3; y el de 3

4 es 43 . En general, si a es un numero

diferente de cero, su inverso multiplicativo es 1a , notado con frecuencia a−1.

Cuando se multiplica un numero por su inverso multiplicativo, el resultado es 1, numero que seconoce como el elemento neutro de la multiplicacion: p

q ·qp = 1 o simplemente a · a−1 = 1

Adicionalmente, ası como la substraccion es la operacion que deshace a la adicion, la division es laoperacion que deshace la multiplicacion. Por esta razon a÷ b se define como el producto de a conel inverso multiplicativo de b: a/b = a · b−1.

3/5 = 3 · 1

5=

3

5

3÷ 2

5= 3 · 5

2=

15

2


5243

=5

2· 3

4=

15

8

1.2.2. Suma y resta de fracciones

De nuevo con el ejemplo de los pasteles vemos que es muy facil representar la suma o la resta dedos fracciones que tengan el mismo denominador. Por ejemplo si queremos sumar 2

5 + 15 partimos el

pastel en cinco porciones, tomamos 2 porciones y le agregamos 1 porcion para obtener 3 porciones,es decir, 2

5 + 15 = 3

5 . Igual de facil resulta la resta: 45 −

25 = 2

5 , con lo cual podemos resumir lo queencontramos en la siguiente regla.

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradoresdejando el mismo denominador.

El problema esta al sumar o restar fracciones con diferente denominador. La solucion esta enamplificar una o las dos fracciones para que ambas tengan el mismo denominador o un ((denominadorcomun)) y luego sumarlas o restarlas como ya se ha descrito. Por ejemplo:

Para sumar 23 + 1

6 vemos que 23 es lo mismo que 4

6 y, por lo tanto,

2

3+

1

6=

4

6+

1

6=

5

6.


Para sumar 16 + 1

4 vemos que al amplificar 16 por 2 y 1

4 por 3, obtendremos dos fracciones conel mismo denominador 2

12 y 312 , y por lo tanto,

1

6+

1

4=

2

12+

3

12=

5

12.

Para sumar o restar fracciones con denominadores distintos, se amplifican las fracciones para quetengan el mimo denominador y luego se suman o restan los numeradores dejando el mismo deno-minador.

1.2.3. Como encontrar el mınimo comun denominador

Una forma infalible de encontrar un comun denominador para varias fracciones consiste en mul-tiplicar todos sus denominadores. Sin embargo, este denominador comun generalemente no es elmınimo y puede resultar muy grande y engorroso. Por esta razon se recomienda encontrar el mıni-mo comun denominador, es decir el mas pequeno de los denominadores comunes. Para encontrarlo,una manera sencilla consiste en listar los multiplos de cada denominador en forma ascendente hastaencontrar el primer multiplo que aparece en todas las listas.

Por ejemplo, para encontrar el mınimo comun denominador para las fracciones 34 ,16 ,29 , se hacen las

siguientes listas:

Los multiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

Los multiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

Los multiplos de 9: 9, 18, 27, 36, ...,


para descubrir que 36 es el mınimo comun denominador pues es el primer multiplo que aparece entodas las listas. Luego, las tres fracciones se pueden escribir con el mismo denominador como

3

4=

27

36,

1

6=

6

36,

2

9=

8

36.

Si se hubieran multiplicado los tres denominadores se habrıa encontrado un comun denominador4 · 6 · 9 = 216, que es bastante mas grande.

Otra manera mas tecnica para encontrar el mınimo comun denominador consiste en descomponer losdenominadores en factores primos y multiplicar los factores primos que aparecen, con el exponentemayor que tenga en alguna de las decomposiciones. Por ejemplo, para encontrar el mınimo comundenominador para las fracciones 3

4 , 1240 ,29 hallamos primero las descompocisiones en factores primos

de los denominadores en cuestion:

4 = 22

240 = 24 · 3 · 5

9 = 32.

Los numeros primos que aparecen son 2, 3 y 5, donde los exponentes mayores son 4, 2 y 1 respec-tivamente. Luego el mınimo comun denominador es:

24 · 32 · 5 = 720.

Las fracciones con este denominador comun se escriben:

3

4=

540

720,

1

240=

3

720,

2

9=

160

720.

1.2.4. Numeros mixtos

Los numeros mixtos son una forma de escribir racionales cuyo valor absoluto es mayor que uno enuna parte entera y otra fraccionaria como 11

2 ,−423 y 31

7 . Su significado, en cada caso es

11

2= 1 +

1

2

−42

3= −(4 +

2

3)


Cuadro 1.2: Propiedades de las fracciones

31

7= 3 +

1

7.

Por lo tanto, se pueden expresar como fraccionarios puros haciendo la suma de fracciones.

11

2= 1 +

1

2=

2

2+

1

2=

3

2

−42

3= −(4 +

2

3) = −12

3+

2

3=

14

3

31

7= 3 +

1

7=

21

7+

1

7=

22

7.

Esta operacion se puede resumir con el siguiente algoritmo:

Para convertir un numero mixto en fraccionario puro se multiplica la parte entera por el denomi-nador de la parte fraccionaria y se suma el resultado al numerador. De denominador se utiliza eldenominador de la parte fraccionaria.

1.2.5. Ejercicios

Multiplicacion y division de fracciones

1. Simplifique las siguientes fracciones:

a) 1624

b) 213


c) 1352

d) 3660

2. Escriba las siguientes divisiones como productos:

a) 2x÷ 5

b)325

c) 2−x2+x4

3. Escriba los siguientes productos como divisiones:

a) a · 14b) 3 · 35

4. Efectue las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones. No olvide simplificar siempre

a)4b

5c· ac

2b

b)4b

5c÷ bc

10

c)4b5c

2c

d)ac3ba6

5. Encuentre2

3de

5

4

6. Sume o reste las siguientes fracciones, segun se indique, pensando en porciones de pastel:

a) 23 + 5

6

b) 13 −

14

c) 13 −

14

d) 25 −

310

e) 32 − 1

7. Encuentre el mınimo comun denominador de los siguientes conjuntos de fracciones:

a) 23 ,

34 ,

56

b) 516 ,

14 ,

112

c) 17 ,

14 , 2

d) 25 ,

13 ,

34

8. Efectue las siguientes operaciones de fracciones:

a) 23 + 3

4 −56

b) 516 + 1

4 + 112

c) 17 −

14 + 2


d) 25 −

13 −

34

e) 25(10− 5

2)

f ) (2 + 25)(1− 1

3)

g) 225

−252

9. Convierta los siguientes numeros mixtos en fraccionarios puros:

a) 423

b) −134

c) −315

d) 517

10. Convierta las fracciones en numeros mixtos:

a) 73

b) −94

c) 255

d) 257

1.3. Numeros reales

La definicion rigurosa de los numeros reales no se alcanzo sino hasta la decada de 1870. Parapresentar el concepto de numero real de manera entendible al nivel de este libro, es necesariocomenzar por la escritura decimal de los numeros racionales. Los numeros arabigos que comenzarona usarse en Europa hacia el siglo XII tuvieron sus comienzos hacia el siglo IV en la India, pasandoluego al mundo arabe a traves del matematico musulman persa, al-Jwarizmi, en el siglo noveno.A pesar de que hubo algunos matematicos musulmanes que usaron fracciones decimales desde esesiglo, los cientıficos europeos solo comenzaron a usar este tipo de fracciones entre los siglos XVI yXVII.

1.3.1. Decimales y numeros irracionales

La escritura de numeros en forma decimal no necesitan presentacion. Consiste en anotar una parteentera a la izquierda y otra fraccionaria a la derecha, separadas por un punto o una coma. En estelibro utilizaremos la coma llamada coma decimal. Al utilizar solamente diez dıgitos, se requierede un sistema posicional para representar todos los numeros. En la parte entera las posiciones sedenominan, de derecha a izquierda, unidades, decenas, centenas, etc., mientras que las posicionesfraccionarias son, de izquierda a derecha desde la coma decimal, decimas, centesimas, milesimas,etc. Resulta, entonces, que un numero escrito en esta forma es una suma de dıgitos multiplicadospor las que llamamos potencias de 10. Por ejemplo:

342, 7159 = 3 · 100 + 4 · 10 + 2 +7

10+

1

100+

5

1000+

9

10000.

Este numero, por lo tanto, puede escribirse como el numero mixto,

1.3. NUMEROS REALES 19

342, 7159 = 3427159

10000.

De ahı se desprende el algoritmo para convertir un numero decimal en un numero mixto:

Se escribe la parte entera seguida por la fraccion cuyo numerador es la parte fraccionaria y cuyodenominador es la potencia de diez escrita como un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene laparte fraccionaria. Si es necesario, esta parte fraccionaria se debe reducir a su mınima expresion.

Para convertir una numero fraccionario en una fraccion decimal, se divide el numerador por eldenominador. Supondremos que el lector conoce como se efectua este tipo de division que resultaen un numero decimal. En este numero la parte fraccionaria puede resultar en un numero infinitode dıgitos, pero en este caso siempre sera periodica, repitiendose uno o un conjunto de numeros alinfinito. Para representar esta repeticion de dıgitos utilizaremos una raya encima de los dıgitos quese repiten. Por ejemplo:

3

4= 0, 75

1

3= 0, 3

2

7= 0, 285714

−23

8= −2, 375.

Esto suscita una nueva pregunta. ¿Como se convierte un decimal periodico en una fraccion? Porejemplo, como se convierte 34, 523 = 34, 523232323... en fraccionario?

Primero decimos que x = 34, 523 = 34, 523232323.... Observamos que su perıodo tiene dos dıgitos,luego multiplicamos x por 102 = 100 corriendo la coma dos posiciones a la derecha, para obtener100x = 3452, 323 = 3452, 3232323.... Ahora restamos:

100x = 3452, 323 = 3452, 3232323...

−x = −34, 523 = 34, 523232323...

para obtener:99x = 3417, 80 = 3417, 800000000... = 3417, 8

Finalmente despejamos x, dividiendo ambos lados de la ecuacion por 99, y amplificamos la fraccion,si es necesario, para que no quede la coma decimal en la fraccion. Ası:

x =3417, 8

99=

34178

990.

Al hacer esta transformacion con un numero x cualquiera con decimal periodico, debemos recordarque hay que multiplicar x por 10n donde n es el numero de dıgitos en el perıodo para que se corrala coma n posiciones a la derecha.

Existe una aparente paradoja en los numeros decimales pues los decimales que tienen perıodo 9tienen dos formas de escribirse. Por ejemplo:


Si x = 0, 9, al transformarlo en una fraccion, se resta:

10x = 9, 9

−x = −0, 9

para obtener

9x = 9, 0 = 9

De donde,

x =9

9= 1

Luego el numero uno tiene dos escrituras 0, 9 = 1, 0. En realidad no es una contradiccion puestoque a los numeros escritos en forma decimal de desarrollo infinito hay que entenderlos como lımites,concepto que se define en los cursos de calculo. Otros numeros semejantes son: 3, 9 = 4, 0 y 0, 129 =0, 130.

Numeros irracionales

En esta discusion se vio que los numeros racionales siempre tienen un desarrollo decimal que o bienes finito o bien periodico y no se hablo nada de numeros que tengan un desarrollo decimal infinitono-periodico. Estos son los numeros que no son racionales, o sea, los irracionales.

Teorema 1.3. Un numero es irracional si su desarrollo decimal no es ni finito ni periodico.

Hay una infinidad de numeros irracionales. Estan los que empezaron a descubrir los griegos, como√2,√

3,√

5,√

6,..., 3√

2, etc. y otros, como

π = 3, 14159265358979323846...y

e = 2, 7182818284590452353....

Muchos se pueden construir con un poco de ingenio, mostrando su desarrollo decimal infinitono periodico con un patron que indique como es. Por ejemplo, el numero cuyo desarrollo es lasecuencia de todos los numeros naturales, 0, 123456789101112131415..., es irracional, como tambienlos siguientes:

0, 101001000100001...

0, 112123123412345123456...

1, 3579111315171921...

56, 556655566655556666....

Adicionalmente, los que mas abundan son los de desarrollo infinito sin ningun patron.


1.3.2. Numeros reales y sus operaciones

Los numeros reales comprenden tanto los racionales como los irracionales. Los podrıamos definircomo todos los numeros que se pueden denotar en el sistema decimal, con desarrollos finitos,infinitos periodicos o infinitos no periodicos. Sobre ellos se definen las cuatro operaciones que yahemos mencionado, la adicion, la multiplicacion, la sustraccion y la division, para formar un sistemanumerico muy completo que se usa en toda la matematica.

Muchas de las propiedades de las operaciones entre numeros reales son comunes a todos los sistemasnumericos que hemos presentado aca, otras rigen solo para ellos y para los numeros racionales.Probablemente ya conocen las propiedades conmutativas de la adicion y de la multiplicacion: ((elorden de los sumandos o de los factores no altera el resultado)). Tambien esta la propiedad asociativa:((cuando se suman o multiplican mas de dos cantidades, no importa como se agrupen)).

En la siguiente tabla se presentan las propiedades mas importantes.

Cuadro 1.3: Propiedades de numeros reales

Redondeo En la practica, es importante poder recortar los numeros reales para usar aproxima-ciones del numero mas o menos precisas, segun el requerimiento. El metodo mas utilizado es elsiguiente.

Primero, se decide cual es el ultimo dıgito que se desea guardar.

Se conserva este dıgito, si el siguiente dıgito a la derecha es menor que 5.

Se le suma uno a este dıgito, si el siguiente dıgito a la derecha es mayor o igual a 5.

Este metodo se conoce como redondeo.

Por ejemplo, al redondear el numero 0, 285714 a la centesima mas cercana se obtiene 0, 29; a lamilesima mas cercana se obtiene 0, 286 y a la diezmilesima mas cercana, 0, 2857. Igualmente, alredondear el numero π a la milesima mas cercana se obtiene 3, 142. Vemos, por lo tanto, que elredondeo se puede hacer tan preciso como se quiera.

1.3.3. Porcentajes y regla de tres

El nombre de regla de tres se le da a los problemas de proporcion directa o inversa donde se dantres numeros y se pide encontrar un cuarto.

Por ejemplo: Si una docena de huevos vale $3600, ¿cuanto valen 30 huevos? Este problema se puederesumir de la siguiente manera:

12 −→ 3600

30 −→ x


y para resolverlo se puede plantear cualquiera de las siguientes ecuaciones:

12

30=

3600

x

12

3600=

30

x

x

30=

3600

12.

Lo importante es no revolver los datos que se dan. De cualquier manera, la solucion es:

x =30 · 3600

12

o sea, $9000 valen los 30 huevos.

En este problema a mayor numero de huevos, mayor el precio total, y se dice que la regla de treses simple pues la proporcion es directa. Sin embargo, hay situaciones donde el incremento en unavariable significa un descenso en la otra.

Por ejemplo: Si dos pintores se demoran tres horas en pintar una pared, ¿cuanto tiempo se demorancinco pintores en hacer el mismo trabajo? El resumen de este problema es muy parecido:

2 −→ 3

5 −→ x,

pero la relacion es inversa pues a mayor numero de pintores, menor el tiempo. Por lo tanto, elplanteo matematico es distinto, pues se trata de una regla de tres inversa:

2 · 3 = 5 · x.

Luego, x = 2·35 , o sea, x = 1, 2 horas.

Un uso muy comun de la regla de tres simple, es el caso de descuentos, intereses y comisiones dondeintervienen los porcentajes. Comencemos por recordar que cuando se habla de un tanto por cientoy se usa el sımbolo % se refiere a una fraccion donde el denominador es 100:

85 % =85

100= 0, 85

200 % =200

100= 2.

Ahora veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.4. En la venta de una casa, el vendedor gana el 3 % del precio de venta. ¿Cuanto esla comision si el precio de venta fue de $750 millones?

Se pregunta cuanto es el 3 % de $750 millones. La preposicion ((de)) significa multiplicacion, comocon las fracciones. Luego, la respuesta es:

3 % · $750 = 0, 03 · $750 = $22, 5millones


Ejemplo 1.5. Hay 20 mujeres en una clase de 34 estudiantes. ¿Que porcentaje de los estudiantesde la clase son mujeres?

Una manera de resolver este tipo de problemas es con regla de tres. Si 40 estudiantes representanel 100 %, 24 representan x%. Resumiendo,

40 −→ 100 %

24 −→ x%

luego,x%

100 %=

24

40

y

x% =24 · 100 %

40= 60 %

Ejemplo 1.6. Si un par de zapatos, que se encuentra rebajado en un 25 %, vale $66,000, ¿cuantocostaban inicialmente?

Aca hay que darse cuenta de que $66,000 representa el 75 % del valor inicial y se pide encontrar elvalor inicial que representa el 100 %. De nuevo, usando regla de tres,

$66,000 −→ 75 %

x −→ 100 %

luego,x

100 %=

66,000

75 %

y

x =$66,000 · 100 %

75 %= $88,000

1.3.4. Aplicaciones a la geometrıa

Areas y perımetros de figuras planas

El area de un rectangulo se calcula multiplicando su base b por su altura h, es decir A = bh. Amodo de justificacion parcial, si b tiene m unidades de largo y h tiene n unidades de largo, entoncesel area tiene m·n unidades cuadradas (u). El perımetro del rectangulo es la suma de las longitudesde sus lados, es decir P = 2b+ 2h.

El area de un paralelogramo tambien se calcula multiplicando la base b por la altura h , es decirA = bh, pero la altura se mide con una perpendicular a la base. Justificacion: si se recorta unaesquina del paralelogramo y se le pega al otro lado se obtiene un rectangulo con la misma area. Elperımetro del paralelogramo es la suma de las longitudes de sus lados, es decir P = 2a+ 2b.


El area de un triangulo se calcula multiplicando su base b por su altura h y dividiendo por 2, es de-cir A = 1

2bh. La base b puede ser cualquiera de sus lados y la altura se mide con una perpendicular ala base. A modo de justificacion, si se pegan dos triangulos iguales por uno de sus lados, se obtiene unparalelogramo. Luego el area del triangulo es la mitad. El perımetro del triangulo es la suma de las

longitudes de sus lados, es decir P = a+b+c.

El area de un trapecio es la mitad de la suma de las bases, a + b, por su altura h , es decirA = 1

2(a+ b)h. La altura se mide con una perpendicular a las bases. A modo de justificacion, si sesi se pegan dos trapecios resulta un paralelogramo de area (a + b)h. Luego el area del trapecio esla mitad.

El perımetro del trapecio es la suma de las longitudes de sus cuatro lados, es decir P = a+b+c+d.

Un polıgono regular de n lados esta compuesto de n triangulos iguales. Su area, por lo tanto, esA = 1

2ab · n, donde a es la altura de los triangulos y b es la base. Como el perımetro del polıgonoes P = b · n, el area del polıgono es A = 1

2aP , donde a se llama la apotema del polıgono y P es elperımetro.

Cuando el numero de lados del polıgono tiende a infinito, el polıgono tiende a un cırculo. Por lotanto, el area del cırculo es A = 1

2rC, donde r es el radio y C su circunferencia o perımetro. Ahora,como π se define como el numero que resulta de dividir la circunferencia de un cırculo, C, por sudiametro d, C = πd = 2πr, y el area del cırculo es A = 1

2rC = 12r(2πr) = πr2.


volumenes de figuras solidas

El volumen de paralelepıpedos y cilindros se obtiene multiplicando el area de la base B por laaltura h, es decir V = Bh. La altura se mide con una perpendicular a la base.

El volumen de piramides y conos es la tercera parte del area de la base B por la altura h, esdecir V = 1/3Bh. La altura se mide con una perpendicular a la base.

El volumen de una esfera de radio r es V = 43πr

3. Su area es A = 4πr2

Ejemplo 1.7. En un triangulo rectangulo, los lados menores, o catetos miden a y b. Calcule elarea del triangulo.

Solucion:


Como en un triangulo rectangulo el angulo recto esta entre los dos catetos, estos son perpendicularesentre sı. Por lo tanto podemos escoger uno de ellos como base y el otro como altura y el area esA = 1

2bh = 12ab

Ejemplo 1.8. Un tarro de conservas mide 10 cm de alto y 4 cm de diametro. Encuentre su volumenen cm3 y su area superficial en cm2, aproximados a la decima mas cercana.

Solucion:

El volumen se obtiene de la formula V = πr2h = π · 22 · 10 = 40πcm3 ≈ 125, 7cm3. Para el areasuperficial se deben sumar dos tapas de area πr2, o sea 2π · 22 = 8πcm2, mas el area de la regioncurva, que si se corta y se extiende forma un rectangulo de 10 cm por 4π cm. Por lo tanto, el areatotal es 8π + 40π = 48πcm2 ≈ 150, 8cm2

Ejemplo 1.9. La gran piramide de Guiza tiene 140 m de altura y su base cuadrada tiene lados de230 m. Calcule el volumen de la piramide, a la centesima de m3 mas cercana.

Solucion: El area de la base cuadrada es de 2302 = 52900m2. Por lo tanto el volumen es: V =1/3Bh = 1/3(52900) · 140 ≈= 2468666, 67 m3

Ejemplo 1.10. El diametro de una bola de billar mide 6, 15 cm. Encuentre su volumen en cm3 ysu area superficial en cm2, a la centesima mas cercana.

Solucion:

El volumen es V = 43πr

3 = 43π6, 153 ≈ 974, 35cm3. Su area es A = 4πr2 ≈ 475, 29cm2

1.3.5. Ejercicios

Decimales, racionales e irracionales

1. Convierta los siguientes decimales en fracciones:

a) 2, 111

b) 3, 57

c) −3, 14

d) 2, 1

e) −3, 15

2. Redondee los siguientes numeros a la posicion decimal indicada:

a) 2, 111; decima

b) 3, 57; unidad

c) −3, 1415; milesima

d) 2, 1; diezmilesima

e) −3, 15; decima


3. Convierta los siguientes numeros en decimales, redondeando a la diezmilesima mas cercana,si es necesario:

a) 423

b) −1 512

c) −235

d) 17

4. Justifique por que 1 = 0, 9 = 1, 0

5. Que es un numero irracional? Por que se llama ası? De cinco ejemplos de numeros irracionales.

6. Explique por que Q ⊆ R

7. Explique como se reconoce que un numero en desarrollo decimal es racional o irracional

8. El numero a = 0, 101001000100001... es racional o irracional

9. Dado un numero irracional, explique como se encuentra un numero racional, tan proximocomo se quiera al irracional dado. Utilice este metodo para encontrar un numero racional talque su diferencia con el numero π sea menor a 0, 0000000005

10. Explique los algoritmos para sumar, restar, multiplicar y dividir decimales.

11. Que propiedades de las operaciones se utilizan en las siguientes expresiones:

a) (2 + 3x)5 = 10 + 15x

b) (2x+ 3)y = y(2x+ 3)

c) 5(−3 · 2) = (5(−3)) · 2

12. Utilice la propiedad distributiva para escribir las siguientes expresiones sin parentesis.

a) 2x(a+ b− c)b) 2a− (2− 3b)

13. Utilice las propiedades de las operaciones para encontrar cuanto vale x si:

a) 3x+ 5 = −1

b) 34x+ 5 = −1

2

14. Sabiendo que una hora son 60 minutos y que un minuto son 60 segundos:

a) Convierta 2 horas, 45 minutos 20 segundos en un decimal de horas, redondeado a lamilesima mas proxima.

b) Convierta 3, 48 en horas en horas, minutos y segundos.

15. Encuentre el promedio, de las siguientes calificaciones de cuatro pruebas: 3, 5, 4, 0, 5, 0, 2, 5.¿Cuanto se debe sacar en la quinta prueba para que el promedio sea 4, 0?

Porcentajes y regla de tres

16. Convierta decimal en porcentaje:


a) 0, 333

b) 2, 45

c) 0, 005

17. Convierta porcentaje en decimal:

a) 1000 porciento

b) 55 porciento

c) 5,5 porciento

18. Si 3 huevos cuestan 500, ¿cuanto cuesta una docena de huevos?

19. Cuanto es 30 % de 150

20. En un curso de 50 personas 35 son mujeres. ¿Que porcentaje son mujeres?

21. Si un vestido, rebajado en 15 % se compro por 76500 pesos, ¿cuanto costaba inicialmente?

22. En un curso se tienen 5 examenes parciales que valen 15 porciento cada uno y un examenfinal que vale 25 porciento. Un estudiante tiene las siguientes calificaciones en los examenesparciales: 3, 5, 4, 0, 5, 0, 2, 5, 3, 0. ¿Cuanto debe sacar en el examen final para obtener unpromedio de 3, 75?

Mas Aplicaciones

23. Encuentre el perımetro y el area de las siguientes figuras planas:

24. Si el largo de un rectangulo de perımetro 5 es dos veces su ancho, ¿cuales son las dimensionesdel rectangulo?

25. Encuentre el volumen de un silo que consiste de un cilindro de 5 m de diametro y 20 de alto,coronado por un domo en forma de media esfera.

26. La formula para convertir una temperatura dada en grados Farenheit en grados Centıgradoses C = 5

9(F − 32). Encuentre a cuantos grados Centigrados corresponden:

a) 212◦F

b) 32◦F

c) 100◦F

27. Encuentre a cuantos grados Farenheit corresponden:


a) 37◦C

b) −5◦C

c) −100◦C

d) −273◦C

28. Cual temperatura tiene los mismos grados en las dos escalas

1.2. Numeros racionales · denominadores en factores primos y multiplicar los factores primos que...

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