Logicismo y Analiticidad Jasso

7/25/2019 Logicismo y Analiticidad Jasso

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LOGICISMOYANALITICIDAD:

FREGEYCARNAPDOSPROPUESTASLOGICISTAS

Jess Jasso Mndez*

RESUMEN. Distintos programas de investigacin en filosofa handefinido las nociones de analiticidad y aprioricidad. Perspectivascontemporneas: Boghossian (2000), Peacocke (2000), Kitcher(1980, 2000), Horwich (2000) slo por mencionar algunos

casos enfrentan el problema de definir la extensin de talesconceptos. La finalidad del presente artculo es: ofrecer al lec-tor en un solo artculo til, un anlisis fino y delimitado de lasdefiniciones logicistas paradigmticas de la analiticidad que ori-ginan las discusiones contemporneas: Frege (1879, 1874) y ii.Carnap (1935, 1947). De esta manera, el lector estar en condi-ciones conceptuales de seguir adecuadamente la polmica cl-sica y contempornea que al respecto, en filosofa del lenguaje,filosofa de la lgica y la epistemologa se encuentra disponible.

PALABRAS CLAVE. Semntica, Analiticidad, Aprioricidad, Logicis-mo, Frege, Carnap.

INTRODUCCIN

El problema de caracterizar las nociones de analiticidad y aprioricidaden filosofa no es una empresa nueva. Distintos programas de investigacinen filosofa del lenguaje, filosofa de la lgica y epistemologa, hanbrindado diferentes formas de particularizar este problema ex.gr. Frege(1884, 1879), Russell (1919), Carnap (1935, 1937, 1947), Quine (1951),Kripke (1972).1

* Profesor-investigador, Academia de Filosofa e Historia de las Ideas, UACM-Tezonco.Profesor de Asignatura, Colegio de Filosofa, FFYL, UNAM.1 Como indiqu al inicio de este artculo existen distintos planteamientos ms con-temporneos, los cuales enfrentan el problema de caracterizar las nociones de analiticidad,aprioricidad y necesidad, a partir del debate abierto por los logicistas, ex. gr. Paul

Volumen 11, nmero 26, septiembre-diciembre, 2014, pp. 277-296


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Este trabajo forma parte de una investigacin ms amplia en tornoa las nociones de analiticidad, aprioricidad y necesidad. Por cuestiones

de extensin, en esta ocasin mi finalidad conceptual se restringe apresentar dos contenidos: A. La aritmtica y la analiticidad de acuerdocon el programa logicista de Frege; B. La analiticidad de acuerdo conel programa sintctico y semntico de Carnap. Para lograr (A) y (B), miestrategia de presentacin ser la siguiente.

El artculo lo he dividido en tres secciones.En I. PRELIMINARES, identifico el objeto de aplicacin primaria de lasdistinciones analtico/sinttico y a priori/a posteriori. Con este trabajo

conceptual, el lector podr distinguir no slo la naturaleza filosficade cada dicotoma; adicionalmente podr ver cmo para el logicismola definicin de la analiticidad y de la aprioricidad estn fuertementevinculadas.En II. LAANALITICIDAD EN LAARITMTICA: SEMNTICA DE FREGE analizarpuntualmente en qu trminos Frege atribuye analiticidad a losenunciados aritmticos y lgicos y, slo a ellos. Considerar DieGrunlagen der Arithmetik (1884), particularmente la Einleitung y lassecciones 1-4 y 12 y algunos pasajes de su Begriffsschrift(1879).

En III. CARNAP: UNAPROPUESTA SINTCTICAY SEMNTICA DELAANALITICIDADdescifrar la extensin del predicado ser analtico a partir de LogicalSyntax of Language (1935) y Meaning and Necessity (1947) i. e. deacuerdo con los programas sintctico y semntico de Carnap.

El contenido de (I), (II) y (III) contribuir a que el lector se encuentreen condiciones conceptuales satisfactorias para seguir, desde la base, lapolmica clsica y contempornea que respecto a la extensin de la nocinde analiticidad se encuentra disponible actualmente en la literatura de lafilosofa del lenguaje, la filosofa de la lgica y la epistemologa.

Boghossian (2000), Cristopher Peacocke (2000), Philip Kitcher (1980) y (2000), PaulHorwich (2000), slo por mencionar algunos casos. Las referencias completas de estoscasos se encuentran en la seccin Bibliografa.


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LOGICISMOYANALITICIDAD. FREGEYCARNAP: DOSPROPUESTASLOGICISTAS

PRELIMINARES

Una de las rutas para clarificar nociones como analiticidad y aprioricidadconsiste en explicar la relacin entre dos distinciones conceptuales: i.analtico/sinttico, ii. a priori/a posteriori.

En principio, la distincin analtico/sinttico es una disimilitud se-mntica, i. e. una distincin que se explica en trminos del significadode los enunciados de un lenguaje (L).El significado es entonces el objetoprimario al que se aplica esta distincin. Por su parte, la distincin apriori/a posteriorise trata de una disimilitud de tipo epistemolgico, i. e.

podemos predicar de un enunciado su aprioricidad o aposterioricidad entrminos del tipo de justificacin de las verdades que tales enunciadosexpresan. El conocimiento es entonces el objeto primario al que se aplicaesta disimilitud.

Distinguir los objetos de aplicacin primaria de la analiticidad y laaprioricidad es importante pues nos permite aplicar un criterio con-ceptual estndar til para identificar los compromisos filosficos-conceptuales que adquieren los enfoques logicistas y semantistas.

Especficamente, los programas de Frege (1979) (1984) y Carnap

(1935) (1947) trataron de:

i. ofrecer una definicin de analiticidad y aprioricidad;ii. proponer criterios de identidad para distinguir enunciados

analticos y verdades a priori;iii. establecer las posibles relaciones entre ser analtico y ser a

priori considerando coextensionalidad entre ambos predicados,pero al tiempo, presuponiendo una independencia entre ellossin trivializar la naturaleza filosfica de cada predicado.

A partir de la distincin estndar entre analiticidad y aprioricidad yconsiderando (i), (ii) y (iii), las siguientes preguntas conducirn eldesarrollo de las siguientes secciones:1. Cul es la naturaleza de la conexin entre la analiticidad y la

aprioricidad de acuerdo con los dos proyectos logicistas arribasealados?


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2. En qu sentido hablar de la analiticidad implica decir algo relevantede aprioricidad y, viceversa?

3. Existe alguna relacin entre algn tipo de definicin de las nocionescon aquellos criterios de identidad que nos permiten identificarenunciados analticos y verdades a priori?

II. LAANALITICIDADENLAARITMTICA: SEMNTICADEFREGE

Frege propone una explicacin del predicado ser analtico como una

consecuencia natural de su programa logicista. De acuerdo con el logi-cismo los enunciados matemticos son reducibles a enunciados lgicos.Esta reduccin considera dos aspectos: una reduccin conceptual2 yuna reduccin por decidibilidad3. Al respecto, Hintikka (2009) seala:

de acuerdo con el logicismo, la matemtica puede serreducida a la lgica.

(a) Todo concepto de las matemticas, i.e., de laaritmtica, lgebra y anlisis, pueden ser definidos en

trminospuramente lgicos.(b) Todos los teoremas de las matemticas pueden

ser deducidos desdeestas definiciones por medio de losprincipios de la lgica [...] (Hintikka, 2009: 271)4

2 Con reduccin conceptual me refiero a la motivacin logicista por definir todoconcepto matemtico en trminos estrictamente lgicos i.e. cada concepto matemticopuede reducirse en trminos exclusivamente lgicos.3 Con decidibilidad me refiero a la creencia logicista de obtener cualquier verdadmatemtica mediante un mecanismo finito de prueba estrictamente lgico i.e. todaverdad matemtica puede ser probada deducirse mediante axiomas lgicos, leyeslgicas generales y definiciones lgicas, exclusivamente.4 Siguiendo los lineamientos editoriales deAndamiosno incluyo en ningn caso las citasde autores en su idioma original (ingls y alemn), considerando que es posible incluiruna traduccin estndar en espaol. Particularmente, las citas en espaol incluidas enste trabajo de Hintikka (2009), Morado (1987) y Carnap ([1935] (1996) y (1947))son responsabilidad ma. De cualquier forma, las referencias en el cuerpo del textocorresponden a las referencias originales.


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La tesis reduccionista considera entonces dos condiciones: la lgica escapaz de definir el lenguaje matemtico y la lgica es capaz de probar el

conjunto de verdades matemticas. Una consecuencia de esta reduccinser la atribucin transitiva de propiedades semnticas y epistemolgicasdesde los enunciados lgicos hacia los enunciados matemticos.

De acuerdo con Frege, los enunciados aritmticos son los msgenerales, pues el establecimiento de su verdad se sigue nicamente deleyes generales de la lgica y definiciones, sin incluir en la derivacinalgn tipo de contenido extra-lgico. La nocin de generalidad vienede la lgica. Si el rango de aplicacin de las verdades que expresan los

enunciados aritmticos abarcan:

... no slo lo actual, no slo lo intuible, sino todo lo pen-sable, ... entonces Frege no puede pensar en otra fuentede tan tremenda generalidad, que no sea la lgica misma,la ciencia de lo pensable por excelencia. Entonces, tan-to la afirmacin que la aritmtica lo abarca todo, comola afirmacin que esta generalidad viene de la lgica, in-dican en qu sentido debe entenderse el dictum que la

aritmtica es analtica(Cfr. Morado, 1987: 46-47).

En consecuencia, si las verdades lgicas son las ms generales al con-siderarse paradigmticamente analticas y la justificacin de su conte-nido a priori, entonces, los enunciados aritmticos al ser reducibles atrminos lgicos, debern considerarse, como bien lo seala Morado(1987), tambin generales al ser analticos y su verdad se considerara priori.

La analiticidad entonces no refiere a la relacin kantiana entre elcontenido conceptual del predicado como contenido en el contenido con-ceptual del sujeto,5sino a la propiedad que tiene un enunciado, o bien,

En este caso, pongo en negritas algunas expresiones de la consideracin de Hintikka.La finalidad de esta distincin es notar cmo con este autor podemos identificar tambinlos dos aspectos que caracterizan a la tesis reduccionista del logicismo: reduccin entretrminos y reduccin por prueba (teoremas).5 En todos los juicios en los que se piensa la relacin entre un sujeto y un predicado(me refiero solo a los afirmativos), el predicado B pertenece al sujeto A como algo


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i. de ser deducido a partir de leyes generales de la lgica y definicionesadmisibles en el sistema formal; o bien, ii. de funcionar como axioma

lgico. Si lo anterior es correcto, la definicin de analiticidad coincide conel segundo aspecto de la tesis logicista-reduccionista: los teoremas delas matemticas pueden ser deducidos desde estas definiciones [lgicas]por medio de los principios de la lgica (Hintikka, 2009: 271); peroen este caso diremos:AF:6un enunciado ser analtico siies consecuencialgica7de leyes lgicas generales y definiciones, o bien es una axioma l gico.De tal suerte, si los enunciados aritmticos son decidibles en trminoslgicos, entonces, tales enunciados sern necesariamente analticos,

luego forman parte de la clase de los enunciados ms generales (Cfr.Morado, 1987: 46-47). Analicemos (AF).Una preocupacin filosfica constante de Frege es el significado o

contenido de las expresiones de un lenguaje. En Die Grundlagen derArithmetik (1884) encontramos una investigacin semntica de tipoformal. Para Frege el estudio semntico se trata de un estudio lgico.8

que est (implcitamente ) contenido en el concepto A...Si digo por ejemplo: Todos loscuerpos son extensos tenemos un juicio analticono tengo necesidad de ir ms all

del concepto que ligo cuerpo para encontrar la extensin como enlazada con l. Cfr.Kant, I., (1984) Crtica de la Razn Pura, Mxico, D.F.: Alfaguara, pp. 47-48.6 Uso AF para nombrar: Analiticidad fregeana.7 La nocin de consecuencia lgica en un principio es un concepto primitivo. Este seusa para afirmar simplemente ex.gr. que A se sigue de B. Esta nocin debe distinguirsedel concepto derivabilidad. La derivabilidad es un concepto que se empieza a utilizar demanera rgida en los sistemas de la lgica. Se pensaba que tal concepto capturaba lanocin intuitiva de consecuencia lgica. Sin embargo, actualmente el uso de estaltima nocin se ha modificado. A partir de Tarski la consecuencia lgica tiene unsentido terico: A es consecuencia lgica de B si y slo si toda estructura semnticaque es un modelo de B es un modelo de A. Estas distinciones entre consecuencia lgicacomo idea intuitiva, la derivabilidad como concepto que captura la idea intuitiva deconsecuencia lgica y la consecuencia lgica como nocin terica puede rastrearse yaen los trabajos de Carnap (1935) y (1947), an cuando es hasta Tarski que se establecenexplcitamente estas diferencias. De tal suerte, cuando decimos que para Frege un enun-ciado es analtico sii es consecuencia lgica de leyes lgicas generales y definiciones,y de acuerdo con Carnap, un enunciado es analtico siies consecuencia lgica de laclase vaca de premisas, expresamos en ambos casos la propiedad que tiene unenunciado de derivarse lgicamente de estas condiciones, donde la derivabilidad debeentenderse como el concepto que captura la idea intuitiva de consecuencia lgica.8 De acuerdo con Frege en su Begriffsschrift (1879) la investigacin lgica es lo que


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De acuerdo con el contenido de la Einleitung y de las secciones 1-4de Die Grundlagen los enunciados matemticos tienen una legitimidad

independiente de los hechos empricos y de las representacionessubjetivas de los individuos:

la aritmtica no tiene absolutamente nada que ver conlas sensaciones. Tampoco con las imgenes mentales queconfusamente surgen de impresiones sensoriales anteriores.Lo indeciso e indeterminado que ostentan todos estosdesarrollos entra en fuerte contraste con la determinacin

y solidez de los conceptos y objetos matemticos (Frege,[1884] (1972): 110).

En la base de esta consideracin se encuentra un intento por demostrarque los enunciados de la aritmtica son analticos, i.esatisfacen al menosuna de las siguientes dos condiciones: i. no dependen de la experienciay presuponen nicamente definiciones y las leyes generales de la lgicapara su demostracin, ii. son axiomas lgicos. La analiticidad para Fregeconsiste entonces en un tipo de predicado proposicional justificableen

funcin de un ejercicio deductivo.La versin fregeana sobre la analiticidad relaciona, a partir de la

prueba lgica, el estatus epistemolgico de la justificacin de las verdadesmatemticas, con la naturaleza semntica de los enunciados que expresano contienen tales verdades. En otras palabras, relaciona la propiedadsemntica analtica de los enunciados matemticos con la condicin aprioride su verdad:

actualmente llamamos semntica: una doctrina del contenido, una investigacin sobrela naturaleza y estructura del significado. Sin embargo, Frege distingui sus propiasconcepciones de Lgica y, aun cuando lo anterior es correcto, en Die Grundlagen derArithmetik Frege tiene como uno de sus objetivos principales aislar el carcter lgico dellenguaje, separar los rasgos psicolgicos de los lgicos y a partir de esto caracterizar el len-guaje de las matemticas, en principio su condicin analtica. Adems no debemos olvidarque el objetivo principal de los Grundlagen, es mostrar que todos los cimientos de lamatemtica estn basados en leyes generales de la lgica.


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Estas distinciones entre a priori y a posteriori, entre sin-ttico y analtico, ataen no al contenido del juicio,

sino a la justificacin para emitirlo. Ah donde falta estajustificacin, falta tambin la posibilidad de toda distin-cinCuando se dice que una proposicin es analtica oa posteriori no se juzga sobre las relaciones psicolgicas,fisiolgicas y fsicas que pudieran haber hecho posible laformacin de la proposicin en nuestra conciencia; tampo-co sobre cmo alguna otra persona, tal vez errneamente,haya llegado a tenerla por verdadera, sino por la razn ms

profunda en que descansa la justificacin que la toma porcierta (Frege, [1884] (1972), secc. 3,: 116-117).

En consecuencia, la distincin a priori/a posteriori, como la distincinanaltico/sinttico, conciernen al contenido del enunciado en tanto steincluye una referencia a la justificacinde la emisin de tal expresin,a su prueba lgica. La prueba lgica entonces funciona como undispositivo sintctico que permite decidir la condicin semnticaanaltica de un enunciado i.e. si este es consecuencia lgica de leyes

lgicas generales y definiciones o bien es un axioma lgico, en el marcode una demostracin; y, al tiempo, funciona como un dispositivoepistemolgico tal que al ser un enunciado probado exclusivamentepor medio de herramientas sintcticas, al margen de cualquier hechoextra-lgico, se considera que expresa una verdad a priori. Esto es loque se conoce como la coextensionalidad en Frege entre analiticidad yaprioricidad:

la pregunta debe apartarse del campo de la psicologay adscribirse al de la matemtica, cuando se trata de unaverdad matemtica. El problema es el de encontrar suprueba y seguirla hasta las verdades ms primitivas. Si eneste camino slo se encuentran definiciones y leyes lgicasgenerales, entonces se trata de una verdad analtica(Frege, [1884] (1972), secc. 3,: 116-117).


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tal que un enunciado es analtico siies un teorema lgico, luego al ser laprueba lgica la evidencia de su verdad sta quedar justificada a priori.9

Adicionalmente, si consideramos ahora la justificacin fregeana parala validez de reglas como modus ponensen Conceptografa (1879)se sugiere un segundo tipo de condicin para atribuir analiticidad co-rrectamente. Un enunciado es analtico sii resulta lgicamente vlidocon base en las condiciones de asertabilidad que definen las conectivasque en dicha enunciado figuran. Se trata de una interpretacin semnticatcnicade los enunciados, la cual establece la relacin entre las frmu-las y parte de lo que stas significan i.e. lo que ahora llamaramos sus

condiciones de verdad (Cfr. Frege [1879] (1972), secc. 5 y 6: 17-22).En consecuencia, de acuerdo con Frege un enunciado ser analtico obien por ser consecuencia lgica de leyes lgicas generales y definicio-nes incluyendo el caso de ser un axioma lgico, o bien porque lavalidez de su forma es consecuencia de las interpretaciones posibles delas constantes lgicas que constituyen su estructura.

Bajo estas dos caracterizaciones de la analiticidad, la propiedad anal-tica de un enunciado consiste en: i. sealar un sentido de generalidad i.e.advertir el lugar que ocupan los enunciados en un sistema terico a partir

del rango de aplicacin de su verdad y, ii. en el tipo de demostracin detal enunciado. El proyecto logicista de Frege consiste justamente en de-mostrar la analiticidad de los enunciados de la aritmtica a partir de (i) y(ii). El tipo de justificacin lgica de un enunciado determina su rango degeneralidad. Si ha de hablarse de algn tipo de definicin de analiticidaden Frege, tal aspecto, implica considerar criterios de identificacin y jus-tificacin de enunciados verdaderos.

Bajo este tipo de consideraciones, la distincin analtico/sintticoes una distincin de orden lgico-semntico y no gramatical. Lapregunta sobre la naturaleza de las distinciones analtico/sinttico y apriori/ a posteriori de las verdades matemticas no tiene que ver conconsideraciones de orden psicolgico, sino con aquellas referidas sloa ejercicios formales deductivos y a la caracterizacin de las frmulasque aparecen en una prueba lgica. La naturaleza de las proposiciones

9 En este caso, la prueba lgica funciona como la evidencia de las verdades aritmticas,as como los hechos empricos pueden funcionar como evidencia de las verdades fsicas.


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depende, entonces, no del contenido emprico del enunciado sino de sujustificacin en un sistema formal abstracto:

si es imposible llevar a cabo la prueba sin utilizar ver-dades que no sean de naturaleza lgica general, sino quepertenezcan a un campo especial de conocimiento, enton-ces se trata de una proposicin sinttica. para que unaverdad sea a posteriori, se exigir que su prueba no puedaproducirse sin apelar a situaciones fcticas, esto es, a ver-dades que no se puedan probar y que no sean generales,

a verdades que contengan asertos sobre objetos determi-nados. Si por el contrario, es posible producir la pruebatotalmente en base con leyes generales, que por su parte ninecesitan ni admiten prueba, entonces la verdad es a priori(Frege, , [1884] (1972), secc. 3,: 117).

En suma, cinco consideraciones nos permiten caracterizar la propues-ta logicista de Frege en torno a la analiticidad y su relacin con laaprioricidad:

a. Los teoremas de la aritmtica se demuestran en la teora formal apartir de pasos de inferencia desde proposiciones lgicas inicialesenumeradas. El ejercicio consiste en encontrar la prueba de unenunciado aritmtico y seguirla hasta las verdades ms primitivas.

b. Si en la demostracin encontramos nicamente definiciones y leyeslgicas generales primer sentido de analiticidad, entonces setrata de una verdad segundo sentido de analiticidad con elmayor grado de generalidad expresado por un enunciado analtico.

c. Si en la prueba encontramos un enunciado de naturaleza no lgicaque pertenezca a un campo cientfico distinto, entonces estamosfrente a un enunciado sinttico.

d. Si la prueba del enunciado no procedesin apelar a situaciones de ordenfctico i. e. a verdades que no se pueden probar exclusivamente conel lenguaje formal y, que por tanto, no sean generales, sino verdadescuyo contenido se refiere a objetos y relaciones entre particulares,entonces estamos frente a una verdad a posteriori.


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e. Si la demostracin se obtiene nicamente a partir de leyes generalesde la lgica que, por su parte, no necesitan ni admiten prueba,

entonces estamos frente a un enunciado analtico y a una verdad apriori(coextensionalidad entre dos propiedades de los enunciadosaritmticos cuya naturaleza filosfica es de diferente orden).

CARNAP: UNAPROPUESTASINTCTICAYSEMNTICADELAANALITICIDAD

La teora formal de Carnap en Logical Sintax of Language (1935) y

en Meaning and Necessity (1947) ofrece una caracterizacin sintcticay semntica, respectivamente, del tipo de enunciados que figuran enun lenguaje S. Los argumentos en ambos casos no tienen el propsitode ofrecer un criterio de identidad de la analiticidad, ni un tipo de jus-tificacin de verdades proposicionales para determinar su naturalezasemntica y epistemolgica. La propuesta de Carnap se caracteriza porhacer distinciones entre los tipos de enunciados de Sen trminos de suscompromisos lgicos y empricos. En consecuencia, aquellos enunciadoscuya naturaleza semntica y epistemolgica puede conocerse tan slo

por condiciones sintcticas, o bien por aspectos semnticos-tcnicossern considerados analticos y a priori, mientras aquellos enunciados deSno determinados slo por la sintaxis o por las condiciones tcnicasde la semntica, sern considerados sintticos y a posteriori.

La exposicin de (1935) tiene como antesala el sistema lgico-m-temtico desarrollado por Russell y Whithead en Principia Mathematica(1910)y la Teora de la Prueba desarrollada por Hilbert.10Carnap, con-sidera, por una parte, el papel que desempea los constituyentes bsicosde su teora sintctica: Sistema de reglas, Trminos generales o sintcti-cos, L-Trminos y F-trminos. Por otra parte, establece el papel de tales

10La teora de la prueba o la demostracin de David Hilbert fue desarrolladaen la dcada de los 1920. Por ejemplo, Cfr. Hilbert, D. Die Grundlagen DerElementaren Zahlentheorie en Mathematische Annalen04, pp. 485-94. Versinen Ingls, Mancosu (edit) (1998), The Grounding of Elementary NumberTheory en From Brouwer to Hilbert: The debate on the foundations of mathematicsin the 1920s, New York: Oxford University Press, pp. 266-273.


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constituyentes en la teora as como sus distintas implicaciones. A partirdel desarrollo de estos dos aspectos Carnap caracterizar sintcticamente

a la analiticidad y sistematizar el conjunto de enunciados del lenguaje.Por cuestiones de espacio no expondr aqu cada punto de la teora

sintctica y me centrar en lo fundamental de ella para los propsitosde este artculo: la analiticidad. La sintaxis lgica consiste en dos partesbsicas: i. el anlisis de las reglas de formacin de S(conjunto contablede smbolos como smbolos de S y un conjunto de expresiones de Sllamadas el conjunto de las frmulas bien formadas); ii. el anlisis delas reglas de transformacin de S (inferencia deductiva y un subconjunto

de frmulas bien formadas llamadas axiomas de S). (i) y (ii) implicaprivilegiar los trminos de enunciadoy consecuencia directa.Los enunciados de Spueden ser verdaderos o falsos.11Los enunciados

verdaderos a partir nicamente de la sintaxis sern enunciados vlidos,mientras los falsos sern contravlidos. Un enunciado es vlido, si esconsecuencia de la clase vaca de premisas (Cfr. Carnap [1935] (1996):48) en el marco de una prueba i.e. es un teorema derivado desde unacadena de consecuencias directas, la cual inicia con la clase vacade premisas y finaliza con el enunciado probado. Ahora bien, en la

prueba podemos distinguir dos tipos de enunciados vlidos: i. axiomas(enunciados primitivos) y ii. teoremas (enunciados demostrados) (Cfr.Carnap [1935] (1996): 45 y 48-49). Por su parte, un enunciado ex.gr. Aser contravlido, si todos los enunciados Sson consecuencia deA. Esto es, todos los enunciados de la Principia Mathematica que nopueden ser probados ex. gr. p & - p o (p v p). No probar Aimplica mostrar que un enunciado B, al igual que B, son consecuenciadeA; tal que, probar By su negacin implica considerar que cualquierenunciado pueda ser deducido. Por lo tanto, si By Bson consecuenciade A, todo enunciado es consecuencia de A, luego Aes contravlido.Adicionalmente, de acuerdo con Carnap, los enunciados sean stosvlidos o contravlidos sern considerados enunciados determinadosen S, luego un enunciado ser indeterminado si ste no es vlido ni

11 Carnap (1935) considera el caso de enunciados verdaderos o falsos en funcinnicamente de las reglas sintcticas del lenguaje sin considerar aspectos extralingsticos.


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contravlido.12Los enunciados determinados son, entonces, aquellospara los que las reglas del lenguaje son suficientes para decidir su

valor de verdad. En suma, loe enunciados vlidos son deducibles en elsistema; los contravlidos son aquellos cuyas negaciones son deduciblesen el sistema; y respecto a los indeterminados, ni ellos ni sus negacionesson deducibles en el sistema.

Ahora bien, cuando un lenguaje Scontiene nicamente enunciadosprimitivos y reglas de inferencia de carcter estrictamente lgico, talesreglas, por su condicin matemtica prevaleciente, son llamadas porCarnap: L-reglas. Si incluimos en Sleyes fsicas que funcionen como

enunciados primitivos ex.grlos principios de la mecnica de New-ton, las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell, los principiosde la termodinmica tales reglas tienen un carcter extra-lgico.Carnap llama a este tipo de reglas: F-reglas (Cfr. Carnap [1935](1996): 50-51).

La distincin entre L-reglas y F-reglas es muy importante para darcuenta de la caracterizacin sintctica de la analiticidad. Un enunciadoC (conclusin) es una consecuencia de la clase Pde premisas si existe unacadena de enunciados construidas en funcin de las reglas de inferencia

conectando a la clase Pcon el enunciado C. Si en la prueba nicamentese aplican L-reglas, entonces tal enunciado es una L-consecuenciade P.En un segundo caso, si Cpuede ser deducida a partir de P, slo o con laparticipacin de F-reglas entonces Ces una F-consecuenciade P . (Cfr.Carnap [1935] (1996): 52).

La inclusin de F-reglas en conjuncin con la nocin deF-consecuencia nos permite comparar la nocin de sinteticidad yverdad a posteriorien Frege con los resultados hasta ahora obtenidospor Carnap. De acuerdo con Frege y Carnap, si en la prueba de unenunciado Cdamos con enunciados (P1,,Pn) que son de naturalezano lgica y pertenecen a un campo cientfico distinto, entonces losenunciados (P1,,Pn) sern para el primero enunciados sintticos o bien

12 Si un enunciado es indeterminado (no es posible decidir su valor de verdad slo por lasintaxis), entonces estar construido mediante la introduccin de variables no lgicas.De acuerdo con Carnap, stos lgicamente indeterminados constituirn al conjunto deenunciados sintticos.


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verdades a posteriori, mientras para el segundo se tratar de casos deF-reglas o F-consecuencias, respectivamente.

Finalmente, si un enunciado es verdadero en funcin nicamente deL-reglas entonces tal enunciado al ser L-vlido, ser analtico: por lotanto llamaremos a un enunciado que es verdadero nicamente en virtudde las L- reglas, L-vlidoo analtico (Carnap [1935] (1996): 53). Estadefinicin de analiticidad es entonces anloga a la definicin de validez:un enunciado es analtico si ste ha sido probado es consecuenciaa partir de la clase vaca de premisas i.e. se trata de una L-consecuenciade la clase vaca de premisas.13

Con base en los resultados obtenidos es posible enumerar carac-terizaciones de los tipos de enunciados en Sdesde la sintaxis:

a. Un enunciado falso cuyo valor de verdad se sigue exclusivamente deL-reglas es un enunciado L-contravlidoo contradiccin, i.e. Aesun enunciado contradictorio si todo enunciado del lenguaje es unaL-consecuenciadeA.

b. Un enunciado es L-determinadosi es ya analtico, ya contradictorio.

13 Tcnicamente la consecuencia lgica en Carnap se expresa de la siguientemanera:

yes consecuencia lgica del conjunto de premisas ( ) si y solo si por definicin es

necesario ( ) que si para todo enunciado xque pertenezca a gama, xes verdadera,entonces yes tambin verdadera.

Carnap identifica la condicin ser consecuencia de la clase vaca de premisas comoel explicatum del explicandumser analtico, tal que la extensin de ser consecuencia de laclase vaca de premisas es la extensin de ser analtico y, la satisfaccin de tal condicina su vez permite establecer el tipo de verdad que expresa tal tipo de enunciado. De talsuerte, de acuerdo con Carnap (1935), la verdad que expresa un enunciado analtico sera priorimientras la naturaleza de la verdad que contienen otros tipos de enunciados ser,en principio, no a priori. Es importante mencionar que el explicatum del explicandumser analtico slo es correcto dentro de una interpretacin estndar de las contanteslgicas. Recordemos que Carnap utiliza indistintamente los predicados ser analtico, serverdadero lgicamente y ser necesario.


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c. Si un enunciado no es L-determinadoi.e. la asignacin de su valorde verdad no se sigue nicamente de L-reglas, tal enunciado es

llamado L-indeterminadoo sinttico.d. Los enunciados sintticos, como hemos visto, son para Frege y

Carnap aquellos afirman estados de cosas.e. En suma, todos los enunciados L-vlidos son analticos, i.e.

lgicamente verdaderos o expresan una verdad necesaria. Por (a)todos los enunciados L-contravlidossern contradictorios. Por (c)los enunciados indeterminadossern sintticos.

As, mientras Frege defiende una analiticidad de tipo lgico deduc-cin y, de tipo semntico decidibilidad del valor de verdad de losenunciados aritmticos, Carnap (1935) explcitamente incluye en ladefinicin de consecuencia lgica el rasgo distintivo del predicado esanaltico. Incluye en la extensin de tal predicado el ejercicio deductivoy la asignacin del valor de verdad a las frmulas. De cualquier forma,tanto Frege como Carnap coinciden en la extensin del predicado: unenunciado es analtico si tiene la propiedad de ser consecuencia lgicade leyes lgicas generales y definiciones, o bien, es un axioma lgico.

Si consideramos ahora las observaciones semnticas de Carnapdesde Meaning and Necessity(1947) veremos que el proyecto sintcticoy semntico se encuentran estrechamente vinculados. En amboscasos, los enunciados analticos sern aquellos que expresan verdadesnecesarias o verdades lgicas. Particularmente, el programa semnticocoincide con los puntos (b)14, (c)15y ( e ) arriba sealados. De acuerdocon Carnap (1947) la verdad de un enunciado analtico se explicapor medio del concepto L-verdad: [n]uestro concepto de L-verdad... pretende ser un explicatumpara el concepto familiar pero vago deverdad lgica o verdad necesaria o verdad analtica el cual funcionacomo explicandum (Carnap. 1947: 10) De tal suerte, si la verdad lgicade un enunciado se sigue de satisfacer la condicin de derivarse de la

14 2. Conceptos-L. Un enunciado es llamado L-determinado si este es tantoL-verdadero o L-Falso (Carnap, 1947: 7).15 2. Conceptos-LL-indeterminado o factual. El ltimo concepto es un explicatumpara lo que Kant denomin juicio sinttico (Carnap, 1947: 7).


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clase vaca de premisas sintaxis lgica, entonces, tal consideracinse encontrara en dificultades a partir de los resultados de Gdel sobre la

indecidibilidad de algunos sistemas formales matemticos.16Para tratarde evitar estos problemas tcnicos, pero sobre todo para salvaguardar suexplicacin de la propiedad ser analtico como el rasgo que dota a lasverdades de los enunciados lgicos de un mayor grado de generalidada diferencia de las verdades no lgicas, Carnap intenta identificarcomplementariamente los rasgos de la analiticidad en trminos dedescripciones de estado (state-description).

Las descripciones de estado se refieren a la clase de enunciados que

contienen todos los enunciados atmicos, su verdad o su negacin, perono ambos, ni tampoco otro tipo de enunciados. Tal clase da una completadescripcin de un estado posible del universo de individuos consideran-do todas las propiedades y relaciones expresadas por los predicados delsistema. En otras palabras, las descripciones de estado representan losmundos posiblesde Leibniz o los estados de cosas posiblesde Wittgenstein(Cfr. Carnap, 1947: 9). En este caso, un enunciado lgicamente verda-dero, necesario o analtico lo es, en tanto su verdad se sostiene en todaslas descripciones de estado posibles (Cfr. Carnap, 1947: 10). Bajo estas

condiciones, el enunciado el predicado se aplica nicamente y a todosespecifica el rango de aplicacin y no aplicacin del predicado es ana-ltico i.e. un tipo de explicatumdel explicandum es analtico incluye ensu extensin el conjunto de enunciados a los que se aplica el predicadoverdadero en todas las descripciones de estado posibles:

16 De acuerdo con Gdel, no hay un sistema adecuado para formalizar la aritmticade manera recursiva, mucho menos sistemas inclusivos que puedan ser completos enfuncin de algn procedimiento de derivacin formal (Cfr. Gdel, [1931] (1986), berformal unentscheidbare Stze der Principia mathematica und verwandter Systeme I enS. Feferman (et al.) (edit.), Kurt Godel. Collected Works. Volume I: Publications 19291936, New York: Oxford University Press, 1986, pp. 116195.). Estas consecuenciasrepresentan una autntica crtica a los planteamientos de Carnap en la medida en que steltimo, s propone como hemos visto un procedimiento formal para sistematizartanto el tipo de enunciados matemticos en particular, como los de la ciencia empricaen general, de acuerdo con las condiciones que se establecen en su sintaxis lgica. As,las relaciones de consecuencia lgica como derivabilidad son insuficientes para probarque todos los enunciados matemticos o su negacin se siguen de las restricciones delexplicatumde ser analtico: seguirse de la clase vaca de premisas.


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2-1. Convencin. Un enunciado es L-verdadero en unsistema semntico S si y slo si es verdadero en S en tal

sentido en que su verdad pueda ser establecida sobre lasbases de las reglas semnticas del sistema S nicamente,sin alguna referencia a hechos (extra-lingsticos) (Carnap,1947: 10).

La consideracin anterior descansa en la definicin: 2-2. Definicin.Un enunciado es L-verdadero (en S

1) = df

ise mantiene en toda

descripcin de estado (en S1) (Carnap, 1947: 10). Esta definicin le

sirve a Carnap para soportar la consideracin semntica de arriba i.e.mantenerse en toda descripcin de estado posible es definida por lasreglas semnticas de S

1. As la analiticidad es un aspecto formal o de

interpretacin semntica tcnica y no factual en cualquier caso. Enpalabras de Carnap:

Cmo debemos definir L-Verdad a fin de cumplir conel requerimiento de 2-1? Una forma sugerida por la con-cepcin de Leibniz es que una verdad necesaria debe

mantenerse en todos los mundos posibles, esto significaque una oracin es lgicamente verdadera si sta semantiene en todas las descripciones de estado (Carnap,1947: 10).

A partir de los resultados anteriores un enunciado es analtico si cumplela restriccin: de acuerdo con las reglas semnticas de Sun enunciado enel sistema de lenguaje Ses L-verdadero, analtico o lgicamente necesario

sii tal enunciado expresa una verdad en todas las descripciones deestado posibles, tal que cualquier enunciado matemtico en Spuede sernecesariamente verdadero en Sslo en funcin de las reglas semnticasde S, las cuales contienen y aplican el conjunto de descripciones deestado posibles.

De esta manera, Carnap desarrolla dos programas para atribuir lapropiedad ser analtico a los enunciados en un sistema de lenguaje ycon ello justificar por qu se considera a los enunciados lgicos comoaquellos que expresan verdades con mayor generalidad. En primer


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lugar, el predicado es verdadero se explica en trminos de la relacinde consecuencia lgica (sintctica), lo que hace de este desarrollo un

acercamiento al predicado propiamente sintctico. En segundo lugar,Carnap desarrolla un sistema semntico, el cual identifica los rasgosde la analiticidad en funcin del concepto semntico: descripciones deestado. Tal que, un enunciado es analtico siino puede darse el caso queexprese una falsedad en alguna descripcin de estado posible.

Por ltimo, las dos propuestas de Carnap abren una discusinimportante sobre la analiticidad y la aprioricidad. A la luz de los resul-tados de Gdel, en tanto a Carnap le interesaba explicar la extensin del

predicado es analtico, este es un esfuerzo satisfecho en la estructurade una lgica proposicional de primer orden. Lo anterior implica que lapropuesta sintctica y semntica tenga la misma extensin: los enuncia-dos L-verdaderos son verdaderos en todas las descripciones de estadoposible y un enunciado es analtico si es consecuencia lgica del conjuntode premisas que no tiene miembros. Ambas consideraciones coincidenen el mismo rango lgico.

Claramente las aportaciones de los programas logicistas no tienenproblema con el uso del predicado es analtico. Al parecer, sus

criterios formales prueba: leyes lgicas generales, definicionesadmisibles y consecuencia lgica son suficientes para la clasificaciny sistematizacin del conjunto de enunciados que ocurren en los len-guajes de primer orden. Sin embargo, aun cuando se trata de un trabajotcnico y convencional que ofrece una interpretacin clara del predicadoser analtico, la extensin logicista de dicho predicado es claramenteestrecha, pues la extensin del predicado se ha definido dentro de loslmites de un contexto semntico-tcnico que dice poco del uso de talpredicado en los contextos de los lenguajes naturales.

Considerando este ltimo caso, una teora semntica interesantepara el lenguaje natural debe decirnos en qu sentido la explicacin delconcepto de la analiticidad implica la defensa de nuestra disposicin pormantener ciertas verdadesexpresadas por un tipo de enunciadosfrente a cualquier cambio de hechos, en contextos tcnicos y ordinarios.Este es el reto que enfrentan actualmente los programas semantistas-tcnicos, semantistas-naturalizados, as como los programas naturalistasy metafsicos. Abordar al menos, algunas de estos casos, es una buena


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motivacin para un siguiente artculo. Por ahora, se ha cumplidonuestro objetivo: ofrecer al lector en un slo material til, un anlisis

riguroso de las explicaciones logicistas paradigmticas de la analiticidadque dan origen a las discusiones contemporneas.

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Fecha de recepcin: 13 de febrero de 2013Fecha de aprobacin: 22 de abril de 2014

Volumen 11, nmero 26, septiembre-diciembre, 2014, pp. 277-297


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