La propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones...
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Ecuaciones de Cauchy-Riemann ● La propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones entre la parte real e imaginaria de una función: Ecuaciones de Cauchy-Riemann:
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Ecuaciones de Cauchy-Riemann
● La propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones entre la parte real e imaginaria de una función:
Ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
● Teorema: una condición necesaria para que una función sea diferenciable en es que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfagan.
● Consequentemente, si f es una función analítica en un conjunto abierto, entonces las ecs. de Cauchy-Riemann deben satisfacerse en cada punto del conjunto abierto.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
● Comentario:
Que se satisfagan las ecs. de Cauchy-Riemann NO es suficiente para asegurar que la función sea diferenciable. Para ello hay que añadir condiciones de continuidad a las derivadas parciales de u y v
Ecuaciones de Cauchy-RiemannTeorema:
Sea f(z)=u(x,y)+i v(x,y) definida en un conjunto abierto (entorno) que contiene a
Si● Las derivadas parciales de u y v existen en
dicho entorno.● Las derivadas parciales son continuas en ● Satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Entonces f(z) es diferenciable en y
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales
son continuas y satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en todos los puntos de la
vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica
Ecuaciones de Cauchy-RiemannTeorema
Sea definida en un
entorno de
Si ● las derivadas parciales con respecto a r y
existen● Las derivadas parciales son continuas en● Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar).
Entonces f(z) es diferenciable en y
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema
Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.
Funciones armónicas
● Una función real se dice que es armónica en un dominio D, si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en D y si en cada punto del dominio se satisface la ecuación de Laplace
Funciones armónicas
Teorema
Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y v(x,y) es una función armónica.
● Comentario: si conocemos u(x,y) podemos construir su función “armónica conjugada” v(x,y) utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta forma podemos encontrar la función analítica f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)
Algunas funciones elementales
Veamos algunas funciones analíticas que se reducen al caso de funciones elementales del Cálculo cuando z=x+i0
● Función exponencial● Función logaritmo● Exponentes complejos● Funciones trigonométricas● Funciones hiperbólicas● Funciones trigonométricas e hiperbólicas
inversas● Polinomios ?
Algunas funciones elementales
● Función exponencial
Esta función es muy importante, pues, entre otras cosas, de ella se definen otras funciones.
Con tenemos:
● De aquí que:●
es decir, la función es multivaluada
Por ejemplos:
a) si y sólo si k:entero
b) si y sólo si
Es decir que es una función periódica con período
Algunas funciones elementales
De modo que dividimos el plano complejo en diferentes bandas o regiones
Algunas funciones elementales
● Comentario: notemos que la función puede tomar el valor negativo -1:
Entonces e
● Finalmente, hemos obtenido anteriormente que
Algunas funciones elementales
● Funciones trigonométricas
Hemos visto que
por lo que
● De aquí se define o generaliza las funciones seno y coseno a “ángulos complejos” como
Algunas funciones elementales
con derivadas
Algunas funciones elementales
Algunas propiedades●
●
●
●
●
●
● si y sólo si● si y sólo si
Algunas funciones elementales
Similarmente se definen las funciones
con derivadas
Algunas funciones elementales
