Liceo Guatemala Matemática Segunda Unidad Prof. Franklin Lemus

Quinto bachillerato: B Guatemala, 7 de mayo de 2012

Distancia entre dos puntos

Punto medio

Distancia entre dos puntos:

La distancia entre dos puntos es la distancia total que existe entre dos puntos representados dentro

del plano cartesiano.

Para encontrar la distancia entre los puntos P y Q se necesita establecer sus coordenadas dentro del

plano cartesiano. Las coordenadas de estos puntos son P(-2, -1) y Q(1, 2). Después se establece que

la distancia entre los puntos P y Q es la hipotenusa de un triángulo cuyo cateto opuesto es igual a la

diferencia entre los puntos del eje y, y cuyo cateto adyacente es igual a la diferencia entre los puntos

del eje x.

Aplicación: La utilización de la recta tiene un gran valor, no solo en la matemática, sino en la

vida diaria. Como por ejemplo en la elaboración de estructuras se debe tomar en cuenta muchos

aspectos de la recta para conseguir estructuras eficientes, además casi producto creado debe tener

cierta medida que no se puede medir si no fuera por la utilización de la recta.

Al formar un triangulo en donde solo falta el valor de la hipotenusa, que es igual a la distancia entre P

y Q, se puede usar el Teorema de Pitágoras para encontrarla. El Teorema de Pitágoras establece

que . Entonces para encontrar la distancia

entre P y Q debemos operar √(

) (

). De esta forma encontramos la

hipotenusa que es igual a la distancia entre el punto P y el punto Q.

Ejemplos:

- Ejemplo 1: Hallar la distancia entre los puntos P (3,2) y Q (1,3).

Para encontrar la distancia entre los dos puntos debemos encontrar la hipotenusa esto lo hacemos

con la ecuación de √(

) (

). Después definimos la x y la y,

√(

) (

). Operamos la formula y nos queda . Esto quiere decir que la

distancia entre el punto P y Q es de unidades.

- Ejemplo2: Hallar la distancia entre los puntos R(-4,-2) y S(1,5).

Para hallar la distancia entre estos dos puntos se vuelve a usar la formula de la hipotenusa del

triángulo, √(

) (

). Después se remplazan los valores de x y de y,

√[ ( )] [ ( )]. Al operar nos queda que . La distancia

entre los puntos R y S es de unidades.

- Ejemplo 3: Hallar la distancia entre los puntos T(-3,-1) y U(-5,-3).

Para hallar esta distancia volvemos a usar la fórmula para encontrar la hipotenusa,

√(

) (

). Se cambian los valores de x y de y por los de las coordenadas,

√[ ( )] [ ( )]. Después de operar se sabe que , entonces la

distancia entre los puntos T y U es de unidades.

Punto medio:

S i las coordenadas de los puntos ext remos, A y B, son: ( ) ( )

Las coordenadas del punto medio de un segmento co inc iden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos .

Ejemplos:

y

Hal la r las coordenadas de l punto medio del segmento AB.

( ) y ( )

y

( )

Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

Ejercicios

Haya la distancia entre A y B en cada ejercicio

A(1,6) B(6, -6)

√( ) ( )

A(0,4) B(1,5)

√( ) ( )

A(7,5) B(9,2)

√( ) ( )

A(3,4) B(3,9)

√( ) ( )

A(-8,5)B(-9,5)

√( ) ( [ ] )

A(-6,-8)B (9,4)

√( [ ] ) ( [ ] )

Pendiente de una recta: • Cero

• Indefinida

Pendiente de una recta: La pendiente de una recta es la inclinación, la razón de Cambio en "y" con respecto al eje "x" Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

( )

( )

Pendiente de una recta:

Cero

Indefinida

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m < 0 Pendiente nula o cero

Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresión analítica m = 0 Son rectas paralelas al eje y del Plano Cartesiano.

Su ecuación es: donde es cualquier número Real.

Pendiente de una recta: La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Sean ( ) y ( )dos puntos de una recta, no paralela al eje Y; la

pendiente: Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo.

Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano

Ejemplos: Ejemplo 1 Graficar la recta que pasa por cada par de puntos, y calcular su pendiente. Punto A = (4,3) Punto B = (-2,3)

Ejemplo 2 Punto A = (4,-1) Punto B = (4,4)

( )

La pendiente es indefinida, porque la recta es paralela al ejey

Ejercicios:

Graficar la recta que pasa por cada par de puntos, encontrar la pendiente e indicar el tipo de pendiente en los

siguientes ejercicios.

1. A = (1,3) 2. A = (5,8) 3.A = (-2,-5)

B = (6,3) B = (5,6) B = (9,-5)

4. A = (6,8) 5. A = (0,4) 6. A = (7,0)

B = (6,6) B = (0,3) B = (9,0)

Resolución

( ) ( )

2. ( ) ( )

3. ( ) ( )

( )

4. ( ) ( )

5. ( ) ( )

6. ( ) ( )

Pendiente de una recta: • Positiva

• Negativa

Pendiente De Una Recta La pendiente se define como la medida de inclinación de una recta dada. FORMULAS PARA SACAR LA PENDIENTE: Si sabes el Angulo de inclinación:

Cuando conoces los puntos de la recta, entonces la formula a utilizar es:

Pendiente de una recta:

• Positiva La pendiente de una recta es considerada positiva, cuando al resolver la ecuación Y=MX+B, en la expresión analítica M>0 y graficar, la recta graficada se ubica de forma ascendente en el plano cartesiano. Se dice, de esta forma, que tanto los valores de X, como los valores de Y, aumentan, al mismo tiempo que el ángulo de la recta. Para identificar una pendiente positiva en una recta ya graficada, basta con observar la pendiente, y si la recta representa un ángulo agudo, la pendiente es positiva.

Ejemplo:

Paso1

(ecuación de la recta)

Lo pasamos en la forma de la ecuación de la recta.

Paso2

A = cantidad de x B = cantidad de y

C = Número cualquiera

Basándonos en los valores de la recta.

Paso3

Utilizando la fórmula de la pendiente

Paso4

Sustituyamos los valores en la fórmula de la pendiente y

simplificamos

Paso5 Es la pendiente, una pendiente positiva.

Pendiente de una recta:

• Negativa La pendiente de una recta es considerada negativa cuando la recta se muestra decreciente, una forma de saber que es negativa es cuando los valores de “x” aumentan y los valores de “y” disminuyen; ósea la pendiente (m) < 0

Ejemplo:

Paso1 ( ) ( )

Lo pasamos en la forma de la ecuación de la recta.

Paso2 ( ) y ( )

Basándonos en los valores de la recta.

Paso3

Utilizando la fórmula de la pendiente

Paso4

( )

Sustituyamos los valores en la fórmula de la pendiente y simplificamos

Paso5

Es la pendiente, una pendiente negativa.

Vea la figura:

Ejercicios: 1. La ecuación que define la cantidad de productos vendidos está dada por y = 4x. Encontrar la pendiente de la ecuación.

m=-(-4)/1

Solución= 4 Pendiente positiva

2. Las notas de un estudiante que está tratando de mejorarlas, están dadas por la ecuación, 2) y = 3x + 2. Encontrar la pendiente de la ecuación.

m=-(-3)/1

Solución= 3 Pendiente positiva

3. El descenso de temperatura en el polo norte está dada por la siguiente ecuación:

Solución

m= -5 Pendiente negativa

4. La tienda de juguetes muy famosa años atrás, ha llegado a la quiebra por sus malas ventas y mala organización, la ecuación que define el hecho está dada por:

Encuentre su pendiente.

Solución y= 3- 2x

m= -2 Pendiente negativa

Pendiente de una recta: • Ecuación general de la recta

Tipos de ecuaciones de la recta:

• Pendiente intercepto

Pendiente de una recta:

• Ecuación general de la recta La pendiente llamada m de una recta será siempre constante y la misma se calcula por medio de la ecuación:

(

)

A partir de la anterior ecuación se llega a la ecuación de la Recta: ( ) Y de una forma más general se puede hallar la ecuación general de la Recta; de esta forma: x-y-1=0 Conocida también como la forma implícita, es decir: ax+by+c=0

Ejemplos:

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda

2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

Ejemplos: Ecuación General de la Recta

Ejemplo 1:

Halla la ecuación general de la recta.

Solución:

Nos dan la ecuación explícita:

Tenemos que pasar todos los términos de la ecuación al lado izquierdo y ordenarlos:

Opcionalmente, podemos quitar denominadores:

Ejemplo 2:

Pasa por los puntos A (4,7) y B (5,-1). Escribe la ecuación de la Recta que

Primero hallamos la pendiente:

Ahora aplicamos la ecuación de la recta:

( )

( )

Ejercicios: Hallar las pendientes y las intersecciones con los ejes de las rectas: 1) 3x -5y-4 =0

2) x - 3y + 2 = 0

3) 4x - y + 3 = 0

4) 7y - 1 =0

5) 6x + 9y - 2 = 0

Tipos de ecuaciones de la recta:

• Pendiente intercepto

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen

como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.

Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la

pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5).

Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos la información que tenemos:

m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y + 10 = 0

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo

tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b

Despejamos la variable b en:

2 = – 5 (1) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7

La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.

La cual también podemos expresar en su forma general:

y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0

La cual ordenamos y queda

5x + y – 7 = 0

Ejemplo 3:

Hallar la pendiente y e intercepto de la recta:

Intercepto.

Ejemplo 4:

Buscar el intercepto en y de la ecuación .

Solución: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)

Ejemplo 5:

Buscar el intercepto en y de la ecuación

Solución: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

Ejemplo 6:

Buscar el intercepto en y de la ecuación

Solución: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

Ejemplo 4: Buscar el intercepto en y de la ecuación

Intercepto.

Intercepto de x

Para buscar el intercepto en x, se sustituye la “y” por “0” en la ecuación.

Ejemplo:

El intercepto en y es (-5/9, 0)

Tipos de ecuaciones de la recta: • Punto pendiente

• Dos puntos

Tipos de ecuaciones de la recta:

• Punto pendiente

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la

dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dados dos puntos

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo,

la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso,

la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

Ecuación punto-pendiente

( )

Ejemplos:

1) Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto

(-4,3) con pendiente -1.

En la fórmula del punto pendiente , ( ) se sustituyen las

variables por sus valores

Y luego realizan las operaciones respectivas en la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta:

( ) 2) Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,2) y cuya pendiente es 4.

( ) ( )

Ejercicios:

1) Ejercicio: hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y cuya pendiente es 1

2.

( )

2) Ejercicio: Halle la ecuación de la recta paralela a que pasa por (1, -2).

( )

( )

3) Ejercicio: Determine si y son rectas paralelas, utilizando la ecuación

punto-pendiente.

Las dos pendientes son iguales por lo tanto, son paralelas.

4) Ejercicio: La ecuación de la recta perpendicular a que pasa por los puntos (2,9).

( )

( )

5) Ejercicio: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (7,9) y cuya pendiente es

1 1( )

39 ( 7)

4

3 219

4 4

3 15

4 4

y y m x x

y x

y x

y x

Problema de Aplicación en la Vida Diaria del Punto-Pendiente:

1. Un problema de aplicación de la pendiente es en las carreteras por ejemplo cuando la

carretera es muy empinada se encuentra carriles de terracería para los conductores que tienen

fallas en los frenos, para detenerlos esas son

pendientes, si esa pendiente es positivas va a crecer al

igual que su Angulo pero si es negativa va a decrecer y

su ángulo va a crecer. Teniendo en cuenta esto la pendiente del camino

de precaución de terracería debe ser positivo para

que haga efecto en cambio si la pendiente es

negativa provocara que el conductor no pueda

detenerse teniendo como consecuencia un

accidente.

2. Otro Problema de aplicación son las rampas en los centros

comerciales o supermercados que deben ser bien

estructurados tomando en cuenta su ángulo y si es positiva o

no la pendiente, para un buen funcionamiento de las rampas.

Por ejemplo en un supermercado que tiene un sótano se

hace una rampa para las carretillas, debe ser la pendiente

negativa y el ángulo crecerá para así tener una facilidad de

bajar la carretilla en una forma tranquila sin que ejerza mucha

velocidad la carretilla.

Tipos de ecuaciones de la recta:

• Dos puntos

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Tomando como referencia la imagen, se

encuentran dos puntos:

( )

( )

Cuando se tienen dos puntos como en la imagen, la pendiente (siempre constante) está determinada

por el cociente entre la diferencia de las ordenadas (Y) y la diferencia de las abscisas (X).

Fórmula es:

Sean A y B dos puntos de la recta, tenemos que tomar en cuenta otro punto que sería “C” el cuál se

refiere a los ejes (X y Y).

Como A, B y C pertenecen a la misma recta se tiene que AB y AC tienen la misma pendiente.

( )

( )

Entonces la ecuación de la recta puede ser expresada como:

También puede ser expresada así:

( )

Aplicación a la vida diaria

Una aplicación de la recta en la vida diaria en

especial en el campo de la medicina, puede ser para

el momento de una cirugía en el área abdominal, en

estas cirugías se hace incisiones en línea recta las

cuales pueden ser en distintas regiones del

abdomen:

- incisión en la línea media - incisión en el cuadrante superior derecho - incisión en el cuadrante inferior derecho - incisión en el cuadrante superior izquierdo - incisión en el cuadrante inferior izquierdo

Para estas incisiones en la región del abdomen, se

utiliza la recta en el momento de empezar a realizar la incisión para medir la longitud de la herida (la

cuál sea necesaria para hace un buen trabajo) y también la profundidad de la misma para que no

dañe ninguna arteria principal.

Ejemplos:

1) Ejemplo:

Determina la ecuación de la recta que pasa por:

P (1,2) y Q (3,4)

Sabiendo que la formula es:

1) Sustituimos las incógnitas por el valor correspondiente.

2) Operamos.

,

=

3) Pasamos al otro lado de la igualdad x – 1 multiplicando y operamos.

( )

4) Por ultimo pasamos y – 2 al otro lado de la igualdad para tener una ecuación de la forma general

(A+B+C).

2) Ejemplo:

Determina la ecuación de la recta que pasa por:

P (4,2) y Q (8,-5)

1) Usando la formula

sustituimos los valores y operamos.

2) Pasamos x – 4 multiplicando al otro lado de la igualdad y operamos.

( )

3) Ahora pasamos el 4 multiplicando al otro lado de la igualdad y operamos.

( )

4) Por ultimo trasladamos el -7x + 28 al otro lado de la igualada para obtener nuestra formula general

(A + B + C).

Entonces = (A=7, B=4, C=-32)

Ejercicios:

Encuentra la recta que pasa por 2 puntos de las siguientes coordenadas usando la ecuación de la

recta .

1. P (2, 7) Q (5,-4)

(

)

( )

2. P (1, 3) Q (4, 6)

( )

3. P (5, 3) Q (8, 6)

( )

4. P (2, -5) Q (6, 3)

(

)

( )

5. P (1, 4) Q (5, 8)

( )

Tipos de ecuaciones de la recta: • Intercepto

• Ecuación general de la recta

Tipos de ecuaciones de la recta:

• Ecuación general de la recta

Ecuación General o Implícita de la Recta

Es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo af irma el siguiente teorema: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales (); y en que A y B no son simultáneamente nulos, repres enta una línea recta.

Ejemplos:

1. Halla la ecuación general de la recta.

Nos dan la ecuación explícita:

Tenemos que pasar todos los términos de la ecuación al lado izquierdo y ordenarlos:

Opcionalmente, podemos quitar denominadores:

2. Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

( )

Aplicación para la vida:

En cuando nos piden encontrar la ecuación general de la recta, en la ecuación simplif icada siempre apreciaremos la pendiente de la recta, la cual se puede aplicar para calcular la distancia entre dos puntos a los cuales no es fácil el acceso o es imposible, como por ejemplo la distancia a la luna, o la distancia a un nido de un ave que se encuentre en la copa de un árbol.

Ejercicios:

1. Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2(–3, –2)

–2 – 3 = y – 3

–3 – 4 x – 4 –5 = y – 3 –7 x – 4 y – 3 = x – 4 (–5 /–7) y – 3 = –5 x + 20 –7 –7 (y – 3) = –5 x + 20

–7y +21 + 5x – 20 = 0 5x – 7y + 1 = 0

2. Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

Tipos de ecuaciones de la recta:

• Intercepto con los Ejes Coordenados

Los interceptos de una recta con los ejes coordenados corresponden a los puntos donde ésta corta dichos ejes. En la figura 2 se ilustra claramente esto.

Figura 2

En la figura 2 se ilustran los interceptos con los ejes de una determinada recta. Se puede ver claramente que los interceptos con los ejes X y Y son respectivamente:

Las ecuaciones lineales son siempre de la forma: y = mx + b Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y.

El intercepto en el eje de x - es el punto donde la gráfica cruza el eje de x. Tiene la forma (x, 0). Siempre y = 0.

El intercepto en el eje de y - es el punto donde la gráfica cruza el eje de y. Tiene la forma

(0, y). Siempre x = 0.

Ejemplos:

1. ( 0, 1 ) y ( 1, 0 ) son los interceptos de la gráfica de la ecuación: x + y = 1.

2. (- 3, 0) es el intercepto en el eje de x de la gráfica de la ecuación 2x - y = - 6.

3. (0, 2) es el intercepto en el eje de y de la gráfica de la ecuación 3x + 5y = 10.

¿Cómo buscar los interceptos algebraicamente?

Para el intercepto en el eje de x, lo que tienes que hacer es asignar el valor de cero a la variable y; despejar la variable x.

Para el intercepto en el eje de y, lo que tienes que hacer es asignar el valor de cero a la variable x; despejar la variable y.

Aplicación para la vida

La pendiente intercepto se puede a aplicar a la vida para calcular dos puntos diferentes de una misma recta, por ejemplo dos amigos se dirigen a unas vacaciones en Panajachel con sus respectivas novias. Uno sale en su carro una hora antes que el otro, cuando el amigo que sale de segundo quiere saber por dónde va el que salió primero, solamente necesita llamar a su amigo y preguntarle en que intercepto de la recta se encuentra, es decir en que kilometro esta.

Ejemplo: Halla los interceptos de la ecuación: 4x + y = 8

Valor de x Despeja para y

Intercepto en y

Valor de y Despeja para x

Intercepto en x

x = 0 4(0) + y = 8

0 + y = 8

y = 8

( 0, 8 ) y = 0 4x + 0 = 8

4x = 8

x = 2

( 2, 0 )

Ejercicio: Busca los interceptos de las siguientes ecuaciones:

1. y - 2x = 6 2. y = 7x + 2

Respuestas:

1. y – 2(0) = 6 ---- (0,6) (0) – 2x= 6 - x= 3 (3,0)

2. y = 7(0) + 2 ---- (0,2) (0)= 7x + 2 -2/7 = x --- (-2/7,0)

Posiciones relativas de dos rectas

en el plano: • Rectas coincidentes

• Rectas paralelas

Posiciones relativas de dos rectas en el plano: Cuando estudiamos la posición relativa de dos rectas en el plano lo que queremos saber es como se encuentra una recta en relación con la otra. Hay tres posibilidades, pueden ser paralelas, coincidentes o incidentes en un punto. Si tenemos las ecuaciones generales de la recta es fácil determinar cómo están relacionados. Sabido es que un vector normal de la recta está formado por los coeficientes de x e y. Las rectas serán paralelas si sus vectores normales son proporcionales (se obtiene el mismo resultado si en lugar de considerar los vectores normales se consideran los de dirección), las rectas serán coincidentes si además también son proporcionales los términos independientes, en caso contrario son incidentes en un punto. Este punto se calcula fácilmente resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se plantea.

Posiciones relativas de dos rectas en el plano:

• Rectas coincidentes Dos rectas son coincidentes s i todos sus puntos son comunes. Dos rectas son coincidentes s i los coefic ientes de x , de y , y de l término independiente son proporcionales .

EJEMPLO: Dadas las ecuaciones:

Determinar si corresponden a rectas coincidentes.

Resolución: Primero debemos despejar una de las var iables en ambas ecuaciones.

Podemos observar que

Puesto que

Por tanto si son coincidentes las rectas.

APLIC ACIÓN: La aplicación se puede encontrar en la reflex ión de la luz en un espe jo convexo, donde e l rayo proveniente del punto PQ dir igido hacia C es refle jado por e l espejo en la misma dirección que seguía e l rayo or iginal, formando así dos rectas coincidentes.

Posiciones relativas de dos rectas en el plano: • Rectas paralelas

Dos rectas son parale las s i t ienen sus pendientes iguales .

Dos rectas son parale las s i los coefic ientes de x e y respect ivos son proporcionales .

Dos rectas son parale las s i fo rman un ángulo de 0º .

Propiedades:

Reflexiva: toda recta es paralela a sí misma.

Simétrica: si una recta es paralela a la otra, esta será paralela a la primera.

Transitiva: dos rectas paralelas a una tercera serán paralelas entre sí.

Corolario: todas las rectas paralelas presentan la misma dirección.

Ejemplo: Calcu lar una recta parale la a r ≡ x + 2 y + 3 = 0 , que pasen por e l punto A (3 ,5).

Ca lcu la k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean parale las .

Hal la r la ecuación de la recta para le la a r ≡ 3x + 2y -4 = 0 , que pasa por e l punto A(2, 3 ) .

3 · 2 + 2· 3 + k = 0 k = -12

3x + 2y - 12= 0

La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por e l punto A(3 ,2) y es parale la a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0 . Ca lcu la m y n .

APLIC ACIÓN:

Las rectas parale las se encuentran en e l anál is is f ís ico de un cuerpo en un

plano incl inado. La fuerza Normal que e jerce la superfic ie de este plano

sobre e l cuerpo es parale la a l componente en e l e je de las ordenadas de la

fuerza que e jerce e l cuerpo sobre éste , siendo constitu ido por e l Peso (masa

mult ip l icada por gravedad).

EJERCICIO:

1 . Determinar qué t ipo de rectas son:

2 . Encuentre la ecuación de la recta que pasa por e l punto ( -1 ,2) y es

parale la a la recta

3 . Encuentre la ecuación de la recta parale la a

y que pasa por e l punto (4 , -3) .

4 . Hal lar la ecuación de la recta que parale la a

Y que pasa por e l punto (3 , -2 )

5 . Hal lar la ecuación de la recta que pasa por e l punto ( -2 , -5) y es parale la

a la recta cuya ecuación es:

( )

6 . Si las funciones:

( ) ( )

( ) ( )

Representan rectas parale las, entonces encuentre e l va lor de k .

7 . Hal lar e l va lor de k para que e l par de ecuaciones representen rectas

parale las.

RESPUESTAS:

1 .

2 .

3 .

4 . 3x + 7

5 .

6 .

7 .

Posiciones relativas de dos rectas en el plano: • Rectas secantes (ángulo formado por dos rectas)

• Rectas perpendiculares

Posiciones relativas de dos rectas en el plano:

• Rectas secantes (ángulo formado por dos rectas)

• Rectas perpendiculares

Definiciones introductorias:

Rectas secantes Son dos rectas que van a una dirección determinada y conforme va aumentado el tamaño de cada

una, la separación que hay entre las dos se reduce a cero y se cortan en un punto determinado;

haciendo que se forme un ángulo por la intersección de dos rectas.

Para ver si las rectas son secantes se compara los coeficientes de A, B y C de las dos rectas.

Para ver cuál es la posición de las dos secantes se comparan las pendientes de ambas rectas.

Para que dos rectas sean secantes se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

Dos rectas son secantes si los coeficientes de x e y respectivos no son proporcionales.

Dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente.

Rectas Perpendiculares Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Para que dos rectas sean perpendiculares se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Explicación:

Rectas Secantes (ángulos formados por dos rectas)

Las dos rectas secantes dividirán el plano en cuatro ángulos, que las podemos clasificar de acuerdo a

sus propiedades.

Ángulos Adyacentes

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos son semirrectas opuestas.

Como podemos ver en el gráfico, el ángulo alfa es adyacente a beta ya que comparten un lado de la

semirrecta OC y sus otros lados OA y OB son semirrectas opuestas.

En la siguiente imagen podemos ver los cuatro pares de ángulos formado por las dos rectas

secantes.

Teorema Los ángulos adyacentes son

ángulos suplementarios.

Esto quiere decir que la suma de los dos ángulos, en este caso, alfa y beta, debe de tener

como resultado un Angulo llano, quiere decir que Como podemos ver en la imagen, los

ángulos alfa y beta, encontrados en la recta AB, α + β=180º

Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando sus lados son semirrectas opuestas.

El lado OC del ángulo alfa es opuesto al lado OD de beta, y el lado OA de alfa también es opuesto al lado OB de beta.

El ángulo alfa es el ángulo opuesto de beta, y beta es el ángulo opuesto a alfa, entonces, quiere decir que alfa y beta tienen la misma amplitud.

Rectas Perpendiculares

Podemos saber de diferentes maneras cuando dos recta son perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares cuando se interceptan, forman cuatro ángulos iguales de

90º.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Ejemplos de Posiciones relativas de dos rectas en el plano: Rectas secantes (ángulo formado por dos rectas):

Partiendo de:

Entonces:

Por lo cual:

Entonces

Rectas perpendiculares

Y

x

-Y

-x

90°

90°

90°

90°

(2,0)

Ejercicios:

Rectas Secantes (ángulo formado por dos rectas)

¿Son secantes las rectas y ? En caso afirmativo calcular el punto de corte.

Rectas Perpendiculares

Calcular unarecta perpendicular a , que pase por el punto (3,5).

( )

Aplicación:

Rectas Secantes

Las rectas secantes las podemos ver, por ejemplo, cuando se interceptan dos vías de tren.

Podemos notar que al juntarse, se forman dos pares de ángulos, dos ángulos agudos y dos

ángulos obtusos

Rectas Perpendiculares

Las rectas perpendiculares las podemos encontrar en muchos lugares donde pasamos por

ellos una y otra vez, como por ejemplo, en una intersección de dos carreteras.

Como podemos ver, al unirse las dos carreteras, se forman cuatro ángulos de 90°.

Problemas:

Problema con rectas secantes

La torre de control de un aeropuerto tiene algunos inconvenientes con el cálculo de las

direcciones de vuelo de dos aviones, si la ecuación de la recta que describe el primer avión

es: y=-2/10x+3 y la ecuación de segundo avión es y=1/2x -4 ¿en qué punto se daría el

choque de los dos aviones y que ángulo forma la trayectoria del avión 1 con respecto al avión

2? Grafico

Según la gráfica los aviones chocarían en el punto (10,1)

Para encontrar el ángulo:

m1=1/2

m2=-2/10

tanⱷ=1/2-(-2/10) = 7/10 = 56/2 =23

1+1/2(-2/10) 18/20

tanⱷ=23 entonces tan^-1(23)=87º30’38’’

Respuesta: los aviones chocarían en el punto (10,1) formando un ángulo de 87º30’38’’

Problema con rectas perpendiculares:

Se necesita una rueda para una carreta de carga, de diámetro 3m, la cual requiere de una

estructura interna de madera para poder funcionar correctamente donde los maderos estén

colocados de forma perpendicular para soportar la presión, si se tiene dos maderos rectos,

uno de 4m y otro de 3.5m. ¿Qué ángulo debe formar para aguantar la presión, a qué

distancia de la circunferencia debe de estar el punto de unión y cuanto se le debe cortar a

cada madero para cumplir con el diámetro de la rueda?

Para que los maderos sean perpendiculares es

necesario que formen 4 ángulos de 90º ya que:

360/4=90

El punto de unión debe de estar a 1.5 m de la

circunferencia porque:

d=3m

r=d/2

Entonces r=3/2=1.5m

Si m1=m2=3 entonces:

Al primer madero se le debe de cortar 1m y al segundo 0.5m para que los dos tengan 3m de

largo.