LA FÍSICA CLÁSICA Y RELATIVISTA Y LOS PROCESOS ...

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 105, Nº. 2, pp 197-216, 2012XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

LA FÍSICA CLÁSICA Y RELATIVISTA Y LOS PROCESOSESTOCÁSTICOS EN EL SISTEMA SOLAR Y EN EL UNIVERSO. LAMATERIA FRACTALDARÍO MARAVALL CASESNOVES *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid.

Hacemos un largo recorrido desde los griegos anuestros días en que comienza el empleo de la Teoríade la Relatividad y de la Mecánica Cuántica en elestudio del sistema solar y del universo. El hombredesde sus comienzos ha obtenido el conocimiento deluniverso en el que estamos inmersos mediante laobservación y el cálculo basado en las Matemáticas yen la Física.

En el siglo XX nacen los nuevos modelos del uni-verso estático de Einstein y de De Sitter primero, y delos universos dinámicos que comienzan en Lemaitre yFriedmann o universos en expansión. Aparecen losmisteriosos agujeros negros con Schwarzschild, lafuga de las galaxias y el efecto Hubble del corrimientohacia el rojo de la luz procedente de las galaxias.

Ya son las geometrías no euclídeas las que rigen enel universo y no la vieja geometría euclídea.

El gran progreso matemático y físico por una partey las modernas exploraciones por la radioastronomía ylos muy potentes telescopios modernos y los satélitesartificiales, los viajes a la luna y mucho más lejos, biensea del hombre o de los aparatos, han sido los factoresque han creado las modernas Cosmología, Cosmo-gonía y Astronomía.

El espacio, el tiempo, la materia y el movimientoson los cuatro pilares sobre los que descansa la Física.Si falla uno de ellos, la Física se desploma. Analiza-remos estos cuatro conceptos.

El espacio es como una caja que contiene a lamateria. El tiempo es como un río en el que se muevela materia. De aquí los nombres de espacio-caja ytiempo-río.

La moderna teoría de los fractales quizá puedaexplicarnos las que hemos llamado materia y energíaobscuras tan misteriosas.

Esta conferencia es la continuación de cuatro con-ferencias que ya hemos dado y que han sido publi-cadas. Son éstas “Los métodos matemáticos de laAstronomía y de la Cosmología” en la Real Academiade Ciencias en 2008-2009 y otras tres publicadas porlos Amigos de la Cultura Científica en los años 1992,1993 y 1994 que llevan por títulos “El universo deEinstein”, “El legado de Galileo en la evolución de laFísica hasta hoy” y “El sistema solar”. La penúltima deéstas ha sido digitalizada por el Museo de Historia dela Ciencia de Florencia.

Existen probabilidades muy pequeñas de descom-posición de un protón en un neutrón y un positón, ytambién de un neutrón en un protón y un electrón; estaúltima probabilidad es más pequeña.

Existen también probabilidades muy pequeñas decreación de un fotón por aniquilación de un electrón yun positón. Todo ello da origen al planteamiento yresolución de procesos estocásticos muy curiosos, uti-lizando ecuaciones en derivadas parciales que condi-cionan las funciones características de las variables

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aleatorias que representan a estas partículas. Se poneasí de manifiesto que estos procesos estocásticos sonlos mismos que surgen en una Ciencia tan lejana de laque ahora nos ocupa como en la Sociología en el pro-blema que hemos denominado doble emigración deindividuos entre dos poblaciones distintas.

Así mismo las funciones de Bessel y otras fun-ciones trascendentes desempeñan un papel muyimportante en las Ciencias que ahora nos ocupan.

Nos ocupamos también de los Universos tantoestático como dinámicos introducidos por la Relati-vidad General a que antes hicimos referencia.

Desde los tiempos más remotos el hombre se hapreocupado por el origen del Universo (objeto de laCosmogonía) y sobre la forma del Universo (objeto dela Cosmología), y con problemas íntimamente empa-rentados con los anteriores, que son objeto de laAstronomía, ciencia ya cultivada en la antigüedad y laMecánica celeste que se desarrolló con profundidad enel siglo XIX, y la Astrofísica que prácticamente es ini-ciada en nuestros días.

Weyl, un gran físico matemático alemán, escribióun libro extraordinario sobre la Teoría de la Relati-vidad titulado “Tiempo Espacio Materia” que tuvo unaprimera edición en 1917, seguido muy rápidamente deuna segunda y una tercera la escribió en 1918 y sepublicó en 1919. En el prólogo de la misma, al prin-cipio del mismo dice “El espacio y el tiempo son lasformas de existencia del mundo real. Un fragmentodeterminado de materia ocupa en un instante dado unaparte determinada de espacio, de allí nace la noción demovimiento que une últimamente estas tres represen-taciones”. En aquella época no se conocían los frac-tales, y por tanto la posibilidad de la existencia demateria fractal. Por tanto me parece que el anteriorpárrafo de Weyl debe modificarse en el sentido de quela materia fractal puede existir en el espacio sin nece-sidad de ocuparlo, como explico en la nota 1ª y heexplicado en otras publicaciones y conferencias.

De la Cosmogonía se ocupan todas o casi todas lasmitologías, después varios filósofos, y por último losfísicos y los matemáticos, y hoy día no se puede decirque existan una Cosmogonía y una Cosmología uni-versalmente aceptadas, al igual que existen una

Mecánica, una Termodinámica o un Electromagne-tismo casi universales, por no decir enteramente uni-versales.

Antes de Copérnico ya la Astronomía estaba muyavanzada, y con él se da un gran paso hacia adelante,al sustituir el geocentrismo por el heliocentrismo parala explicación de los movimientos de planetas, saté-lites y cometas.

Hasta Galileo se puede decir que existen dosFísicas, una válida para lo que sucede en la superficieterrestre, es la Física sublunar aplicable a un mundocorruptible y cambiante, y la Física celeste aplicable aun mundo incorruptible e inmutable. Sus importantesdescubrimientos astronómicos, debidos a su genio, asu capacidad de trabajo y a su habilidad industrial enobtener o fabricarse un anteojo mucho mejor que losrestantes, acabaron con esta idea de dos Físicas, y pre-pararon el camino para la unificación de las dosFísicas en una sola ciencia válida para la tierra, el sol olas estrellas fijas. Esta tarea queda ultimada con el des-cubrimiento de la gravitación universal por Newton,en virtud de la cual son las mismas fuerzas las quehacen caer un grave sobre la superficie de la tierra, quelas que hacen girar los planetas alrededor del sol, cum-pliendo las leyes de Kepler. Pero Newton hace algomás, aplica el cálculo infinitesimal descubierto por ély por Leibniz a la Mecánica, establece las ecuacionesdiferenciales que dan la aceleración en función de lasfuerzas, que permiten resolver el problema abierto dehallar el movimiento de un punto material, conocidaslas fuerzas que actúan sobre él, y el problema inversode determinar cual es la fuerza o cuales son las fuerzasque actuando sobre un punto material le obligan aseguir un movimiento conocido de antemano.

El siglo XVIII después de Newton, conoce undesarrollo impresionante de lo que llamamos mecá-nica clásica, se determinan los movimientos de sis-temas materiales, formados por la reunión de unnúmero finito y hasta infinito de puntos materiales, yen especial de los sólidos, que son aquellos sistemaspara los que la distancia entre dos puntos cualesquierapermanece invariable, y se separa el estudio de estosmovimientos en dos, que son el del centro de gravedaddel sistema, y el movimiento relativo de un sistemaalrededor de su centro de gravedad. Se hacen dos cla-sificaciones de las fuerzas, unas de ellas las interiores

y las otras las exteriores, de modo que las primeras sonlas que se ejercen entre dos puntos cualesquiera delsistema, la cual está dirigida según la recta soporte queune dichos puntos, de modo que la que ejerce un puntosobre el otro es igual y opuesta a la que ejerce esteúltimo sobre el primero (principio de la igualdad deacción y de la reacción); fuerzas exteriores sonaquellas que no son interiores. Esta distinción de lasfuerzas en interiores y exteriores es importante, porqueen el movimiento del centro de gravedad se puedeprescindir de las fuerzas interiores. Además en el casodel sólido, que aunque es un caso particular, es un casomuy importante, las fuerzas interiores no producentrabajo.

Se aprende en esa época que imponer enlaces denaturaleza geométrica entre los puntos materiales deun sistema, e incluso a un punto material solo, porejemplo obligarle a moverse sobre una curva o super-ficie, equivale de hecho a ejercer una fuerza sobre elsistema o el punto material, sometido a enlaces, lo cualno tiene nada de intuitivo, y es consecuencia de la apli-cación de las ecuaciones matemáticas a los problemasmecánicos. A esta clase de fuerzas se las llama deenlace y tienen la propiedad de que no producentrabajo durante el movimiento, a las restantes fuerzasse las llama directamente aplicadas. Se aprende quesistemas o puntos materiales sobre los que no actúaninguna fuerza, pero están sometidas a enlaces, puedenadquirir movimientos únicamente aplicados, diríamosque sofisticados. Un ejemplo sencillo es el del movi-miento de un punto material sobre el que no actúaninguna fuerza y que es obligado a moverse sobre unasuperficie, se mueve entonces con velocidad constantey describe como trayectoria lo que se llama una geo-désica de la superficie, que es la mínima distanciaentre dos puntos de la superficie, equivale a las“rectas” sobre la superficie, se trata de una generali-zación de la ley de inercia descubierta por Galileo,según la cual un punto que se mueve libremente en elespacio o sobre un plano, sin que actúe sobre el mismoninguna fuerza, lo hace con movimiento rectilíneo yuniforme.

Este hecho tan simple de la ley de inercia, tiene unacierta trascendencia en la filosofía, es una creenciamuy extendida y que ha sido afirmada por importantesfilósofos y científicos, que todo cambio requiere unaexplicación, o lo que es lo mismo que todo cambio es

el efecto de una causa. Esto no es así, en el caso de laley de inercia, el movimiento rectilíneo y uniforme,que es un cambio de posición en el tiempo del móvil,no requiere causa ni explicación, lo que requiere unacausa no es el cambio de posición, sino el cambio develocidad, es decir la aceleración; es la aceleración laque es causada por una fuerza. En toda la Mecánicaclásica son dos cambios de velocidad (las acelera-ciones) lo que hay que explicar y no los cambios deposición, y la explicación viene de las ecuaciones deNewton que igualan el producto de la masa por la ace-leración a la fuerza.

Hacia fines del XVIII, Lagrange revoluciona lamecánica newtoniana y creó lo que se llama Mecánicaanalítica, por el empleo de unas ecuaciones fundamen-tales que llevan su nombre, consigue resolver“mecánica” o automáticamente los problemas mecá-nicos. Todo problema mecánico para su resoluciónrequiere un planteamiento geométrico, que es lo quelos franceses llaman “la puerta en ecuaciones” del pro-blema, pero lo que Lagrange consigue es reducir almínimo el empleo de la geometría y del dibujo, estesolamente necesario para poder escribir sus ecua-ciones, y una vez escritas éstas, ya no hacen falta losdibujos, éstos se pueden tirar ya, todo lo que viene acontinuación es puro cálculo y análisis matemático, deahí el nombre de analítica que lleva esta Mecánica. Aldescribir Lagrange un sistema material por un númerofinito de coordenadas generalizadas (igual al númerode grados del sistema) nos vamos aproximando al con-cepto de “espacio abstracto”.

Contemporáneo de Lagrange es Laplace, el cual dauna gran importancia a la aplicación de la Mecánicaclásica a la Astronomía, estableciendo una nuevaciencia que lleva el nombre de Mecánica celeste.Resulta que los movimientos de los planetas alrededordel sol, no son tan simples como suponen las elipseskeplerianas, sino que existen unas anomalías expli-cables, porque no están el sol y un planeta solos atra-yéndose según la ley de la gravitación universal deNewton, sino que están en compañía de otros muchosplanetas y satélites de modo que cada uno de ellosatrae a los demás, y es a su vez atraído por éstos, es loque se llama el problema de los n cuerpos (la teoríamás elemental de las elipses keplerianas, es el pro-blema de los dos cuerpos). Este problema de los ncuerpos todavía no ha sido resuelto en nuestros días,

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en toda su espantosa generalidad, ya solo el problemade los tres cuerpos es sumamente difícil y a él hizoaportaciones valiosísimas Poincaré. Con la Mecánicaceleste laplaciana, los astrónomos están en posesióndel instrumento científico necesario para construir unaAstronomía matemática de precisión. Pero tambiénexisten otros tipos de complicaciones, ni el sol ni losplanetas son puntos materiales, si no que son masasespeciales de distribución espacial no despreciable,que además no son esferas perfectas y entonces laatracción de una de estas masas no es igual a la queejercía un solo punto material y ello es la base de otraimportante teoría fisicomatemática de gran impor-tancia en la teoría del potencial newtoniano, básicopara la Astronomía, la Geodesia y las teorías de lasfiguras planetarias. Como curiosidad hemos de señalarque las fuerzas inversamente proporcionales al cua-drado de la distancia no son exclusivas de la gravi-tación universal, sino que se presentan en otros fenó-menos físicos, como por ejemplo las atracciones yrepulsiones electrostáticas que se rigen por la ley deCoulomb, de aquí que las teorías matemáticas delpotencial electrostático y del potencial newtoniano sonprácticamente equivalentes. La Mecánica celeste esmuy útil para ampliar nuestro conocimiento sobre eluniverso más próximo que nos rodea, el del sistemasolar, pero todavía no está en condiciones de llegar apretender un conocimiento a escala cósmica.

Hoy día uno de los fenómenos cósmicos más inte-resantes y curiosos es los “agujeros negros” que sonzonas del espacio donde reina un campo gravitatoriotan intenso que es imposible que ni la materia ni laradiación escapen del mismo, de aquí el nombre denegro, porque no nos pueden llegar de los mismos ni laluz ni ninguna otra radiación de más alta frecuencia.Pues bien, Laplace señaló la posible existencia deéstos, partiendo de la hipótesis de que la luz estuvieracompuesta de corpúsculos (teoría de Newton) si éstosson atraídos por una gran masa situada a corta dis-tancia de ellos, la fuerza de atracción puede llegar a sertan grande, que los corpúsculos no tienen velocidadinicial para poder escapar del campo gravitatorio de laantedicha masa. Esta masa se comportaría como unauténtico agujero negro.

Las ecuaciones de Lagrange suponen un importanteavance dentro del marco de la Mecánica newtoniana,el segundo avance lo constituye la teoría de Hamilton

y la ecuación de Jacobi, mediante la primera en virtudde un tipo especial de transformaciones de variables,se transforman las ecuaciones de Lagrange que sondiferenciales de segundo orden, en un sistema de ecua-ciones diferenciales de primer orden con un númerodoble de variables dependientes, las nuevamente intro-ducidas son los llamados momentos generalizados. Laecuación de Jacobi es un “refinamiento matemático”que constituye prácticamente el método más potentede resolución de los problemas de la Mecánica clásica.Después de la ecuación de Jacobi, la Mecánica clásicase transforma en una rama del análisis matemático(paréntesis de Lagrange y de Poisson, transforma-ciones canónicas, multiplicadores de Jacobi, inva-riantes integrales, etc.). La Mecánica es determinista yello significa que conocidas las fuerzas que actúansobre un sistema material, así como las posiciones yvelocidades iniciales de todos los puntos materiales enun instante cualesquiera, quedan automáticamentedeterminados en cualquier otro instante anterior o pos-terior, las posiciones y velocidades que tendrán ohabían tenido, todos los puntos materiales. El determi-nismo es consecuencia del teorema de Cauchy de laexistencia y unicidad de las soluciones de un sistemade ecuaciones diferenciales, de los que son un casoparticular los de la Mecánica. A él se debe por ejemploque se pueda saber que un cometa que se ve en fechasmuy lejanas en el tiempo es el mismo que se vedespués (caso del cometa Haley) o la predicción de unplaneta antes de ser descubierto.

Paralelamente a este enfoque de la Mecánica sedesarrolla otro, que concluye llevando al mismo ins-trumento matemático de las ecuaciones diferenciales,que su punto de partida es muy distinto, es el basado enlos principios variacionales o de mínimo, según loscuales el movimiento tiene lugar, de modo que se hagamínima (estacionaria) la integral de una magnitudmecánica que tiene las dimensiones de una acción(energía por tiempo o lo que es lo mismo cantidad demovimiento por longitud). Le da la sensación de quelos fenómenos mecánicos tienen una finalidad, que elmovimiento se cumple siguiendo unas direccionesmarcadas a priori, que tienden a alcanzar un fin prede-terminado. Se introducen así por primera vez losespacios abstractos en la Mecánica clásica.

Se entiende por espacio abstracto, un espacio dis-tinto a aquel que nos rodea, en el que nos sentimos


inmersos y que no es accesible directamente por la per-cepción sensible. Un espacio abstracto es algo que noses inteligible, sobre el que podemos razonar, y queincluso nos puede llegar a ser familiar, a fuerza deestudio y de pensar sobre el mismo, pero que essiempre inimaginable e inabordable por los sentidos.

Los científicos tardaron mucho tiempo en estudiardesde un punto de vista científico puro, y más aún enintroducir su aplicación en la Física los espacios abs-tractos. Y cuando los introdujeron, hasta la apariciónde la Teoría de la Relatividad a principios del sigloXX, los consideraron como un artificio matemáticomuy útil para el progreso de la Física, pero sin querealmente tuvieran una existencia real, algo parecidoes cuando los ingenieros electricistas en el manejo delas corrientes eléctricas alternas y polifásicas utili-zaron números imaginarios.

Los griegos llevaron a un nivel muy alto laGeometría (ciencia del espacio) por métodos que lla-mamos sintéticos y en el siglo XVII Descartes inventóla Geometría Analítica que aplica el Álgebra y elAnálisis Matemáticos a la Geometría, representa unpunto en un plano por dos números reales que soncoordenadas (abscisa y ordenada) y en el espacio portres números reales (coordenadas cartesianas); unasuperficie vienen dada por una ecuación, y una curvasi está en un plano por una ecuación , y si está en elespacio (curva alabeada) por dos ecuaciones. PeroDescartes y los científicos que le sucedieron hasta elsiglo XIX solamente utilizaron la Geometría Analíticapara el estudio del espacio ordinario, que llamamoseuclídeo, que nos es familiar y perceptible y que tienetres dimensiones. Pero en realidad con el descubri-miento de la Geometría Analítica cartesiana estabaabierto el camino para la concepción del primer tipo deespacios abstractos más sencillos, que son los espacioseuclídeos de más de tres dimensiones que represen-tamos por n (n 3), en los que un punto está repre-sentado por n coordenadas que son números reales. Ladistancia entre dos puntos del espacio viene dada poruna simple generalización del teorema de Pitágorasque para el plano dice que “el cuadrado de la hipo-tenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos” y para el espacio que “el cuadrado de la dia-gonal de un paralelepípedo es igual a la suma de loscuadrados de las tres aristas”. Además como ya losgeómetras tenían dos modelos de espacios euclídeos

que eran el plano (dos dimensiones) y el espacionuestro (tres dimensiones) e incluso la recta (unadimensión), sabían ya el modo de pasar de laGeometría analítica de un espacio de menor número dedimensiones a otro de mayor número, y por tantotenían ya el medio de pasar de un espacio de tresdimensiones a uno de cuatro (que sería el primerespacio abstracto), de uno de cuatro a uno de cinco yasí sucesivamente, y el segundo escalón era ya el deconstruir en forma más abstracta la teoría de losespacios euclídeos de n dimensiones, usando comoinstrumento la Geometría analítica cartesiana. Ademásse sabía por el paso del plano al espacio ordinario, queal aumentar el número de dimensiones aumenta lariqueza de problemas nuevos que puedan plantearse.Pero como he dicho antes, los científicos tardaronmucho tiempo en darse cuenta de la enorme posibi-lidad que encerraba la Geometría analítica.

Existe otro hecho geométricamente importantetambién susceptible de elaborar nuevos espacios abs-tractos y es que el espacio se puede suponer engen-drado por un punto, o en otras palabras que los puntosson los elementos básicos y genéricos del espacio(pudiéramos llamarlos los átomos) mientras que todaslas otras figuras son conjuntos de puntos; entonces lospuntos son representados por coordenadas (númerosreales) y cualquier otra figura geométrica se puederepresentar por ecuaciones (relaciones entre númerosreales), pero por la misma razón se puede considerarque los elementos genéricos del espacio ordinario detres dimensiones son los planos, que entonces seríanrepresentados por tres números reales (coordenadaspluckerianas también llamadas tangenciales) y lospuntos como las restantes figuras geométricas vienenrepresentados por ecuaciones, de modo que con estanueva concepción de la geometría, no es el plano unconjunto de puntos (los contenidos en él), sino que esel punto el que es un conjunto de planos (los que pasanpor él. Esta nueva óptica de la Geometría, establecióen la Geometría en el siglo XIX una de las más impor-tantes leyes geométricas que es el principio de dua-lidad, pero sobre ser importante esta ley, existentodavía otras posibilidades de mayor riqueza mate-mática aún, y es que el espacio puede ser consideradoengendrado no por puntos ni por planos sino porrectas, éstas serían sus elementos genéricos, pero larecta en vez de tres coordenadas tiene cuatro coorde-nadas, y se tiene así una representación cuadridimen-


sional del espacio ordinario tridimensional, surge así laGeometría reglada; pero no se crea que se trata de unaelucubración matemática interesante teóricamentepero desprovista de utilidad práctica, porque en plenafiebre del maquinismo y de la revolución industrial laGeometría reglada se mostró como el instrumentoideal para el estudio de la Cinemática, Estática yDinámica de máquinas, como un arma muy apreciadapor los ingenieros mecánicos. Abierta por esta vía lacreación de espacios abstractos nos encontramos conque otras figuras geométricas (circunferencias, esferas,etc.) puede ser representada por coordenadas así, asípor ejemplo la circunferencia en el plano por tres coor-denadas, las dos cartesianas de su centro y el radio, conlo que se tiene una representación tridimensional en elplano bidimensional, etc., etc.

Independiente de este camino para ampliar lasGeometrías posibles, a principios del XIX Lobat-chewski y Bolyé independientemente el uno del otropor métodos sintéticos (no analíticos) no admitiendo elquinto postulado de Euclides (que afirma que por unpunto solo se puede trazar una paralela a una recta)desarrollaron un modelo muy completo de espacioabstracto, en el cual se conservan palabras del lenguajecorriente pero que ya no tienen el mismo sentido, y asícuando se habla de plano euclídeo no se trata ya de unplano sino de algo que no tiene nada que ver, que esesencialmente distinto, es decir aquí la palabra “noeuclídeo” no es un adjetivo calificativo que se aplica alsustantivo “plano” para distinguirlo de otros planos,sino que las palabras “plano” y “no euclídeo” vancomo soldadas, forman juntas un solo sustantivo queya no es un plano. Muy avanzado el siglo XIX (haciamediados) Beltrami obtuvo una teoría geométricasobre una superficie ordinaria (la pseudoesfera)inmersa en nuestro espacio euclídeo tridimensionalque ofrece una representación (equivalencia mate-mática) del plano no euclídeo de Lobatchewski,demostró por tanto que un espacio abstracto de dosdimensiones era equivalente a otro espacio abstractode dos dimensiones. De todos modos la Geometría noeuclídea de Lobatchewski no encontró aplicaciónfísica hasta la aparición de la Teoría de la Relatividad.

Otro camino independiente para la concepción deespacios abstractos es el iniciado por Riemann haciamediados del siglo XIX. Cuando a finales del XVIII yprincipios del XIX se inició el estudio analítico

(Geometría Diferencial) de las superficies inmersas enel espacio euclídeo ordinario, y en particular a estudiarsus propiedades en entornos infinitesimales de lasmasas, se encontró que la distancia entre dos puntosinfinitamente próximos de la superficie (ds) se podíaexpresar en cuadrado como una forma cuadráticahomogénea de dos diferenciales de las coordenadas, yesto mismo se encontró para el plano, cuando se utili-zaban sistemas de coordenadas distintas de las carte-sianas. Se puede decir que se habían obtenido a modode una generalización del teorema de Pitágoras, peroválido solamente para lo infinitesimal. Pues bien, deesta manera quedaba abierto el camino para concebirnuevos espacios abstractos, aumentando el número decoordenadas de Riemann, en los que el ds2 viene dadopor una forma cuadrática homogénea de las diferen-ciales de las n coordenadas. Estos espacios aparte desu interés grande en lo teórico, han sido de una utilidadpráctica inmensa tanto en la Física clásica como en larelativista. Después se han ideado otros muchos tiposde espacios abstractos, más sofisticados, entre los quesolamente citaremos los de Finsler por tener aplicaciónen las modernas teorías unitarias de la gravitación ydel electromagnetismo, es decir las teorías del campounitario, para explicar las trayectorias de partículaseléctricas en un campo gravitatorio. En los espacios deFinsler el ds de mayor aplicación es aquél que es sumade la raíz cuadrada de una forma cuadrática homo-génea de los diferenciales de las coordenadas y de unaforma lineal de las mismas.

Los espacios abstractos como realidad existentehan empezado a utilizarse en la teoría de laRelatividad, porque en la Física clásica se han uti-lizado como un simple artificio matemático, como unmétodo auxiliar para la resolución de los problemas.Los físicos clásicos admitían sin ninguna duda sobrelos mismos, que el espacio que nos rodea es eleuclídeo tridimensional, es decir el que nos es familiar,el que vemos o creemos ver, y en el que nos movemosen nuestra vida cotidiana. Sin embargo se dieroncuenta de lo muy útiles que podían ser para sus inves-tigaciones el uso de espacios abstractos, y esta utilidadse basa en los siguientes hechos: en la Mecánicaclásica existe una magnitud que es la fuerza viva T,que es igual a la suma de los productos de las masas detodos los puntos materiales por los cuadrados de susvelocidades respectivas. Si el sistema es holónomo loque significa que los enlaces geométricos entre sus


puntos se expresan por funciones de sus coordenadasigualadas a cero, y no por relaciones diferenciales nointegrables igualadas a cero, entonces T es igual a lasuma de tres sumando T2, T1 y T0, que son una formacuadrática en las velocidades de las coordenadas gene-ralizadas del sistema la T2, una forma lineal de lasmismas T1 y un término independiente de ellas T0. Enel caso muy importante de sistemas holónomos deenlaces independientes del tiempo es T T2, T1 0,T0 0. En uno y otro caso de sistemas holónomos, siexiste una función de fuerzas V , es decir las fuerzasgeneralizadas son las derivadas de V respecto a lacoordenada generalizada correspondiente, entonces elmovimiento obedece a un principio de mínimo o varia-cional, en que se hace estacionaria (mínima) unaintegral, cuya función subintegral es la suma de T y V,siendo la variable independiente el tiempo. Pero esimportante señalar que cuando T T2 (T1 y T0 soncero) y existe un potencial (función de fuerzas cam-biada de signo, independiente del tiempo) entonces elpunto figurativo del sistema en el espacio de coorde-nadas generalizadas qi, que es un espacio de Riemann(espacio abstracto) describe una geodésica, que son lasmínimas distancias entre dos puntos de dicho espaciode Riemann; desempeñan las geodésicas un papelparecido al de las rectas en el plano y en el espacioordinarios. El uso del lenguaje geométrico en los pro-blemas de la Mecánica clásica, daba mayor intuición alos problemas, es sumamente útil para una mejor reso-lución y comprensión de los mismos, pero en ningúncaso pensaron los físicos que es que los hechos físicosestaban teniendo lugar en un espacio abstracto. Sepuede pensar que en problemas muy sofisticados estoses obvio, pero incluso en un problema muy sencillopasa también lo mismo, por ejemplo la caída de losgraves sobre la tierra, matemáticamente se puede con-siderar como una parábola en un plano vertical, perotambién como una geodésica de una cierta superficieinmersa en el espacio ordinario, pero a ningún Físicose le ocurriría pensar que esta última interpretaciónpudiera tener una base real, nadie pensaba que porefecto de la gravedad el plano vertical en el que cae ungrave se deforma y transforma en una superficie y laparábola del plano se transforma en la geodésica dedicha superficie.

En el caso de la óptica geométrica sabían los físicosque la luz cuando el índice de refracción no es cons-tante pero sí independiente del tiempo, no sigue la dis-

tancia más corta entre dos puntos, sino una trayectoriamás complicada, que responde al camino ópticomínimo, o lo que es lo mismo, lo que es mínimo es eltiempo invertido en pasar de un punto a otro. Es elprincipio de Fermat que afirma que los rayos lumi-nosos hacen mínima la integral

en donde en este caso particular c no es la velocidad dela luz en el vacío, sino en el medio refringente.Tampoco a los físicos se les ocurría pensar que estosignificaba que la luz seguía las geodésicas de unespacio de Riemann, cuyo ds era , el mismo quefigura en la fórmula (1), es decir que como conse-cuencia de existir un índice de refracción variable;aunque independiente del tiempo (medio estacionario)nuestro espacio ordinario se transformaba hasta trans-formarse en un espacio de Riemann, sino que lo quepasaba es que el espacio seguía siendo el de siempre, yla luz en vez de seguir una línea recta, seguía una curvamuy complicada que era lo que hacía mínima laintegral (1).

Es curioso señalar que este problema de óptica esequivalente, entendiendo por equivalente que tiene lasmismas ecuaciones matemáticas, que otros dos pro-blemas de Mecánica, uno de ellos es el movimiento deun punto material libremente en el espacio, cuandoexiste un potencial que vale y la constante de laintegral de las fuerzas vivas vale cero.

Si el índice de refracción no sólo es variable, sinoque depende del tiempo, en mi opinión los rayos lumi-nosos, son las curvas que en el espacio ordinario hacenmínima la expresión cuadrática

cumpliéndose la integral primera del movimiento:

En la (1) los rayos luminosos son permanentes en eltiempo y en la (2) se desplazan y deforman en eltiempo.


(1)

(2)

(3)

Se puede demostrar que (1) es un caso particular de(2) cuando c es independiente del tiempo.

Nos encontramos pues que algunas partes de laFísica clásica, como por ejemplo la Mecánica clásica yla óptica, acostumbraron a los Físicos a utilizar ypensar en espacios abstractos, aunque nunca llegaron acaer en la tentación de que ello significase que real-mente el espacio ordinario dejara de ser el que nos esfamiliar y se transformase en un espacio de Riemann,que eran los únicos espacios más complicados que eleuclídeo que parecían tener una aplicación práctica enla Física.

Anteriores investigaciones (véase bibliografía) mellevaron a la posibilidad de transformar todo problemade Mecánica clásica en otro problema de Mecánicarelativista; para sistemas materiales holónomos desemifuerza viva como la utilizada antes:

cuando existe una función de fuerzas V, con elmismo significado que en páginas anteriores, el movi-miento se obtiene haciendo mínima la integral

en donde es el tiempo propio, y t el tiempo ordi-nario, M es la masa total del sistema, c la velocidad dela luz en el vacío. Se cumple que

que liga entre sí los dos tiempos t y . En las T conbarra encima la derivación de las velocidades generali-zadas es respecto a , y en las que no tienen barra laderivación es respecto a t.

También demostramos que el movimiento se puedeobtener haciendo mínima la integral:

Ambos métodos son ejemplos de empleo deespacios abstractos, pero en ellos se observan dos dife-

rencias, en el de la integral (5) se obtienen las coorde-nadas qi y el tiempo t en función del tiempo , y en elsegundo se elimina el tiempo , y se obtienen las coor-denadas qi en función del tiempo t, con consecuenciade (6) se obtiene t en función de . Las coordenadas qison las variables que entran dentro de las T.

Hay casos particulares en que el movimiento sepuede obtener en otros espacios abstractos, tal es elcaso en que existe un potencial y los enlaces son inde-pendientes del tiempo, el problema equivale aencontrar las líneas geodésicas en un espacio deRiemann, y si existe un potencial y los enlacesdependen del tiempo, pero éste no figura explícita-mente en T, entonces el movimiento equivale aencontrar las geodésicas de un espacio no rieman-niano, en un espacio de Finsler, de los que he hechoreferencia antes.

En mi opinión la dinámica relativista de los sis-temas materiales, a la que hemos contribuido, juntocon la teoría relativista de las percusiones, plantea unanueva serie de problemas, como puede ser el de la inte-gración y desintegración de sistemas. Un ejemplo delos primeros es el choque inelástico de dos esferas quedespués de chocar permanecen constantemente encontacto, antes tienen ambas y después unmismo . En la desintegración tomando estapalabra en un sentido muy general, sucede todo lo con-trario, antes tienen el mismo y después cada unode los dos sistemas resultantes (ya sistemas indepen-dientes) tienen propio distinto.

Es curioso señalar que mientras la dinámica relati-vista de los sistemas holónomos de enlaces indepen-dientes del tiempo se puede desarrollar, en mi opinión,a partir de un principio modificado del clásico deD’Alembert, cuando los enlaces dependen del tiempo,la Mecánica relativista a diferencia de la clásica no esdalembertiana.

Hay muchas distinciones que implican principiosde Filosofía natural, y por no citar más que uno, en elproblema de los dos cuerpos en la relatividad res-tringida, tal como lo he resuelto, se sigue de las ecua-ciones matemáticas, la inmovilidad del centro de gra-vedad.

La relación (6) entre dt y , depende de las coor-denadas a través de T2 (de las velocidades) sin


(4)

(5)

(6)

(7)

embargo si los enlaces son independientes del tiempo(T T2) y existe un potencial U, la (6) es equivalente a

en donde W que es una constante, es la energía totalasociada al sistema, en este caso la relación entre dt y

depende exclusivamente de las coordenadas (sepuede hacer explícitamente independiente de las velo-cidades).

La Relatividad general, que es el segundo paso (elprimero es la restringida) supone un importantecambio en la forma de concebir el espacio y el tiempo,dejan de ser lo que eran para la Física clásica, y sefunden en un ente único el espacio-tiempo, que se dicetiene una estructura de espacio de Riemann o mejordicho de pseudoespacio. Estos espacios poseen unamagnitud muy característica de ellos, que se llama cur-vatura, y se demuestra que su valor depende de la dis-tribución de la materia en el espacio, que si el espacioestuviera vacío no sería curvo. Se admite también quelas partículas materiales y los rayos luminosos siguenlíneas geodésicas del mismo (los últimos son ademáslíneas de longitud nula). El grado de abstracción deeste espacio es muy grande, porque además se hanfundido en un continuo cuadridimensional el espacio yel tiempo, tienen además naturaleza hiperbólica, lo quesignifica que las líneas de longitud nula son reales adiferencia de nuestro espacio ordinario que es de natu-raleza elíptica, lo que significa que las líneas de lon-gitud nula son imaginarias.

Una de las aplicaciones más importantes de laRelatividad general fue a la Astronomía, concreta-mente al sistema solar, y explica tres fenómenos noexplicables por la teoría newtoniana que son: a) elcorrimiento del perihelio de Mercurio, b) la desviaciónhacia el rojo de la luz solar, c) la desviación de losrayos luminosos al pasar cerca del sol. Fue Schwarzs-child quien resolvió el problema del cuerpo único en laRelatividad general, halló el elemento lineal delespacio-tiempo que rige para el sistema solar, que es:

El cuerpo único significa que existe una partículapesada situada en el centro y rodeada de un espaciovacío, M es una masa, c la velocidad de la luz y f laconstante de la gravitación universal de Newton.

De acuerdo con la Relatividad general se admiteahora que los planetas siguen las geodésicas delespacio riemanniano, cuyo ds es (9), y los rayos lumi-nosos las geodésicas de longitud nula, y ello se basa enque las características físicas, lo que se llama el tensorenergía-momento, determina la curvatura del espaciométrico (9).

Ahora bien, en mi opinión, se pueden conservar elespacio y el tiempo clásico sin necesidad de modifi-cación porque los movimientos anteriores se puedenobtener también como tales geodésicas del espacio-tiempo (9) sino como curvas de nuestro espacio ordi-nario, según ley horaria de nuestro tiempo ordinario,de tal modo que la trayectoria y la ley horaria haganmínima la integral

donde ds es el (9) cumpliéndose además la integralprimera:

el caso superior para la materia y el inferior para la luz.Existe además de la (11) otra integral primera que es

donde W está relacionada con la energía propia de unapartícula de masa m por la relación

energía Wmc2

W es por tanto el factor por el que multiplicar laenergía de la partícula en reposo en el espacio sincampos gravitatorios. Se puede eliminar entre lasuperior (11) y (12) y se obtiene:


(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

donde el paréntesis vacío es el primer paréntesis de (9)dividido por dt2.

En el caso de la luz no se puede eliminar entre(12) que sigue siendo válido, y la inferior (11)por elsegundo miembro de ésta cero, pero dado el signi-ficado de W (12) se le puede extender a los fotones,cuya energía es , siendo h la constante de Planck y

la frecuencia de modo que se cumple

(Schwarzschild) W (vacío)

que muestra que la luz emitida en el universo deSchwarzschild luce de distinto color que la luz debidaal mismo fenómeno físico, emitida en el universoeuclídeo vacío. Un caso particular de (15) es el corri-miento hacia el rojo de la luz emitida por el sol.

Llevado el estudio de estos movimientos, desde elenfoque ordinario de los tratados de la Teoría de laRelatividad, a este nuevo, basado en el estudio delmínimo de la integral (10), cumpliéndose las dos inte-grales primeras (11) y (12) se puede conservar elespacio y el tiempo clásicos. Las ecuaciones gravita-torias de Einstein y Schwarzschild son imprescindiblespara determinar la forma cuadrática (9), pero en modoalguno exigen como conclusión terminante elabandono del espacio y el tiempo clásicos. Esteenfoque que damos al problema equivale a estudiar losmovimientos de un sistema material clásico de cuatrogrados de libertad o coordenadas lagrangianas genera-lizadas que son , θ, ϕ, t y donde el tiempo es (t esuna “coordenada”) pero con una particularidad dis-tinta, y es que “la fuerza viva” se descompone (a dife-rencia del clásico) en dos sumandos uno positivo y elotro negativo, pero los métodos matemáticos de laMecánica clásica (ecuaciones de Lagrange, canónicasde Hamilton, ecuación de Jacobi, principios de mínimaacción, invariantes integrales, etc.) se conservan, perosi se hace un uso correcto de los mismos, y no secomete el error de no darse cuenta de que ahora (en laRelatividad general) el tiempo es y el tiempo ordi-nario t no recibe el tratamiento de un tiempo, sino el deuna coordenada.

En los tratados ordinarios de Teoría de la Relativi-dad, se admite el abandono del espacio euclídeo, perose siguen utilizando unas coordenadas , θ, ϕ con elmismo significado que tienen para el espacio euclídeo,es decir son las coordenadas esféricas o polares de uso

muy corriente. No estoy de acuerdo con esta mezcla deconceptos clásicos y nuevos a la vez, si se admite lacurvatura del espacio, es decir el abandono del espacioclásico, entonces no significa la distancia del origen(punto en que se halla el centro gravitatorio único) almóvil (del sol al planeta en la interpretación astro-nómica) porque esta distancia carece de sentido, noexiste. En un espacio de Riemann, que ha sido definidoen términos infinitesimales por su ds2 y no en términosfinitos, ni , ni θ, ni ϕ, significan distancias y ángulostal como se entienden estos conceptos geométricoseuclidianamente (ordinariamente).

No obstante considero que igual que existe la posi-bilidad anterior que hemos señalado de conservar elespacio y el tiempo clásicos, y modificar la integralque ha de ser mínima, para establecer la distancia entreMecánica clásica del sistema solar y Mecánica relati-vista también del sistema solar; existe también otraposibilidad de interpretación física de las ecuacionesmatemáticas, de dotar de una base operacional feno-menológica a la estructura matemática de las ecua-ciones de Einstein y Schwarzschild, que consiste en loque pasamos a exponer.

Vamos a averiguar si existe la posibilidad de que enun espacio euclídeo de cuatro dimensiones, de coorde-nadas cartesianas x1, x2, x3, x4 se puede encontrar unahipersuperficie (tridimensional) tal que un ds sea elprimer sumando de (9). De la forma de dicho ds, sesigue que si el problema tiene solución, la tal hipersu-perficie tiene que ser de revolución, y un sistema decoordenadas hiperbólicas en cuatro dimensiones queson:

x1 r sinθ cosϕ ; x2 r sinθ sinϕ ;x3 r cosθ ; x4 x4

donde ahora r, θ , ϕ son las coordenadas esféricas deun espacio euclídeo tridimensional. Por ser la hipersu-perficie de resolución alrededor de OX4, su ecuaciónes:

x4 x4(r )

y su ds:

que identificando con el primer paréntesis de (9) da:


(15)

(16)

(17)

(18)

que integrada da la ecuación de la hipersuperficie quees:

Si se admite la deformación del espacio por lamateria, en este caso por la existencia de un cuerpogravitatorio único, entonces el espacio (el del sistemasolar) es un espacio tridimensional, que se puedesumergir en un espacio de cuatro dimensiones, y quedentro de él es una superficie de revolución, cuyaecuación es la (20). Esta hipersuperficie tiene lassiguientes propiedades: a) sus secciones planas porplano que contienen a OX4, son parábolas, cuyaecuación se obtiene haciendo x2 0, x3 0, en lasegunda (20) sus secciones por hiperplanos son lassuperficies que en el espacio euclídeo tridimensionaltiene por ecuación la que resulta de hacer x3 0 en lasegunda (20), sus secciones por hiperplanos son lassuperficies que en el espacio euclídeo tridimensionaltienen por ecuación la que resulta de hacer x3 0 en lasegunda (20), son por tanto las superficies engen-dradas en el espacio ordinario por la rotación de unaparábola alrededor de un eje que no la corta y es per-pendicular al eje de la parábola. Por el interés de estasuperficie del espacio ordinario, ponemos su ecuaciónen la forma habitual de escribir las coordenadas carte-sianas corrientes y es haciendo en la segunda (20):

con lo que la segunda (20) se escribe

a la que propongo llamarla toro parabólico o más abre-viadamente paratoroide.

Resulta pues que el r de (9) no es la distancia delmóvil al origen (del planeta al sol) sino que es la dis-tancia del móvil al antedicho eje OX4. El centro de gra-vedad único no existe, ni está en el origen de coorde-

nadas, sino que lo que sucede es que el espacio se hadeformado por la existencia de un campo gravitatoriode esta naturaleza, y los que vivimos en el sistemasolar como no podemos escapar de la hipersuperficie(20) al espacio cuadridimensional (x1, x2, x3, x4) nopodemos efectuar mediciones directamente de estascuatro coordenadas ni de r, θ , ϕ , sino que solamentepodemos efectuar medidas sobre la hipersuperficie, yconocer algunas de las coordenadas anteriores indirec-tamente; a través de las antedichas medidas. La zonade la hipersuperficie más próxima al origen de coorde-nadas, se obtiene haciendo x4 0 en (20) y es la esferade garganta de radio r 2µ.

He demostrado que este problema de Mecánicarelativista, es equivalente a un problema de Mecánicaclásica, que es el del movimiento de un punto material,de masa la unidad, obligado a moverse sobre la super-ficie (22) bajo la acción del potencial paramétrico,dependiente de los valores iniciales del movimiento:

donde W es el mismo de (12) y (14) y el papel deltiempo lo desempeña (y no t), siendo la constante dela integral de las fuerzas vivas . La particula-ridad que introduce la Relatividad respecto a la teoríaclásica de las ecuaciones diferenciales, es que mientrasen la primera la constante de la integral de las fuerzasvivas es siempre la misma, mientras que el potencial esparamétrico, por el contrario en la teoría clásica, laconstante antecitada es la que depende de los valoresiniciales, mientras que el potencial es independiente delos valores iniciales de coordenadas y velocidades (noparamétrico).

Análogamente he demostrado que los rayos lumi-nosos se obtienen de la misma manera que las trayec-torias de la materia, tal como se ha explicado en elpárrafo anterior, con solo hacer el cambio depor cero en la constante de la integral de las fuerzasvivas.

Si del sistema solar pasamos al cosmos, la teoría dela Relatividad general ha elaborado varios modelos deespacios abstractos, para tratar de resolver los pro-blemas cosmológicos. Entre estos modelos quizás elmás sencillo es el universo estático de Einstein. Según


(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

este modelo el universo es la superficie de una hipe-resfera de R de tres dimensiones, inmersa en unespacio cuadridimensional euclídeo, y el índice derefracción en el mismo es la unidad. Su ds es

donde dσ es el correspondiente a dicha esfera.

Como se cumplen las siguientes integrales pri-meras:

eliminando d entre ambas, se obtiene:

que es el factor por el que multiplicar mc2 para obtenerla energía asociada a una partícula material de masa m,como en (13) y al igual que (15) y por la misma razónque allí es:

W (26) (movimiento) W (reposo)

La (13) con este valor particular de W (13) coincidecon la misma fórmula que la de la Relatividad res-tringida y por la manera como la hemos obtenido, sesigue que es independiente de la forma partiendo dedσ, es válida siempre que se cumplan las dossiguientes condiciones: a) dσ es independiente deltiempo, b) el coeficiente de dt2 es constante.

Las partículas materiales y los fotones describencircunferencias máximas con velocidad constante ,las primeras y c las últimas. Se pueden acometer pueslos problemas de este universo con los métodos de laMecánica clásica.

El universo de De Sitter, se distingue del deEinstein por el coeficiente no constante de dE2; su dses:

siendo el mismo que para el universo de Einstein.

Se cumplen las dos integrales primeras:

y eliminando d entre ambas, se obtiene para W elvalor:

χ es el arco de meridiano sobre el universo esférico,contado a partir del observador, tomando como polo dela esfera (origen de coordenadas esféricas) y Rχ es ladistancia sobre dicha esfera del polo a los puntos de lasmismas coordenadas χ.

Pero mientras en el espacio de Einstein las trayec-torias de las partículas materiales y los rayos lumi-nosos, son circunferencias máximas (líneas geodé-sicas), porque por la primera (25) el potencial paramé-trico es constante, por el contrario para el universo deDe Sitter estas curvas son mucho más complicadas,porque se obtienen como las trayectorias de un puntomaterial de suma la unidad, que se mueve sobre laesfera tridimensional, bajo la acción del potencialparamétrico

siendo la constante de la integral de las fuerzas vivaso cero según se trate de la materia o de la luz.

En un sentido geométrico estricto, supuesto elespacio vacío (desprovisto de materia) o con materiaen reposo y distribuido uniformemente en el mismo,los espacios euclídeos, también llamados “planos” ylos esféricos (no euclídeos) son los únicos que gozande la propiedad de que cualquiera que sea de posicióndel observador en el espacio, cualquiera que sea ladirección en que se mire ve lo mismo, propiedad quese puede denominar ausencia de posiciones privile-giadas para el observador y ausencia de direccionesprivilegiadas para la observación. Para el universoeuclídeo y para el espacio de Einstein, esta propiedadse conserva, en el caso en que la materia se mueva conmovimientos uniformes (velocidad constante) ysiguiendo las geodésicas del espacio (rectas para eleuclídeo, circunferencias máximas sobre la esfera).Ahora tienen el universo de De Sitter, las trayectorias


(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

de la materia y de los rayos luminosos, son curvas muycomplicadas y el potencial no es constante sino quevale (31), cualquiera que sea la posición del obser-vador y cuando se toma su posición como polo de laesfera u origen de las coordenadas esféricas. Resultaentonces que dos observadores cualesquiera situadosen posiciones distintas A y B, les parece igual el uni-verso, porque ven lo mismo en posiciones C y D,cuyas coordenadas respecto a A el primero y a B elsegundo, sean iguales, pero no ven lo mismo en unamisma posición E, cuyas coordenadas sean distintas aA y B. Se puede decir que se introduce “una torre deBabel” entre observadores, el universo globalmentecomo un todo, les parece lo mismo a todos ellos, perolocalmente, cada cosa particular que sucede en cual-quier lugar del universo les parece distinta. Esto comodigo sucede en el universo de De Sitter, pero no en elde Einstein, ni en el euclídeo, para el que todos losobservadores ven igual el universo tanto globalmentecomo localmente, los observadores hablarían el mismolenguaje, existiría una total comunicabilidad de obser-vaciones (principio del consenso cosmológico).

Los cosmólogos han enunciado dos principios, quedenominan el principio cosmológico y el principiocosmológico perfecto, el primero afirma “a gran escalael universo presenta la misma apariencia a cualquierobservador esté donde esté” y el segundo añade aúnmás “el universo presenta la misma apariencia e cual-quier observador esté donde esté y en cualquiermomento”. Ambos principios cosmológicos loscumplen los tres universos el euclídeo, el einsteinianoy el de sitteriano. Pero en mi opinión se debe intro-ducir un tercer principio, que cumplen los dos pri-meros, pero no el tercero, que es el que propongodenominar principio del consenso cosmológico que sepuede enunciar así: “cualquier parte del universo agran escala presenta la misma apariencia esté dondeesté”, y así mismo habría mi cuarto principio del con-senso cosmológico perfecto si al enunciado anteriorañadimos “... y en cualquier momento”. Estos tercer ycuarto principios resumen lo dicho en el párrafoanterior, que también podemos resumir diciendo que“la igualdad de apariencias no se reduce a la visióntotal del universo; sino también a la visión parcial delmismo”.

La fórmula (27) está asociada a un fenómeno físicode relojes y de focos luminosos. Como en este caso es

W 1, se sigue que (movimiento) es mayor que(reposo), ambas magnitudes allí definidas, o lo que eslo mismo que de dos focos luminosos iguales, uno enmovimiento y el otro en reposo, emite luz más roja elfoco en reposo (o lo que es lo mismo más azul el focoen movimiento). Pero esto significa también que al serla frecuencia de un fenómeno vibratorio físico enreposo menor que la del mismo foco en movimiento,entonces el periodo de una vibración es mayor enreposo que en movimiento, pero el periodo es unaduración en el tiempo (un intervalo de tiempo) portanto:

W 1; ∆t (reposo) W∆t (movimiento)

es decir los relojes en movimiento van más lentos quelos relojes en reposo. Se sigue que el corrimiento haciael rojo (o el azul) de las rayas espectrales y la marchade relojes (rapidez o lentitud en el flujo del tiempo)son fenómenos físicos íntimamente emparentadosentre sí, y su existencia se traduce matemáticamente enla existencia de un W. Cuando hablamos de relojes yde focos luminosos, nos referimos que están invaria-blemente ligados a observadores en reposo o en movi-miento.

Lo dicho aquí se puede decir de la fórmula (15).

Existe una diferencia muy notable entre losespacios euclídeos (planos) y los esféricos (noeuclídeos) y es que en los primeros si un observador Mse mueve con movimiento rectilíneo y uniforme sobreuna recta S con velocidad v, respecto a un observadorP en reposo o más precisamente dicho si a P le pareceque esto es lo que sucede, entonces también a M puedeparecerle que P se mueve sobre una recta paralela a Scon velocidad -v. Esta propiedad de la fenomenologíaeuclídea y también de la geometría euclídea, no tieneequivalente en la del universo de Einstein antes des-crito, ni tampoco en la geometría sobre la superficie dela esfera. De aquí la importancia de esta propiedad delo euclídeo que se conserva en la Relatividad res-tringida pero no en la Relatividad general. En laRelatividad restringida dejando el mismo valor W en(15) y en (27) se pueden intercambiar entre sí las dospalabras “reposo” y “movimiento” y las fórmulas con-servan su valor, lo que no sucede en el universo deEinstein (antes descrito) en el que no existe esta reci-procidad entre observadores en reposo o en movi-miento y en el que no se pueden permutar entre sí lasdos palabras anteriores “reposo” y “movimiento”.


(32)

Propongo llamar principio de la reciprocidad al quese puede enunciar así: “es correcto permutar laspalabras reposo y movimiento en el movimiento recti-líneo y uniforme”. Obsérvese que aunque se parezcaeste principio, no es el de inercia de Galileo, porqueeste último afecta solamente a los fenómenos mecá-nicos y no a los ópticos, y lo que afirma este último es“por medios mecánicos no se puede detectar el movi-miento rectilíneo y uniforme”. Este principio que lla-mamos de reciprocidad es válido en la Física clásica yen la Teoría de la Relatividad restringida pero no en laRelatividad general.

Volviendo a los principios cosmológicos, antescitados, el perfecto es más fuerte que el simple, esdecir que lo arrastra e implica, y cada uno de ellos porseparado es más fuerte que los que he denominadoprincipios del consenso cosmológico y del consensocosmológico perfecto.

Los cosmólogos han elaborado modelos más com-plicados de universos, que los antecitados, universo enexpansión (Lemaitre y Friedmann), cosmología cine-mática (Milne), cosmología newtonianas, etc.; yomismo he desarrollado un modelo cuántico-relativistade universo en expansión, con creación permanente(continua) de materia. Vamos a analizar lo que sucedecon la expansión del universo, que comenzaron a con-siderar los físicos teóricos para explicar el efectoHubble o del corrimiento hacia el rojo de los rayosespectrales de la luz procedente de las galaxias. A estosuniversos se les denomina también “dinámicos” paradistinguirlos de los anteriores llamados “estáticos”.

Un ejemplo de universo es aquel cuyo ds es:

donde dw es el ds de una superficie esférica de tresdimensiones. Es el (24) sustituyendo el radio constanteR de allí por un radio variable con el tiempo R(t).

He demostrado utilizando el método de las ecua-ciones de Lagrange para determinar el mínimo de laintegral, cuya función subintegral es el ds2, siendo lavariable independiente, y también utilizando laecuación de Jacobi, que existe la integral primera:

el caso superior para la materia y el inferior para la luzy también existe la relación

De la (33) y las superiores (34) y (35) he obtenido

donde tiene dimensiones del cociente de una velo-cidad por una longitud, es la velocidad con que recorrela esfera de radio la unidad, la imagen de la partículamaterial en la representación esférica sobre esta esferaunitaria del universo en expansión se obtiene que:

Para el caso de la luz es mucho más inmediato de lainferior (34) obtener:

y utilizando la inferior (35) se tiene que también parala luz se cumple.

Estas propiedades son independientes de la formaparticular de dw, con tal de que sea independiente deltiempo, en particular son válidas para el espacio planodinámico que es el de ds (33) cuando en él se sustituyeel dw por el ds de (1). Estas velocidades (36) y (37)dependen exclusivamente del tiempo.

Es obvio que todo universo dinámico o enexpansión, al ser magnitudes geométricas depen-dientes del tiempo no cumplen el principio cosmo-lógico perfecto, pero tanto el espacio esférico de radiovariable, como el espacio plano en expansión de ds:

cumple el principio cosmológico. Pero en este casomientras que el esférico cumple el principio del con-senso cosmológico, en el plano no es necesario, porque(39) adopta esta forma cualquiera que sea el origen de


(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

coordenadas. Los espacios en expansión son más difí-cilmente imaginables que los estáticos, porque en elesférico por ejemplo, los observadores (nosotros)estamos siempre sobre la superficie esférica tridimen-sional, que nunca permanece idéntica a sí misma, queestá constantemente cambiando con el tiempo, dentrode un espacio plano (euclídeo) cuadridimensional quenos es accesible, del que solamente podemos conoceralgunas cosas, a través de cálculos indirectos, reali-zados sobre un universo real, que nunca es igual a símismo, que nunca está en su sitio. Existe una velo-cidad radial dR(t) del universo que está fuera del uni-verso real, y en cualquier instante aparte del movi-miento de la materia que tiene lugar en el universoesférico, está teniendo lugar un desplazamiento en elsentido radial, que escapa del universo. Esta dificultadpropia de todo espacio no euclídeo en expansión, no sepresenta en el espacio euclídeo en expansión (39)porque en él, el espacio permanece siempre idéntico así mismo, todo el movimiento de la materia tiene lugardentro del universo real, no hay ningún espacio fueradel universo.

En (35) hemos obtenido distintos valores para W enel caso de la materia y de la radiación (la luz), mientrasque en los universos estáticos de Schwarzschild,Einstein, y De Sitter anteriores, únicamente podíamoscalcular el W para la materia, y este mismo valor quees incalculable para la luz, lo tomábamos para la luzigual que para la materia, con objeto de que la aniqui-lación de la materia y la materialización de la radiación(transformación de la masa en energía y viceversa)tenga los mismos efectos en los espacios relativistasestáticos, que en los ordinarios.

Obsérvese la analogía que repetidas veces hemosseñalado entre variación en el color de la luz y acele-ración o frenado de un reloj, se puede sustituir el viejosofisma convertido en adagio popular de “todo es delcolor del cristal con que se mira” por el de “todo es delcolor con que se mueve el observador”.

Voy a relatar un suceso curioso que es el siguiente:en octubre de 1983 la prensa española publica lasiguiente noticia: “La longitud recorrida en el vacíopor un rayo de luz en 1/299,792,458 segundos equi-valdría, de ahora en adelante, a un metro, según hadecidido la Conferencia General de Pesos y Medidas”.

He de hacer las siguientes puntualizaciones: en unaconferencia mía en la Real Academia de Ciencias en

mayo de 1979 titulada “el espacio y el tiempo en lateoría de la Relatividad y los principios de mínimo”publicadas por dicha Corporación en el curso conme-morativo del centenario de Einstein (páginas 111 a133) expuse entre otras cosas una revisión de los fun-damentos de la relatividad restringida relacionada conla sustitución de las antiguas unidades de longitud ytiempo vigentes en 1905 y proponía introducir comounidad fundamental la de la velocidad, basada en lavelocidad de la luz en el vacío, conservar como funda-mental la del tiempo, basada en la definición actual enaquel momento o cambiarla por otra definición comopodía ser la constante de semidesintegración de algunasustancia radiactiva, y que la unidad de longitudpasase a ser derivada en vez de fundamental (véaseconcretamente las páginas 121 y 122 de dicha publi-cación). En mi libro “Introducción a la Investigaciónen Física y Matemáticas”, editado por Empeño 14 en1981, insistía sobre lo mismo.

La adopción de la nueva unidad de longitud, segúnla noticia periodística antecitada, está en la línea de loque propuse en 1979.

Para más detalles, véanse mis antedichas publica-ciones.

En el año 2011 tuvo lugar en centenario de la RealSociedad Matemática Española con tal motivo pro-nuncié dos conferencias en el Ateneo de Madrid y en laReal Academia de Cultura Valenciana, una de lascuales va a ser publicada. En ellas recordé a un granhombre y a una gran institución. El primero era ReyPastor que realizó una gran labor en España y en laArgentina tan importante que se puede hablar de lasMatemáticas en estos dos países antes y después deRey Pastor. La institución fue el Instituto Jorge Juandel CSIC que en los años cuarenta a sesenta des-empeñó un papel importantísimo en el desarrollo de laMatemática. Tuvo como directores a Navarro Borrás,Bachiller y Abellanas, allí actuaron catedráticos comoRicardo San Juan, Sixto Ríos quien después pasó adirigir el Instituto de Estadística. por allí pasaron comobecarios los que después fueron catedráticos Gaeta,Plans, Baltasar Rodríguez Salinas, Etayo, AntonioCastro y otros muchos.

Yo publiqué en aquellos años (últimos de los cua-renta y primeros de los sesenta) 22 artículos en surevista Matemática Hispanoamericana y 12 en Gaceta


Matemática, revistas que editaba el Instituto JorgeJuan. Fui becario allí durante dos años como licen-ciado en Ciencias Matemáticas y lo abandoné cuandoterminé la carrera de ingeniero agrónomo y fui des-tinado a Salamanca, pero siempre mantuve un fuertecontacto con este Instituto hasta su desaparición.

Voy a concluir esta conferencia con unas notasextraídas de mis propias investigaciones. Estas notasestán dirigidas a especialistas.

Nota 1ª La materia ordinaria visible y la materiafractal invisible

En mi conferencia en la Real Academia de Cienciasdel 2010-2011 que va a ser publicada por la misma heexpuesto una nota (la número 11) que lleva por título“la materia fractal no ocupa volumen”. Hoy voy arecordar dicha nota, y la voy a ampliar y también voy aexponer a continuación de esta nota, la nota 2ª que esun ejemplo muy rentable y más fácil de entender.

Existen dos clases de materia que son la materiaordinaria, que es visible, la cual ocupa una parte delespacio, que puede ser una longitud, una superficie(área), o un volumen; en el caso de una longitud estáformada por un conjunto infinito de puntos que tienenla potencia del continuo. Por otra parte existe lamateria fractal invisible que puede estar sobre unarecta o una curva, pero en un número infinito nume-rable de puntos y que por tanto no ocupa longitudalguna. O también puede estar sobre un númeroinfinito de puntos del interior de una superficie cerradadistribuidos sobre un conjunto infinito numerable decurvas semejantes a la curva envolvente.

En el primero de los dos casos anteriores ni siquieratienen densidad longitudinal. En el segundo caso noexiste densidad espacial, el fractal no ocupa espacio,aunque ocupa infinitas superficies semejantes, lascuales forman un conjunto infinito numerable.

Nota 2ª La fractalización de círculos, esferas ehiperesferas mediante la fractalización del diámetro

La fractalización del diámetro consiste en dividiréste en tres partes iguales (o en más también) y

suprimir la central (o suprimir las alturas entre las dospartes extremas que siempre se conservan). Se repiteindefinidamente este proceso y el límite cuando elnúmero de divisiones y supresiones de las partes cen-trales de los segmentos tiende a infinito. La figura geo-métrica así obtenida se transforma en un conjunto deinfinitos puntos en pares (o números pares) de puntossimétricos respecto al centro. Es en el caso más sen-cillo

que es un fractal.

Una variable aleatoria repartida uniformemente alazar sobre este fractal si R es el valor del radio, tienepor función característica, como hemos calculado enotras publicaciones el valor:

Lo anterior es consecuencia de fractalizar el diámetro.

Pues bien, fractalizado el diámetro queda automáti-camente fractalizado su círculo, que queda trans-formado en un conjunto de circunferencias concén-tricas de radio con n variando de uno a infinito.

Un punto repartido uniformemente al azar sobreeste fractal tiene una probabilidad de estar sobre unacircunferencia cualquiera proporcional a una longitudy dentro de esta circunferencia está repartida unifor-memente al azar sobre la misma. Por tanto su funcióncaracterística es

lo que nos permite calcular la varianza que se obtieneefectuando en (3) la sustitución

En el caso de una esfera en vez de una circunfe-rencia la (3) se transforma en la


(1)

(2)

(3)

(4)

Por ser ahora la probabilidad de estar sobre una delas superficies esféricas que forman el fractal propor-cional a su área. La cual permite calcular su varianza,es el coeficiente de en el desarrollo del coseno (5)en serie de Taylor.

En el caso de una hipersuperficie de m dimensionesla (3) y la (5) se convierten en:

que da la fórmula general en función del número dedimensiones, m 2 para la circunferencia, m 3 parala esfera.

Nota 3ª Las páginas 179 a 184 de mi libroMecánica y Cálculo Tensorial. Las ecuaciones diferen-ciales e integrales fraccionarias y continuas

A su vez son una ampliación de mi memoria“Nuevos tipos de ecuaciones diferenciales e integrodi-ferenciales. Nuevos fenómenos de oscilación”publicado en la Real Academia de Ciencias tomo 1,1956 páginas 1 a 151. Este libro se publicó en 1965 porla editorial Dossat en segunda edición. En el capítuloVIII de dicho libro que lleva por título “Teoría delPotencial” en los párrafos 10 y 11 que llevan portítulos: “Las ecuaciones diferenciales fraccionarias yla Teoría del potencial” y “La no conmutabilidad de laderivación fraccionaria” páginas 179 a 182 se exponíamis investigaciones sobre esta materia que son dedifícil lectura y en los párrafos 12 y 13 que van de lapágina 183 a 184 se exponen mis investigaciones sobre“Derivación e integración del índice de derivación deuna función/pseudofunción” que voy a reproduciraquí.

Definiendo la derivación e integración por mediode la Transformación de Laplace o de Carson, sepueden considerar muchas operaciones como una sola,

pero mientras que la primera es una correspondenciaunívoca entre función y derivada, en el sentido en quea cada función le corresponde una sola derivada, por elcontrario la integración no lo es, porque a cada funciónle corresponden varias integrales que resultan cada unade los distintos valores de las constantes de inte-gración. Para hacer esta correspondencia biunívoca, espreciso tomar límites fijos en cada integración, y sitomamos estos iguales a t y cero, como se tiene que

se comprende fácilmente que la integración quedareducida a una derivación de índice negativo.

En virtud de la definición de derivación fraccio-naria, se puede definir también una única pseudo-función de dos variables tal que:

siendo F(p) la transformada de Carson o de Laplace dey(t).

Como se puede derivar en ambos miembros de lacorrespondencia simbólica (2) se tiene que

y como utilizando la transformación de Carson:

en la que C es la constante de Euler, en virtud delteorema de Borel de la transformación de Carson(véanse mis libros Ingeniería de las Oscilaciones yEcuaciones Diferenciales y Matrices editados porDosset) es

Análogamente se puede definir como operacióninversa de la anterior, la integración entre y β, res-pecto al índice de derivación de una función y(t). Enefecto integrando entre y β, en ambos miembrosde (2) se obtiene:


(5)

(6)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

y como utilizando la transformación de Carson

en la que Γ es la función gamma; por la aplicación delantecitado teorema de Borel se obtiene

Como resultado de las anteriores definiciones, sepueden considerar ecuaciones continuas en los índicesde derivación, cuya integración puede verse en misantecitados libros y memoria de la Revista de la RealAcademia de Ciencias.

Desde Newton y Leibnitz existen la derivación y laintegración enteras. Desde Liouville existen las frac-cionarias, ambas son discretas (discontinuas). En miopinión existe una tercera derivación e integracióncontinua basada en la transformación de Laplace (o deCarson) TL.

Dada una función f(t) que tiene derivadas y trans-formada de Laplace entonces sus derivadas e inte-grales tienen unas TL dadas por el producto por pelevado a la potencia igual al orden de la derivada paraésta, y al producto de para la integral sin o con lasuma de un polinomio en potencias de p en caso de laderivada.

Se sabe también que sucede algo parecido cuandola derivación o la integración fraccionarias, entoncessiempre hay que multiplicar por una potencia fraccio-naria de p, positiva si es la derivada y negativa si laintegración.

En mi libro y en mi memoria antecitadas expusemis investigaciones en las que introduzco, creo quepor primera vez el Cálculo Fraccionario en la Teoríadel Potencial, en especial en lo relativo a ecuacionesdiferenciales, integrales e integrodiferenciales, convarias novedades, como son la derivación e inte-

gración del índice de derivación de una función y com-probar la existencia de ecuaciones diferenciales e inte-grales continuas en los órdenes de derivación e inte-gración. Surgiendo así expresiones como

siendo un número real (no fraccionario, ni entero).Se puede integrar o diferenciar la en (9). Por tantojunto a las derivaciones e integraciones de ordenentero o fraccionario (discontinuas), existen en miopinión una nueva derivación e integración continuasen la que los índices de derivación o de integración sonreales ni enteros ni fraccionarios.

Nota 4ª La composición del universo y los procesosestocásticos asociados

El universo contiene a la materia ordinaria y a laradiación. Es posible que contenga también materiafractal que no ocupa espacio como ya hemos señalado.

La materia está formada por átomos, y éstos a suvez están formados por electrones, protones y neu-trones, siendo su carga eléctrica positiva y negativaiguales entre sí, salvo si existen átomos ionizados, encuyo caso los átomos incompletos tienen carga eléc-trica positiva y ha abandonado algunos electrones quequedan libres como resultado de la ionización, pero eneste caso los electrones libres son en número muypequeño, casi insignificante. Lo son en número alea-torio; se expresan mediante una variable aleatoria dePoisson (ley de los sucesos raros). La carga eléctricade los electrones libres es negativa e igual a la cargapositiva de los muchos átomos ionizados. Existe portanto una disimetría entre la masa eléctrica negativa yla positiva, la primera es decir la positiva es muchomayor que la negativa.

La radiación está formada por fotones en númeromuy grande, mientras que la materia está formada porun número muy grande de protones, neutrones y elec-trones.

Los fotones se pueden descomponer en electrones ypositrones en igual número, pero con una probabilidadde descomposición muy pequeña, así es que el númeroigual de electrones y positrones es muy pequeño, se


(6)

(7)

(8)

(9)

crean un electrón y un positrón por cada fotón que sedescompone. Así mismo un electrón y un positrón setransforman en un fotón con una probabilidad peque-ñísima.

En una conferencia anterior dada en la RealAcademia de Ciencias titulada “Los métodos matemá-ticos de la Astronomía y la Cosmología” ya publicada,en mi nota 1a titulada “El proceso estocástico de lospositrones en el seno de la materia” demostré que altender el tiempo a infinito, el número aleatorio de lospositrones creados tiende a una variable aleatoria dePoisson (ley de los sucesos raros) y calculado lafunción característica de esta probabilidad. Esto hasido explicado con mucho detalle en la antecitada con-ferencia.

Nota 5ª Los dos procesos estocásticos de la trans-formación aleatoria de un protón en un neutrón y de unneutrón en un protón

Se sabe que un protón, de los que hay un númerograndísimo, tiene una probabilidad pequeñísima detransformarse en un neutrón y un positrón y así mismoun neutrón aún tiene una probabilidad más pequeña detransformarse en un protón y un electrón.

Si llamamos p y q a las probabilidades anteriores,de transformación de un protón en un neutrón y unpositrón; y de un neutrón en un protón y un electrón, ysi llamamos x e y a los números de protones y de neu-trones en un tiempo t, y llamamos x0 e y0 a los exis-tentes en el instante inicial se cumple en una teoríadeterminista que:

y de las dos anteriores se sigue que:

es decir que la suma de los números iniciales de pro-tones y de neutrones se conserva, porque todos los quedesaparecen de uno de ellos aumentan el número delos otros.

De (1) y (2) se sigue que:

que se puede escribir

y la análoga para y:

Lo que nos permite calcular los números de pro-tones y de neutrones en la teoría determinista quecorresponde a los valores medios en la teoría probabi-lista, que es la de Poisson, de los sucesos raros.

Las integrales de las dos ecuaciones diferenciales(4) y (5) son si los valores de x y t para t 0 son x0 e y0,las dos

de la que se sigue la

Análogamente la integral de (5) es:

Las (7) y (8) para t 0 valen

Sumando (7) y (8) se obtiene

Para t se tiene para x e y los valores

Y como p es mayor que q se tiene cualquiera que seanx0, y0 que:


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

porque siempre se cumple la (10).

Nota 6ª La analogía entre el proceso estocásticofísico anterior y el proceso estocástico sociológico dela doble emigración entre dos poblaciones

El proceso anterior es análogo al de cómo varían enel tiempo las poblaciones entre las que se establece unaprobabilidad muy pequeña de que un individuo de unapoblación emigre a la otra. Tanto en una como en otrala función de distribución de las poblaciones queemigran obedecen a la ley de los sucesos raros dePoisson.

Nota 7ª Mis 27 libros

El primer libro que escribí, lo publicó la editorialbrasileña el Globo en portugués para incluirlo en unenciclopedia titulada Manual del Ingeniero. Quiso laeditorial que algunos autores fueran extranjeros ypidió al Profesor D. Julio Rey Pastor le diera elnombre de un autor español y les dió mi nombre.

La parte mía la titulé “Teoría de las Oscilaciones yAplicaciones”. Mi parte fué de 234 páginas.

20 libros fueron publicados por las editorialesDossat, Editorial Nacional, Paraninfo, Ra-Ma, edi-torial Empeño, Instituto de España, Escuela T. S. deIngenieros Agrónomos.

2 libros la mitad mía y la otra de otros profesores.Fueron editados por Dossat y por la UniversidadNacional de Distancia.

Los otros cuatro libros aun no se han publicado.

Nota 8ª El desarrollo de la Mecánica de Fractales

La Mecánica clásica trata de sólidos, placas ybarras y puntos materiales.

Para desarrollar la Mecánica de los fractales heintroducido los conceptos de semisólidos, semiplacasy semibarras, que tienen tres, dos y una dimensión, loscuales resultan de fractalizar un sólido, una placa ouna barra.

En la Mecánica clásica son necesarios losmomentos de inercia de tres, dos o una dimensión ytambién los de un punto material. Los cuales surgencomo integrales, los cuales surgen como integrales detres, dos o una dimensión:

mientras que en los fractales se resuelven los pro-blemas mediante sumas infinitas simples, dobles otriples:

es decir se utilizan series, simples, dobles o triples, envez de integrales.

Estos libros contienen más de seis mil páginas.

BIBLIOGRAFÍA

Aparte de las cuatro conferencias publicadascitadas al principio de esta conferencia se pueden con-sultar los siguientes libros míos.

1. Mecánica y Cálculo Tensorial (2ª edición) editorialDossat 1965.

2. Curso de Mecánica en forma de problemas editadopor la Escuela T.S. de Ingenieros Agrónomos deMadrid 1978.

3. Diccionario de Matemática Moderna 3ª edición1994.


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