Descomponer un número en sus factores primos es convertirlo en

un producto indicado de factores primos

Todo número compuesto es igual a un producto de

factores primos. Sea el número compuesto N. se

demostrara que N es = a un producto de factores primos.

Y como el dividendo es = al producto del divisor X el

cociente, tendremos:

Si b fuera primo, el teorema estaría demostrado, pero si no lo

es tendrá mínimo un divisor primo que llamaremos c y q al

consiente de dividir b entre c, tendremos:

Sustituyendo este valor de b en la igualdad (1), tendremos:

Si q es primo queda demostrado el teorema.

Si es compuesto, tendrá un divisor primo.

Si es compuesto, tendrá un divisor primo.

Se divide el número dado entre el menor de

sus divisores primos, el cociente también

entre el menor de sus divisores y así hasta

encontrar un cociente primo que se dividirá

así mismo.

Descomponer 204 en sus factores primos.

204 2 204= 2x3x17

102 2

51 3

17 17

1

Un número compuesto no puede descomponerse más que en un solo sistema de factores primos.

Sea el número N que descompuesto en sus factores primos es = a abcd

Suponiendo que N admitiera otra descomposición en factores primos y sea ésta a’b’c’d’

Se demostrara que la primera descomposición es = a la segunda.

N= abcd

N= a’b’c’d’

Y como 2 cosas iguales a una tercera son iguales entre sí tendremos:

abcd = a’b’c’d’

El factor primo a divide al producto abcd por ser factor

suyo, lugo a a’b’c’d’, que es igual al anterior.

Si a divide este producto, tiene que dividir a uno de sus factores, porque hay un teorema que dice que todo número primo que divide a un producto de varios factores tiene que dividir por lomenos a uno.

Por ejemplo:

a a’, luego a= a’ , porque para que un número primo divida a otro número primo es necesario que sean iguales.

Para conocer cuantos divisores simples y compuestos ha de tener

un número, se descompone en sus factores primos. Después se

escriben los exponentes de los factores primos teniendo en cuenta

que si un factor no tiene exponente, tendrá de exponente la unidad;

se suma a cada exponente la unidad y los números que resulten se

multiplican entre sí. El producto indicara el número total de

divisores.

Sea número 900.Para saber cuantos divisores simples y compuestos

tiene, los descomponemos en sus factores primos:

Se descompone el número compuesto dado en sus factores

primos. Hecho esto, se escriben en una línea la unidad y las

potencias sucesivas del primer factor primo y se pasa una

raya. Se multiplica esta primera fila de divisores por las

potencias del segundo factor primo y al terminar se pasa una

raya. Se multiplican todos los divisores así hallados por las

potencias del primer factor primo y así sucesivamente hasta

haber multiplicado por las potencias del último factor primo.

Regla

En matemáticas el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o

más números enteros es el mayor número que los divide sin

dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14. En

efecto, y son primos entre sí (no existe ningún número natural

aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor

de dos números son:

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando

la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los

factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales

será el MCD. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de

60 obtenemos la factorización en factores primos

De las factorizaciones de 48 y 60:

Se divide el mayor de los números dados entre el menor, si la división

es exacta, el menor es el mcd. Si la división es inexacta se decide el

dividir entre el primer residuo; el primer residuo entre el segundo, este

entre el tercero y asi sucesivamente hasta obtener una división exacta.

El ultimo divisor será el mcd.

5 1 20 1

17 85 102 2125 2227

0 17 85 102

Los divisores comunes do dos o mas números son divisores del

m.c.d de estos números, por que todo divisor de dos o mas cum eros

divide a su m.c.d . Por lo tanto, para hallar los divisores comunes a

dos o mas números, hallaremos el mcd de estos números y luego los

factores simples y compuestos de este mcd y estos factores serán los

divisores comunes a los números dados.

La medición de las cantidades continuas y las

divisiones inexactas han hecho que se amplié el

campo de los números con la introducción de los

números fraccionarios.

Para medir una cantidad continua, por ejemplo la

longitud del segmento AB, se elige una longitud

cualquiera, por ejemplo, la longitud del segmento CD

como unidad de medida y esta es la unidad principal.

AB

CD

AB

CD

Unidades secundarias

Unidad principal

En resumen la unidad principal es la unidad elegida y unidades

secundarias son cada una de las partes iguales en que se divide la

unidad.

Otra necesidad del empleo de los números fraccionaria la tenemos en las

divisiones inexactas. La división exacta no es siempre posible , por que

muchas veces no existe ningún numero entero que multiplicado por el

divisor de el dividendo.

Lo anterior nos dice que …

Si la unidad se divide en dos partes iguales, estas partes se llaman medios

, si se divide en tres, estas partes se llaman tercios, en cuatro partes

iguales, cuartos… y asi sucesivamente.

Para leer un quebrado se enuncia primero el numerador y

después del denominador.

todo quebrado puede considerarse como el consiente de una

división en la cual el numerador representa el dividendo y el

denominador el divisor.

Los quebrados se dividen en comunes y decimales.

son aquellos cuyo denominador no es la unidad

seguida de ceros …

son aquellos cuyo denominador es la unidad

seguida de ceros…

Es el que consta de entero y quebrado. 1 ½

De varios quebrados que tengan igual denominador es mayor el que

tenga mayor numerador .

De varios quebrados que tengan igual numerador es mayor el que tenga

menor denominador.

Si a los dos términos de un quebrado propio se suma a un mismo numero

el quebrado que resulta es mayor que el primero.

Si a los términos de un quebrado propio se resalta un mismo numero, el

quebrado que resulta es menor que el primero.

Si a los dos términos de un quebrado impropio se suma un mismo

numero, el quebrado que resta es menor que el primero.

Si a los dos temimos de un quebrado impropio se resta un mismo

numero, el quebrado que resulta es mayor que el primero.

Si el numero de un quebrado se multiplica por un numero si variar el

denominador el quebrado queda multiplicado por dicho numero, y si se

divide, el quebrado queda dividido entre dicho numero.

Si el denominador de un quebrado se multiplica o divide entre un numero

el quebrado queda dividido en el primer caso y multiplicado en el segundo

por el mismo numero.

Se multiplica el entero por el denominador, al producto se añade el numerador

y esta suma, se divide entre el denominador.

Convertir 5 2/3 en quebrado impropio:

5 2/3 = 5 x 3 + 2

3

Una unidad equivale a 3 tercios, luego en 5 unidades hay 15

tercios , mas los dos tercios que ya tenemos suman 17

tercios.

Se divide el numerador entre el denominador. Si el cociente es

exacto, este representa los enteros; si no es exacto, se añade al

entero un quebrado que tenga por numerador el residuo y por el

denominador el divisor.

Hallar los enteros contenidos en 32/4

32 / 4 = 8

El modo mas sencillo de reducir un entero a quebrado es

ponerle por denominador la unidad.

5 = 5 ; 17 = 17

1 1

Se multiplica el entero por el denominador y el producto se

divide entre el denominador.

2 = 2 x 3 = 6

3 3

Reducir 6 a quebrado equivalente de denominador 7.

6 = 6 x 7 = 42

7 7

Si una unidad equivale a 7 séptimos, 6 unidades 6 x 7 = 42

séptimos.

Se pueden considerados casos:

1.- Reducir una fracción a otra fracción equivalente de

denominador dado, cuando el nuevo denominador es múltiplo

del primero, o reducir una fracción a términos mayores.

El denominador de la nueva fracción será el dado. Para hallar el

numerador se multiplica el numerador del quebrado dado por el

cociente que resulta de dividir los dos denominadores.

2- Reducir una fracción dada otra fracción equivalente de

denominador dado, cuando el nuevo denominador es divisor

del primero o reducir una fracción a términos menores.

El denominador de la nueva fracción será el dado. Para hallar

el numerador se divide el numerador del quebrado dado entre

el cociente que resulta de dividir los dos denominadores.

Regla

15 = 15 ÷ 3 = 5

24 8 8

Para simplificar una fracción se dividen sus dos términos

sucesivamente entre los factores comunes que tengan.

8 = 4 = 2 = 1

24 12 6 3

Regla 5